Universidad Nacional de San Agustín

Facultad de Producción y Servicios

Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica

ECUACIONES DIFERENCIALES

CON COEFICIENTES VARIABLES

AREQUIPA – PERÚ

2008

Indice

1. Ecuación de Cauchy-Euler...................................................................................3

Método de Solución.................................................................................................3

Caso 1......................................................................................................................4

Caso 2......................................................................................................................5

Caso 3......................................................................................................................6

2. Soluciones en Serie de potencias en torno a un punto ordinario.........................8

3. Solución en Torno a Puntos Regulares – Método de Fröbenius........................12

Introducción............................................................................................................12

Método de Fröbenius.............................................................................................12

Teorema – Método de Fröbenius...........................................................................17

Caso 1....................................................................................................................17

Caso 2....................................................................................................................17

Caso 3....................................................................................................................18

4. Método de Fröbenius – Casos 2 y 3...................................................................19

Caso 2....................................................................................................................19

Resumen de resultados.........................................................................................19

5. Solución de la Ecuación de Bessel.....................................................................20

6. Solución de Ecuación de Legendre....................................................................21

1. ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER

A una ecuación diferencial de la forma siguiente se le llama Ecuación de

Cauchy-Euler o ecuación equidimensional. La característica obvia de este tipo

de ecuación es que el grado de los coeficientes polinomiales xk es igual al orden

de derivación en los términos dky/dxk, para los k=1,2,…,n.

Se empezará con una ecuación de segundo orden, como la que sigue.

Método de Solución

Se propone una solución del tipo y = xm, donde m debe ser determinado. La

primera y segunda derivadas son respectivamente,

Con lo que la ecuación diferencial queda de la forma:

Por lo tanto m se determina a través de la ecuación auxiliar:

am2 + (b–a) m + c = 0 (1)

Tenemos tres diferentes casos que debemos considerar, según las raíces de la ecuación

cuadrática sean reales y distintas, reales e iguales o complejas, que como sabemos

aparecen en pares conjugadas.

Caso 1.

Sean m1 y m2 las raíces reales de la ecuación auxiliar (1) y supongamos que son

diferentes. Entonces y = xm1, y = x m2 forman un conjunto fundamental de

soluciones. Por lo tanto la solución general es

Resolver la ecuación diferencial x2 y"+ 5xy '+ 3y = 0

Solución: Hacemos y = xm. Después de derivar y sustituir obtenemos la ecuación

auxiliar

y’=mxm-1 y”=m(m-1)xm-2

x2. m(m-1)xm-2+ 5x. mxm-1 + 3xm = 0

m(m+1) + 5m+ 3 = 0

Equivalente a m2 +4m+3 = 0, (m+3) (m+1) = 0, de aquí

m1 = -3 m2 = -1

De aquí, la solución será:

y = c1x-3+c2x-1

y = c1 xm1 + c2 x

Caso 2.

Si las raíces de (1) son repetidas, esto es m1 = m2, entonces tenemos solamente una

solución, digamos y = xm1. ¿Cómo podemos obtener la otra? Sabemos que cuando las

raíces de la ecuación cuadrática am2 + (b–a) m + c = 0 son iguales el discriminante de

los coeficientes es necesariamente cero. La raíz debe ser, por fórmula cuadrática: m1= –

(b–a)/2a. Escribimos la ecuación de Cauchy-Euler de la forma:

Podemos ahora construir una segunda solución como sigue usando la fórmula para

reducción de orden. Se identifica P(x) = b/ax:

Por lo tanto, la solución general es:

Resolver la ecuación

diferencial

Solución: La ecuación auxiliar es m (m-1)(m-2)-2m(m-1)+4m – 4 = 0 .

Después de multiplicar se reduce a m3-5m2+8m− 4 = 0. Al evaluar el polinomio

para m =1 obtenemos 0. De acuerdo al Teorema del Residuo, nos dice que el polinomio

es divisible por m-1.Haciendo la división por el método de división sintética obtenemos

m3-5m2+8m− 4 = (m−1)(m − 4m+ 4) = (m−1)(m− 2)(m− 2) = 0

De aquí m =1, m = 2, m = 2. La solución general será

y = c1x + c2x + c3x lnx

y = c1 xm1 + c2 x

Caso 3.

Cuando las raíces de (1) son los pares conjugados

m1 = + i, m2 = - i

Donde y 0 son reales. Así se obtiene la solución formal siguiente:

y = C1 x + i + C2 x – i

Sin embargo, al presentarse raíces complejas se trata de escribir la solución en términos de

funciones reales. Se realiza un ligero cambio

xi = (e lnx) i

Ahora se procede por fórmula de Euler, a un equivalente:

xi = cos ( ln x) + i sen ( ln x)

Reemplazando en la solución general para el Caso 3:

y = C1 x + i + C2 x – i

= x [C1 x i + C2 x –i]

= x [C1 {cos ( ln x) + i sen ( ln x)} + C2{cos ( ln x) - i sen ( ln x)}]

= x [(C1 + C2) cos ( ln x) + (C1 – C2) i sen( ln x)}]

En el intervalo 0<x<∞ se aplica que el conjunto fundamental de soluciones de

la Ecuación de Cauchy-Euler de Caso 3 es:

Resolver la ecuación diferencial x2y"-7xy '41y 0

Solución: La ecuación auxiliar es m (m-1)-7m + 41 = 0, equivalente a

m2 −8m+ 41 = 0

Aplicando la fórmula cuadrática obtenemos m = 4±5i

La solución general será y=x4(c1cos(5lnx) +c2sen(5lnx ))

Una ecuación de Cauchy-Euler puede ser transformada por la sustitución x= e t en

una ecuación diferencial con coeficientes constantes y puede ser resuelta por el

procedimiento conocido para resolver este tipo de ecuaciones.

y = x [c2 cos ( lnx) + c2 sen( lnx)]

Resolver la ecuación diferencial x2y"+10xy '+8y = x2

Solución: Mediante la sustitución x =e t

La última ecuación es una con coeficientes constantes, como y=emt, la ecuación

característica es m2 −8m+ 41 = 0, cuya solución es m1=-8, m2=-1,

yc=c1e-8t+c2e-t= c1x-8+c2x-1

La solución particular se logra haciendo y=Ae2t, resultando como solución

2. SOLUCIONES EN SERIE DE POTENCIAS EN TORNO A UN

PUNTO ORDINARIO

Supongamos la ecuación diferencial lineal de segundo orden

P(x)y” + Q(x)y’ + R(x)y = 0 1

o en forma canónica :

y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 2

Las funciones senx, cosx y ex son analíticas en todos sus puntos, así como

sumas, diferencias y productos de estas; el cociente será analítico en todos los

puntos donde el denominador es diferente de cero.

Según el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, la simple

continuidad de p(x) y q(x) en un entorno I de un x0, es suficiente para

garantizar la existencia de dos soluciones linealmente independientes de la

ecuación 2 en dicho entorno, así como para garantizar la existencia y unicidad

de solución del problema de valor inicial definido por 2 y las condiciones:

y(x0) = y0 , y´(x0) = b0 con x0 I

Definición

Un punto x0 se llama punto ordinario de 1 o 2 si las funciones y

son analíticas en x0, es decir, si p(x) y q(x) tienen desarrollos en

serie de Taylor en torno a x0 con radios respectivos de convergencia R1 y R2

no nulos.

Si P(x), Q(x), R(x) son polinomios, entonces x0 es punto ordinario de 1 si

y sólo si P(x0) 0 (siendo 1 no simplificable). Si x0 no es punto ordinario,

se llama punto singular de la ecuación 1 o 2.

Dado x0, este será un punto singular regular de 2 si:

- x0 es punto singular de 2.

- Ambas funciones (x-x0) P(x) y (x-x0)2Q(x) son analíticas en x0.

Los puntos que no son regulares se llaman irregulares.

Pero si además es x0 un punto ordinario de 1 ó 2, p(x) y q(x) no sólo son

continuas en I, sino analíticas. Y cabe preguntarse entonces si las soluciones de

tal ecuación heredarán dicha propiedad. Por tanto, si x0 es un punto ordinario de

1 , surgen las preguntas siguientes:

¿Existen soluciones analíticas de 1 en un entorno de x0 , es decir, soluciones

de la forma :

y =a0+ a1(x- x0) + a2(x- x0)2 +…+ an(x- x0) n +…

3

En caso afirmativo:

¿Cómo se obtienen los coeficientes an?

¿Dónde converge la serie 3?

Es importante responder a estas preguntas, pues sería absurdo intentar buscar

soluciones de la forma 3, si no existen. Si existen en I, pueden además derivarse

término a término en I.

Las respuestas a estas preguntas las da el siguiente teorema, que será

enunciado, pero no demostrado.

Teorema

Si x0 es un punto ordinario de 1 o 2 entonces la solución general de 1 en un

cierto entorno de x0 puede escribirse en la forma 2 y a su vez:

Siendo a0, a1 constantes arbitrarias e y1(x), y2(x) analíticas en un entorno I de

x0 y linealmente independientes en I.

El radio de convergencia de las series y1(x) e y2(x) es al menos tan grande

como el mínimo de los radios de convergencia de los desarrollos en serie de

p(x) y q(x) en torno a x0 (es decir, al menos igual a la distancia de x0 al punto

singular más próximo de la ecuación 1, sea dicho punto real o complejo)

Los coeficientes an de la serie 2 se obtienen en términos de a0 y a1,

sustituyendo la serie genérica en 1, (así como los desarrollos

de p(x) y q(x) si P(x), Q(x), R(x) no son polinomios) y procediendo por

coeficientes indeterminados.

Observaciones:

a) La serie solución puede converger con radio mayor que el indicado en el

teorema.

b) Si el punto ordinario es x0 0, pueden simplificarse las notaciones

trasladando x0 al origen, mediante el cambio x - x0 = t.

c) Según el teorema de existencia y unicidad, cada solución está determinada de

manera única por los valores y(x0) e y’(x0), es decir por a0 y a1. Por eso,

todos los coeficientes se obtienen en términos de a0 y a1.

d) El método para resolver una ecuación completa:

siendo x0 punto ordinario y h(x) analítica en x0, es análogo. En este caso,

también hay que desarrollar h(x) en serie de potencias en torno a x0, antes

de proceder por coeficientes indeterminados. También podría resolverse en

primer lugar la ecuación homogénea y actuar luego por variación de

constantes, o por reducción de orden.

e) Es claro que podría usarse un método semejante para ecuaciones diferenciales

lineales, de primer orden.

A continuación se presenta un ejemplo que aclarará el método y lo pondrá en

práctica:

Hallar la solución general de la ecuación diferencial ,

determinando dos soluciones linealmente independientes en serie

de potencias de x . Campo de validez de las mismas. En particular

obtener la solución tal que y(0) =1, y´(0) = 0.

Se tiene . Ambas analíticas en x0 = 0, con radios de convergencia

de sus respectivos desarrollos , es decir x0 = 0 es punto ordinario.

Luego, según el teorema anterior, existe solución de la ecuación en serie de

potencias de x, válida para todo x R.

Sea . Por tanto:

En la ecuación diferencial:

- - 0 en R

Término independiente:

Coeficiente de x:

…

Coeficiente de xn:

Ley de recurrencia:

Luego a0 y a1 son libres y

Por tanto:

y x ax x x

na x

x x x

n

a y x a y x x

n n

( )!! !!

...( )!!

...!! !!

...( )!!

...

( ) ( )

0

2 4 2

1

3 5 2 1

0 1 1 2

12 4 2 3 5 2 1

Solución particular:

Luego

3. SOLUCIÓN EN TORNO A PUNTOS REGULARES – MÉTODO DE

FRÖBENIUS

Introducción

Considere la ecuación diferencial homogénea:

P(x)y” + Q(x)y’ + R(x)y = 0 1

y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 2

Si x0 es punto ordinario de la ecuación (es decir: p(x) y q(x) (analíticas en x0),

se vio que ésta podría integrarse por el método de series de potencias en un

entorno reducido de x0 de la forma 3.

¿Y si x0 es punto singular de la ecuación? Un sistema físico regido por la

ecuación [1] suele ser especialmente interesante en un entorno de los puntos

singulares, porque la solución de [1] en un entorno de un x0 singular, es especial

de algún modo: por ejemplo, en muchos casos, tal solución experimenta cambios

rápidos de magnitud.

Determinar si x=0 es un punto singular de

x = 0 es punto singular.

Son soluciones

Ambas son linealmente independientes en todo

intervalo I, que no contenga a x = 0. La solución general en I

es: Cualquier solución con B 0, no es acotada en un entorno de x = 0.

Nota

A partir de ahora se supondrá que x=0, si este no es el caso, entonces el

cambio de variables t= x - x0 trasladará x0 al origen.

Método de Fröbenius

Considérese 1 o 2 con x=0 como punto singular regular, es decir xp(x) y

x2q(x) analíticas en x=0. Puede escribirse de la forma

x2y”+x [x (p(x)] y’+[x2q(x)]y=0 x2y”+x [A(x)] y’+[B(x)]y=0

Muy parecidas a la Ecuación de Cauchy-Euler x2y”+xy’+y=0, en la que se

buscaban soluciones del tipo xk. Inspirándose en esto y en el método de series

en torno a un punto ordinario, se plantea el siguiente teorema.

En este método, se intenta determinar λ, real o complejo, y para entenderlo, se

muestra el siguiente ejercicio.

Sea la ecuación: 2x2 y’’ – x y’ + (1 + x) y = 0

x=0 es punto singular regular, pues son

analíticas en x=0, con radios de convergencia de los respectivos desarrollos en

torno a x=0, los R1=R2=.

Se trata de estudiar cómo obtener una solución de la forma

suponiendo que existe. Por comodidad se va a considerar la solución en un cierto

intervalo J: 0<x<R. (Para buscar soluciones en -R<x<0, basta cambiar x por -

x en la ecuación diferencial y usar el mismo método).

En J puede escribirse . Por tanto también

, en J.

Sustituyendo en la ecuación diferencial:

– + + 0 en J.

Anulando todos los coeficientes:

Teorema

Si x=0 es un punto singular regular de [3] entonces la ecuación tiene por lo

menos una solución de la forma:

[4]

Donde λ y an (n =0,1,2,…) son constantes. Esta solución es válida en un

intervalo 0<x>R para algún número real R.

Coeficiente de xr:

…

Coeficiente de xn+r: n 1

Como a0 0, el coeficiente de xr se anula si y sólo si:

La expresión anterior es conocida como polinomio indicial, cuadrática en r. por su

naturaleza, podría presentar raíces reales o complejas.

Los restantes coeficientes se anularán si an cumple:

Obsérvese que es n 1

Obtenidos desde esta recurrencia los an (n=1, 2,...), la serie:

satisface a la ecuación diferencial :

Para r = r1 = 1:

Se obtiene:

Luego:

Es decir: , o sea:

Luego, tomando a0 = 1, se obtiene una solución particular:

Para r = r2 = ½ :

Se obtiene: aa

n n

a

n nnn n

1

12

1

2 2 1( )( ) ( )

Luego: aa

n nn

n

( )

( )!! !

1

2 10 , es decir: a

a

nn

n

( )

( )!

2

20

Por tanto, otra solución particular es:

Falta saber dónde convergen estas soluciones y si son linealmente

independientes en su campo de convergencia.

Obsérvese que:

= x > 0

= ,x > 0

Luego para x > 0 es:

Cambiando x por |x|, la solución válida x 0.

Observaciones tras el ejemplo

a) En la serie [4] de Fröbenius siempre se considera a0 0. No es restricción a la

generalidad, sino que significa que se toma r como la menor potencia de x

presente en la serie y a0 su coeficiente.

b) La ecuación indicial (obtenida al igualar a cero el coeficiente del término de menor

grado hallado al sustituir la serie genérica [4] en la ecuación), es siempre de 2º

grado. Luego tendrá dos raíces reales o complejas y en el primer caso, distintas o

iguales. Se designará por r1 a la mayor, si son reales.

c) Puede verse que la relación de recurrencia para los coeficientes, puede escribirse

siempre en la forma :

, siendo I(r) = 0 la ecuación indicial y

lineal en los aj (j =0,..., n-1) con coeficientes polinómicos

en r.

Luego si las raíces de I(r) = 0 son r1 y r2, distintas, el denominador I(n+r) no

se anula nunca para r = r1 y únicamente si r1-r2=n0 N, se anula para r=r2 ,

cuando n=n0, ya que entonces: I(n0+r2)=I(r1)=0.

Por tanto la relación de recurrencia siempre tiene sentido para r = r1, cualquiera

que sea n. Y para r = r2 también, si r1-r2 N. Si r1-r2=n0 N, se ha visto que

se anula el denominador de la recurrencia para ao(r2). Pero la relación de

recurrencia aún podrá tener sentido en este caso si también se anula el

numerador. Si no es así, sólo hay una solución de la ecuación, de la forma [4].

(Salvo múltiplos por escalar)

d) Si r1= r2 está claro que sólo tenemos una solución de la forma [4].

e) En los casos en que haya dos soluciones de la forma [4], linealmente

independientes en algún entorno reducido de x0=0, dichas soluciones se

obtienen siguiendo la línea marcada en el Ejemplo.

f) En los casos en que sólo pueda obtenerse una solución (y sus múltiplos) de la

forma [4] , siempre podría utilizarse la reducción de orden, para obtener una 2ª

solución, aunque los cálculos se hacen complejos si la 1ª solución está expresada

en la forma [4] y no puede sumarse la serie. Por ello será conveniente dar un

método para encontrar una 2ª solución, no necesariamente de la forma [2], e

independiente de la 1ª.

g) Si P(x) , Q(x) , R(x) son polinomios, es mejor trabajar directamente con la forma

[1], en lugar de [2].

El teorema que sigue, describe totalmente el método de Fröbenius. No será

demostrado, aunque buena parte de sus resultados aparecen justificados en las

observaciones anteriores.

Teorema – Método de Fröbenius

Sea la ecuación [2], con x = 0 punto singular regular, es

decir, que x p(x) y x2 q(x) son analíticas en x = 0, con radios de convergencia

respectivos R1 y R2.

Sean r1 y r2 las raíces de la ecuación indicial, siendo Re {r1} Re{r2}.

Entonces la ecuación diferencial tiene dos soluciones y1(x) e y2(x) válidas al

menos en 0<|x|<R=min{R1,R2}, linealmente independientes en dicho

entorno reducido de x = 0 y cuya forma depende de r1 y r2 según las normas

siguientes:

Siempre es

Los an(r) se obtienen por recurrencia, sustituyendo en [2] la serie [4]. Si se

designa por , entonces

La 2ª solución y2(x) se obtiene así:

Caso 1

Si r1≠r2 y r1-r2 N entonces

Es decir, .

Caso 2

Si r1= r2 entonces

(O bien, se escribe , y se procede por

coeficientes indeterminados para hallar las bn)

Caso 3

Si r1-r2 N resulta:

a) Si la relación de recurrencia tiene sentido para todo n y r = r2, la 2ª

solución, Es como en el caso B1.

b) Si no es así, y se designa por a:

Entonces:

(O bien, se escribe , b0= 1, y se

procede por

Coeficientes indeterminados para hallar K y las bn)”.

Notas:

a) Es mejor trabajar con y(x) = para x>0, y luego cambiar xr por |x|

r y lnx por ln|x|.

Si las raíces r1 y r2 son complejas, serán conjugadas. Se trabaja entonces en el

campo complejo y se obtiene la serie asociada a una de las raices. La parte real y

la parte imaginaria de dicha solución son dos soluciones linealmente

independientes en el campo real. La idea es simple, pero los cálculos son

incómodos.

4. MÉTODO DE FRÖBENIUS – CASOS 2 Y 3

Caso 2

Cuando las Raíces Indiciales son iguales

Resumen de resultados

En el teorema se establece en resumen:

1. La ecuación [1] con x=0 punto singular regular, tiene siempre al menos una

solución de la forma [4] para r = r1.

2. Si r2 r1 y r1 - r2 N , existe una 2ª solución de la forma [4] para r = r2.

3. En los casos en que no haya 2ª solución de la forma [4], puede encontrarse

una 2ª solución independiente de la 1ª, no en serie de Frobenius, conteniendo

un término logarítmico.

Se describe la forma de obtener estas soluciones y también el campo de validez

de las mismas.

5. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE BESSEL

La Ecuación de Bessel debe definirse luego de mencionar otra función especial,

formulada por Leonhard Euler en

Función Gamma Γ

La Función Gamma (representada por la letra mayúscula Γ) es una extensión de

la función factorial para los números reales y complejos. Para un número

complejo z con parte real positiva, se define como:

Funciones de Bessel

La funciones de Bessel de orden α vienen dadas por:

Las funciones de Bessel de primera especie y orden α son las soluciones de la

ecuación diferencial de Bessel que son finitas en el origen (x = 0) para enteros no

negativos α y divergen en el límite para α negativo no entero. El tipo de

solución y la normalización de Jα(x) están definidos por sus propiedades abajo

indicadas. Para las soluciones de orden entero es posible definir la función Jα(x)

por su expansión en serie de Taylor en torno a x = 0:

6. SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE LEGENDRE

La ecuación de Legendre de parámetro m 0 es:

(1-x2)y” – 2xy’ + m(m+1)y = 0 3

Se trata de hallar soluciones en serie de potencias de x, es decir en torno a x0=

0.

Sea Ambas analíticas en x0 = 0 con radio de

convergencia de los respectivos desarrollos: R1 = R2 = 1

Luego x0 = 0 es punto ordinario, existiendo solución en serie de potencias de x,

válida, al menos para x 1.

Sea . Sustituyendo en la ecuación:

- -2 + 0

Habrán de ser nulos los coeficientes de todas las potencias de x.

x0:

x1:

…

xn:

Luego:

Es decir: y = a0y1(x) + a1y2(x)

Si m = 0, 1, 2,... una de las dos series es un polinomio de grado m. Dichos

polinomios pn(x) son respectivamente:

p0 = 1 p1(x) = x p2(x) = 1 - 3 x2 p3(x) = x - x3…

Se llama polinomio de Legendre de orden m y se designa con Pm(x), a la

solución polinómica de la ecuación de Legendre de parámetro m ( o sea, el

múltiplo de pn(x), tal que Pm(1) = 1.

Será:

P0(x) = 1 P1(x) = x

Algunas propiedades: (Sin demostraciones)

Los polinomios de Legendre pueden darse mediante la fórmula de Rodrigues:

O mediante una función generadora, debida a Legendre:

También mediante fórmulas de recurrencia:

Cumplen la relación de ortogonalidad:

4

La ecuación de Legendre aparece en varios problemas de la Física dotados de

simetría esférica.