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1
Los Histogramas
➢ El Histograma es una forma de representación de datos que permite analizar fácilmente el comportamiento de una población, ya sea per se, o por medio de una muestra.
➢ Un Histograma se define como un conjunto de barras horizontales o verticales en las cuales cada columna representa largo o ancho proporcional al número de observaciones realizadas
Histograma simple
✓ Representa los
intervalos de clase
en el eje de abcisas
(eje horizontal) y las
frecuencias relativas,
en el eje de
ordenadas (eje
vertical)
2
Frecuencia acumulada
Histograma de una variable en dos situaciones
distintas.
3
Histograma (cont)
Que obtenemos de un histograma
➢ Muestra grandes cantidades de datos difíciles
de interpretar en una tabla.
➢ Muestra la frecuencia relativa de los datos
➢ Revela el centrado, variación y forma de la
distribución de los datos.
➢ Permite observar de manera inmediata la forma
de la distribución de los datos.
➢ Proporciona información útil para predecir el
comportamiento del proceso.
➢ Permite comparar al proceso con las
necesidades de los clientes.
4
Principios para la construcción de una
distribución de frecuencias
1. Determinación del número de intervalos de
clase.
Se recomienda entre 5 y 20 Menos de 50 de 5 a 7
De 50 a 100 de 6 a 10
De 100 a 250 de 7 a 12
Más de 250 de 10 a 20
Muy pocos Perdida de información
Demasiados Desperdicios blancos
2. Determinación del tamaño de intervalos.
deseadosintervalosNo.
Cant.MenorCant.MayorintervalodeLongitud
3. Determinación de las fronteras de clase El primero y el último intervalo deben contener todos
los datos
Ningún dato debe coincidir con una frontera
4. Marca de clase
Principios para la construcción de una
distribución de frecuencias (cont.)
2
inferiorLimitesuperiorLimiteClasedeMarca
5
Relación de Costo – Beneficio de 25 acciones en
el mercado de valores.
20.5 14.3 17.0
15.4 22.1 11.8
16.9 15.6 9.2
13.4 5.4 12.6
8.8 23.3 9.9
19.5 19.2 28.6
12.7 20.8 18.4
7.8 24.1 16.8
15.9
Marca de clase Fronteras de clase Conteo Frecuencia
7 5.01-9.00 111 3
11 9.01-13.00 11111 5
15 13.01-17.00 11111 111 8
19 17.01-21.00 11111 5
23 21.01-25.00 111 3
27 25.01-29.00 1 1
46
24
6
529intervalodeLongitud
0.2995.12
5.019clasedeMarca
6
Histograma
valor de acciones en el mercado
3
5
8
5
3
1
0
2
4
6
8
10
1 2 3 4 5 6
valor
fre
cu
en
cia
Serie1
7 11 15 19 23 27
Curva de Frecuencia Acumulada
Puede partir de:- Distribución de Frecuencias
- Frecuencia Relativa
- Distribución de porcentaje
Marca de Clase Frecuencia Frecuencia Acumulada
7 3 3
11 5 8
15 8 16
19 5 21
23 3 24
27 1 00
7
Curva de Frecuencia Acumulada
3
8
16
21
24 25
0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5 6
Marca de clase
fre
cu
en
cia
ac
um
ula
da
Serie1
7 11 15 19 23 27
Problemas de la
representación de datos
1. Subjetividad en la selección de clases o límites y fronteras de clase.
2. Comparación entre dos conjuntos de datos.
3. Construcción de gráficas de distribución de frecuencia con intervalos de clase distintos.
4. Distribución de frecuencias con clases abiertas.
5. Diferencias entre limitantes de clase y fronteras de clase.
8
MEDIDAS IMPORTANTES EN
LOS HISTOGRAMAS
➢ Medidas de Tendencia
Central• Media
• Mediana
• Moda
➢ Medidas de Dispersión • Varianza
• Desviación estándar
➢ Medidas de Forma• Sesgo
• Curtosis
Medidas de Tendencia Central
➢Media
16
n
xn
i1
9
Propiedades de la mediaLa suma de las desviaciones alrededor de la media es cero
• La suma de los cuadrados de las desviaciones en torno a la
media es un mínimo.
• Se puede emplear para calcular una cantidad total de la
población
0xn
1i1
Mínimox2n
1i1
muestraladeMedia
poblaciónladeTamañon
nTOTAL
Mediana
➢ Es la observación que esta en el centro cuando las
observaciones se ordenan en orden creciente.
➢ Si la observación es par, la mediana es el valor medio.
➢ En el ejemplo la mediana ocupa el lugar 13.
5.4 13.4 18.4
7.8 14.3 19.2
8.8 15.4 19.4
9.2 15.6 20.5
9.9 15.9 20.8
11.8 16.8 22.1
12.6 16.9 22.3
12.7 17.0 24.1
28.6
10
Características de la Mediana
➢ Su valor se afecta por el número de observaciones, no
de la magnitud.
➢ Cualquier valor de la muestra tomado al azar es casi
seguro que sea distinto a la mediana.
➢ La suma de las diferencias absolutas en torno a la
mediana es un mínimo.
mínimoMedianaxn
1ii
Características de la Moda
Puede o no existir en una muestra (variables continuas)
Puede existir mas de una Moda
Es la única medida de tendencia central que se puede usar con datos cualitativos.
11
Moda
➢ El valor que ocurre con mayor frecuencia
➢ Relación empírica entre Media, Mediana y
Moda:
MEDIA – MODA = 3 (MEDIA-MEDIANA)
Marca de Clase Frecuencia
7 3
11 5
15 8
19 5
24 3
27 1
Diversas modas
Distribución unimodal
0
2
4
6
8
10
1 2 3 4 5 6 7
Marca de clase
fre
cu
en
cia
Serie1
Distribución sin moda
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
1 2 3 4 5 6 7
marca de clase
fre
cu
en
cia
Serie1
Distribución bimodal
0
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 4 5 6 7
marca de clase
fre
cu
en
cia
Serie1
Distribución multimodal
0
2
4
6
8
10
1 2 3 4 5 6 7
Marca de clase
Fre
cu
en
cia
Serie1
12
La Moda Mo
Md
(a) Distribución Simétrica
Colocando la Moda para una
distribución de frecuencias
Relaciones entre la Media (),
Mediana (Md) y Moda (Mo).
Medidas de Dispersión
➢ La VARIANZA de una muestra, dada por el símbolo S2 y
mide el promedio del cuadrado de las diferencias entre
cada observación.
➢ La DESVIACIÓN ESTÁNDAR es la raíz cuadrada de la
varianza.
n
1i
2
i2
1n
xS
n
1i
2
i
1n
xS
13
± 1 Contiene 68% de las observaciones
± 2 Contiene 95% de las observaciones
± 3 Contiene casi todas las observaciones
2 2
Regla Empírica: Considerando distribución
normal
Medidas de Forma
Asimetría
Esta dispersión se mide a través del sesgo.
Cuando la asimetría es a la derecha es positiva y hay mas probabilidades de obtener resultados por encima de la media.
Cuando la asimetría es a la izquierda la mayor incidencia de datos esta por debajo de la media.
14
Formas de simetría de una curva de
distribución de frecuencias
Curva Asimétrica a la Izquierda Curva Asimétrica a la Derecha
Medición del Sesgo (m3):
m3 > 0 Derecha
m3 < 0 Izquierda
m3 = 0 Normal
Aproximación al SESGO:
nnn
x
nn
x
n
xm
n
xm
32
n
1ii
n
1i
n
1i
2
i
n
1i
3
i
3
n
1i
3
1
3
ESTÁNDARDESVIACIÓN
MEDIANAMEDIA
ESTANDARDESVIACIÓN
MODAMEDIASESGO
3
15
Curtosis ( m4 )
➢ Se refiere a la agudeza o apuntalamiento
de la distribución con relación a la normal:
n
xm
4n
1ii
4
n
x3
n
x
n
x6
n
x
n
x4
n
xm
4
i
2
i
n
1i
2
i
n
1i
3
i
n
1ii4
i
4
La Curtosis en el análisis de curvas de
distribución de Frecuencias
Mesocurtica
Leptocurtica
Platicurtica
16
Coeficiente de Curtosis (B2)
Si (B2-3)=0 Normal
Si (B2-3)>0 Leptocúrtica
Si (B2-3)<0 Platicútica
2
2
4
2m
mB
Momentos de una distribución
n
x
n
x....xxm
rr
n
r
2
r
1r
r
nm
1
n
xm
2
2
n
xm
3
3
n
xm
4
4
media
varianza
sesgo
curtosis
+ a la derecha
- a la izquierda
> 3 leptocúrtica
= 3 normal
< 3 platicúrtica
17
Interpretación de los histogramas
➢Centrado. Estamos dando de más o de menos.
➢ Variación.- Se encuentra dentro de los límites.
➢ Forma. ¿Tiene muchos picos? Podría ser que se están mezclando dos problemas.
➢Capacidad del Proceso. Cumple esta distribución con las exigencias del mercado o de la norma.
Ejemplo
➢ En un proceso químico
para la producción de un
fármaco se usaron dos
reactores, A y B. Los
clientes se han quejado
de que hay mucha
variación en los lotes y
los dueños creen que hay
problemas con algún
reactor, por lo que se
tomaron los siguientes
datos:
18
N° Reactor x N° Reactor x N° Reactor x N° Reactor x
1.0 A 84.9 26.0 B 86.2 51.0 B 86.6 76.0 B 85.4
2.0 A 83.8 27.0 B 87.2 52.0 B 87.0 77.0 B 84.6
3.0 B 86.2 28.0 A 83.0 53.0 B 86.7 78.0 A 83.9
4.0 B 85.7 29.0 B 86.3 54.0 A 84.9 79.0 A 83.2
5.0 A 83.9 30.0 A 83.9 55.0 A 83.7 80.0 B 85.7
6.0 B 86.4 31.0 A 83.5 56.0 B 84.7 81.0 B 86.9
7.0 B 86.8 32.0 B 84.1 57.0 A 85.1 82.0 A 84.0
8.0 B 87.0 33.0 B 84.7 58.0 B 85.4 83.0 B 85.7
9.0 A 83.8 34.0 A 85.3 59.0 A 84.4 84.0 A 84.3
10.0 B 86.0 35.0 A 84.5 60.0 A 84.2 85.0 B 86.0
11.0 B 86.3 36.0 A 84.5 61.0 B 85.8 86.0 A 83.6
12.0 A 83.0 37.0 B 86.2 62.0 A 85.1 87.0 B 86.0
13.0 A 83.5 38.0 A 84.1 63.0 A 84.4 88.0 A 83.6
14.0 A 82.7 39.0 A 83.2 64.0 A 83.8 89.0 B 86.5
15.0 B 85.2 40.0 B 86.2 65.0 B 87.0 90.0 B 87.6
16.0 B 86.7 41.0 A 82.9 66.0 B 86.9 91.0 A 84.7
17.0 A 83.1 42.0 A 83.8 67.0 B 85.5 92.0 A 85.1
18.0 B 85.9 43.0 A 83.7 68.0 A 83.7 93.0 A 83.8
19.0 B 87.5 44.0 B 86.6 69.0 B 86.0 94.0 B 86.6
20.0 A 83.8 45.0 B 85.7 70.0 A 84.5 95.0 B 86.7
21.0 B 87.5 46.0 A 82.9 71.0 B 87.9 96.0 A 84.3
22.0 A 84.4 47.0 B 86.9 72.0 A 82.7 97.0 A 83.7
23.0 A 83.4 48.0 B 86.1 73.0 A 84.2 98.0 B 84.9
24.0 A 84.3 49.0 B 86.0 74.0 A 83.9 99.0 B 85.8
25.0 B 86.1 50.0 A 83.8 75.0 B 85.5 100.0 A 84.1
Tabla de datos de los Reactores
Longitud del Intervalo =
88.5 – 82.5 = 0.5
12
Marca de Clase =
82.51 + 83.00 = 82.75
2
84.9 83.0 83.8 84.2 83.9
83.8 83.9 84.9 83.9 83.2
83.9 83.5 83.7 83.4 84.0
83.8 85.3 85.1 84.3 84.3
83.0 84.5 84.4 83.7 84.7
83.5 84.5 84.2 82.9 85.1
82.7 84.1 85.1 84.5 83.8
83.1 83.2 84.4 82.7 84.3
83.8 82.9 83.8 83.6 83.7
84.4 83.8 83.7 83.6 84.1
86.2 85.9 86.6 84.7 85.4
85.7 87.5 85.7 85.4 84.6
86.4 86.1 86.9 85.8 85.7
86.8 86.2 86.1 87.0 86.9
87.0 87.2 86.0 86.9 86.0
86.0 86.3 86.6 85.5 86.0
86.3 84.1 87.0 86.0 86.6
85.2 84.7 86.7 85.7 86.7
86.7 86.2 87.9 86.5 84.9
87.5 86.2 85.5 87.6 85.8
REACTOR B
REACTOR A
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