distribucion gamma

DISTRIBUCION GAMMA

SANTIAGO PEDRAZA JORGE IVAN SANA

DEFINICION En algunas ocasiones hay experimentos donde la

variable no es necesariamente una distribución simétrica para ello se emplea la distribución gamma.

Para α >0 la función gamma (α) se define mediante: Las propiedades mas importantes para la propiedad gamma son las siguientes: Para cualquier α >1, (α)=(α -1). (α-1) Para cualquier entero positivo ,n, (n)=(n-1)! ()=

FUNCION DE PROBABILIDAD Se dice que una variable continua X tiene

una distribución gamma si la fdp de X es

= 0 en caso contrario

Donde

La distribucion gamma estándar tiene =1 de modo que la fpd de una variable aleatoria gamma estándar esta dada por la ecuación:

MEDIA Y VALOR ESPERADO

VARIANZA

CURVAS DE DENSIDAD

Para los , la función es decreciente a medida que aumentan los valores de x; para la función presenta un máximo y luego decrece.El parámetro se llama parámetro de escala, porque los valores diferentes de 1 alargan o comprimen la fdp en la dirección x.

COEFICIENTE DE ASIMETRIA

CURTOSIS RELATIVA

A partir de estos factores la distribución gamma tiene un sesgo positivo, sin embargo, también debe notarse que conforme el parámetro se hace cada vez mas grande, el sesgo se convierte en menos pronunciado y la curtosis relativa tiene 3 como el valor limite.

Cuando X es una variable aleatoria gamma estándar, la fpd de X,

Se llama función gamma incompleta . El análisis de esta se lleva a cabo mediante tablas de .

EJEMPLO EJERCICIO

Sea x una variable aleatoria con distribucion gamma donde α= 2 y β=50.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que x tome un valor menor al valor de la media?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que x tome un valor mayor de dos desviaciones estándar?

Supóngase que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas, obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo:

a) Dentro de una desviación estándar del tiempo promedio

b) A mas de dos desviaciones estándar por encima de la media

* α= 2 y β=50