Guıa de ProblemasCurso : Fısica II - IN1008Autor : Scarlett Stegmann Rivas

1. Centro de masa

ResumenEl centro de masa de un sistema es un punto geometrico que se comporta como si en elestuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas del sistema.Nos sirve para simplificar el sistema a un solo punto.

~rcm =∑ni=1 ~rimi∑ni=1mi

P1

En la figura se ilustra un solido conformado por dos barras perpendiculares. Una de ellas es delongitud L y masa M , y la transversal es de longitud L/2 y masa M/2. Ambas barras se unena una distancia x del extremo 0 de la barra mayor. Calcule la posicioon del centro de masas delsistema como funcion de x.

1

P2

Se tiene una barra de longitud L homogenea y doblada en V como indica la figura. El angulode doblado de la barra es α. Determine a que´ distancia del vertice (donde se dobla la barra) seencuentra el centro de masa del objeto.

P3

Determine el centro de masas de una placa cuadrada de masa uniforme y ancho c, la cual tiene unorificio cuadrado de ancho a. El centro del orificio dista b del centro de la placa.

P4

Encuentre la posicio´n del centro de masas de una lamina de densidad (de masa) uniforme µ y quetiene la forma indicada en la figura adjunta.

2

P5

Consideremos el caso de dos parti´culas identicas A y B que no interactu´an entre si´, cada unade masa m. Ambas se encuentran sobre una superficie horizontal lisa. Las posiciones de las par-ti´culas A y B corresponden a XA y XB, respectivamente. Se aplica una fuerza externa que actu´au´nicamente sobre la parti´cula B, la particula A esta´ inicialmente en reposo.

a) Expresar la aceleracio´n del centro de masa acm en funcio´n de la aceleracio´n aB.

b) Expresar la posicio´n del centro de masa en funcion de la posicio´n de ambas parti´culas. Apartir de e´sto, comprobar el resultado de la parte (a).

3

2. Torque

ResumenEl torque es un efecto de la fuerza aplicada en un sistema de partıculas, y genera rotaciones.Matematicamente, se expresa como el producto cruz (vectorial) entre el brazo de torsion yla fuerza aplicada.

~Ti = ~ri × ~Fi (1)~Tg = M( ~rcm × ~g) (2)

De forma general, la sumatoria de torque es igual al momento de inercia multiplicado por laaceleracion angular (~α). ∑

~Ti = ~αI0 (3)

Condiciones de equilibrio estatico: Estar en equilibrio hace referencia a que la dinamicano altera el estado del sistema, y estatico quiere decir que la cinematica del sistema es nula.∑

~Fi = 0 (4)∑~Ti = 0 (5)

P1

La figura muestra un letrero luminoso de masa m que cuelga de una barra (de masa despreciable)que se mantiene horizontal con la ayuda de una cuerda ubicada a una distancia ”d”desde el pivotey con un angulo α con respectoa la barra y la fuerza ejercida por la barra contra la pared. Calculela tensio´n de la cuerda y la fuerza ejercida por la barra contra la pared.Desde el cartel hasta la cuerda hay una distancia ”D”

P2

Se tiene una barra homoge´nea de masa M y largo L, que se sostiene en un pivote a una distanciaL/3 de su extremo izquierdo. Su extremo izquierdo esta´ a una altura a desde el piso, mientras que

4

su extremo derecho esta´ a una altura b, con a > b como se muestra en la figura. En el extremoderecho de la barra se ejerce una fuerza de magnitud F en el sentido vertical.

a) Calcule la magnitud F de la fuerza para que la barra este´ en equilibrio esta´tico.

b) Si se comienza a mover la barra sin variar su inclinacio´n, ¿Cua´nto debe desplazarse para quela magnitud de la fuerza ejercida sea la misma?

c) Y para que sea F = MG/2?

P3

Una tabla de longitud L y masa m reposa sobre un cilindro de radio R y masa M , como se muestraen la figura. La distancia horizontal entre el punto de apoyo de la tabla en el suelo y el centro delcilindro es D. Entre el suelo y el cilindro hay un coeficiente de roce esta´tico µ1. Entre el suelo yla tabla el coeficiente de roce esta´tico es µ2. Entre el cilindro y la tabla hay un coeficiente de roceestatico µ3. ¿Cua´les son los valores mi´nimos de u1 y u2 para que el sistema este´ en equilibrioesta´tico?

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3. Repaso movimiento circular

Repaso Movimiento CircularEn esta seccion y en las que le siguen nos sera util recordar algunos conceptos y relacionesde movimiento circular. Recordemos que este es el movimiento de una partıcula o un cuerpocon una trayectoria circunferencial.Una de las primeras cosas que llama la atencion es que, a pesar de tener una rapidez constante,en un movimiento circular siempre tenemos aceleracion, esto se debe a que la aceleracion, pordefinicion, es el cambio de velocidad en el tiempo y, en este caso, la velocidad va cambiandode direccion y sentido a medida que avanza.A esta aceleracion se le conoce como aceleracion centrıpeta (ac) y en en movimientocircular uniforme siempre es perpendicular a la trayectoria y siempre apunta hacia el centrodel cırculo.Tambien debemos reconocer la diferencia entre la velocidad tangencial (~vt) y la velocidadangular (~ω).La velocidad tangencial (~vt) corresponde a la componente tangente a la trayectoria circulary es proporcional al radio.La velocidad angular (~ω) son los angulos recorridos en radianes para un periodo de tiempo.Otras cosas importantes de observar es que en un movimiento circular podemos completaruna vuelta o, dicho de otra forma, completar un ciclo o un periodo.El periodo (T) corresponde a la cantidad de tiempo que nos toma completar un ciclo, porotra parte, la frecuencia (f) es la parte, o cantidad de ciclos que completo en un ciertotiempo.Todos los conceptos anteriores podemos relacionarlos entre si con formulas matematicas.Siendo R el radio de la circunferencia:

ac = v2t

R(6)

T = 1f

(7)

vt = ωR (8)

ω = 1πT

(9)

6

4. Torque y Momento angular

ResumenPodemos escribir el torque de otra forma:∑

~T =∑

~r × ~F = Iθ = Iα (10)

La inercia es la propiedad que tienen los cuerpos de permanecer en su estado de reposorelativo o movimiento relativo. Algunas inercias conocidas son:

Masa Puntual : I = ML2

Disco: I = L2MR2

Aro: I = MR2

Barra (desde CM): 112ML2

Barra (desde extremo): 13ML2

Otro concepto importante de entender es el teorema de steiner o teorema de los ejesparalelos el cual nos dice que si sabemos el momento de inercia de un objeto y lo hacemosrotar con respecto a otro eje paralelo desplazado a una distancia R, su nueva inercia sera:

I = ICM +MR2 (11)

Por otra parte, el momento angular es una magnitud vectorial que utilizamos en fısicapara caracterizar el estado de rotacion de los cuerpos. Esta magnitud desempena un papelanalogo al momento lineal pero con respecto a las rotaciones.

~L = m~r × ~v (12)

En donde tenemos que

~L = ~T (13)

P1

Considere el sistema de la figura, compuesto por dos masas unidas por una barra de largo 2L ymasa M . La barra puede girar libremente en torno al punto medio de ella en O. En el extremo Pde la barra se encuentra un cuerpo de masa m y en el extremo Q otro de masa 2M . Todo el sistemase mueve bajo la accion de la gravedad

a) Encuentre la ecuacion de movimiento para el angulo Φ

b) ¿Que sucede con la aceleracion angular si M m

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P2

Dos masas m unidas por un hilo de largo L, caen con el hilo horizontal partiendo desde el reposo.Despues de caer una distancia h, una de ellas choca elasticamente con una viga

a) Determine la velocidad angular con que giraran las masas en torno a su centro de masas despuesde la colision.

b) Encuentre la tension a la que estara sometido del hilo despues de que ha ocurrido la colision

P3

Se tienen dos poleas de igual radio R y masa M . La polea A tiene la masa distribuida uniformementeen su interior mientras que la polea B tiene la masa distribuida solo en el perımetro. Si se enrolla unhilo de la polea, del cual cuelga un cuerpo de masa m, determine el cuociente αA/αb las aceleracionesde ambas poleas.

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5. Rodadura perfecta y Energıa

ResumenLa rodadura perfecta es la composicion de dos movimientos por separado, la traslacionpura con velocidad Vcm y la rotacion pura con velocidad angular ω, esto da como resultadoun movimiento en el que no hay deslizamientos (osea el cuerpo no fricciona con la superficie).

Conservacion de la energıa en la rodadura:Podemos decir que la energıa se conserva a que al tener rodadura (no hay deslizamientos) notenemos friccion, por lo que antes se perdıa de energıa por el roce, ahora pasa a ser energıacinetica rotacional. En el eje fijo O (sobre el centro de masas) se tenıa que la energıa cineticaes: K = Icmω2

2 , pero esta expresion cambia cuando el eje instantaeo de rotacion se mueve,teniendo K = IPω

2

2 , es decir, ahora se utiliza la inercia en el eje fijo P.

K = Icmω2

2 + mV 2cm

2 = IPω2

2

P1

Considere dos poleas fijas unidas por una correa (o cadena) de transmision tal como se muestra enla figura adjunta. Una masa M colgada por una cuerda enrollada en la polea 1 pone en movimientoel sistema. Suponga que las poleas son discos de radio R y tienen una masa M . Note que unacorreo de transmision solo puede transmitir una fuerza de traccion. Para el presente problema solola parte superior de la correa transmite una fuerza entre las poleas.

a) Encuentre la tension T de la cuerda.

b) Encuentre la aceleracion angular de la polea 1.

c) Usando la ley de conservacion de la energıa, encuentre la velocidad v que tiene la masa Mdespues de haber bajado una distancia h (la masa M parte desde el reposo).

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P2

Un cilindro de radio a y masa m se encuentra en el punto ma´s alto de un semicilindro de radio R,con el cual tiene un coeficiente de roce esta´tico µ. En cierto instante, el cilindro es sacado de supunto de equilibrio y comienza a rodar sin resbalar sobre el semicilindro.

a) Considerando la energıa potencial y cinetica del disco en una posicion como la indicada en lafigura, determine la relacion entre α y α.

b) A partir de la ecuacion de torque, determine una expresion para calcular α funcion de α.Interpreteesta ecuacion.

c) Determine el angulo α donde el disco comienza a resbalar sobre el semidisco.

d) ¿Es posible que el disco despegue antes de que comience a resbalar?

P3

Se tienen dos cilindros de masas MA y MB, radios RA y RB y momentos de inercia respecto a suscentros IA e IB, tales que:

IAMAR2

A

>IB

MBR2B

Los cilindros se mueven sobre un plano inclinado en un angulo α, rodando sin resbalar, debido alroce estatico con la superficie. Los cilindros estan unidos por su centro mediante una cuerda idealque forma un angulo β con respecto al plano inclinado.

a) Determine la aceleracion del sistema.

b) Calcule la tension de la cuerda

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6. Oscilador armonico simple

ResumenEn nuestra cotidianeidad estamos en presencia constantemente de movimientos perodicos, esoes, cuando un objeto regresa regularmente a una posicion conocida despues de un intervalode tiempo fijo, a este fenomeno le llamamos oscilador armonico.En particular, estamos frente a un movimiento armonico simple cuando tenemos un cuerpoes cual se desplaza ligeramente de su punto de equilibrio (punto en que si no estamos enpresencia de ninguna fuerza, el objeto quedarıa en reposo) y no tenemos fuerzas disipativaspor lo que el objeto estarıa moviendose (o vibrando) durante un tiempo infinito.El movimiento del objeto con respecto a su posicion de equilibrio sera una funcion sinusoidaldel tiempo (una funcion compuesta de seno y coseno).La ecuacion de movimiento que obtenemos (en general luego de hacer sumatoria de fuerzas)tendra la forma:

∂2x

∂t2+ ω2

0x = 0 (14)

Esta es una ecuacion diferencial ordinaria (EDO) de segundo orden, esto es: siendo la posicion(x) la incognita, en la ecuacion la incognita esta derivada dos veces.(Es como resolver una ecuacion cuadratica...pero no)Cuando estamos en presencia de una EDO de la forma de la ecuacion anterior (esto es, laincognita acompanada de una constante mas la incognita derivada dos veces) la solucion essinusoidal:

x(t) = A1cos(ω0t) +A2sen(ω0t) (15)

en donde A1 y A2 son constantes arbitrarias (en la representacion grafica sinusoidal repre-sentan la amplitud de la onda) y el parametro ω0 es la frecuencia angular natural en radianespor sengundo (rad/s). Siendo 2π correspondiente a un ciclo, la frecuencia natural en Hz serelaciona con la frecuencia angular de la forma:

ω = f0 = ω02π (16)

Otra forma de escribir la solucion a la ecuacion (14) es:

x(t) = A1sen(ω0t+ φ) (17)

Donde φ representa el desfase de la funcion sinusoidal.Las constantes se pueden determinar gracias a las condiciones iniciales dadas en el problema.

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P1

Una esferita de radio r (r muy pequeno pero no despreciable) y masa m rueda sin resbalar en uncasquete cilindrico de radio R (R r) como se indica en la figura. Se quiere encontrar el periodode oscilacion de la esferita, para eso:

a) Escribir ecuacion de movimiento.

b) Hacer aproximacion de pequenas oscilaciones.

c) Obtener ecuacion diferencial para movimiento armonico simple.

d) Econtrar frecuencia de oscilacion..

e) Determine el periodo del movimiento de la esfera para pequenas oscilaciones en torno a la basedel casquete.

P2

Sobre una mesa horizontal se encuentran dos resortes ideales sin masa, misma constante k y longitudnatural nula. Los dos resortes esta´n atados al centro de la mesa. Atados a los muelles se encuentranuna masa m y una masa m/4. En un momento dado, la primera masa se lleva al punto xoi del centrosoltandola desde el reposo, mientras que a la segunda masa, situada en el origen, se le comunica unavelocidad voj. Determine la posicio´n del CM a partir de ese instante. ¿Describe un movimientoperiodico? ¿Con que periodo?

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P3

Se tiene un disco de radio R y masa M unido a un resorte de largo natural L0 y constante elasticak, que inicialmente se encuentra en reposo a una distancia d de la pared a la que esta unida elresorte como se ilustra en la figura. Si el disco rueda sin resbalar:

a) Hallar la frecuencia y periodo de pequenas oscilaciones para el disco. Realice este calculo usandodos metodos distintos.

b) Encuentre una epresion para la posicion del disco en funcion del tiempo.

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7. Oscilador armonico amortiguado y forzado

ResumenEl movimiento armonico simple ocurre en un caso ideal, esto es que se ve afectado poruna unica fuerza que hace que el objeto oscile pero, en general, estaremos en presencia demas fuerzas interactuando con nuestro sistema como las fuerzas no conservativas que fre-naran nuestro movimiento. Cuando esto pase estamos hablando de un oscilador armonicoamortiguado.En general, se puede representar la fuerza que ejerce un fluido sobre un objeto en movimientocomo ~F = −f(| ~ν |) Esta funcion depende del regimen de velocidades, densidad del fluido,propiedades termodinamicas, geometrıa del cuerpo.Para el caso de oscilaciones amortiguadas por roce viscoso la ecuacion de movimientotendra la forma:

x+ 1τx+ ω2

0x = 0 (18)

En donde la solucion para este tipo de ecuaciones sera:

x(t) = Ae−t

2τ cos(ωt+ φ0) (19)

En donde A corresponde a la amplitud de la oscilacion y ω es la frecuencia angular deoscilacion que esta dada por:

ω =

√ω2

0 + 12τ

2

Siendo ω0 la frecuencia natural de oscilacion, esto quiere decir, la frecuencia si el sistema noestuviese amortiguandose.En la ecuacion de la solucion podemos ver que la amplitud va acompanada de un terminoexponencial negativo, esto nos dice que la amplitud decae exponencialmente (se amortigua!!)Tambien podemos estar en presencia de otro tipo de fuerzas, por ejemplo, una fuerza condependencia explıcita del tiempo si este forzaje tiene una frecuencia particular el movimientooscilatorio sera amplificado. Tal frecuencia es denominada frecuencia natural de vibracion ofrecuencia de resonancia.La forma que tendra la ecuacion del movimiento oscilador armonico forzado sera:

Mx+ 1τx+ ω2

0x = F0sen(ωt) (20)

Cuya solucion es la siguiente:

x(t) = Ae−t

2τ cos(Ωt+ φ0) + F0sen(ωt+ δ)M

√(ω2

0 − ω2)2 + (ωτ )2(21)

Ω2 = ω20 − ( 1

2τ )2

En la solucion, podemos ver que el primer termino corresponde al transiente, que luego deun tiempo decae a cero y luego el movimiento solo dependera del segundo termino, dado porel forzaje.δ corresponde a el desfase entre la solucion estacionaria y el forzaje, que tambien podemosescribirlo como:

tan(δ) = ω

τ(ω20 − ω2)

La amplitud sera grande en el caso que ω ≈ ω0 que corresponde la frecuencia de resonan-cia.

16

P1

Un oscilador formado por un resorte y un cuerpo de masa m esta´ inmerso en un medio viscoso.Las oscilaciones resultan amortiguadas de forma tal que, partiendo de una amplitud A , al cabo decinco ciclos su amplitud es A/3. El lapso de cada ciclo es de 2s. Con- sidere m = 1kg y g = 10m/s.(La masa parte desde el reposo)

a) Escribir ecuacion de movimiento.

b) Encontrar ecuacion diferencial para una oscilacion amortiguada.

c) Determine frecuancia natural del oscilador.

d) Determinar coeficiente de roce viscoso.

e) Determine ademas la velocidad terminal de caıda del mismo cuerpo si es dejado caer libre yverticalmente por gravedad en el mismo medio.

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P2

Un cilindro macizo de base A, altura h y densidad ρc flota en el mar de densidad ρf .

a) Determine la posicion de equilibrio del cilindro.

b) Suponiendo que se desprecia el roce viscoso, demuestre que el cilindro presenta un movimien-to armonico simple alrededor de la posicion de equilibrio. Determina la frecuencia natural deoscilacion.

c) Suponiendo un roce viscoso de la forma ~Froce = −b~v, donde b es una constante positiva conocida,determine la ecuacio´n de movimiento correspondiente y el tiempo de decaimiento τ .

d) Considere ahora el vaiven del mar, el cual modelaremos como una fuerza periodica ~F = F0sen(ωt)j.Encuentre la nueva ecuacion de movimiento y la frecuencia de resonancia.

P3

Tenemos un cuerpo de masa m unido a dos resortes. El resorte izquierdo se encuentra unido a unapared y el derecho al punto A que oscila como x1(t) = x1cos(ωt).

a) Encuentre la ecuacion de movimiento.

b) Senale el tipo de movimiento.

c) Encuentre la solucion a la ecuacion.

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8. Ondas

ResumenUn movimiento ondulatorio se obtiene al perturbar un sistema donde todos los componentesa lo largo del sistema realizan oscilacion, de aquı nacen las ondas. La ecuacion que describea una onda es:

δ2

δt2u(x, t) = c2 δ

2

δx2u(x, t) (22)

Donde c es la velocidad de propagacion de la onda y (x, t) es la variable que depende de laposicion y del tiempo.Es importante hacer la distincion entre ondas propagativas y ondas estacionarias, ambascumplen con la ecuacion de ondas pero tienen diferencias cruciales. Las ondas viajeraspueden transportar informacion, las perturbaciones (pulsos) viajan a traves del medio. Enlas ondas estacionarias hay puntos en el medio que no sufren perturbacion (nodos), semantienen estaticos, por lo que no hay transporte.Las soluciones de D’Alambert corresponden a funciones teoricas que cumplen con laecuaccion de onda. Se distinguen las dos solucines de D’Alambert:

f(x+ct): Onda viajando hacia la izquierda.

g(x-ct): Onda viajando hacia la derecha.

Algunas ondas armonicas:δ2

δt2u(x, t) = T∆2

Iδ2

δx2u(x, t): Arreglo de Varillas.δ2

δt2u(x, t) = TρL

δ2

δx2u(x, t): Cuerda.Ademas, podemos decir que la velocidad transversal de una onda esta dada por: δ

δt(u(x, t))

Otra forma de escribir la solucion de la ecuacion de onda es de la forma:

y(x, y)) = Asen(ωt+ kx) (23)

En donde A representa la amplitud de la onda, ω la frecuencia angular y k el numero deonda.Otras relaciones importantes son:

k = 2πλ

kc = ω

ω = 2πf

En donde f es la frecuencia que podemos relacionar con el periodo a traves de: T = 1f

19

P1

(Soluciones de D’Alembert)

a) Mostrar que la funcion f(x+ ct) cumple con la ecuacio´n de onda.

b) Mostrar que la funcion g(x− ct) cumple con la ecuacio´n de onda.

c) Mostrar que la funcion f(x+ ct) + g(x− ct) cumple con la ecuacio´n de onda.

d) La expresion encontrada en c) se define como la funcion de D′Alembert para el desplazamiento,encuentre una expresion para la velocidad de dichos desplazamientossi f y g son:

f(y) = e( y

a)2, g = 0

P2

Se tiene una cuerda semiinfinita con un extremo fijo. Sobre la cuerda un pulso con velocidad defase c = 1m/s, cuya forma se muestra en la figura. En t = 0 la forma de la cuerda se describe dela siguiente manera:

y(x, t = 0) =

x− 3 si 3 ≤ x ≤ 9

−5(x− 9) si 8 ≤ x ≤ 90 si x < 3 ∨ x > 9

a) Calcule el tiempo que tarda el extremo derecho del pulso en llegar al origen.

b) La condicion de borde en x = 0 puede satisfacerse mediante la superposicion de dos pulsos: porun lado el de la figura, que viaja desde la derecha hacia el borde fijo, y por otro lado uno queviaja desde el lado imaginario de la cuerda x < 0 hacia la derecha. Dibuje este segundo pulso(para la situacion de la figura) y explique lo que sucede cuando ambos pulsos se encuentran.

c) En t = 5 dibuje la forma de la cuerda y la velocidad transversal de sus puntos.

20

P3

Se tiene una cuerda de longitud L = 10m extendida horizontalmente, de densidad ρ = 3kg/m ytension T = 12N . Los extremos de la cuerda se amarran a dos pistones, A y B, que se pueden moververticalmente. En t < 0 la cuerda y los pistones estan detenidos. En t ≥ 0 los pistones comienzana moverse con la siguiente velocidad vertical(o de fase):

vA =

0 si t < 0s ∧ t > 3s

1cm/s si 0s < t < 2s−2cm/s si 2s < t < 3s

vB =

0 si t < 0s ∧ t > 3s

2cm/s si 0s < t < 1s−4cm/s si 1s < t < 2s2cm/s si 2s < t < 3s

Grafique la forma de la cuerda, y(x), en t = 3s.

P4

Una onda transversal en una cuerda se describe mediante la funcion de onda

y(x, t) = (0.12m)sen(π8x+ 4πt)

a) Determine la rapidez y aceleracion transversales de la cuerda en t = 0.2s para el punto en lacuerda ubicado en x = 1.60m.

b) ¿Cuales son la longitud de onda, periodo y rapidez de propagacion de esta onda?

P5

Una onda progresiva transversal en un alambre tenso tiene una amplitud de 0.200mm y una fre-cuencia de 500Hz. Viaja con una rapidez de 196m/s.

a) Escriba una ecuacion en unidades SI de la forma: y(x, t) = Asen(kx− ωt) para esta onda.

b) La masa por unidad de longitud de este alambre es 4.10g/m. Encuentre la tension en el alambre.

21

P6

Una cuerda ligera, con una masa por unidad de longitud de 8.0g/m, tiene sus extremos amarradosa dos paredes separadas por una distancia igual a tres cuartos la longitud de la cuerda. Un objetode masa m se suspende del centro de la cuerda y pone tension en la cuerda.

a) Encuentre una expresion para la rapidez de onda transversal en la cuerda como funcion dela masa del objeto colgante.

b) ¿Cual debe ser la masa del objeto suspendido de la cuerda si la rapidez de onda es de 60.0m/s?

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9. Electroestatica

ResumenLa carga electrica es una propiedad fundamental de las partıculas fundamentales (electrones,protones y neutrones) que forman los atomos. Los electrones tienen carga negativa, mientrasque los protones tienen carga positiva. Los neutrones no tienen carga electrica.Todos los objetos son esencialmente neutros pero al frotar, por ejemplo, una barra de vidriocon un trozo de seda se transfieren cargas negativas de la barra a la seda. Esto deja un excesode carga positiva en la barra y por defecto un exceso de carga negativa en el trozo de seda(Ley de conservacion de la carga electrica).La unidad de carga es el coulomb (C), que es la cantidad de carga que fluye en un segundoa traves de una seccion transversal cuando la corriente es un ampere.La fuerza sobre una carga debido a una carga ubicada a una distancia esta dada por la leyde Coulomb.

~F12 = 14πε0

q1q2r2 ˆr12 = ke

q1q2r2 ˆr12 (24)

Donde ε0 es la constante de permitividad del vacıo y su valor es:

ε0 = 8.85× 1012 C2

N ·m2

Y a ke se le conoce como la constante de Coulomb.Principio de superposicion: Para un sistema de N cargas puntuales q1, q2, ..., qN la fuerzatotal sobre la carga Q esta dada por la suma de las fuerzas ejercidas por cada una de lascargas puntuales.

i=1∑N

Qqi4πε0

r

r2i

= Q

4πε0

i=1∑N

(~r − ~r′i)|~r − ~r′i|3

(25)

P1

En los vertices de un triangulo equilatero de lado L se han situado tres cargas negativas −e. Si enel centro de gravedad del triangulo se situa una carga de magnitud Q, determine el valor que debeposeer esa carga para mantener el sistema en equilibrio.

23

P2

Dos pequenas esferas de masam estan suspendidas en un punto comun mediante cuerdas de longitudL. Cada una de las esferas tiene carga q y cada cuerda forma un angulo α con la vertical comoindica la figura. Demuestre que la carga q viene dada por:

q = 2Lsen(α)

√mgtan(α)

k

Donde k es la constante 14πε0 . Determine q si m = 10[g], L = 50[cm] y α = 10.

10. Campo Electrico

ResumenSe define el campo electrico ~E que produce la carga puntual q en la posicion de la carga deprueba Q por

~F = Q~E (26)

entonces~E = 1

4πε0q

r2 r (27)

Es importante notar que el campo electrico es un vector que apunta en la misma direccionde la fuerza.Para un sistema de N cargas puntuales q1, q2, ..., qN el campo electrico en la posicion de lacarga Q esta dado por la suma vectorial de los campos electricos generados por cada una delas cargas puntuales.

~E =N∑i=1

qi4πε0

rir2i

=N∑i=1

qi4πε0

~r − ~r′i|~r − ~r′i|3

(28)

24

P1

La carga q1 = 7C y la carga q2 = −5µC esta colocada a una distancia de 0.3m. Determine el campoelectrico en el punto P ubicado a 0.4m de la carga q1 como se indica en la figura.

P2

Tres cargas estan en las esquinas de un triangulo equilatero como se muestra en la figura. Calculela intensidad del campo electrico en la posicion de la carga de 2µC debido a las cargas de 7µC y−4µC.

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P3

Cuatro cargas estan en las esquinas de un cuadrado como se muestra en la figura.

a) Determine la magnitud y la direccion del campo electrico en la posicion de la carga −q, si lascoordenadas a las cuales se encuentra son x = a, y = a

b) ¿Cual es la fuerza electrica sobre esta carga?

11. Potencial Electrico

ResumenEl potencial debido a una carga puntial q a una distancia r de la carga esta dado por:

V = kq

r(29)

El potencial debido a un grupo de cargas puntiales se obtiene sumando los potenciales debidosa cada carga individual. Siendo V un escalar, la suma es una simple operacion algebraica.La energıa potencial de un par de cargas puntuales separadas una distancia r12 esta dadapor:

U = kq1q2r12

(30)

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P1

Las tres cargas que se ven la figura estan en los vertices de un triangulo isosceles. Calcule el potencialelectrico en el punto medio de la base tomando q = 7µC

P2

Dos cargas puntuales se colocan como se muestra en la figura, donde q1 = 4µC, q2 = −2µC,a = 0.3m y b = −0.9. Calcule el valor del potencial electrico en los puntos P1 y P2. ¿Cual puntoesta a mayor potencial?

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12. Ayudantıa pre-examen

P1

Considere una polea de radio interno r y radio externo R. Del radio interno cuelga una masa m ydel externo una masa M atada a un resorte fijo al suelo de constante elastica k y largo natural l.La polea tiene momento de inercia I con respecto al centro. El sistema se ilustra en la figura.Calcule el punto de equilibrio y el periodo de pequenas oscilaciones del sistema.

P2

Una esfera de radio R, masa M y momento de inercia I = 2MR2

5 esta apoyada sobre una cuna rectarugosa, caracterizada por un coeficiente de roce dinamico µd. En el instante inicial, a la esfera sele da una velocidad angular ω0 en la direccion que indica la figura.Determine la magnitud de todas las fuerzas externas que actuan sobre la esfera y el tiempo en queesta tarda en detenerse debido al roce.

Hagan los problemas de ondas!!

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