centro de masa y centroide
Post on 03-Feb-2016
44 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Definiremos primero lo que es el momento:
Si m es la masa de un cuerpo (considerandola concentrada en un solo punto) y x es la distancia de este cuerpo al punto P.
El momento M con respecto al punto P es:
𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑚 ∙ 𝑥
El concepto de momento queda ilustrado en el siguiente ejemplo
Dos niños en un balancín. Si uno de los niños pesa 20 kg
y el otro 30 kg, estando ambos a 2 metros del punto de equilibrio del balancín, todos sabemos que el balancín girará de modo que el niño más grande baje al suelo. Esto ocurre porque el momento producido por el niño de la izquierda es menor que el producido por el otro niño.
El momento del niño de la izquierda es 40 𝑘𝑔 −𝑚 y el de la derecha es 60 𝑘𝑔 −𝑚.
Si el niño de la derecha se trasladara a 2/3 del punto de equilibrio, el balancín estaría en equilibrio pues ahí ambos niños ejercerían un momento de 40𝑘𝑔 −𝑚.
En un sistema unidimencional.
Con el fin de generalizar esta idea, introduciremos una recta coordenada con el origen en el punto de apoyo. Supongamos que hay varias masas colocadas en el eje x.
La medida de tendencia del sistema a girar en torno al origen es el momento respecto al origen y se define como la suma de n productos 𝑚!𝑥! .
𝑀! = 𝑚!𝑥!
!
!!!
Si 𝑀! = 0 se dice que el sistema está en equilibrio.
Para un sistema que no se encuentra en equilibrio el centro de masa se define como el punto 𝑥 en el que habría que colocar el punto de apoyo para que el sistema alcance el equilibrio. Si el sistema se traslada 𝑥 unidades, cada coordenada 𝑥! pasaría a ser (𝑥! − 𝑥), y como el momento del sistema trasladado sería 0, tenemos:
𝑀 = 𝑚! 𝑥! − 𝑥!
!!!
= 𝑚!𝑥!
!
!!!
− 𝑚!𝑥 = 0!
!!!
Despejando la Ecuación del centro de masa:
𝑥 =𝑚! 𝑥!!
!!!
𝑚!!!!!
=𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛
𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =𝑀!
𝑚
Momentos y Centro de masa:
Es el punto P en el cual se equilibra, horizontalmente una placa delgada de cualquier
forma dada.
Si 𝑚!𝑥!!!!! = 0 , el sistema está en equilibrio.
Ejemplo 1.
Encuentra el cento de masa de un sistema de cuatro objetos, cuyas masas son 10, 45, 32, y24, colocados en lso puntos -‐4, 1, 3, 8, respectivamente, en el eje x.
𝑥 =10 −4 + 45 1 + 32 3 + 24(8)
10+ 45+ 32+ 24 =293111
Centro de masa de un sistema bidimencional:
Para extender el concepto de momento a dos dimenciones, consideremos un sistema de masas en el plano xy, localizadas en los puntos 𝑥!,𝑦! ; 𝑥!,𝑦! ,… , 𝑥!,𝑦! en el plano xy, Por analogía con el caso unidimencional, definiremos el momento del sistema respecto al eje y como
𝑀! = 𝑚!𝑥!
!
!!!
Y al momento del sistema respecto al eje x en tanto como
𝑀! = 𝑚!𝑦!
!
!!!
Las coordenadas 𝑥 ,𝑦 del centro de masa se expresan en términos de los momentos mediante las fórmulas:
𝑥 = !!! 𝑦 = !!
!
Ejemplo 2:
Hallar el centro de masas de un sistema de masas puntuales
𝑚! = 6,𝑚! = 3,𝑚! = 2,𝑚! = 9 situadas en 3,−2 ;
0,0 ; −5,3 𝑦 4,2 .
𝑥 = !!!= ! ! !! ! !! !! !! !
!!!!!!!= !!
!"= !!
!
𝑦 = !!!= ! !! !! ! !! ! !! !
!"= !"
!"= !
!
En consecuencia el centro de masa se encuentra en el punto !!!, !!
Centro de masa de una lámina plana.
Consideraremos que una lámina plana es una fina lámina de un material de densidad constante. Donde la densidad es lusualmente ujna medida de masa por unidad de volumen , tal como 𝑔/𝑐𝑚!.
Para lámina planas, sin embargo la densidad se considera como la mediad de masa por unidad de área. Suele denotarse la densidad por la letra griega 𝜌.
Consideremos una lámina plana de densidad uniforme 𝜌, acotada por las gráficas de 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔 𝑥 y 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
La masa de esta región viene dada por
𝑚 = (𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑)(á𝑟𝑒𝑎)
𝑚 = 𝜌 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥!
!
𝑚 = 𝜌𝐴
Donde A denota al área de la región.
Para hallar el centro de masa de esta lámina partimos el intervalo 𝑎, 𝑏 en n subintervalos de ancho ∆! . Sea 𝑥! el centro del i-‐ésimo subintervalo. Podemos aproximar la porción de la lámina que está sobre ese i-‐ésimo subintervalo por el rectángulo de altura ℎ = 𝑓 𝑥! − 𝑔 𝑥! . Como la densidad del rectángulo es 𝜌, su masa es
𝑚! = (𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑)(á𝑟𝑒𝑎)
𝑚! = 𝜌 𝑓 𝑥! − 𝑔 𝑥! ∆!𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 ∙ 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ∙ 𝐴𝑛𝑐ℎ𝑢𝑟𝑎
Al tomar esta masa como si estuviera en el cetro 𝑥! ,𝑦! del rectángulo, la distancia dirigida del eje x a 𝑥! ,𝑦! es 𝑦! = 𝑓 𝑥! − 𝑔 𝑥! /2
Por lo tanto el momento de 𝑚! respecto al eje x es:
𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑚!𝑦! = 𝜌 𝑓 𝑥! − 𝑔 𝑥! ∆!𝑓 𝑥! − 𝑔 𝑥!
2
Sumando los momentos y tomando el límite cuando 𝑛 → ∞ se obtiene la siguiente definición.
Momento y Centro de Masa de una Lámina Plana:
Sean f y g continuas, con 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) en 𝑎, 𝑏 y consideremos la lámina plana de densiad uniforme 𝜌 acotada por las gráficas 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥) y 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.
1.-‐ Los momentos respecto al eje x y al eje y son
𝑀! = 𝜌! !𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
2! (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥
!
!
𝑀! = 𝜌! 𝑥(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥!
!
2.-‐ El centro de masa (�̅�, 𝑦!) viene dado por �̅� = !!! 𝑒 𝑦! = !!
!, donde 𝑚 = 𝜌 ∫ (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥!
! es la masa de la lámina.
Ejemplo 1.
Hallar el centro de masa de la lámina de densidad uniforme 𝜌 acotada por la gráfica de
𝑓 𝑥 = 4− 𝑥! y el eje x
Y puesto que la masa del rectángulo representativo es:
𝜌𝑓 𝑥 ∆!= 𝜌 4− 𝑥! ∆! vemos que
𝑀! = 𝜌4 − 𝑥!
24 − 𝑥! 𝑑𝑥 =
!
!! 𝜌2
16 − 8𝑥! + 𝑥! 𝑑𝑥 =!
!!
𝜌216𝑥 −
8𝑥!
3+𝑥!
5 !!
!
=25615
𝜌
de modo que 𝑦 = !!!=
256
15 𝜌
32
3𝜌= !
!
Así el punto de equilibrio de la lámina es 0, !! como se ve en la figura.
Si observamos el procedimiento nos podemos dar cuenta que el centro de masa depende solo de su forma y no de su densidad.
Por esto al Centro de masa se le llama también centroide de la región.
En otrs palabras hallar el centroide deuna región en el plano, basta suponer que es una lámina de densidad constante 𝜌 = 1 y calcular el correspondiente centro de masa.
Ejemplo 2
Hallar el centroide de la región acotada por las gráficas de 𝑓 𝑥 = 4− 𝑥! y
𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2
El Centroide 𝑥,𝑦 de la región tiene coordenadas.
Como el centro de masa ha de estar en el eje de simetría, sabemos que �̅� = 0. Además la masa de la lámina es
𝑚 = 𝜌! (4 − 𝑥!)𝑑𝑥!
!!= 𝜌 !4𝑥 −
𝑥!
3!!!
!
=323𝜌
Para calcular el momento respecto al eje x, tomamos un rectángulo representativo como ilustra la figura. La distancia del centro del rectángulo al eje x es
𝑦! =𝑓(𝑥)2 =
4 − 𝑥!
2
Las gráficas se cortan en los puntos (−2,0) 𝑦 (1,3), como vemos en la figura lateral.
Por lo tanto el área de la región es
𝐴 = ! (2− 𝑥 − 𝑥!)𝑑𝑥 =92
!
!!
𝑥 =1𝐴
𝑥 4 − 𝑥! − (𝑥 + 2) 𝑑𝑥 =29
!
!!−𝑥! − 𝑥! + 2𝑥
!
!!𝑑𝑥 =
29−𝑥!
4−𝑥!
3+ 𝑥!
!!
!
= −12
𝑦 =1𝐴
4 − 𝑥! + (𝑥 + 2)2
!
!!4 − 𝑥! − (𝑥 + 2) 𝑑𝑥 =
29∙12
𝑥! − 9𝑥! − 4𝑥 + 12 𝑑𝑥 =!
!!
=19𝑥!
5− 3𝑥! − 2𝑥! + 12𝑥
!!
!
=125
Así pues el centroide es: 𝑥,𝑦 = − !!, !"!
Bibliografía.
Stewart. Calculo en una Variable Tracendentes y tempranas. 3ª Edición.
Larson. Calculo Tomo 1.
top related