conceptos b´asicos de vectores en rconceptos b´asicos de vectores en rn geom´etricamente, a los...

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la

cual denotamos como

x =

x1x2...xn

.

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la

cual denotamos como

x =

x1x2...xn

.

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.¿Cual serıa el vector vector nulo o vector cero?

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la

cual denotamos como

x =

x1x2...xn

.

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.¿Cual serıa el vector vector nulo o vector cero?

0 =

00...0

.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la

cual denotamos como

x =

x1x2...xn

.

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.

EJEM: El vector x =

51035

es un vector de R4 y su primera,

segunda, tercera y cuarta componentes son 5, 10,−3 y 5, en eseorden.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la

cual denotamos como

x =

x1x2...xn

.

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.EJEM: Los vectores

e1 =

10...0

, e2 =

01...0

, · · · , en =

00...1

son vectores de Rn. A estos vectores los llamamos vectores

canonicos de Rn

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la

cual denotamos como

x =

x1x2...xn

.

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.¿Cuando dos vectores x, y son iguales?

x = y ⇔

x1x2...xn

=

y1y2...yn

⇔ xi = yi

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Geometricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretar

como puntos;

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Geometricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretar

como puntos;

En las aplicaciones fısicas, es importante que pensemos en un vector,no como un punto, sino como algo que tiene magnitud, direccion ysentido. Estos vectores los llamaremos vectores libres.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

SUMA: Dados u =

u1u2...un

y v =

v1v2...vn

, definimos

u+ v =

u1 + v1u2 + v2

...un + vn

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

PRODUCTO POR ESCALAR: Dados u =

u1u2...un

y λ ∈ R , definimos

λu =

λu1λu2...

λun

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

RESTA: Definimos u− v

u− v = u+ (−v)

PR = OR − OP .

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Teorema

Sean u, v y w vectores de Rn y sean α, β dos numeros reales. Entonces

1 u+ v ∈ Rn. Ley clau. para +

2 (u+ v) +w = u+ (v+w). Ley asoc. para +

3 u+ v = v+ u. Ley conm. para +

4 Existe un unico vector z ∈ Rn tal que u+ z = z+ u = u (z = 0).

Ley mod. para la suma

5 Para cada u, existe un unico vector 0 ∈ Rn tal que

u+ 0 = 0+ u = 0, (0 = −u). Existencia del opuesto para suma.

6 αu ∈ Rn. Ley clau para el producto por escalar

7 α(u+ v) = αu+ αv. Ley dist del producto por escalar resp +

8 (α+ β)u = αu+ βu. Ley dist del producto por escalar respecto a +de escalares.

9 (αβ)u = α(βu) = β(αu). Ley asoc respecto al producto porescalares

10 αu = 0, si y solo si, α = 0 o u = 0.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

EJER:1) Calcule (2u− 3v+w)− (5u− 2v) + 7u2) Determine el vector x tal que 2x− 4v = 3u

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

EJER:1) Calcule (2u− 3v+w)− (5u− 2v) + 7u2) Determine el vector x tal que 2x− 4v = 3u

DEF: Diremos que dos vectores u y v son reparalelos si y solo si u = λv,λ ∈ R.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Combinacion Lineal)

Dados v1, v2, . . . , vk vectores de Rn y λ1, λ2, . . . , λk ∈ R, al vector

v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk

lo llamamos combinacion lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk . A losescalares λ1, λ2, . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinacionlineal.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Combinacion Lineal)

Dados v1, v2, . . . , vk vectores de Rn y λ1, λ2, . . . , λk ∈ R, al vector

v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk

lo llamamos combinacion lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk . A losescalares λ1, λ2, . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinacionlineal.

EJEM: Sean u =

(

−12

)

y v =

(

25

)

y w =

(

3−2

)

. Calculemos la

combinacion lineal de ellos dada por 3u− v+ 2w.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Combinacion Lineal)

Dados v1, v2, . . . , vk vectores de Rn y λ1, λ2, . . . , λk ∈ R, al vector

v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk

lo llamamos combinacion lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk . A losescalares λ1, λ2, . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinacionlineal.

EJER: ¿los vectores

−140

y

20−1

son combinaciones lineales de

10−2

y

−52−3

?.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)

Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . , vk lo representamos por

V := Gen{v1, v2, . . . , vk}

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)

Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . , vk lo representamos por

V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)

Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . , vk lo representamos por

V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}

V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lollamamos conjunto generador de V .

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)

Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . , vk lo representamos por

V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}

V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lollamamos conjunto generador de V .

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)

Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . , vk lo representamos por

V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}

V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lollamamos conjunto generador de V .

OBS: El conj generado es unico mientras que el conj generador NOOO esunico.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)

Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . , vk lo representamos por

V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}

V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lollamamos conjunto generador de V .

OBS: El conj generado es unico mientras que el conj generador NOOO esunico.

EJEM: Si V = Gen{u, v}, entonces 2u+√5v, 0, u, 3v, u− v son

vectores de V .

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)

Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . , vk lo representamos por

V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}

V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lollamamos conjunto generador de V .

OBS: El conj generado es unico mientras que el conj generador NOOO esunico.

EJEM: Si V = Gen{u, v}, entonces 2u+√5v, 0, u, 3v, u− v son

vectores de V .

EJER: ¿El vector

302

pertenece a Gen

101

,

00−1

?.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)

Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . , vk lo representamos por

V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}

V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lollamamos conjunto generador de V .

OBS: El conj generado es unico mientras que el conj generador NOOO esunico.

EJER: Demuestre que Gen{e1, e2, . . . , en} = Rn.

EJER: Determine Gen{e1, e3} si ei ∈ R3.

EJER: Determine Gen{v} si v es cualquier vector no nulo.

EJER: Halle Gen{(

12

)

,

(

24

)

}

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)

Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . , vk lo representamos por

V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}

V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lollamamos conjunto generador de V .

OBS: El conj generado es unico mientras que el conj generador NOOO esunico.

EJER: Determine un conjunto generador de

V =

3r − sr + 5s

r

, r , s ∈ R

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Conjunto l.i.)

Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente silos unicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que

λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0

son todos cero.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Conjunto l.i.)

Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente silos unicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que

λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0

son todos cero.

EJER: Demostremos que

13−2

,

−1−54

,

1−20

, es un conj l.i.

EJER: Demostremos que

13−2

,

−123

,

21−5

, es un conj l.d.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Conjunto l.i.)

Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente silos unicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que

λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0

son todos cero.

EJER: Demuestre que todo conjunto de Rn que contenga al vector 0 es

un conjunto l.d.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Conjunto l.i.)

Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente silos unicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que

λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0

son todos cero.

EJER: Demuestre que todo conjunto de Rn que contenga al vector 0 es

un conjunto l.d.OBS: Si hay mas vectores que componentes, los vectores son l.d.

EJEM: Gen

{(

02

)

,

(

12

)

,

(

21

)}

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Producto escalar )

Dados u =

u1...un

y v =

v1...vn

de R

n, definimos u · v el producto escalar

entre u y v, como el escalar dado por

u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Producto escalar )

Dados u =

u1...un

y v =

v1...vn

de R

n, definimos u · v el producto escalar

entre u y v, como el escalar dado por

u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

EJER: Dados

21−5

,

130

,

−2−1−1

, Calcule u · v, u ·w, v · w,

(3u) · v, (u+ v) · w y v · u.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Producto escalar )

Dados u =

u1...un

y v =

v1...vn

de R

n, definimos u · v el producto escalar

entre u y v, como el escalar dado por

u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

EJER: Suponga que un fabricante produce cuatro artıculos. La demanda

para los artıculos esta dada por d =

30204010

. Los precios unitarios para los

artıculos estan dados por el vector p =

20151840

. Si satisface su demanda.

¿Cuanto dinero recibira el fabricante?

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Producto escalar )

Dados u =

u1...un

y v =

v1...vn

de R

n, definimos u · v el producto escalar

entre u y v, como el escalar dado por

u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

Teorema (Ejer. 50 del Taller2ParteB)

Sean u, v y w vectores de Rn y sea α ∈ R. Entonces

1 u · v = v · u. Ley conm para ·.2 u · (v+w) = u · v+ u ·w. Ley dist

3 α(u · v) = (αu) · v = u · (αv).4 u · u = 0, si y solo si, u = 0.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Producto escalar )

Dados u =

u1...un

y v =

v1...vn

de R

n, definimos u · v el producto escalar

entre u y v, como el escalar dado por

u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

Teorema (Ejer. 50 del Taller2ParteB)

Sean u, v y w vectores de Rn y sea α ∈ R. Entonces

1 u · v = v · u. Ley conm para ·.2 u · (v+w) = u · v+ u ·w. Ley dist

3 α(u · v) = (αu) · v = u · (αv).4 u · u = 0, si y solo si, u = 0.

Note que no tiene sentido la prop. asociativa para ·

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Producto escalar )

Dados u =

u1...un

y v =

v1...vn

de R

n, definimos u · v el producto escalar

entre u y v, como el escalar dado por

u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

EJER: Encuentre α y β de forma que los vectores sean ortogonales

1−α

23

y

45

−2β7

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Norma)

Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como

‖u‖ =√

u21+ · · ·+ u2

n=

√u · u

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Norma)

Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como

‖u‖ =√

u21+ · · ·+ u2

n=

√u · u

EJER: Dados u =

21−5

, y los puntos P =

523

, Q =

1−13

, Calcule

‖u‖ y ‖PQ‖,

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Norma)

Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como

‖u‖ =√

u21+ · · ·+ u2

n=

√u · u

Teorema (Propiedades)

Dados los vectores u, v ∈ Rn, y λ ∈ R tenemos que

(a) ‖λu‖ = |λ|‖u‖(b) ‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2(u · v)(c) ‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2(u · v)(d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖. La igualdad se obtiene, si y solo si, u = λv para

algun λ ∈ R. Desigualdad de Cauchy-Schwarz.

(e) ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖. La igualdad se cumple, si y solo si, u = λv

con λ ≥ 0. Desigualdad triangular.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Norma)

Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como

‖u‖ =√

u21+ · · ·+ u2

n=

√u · u

OBS:1) La distancia euclidiana entre dos vectores u y v es d(u, v) = ‖u− v‖.2) Cuando ‖w‖ = 1, se dice que w es un vector unitario

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Norma)

Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como

‖u‖ =√

u21+ · · ·+ u2

n=

√u · u

OBS:1) La distancia euclidiana entre dos vectores u y v es d(u, v) = ‖u− v‖.2) Cuando ‖w‖ = 1, se dice que w es un vector unitario

EJER:

1) Halle la distancia entre

−1230

y

−2020

.

2) Halle el vector unitario en la direccion v =

1−21

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0

0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)

= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v) = p(t)

donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con a = u · u,b = 2u · v y c = v · v.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0

0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)

= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v) = p(t)

donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con a = u · u,b = 2u · v y c = v · v.Como a ≥ 0, la grafica de p(t) es una parabola concava hacıa arriba convertice en el semiplano superior. Recordando que el vertice de p(t) es(

− b

2a, c − b

2

4a

)

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0

0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)

= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v) = p(t)

donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con a = u · u,b = 2u · v y c = v · v.Como a ≥ 0, la grafica de p(t) es una parabola concava hacıa arriba convertice en el semiplano superior. Recordando que el vertice de p(t) es(

− b

2a, c − b

2

4a

)

entonces

0 ≤ c − b2

4a= ‖v‖2 − 4(u · v)2

4‖u‖2

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0

0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)

= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v) = p(t)

donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con a = u · u,b = 2u · v y c = v · v.Como a ≥ 0, la grafica de p(t) es una parabola concava hacıa arriba convertice en el semiplano superior. Recordando que el vertice de p(t) es(

− b

2a, c − b

2

4a

)

entonces

0 ≤ c − b2

4a= ‖v‖2 − 4(u · v)2

4‖u‖2

Ademas, si u = λv entonces

|u · v| = |λv · v| = |λ||v · v| = |λ|‖v‖2 = |λ|‖v‖‖v‖= ‖λv‖‖v‖ = ‖u‖‖v‖

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Angulo entre vectores)

Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo

determinado por u y v como el menor giro positivo.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Angulo entre vectores)

Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo

determinado por u y v como el menor giro positivo.

OBS: Dados dos vectores u y v no nulos, siempre podemos construir untriangulo como el de la siguiente figura

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Angulo entre vectores)

Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo

determinado por u y v como el menor giro positivo.

Al aplicar el T. del Coseno a este triangulo, tenemos

‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v+ ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ

Entonces cos θ =u · v

‖u‖‖v‖

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Angulo entre vectores)

Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo

determinado por u y v como el menor giro positivo.

Al aplicar el T. del Coseno a este triangulo, tenemos

‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v+ ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ

Entonces cos θ =u · v

‖u‖‖v‖

EJEM: Calcule el angulo de u =

1−1−11

y v =

1−1−1−1

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Angulo entre vectores)

Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo

determinado por u y v como el menor giro positivo.

Al aplicar el T. del Coseno a este triangulo, tenemos

‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v+ ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ

Entonces cos θ =u · v

‖u‖‖v‖DEF: Diremos que los vectores no nulos u y v son ortogonales⇔ u · v = 0.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Angulo entre vectores)

Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo

determinado por u y v como el menor giro positivo.

Al aplicar el T. del Coseno a este triangulo, tenemos

‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v+ ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ

Entonces cos θ =u · v

‖u‖‖v‖DEF: Diremos que los vectores no nulos u y v son ortogonales⇔ u · v = 0.

EJER: u =

−1230

y v =

0−154

son ortogonales?

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Proyeccion ortogonal)

Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal de v

sobre u como el vector

proyuv =( v · u‖u‖2

)

u

Llamamos a vc = v− proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Proyeccion ortogonal)

Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal de v

sobre u como el vector

proyuv =( v · u‖u‖2

)

u

Llamamos a vc = v− proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Proyeccion ortogonal)

Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal de v

sobre u como el vector

proyuv =( v · u‖u‖2

)

u

Llamamos a vc = v− proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Proyeccion ortogonal)

Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal de v

sobre u como el vector

proyuv =( v · u‖u‖2

)

u

Llamamos a vc = v− proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.

EJEM: Halle la proyuv y la componente vectorial de v ortogonal a u

(Esto es vc), para cada uno de los siguientes casos:

(a) u =

1−1−1

y v =

1−11

(b) u = e1 y v =

2−103

proyvu =( v · u‖v‖2

)

v

Algebra lineal

Producto Ax

Las columnas de las matrices son vectores de Rm, m son las filas de la

matriz, es decir, que las matrices las podemos ver como una sucesion(finita y ordenada) de vectores, lo cual denotamos como

A = [a1 a2 . . . an] ai son las columnas de A.

Algebra lineal

Producto Ax

Las columnas de las matrices son vectores de Rm, m son las filas de la

matriz, es decir, que las matrices las podemos ver como una sucesion(finita y ordenada) de vectores, lo cual denotamos como

A = [a1 a2 . . . an] ai son las columnas de A.

Definicion

Sea A una matriz, cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an de Rm,

y sea x un vector de Rn, cuyas componentes son x1, x2, . . . , xn. Definimos

el producto matricial Ax como la combinacion lineal

Ax = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan.

Algebra lineal

Producto Ax

Las columnas de las matrices son vectores de Rm, m son las filas de la

matriz, es decir, que las matrices las podemos ver como una sucesion(finita y ordenada) de vectores, lo cual denotamos como

A = [a1 a2 . . . an] ai son las columnas de A.

Definicion

Sea A una matriz, cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an de Rm,

y sea x un vector de Rn, cuyas componentes son x1, x2, . . . , xn. Definimos

el producto matricial Ax como la combinacion lineal

Ax = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan.

EJEM: Dado A =

−1 0 32 1 13 5 −2

y x =

013

, tenemos

Ax = 0

−123

+ 1

015

+ 3

31−2

=??

Algebra lineal

Teorema (Propiedades del producto Ax)

Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR

m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces

a) A(x+ y) = Ax+ Ay

b) A(λx) = λ(Ax)

DEM: (a)

Algebra lineal

Teorema (Propiedades del producto Ax)

Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR

m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces

a) A(x+ y) = Ax+ Ay

b) A(λx) = λ(Ax)

DEM: (a) Como x, y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) y

por tanto x+ y = (x1 + y1, · · · , xn + yn).

Algebra lineal

Teorema (Propiedades del producto Ax)

Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR

m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces

a) A(x+ y) = Ax+ Ay

b) A(λx) = λ(Ax)

DEM: (a) Como x, y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) y

por tanto x+ y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,

A(x+ y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an

Algebra lineal

Teorema (Propiedades del producto Ax)

Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR

m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces

a) A(x+ y) = Ax+ Ay

b) A(λx) = λ(Ax)

DEM: (a) Como x, y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) y

por tanto x+ y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,

A(x+ y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an

= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan

Algebra lineal

Teorema (Propiedades del producto Ax)

Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR

m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces

a) A(x+ y) = Ax+ Ay

b) A(λx) = λ(Ax)

DEM: (a) Como x, y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) y

por tanto x+ y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,

A(x+ y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an

= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan

=(

x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)

+(

y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)

Algebra lineal

Teorema (Propiedades del producto Ax)

Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR

m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces

a) A(x+ y) = Ax+ Ay

b) A(λx) = λ(Ax)

DEM: (a) Como x, y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) y

por tanto x+ y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,

A(x+ y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an

= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan

=(

x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)

+(

y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)

= Ax+ Ay

Algebra lineal

Teorema (Propiedades del producto Ax)

Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR

m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces

a) A(x+ y) = Ax+ Ay

b) A(λx) = λ(Ax)

DEM: (a) Como x, y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) y

por tanto x+ y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,

A(x+ y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an

= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan

=(

x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)

+(

y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)

= Ax+ Ay

Observe que el sistema lineal

{

3x − 2y + z = −2x − 3z = 1

Algebra lineal

Teorema (Propiedades del producto Ax)

Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR

m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces

a) A(x+ y) = Ax+ Ay

b) A(λx) = λ(Ax)

DEM: (a) Como x, y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) y

por tanto x+ y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,

A(x+ y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an

= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan

=(

x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)

+(

y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)

= Ax+ Ay

Observe que el sistema lineal

{

3x − 2y + z = −2x − 3z = 1

⇔ x

(

3

1

)

+y

(−2

0

)

+z

(

1

−3

)

=

(−2

1

)

⇔(

3 −2 11 0 −3

)

xyz

=

(

−21

)

Algebra lineal

Observe que

[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b

son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales

Algebra lineal

Observe que

[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b

son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales

Teorema (Equivalencia de conceptos)

Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vector

de Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:

Algebra lineal

Observe que

[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b

son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales

Teorema (Equivalencia de conceptos)

Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vector

de Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:

El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.

Algebra lineal

Observe que

[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b

son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales

Teorema (Equivalencia de conceptos)

Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vector

de Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:

El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.Existe al menos un vector x de R

n, tal que Ax = b.

Algebra lineal

Observe que

[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b

son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales

Teorema (Equivalencia de conceptos)

Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vector

de Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:

El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.Existe al menos un vector x de R

n, tal que Ax = b.

El vector b es combinacion lineal de las columnas de A.

Algebra lineal

Observe que

[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b

son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales

Teorema (Equivalencia de conceptos)

Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vector

de Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:

El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.Existe al menos un vector x de R

n, tal que Ax = b.

El vector b es combinacion lineal de las columnas de A.

El vector b pertenece al conjunto generado por las columnas de A.

Algebra lineal

Observe que

[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b

son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales

Teorema (Equivalencia de conceptos)

Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vector

de Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:

El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.Existe al menos un vector x de R

n, tal que Ax = b.

El vector b es combinacion lineal de las columnas de A.

El vector b pertenece al conjunto generado por las columnas de A.

Definicion (Espacio nulo)

El espacio nulo de una matriz A esta dado por

NA = {x ∈ Rn : Ax = 0}

Algebra lineal

Dada A =

−1 0 32 1 13 5 −2

determinemos si los vectores u =

(

−27

)

,

v =

12−3

y w =

−31−5

se encuentran en NA.

Algebra lineal

Dada A =

−1 0 32 1 13 5 −2

determinemos si los vectores u =

(

−27

)

,

v =

12−3

y w =

−31−5

se encuentran en NA.

OBS NA = {0}, si y solo si, Ax = 0 tiene solucion unica, i.e. x = 0.

Algebra lineal

Dada A =

−1 0 32 1 13 5 −2

determinemos si los vectores u =

(

−27

)

,

v =

12−3

y w =

−31−5

se encuentran en NA.

OBS NA = {0}, si y solo si, Ax = 0 tiene solucion unica, i.e. x = 0.

Teorema (Propiedades del espacio nulo)

Dada una matriz A, si x, y son vectores de NA y λ es un escalar, tenemosque:

(a) x+ y ∈ NA (b) λx ∈ NA

DEM

Algebra lineal

Dada A =

−1 0 32 1 13 5 −2

determinemos si los vectores u =

(

−27

)

,

v =

12−3

y w =

−31−5

se encuentran en NA.

OBS NA = {0}, si y solo si, Ax = 0 tiene solucion unica, i.e. x = 0.

Teorema (Propiedades del espacio nulo)

Dada una matriz A, si x, y son vectores de NA y λ es un escalar, tenemosque:

(a) x+ y ∈ NA (b) λx ∈ NA

DEM Puesto que x, y ∈ NA, Ax = 0 y Ay = 0;

Algebra lineal

Dada A =

−1 0 32 1 13 5 −2

determinemos si los vectores u =

(

−27

)

,

v =

12−3

y w =

−31−5

se encuentran en NA.

OBS NA = {0}, si y solo si, Ax = 0 tiene solucion unica, i.e. x = 0.

Teorema (Propiedades del espacio nulo)

Dada una matriz A, si x, y son vectores de NA y λ es un escalar, tenemosque:

(a) x+ y ∈ NA (b) λx ∈ NA

DEM Puesto que x, y ∈ NA, Ax = 0 y Ay = 0; entonces,

(a) A(x+ y) = Ax+ Ay = 0+ 0 = 0, por tanto, x+ y ∈ NA.

(b) A(λx) = λ(Ax) = λ0 = 0, de donde, concluimos que λx ∈ NA.

OBS: Note que Ix = x donde I es la matriz n × n dada por [e1 e2 · · · en]y x ∈ R

n

Algebra lineal

Definicion (Espacio columna)

Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm, definimos el espacio

columna de A como el conjunto

CA ={

b ∈ Rm : Ax = b, para algun x ∈ R

n}.

Algebra lineal

Definicion (Espacio columna)

Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm, definimos el espacio

columna de A como el conjunto

CA ={

b ∈ Rm : Ax = b, para algun x ∈ R

n}.

OBS CA esta formado por todas las combinaciones lineales de lascolumnas de A; es decir,

CA = Gen{a1, a2, . . . , an}

donde a1, a2, . . . , an son las columnas de A.

Algebra lineal

Definicion (Espacio columna)

Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm, definimos el espacio

columna de A como el conjunto

CA ={

b ∈ Rm : Ax = b, para algun x ∈ R

n}.

OBS CA esta formado por todas las combinaciones lineales de lascolumnas de A; es decir,

CA = Gen{a1, a2, . . . , an}

donde a1, a2, . . . , an son las columnas de A.

EJEM Dada A =

−1 22 11 −1

determinemos si

47−1

,

504

se

encuentran en CA.

Algebra lineal

Definicion (Espacio columna)

Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm, definimos el espacio

columna de A como el conjunto

CA ={

b ∈ Rm : Ax = b, para algun x ∈ R

n}.

OBS CA esta formado por todas las combinaciones lineales de lascolumnas de A; es decir,

CA = Gen{a1, a2, . . . , an}

donde a1, a2, . . . , an son las columnas de A.

EJEM Dada A =

−1 22 11 −1

determinemos si

47−1

,

504

se

encuentran en CA.

M.Aum =

−1 2 4 52 1 7 01 −1 −1 −4

M.Esc =

−1 2 4 50 5 15 100 0 0 −1

Algebra lineal

Definicion (Espacio columna)

Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm, definimos el espacio

columna de A como el conjunto

CA ={

b ∈ Rm : Ax = b, para algun x ∈ R

n}.

OBS CA esta formado por todas las combinaciones lineales de lascolumnas de A; es decir,

CA = Gen{a1, a2, . . . , an}donde a1, a2, . . . , an son las columnas de A.

EJEM Dada A =

−1 22 11 −1

determinemos si

47−1

,

504

se

encuentran en CA.

M.Aum =

−1 2 4 52 1 7 01 −1 −1 −4

M.Esc =

−1 2 4 50 5 15 100 0 0 −1

Entonces 1ro SI, 2do NOAlgebra lineal

Teorema (Propiedades del espacio columna)

Dada una matriz A, los vectores b y c de CA y λ un escalar, entonces:

(1) b+ c ∈ CA (2) λb ∈ CA

Algebra lineal

Teorema (Propiedades del espacio columna)

Dada una matriz A, los vectores b y c de CA y λ un escalar, entonces:

(1) b+ c ∈ CA (2) λb ∈ CA

DEM Puesto que b, c ∈ CA, existen vectores x y y tales que Ax = b yAy = c.

Algebra lineal

Teorema (Propiedades del espacio columna)

Dada una matriz A, los vectores b y c de CA y λ un escalar, entonces:

(1) b+ c ∈ CA (2) λb ∈ CA

DEM Puesto que b, c ∈ CA, existen vectores x y y tales que Ax = b yAy = c. Entonces,

(1). b+ c = Ax+ Ay = A(x+ y), por tanto, b+ c ∈ CA.

(2). λb = λ(Ax) = A(λx), de donde concluimos que λb ∈ CA.

Algebra lineal

Teorema (Propiedades del espacio columna)

Dada una matriz A, los vectores b y c de CA y λ un escalar, entonces:

(1) b+ c ∈ CA (2) λb ∈ CA

DEM Puesto que b, c ∈ CA, existen vectores x y y tales que Ax = b yAy = c. Entonces,

(1). b+ c = Ax+ Ay = A(x+ y), por tanto, b+ c ∈ CA.

(2). λb = λ(Ax) = A(λx), de donde concluimos que λb ∈ CA.

Corolario (1)

Si el vector u es solucion del sistema Ax = b y el vector v es solucion delsistema homogeneo asociado (Ax = 0), entonces (u+ v) es solucion delsistema Ax = b.

DEMA(u+ v) = Au+ Av = b+ 0 = b.

Algebra lineal

Corolario (2)

Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u− v essolucion del sistema homogeneo asociado Ax = 0.

Algebra lineal

Corolario (2)

Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u− v essolucion del sistema homogeneo asociado Ax = 0.

Corolario (3)

Sea u solucion del sistema Ax = b, entonces v es solucion del sistemaAx = b, si y solo si, v = h+ u, donde h es una solucion del sistemahomogeneo asociado Ax = 0.

Algebra lineal

Corolario (2)

Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u− v essolucion del sistema homogeneo asociado Ax = 0.

Corolario (3)

Sea u solucion del sistema Ax = b, entonces v es solucion del sistemaAx = b, si y solo si, v = h+ u, donde h es una solucion del sistemahomogeneo asociado Ax = 0.

DEM Sea v una solucion del sistema Ax = b, entonces h = v− u essolucion del sistema homogeneo asociado (Coro 2) y por tanto v = h+ u.La otra implicacion es el resultado del Coro 1.

Algebra lineal

Corolario (2)

Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u− v essolucion del sistema homogeneo asociado Ax = 0.

Corolario (3)

Sea u solucion del sistema Ax = b, entonces v es solucion del sistemaAx = b, si y solo si, v = h+ u, donde h es una solucion del sistemahomogeneo asociado Ax = 0.

Corolario (4)

Un sistema Ax = b que tiene mas de una solucion, tiene infinitassoluciones.

Algebra lineal

Corolario (2)

Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u− v essolucion del sistema homogeneo asociado Ax = 0.

Corolario (3)

Sea u solucion del sistema Ax = b, entonces v es solucion del sistemaAx = b, si y solo si, v = h+ u, donde h es una solucion del sistemahomogeneo asociado Ax = 0.

Corolario (4)

Un sistema Ax = b que tiene mas de una solucion, tiene infinitassoluciones.

DEM Sean u y v dos soluciones diferentes del sistema Ax = b. Por elCoro 2, h = u− v 6= 0 es solucion del sistema homogeneo asociadoAx = 0.

Algebra lineal

Corolario (2)

Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u− v essolucion del sistema homogeneo asociado Ax = 0.

Corolario (3)

Sea u solucion del sistema Ax = b, entonces v es solucion del sistemaAx = b, si y solo si, v = h+ u, donde h es una solucion del sistemahomogeneo asociado Ax = 0.

Corolario (4)

Un sistema Ax = b que tiene mas de una solucion, tiene infinitassoluciones.

DEM Sean u y v dos soluciones diferentes del sistema Ax = b. Por elCoro 2, h = u− v 6= 0 es solucion del sistema homogeneo asociadoAx = 0. Por el Propiedades de NA, αh, ∀α ∈ R, tambien es solucion delsistema homogeneo,

Algebra lineal

Corolario (2)

Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u− v essolucion del sistema homogeneo asociado Ax = 0.

Corolario (3)

Sea u solucion del sistema Ax = b, entonces v es solucion del sistemaAx = b, si y solo si, v = h+ u, donde h es una solucion del sistemahomogeneo asociado Ax = 0.

Corolario (4)

Un sistema Ax = b que tiene mas de una solucion, tiene infinitassoluciones.

DEM Sean u y v dos soluciones diferentes del sistema Ax = b. Por elCoro 2, h = u− v 6= 0 es solucion del sistema homogeneo asociadoAx = 0. Por el Propiedades de NA, αh, ∀α ∈ R, tambien es solucion delsistema homogeneo, lo que nos indica que el sistema homogeneo tieneinfinitas soluciones.

Algebra lineal

Corolario (2)

Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u− v essolucion del sistema homogeneo asociado Ax = 0.

Corolario (3)

Sea u solucion del sistema Ax = b, entonces v es solucion del sistemaAx = b, si y solo si, v = h+ u, donde h es una solucion del sistemahomogeneo asociado Ax = 0.

Corolario (4)

Un sistema Ax = b que tiene mas de una solucion, tiene infinitassoluciones.

DEM Sean u y v dos soluciones diferentes del sistema Ax = b. Por elCoro 2, h = u− v 6= 0 es solucion del sistema homogeneo asociadoAx = 0. Por el Propiedades de NA, αh, ∀α ∈ R, tambien es solucion delsistema homogeneo, lo que nos indica que el sistema homogeneo tieneinfinitas soluciones. Por el Coro 3, w = αh+ u es tambien solucion delsistema Ax = b. Ası que, el sistema Ax = b tiene infinitas soluciones.

Algebra lineal

Rectas, Planos e Hiperplanos

DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn, diremos que la

recta que contiene a P y tiene direccion d es

el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelosa d.

Algebra lineal

Rectas, Planos e Hiperplanos

DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn, diremos que la

recta que contiene a P y tiene direccion d es

el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelosa d. Al vector d lo llamamos vector director de la recta.

x− 0 = td ⇒ x = 0+ td

Algebra lineal

Formas de expresar una recta

Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta

x = 0+ td

x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn

Algebra lineal

Formas de expresar una recta

Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta

x = 0+ td

x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn

Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d,

x1 − p1d1

=x2 − p2

d2= · · · = xn − pn

dnsiempre que di 6= 0

Algebra lineal

Formas de expresar una recta

Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta

x = 0+ td

x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn

Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d,

x1 − p1d1

=x2 − p2

d2= · · · = xn − pn

dnsiempre que di 6= 0

EJEM Dada la ecuacion vectorial L :

(

x1x2x3

)

=

(

2−13

)

+ t

(

−105

)

1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.

Algebra lineal

Formas de expresar una recta

Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta

x = 0+ td

x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn

Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d,

x1 − p1d1

=x2 − p2

d2= · · · = xn − pn

dnsiempre que di 6= 0

EJEM Dada la ecuacion vectorial L :

(

x1x2x3

)

=

(

2−13

)

+ t

(

−105

)

1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.

2 Determine si R =

(

3−1−2

)

y S =

(

4−10

)

pertenecen a la recta L.

Algebra lineal

Formas de expresar una recta

Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta

x = 0+ td

x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn

Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d,

x1 − p1d1

=x2 − p2

d2= · · · = xn − pn

dnsiempre que di 6= 0

EJEM Dada la ecuacion vectorial L :

(

x1x2x3

)

=

(

2−13

)

+ t

(

−105

)

1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.2 Halle un vector d que sea un vector director de la recta L y verifique

que el vector PQ, de (a), es paralelo a d.

Algebra lineal

EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos

P =

−1201

Q =

21−11

Algebra lineal

EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos

P =

−1201

Q =

21−11

DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2

Algebra lineal

EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos

P =

−1201

Q =

21−11

DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2

EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.

1 L1 es la recta que pasa por los puntos P =

3−21

y Q =

530

y

L2 es la recta con ecuacion vectorial

xyz

=

0−43

+ t

410−2

Algebra lineal

EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos

P =

−1201

Q =

21−11

DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2

EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.

1 L1 es la recta que pasa por los puntos M =

3−21

y tiene vector

direccion v =

23−1

y L2 es la recta que pasa por los puntos

Q =

0−21

y P =

231

Algebra lineal

Rectas iguales y ortogonales

TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.

Algebra lineal

Rectas iguales y ortogonales

TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.

DEM: (⇒) Si L1 = L2 ⇒ L1||L2 y L1 ∩ L2 6= ∅.

Sean P ,Q ∈ L1 = L2 entonces L1 ∩ L2 6= ∅, y si d1 y d2 son los vectoresdirectores de L1 y L2 respectivamente, tenemos que PQ = α1d1 yPQ = α2d2. Luego igualando las ecuaciones es claro que las rectas son

paralelas pues d1 = βd2 donde β =α2

α1

.

Algebra lineal

Rectas iguales y ortogonales

TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.

DEM: (⇒) Si L1 = L2 ⇒ L1||L2 y L1 ∩ L2 6= ∅.

Sean P ,Q ∈ L1 = L2 entonces L1 ∩ L2 6= ∅, y si d1 y d2 son los vectoresdirectores de L1 y L2 respectivamente, tenemos que PQ = α1d1 yPQ = α2d2. Luego igualando las ecuaciones es claro que las rectas son

paralelas pues d1 = βd2 donde β =α2

α1

.

DEM: (⇐) Si L1||L2 y L1 ∩ L2 6= ∅ ⇒ L1 = L2.

Sea P ∈ L1 ∩ L2 y si L1||L2 entonces d1 = λd2.

⊆: Si X ∈ L1 por ende PX = αd1 = α(λd2) = βd2 luego X ∈ L2.

⊇: Si X ∈ L2 entonces PX = βd2 = β(1

λd1) = γd1 luego X ∈ L1.

Algebra lineal

Rectas iguales y ortogonales

TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.

Algebra lineal

Rectas iguales y ortogonales

TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.

DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.

Algebra lineal

Rectas iguales y ortogonales

TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.

DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.

EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:

1

Algebra lineal

Rectas iguales y ortogonales

TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.

DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.

EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:

1 L1 es la recta que pasa por los puntos P =

321

y Q =

130

y L2

es la recta con ecuacion vectorial

xyz

=

5−41

+ t

22−2

Algebra lineal

Rectas iguales y ortogonales

TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.

DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.

EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:

1 L1 es la recta que pasa por los puntos M =

0−20

y tiene vector

direccion v =

13−1

y L2 es la recta que pasa por los puntos

Q =

1−21

y R =

23−1

Algebra lineal

Ejercicios

Halle la ecuacion vectorial y las ecuaciones simetricas de las rectas:

1 La recta que pasa por los puntos

P =

−1201

Q =

21−11

Algebra lineal

Ejercicios

Halle la ecuacion vectorial y las ecuaciones simetricas de las rectas:

1 La recta que pasa por los puntos

P =

−1201

Q =

21−11

2 L2 es la recta con ecuacion vectorial

xyz

=

0−43

+ t

410−2

Algebra lineal

Ejercicios

Halle la ecuacion vectorial y las ecuaciones simetricas de las rectas:

1 La recta que pasa por los puntos

P =

−1201

Q =

21−11

2 L2 es la recta con ecuacion vectorial

xyz

=

0−43

+ t

410−2

3 L2 es la recta que pasa por los puntos Q =

0−21

y P =

231

Algebra lineal

PLANOS

DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c,d ∈ R

n diferentes de cero yno paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinanvectores PX que son combinacion lineal de los vectores c y d, es el planoP que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d.

Algebra lineal

PLANOS

DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c,d ∈ R

n diferentes de cero yno paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinanvectores PX que son combinacion lineal de los vectores c y d, es el planoP que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d.

Observe que PX = tc+ sd con t, s ∈ R. Ahora si x = OX y 0 = OP ,entonces para t, s ∈ R

x− 0 = tc+ sd x = 0+ tc+ sd

Esta es la ecuacion vectorial del plano.Algebra lineal

Ecuaciones del plano

PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?

Algebra lineal

Ecuaciones del plano

PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?

x = 0+ tc+ sd

x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn

Algebra lineal

Ecuaciones del plano

PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?

x = 0+ tc+ sd

x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn

EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t − sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2

1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.

Algebra lineal

Ecuaciones del plano

PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?

x = 0+ tc+ sd

x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn

EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t − sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2

1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del

plano P

Algebra lineal

Ecuaciones del plano

PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?

x = 0+ tc+ sd

x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn

EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t − sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2

1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del

plano P3 ¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?

Algebra lineal

Ecuaciones del plano

PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?

x = 0+ tc+ sd

x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn

EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t − sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2

1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del

plano P3 ¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?

4 ¿Los puntos M =

221−2

N =

64−9−2

se encuentran en el plano P?.

Algebra lineal

Ecuaciones del plano

EJEM. Encontremos una ecuacion vectorial del plano que contiene los

puntos P =

(

−253

)

, Q =

(

0−21

)

y R =

(

20−3

)

Algebra lineal

Ecuaciones del plano

EJEM. Encontremos una ecuacion vectorial del plano que contiene los

puntos P =

(

−253

)

, Q =

(

0−21

)

y R =

(

20−3

)

El plano que contiene los puntos P , Q y R tiene como vectores directoresa d1 = PQ y d2 = PR .

Algebra lineal

Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales

DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectoresdirectores de uno de los planos son combinacion lineal de los vectoresdirectores del otro plano.

Algebra lineal

Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales

DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectoresdirectores de uno de los planos son combinacion lineal de los vectoresdirectores del otro plano.

Teorema (Planos iguales- Ejer. 71 Taller2ParteB)

Dos planos son iguales, si y solo si, los dos planos son paralelos y tienenal menos un punto comun

Algebra lineal

Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales

DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con

vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al

plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.

Algebra lineal

Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales

DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con

vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al

plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.

Algebra lineal

Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales

DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con

vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al

plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.

Teorema (Inclusion de una recta en un plano)

Una recta L esta totalmente incluida en un plano P de Rn, si y solo si, la

recta es paralela al plano, (L||P) y la recta L y el plano P tienen almenos un punto en comun. (P ∩ L 6= ∅.

Algebra lineal

Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales

DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con

vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al

plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.

Teorema (Inclusion de una recta en un plano)

Una recta L esta totalmente incluida en un plano P de Rn, si y solo si, la

recta es paralela al plano, (L||P) y la recta L y el plano P tienen almenos un punto en comun. (P ∩ L 6= ∅.

DEM: Consideremos a

L : P + td t ∈ R y P : Q + rc1 + sd1, r , s ∈ R

Algebra lineal

Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales

DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con

vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al

plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.

Teorema (Inclusion de una recta en un plano)

Una recta L esta totalmente incluida en un plano P de Rn, si y solo si, la

recta es paralela al plano, (L||P) y la recta L y el plano P tienen almenos un punto en comun. (P ∩ L 6= ∅.

DEM: Consideremos a

L : P + td t ∈ R y P : Q + rc1 + sd1, r , s ∈ R

(⇒): Si L ⊂ P entonces P ∈ P (P ∩ L 6= ∅). Entonces otra ecuacionvectorial de P es P + rc1 + sd1. Ademas, como P + td ∈ L ∀t ∈ R

entonces P + td = P + r0c1 + s0d1, t ∈ R. En particular, si t = 1tenemos d = r0c1 + s0d1, es decir, d ∈ Gen{c1,d1}. Por lo tanto, L||P.

Algebra lineal

Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales

DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con

vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al

plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.

Teorema (Inclusion de una recta en un plano)

Una recta L esta totalmente incluida en un plano P de Rn, si y solo si, la

recta es paralela al plano, (L||P) y la recta L y el plano P tienen almenos un punto en comun. (P ∩ L 6= ∅.

DEM: Consideremos a

L : P + td t ∈ R y P : Q + rc1 + sd1, r , s ∈ R

(⇐): Si L||P y ∃M ∈ P ∩ L. Entonces existen α, β ∈ R tales qued = αc1 + βd1. Ahora, note que L : M + td ∀t ∈ R yP : M + rc1 + sd1, r , s ∈ R. Demostremos que L ⊂ P. Para ello, seaX ∈ L entonces X = M + t0d = M + t0(αc1 + βd1) = M + r0c1 + s0d1lo que implica que X ∈ P.

Algebra lineal

Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales

DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con

vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al

plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.

Teorema (Inclusion de una recta en un plano)

Una recta L esta totalmente incluida en un plano P de Rn, si y solo si, la

recta es paralela al plano, (L||P) y la recta L y el plano P tienen almenos un punto en comun. (P ∩ L 6= ∅.

EJEM: Encuentre una recta contenida en el plano P:

xyz

=

0−21

+ t

0−21

+ s

20−3

Algebra lineal

Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales

DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con

vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al

plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.

Teorema (Inclusion de una recta en un plano)

Una recta L esta totalmente incluida en un plano P de Rn, si y solo si, la

recta es paralela al plano, (L||P) y la recta L y el plano P tienen almenos un punto en comun. (P ∩ L 6= ∅.

EJEM: Encuentre una recta contenida en el plano P:

xyz

=

0−21

+ t

0−21

+ s

20−3

PREG: Existe otra recta contenida

en P? Cuantas rectas contenidas en P existen? Ejer. 75 Taller2ParteC

Algebra lineal

Rectas y planos ortogonales

DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con

vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es ortogonal al

plano P, si y solo si, el vector d es ortogonal tanto a c1 y d1.

Algebra lineal

Rectas y planos ortogonales

DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con

vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es ortogonal al

plano P, si y solo si, el vector d es ortogonal tanto a c1 y d1.

Algebra lineal

Ejercicios

1. Determine si la recta L:

xyz

=

2−13

+ t

2−7−2

es paralela a P:

xyz

=

0−21

+ r

0−21

+ s

20−3

.

Algebra lineal

Ejercicios

1. Determine si la recta L:

xyz

=

2−13

+ t

2−7−2

es paralela a P:

xyz

=

0−21

+ r

0−21

+ s

20−3

. Rta: N000

Algebra lineal

Ejercicios

1. Determine si la recta L:

xyz

=

2−13

+ t

2−7−2

es paralela a P:

xyz

=

0−21

+ r

0−21

+ s

20−3

. Rta: N000

2. Determine si la recta L que contiene los puntos P =

1−11

y

Q =

403

es ortogonal al plano P:

xyz

=

5−23

+ r

0−21

+ s

20−3

. Rta: Sıii

Algebra lineal

Hiperplanos

DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n.

.

Algebra lineal

Hiperplanos

DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces

PX · n = 0.

.

Algebra lineal

Hiperplanos

DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces

PX · n = 0.

Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion

(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)

es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n.

Algebra lineal

Hiperplanos

DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces

PX · n = 0.

Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion

(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)

es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.

Algebra lineal

Hiperplanos

DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces

PX · n = 0.

Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion

(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)

es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.

PORQUE

(x − p) · n = 0 equivalentemente l1x1 + l2x2 + · · ·+ lnxn = d (2)

donde con d = l1p1+ l2p2+ · · ·+ lnpn = n ·p.

Algebra lineal

Hiperplanos

DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces

PX · n = 0.

Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion

(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)

es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.

PORQUE

(x − p) · n = 0 equivalentemente l1x1 + l2x2 + · · ·+ lnxn = d (2)

donde con d = l1p1+ l2p2+ · · ·+ lnpn = n ·p.A esta ecuacion la llamamosecuacion general del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n.

Algebra lineal

Hiperplanos

DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces

PX · n = 0.

Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion

(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)

es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.

Algebra lineal

Hiperplanos

DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces

PX · n = 0.

Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion

(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)

es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.

-Hiperplanos en R son puntos-Hiperplanos en R

2 son rectas, ası que son de la forma ax + by + d = 0(Ejer. 87 Taller2parteC)-Hiperplanos en R

3 son planos, ası que son de la formaax + by + cz + d = 0. Esto lo probaremos mas adelante.

Algebra lineal

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto

P =

2−351

y es ortogonal al Eje X .

Algebra lineal

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto

P =

2−351

y es ortogonal al Eje X .

SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es

0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)

o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.

Algebra lineal

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto

P =

2−351

y es ortogonal al Eje X .

SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es

0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)

o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.

DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.

Algebra lineal

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto

P =

2−351

y es ortogonal al Eje X .

SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es

0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)

o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.

DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.

EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R4 que pasa por el

origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.

Algebra lineal

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto

P =

2−351

y es ortogonal al Eje X .

SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es

0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)

o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.

DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.

EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R4 que pasa por el

origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.

SOL: Una ecuacion del hiperplano es (x − 0) · n2 = 0; es decir,3x1 − 2x3 + x4 = 0.

Algebra lineal

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto

P =

2−351

y es ortogonal al Eje X .

SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es

0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)

o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.

DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.

EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R4 que pasa por el

origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.

SOL: Una ecuacion del hiperplano es (x − 0) · n2 = 0; es decir,3x1 − 2x3 + x4 = 0.PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?Ejer. 82 Talle2parteC

Algebra lineal

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.

Algebra lineal

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.

EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por

el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.

Algebra lineal

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.

EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por

el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.

SOL: Aquı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =

10002

.

Algebra lineal

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.

EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por

el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.

SOL: Aquı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =

10002

. Como un

punto de H1 es el origen, su ecuacion es

(x − 0) · n1 = 0 ⇔ x1 + 2x5 = 0.

Algebra lineal

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.

EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por

el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.

SOL: Aquı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =

10002

. Como un

punto de H1 es el origen, su ecuacion es

(x − 0) · n1 = 0 ⇔ x1 + 2x5 = 0.

PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?Ejer.85 Taller2ParteC

Algebra lineal

Producto vectorial

Dados dos vectores u =

(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)

de R3, definimos u× v, el

producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector

u× v =

(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

Algebra lineal

Producto vectorial

Dados dos vectores u =

(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)

de R3, definimos u× v, el

producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector

u× v =

(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j ku1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Algebra lineal

Producto vectorial

Dados dos vectores u =

(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)

de R3, definimos u× v, el

producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector

u× v =

(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j ku1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Teorema (Propiedades-Ejer. 88 del Taller2ParteC)

Si u, v y w son vectores de R3 y λ es un escalar, entonces:

1) u× v = −v× u 2) u× (v+ w) = u× v+ u× w

3) (u+ v)× w = u× w+ v× w. 4) λ(u× v) = (λu)× v = u× (λv)5) u× 0 = 0× u = 0. 6) u× u = 0.7) u× (v× w) = (u · w)v− (u · v)w. 8) (u× v) · u = (u× v) · v = 0.9) u · (v× w) = w · (u× v)

Algebra lineal

Producto vectorial

Dados dos vectores u =

(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)

de R3, definimos u× v, el

producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector

u× v =

(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j ku1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

DEM Prop. 8

u× v · u =

(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

·(

u1u2u3

)

Algebra lineal

Producto vectorial

Dados dos vectores u =

(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)

de R3, definimos u× v, el

producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector

u× v =

(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j ku1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

DEM Prop. 8

u× v · u =

(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

·(

u1u2u3

)

= (u2v3 − u3v2)u1 − (u1v3 − u3v1)u2 + (u1v2 − u2v1)u3

= u2v3u1 − u3v2u1 − u1v3u2 + u3v1u2 + u1v2u3 − u2v1u3

= 0

De manera analoga u× v · v = 0

Algebra lineal

Producto vectorial

Dados dos vectores u =

(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)

de R3, definimos u× v, el

producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector

u× v =

(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j ku1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

El producto cruz no es asociativo. Contraejemplo:

(e1 × e2)× e2 6= e1 × (e2 × e2)

Algebra lineal

Producto vectorial

Dados dos vectores u =

(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)

de R3, definimos u× v, el

producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector

u× v =

(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j ku1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

El producto cruz no es asociativo. Contraejemplo:

(e1 × e2)× e2 6= e1 × (e2 × e2)

Note que e1 × e2 = e3, e2 × e3 = e1 y e3 × e1 = e2

Algebra lineal

Producto vectorial

Dados dos vectores u =

(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)

de R3, definimos u× v, el

producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector

u× v =

(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j ku1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Algebra lineal

Teorema

Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el angulo entre los

vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.

‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange

‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial

DEM

‖u× v‖2 =

Algebra lineal

Teorema

Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el angulo entre los

vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.

‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange

‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial

DEM

‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v

Algebra lineal

Teorema

Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el angulo entre los

vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.

‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange

‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial

DEM

‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v

= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7

= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2

Algebra lineal

Teorema

Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el angulo entre los

vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.

‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange

‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial

DEM

‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v

= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7

= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2= ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖2‖v‖2 cos2 θ= ‖u‖2‖v‖2(1− cos2 θ)

= ‖u‖2‖v‖2sin2θ

Algebra lineal

Teorema

Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el angulo entre los

vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.

‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange

‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial

DEM

‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v

= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7

= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2= ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖2‖v‖2 cos2 θ= ‖u‖2‖v‖2(1− cos2 θ)

= ‖u‖2‖v‖2sin2θ

‖u× v‖ ≤ ‖u‖‖v‖

Algebra lineal

Corolario

Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.

Algebra lineal

Corolario

Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.

DEM: ⇒ si u es paralelo a v, v = λu, entonces,

u× v = u× (λu) = λ(u× u) = λ0 = 0

.

Algebra lineal

Corolario

Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.

DEM: ⇐ Como u× v = 0, entonces ‖u× v‖ = 0, pero‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ ahora, como u, v 6= 0 entonces sinθ = 0, por lotanto θ = 0 o θ = π, lo que implica que los vectores u y v son paralelos.

Algebra lineal

Corolario

Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.

Corolario

El area del paralelogramo cuyos lados no paralelos estan dados por losvectores u y v de R

3 esta dada por la magnitud del producto vectorial deellos, es decir, ‖u× v‖.

Algebra lineal

Corolario

Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.

Corolario

El area del paralelogramo cuyos lados no paralelos estan dados por losvectores u y v de R

3 esta dada por la magnitud del producto vectorial deellos, es decir, ‖u× v‖.

DEM: Observe que h, la altura del paralelogramo, esta dada porh = ‖u‖ sin θ y el area del paralelogramo, es base por altura, tenemos

A = ‖v‖h = ‖v‖‖u‖ sin θ = ‖u × v‖

Algebra lineal

Corolario

El volumen del paralelepıpedo cuyas aristas no paralelas estan dadas porlos vectores u, v y w de R

3 esta dado por el valor absoluto del productomixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.

DEM:

Algebra lineal

Corolario

El volumen del paralelepıpedo cuyas aristas no paralelas estan dadas porlos vectores u, v y w de R

3 esta dado por el valor absoluto del productomixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.

DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w

Algebra lineal

Corolario

El volumen del paralelepıpedo cuyas aristas no paralelas estan dadas porlos vectores u, v y w de R

3 esta dado por el valor absoluto del productomixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.

DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w

Observemos que h, la altura del paralelepıpedo, es la norma del vector

proyv×wu =u · (v × w)

‖v × w‖2v × w

Vol=(area del paral)(altura)=‖v × w‖ h=‖v × w‖ |u · (v × w)|‖v × w‖ = |u·(v×w)|

Algebra lineal

Corolario

El volumen del paralelepıpedo cuyas aristas no paralelas estan dadas porlos vectores u, v y w de R

3 esta dado por el valor absoluto del productomixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.

DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w

Corolario

Tres vectores u, v y w ∈ R3 son coplanares, si y solo si, u · (v×w) = 0

Algebra lineal

Teorema (Ecuacion normal del plano en R3)

El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c y

d, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal a

n = c × d, son iguales.

Algebra lineal

Teorema (Ecuacion normal del plano en R3)

El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c y

d, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal a

n = c × d, son iguales.

Algebra lineal

Teorema (Ecuacion normal del plano en R3)

El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c y

d, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal a

n = c × d, son iguales.

DEM: ⊆ Sea X ∈ P. Entonces existen α, β ∈ R tal que PX = αc + βd .Luego,

PX · n = (αc + βd) · (c × d) = αc · (c × d) + βd · (c × d) = 0

por lo tanto, PX⊥n, de donde, concluimos que X ∈ H.

Algebra lineal

Teorema (Ecuacion normal del plano en R3)

El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c y

d, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal a

n = c × d, son iguales.

DEM: ⊇ Sea X ∈ H. Entonces PX · (c × d) = 0 por el corolario anteriortenemos que PX , c y d son coplanares. Como c y d no son paralelos yson vectores distintos de cero entonces existen α, β ∈ R tal que

PX = αc + βd .

Luego, X ∈ P.

Algebra lineal

Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3)

Sean P1 y P2 dos planos en R3, con vectores normales n1 y n2, resp.

P1||P2, si y solo si, n1||n2; es decir, n1 = λn2.

P1⊥P2, si y solo si, n1⊥n2; es decir, n1 · n2 = 0.

Algebra lineal

Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3)

Sean P1 y P2 dos planos en R3, con vectores normales n1 y n2, resp.

P1||P2, si y solo si, n1||n2; es decir, n1 = λn2.

P1⊥P2, si y solo si, n1⊥n2; es decir, n1 · n2 = 0.

Algebra lineal

Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3)

Sean P1 y P2 dos planos en R3, con vectores normales n1 y n2, resp.

P1||P2, si y solo si, n1||n2; es decir, n1 = λn2.

P1⊥P2, si y solo si, n1⊥n2; es decir, n1 · n2 = 0.

EJEM: Determine si el plano P1 que contiene el punto P =

−253

y

tiene vectores directores c1 =

27−2

y d1 =

4−5−6

es paralelo o es

ortogonal al plano P2 definido por 3x − z = 4.

Algebra lineal

Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3)

Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vector

normal n ∈ R3.

L||P, si y solo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.

L⊥P, si y solo si, d ||n; es decir, d = λn.

Algebra lineal

Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3)

Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vector

normal n ∈ R3.

L||P, si y solo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.

L⊥P, si y solo si, d ||n; es decir, d = λn.

Algebra lineal

Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3)

Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vector

normal n ∈ R3.

L||P, si y solo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.

L⊥P, si y solo si, d ||n; es decir, d = λn.

EJEM: Determine si la recta L :

xyz

=

2−13

+ t

2−7−2

es paralela u

ortogonal al plano P que contiene al punto M =

5−23

y tiene vectores

directores c1 =

0−21

y d1 =

20−3

.

Algebra lineal