ejercicios de geometrÍa mÉtrica

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA MÉTRICA

Construcciones Elementales

Ejercicio Nº 1En cada uno de los puntos A, B, C hay un faro. Determinar la posición de un barco P teniendo en cuenta que las visuales desde dicho barco hacia los puntos A y B forman 45º y hacia B y C 60º

A

B

C

Unimos los puntos A-B y B-C y construimos los ángulos de 45º y 60º respectivamente

A

B

C

60°

45°

Trazamos por A y por B una perpendicular a los ángulos construidos, seguidamente trazamos las mediatrices de A-B y B-C que se cortan con las perpendiculares anteriores en los centros O1 y O2

A

B

C

60°

45°

90° 90°

O1 O2

Trazamos las circunferencias de centros O1 y O2 que pasen por A, B y por C, D respectivamente que se cortan en el punto P que es el punto buscado.En realidad es una aplicación del arco capaz

A

B

C

60°

45°

90° 90°

P

O1 O2

Ejercicio Nº 2Construir un triángulo ABC conocidos dos lados a = 50 b = 25 m/m y el ángulo en A = 60º opuesto al lado a

Trazamos el lado a = 50m/m

C Ba

Trazamos la mediatriz del lado a :CB, en un extremo el C construimos un ángulo dado del vértice opuesto de 60º

C Ba

60°

Trazamos una perpendicular al ángulo de 60º antes trazado, que corta a la mediatriz del lado CB en el punto O1, centro del arco capaz del segmento CB

C Ba

O1

60°

90°

Con centro en el extremo C y radio b = 25 m/m, hallamos el punto A .Aplicación del arco capaz el ángulo A tiene 60º

C Ba

O1

A

b c

60°

90°

Ejercicio Nº 3Trazar la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo del que se conocen la hipotenusa a = 86 m/m. y uno de los ángulos adyacentes B = 32º

Trazamos la hipotenusa BC = 86 m/m determinamos el punto medio y trazamos la semicircunferencia que pasa por B y C (no hace falta trazar el arco capaz por ser el ángulo de 90º, la perpendicular es el mismo lado BC

B Ca

Construimos el ángulo de 32º en el vértice B que corta a la semicircunferencia en el punto A que es el otro vértice del triangulo buscado

B Ca32°

A

Unimos el punto A con el vértice C y tenemos construido el triangulo rectángulo de ángulo recto en el vértice A

B Ca32°

A

Trazamos las bisectrices de los ángulos B y C que se cortan en el punto O centro de la circunferencia inscrita buscada

B Ca32°

O

c

b

A

Trazamos las perpendiculares a los lados que nos dan los puntos T de tangencia de la circunferencia inscrita, que trazamos de centro en O y radio OT

B Ca32°

O

c

b

A

TT

T

Ejercicio Nº 4Dibujar un triángulo isósceles del que se conocen el lado desigual a = 45 m/m. y el ángulo desigual A = 50º

Trazamos el lado a = 45 m/m

B Ca

Construimos la mediatriz del lado BC y el ángulo de 50º en el extremo B después trazamos el ángulo de 90º que corta a la mediatriz en el punto O, centro del arco capaz

B Ca

50°

90°

O

Trazamos el arco de centro O y radio OB = OC que corta a la mediatriz en el punto A que es el otro vértice del triángulo

B Ca

50°

90°

O

A

Unimos el vértice A con los B y C y tenemos el triángulo buscado

B Ca

50°

90°

O

A

Ejercicio Nº 5Construcción de un triángulo conociendo un lado y sus ángulos adyacentesTrazamos el lado AB dado

A BA B

A Bc

Se transportan los ángulos A y B dados sobre el segmento anteriorSe prolongan los lados de los ángulos, se cortan en el punto C y se completa el triángulo

A B

C

A B

A B

ba

c

Ejercicio Nº 6Construir un triángulo ABC conocidos dos lados a = 50 b = 25 m/m y el ángulo comprendido B = 60º Se lleva el segmento BC dado

B Ca

B Ac B

CaB

Se transporta el ángulo B dado sobre el segmento anterior

CaB

Traza un arco con centro en de radio 25mm. que corta en el punto A al lado del ángulo

CaB

A

R25

Se completa el triángulo

CaB

A

c b

R25

Ejercicio Nº 7Construir un triángulo rectángulo en A ,conociendo la Hipotenusa y la diferencia de los catetos b-c.

Se lleva el segmento b-c dado

aB C

b- c

b- c

Se construye un ángulo de 45º sobre el segmento anterior

b- c45°

C

Se traza un arco con centro en C de radio la hipotenusa a que corta en el punto B al lado del

ángulo

b- c45°

C

B

R50

Desde B se traza un perpendicular la lado b-c donde corta a la prolongación es el vértice Ay tenemos el triángulo que se nos pide

b- c45°

C

B

A

R50

Ejercicio Nº 8Construcción de un triángulo rectángulo en A, si se conoce un cateto c y la suma de la hipotenusa y el otro cateto a + b

Se lleva el segmento a + b dado

a+b

c

a+b

Se construye un triángulo rectángulo de cateto mayor (a + b) y cateto menor c

a+b

c

A

B

Traza la mediatriz de la hipotenusa del triángulo anterior que corta al cateto (a + b) en el

punto C que es el vértice del triángulo que se busca

a+b

c

A

B

C

Unimos B con C y tenemos el triángulo rectángulo

a+b

c

b

a

A

B

C

Ejercicio Nº 9Construcción de un cuadrado conociendo la suma de la diagonal mas el lado

Construimos un cuadrado cualquiera ABDE

D+L

A B

DE

Trazamos la diagonal de este cuadrado y la prolongamos, haciendo centro en D y radio DB obtenemos el punto N que es la suma de la diagonal mas el lado de este cuadrado, unimos N y B

A B

DE

D'+L'

N

Llevamos sobre esta diagonal la dada D + L , obteniendo el punto M por trazamos una paralela a la recta NB y tenemos el punto C que es el lado del cuadrado buscado

A B

DE

D'+L'

D+L

N

M

C

Por C trazamos el lado del cuadrado y tenemos el cuadrado que nos piden

A B

DE

D'+L'

D+L

N

M

L C

Ejercicio Nº 10Construir un rectángulo áureo

Se construye un cuadrado de lado igual al menor del rectángulo que queremos construir.

A B

CD

Se determina la mitad del lado AB punto 1 se traza una circunferencia de centro en 1 y radio 1C hasta B'

A B

CD

1B'

AB' es el lado del rectángulo buscado

A B

CD

1B'

C'

Ejercicio Nº 11División de la circunferencia en nueve partes iguales Se trazan dos diámetros perpendiculares AB y CD

C

B

A

D

Con centro en A trazamos el arco O2 y con centro en B trazamos el arco O1

C

B

O

A

1

2

D

3º Con centro en A trazamos el arco 1-3 y con centro en B el arco 2-3

C

B

A

1

2

3D

Desde 3 se traza el arco de radio 3-A que corta al diámetro CD en al punto P, el segmento CP es la novena parte de la circunferencia

C

B

O

A

1

2

3DL9 P

Se lleva el segmento CP sobre la circunferencia y obtenemos la división de la circunferencia en nueve partes o el eneágono

C

B

O

A

1

2

3DL9 P

Ejercicio Nº 12Construcción de un heptágono regular dado el lado l = 20

Trazamos la mediatriz del lado dado AB

A B

Se construye un ángulo de 30º grados, levantamos una perpendicular al lado por B

A B

1

30°

Con centro en A trazamos el arco 1-O siendo O el centro de la circunferencia circunscrita al polígono

O

A B

1

30°

Llevamos el lado AB sobre la circunferencia y tenemos la solución al problema

O

A B

1

30°

Ejercicio Nº 13Construcción de un octógono regular conociendo el lado l = 20Trazamos la mediatriz del lado dado

A B

2º Construimos un cuadrado auxiliar de lado dado l = 20

A B

CD

Se trazan las diagonales AC y BD que se cortan en el punto P se traza la circunferencia circunscrita al cuadrado que corta a la mediatriz al lado en el punto O, que es el centro de la circunferencia circunscrita del octógono .

A B

CD

O

P

Se traza la circunferencia de centro O y radio OA y llevamos el lado del octógono sobre ella

A B

CD

O

P

Ejercicio Nº 14Construir el eneágono regular a partir del lado dado l = 20

Construimos un triángulo equilátero de lado igual al lado dado, trazamos la altura

A B

M

Trazamos la bisectriz del ángulo A que corta a la altura en el punto N.

A B

N

M b

Se traza la circunferencia de centro M y radio MN que corta a las prolongaciones de los lados del triángulo en P y Q, unimos P y Q y donde esta recta corte a la prolongación de la altura punto O tenemos el centro de la circunferencia circunscrita al eneágono.

A B

N

M b

P QO

Trazamos la circunferencia de centro O y radio OA = OB

A B

N

M b

P QO

Llevamos el lado sobre la circunferencia y trazamos el polígono.

A B

N

M b

P QO

Ejercicio Nº 15

Construcción del decágono regular a partir del lado l = 20 Construimos el pentágono regular dado el lado l =20. trazamos por B la perpendicular, la mediatriz del lado AB, hacemos centro en B y con radio BA trazamos un arco que corta a la perpendicular por B en 1, con centro en el punto medio del lado AB se traza el arco 1-2, la distancia A-2 es el valor de la diagonal del pentágono, con centro en A y Radio A2 obtenemos el vértice superior del pentágono, hallamos los otros vértices

A B

1

2

El vértice superior O es el centro de la circunferencia circunscrita del decágono

B

1

2

O

Llevamos la medida del lado AB =20 m/m y construimos el decágono

A B

1

2

O

Ejercicio Nº 16Rectificación de la semicircunferencia

Se lleva el lado del cuadrado y del triángulo inscritos en la circunferencia y la suma es el valor de la semicircunferencia

nrL4 L3

Ejercicio Nº 16Rectificación de la semicircunferencia

Se construye un ángulo de 30º grados, llevamos tres veces el radio de la circunferencia punto BUnimos el punto anterior B con el C y esa es la longitud de la semicircunferencia

30°

3r

nr

A B

C