distribuciones continuas.pptx

8. Distribuciones continuas

1

Transformaciones de variables aleatorias

restoelen

xxxf

0112/3

)(2

1111

)1(2/110

)( 3

xxxx

xF

2/)()(

2)(2)(

1 yywyux

xxuyXXuY

Densidad

Distribución

Transformación o cambio de variable aleatoria

¿Cuál será la función de densidad de probabilidad transformada g(y)?

2

21)2/(

21)2/(')(')(

)2/()2/()2()()(

yfyFyGyg

yFyXPyXPyYPyG

restoelen

yyyg

02216/3

)(2

2221

]1)2/[(2/120

)( 3

yy

yy

yG

3

Probemos ahora con una transformación que no sea biyectiva, como:

yywyux

xxuy

XXuY

)()(

)(

)(

1

2

2

yyf

yyf

yyF

yyFyGyg

yFyF

yXyPyXPyYPyG

21)(

21)(

21)('

21)(')(')(

)()(

)()()()( 2

4

restoelen

yyyg

0102/3

)(

1011

00)(

y

yyyy

yG

5

Distribución log-normal Log-N(,)Se trata de la densidad de probabilidad de una variable log x distribuida según una función normal:

XeYNX ),(

yyf

yyFyGyg

yFyXPyePyYPyG X

1)(log1)(log')(')(

)(log)log()()()(

0;2

)(logexp121)( 2

2

yyy

yg

6

7

8

9

Distribución exponencial Exp ()

La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Que recordemos era:

...,,,xppxXPpG x 210 ,1)()(

Describe procesos en los que nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre un determinado evento, sabiendo que el tiempo que puede transcurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido

anteriormente. 10

Distribución exponencial Exp ()

Ejemplos de este tipo de distribuciones son: el tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse (datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14) o el tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente.

11

Distribución exponencial Exp ()En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos "sucesos raros" consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante (o una coz de burro, recuerda...) 12

0 ,0 para )( xexf x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.01.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1

)(

0

0

x

x

e

dxedxxf

Distribución exponencial Exp ()

1

0

dxex xVida media

13

xxtx t eedte 100

Distribución exponencial Exp ()

0,00,1

)(x

xexF

x

14

15

16

Relación entre la distribución de Poisson y la exponencial

Entre las distribuciones de Poisson y Exponencial existen importantes relaciones.

• Distribución de Poisson: Sea Y una P( ) que representa el número de llegadas en un intervalo de tiempo fijo. Recuerda que es la esperanza de esta distribución.

• Distribución exponencial: En este mismo problema consideramos ahora el tiempo que transcurre entre dos llegadas. Sea X la v.a que representa dicho tiempo. Se puede demostrar que entonces X se distrubuye como una Exponencial().

Propiedad de ‘falta de memoria’ de la

distribución exponencial • Se dice que la distribución exponencial no tiene memoria.

Esto es

para todo s, t 0.• Interpretación: Supongamos que queremos determinar la

probabilidad de que llegue un cliente en la próxima media hora. Esta propiedad nos dice que nos da igual conocer cuando llegó el último cliente o calcular directamente cuál es la prob. De que llegue en los prox. 30 min SIN tener en cuenta el pasado.

).()|( sXPtXtsXP

El tiempo en que un producto está de moda en su mercado se distribuye como una exponencial de parámetro 8 meses.Si sabemos que ya lleva 5 de moda, ¿cuál es la probabilidad de que dure 10 más?• Sea X: tiempo que el producto está de moda. Nos

piden:

• Por la propiedad de ausencia de memoria de las distribuciones exponenciales sabemos que

Por tanto

)5|510( XXP

).10()5|510( XPXXP

8*108*10 )1(1)10(1)10( eeXPXP

Tippex de Powerpoint

20

21

23

24

25

26

En instalaciones o aparatos con posibilidad de accidentes graves: centrales nucleares, aviones, coches,... es imprescindible conocer la probabilidad de que éstos acontezcan durante la vida del sistema.

Fiabilidad

28

Definimos la variable aleatoria:

T = tiempo durante el que el elemento funciona satisfactoriamente antes de que se produzca un fallo.

La probabilidad de que el elemento proporcione unos resultados satisfactorios en el momento t se puede definir como la fiabilidad o confiabilidad:

R(t) = P(T > t)

Fiabilidad

29

La infiabilidad Q(t) es la probabilidad de que ocurra un fallo antes del instante t: Q(t) = F(t) = 1 - R(t)

Sea λ(t) la tasa de fallos o averías por unidad de tiempo. Supongamos que un elemento funciona en el instante t. La probabilidad condicional de que se produzca una avería entre el momento t y el t + dt puede escribirse:

)()(

)();()()(

)(1

)()()()(

1

)()(

)()()(

)()()|(

ttd

tRLndttdtdR

tR

tt

ttRtRtR

tttR

ttRtRtR

tQttQtTttTtP

tdttExptR

0)()(

30

La curva de la bañeraCurva típica de evolución de la tasa de fallos

Existencia inicial de dispositivos defectuosos o instalados indebidamente con una tasa de fallos superior a la normal.

Esta tasa de fallos elevada va disminuyendo con el tiempo hasta alcanzar un valor casi constante.

Fallos normales o aleatorios. El comportamiento de la tasa es constante durante esta etapa y los fallos son debidos a las propias condiciones normales de trabajo de los dispositivos o a solicitaciones ocasionales superiores a las normales.

La tercera etapa de fallos de desgaste es debida a la superación de la vida prevista delcomponente cuando empiezan a aparecer fallos de degradación como consecuencia del desgaste. Se caracteriza por un aumento rápido de la tasa de fallos.

31

Si la tasa de fallos o averías por unidad de tiempo es constante: λ(t) = λ, tendremos que la fiabilidad es:

tdttExptR

0)()(

)()()(0

tExpdttExptRt

una densidad de probabilidad exponencial.Esta fórmula de fiabilidad se aplica a todos los dispositivos que han sufrido un rodaje apropiado que permita excluir los fallos iniciales, y que no estén afectados aún por el desgaste (la zona plana de la bañera).

32

En 1951 Weibull propuso que la expresión empírica más simple capaz de ajustar a una gran variedad de datos reales:

tdttExptR

0)()(

00

0)()( ttExptRttdtt

t

0

1

0

0

)(

1)(

ttExptttf

ttExptF

0

1

tty

r

33

Distribución de Weibull W(r, )

rXYExpX /1)(

11

/1

)()(')(')(

)()()()()(

rr

Xrr

XYY

rX

rrY

ryyfryyFyGyg

yFyXPyXPyYPyG

0;)( 1 yeryygryr

34

Función generatriz de momentos

dxxfeeEtg

xXPeeEtg

txtX

ii

txtX i

)(][)(

)(][)(

...!3!2

1

)(...!3!2

1][)(

3

3

2

2

1

33

22

mtmttm

dxxfxtxttxeEtg tX

0

)(

t

k

k

k dttgdm

Discreta

Continua

35

Función característica

dxxfeeEt

xXPeeEt

itxitX

ii

itxitX i

)(][)(

)(][)(

Observemos que:

dttexf itx )(21)(

a partir de la anti-transformada de Fourier de la función característica obtenemos la densidad de probabilidad.

36

Desarrollando en Taylor la función característica alrededor de t = 0:

...!

...!2

1)( 22

2

1 kk

k

tmkitmitimt

...!

)0(...!2

)0('')0(')0()()(

2 kk

tk

ttt

kkkk

k

kitXkk

k

k

itX

itX

itX

miXiEdt

deXiEdt

td

miXiEeXiEt

imiXEiXeEt

eEt

][)0(][)(

...][)0(''][)(''

][)0('][)('

1)0(][)(

222222

1

0

)(1

t

k

k

kk dttd

im

37

ite

itdxe

dxeedxxfeeEt

xitxit

xitxitxitX

0

)(

0

)(

)(][)(

1)0('][

)0('

)()(' 2

iXE

iitit

222222

222

2

2

3

2

112])[(][

2)0(''][

2)0(''

)(2)(''

XEXE

iXE

i

itit

Calculemos la esperanza y la varianza de la distribución exponencial.

38

Sean {X1, X2, ... , XN } n variables aleatorias independientes con funciones características {1(t), 2(t), ... , N(t) }, e Y = X1+ X2+ ... + XN.

Entonces:

n

iiY tt

1

)()(

Ejemplo: Sean X1 = Exp(), X2 = Exp() ... , Xn = Exp() n variables aleatorias independientes. ¿Cómo se distribuye Y = X1+ X2+ ... + Xn?

nn

kY

k

ititt

nkit

t

1

)(

...,,2,1;)(

39

Distribución de Erlang Er(n, )

00,;)(

)( 1

xnexn

xf xnn

n

n

nun

n

n

unn

xitnn

xnn

itxitxitX

itn

itndueu

itn

duit

eit

un

dxexn

dxexn

edxxfeeEt

)()(

1)()(

1)(

1)()(

)()(][)(

0

1

0

1

0

)(1

1

40

41

42

43

45

46

47

50