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Universidad Nacional de San Agustín
Facultad de Producción y Servicios
Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica
ECUACIONES DIFERENCIALES
CON COEFICIENTES VARIABLES
AREQUIPA – PERÚ
2008
Indice
1. Ecuación de Cauchy-Euler...................................................................................3
Método de Solución.................................................................................................3
Caso 1......................................................................................................................4
Caso 2......................................................................................................................5
Caso 3......................................................................................................................6
2. Soluciones en Serie de potencias en torno a un punto ordinario.........................8
3. Solución en Torno a Puntos Regulares – Método de Fröbenius........................12
Introducción............................................................................................................12
Método de Fröbenius.............................................................................................12
Teorema – Método de Fröbenius...........................................................................17
Caso 1....................................................................................................................17
Caso 2....................................................................................................................17
Caso 3....................................................................................................................18
4. Método de Fröbenius – Casos 2 y 3...................................................................19
Caso 2....................................................................................................................19
Resumen de resultados.........................................................................................19
5. Solución de la Ecuación de Bessel.....................................................................20
6. Solución de Ecuación de Legendre....................................................................21
1. ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER
A una ecuación diferencial de la forma siguiente se le llama Ecuación de
Cauchy-Euler o ecuación equidimensional. La característica obvia de este tipo
de ecuación es que el grado de los coeficientes polinomiales xk es igual al orden
de derivación en los términos dky/dxk, para los k=1,2,…,n.
Se empezará con una ecuación de segundo orden, como la que sigue.
Método de Solución
Se propone una solución del tipo y = xm, donde m debe ser determinado. La
primera y segunda derivadas son respectivamente,
Con lo que la ecuación diferencial queda de la forma:
Por lo tanto m se determina a través de la ecuación auxiliar:
am2 + (b–a) m + c = 0 (1)
Tenemos tres diferentes casos que debemos considerar, según las raíces de la ecuación
cuadrática sean reales y distintas, reales e iguales o complejas, que como sabemos
aparecen en pares conjugadas.
Caso 1.
Sean m1 y m2 las raíces reales de la ecuación auxiliar (1) y supongamos que son
diferentes. Entonces y = xm1, y = x m2 forman un conjunto fundamental de
soluciones. Por lo tanto la solución general es
Resolver la ecuación diferencial x2 y"+ 5xy '+ 3y = 0
Solución: Hacemos y = xm. Después de derivar y sustituir obtenemos la ecuación
auxiliar
y’=mxm-1 y”=m(m-1)xm-2
x2. m(m-1)xm-2+ 5x. mxm-1 + 3xm = 0
m(m+1) + 5m+ 3 = 0
Equivalente a m2 +4m+3 = 0, (m+3) (m+1) = 0, de aquí
m1 = -3 m2 = -1
De aquí, la solución será:
y = c1x-3+c2x-1
y = c1 xm1 + c2 x
Caso 2.
Si las raíces de (1) son repetidas, esto es m1 = m2, entonces tenemos solamente una
solución, digamos y = xm1. ¿Cómo podemos obtener la otra? Sabemos que cuando las
raíces de la ecuación cuadrática am2 + (b–a) m + c = 0 son iguales el discriminante de
los coeficientes es necesariamente cero. La raíz debe ser, por fórmula cuadrática: m1= –
(b–a)/2a. Escribimos la ecuación de Cauchy-Euler de la forma:
Podemos ahora construir una segunda solución como sigue usando la fórmula para
reducción de orden. Se identifica P(x) = b/ax:
Por lo tanto, la solución general es:
Resolver la ecuación
diferencial
Solución: La ecuación auxiliar es m (m-1)(m-2)-2m(m-1)+4m – 4 = 0 .
Después de multiplicar se reduce a m3-5m2+8m− 4 = 0. Al evaluar el polinomio
para m =1 obtenemos 0. De acuerdo al Teorema del Residuo, nos dice que el polinomio
es divisible por m-1.Haciendo la división por el método de división sintética obtenemos
m3-5m2+8m− 4 = (m−1)(m − 4m+ 4) = (m−1)(m− 2)(m− 2) = 0
De aquí m =1, m = 2, m = 2. La solución general será
y = c1x + c2x + c3x lnx
y = c1 xm1 + c2 x
Caso 3.
Cuando las raíces de (1) son los pares conjugados
m1 = + i, m2 = - i
Donde y 0 son reales. Así se obtiene la solución formal siguiente:
y = C1 x + i + C2 x – i
Sin embargo, al presentarse raíces complejas se trata de escribir la solución en términos de
funciones reales. Se realiza un ligero cambio
xi = (e lnx) i
Ahora se procede por fórmula de Euler, a un equivalente:
xi = cos ( ln x) + i sen ( ln x)
Reemplazando en la solución general para el Caso 3:
y = C1 x + i + C2 x – i
= x [C1 x i + C2 x –i]
= x [C1 {cos ( ln x) + i sen ( ln x)} + C2{cos ( ln x) - i sen ( ln x)}]
= x [(C1 + C2) cos ( ln x) + (C1 – C2) i sen( ln x)}]
En el intervalo 0<x<∞ se aplica que el conjunto fundamental de soluciones de
la Ecuación de Cauchy-Euler de Caso 3 es:
Resolver la ecuación diferencial x2y"-7xy '41y 0
Solución: La ecuación auxiliar es m (m-1)-7m + 41 = 0, equivalente a
m2 −8m+ 41 = 0
Aplicando la fórmula cuadrática obtenemos m = 4±5i
La solución general será y=x4(c1cos(5lnx) +c2sen(5lnx ))
Una ecuación de Cauchy-Euler puede ser transformada por la sustitución x= e t en
una ecuación diferencial con coeficientes constantes y puede ser resuelta por el
procedimiento conocido para resolver este tipo de ecuaciones.
y = x [c2 cos ( lnx) + c2 sen( lnx)]
Resolver la ecuación diferencial x2y"+10xy '+8y = x2
Solución: Mediante la sustitución x =e t
La última ecuación es una con coeficientes constantes, como y=emt, la ecuación
característica es m2 −8m+ 41 = 0, cuya solución es m1=-8, m2=-1,
yc=c1e-8t+c2e-t= c1x-8+c2x-1
La solución particular se logra haciendo y=Ae2t, resultando como solución
2. SOLUCIONES EN SERIE DE POTENCIAS EN TORNO A UN
PUNTO ORDINARIO
Supongamos la ecuación diferencial lineal de segundo orden
P(x)y” + Q(x)y’ + R(x)y = 0 1
o en forma canónica :
y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 2
Las funciones senx, cosx y ex son analíticas en todos sus puntos, así como
sumas, diferencias y productos de estas; el cociente será analítico en todos los
puntos donde el denominador es diferente de cero.
Según el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, la simple
continuidad de p(x) y q(x) en un entorno I de un x0, es suficiente para
garantizar la existencia de dos soluciones linealmente independientes de la
ecuación 2 en dicho entorno, así como para garantizar la existencia y unicidad
de solución del problema de valor inicial definido por 2 y las condiciones:
y(x0) = y0 , y´(x0) = b0 con x0 I
Definición
Un punto x0 se llama punto ordinario de 1 o 2 si las funciones y
son analíticas en x0, es decir, si p(x) y q(x) tienen desarrollos en
serie de Taylor en torno a x0 con radios respectivos de convergencia R1 y R2
no nulos.
Si P(x), Q(x), R(x) son polinomios, entonces x0 es punto ordinario de 1 si
y sólo si P(x0) 0 (siendo 1 no simplificable). Si x0 no es punto ordinario,
se llama punto singular de la ecuación 1 o 2.
Dado x0, este será un punto singular regular de 2 si:
- x0 es punto singular de 2.
- Ambas funciones (x-x0) P(x) y (x-x0)2Q(x) son analíticas en x0.
Los puntos que no son regulares se llaman irregulares.
Pero si además es x0 un punto ordinario de 1 ó 2, p(x) y q(x) no sólo son
continuas en I, sino analíticas. Y cabe preguntarse entonces si las soluciones de
tal ecuación heredarán dicha propiedad. Por tanto, si x0 es un punto ordinario de
1 , surgen las preguntas siguientes:
¿Existen soluciones analíticas de 1 en un entorno de x0 , es decir, soluciones
de la forma :
y =a0+ a1(x- x0) + a2(x- x0)2 +…+ an(x- x0) n +…
3
En caso afirmativo:
¿Cómo se obtienen los coeficientes an?
¿Dónde converge la serie 3?
Es importante responder a estas preguntas, pues sería absurdo intentar buscar
soluciones de la forma 3, si no existen. Si existen en I, pueden además derivarse
término a término en I.
Las respuestas a estas preguntas las da el siguiente teorema, que será
enunciado, pero no demostrado.
Teorema
Si x0 es un punto ordinario de 1 o 2 entonces la solución general de 1 en un
cierto entorno de x0 puede escribirse en la forma 2 y a su vez:
Siendo a0, a1 constantes arbitrarias e y1(x), y2(x) analíticas en un entorno I de
x0 y linealmente independientes en I.
El radio de convergencia de las series y1(x) e y2(x) es al menos tan grande
como el mínimo de los radios de convergencia de los desarrollos en serie de
p(x) y q(x) en torno a x0 (es decir, al menos igual a la distancia de x0 al punto
singular más próximo de la ecuación 1, sea dicho punto real o complejo)
Los coeficientes an de la serie 2 se obtienen en términos de a0 y a1,
sustituyendo la serie genérica en 1, (así como los desarrollos
de p(x) y q(x) si P(x), Q(x), R(x) no son polinomios) y procediendo por
coeficientes indeterminados.
Observaciones:
a) La serie solución puede converger con radio mayor que el indicado en el
teorema.
b) Si el punto ordinario es x0 0, pueden simplificarse las notaciones
trasladando x0 al origen, mediante el cambio x - x0 = t.
c) Según el teorema de existencia y unicidad, cada solución está determinada de
manera única por los valores y(x0) e y’(x0), es decir por a0 y a1. Por eso,
todos los coeficientes se obtienen en términos de a0 y a1.
d) El método para resolver una ecuación completa:
siendo x0 punto ordinario y h(x) analítica en x0, es análogo. En este caso,
también hay que desarrollar h(x) en serie de potencias en torno a x0, antes
de proceder por coeficientes indeterminados. También podría resolverse en
primer lugar la ecuación homogénea y actuar luego por variación de
constantes, o por reducción de orden.
e) Es claro que podría usarse un método semejante para ecuaciones diferenciales
lineales, de primer orden.
A continuación se presenta un ejemplo que aclarará el método y lo pondrá en
práctica:
Hallar la solución general de la ecuación diferencial ,
determinando dos soluciones linealmente independientes en serie
de potencias de x . Campo de validez de las mismas. En particular
obtener la solución tal que y(0) =1, y´(0) = 0.
Se tiene . Ambas analíticas en x0 = 0, con radios de convergencia
de sus respectivos desarrollos , es decir x0 = 0 es punto ordinario.
Luego, según el teorema anterior, existe solución de la ecuación en serie de
potencias de x, válida para todo x R.
Sea . Por tanto:
En la ecuación diferencial:
- - 0 en R
Término independiente:
Coeficiente de x:
…
Coeficiente de xn:
Ley de recurrencia:
Luego a0 y a1 son libres y
Por tanto:
y x ax x x
na x
x x x
n
a y x a y x x
n n
( )!! !!
...( )!!
...!! !!
...( )!!
...
( ) ( )
0
2 4 2
1
3 5 2 1
0 1 1 2
12 4 2 3 5 2 1
Solución particular:
Luego
3. SOLUCIÓN EN TORNO A PUNTOS REGULARES – MÉTODO DE
FRÖBENIUS
Introducción
Considere la ecuación diferencial homogénea:
P(x)y” + Q(x)y’ + R(x)y = 0 1
y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 2
Si x0 es punto ordinario de la ecuación (es decir: p(x) y q(x) (analíticas en x0),
se vio que ésta podría integrarse por el método de series de potencias en un
entorno reducido de x0 de la forma 3.
¿Y si x0 es punto singular de la ecuación? Un sistema físico regido por la
ecuación [1] suele ser especialmente interesante en un entorno de los puntos
singulares, porque la solución de [1] en un entorno de un x0 singular, es especial
de algún modo: por ejemplo, en muchos casos, tal solución experimenta cambios
rápidos de magnitud.
Determinar si x=0 es un punto singular de
x = 0 es punto singular.
Son soluciones
Ambas son linealmente independientes en todo
intervalo I, que no contenga a x = 0. La solución general en I
es: Cualquier solución con B 0, no es acotada en un entorno de x = 0.
Nota
A partir de ahora se supondrá que x=0, si este no es el caso, entonces el
cambio de variables t= x - x0 trasladará x0 al origen.
Método de Fröbenius
Considérese 1 o 2 con x=0 como punto singular regular, es decir xp(x) y
x2q(x) analíticas en x=0. Puede escribirse de la forma
x2y”+x [x (p(x)] y’+[x2q(x)]y=0 x2y”+x [A(x)] y’+[B(x)]y=0
Muy parecidas a la Ecuación de Cauchy-Euler x2y”+xy’+y=0, en la que se
buscaban soluciones del tipo xk. Inspirándose en esto y en el método de series
en torno a un punto ordinario, se plantea el siguiente teorema.
En este método, se intenta determinar λ, real o complejo, y para entenderlo, se
muestra el siguiente ejercicio.
Sea la ecuación: 2x2 y’’ – x y’ + (1 + x) y = 0
x=0 es punto singular regular, pues son
analíticas en x=0, con radios de convergencia de los respectivos desarrollos en
torno a x=0, los R1=R2=.
Se trata de estudiar cómo obtener una solución de la forma
suponiendo que existe. Por comodidad se va a considerar la solución en un cierto
intervalo J: 0<x<R. (Para buscar soluciones en -R<x<0, basta cambiar x por -
x en la ecuación diferencial y usar el mismo método).
En J puede escribirse . Por tanto también
, en J.
Sustituyendo en la ecuación diferencial:
– + + 0 en J.
Anulando todos los coeficientes:
Teorema
Si x=0 es un punto singular regular de [3] entonces la ecuación tiene por lo
menos una solución de la forma:
[4]
Donde λ y an (n =0,1,2,…) son constantes. Esta solución es válida en un
intervalo 0<x>R para algún número real R.
Coeficiente de xr:
…
Coeficiente de xn+r: n 1
Como a0 0, el coeficiente de xr se anula si y sólo si:
La expresión anterior es conocida como polinomio indicial, cuadrática en r. por su
naturaleza, podría presentar raíces reales o complejas.
Los restantes coeficientes se anularán si an cumple:
Obsérvese que es n 1
Obtenidos desde esta recurrencia los an (n=1, 2,...), la serie:
satisface a la ecuación diferencial :
Para r = r1 = 1:
Se obtiene:
Luego:
Es decir: , o sea:
Luego, tomando a0 = 1, se obtiene una solución particular:
Para r = r2 = ½ :
Se obtiene: aa
n n
a
n nnn n
1
12
1
2 2 1( )( ) ( )
Luego: aa
n nn
n
( )
( )!! !
1
2 10 , es decir: a
a
nn
n
( )
( )!
2
20
Por tanto, otra solución particular es:
Falta saber dónde convergen estas soluciones y si son linealmente
independientes en su campo de convergencia.
Obsérvese que:
= x > 0
= ,x > 0
Luego para x > 0 es:
Cambiando x por |x|, la solución válida x 0.
Observaciones tras el ejemplo
a) En la serie [4] de Fröbenius siempre se considera a0 0. No es restricción a la
generalidad, sino que significa que se toma r como la menor potencia de x
presente en la serie y a0 su coeficiente.
b) La ecuación indicial (obtenida al igualar a cero el coeficiente del término de menor
grado hallado al sustituir la serie genérica [4] en la ecuación), es siempre de 2º
grado. Luego tendrá dos raíces reales o complejas y en el primer caso, distintas o
iguales. Se designará por r1 a la mayor, si son reales.
c) Puede verse que la relación de recurrencia para los coeficientes, puede escribirse
siempre en la forma :
, siendo I(r) = 0 la ecuación indicial y
lineal en los aj (j =0,..., n-1) con coeficientes polinómicos
en r.
Luego si las raíces de I(r) = 0 son r1 y r2, distintas, el denominador I(n+r) no
se anula nunca para r = r1 y únicamente si r1-r2=n0 N, se anula para r=r2 ,
cuando n=n0, ya que entonces: I(n0+r2)=I(r1)=0.
Por tanto la relación de recurrencia siempre tiene sentido para r = r1, cualquiera
que sea n. Y para r = r2 también, si r1-r2 N. Si r1-r2=n0 N, se ha visto que
se anula el denominador de la recurrencia para ao(r2). Pero la relación de
recurrencia aún podrá tener sentido en este caso si también se anula el
numerador. Si no es así, sólo hay una solución de la ecuación, de la forma [4].
(Salvo múltiplos por escalar)
d) Si r1= r2 está claro que sólo tenemos una solución de la forma [4].
e) En los casos en que haya dos soluciones de la forma [4], linealmente
independientes en algún entorno reducido de x0=0, dichas soluciones se
obtienen siguiendo la línea marcada en el Ejemplo.
f) En los casos en que sólo pueda obtenerse una solución (y sus múltiplos) de la
forma [4] , siempre podría utilizarse la reducción de orden, para obtener una 2ª
solución, aunque los cálculos se hacen complejos si la 1ª solución está expresada
en la forma [4] y no puede sumarse la serie. Por ello será conveniente dar un
método para encontrar una 2ª solución, no necesariamente de la forma [2], e
independiente de la 1ª.
g) Si P(x) , Q(x) , R(x) son polinomios, es mejor trabajar directamente con la forma
[1], en lugar de [2].
El teorema que sigue, describe totalmente el método de Fröbenius. No será
demostrado, aunque buena parte de sus resultados aparecen justificados en las
observaciones anteriores.
Teorema – Método de Fröbenius
Sea la ecuación [2], con x = 0 punto singular regular, es
decir, que x p(x) y x2 q(x) son analíticas en x = 0, con radios de convergencia
respectivos R1 y R2.
Sean r1 y r2 las raíces de la ecuación indicial, siendo Re {r1} Re{r2}.
Entonces la ecuación diferencial tiene dos soluciones y1(x) e y2(x) válidas al
menos en 0<|x|<R=min{R1,R2}, linealmente independientes en dicho
entorno reducido de x = 0 y cuya forma depende de r1 y r2 según las normas
siguientes:
Siempre es
Los an(r) se obtienen por recurrencia, sustituyendo en [2] la serie [4]. Si se
designa por , entonces
La 2ª solución y2(x) se obtiene así:
Caso 1
Si r1≠r2 y r1-r2 N entonces
Es decir, .
Caso 2
Si r1= r2 entonces
(O bien, se escribe , y se procede por
coeficientes indeterminados para hallar las bn)
Caso 3
Si r1-r2 N resulta:
a) Si la relación de recurrencia tiene sentido para todo n y r = r2, la 2ª
solución, Es como en el caso B1.
b) Si no es así, y se designa por a:
Entonces:
(O bien, se escribe , b0= 1, y se
procede por
Coeficientes indeterminados para hallar K y las bn)”.
Notas:
a) Es mejor trabajar con y(x) = para x>0, y luego cambiar xr por |x|
r y lnx por ln|x|.
Si las raíces r1 y r2 son complejas, serán conjugadas. Se trabaja entonces en el
campo complejo y se obtiene la serie asociada a una de las raices. La parte real y
la parte imaginaria de dicha solución son dos soluciones linealmente
independientes en el campo real. La idea es simple, pero los cálculos son
incómodos.
4. MÉTODO DE FRÖBENIUS – CASOS 2 Y 3
Caso 2
Cuando las Raíces Indiciales son iguales
Resumen de resultados
En el teorema se establece en resumen:
1. La ecuación [1] con x=0 punto singular regular, tiene siempre al menos una
solución de la forma [4] para r = r1.
2. Si r2 r1 y r1 - r2 N , existe una 2ª solución de la forma [4] para r = r2.
3. En los casos en que no haya 2ª solución de la forma [4], puede encontrarse
una 2ª solución independiente de la 1ª, no en serie de Frobenius, conteniendo
un término logarítmico.
Se describe la forma de obtener estas soluciones y también el campo de validez
de las mismas.
5. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE BESSEL
La Ecuación de Bessel debe definirse luego de mencionar otra función especial,
formulada por Leonhard Euler en
Función Gamma Γ
La Función Gamma (representada por la letra mayúscula Γ) es una extensión de
la función factorial para los números reales y complejos. Para un número
complejo z con parte real positiva, se define como:
Funciones de Bessel
La funciones de Bessel de orden α vienen dadas por:
Las funciones de Bessel de primera especie y orden α son las soluciones de la
ecuación diferencial de Bessel que son finitas en el origen (x = 0) para enteros no
negativos α y divergen en el límite para α negativo no entero. El tipo de
solución y la normalización de Jα(x) están definidos por sus propiedades abajo
indicadas. Para las soluciones de orden entero es posible definir la función Jα(x)
por su expansión en serie de Taylor en torno a x = 0:
6. SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE LEGENDRE
La ecuación de Legendre de parámetro m 0 es:
(1-x2)y” – 2xy’ + m(m+1)y = 0 3
Se trata de hallar soluciones en serie de potencias de x, es decir en torno a x0=
0.
Sea Ambas analíticas en x0 = 0 con radio de
convergencia de los respectivos desarrollos: R1 = R2 = 1
Luego x0 = 0 es punto ordinario, existiendo solución en serie de potencias de x,
válida, al menos para x 1.
Sea . Sustituyendo en la ecuación:
- -2 + 0
Habrán de ser nulos los coeficientes de todas las potencias de x.
x0:
x1:
…
xn:
Luego:
Es decir: y = a0y1(x) + a1y2(x)
Si m = 0, 1, 2,... una de las dos series es un polinomio de grado m. Dichos
polinomios pn(x) son respectivamente:
p0 = 1 p1(x) = x p2(x) = 1 - 3 x2 p3(x) = x - x3…
Se llama polinomio de Legendre de orden m y se designa con Pm(x), a la
solución polinómica de la ecuación de Legendre de parámetro m ( o sea, el
múltiplo de pn(x), tal que Pm(1) = 1.
Será:
P0(x) = 1 P1(x) = x
Algunas propiedades: (Sin demostraciones)
Los polinomios de Legendre pueden darse mediante la fórmula de Rodrigues:
O mediante una función generadora, debida a Legendre:
También mediante fórmulas de recurrencia:
Cumplen la relación de ortogonalidad:
4
La ecuación de Legendre aparece en varios problemas de la Física dotados de
simetría esférica.
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