frank cowell: microeconomics la empresa: demanda y oferta microeconomÍa principios y análisis...
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Microeconom
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La Empresa: Demanda y Oferta
MICROECONOMÍAMICROECONOMÍAPrincipios y AnálisisPrincipios y Análisis
Frank Cowell Frank Cowell
Casi esencial
Optimización
Casi esencial
Optimización
PrerequisitossPrerequisitoss
Octubre 2006
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Nos movemos a partir del óptimo...
Vamos a obtener las reacciones de la empresa Vamos a obtener las reacciones de la empresa frente a cambios de su escenario. frente a cambios de su escenario.
Estas son las funciones respuesta..Estas son las funciones respuesta.. Examinaremos tres tipos de ellasExaminaremos tres tipos de ellas Respuestas a diferentes tipos de eventos de Respuestas a diferentes tipos de eventos de
mercado.mercado.
Tratamos la empresa como una Caja Negra.Tratamos la empresa como una Caja Negra.
Precios mercado
Precios mercado La empresa
Producción;demanda de factores
Producción;demanda de factores
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La empresa como una “caja negra”
Se puede predecir el comportamiento mediante las Se puede predecir el comportamiento mediante las condiciones necesarias y suficientes del óptimocondiciones necesarias y suficientes del óptimo
Las CPO pueden ser resueltas para generar Las CPO pueden ser resueltas para generar funciones de respuesta de comportamientofunciones de respuesta de comportamiento
Sus propiedades se obtienen a partir de la función Sus propiedades se obtienen a partir de la función soluciónsolución
Necesitamos las propiedades de la función Necesitamos las propiedades de la función solución…solución…
……otra vez y otra vezotra vez y otra vez
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Contenido...
Demanda condicional de factoresOferta de producto
Demanda ordinaria de factores
El problema en el corto plazo
Empresa: Estática comparativa
Función respuesta para la fase 1 de optimización
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La primera función respuesta
m
wi zi sujeta a q f(z), z≥0 i=1
Revisamos el problema de minimización de costos y su solución
Encontrar z para minimizar:
Cantidad de cada factor minimizador de costos:
zi* = Hi(w, q), i=1,2,…,m
La función de costos de la empresa:
C(w, q) := min wizi
Vector precio de los factoresVector precio de los factores
Nivel producción específicoNivel producción específico
{f(z) q}
Hi es la función de demanda condicional de factor. Demanda del factor i, condicionada al nivel q de producción
La “fase 1” del problema
La función solución
Puede ser una función muy bien definida o una correspondencia
Puede ser una función muy bien definida o una correspondencia Aproximación
gráfica
Aproximación gráfica
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Graficando en el espacio (z1,w1)
z1
z2
z1
w1
Caso convencional para Z.
Se inicia con cualquier valor para w1 (la pendiente de la tangente a Z).
Repetir para valores menores de w1.
...y otra vez para obtener...
...la curva de demanda condicional
H1(w,q)
El conjunto restricción es convexo con una frontera suave La función respuesta es un mapa contínuo:
Ahora veamos un caso diferente
Ahora veamos un caso diferente
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Otro mapa en el espacio (z1,w1)
z1
z2
z1
w1
El caso cuando Z no es convexo.Se inicia con un valor alto para w1.
Repetir para valores menores de w1.
Los puntos “cerca” trabajan de la misma forma. ¿Pero qué ocurre entre ellos?
Una correspondencia de demanda
El conjunto restricción no es convexo.
La respuesta es un mapa discontinuo : un salto en z*El mapa tiene múltiples valores en la discontinuidad
Diferentes cantidades del factor al mismo precio
Diferentes cantidades del factor al mismo precio
Ningún precio genera una solución aquí
Ningún precio genera una solución aquí
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Función de demanda condicional de factor
Suponga que existe la función de Suponga que existe la función de demanda de factor de valor único. demanda de factor de valor único.
¿cómo se relaciona con la función de ¿cómo se relaciona con la función de costos? costos?
¿cuáles son sus propiedades?¿cuáles son sus propiedades? ¿cómo se relacionan con las ¿cómo se relacionan con las
propiedades de la función de costos?propiedades de la función de costos?
¿recuerda estas...?
Enlace a la
función costos
Enlace a la
función costos
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Empleo de la función costo
...sí, es el Lema de Shephard¿recuerda esta relación?
Ci(w, q) = zi*
Entonces tenemos:
Ci(w, q) = Hi(w, q) Enlace entre la demanda condicional de factor y la función costo
Derivando respecto a wj
Cij(w, q) = Hji(w, q)
Demanda condicional de factor
Demanda condicional de factor
Segunda derivadaSegunda derivada Pendiente de la función de
demanda de factor
La pendiente:C(w, q)———— wi
La pendiente:C(w, q)———— wi
Demanda óptima del factor iDemanda óptima del factor i
Dos simples resultados:
Dos simples resultados:
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Resultado 1Empleamos la propiedad estandar
——— = ———
wi wj wj wi
Segunda derivada de una función “commute”
Entonces, en este caso Cij(w, q) = Cji(w, q)
El orden de la diferenciación es irrelevante
Por lo tanto, tenemos:
Hji(w, q) = Hi
j(w, q) El efecto del precio del factor i sobre la demanda condicional del factor j es igual al efecto del precio del factor j sobre la demanda condicional del factor i.
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Resultado 2
Empleamos la relación estandar:
Cij(w, q) = Hji(w, q)
Pendiente de la función de demanda condicional de factor obtenida de la segunda derivada de la función costo
Podemos obtener el caso especial:
Cii(w, q) = Hii(w, q)
Hemos hecho j=i
Debido a que la función costo es cóncava:
Cii(w, q) 0Una propiedad general
Por lo tanto:
Hii(w, q) 0
La relación de la demanda condicional de factor con su propio precio, no puede ser positiva.
así...así...
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Curva de demanda condicional de factor
H1(w,q)
z1
w1 Considere la demanda por el factor 1 ¿consecuencia del resultado 2?
H11(w, q) < 0H11(w, q) < 0
Demanda condicional de “pendiente negativa”
En algunos casos también es posible que Hi
i=0
Corresponde al caso donde la isocuanta tiene punta: valores diferentes de w son consistentes con el mismo z*.
Enlace al
grafico con
“punta”
Enlace al
grafico con
“punta”
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Para la demanda condicional de factor...
Z no convexa genera H discontinuaZ no convexa genera H discontinua Los efectos precio cruzados son simétricosLos efectos precio cruzados son simétricos Pendiente negativa de la demanda versus su Pendiente negativa de la demanda versus su
propio preciopropio precio (caso excepcional: la demanda frente a su propio (caso excepcional: la demanda frente a su propio
precio puede ser constante)precio puede ser constante)
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Contenido...
Demanda condicional de factoresOferta de producto
Demanda ordinaria de factores
El problema en el corto plazo
Empresa: Estática comparativa
Función respuesta para la fase 2 de optimización
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La segunda función respuesta
De las CPO:
p Cq (w, q*)
pq* C(w, q*)
“Precio igual costo marginal”“Precio cubre el costo medio”
Revisamos el problema de maximización del beneficio y su soluciónEncontrar q para maximizar:
pq – C (w, q)La “fase 2” del problema
q* = S (w, p) S es la función oferta
(de nuevo esto puede realmente ser una correspondencia)
Precio factores
Precio factores
Precio productoPrecio producto
Nivel de producción maximizador del beneficio:
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Oferta y precio del producto
Empleamos las CPO:Cq (w, q) = p
“costo marginal igual precio”
Empleamos la función de oferta para q:Cq (w, S(w, p) ) = p
Nos da una ecuación en w y p
Derivando respecto a p pCqq (w, S(w, p) ) Sp (w, p) = 1
Empleamos la regla de función de función
Reordenando:1 .
Sp (w, p) = ———— Cqq (w, q)
Nos da la pendiente de la función de oferta
Positiva si el CMg es crecientePositiva si el CMg es creciente
Derivada de S respecto a PDerivada de S respecto a P
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La curva de oferta de la empresa
C/q
Cq
p
q
Curvas de CMg y CMe de la empresa.Para cada P el óptimo q* Continuamos para precios menores
¿qué ocurre debajo de p
p_ –
q_|
El caso ilustrado es para una función que tiene, primero, REC y luego RED. La respuesta es un mapa discontinuo: salta en q*El mapa tiene valores múltiples en la discontinuidad
q* múltiples para este precio q* múltiples para este precio
Ningún precio genera una solución aquí
Ningún precio genera una solución aquí
La respuesta de la oferta está dada por q=S(w,p)
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Oferta de producto y precio del factor j
Empleamos las CPO:
Cq (w, S(w, p) ) = p
Derivando respectoa wj
Cqj(w, q*) + Cqq (w, q*) Sj(w, p) = 0
De nuevo empleamos la regla de función de función
Como antes: “precio igual costo marginal”
Reordenando:Cqj(w, q*)
Sj(w, p) = – ————Cqq(w, q*)
La oferta de producto debe caer con wj si el costo
marginal se incrementa con wj.Recuerda, esto es
positivoRecuerda, esto es positivo
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Para la función de oferta...
La curva de oferta tiene pendiente positivaLa curva de oferta tiene pendiente positiva La oferta disminuye con el precio del factor, La oferta disminuye con el precio del factor,
si el costo marginal se incrementa con el si el costo marginal se incrementa con el precio de ese factorprecio de ese factor
f(q) no cóncava genera S discontínuaf(q) no cóncava genera S discontínua Retornos crecientes a escala significa que Retornos crecientes a escala significa que
f(q) es no concava y entonces S es f(q) es no concava y entonces S es discontínuadiscontínua
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Contenido...
Demanda condicional de factores
Oferta de producto
Demanda ordinaria de factores
El problema en el corto plazo
Empresa: Estática comparativa
La función respuesta para el problema combinado de optimización
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La tercera función respuesta
Demanda por el factor i, condicional a la producción q
zi* = Hi(w,q)
q* = S (w, p) Oferta de producto
zi* = Hi(w, S(w, p) )
Di(w,p) := Hi(w, S(w, p) )
Ahora sustituímos por q* :
Demanda por el factor i (no condicional )
Precio factoresPrecio factores
Precio productoPrecio producto
Fases 1 y 2 combinadas…
Recuerde las dos primeras funciones respuesta:
Vamos a emplear esta relación para un mayor análisis de la respuesta de la empresa al cambio del precio
Use this to define a new function:
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Demanda por i y el precio del producto
Tomamos la relación
Di(w, p) = Hi(w, S(w, p)).
Di se incrementa con p si Hi se incrementa con q. ¿por qué? La oferta se incrementa con el precio ( Sp>0).
Pero también tenemos que, para cualquier q:
El Lema de Shephard de nuevo
Sustituímo arriba:
Dpi(w, p) = Cqi(w, q*)Sp(w, p) La demanda por el factor i
(Di) se incrementa con p si el costo marginal (Cq) se
incrementa con wi .
Derivamos con respecto a p:
Dpi(w, p) = Hq
i(w, q*) Sp(w, p)
De nuevo la regla de función de función
De nuevo la regla de función de función
Hi(w, q) = Ci(w, q)
Hqi (w, q) = Ciq(w, q)
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Demanda por i y el precio de j
Derivamos con respecto a wj:
Dji(w, p) = Hj
i(w, q*) + Hqi(w, q*)Sj(w, p)
De nuevo, tomamos la relación
Di(w, p) = Hi(w, S(w, p)). De nuevo la regla de función de función
De nuevo la regla de función de función
Empleamos de nuevo el lema de Shephar:
Empleamos este y el resultado previo sobre Sj(w, p) para
descomponer en el “efecto sustitución” y el “efecto producto”:
“efecto sustitución”“efecto sustitución”
Hqi(w, q) = Ciq(w, q) = Cqi(w, q)
“efecto producto”
“efecto producto”
Ciq(w, q*)Cjq(w, q*)Dj
i(w, p) = Hji(w, q*) Cqq(w, q*)
.
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Resultados de la fórmula de descomposición
El efecto de wi sobre la
demanda del factor j iguala el efecto de wj sobre la
demanda por el factor i.
Tomamos la relación general:
Ahora tomamos el caso especial donde j = i:
Ya sabemos que es simétrica i y j.Ya sabemos que es simétrica i y j.
Ya sabemos que esto es negativo o ceroYa sabemos que esto es negativo o cero
Si wi se incrementa, la
demanda por el factor i no se puede incrementar.
Obviamente simétrica en i y j
Obviamente simétrica en i y j
Ciq(w, q*)Cjq(w, q*)Dj
i(w, p) = Hji(w, q*)
Cqq(w, q*) .
No puede ser positivoNo puede ser positivo
Ciq(w, q*)2
Dii(w, p) = Hi
i(w, q*) Cqq(w, q*).
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Cae el precio del factor: efecto sustitución
Cambio en costo
Curva demanda condicional
Cae
Precio
factor
z1
w1
H1(w,q)
*z1
El equilibrio inicial
Cae el precio del factor
Valor para la empresa de la caída del precio, dado un nivel fijo de producto
Nivel inicial de precio
Nivel inicial de precio
Nivel inicial de producto
Nivel inicial de producto
Incremento teórico del factor si el nivel de producción permanece constante
Incremento teórico del factor si el nivel de producción permanece constante
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z1
Cae precio del factor: efecto total
Change in cost
Cae
precio
z1
w1
*z1
Equilibrio inicial
Efecto sustitución de la caída del precio del factorl.Efecto total de la caída del precio del factor
**
Precio inicial
Precio inicial
Demanda condicional para el nivel inicial de producción
Demanda condicional para el nivel inicial de producción
Curva demanda ordinaria
Curva demanda ordinaria
Demanda condicional para el nuevo nivel producción
Demanda condicional para el nuevo nivel producción
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La función de demanda ordinaria...
Z no convexa puede generar una D Z no convexa puede generar una D discontinuadiscontinua
Los efectos precio cruzados son simétricosLos efectos precio cruzados son simétricos La pendiente de la demanda en relación a su La pendiente de la demanda en relación a su
precio es negativaprecio es negativa Algunas propiedades básicas como con la Algunas propiedades básicas como con la
función función HH
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Contenido...
Demanda condicional de factores
Oferta de producto
Demanda ordinaria de factores
El problema en el corto plazo
Empresa: Estática comparativa
Optimización sujeta a la restricción de tiempo
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El corto plazo...
No es un momento en el tiempo pero…No es un momento en el tiempo pero… … … se define por restricciones adicionales se define por restricciones adicionales
dentro del modelodentro del modelo
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El problema del corto plazo
Sujeto a las restricciones estandar:
Trabajamos sobre el problema estandar de optimización Encontrar q y z para maximizar
q f(z)
q 0, z 0
:= pq – m
wizii=1
zm = zm
Pero añadimos una condición a este problema:
q es el valor de q para el cual zm =zm habría sido
libremente elegida en el problema no restringido de minimización de costos…
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La función de costos de corto plazo
{zm =zm }C(w, q, zm ) := min wi zi
C(w, q) C(w, q, zm ) ~ _
La función solución con restricción de tiempo.
Por definición de la función de costos. Tenemos “=” si q =q.CMe corto plazo ≥ CMe largo plazo.CMeCP = CMeLP en q =q
Dividiendo entre q:
Curvas de oferta
Curvas de oferta
~ _
~ _
Compare con la función de costos ordinaria
Demanda de corto plazo por el factor i:
Hi(w, q, zm) =Ci(w, q, zm )~ _ ~ _
Siguiendo desde el lema de Shephard
C(w, q) C(w, q, zm )_______ _________ q q
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CMg, CMe y oferta en el corto y largo plazo
C/q
Cq
q
p
q
C/q
Cq
~
~
CMe si todos los factores son variables
Nivel fijo de producción
CMg si todos los factores son variables
CMe si el factor m se mantiene fijo
CMg si el factor m se mantiene fijoCurva oferta en el largo plazoCurva de oferta en el corto plazo
La curva de oferta es más parada en el corto plazo
CMeCP toca CMeLP en el nivel dado de productoCMgCP corta CmgLP en el nivel dado de producto
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Demanda condicional de factor
H1(w,q)
z1
w1Curva de demanda original por el factor 1
Demanda condicional con pendiente negativa
La curva de demanda condicional es más parada en el corto plazo.
H1(w, q, zm)~ _
La curva de demanda del problema con la restricción de tiempo.
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¿Qué sigue?
Analizar la empresa bajo una variedad de Analizar la empresa bajo una variedad de condiciones de mercado.condiciones de mercado.
Aplicar el análisis al problema de Aplicar el análisis al problema de optimización del consumidor.optimización del consumidor.