cap 3 convolucion
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-
7/26/2019 Cap 3 Convolucion
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Analisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M EIE-UCV
CAPITULO 3
CONVOLUCION DE SEALES DE
TIEMPO CONTINUO
Y
TIEMPO DISCRETO
-
7/26/2019 Cap 3 Convolucion
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Analisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M EIE-UCV
Convolucin 49
3.1 Convolucin de seales de tiempocontinuo
Dada dos seales de tiempo continuo x(t) y
v(t), la convolucin de ellas esta definida
como:
!"
"#
#$ !!! dtvxtvtx )()()(*)(
-
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Analisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M EIE-UCV
Convolucin 50
La integral del lado derecho de la ecuacin se
denomina integral de convolucin.
Six(t) y v(t) son cero para t
-
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Analisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M EIE-UCV
Convolucin 51
Para calcular x(t)*v(t) es de ayuda graficar lasfunciones del integrando de la integral de
convolucin.
Paso 1: Grafque x(!) y v(-!) como funciones de !.
Paso 2: Sea [0,a] el conjunto de todo t tal que
, donde a es un nmero positivo.Para t igual a un
punto arbitrario en el intervalo, grafque v(t-!) yel producto x(!)v(t- !) como funciones de !.
ato ++
-
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Hector Pea M EIE-UCV
Convolucin 52
Observar que:a) v(t- !) es igual a v(-,) desplazada a derecha ent unidades de tiempo.
b) el valor de a en el intervalo [0,a] es el mayorvalor de a para el cual el producto x(,)v(t-,) tienela misma forma analtica para todos los valores det-[0,a].
Paso 3: Integre el productox(!)v(t- !) como funcinde !, con lmites!=0 hasta !=t.
Paso 4: Para t igual a un punto arbitrario en elintervalo [a,b], grafique v(t-,) y el productox(,)v(t-,) como funciones de ,....etc.
-
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Hector Pea M EIE-UCV
Convolucin 53
Ejemplo 1: Convoluci
n de pulsosSean x(t)=s(t)-2s(t-1)
v(t)=s(t)-s(t-1)
Paso 1: grafico de x(,) y v(-,)
X(,) V(-,)
-1
,
1
1 2
, -1-2
FIGURA 1
-
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Convolucin 54
Paso 2: el grafo y el producto para t-[0,1]X(,) V(t-,)
-1
,
1
1 2
,
-1-2
t-1t
x
=
t
,
1
-1
1
x(,)v(t-,)
Observar que entre 0 y 1 la
forma analtica es la misma,
luego a=1.
FIGURA 2
-
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Convolucin 55
Para t-[1,2] la forma del producto cambia como semuestra a seguir:
Paso 3: integrando el producto de la Figura 2 se
obtiene
FIGURA 3
1
-1
0 1 2 , , ,
x(,) v(t-,)x = x(,)v(t-,)
t-1 t t-1
t
0 011
2
2
! $$ tdtvtx !1)(*)(
-
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Convolucin 56
Paso 4: t-[2,3] el producto x(,)v(t-,) cambia como:
De las figuras 3 y 4 la forma analtica cambia delintervalo [1,2] al [2,3]. Valor de b es 2.
1
-1
0 1 2, , ,
x(,) v(t-,)x = x(,)v(t-,)
t-1 t
t-1
0 0
1
12
2
FIGURA 4
-
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Convolucin 57
Paso 5: Integrando el producto de la figura 3
obtenemos:
Repitiendo el paso 5 para el intervalo t=[2,3]
tenemos, de la figura 4
finalmente para t%3, el producto es cero (0) ya queno existe sobre posicin entre x(,) y v(t-,).
32)1)(1()1(1
)1()1()(*)(1
1
1
.#$##.##$
#.$ !!#
ttt
ddtvtx
t
t
!!
3)]1(2)[1(
)1()(*)(
2
1
#$###$
$ !#
tt
dtvtxt
!
-
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Convolucin 58
As, el grfico de la convolucin x(t)*v(t) es el
siguiente:
En forma analtica se expresa como:
)]3()2()[3(..
)]..2()1()[32(..
)]....1()([)(*)(
####.
###.#.
##$
tstst
tstst
tststtvtx
1
-1
1 2 3
t
t -2t+3
t-3
FIGURA 5
-
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Convolucin 59
Ejemplo 2: Convolucin de segmentos
exponenciales:
Sean las seales:
La seales se grafican en la figura 6
()
* ++
$/+
/+
'(
')
*
$
##
totro
te
tvotros
t
t
e
e
tx
t
t
t
40
0)(t
21
10
0
)(2
-
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Convolucin 60
FIGURA 6
a0
1
2
3
1 2 3 4
te
te #2
x(t)
d
1
2
3
0
1
2
3
1 2 3
te #
v(t)
b
tt
-40 -3 -2 -1
1
2
3
!! ee $## )(
1 2 3 4
!e
!#2e
x(,) v(-,)
0c
, ,
-
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Convolucin 61
FIGURA 7
0 1 2 3 4
!e
!#2e
x(,) v(t-,)
-4c,
t-4
x
=
)( !! ## tee-3 -2 -1
1
2
3
)( !## te
0 ,t
1
1 t
)()( !! #tvx
!2 3
Intervalo [0,1]
-
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Convolucin 62
FIGURA 8
Para intervalo [2,4]
Para intervalo [4,5]
Para intervalo [5,6]
-3 -2 -1
1
2
3
)( !## te
0 ,t
1t-4
)( !! ## t
ee )(2 !! ### tee
t
1
2
3
1 2 3 -4
)( !#tv
)()( !! #tvx
Intervalo [1,2]
teee
tvtx #001
2334
5.
#$ 2
2
2
1)(*)(
tt
eeetvtx
##
#$ ]3[2
1
)(*)(
)4(22
tetetvtx ##$ )6()(*)( 2
-
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Convolucin 63
3.2 Propiedades de la Convolucin
a) ASOCIATIVIDAD:
b) CONMUTATIVIDAD:
Para la definicin de convolucin
c) DISTRIBUTIVA:
)](*)([*)()(*)](*)([ twtvtxtwtvtx $
)(*)()(*)( txtvtvtx $
! !"
"#
"
"#
#$# !!!!!! dtxvdtvx )()()()(
)(*)()(*)()]()([*)( twtxtvtxtwtvtx .$.
-
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Convolucin 64
d) PROPIEDAD DEL DESPLAZAMIENTO:
e) PROPIEDAD DE LA DERIVADA:
)()(y)()(Sea ctvtvctxtx cc #$#$
)(*)()(donde
)(*)()(*)()(
:Entonces
tvtxtw
tvtxtvtxctw cc
$
$$#
)(*)()](*)([
:entonces,existe)(de)(Si
tvtxtvtxdtd
txtx
6
6
$
-
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Convolucin 65
Si ambas seales tienen primera derivada, entonces:
f) PROPIEDAD DE INTEGRACION:
Entonces:
)(*)()](*)([2
2
tvtxtvtxdt
d 66$
!
!
"#
#
"#
#
$
$
t
t
dvtv
dxtx
!!
!!
)()(Sea
)()(Sea
)1(
)1(
)1()1()1( **)*( ### $$ vxvxvx
-
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Convolucin 66
g) CONVOLUCION CON EL IMPULSO
UNITARIO:
Sea 7(t) el impulso unitario en el origen, entonces:
)(
)()(
)()()(*)()(*)(
tx
dtx
dtxtxtttx
$
$
#$$
!
!"
"#
"
"#
!!"
!!!"""
-
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Convolucin 67
h)CONVOLUCION CON EL IMPULSO
UNITARIO DESPLAZADO:
Sea
Entonces:
)()( cttc #$""
)()(*)( ctxttx c #$"
-
7/26/2019 Cap 3 Convolucion
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Analisis de Seales y Sistemas
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Seales 68
3.3 Convolucin de seales de tiempo discreto
Dadas dos seales de tiempo discreto x[n] y v[n],
su convolucin esta definida como:
Y se le conoce como la suma de convolucin.
Si para enteros negativos las seales de tiempo
discreto son nulas
Entonces: (a)
8"
#"$
#$i
invixnvnx ][][][*][
'(
')* #$ 8$
n
i
invixnvnx
0
][][0
][*][
-
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Analisis de Seales y Sistemas
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Seales 69
Ejemplo: Convolucin de pulsos rectangulares
Suponga que x[n] y v[n] son iguales al pulso
rectangularp[n] definido como:
Figura 9
(
)* ++
$
n
50
0
1][
otrotodo
nnp
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Analisis de Seales y Sistemas
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Seales 70
Visto que ambas seales discretas son nulas para n
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Seales 71
Para cualquier valor positivo de n, v[n-i] es igual a
v[-i] desplazada a derecha en n pasos. El grfico
de v[n-i] como funcin de i para n#5 se presenta
en la figura 11(b) y x[i] en la figura 11(a). Se
presenta tambin el producto x[i]v[n-i] en la
figura 11(c). El producto es un pulso rectangularde amplitud 1 desde i=0 a i=n, luego la suma de
los valores del producto anterior es igual a
(n+1)(1)=n+1. Es decir
50para1][*][ ++.$ nnnvnx
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Seales 72
Figura 11 (a) Figura 11 (b)
Figura 11(c)n-5
n
n
n
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Analisis de Seales y Sistemas
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Seales 73
Para un valor arbitrario de n entre 6 y 11 el calculo
del producto se presenta en la figura 12. En este
caso el producto es un pulso rectangular de
amplitud 1 desde i=n-5 hasta i=5. Luego la suma
de los valores del producto es igual a
[5-(n-5)+1](1)=11-n, luego
Finalmente para n>11 las seales de tiempo discreto
no se sobreponen entonces su producto es 0, luego
11611][*][ ++#$ nnnvnx
110][*][ 9$ nnvnx
-
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Analisis de Seales y Sistemas
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Seales 74
Figura 12(a) Figura 12(b)
Figura 12 (c )
n-5 n
n-5 5
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Analisis de Seales y Sistemas
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Seales 75
y la Convolucin de ambas seales de tiempo
discreto se muestra en la Figura 13.
Observar que el resultado es un pulso triangular conuna duracin igual al doble de la del pulsorectangular
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Seales 76
Ejemplo: Uso de formas analticas
Suponga quex[n]=ans[n] y que v[n]=bns[n] dondes[n] es la funcin escaln unitario de tiempo
discreto y a,b son nmeros reales fijos no nulos.
Entonces para la ecuacin (a) (transparencia 68)
insertando x[i]=ai
s[i] y v[n-i]=bn-i
s[n-i],n=0,1,2.. Obtenemos:
Como s[i]=1 y s[n-i]=1 para todo valor entero de i
de i=0 a i=n.se tiene
8$
# $#$n
i
ini ninsbisanvnx0
..2,1,0],[][][*][
8 8$ $
# $01
234
5$$
n
i
i
nini nb
abbanvnx
0
n
0i
..2,1,0][*][
-
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Analisis de Seales y Sistemas
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Seales 77
Si a=b
y
Si a:b
Asi,
..2,1,0),1()1(][*][
10
$.$.$
.$01
234
58$
nnanbnvnx
nb
a
nn
n
i
i
8$
.
01
234
5#
01
234
5#$0
1
234
5n
i
n
i
b
a
b
a
b
a
0
1
1
1
ababnvnx
nn
##$ ..
11][*][
-
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Analisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M EIE-UCV
Seales 78
Para el caso cuandox[n] y v[n] no son cero para
n
-
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Analisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M EIE-UCV
Seales 79
La operacin de convolucin puede se evaluada
utilizando de un arreglo que se define de lasiguiente manera:
1a fila los valores x[N], x[N+1], ....
2a fila los valores v[M], v[M+1],....
3a fila el producto del primer elemento de la segunda
fila con los elementos sucesivos de la primera fila.
4a fila el producto del segundo elemento de la
segunda fila con los elementos sucesivos de la
primera fila
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Analisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M EIE-UCV
Seales 80
Es decir
Donde y[n]=x[n]*v[n]
v[M+3]
y[M+N+3]y[M+N+2]y[M+N+1]y[M+N]
..
..
x[N+1]v[M+2]x[N]v[M+2]
x[N+2]v[M+1]x[N+1]v[M+1]x[N]v[M+1]
x[N+3]v[M]x[N+2]v[M]x[N+1]v[M]x[N]v[M]
v[M+2]v[M+1]v[M]x[N+3]x[N+2]x[N+1]x[N]
-
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Analisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M EIE-UCV
Seales 81
Ejemplo numrico: Suponga quex[n] y v[n] estn
dadas como:
1253-2142
3031
5-120
-1-21-1
0< -20< -1
v[n]nx[n]n
-
7/26/2019 Cap 3 Convolucion
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Analisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M EIE-UCV
Seales 82
Entonces el arreglo ser:
As: y[-3]=-1; y[-2]=3; y[-1]=10; y[0]=15.
y[n]=0 para n
-
7/26/2019 Cap 3 Convolucion
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Analisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M EIE-UCV
Seales 83
3.4 Propiedades de la Convolucin discreta
a) Asociatividad:
b) Conmutatividad:
c) Distributividad sobre la suma
])[*][(])[*][(])[][(*][ nwnxnvnxnwnvnx .$.
][*][][*][ nxnvnvnx $
][*][][*][])[][(*][ nwnxnvnxnwnvnx .$.
-
7/26/2019 Cap 3 Convolucion
37/38
Analisis de Seales y Sistemas
Hector Pea M EIE-UCV
Seales 84
e)Propiedad del desplazamiento
f) Convolucin con el pulso unitario
x[n]* "[n]=x[n]
Claramente el pulso unitario es el elemento identidad
de la operacin convolucin.
][][y][]]Sea qnvnvqnxnx qq #$#$
][*][][*][][
:Entonces
nvnxnvnxqnw qq $$#
-
7/26/2019 Cap 3 Convolucion
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Analisis de Seales y Sistemas
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Seales 85
g) Convolucin con el pulso unitario desplazado
Es decir, la operacin es equivalente al
desplazamiento dex[n] en q pasos.
x[n]*"q[n]=x[n-q]
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