clase 7 clase semana 4...titulo se observa que debido a que el cuerpo se enfrรญa la constante...
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Clase 7 clase semana 4
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Aplicaciones de las EDO de primer ordenTemperatura La ley de enfriamiento de Newton establece que la rapidez con que un cuerpo se enfrรญa es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y el medio ambiente.Sean ๐(๐ก) la temperatura del cuerpo en cualquier instante de tiempo ๐ก, ๐๐ la temperatura del medio ambiente y ๐0 la temperatura inicial del cuerpo respectivamente.La EDO que modela en este caso el cambio de la temperatura del tiempo viene dada por๐๐
๐๐ก= ๐(๐ โ ๐๐), siendo ๐ una constante de
proporcionalidad.
Titulo
Se observa que debido a que el cuerpo se enfrรญa la constante ๐ resulta negativa. Para resolver la EDO anterior separamos variables
y llegamos a ๐๐
๐โ๐๐= ๐๐๐ก, de donde, integrando
tenemos que ln ๐ โ ๐๐ = ๐๐ก + ๐ถ1 (siendo ๐ถ1una constante de integraciรณn arbitraria).Pero entonces tenemos que ๐ โ ๐๐ = ๐๐ถ1๐๐๐ก = ๐ถ๐๐๐ก โ ๐ ๐ก = ๐๐ + ๐ถ๐๐๐ก.Esta รบltima expresiรณn representa la soluciรณn general (SG) de la EDO. Debido a que ๐0 = ๐ 0se obtiene que ๐ถ = ๐0 โ ๐๐ y por tanto nuestra soluciรณn particular (SP) viene dada por ๐ ๐ก = ๐๐ + (๐0 โ ๐๐)๐
๐๐ก.
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Se observa que si el cuerpo, en lugar de enfriarse se calienta, sigue siendo vรกlida la ley de Newton y se logra tener una descripciรณn anรกloga al caso considerado.Ejemplo Segรบn la ley de enfriamiento de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y el aire. Si la temperatura del medio ambiente (aire) es de 20 โ y el cuerpo se enfrรญa en 20 minutos de 100โ a 60โ ยฟen cuรกnto tiempo su temperatura descenderรก hasta 30โ?Usando la expresiรณn de la SP obtenida antes y
Titulo
notando que ๐0 =100โ, ๐๐= 20โ tenemos que la SP en este caso queda escrita en la forma ๐ ๐ก = 20 + 80๐๐๐ก.Pero el cuerpo llega a 60โ en 20 minutos y esto se traduce en que 60 = ๐ 20 = 20 + 80๐20๐.
Asรญ, ๐20๐ =1
2โ 20๐ = ๐๐
1
2โ ๐ =
1
20๐๐
1
2.
Sustituyendo ๐ en la expresiรณn de la SP correspondiente nos queda
๐ ๐ก = 20 + 80๐๐ก
20ln(
1
2) = 20 + 80(
1
2)(
๐ก
20).
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Asรญ, para calcular el tiempo que debe transcurrir para que la temperatura del cuerpo sea de 30โ debe ocurrir
30 = ๐ ๐ก = 20 + 80(1
2)(
๐ก
20).
Tenemos que despejar t. Pero entonces nos queda1
8=
1
23=
1
2(๐ก20)
โ๐ก
20= 3 โ ๐ก = 60 ๐๐๐.
Hemos usado la biyectividad de la funciรณn ๐ฆ = ๐ฅ3.
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Crecimiento de poblaciones Para una poblaciรณn dada la rapidez de crecimiento de la poblaciรณn es proporcional al nรบmero de habitantes presentes en cada instante de tiempo t.Sean N(t), ๐0 los habitantes presentes en cada instante de tiempo y en t=0 respectivamente. La EDO que modela nuestro problema viene dada
por ๐๐
๐๐ก= ๐๐, siendo k una constante de
proporcionalidad.
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Se observa que debido a que N(t) es una funciรณn creciente el signo de k es positivo. Resolvamos la EDO, que es de variables separables.
Tenemos ๐๐
๐= ๐๐๐ก. Integrando nos queda
๐๐๐ = ๐๐ก + ๐ถ1, de donde la SG viene dada por ๐ ๐ก = ๐ถ๐๐๐ก ๐ถ = ๐๐ถ1 . Pero usamos la condiciรณn inicial T(0)=๐0.Se obtiene que C=๐0 y la SP se escribe๐ ๐ก = ๐0๐
๐๐ก.Ejemplo Asumiendo que la poblaciรณn de una ciudad se incrementa a una velocidad proporcional al nรบmero de habitantes presentes,
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si la poblaciรณn se duplica en 40 aรฑos, ยฟen cuรกnto tiempo se triplica?Partiendo de nuestra soluciรณn particular tenemos que 2๐0 = ๐0๐
40๐. De aquรญ tenemos que
๐ =1
40๐๐2. Sustituyendo este valor de k en
nuestra SP nos queda
๐ ๐ก = ๐0๐๐ก
40๐๐2 = ๐02
๐ก
40.Asรญ, la poblaciรณn se triplica si ocurre
3๐0 = ๐02๐ก
40 โ ๐ก = 40๐๐3
๐๐2โ 63.4 aรฑos.
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Desintegraciรณn se sustancias radiactivas La rapidez con que se desintegra una sustancia radiactiva es proporcional a la cantidad de sustancia presente.Sean ๐ ๐ก ,๐0 las cantidades se sustancia (sin desintegrar) en los instantes t y t=0 respectivamente.
La EDO viene dada por ๐๐
๐๐ก= ๐๐.
Separando variables e integrando nos queda la SG ๐ ๐ก = ๐ถ๐๐๐ก. Usando que ๐ 0 = ๐0 llegamos a la SP๐ ๐ก = ๐0๐
๐๐ก.
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Ejemplo El uranio se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad presente en cada instante. Si en los instantes ๐1,๐2 hay ๐1,๐2
gramos de uranio respectivamente demostrar que la vida media del uranio viene dada por(๐2โ๐1)
ln(๐1๐2
)๐๐2.
La vida media del uranio viene dada por el tiempo que tarda el promedio del uranio (๐ก๐ฃ๐), en este
caso ๐0
2, en desintegrarse (quedando la otra mitad
sin desintegrarse).Sabemos que la SP es ๐ ๐ก = ๐0๐
๐๐ก.
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Los datos indican que ๐1 = ๐0 ๐๐๐1,
๐2 = ๐0 ๐๐๐2 . Dividiendo ambas ecuaciones nos
queda ๐1
๐2= ๐๐(๐1โ๐2). Se sigue que
๐๐๐1
๐2= ๐(๐1 โ ๐2). Despejando k tenemos
๐ =ln(
๐1๐2
)
(๐1โ๐2). Sustituyendo este valor de k (y
usando la vida media) en la SP se llega a
๐0
2= ๐0(
๐1
๐2)
๐ก๐ฃ๐(๐1โ๐2).
Asรญ, el tiempo de vida media viene dado por
๐ก๐ฃ๐ =๐1โ๐2 ln(
1
2)
ln(๐1๐2
)=
๐1โ๐2 ln 2
ln(๐2๐1
)=
๐2โ๐1 ln 2
ln(๐1๐2
).
GRACIAS
Datos Unidad
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