divisibilidad ii(crietrios de divisibilidad)

Prof. Jenner Huamán Callirgos

Adivinar una cifra: (UN JUEGO)

Pedir a cada uno de los estudiantes que:

1) Escriban un número de varias cifras.2) Luego, a éste número restarle la suma de sus cifras.3) De la diferencia obtenida, pedirles que tarjen una de

las cifras pero que no sea cero.4) Si nos dan como dato, la suma de las cifras

restantes de la diferencia, nosotros podemos“adivinar” la cifra que tarjaron.¿Cómo?

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Llamamos Criterios de Divisibilidad a ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral permitirán determinar su divisibilidad respecto a cierto módulo.

DIVISIBILIDAD POR 2. (21):Un número es divisible por 2 cuando termina en cifra par o encero.

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 20

e = 0; 2; 4; 6; 8

Ejemplo

Si , calcule la suma de los valores de a, sabiendo que a es positivo.

)235(𝑎𝑎 + 1 = 20

Resolución

DIVISIBILIDAD POR 4. (22):Un número es divisible por 4 cuando el número formado porsus dos últimas cifras es múltiplo de 4 o si termina en doscifras cero.

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 40

𝑎𝑎𝑎𝑎 = 40

𝑎𝑎𝑎𝑎 = 00; 04; 08; 12; … ; 96Otra forma:

•Si:4a431 = ¿Cuánto suman todos los posibles valores de “a”?

Ejemplo

Resolución

DIVISIBILIDAD POR 8. (23):Un número es divisible por 8 cuando el número formado por sustres últimas cifras es múltiplo de 8 o si termina en tres cifras cero.

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 80

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 80

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 000; 008; 016; … ; 992Otra forma:

•Si: , hallar el valor de “a”

Ejemplo

Resolución

8a63aa =

DIVISIBILIDAD POR 3 Ó 9

Un número es divisible por 3 (ó 9) cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3 (ó de 9).

3=abcde

9=abcde

𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 = 30

𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 = 90

•Calcular el valor de “a” si:

97142 =aa

Ejemplo

Resolución

DIVISIBILIDAD POR 5. (51):Un número es divisible por 5 cuando termina en cifra cinco o cero.

e= 0; 5𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 50

↔

Ejemplo36a7 =

5bca4 =•Hallar el valor de “a” si: y

Resolución

Divisibilidad por 25. (52):Un número es divisible por 25 cuando el número formado por susdos últimas cifras es múltiplo de 25 o si termina en dos cifras cero.

0

25=abcde 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 250

𝑎𝑎𝑎𝑎 =00,25,50,75

Divisibilidad por 125 . (53):Un número es divisible por 125 cuando el número formado por sustres últimas cifras es divisible por 125 o si termina en tres cifrascero.

0

125=abcde 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 1250

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 =000,125,250;…;875

•Si el número , es divisible entre 125. ¿Cuál es el valorde a?

0

125=abcdeEjemplo

Resolución

Divisibilidad por 7:Cuando al número dado se multiplican las cifras tomadas dederecha a izquierda por los factores1, 3, 2; luego por estosmismos pero con signo contrario; así sucesivamente. Elresultado de la suma algebraica deberá ser múltiplo de 7.

0

7=abcdefgh 3a + 1b − 2c − 3d − 1e + 2f + 3g + 1h = 70

+-+

3 1 2 3 1 2 3 1

Ejemplo

Resolución

•Determinar el valor de “x” para que:

7336 =xx

Divisibilidad por 11:Cuando al número dado se suman las cifras intercaladas dederecha a izquierda y a esta suma se le resta la suma de lasotras cifras, el resultado deberá ser múltiplo de 11, en casocontrario dicho resultado nos indica el residuo entre 11.

0

11=abcdef -a+b-c+d-e+f= 110

- + - + - +

Ejemplo

Resolución

¿Cuál es el valor que debe tomar “ y “ para que el numeral 17y14sea divisible entre 11?

Divisibilidad por 13:Un numeral es divisible entre 13 y si al multiplicar a cada una desus cifras (a partir de la derecha) 1, -3, -4, -1, 3, 4, 1, -3, -4, … yluego efectuar, la suma algebraica resultante es divisible entre13.

0

13=abcdefgh −3a + 1b + 4c + 3d − 1e − 4f − 3g + 1h = 130

+ +--3 1 4 3 1 4 3 1

Ejemplo

Resolución

¿Qué valor debe tomar “b” en el numeral si esdivisible entre 13?

306b128

•Si:

1435b9aa = .Hallar: a – b

Ejemplo

Resolución

DIVISIBILIDAD POR 33 y 99:

0

33=abcdef 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑒𝑒 = 330

𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑒𝑒 = 990

El número de la forma: . Hallar: a - b

Ejemplo

Resolución

8𝑎𝑎𝑎𝑎432 = 990

Algo Importante

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 − 10

+ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 + 10

− 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 − 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛 =𝑛𝑛0

+ 𝑎𝑎

APLICACIONES

1. El profesor le dijo a Pablo que escribiera en la pizarra el número1234567, y luego le pidió que borre tres cifras de tal manera que elnúmero que quede escrito en la pizarra sea múltiplo de 6, y sea elmayor posible. Calcule la suma de las cifras del número que quedóescrito en la pizarra.

Resolución

Rpta.: 18

2. ¿Cuántos números naturales n satisfacen las siguientescondiciones a la vez?a) n es par.b) n deja residuo 1 al ser dividido entre 5.c) n es múltiplo de 7.d) n es menor que 1000.e) La suma de los dígitos de n es 23.

Resolución

Rpta.: 1, el único númeroque cumple es 896.

3. Luis hace una lista con todos los números pares de cuatro dígitosque tiene la forma tales que a + b + c es múltiplo de d.Calcule la diferencia entre el mayor número y el menor número de lalista de Luis.

𝑁𝑁 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

Resolución

Rpta.: 8970

4. Halle el mayor número formado por cuatro dígitos distintos, quesea divisible por cada uno de los dígitos.

Resolución

Rpta.: 9864

5. ¿Cuántos enteros positivos de cuatro cifras terminan en 36 y sonmúltiplos de 36?

Resolución

Rpta.: 10

6. El número de la forma:

Resolución

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎. . . =9º+2

40 cifras

Hallar el valor de “a”a) 8 b) 4 c) 5 d) 3 e) 2

7. ¿Cuál es el resto de dividir

Resolución

44444 … 4 entre 7

200 cifras

a) 0 b) 2 c) 5 d) 3 e) 4

8. Halle x, si

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 8 = 𝑛𝑛𝑛𝑛46 7 + 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 9

a) 7 b) 2 c) 6 d) 3 e) 4

Resolución

9. Si al cuadrado del menor número de 4 cifras consecutivos ymúltiplo de 9 se le divide entre 7, el residuo es:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Resolución

10. Tenemos el menor número conformado solo por cifras pares talque la suma de sus cifras coincide con el número que representa elaño 2018 ¿Cuál será el resto de dividir dicho número entre 7?a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Resolución

11. Si , halle el residuo al dividir

entre 8

a) 0 b) 1 c) 3 d) 4 e) 2

Resolución

𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 3

𝐸𝐸 = 𝑚𝑚𝑛𝑛12(7)

+ 𝑚𝑚𝑛𝑛34(7)

+ 𝑚𝑚𝑛𝑛56(7)

12. Si durante el mes de diciembre, Fabrizio visita a su abuelita losdías que son múltiplos de 5 y visita a su tía los días que sonmúltiplos de 3, ¿cuántas veces durante este mes visita a su tía o asu abuelita?a) 13 b) 16 c) 8 d) 11 e) 14

Resolución

Continuará…