cálculo matricial y sistemas lineales

CAPÍTULO 2

CÁLCULO MATRICIAL Y SISTEMAS LINEALES

OBJETIVO

El objetivo de este capítulo es introducir alestudiante a los conceptos básicos del

cálculo matricial. Al final del capítulo elestudiante será capaz de hacer operaciones

básicas sobre las matrices (inversión,determinante, descomposición LU) y de

resolver sistemas de ecuaciones lineales pordiferentes métodos. El estudiante será

igualmente capaz de diagnosticar la calidadde la solución obtenida

MATRICES

nm3n2n1n

m3333231

m2232221

m1131211

ij

a...aaa

.....

.....

a...aaa

a...aaa

a...aaa

}a{][AA

PROPIEDADES• Matriz cuadrada: m = n.• La suma de matrices es conmutativa: A+B = B + A• El producto de matrices NO es

conmutativo: A·B B·A• El producto es distributivo con respecto a la

adición:• C(A+B) = C·A + C·B

MATRIZ IDENTIDADo unitaria

1...000

.....

.....

0...100

0...010

0...001

I

MATRIZ TRANSPUESTA

nmmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

..

......

.....

..

..

..

321

3332313

2322212

1312111

TA

MATRIZ CUADRADA

nnnnn

n

n

n

ij

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

a

...

.....

.....

...

...

...

}{][

321

3333231

2232221

1131211

AA

VECTOR FILA

mj aaaaa 11312111 ...}{][ AA

MATRIZ SIMÉTRICA

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

...

.......

.......

...

...

...

321

3332313

2232212

1131211

S

MATRIZ TRIDIAGONAL(matriz tipo banda)

nn 1nn

n 1n1n 1n2n 1n

1n 2n2n 2n

3332

232221

1211

0...000

...000

0...000

.........

.........

000...0

000...

000...0

aa

aaa

aa

aa

aaa

aa

T

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

nn

n 1n1n 1n

n 2-n1n 2n2n 2n

n 31n 32n 333

n 21n 22n 22322

n 11n 12n 1131211

00...000

0...000

...000

.........

.........

...00

...0

...

u

uu

uuu

uuuu

uuuuu

uuuuuu

U

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

nn 1nn 2nn 3n 2n 1n

1n 1n2n 1n3 1n2 1n1 1n

2n 2n3 2n2 2n1 2n

333231

2221

11

...

0...

00...

.........

.........

000...

000...0

000...00

llllll

lllll

llll

lll

ll

l

L

TRAZA Y RANGO

• Se llama traza de una matriz a la suma de los valores pertenecientes a su diagonal.

• El rango de una matriz es la mínima dimensión de la misma tal que sus filas y/o columnas sean linealmente independientes.

INVERSO DE UNA MATRIZ

• Se llama inverso de una matriz a la matriz denotada A-1 tal que su producto por la matriz A sea igual a la matriz identidad.

I =A A 1-

SISTEMAS LINEALES

nnnnnn

nn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...........

...........

...

...

...

2211

33232131

22222121

11212111

SISTEMAS LINEALES

nnnnnnn

n

n

n

b

b

b

b

x

x

x

x

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

.

.

.

..

...

.......

.......

...

...

...

3

2

1

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

A x = b, A-1A x = A-1 b, x = A-1 b

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES

• Calculando el inverso de la matriz A. Poco

recomendable (x = A-1 b).• Utilizando métodos directos. Los más

convenientes.• En caso de que los métodos directos no

funcionen, se pueden utilizar los métodos iterativos.

Métodos directosMétodo de Gauss (triangularización)

• Método eficiente para resolución de sistemas lineales.

• Se basa en un método de sustitución.• El objetivo es reemplazar por elementos

nulos todas las posiciones por debajo de la diagonal.

Sustitución Gaussiana• El método se basa en obligar a que ciertos

valores de una línea o de una columna se vuelvan nulos, combinando hábilmente las filas(o las columnas) entre sí.

nm3n2n1n

m3333231

m2232221

m1131211

ij

a...aaa

.....

.....

a...aaa

a...aaa

a...aaa

}a{][AA

Método de Gauss (triangularización)Primera reducción

1 1

1 ij 1j i

1j i a

aaaa con i1 y 1jn+1

1 1

1 i1i

1i a

abbb con i1 y 1jn+1

Método de Gauss (triangularización)

1

13

12

1

3

2

1

113

12

13

133

132

12

123

122

1131211

.

.

.

..

...0

.......

.......

...0

...0

...

nnnnnn

n

n

n

b

b

b

b

x

x

x

x

aaa

aaa

aaa

aaaa

Método de Gauss (triangularización)Segunda reducción

12 2

12 i1

j 21

j i2j i

a

aaaa

12 2

12 i1

212

a

abbb ii

2

23

12

1

3

2

1

223

23

233

12

123

122

1131211

.

.

.

..

...00

.......

.......

...00

...0

...

nnnnn

n

n

n

b

b

b

b

x

x

x

x

aa

aa

aaa

aaaa

Método de Gauss (triangularización)Fórmula general

1kkk

1kk i1k

jk 1k

j ikj i

a

aaaa 1k

kk

1kk i11

a

abbb k

kki

ki

1

23

12

1

3

2

1

1

23

233

12

123

122

1131211

.

.

.

..

...000

.......

.......

...00

...0

...

nnn

nnn

n

n

n

b

b

b

b

x

x

x

x

a

aa

aaa

aaaa

Método de Gauss (triangularización)Resolviendo x

1nnn

1

a

bx

nn

n 2-n1)-1)(n-(n

n2n1)n-(n

2n1n

1na

xabx

1-ii i

n

1ijj

1ij i

1ii

ia

xab

x

DETERMINANTE

1

det( )n

ij iji

a S

A A

1111 a = )det(a = )det(A

211222112221

1211det)det( aaaaaa

aa

A

DETERMINANTE

)()(

)(det)det(

31223221133123332112

3223332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaa

aaaaa

aaa

aaa

aaa

A

Resolver un determinante de orden superior con esta técnica no es recomendable, pues se hace inoperante.

Sustitución Gaussiana:Cálculo del determinante

1nnn

2n3

233

1n2

123

122

n1131211

a...000

.......

.......

a...a00

a...aa0

a...aaa

det)det(A

n

1i

)1i(iia)det(A

Método de Gauss-Jordan (diagonalización)

• Es una modificación del método de Gauss.• Las sustituciones se hacen sobre todas las

líneas, excepto las del pivote.• El objetivo es obtener una matriz diagonal.

Método de Gauss-Jordan

1 1

1 ij 1j i

1j i a

aaaa

1 1

1 i1i

1i a

abbb

1

13

12

1

3

2

1

113

12

13

133

132

12

123

122

1131211

.

.

.

..

...0

.......

.......

...0

...0

...

nnnnnn

n

n

n

b

b

b

b

x

x

x

x

aaa

aaa

aaa

aaaa

Método de Gauss-Jordan

1kkk

1kk i1k

jk 1k

j ikj i

a

aaaa 1k

kk

1kk i11

a

abbb k

kki

ki

2 2 2111 13 1 1

1 1 1 1222 23 2 2

2 2 2333 3 3

2 2 23

0 ...

0 ...

0 0 ....

.. . . ... . .

.. . . ... . .

0 0 ...

n

n

n

nn nn n

xa a a b

xa a a b

xa a b

xa a b

Método de Gauss-Jordan

111 1 1

1 122 2 2

2 133 3 3

1 1

0 0 ... 0

0 0 ... 0

0 0 ... 0.

. . . ... . . .

. . . ... . . .

0 0 0 ...

n

n

n

n nnn n n

a x b

a x b

a x b

a x b

1kkk

1kk i1k

jk 1k

j ikj i

a

aaaa 1k

kk

1kk i11

a

abbb k

kki

ki

Método de Gauss-Jordan

• El vector solución se obtiene directamente desde la última transformación como:

xi=bin-1/aii

n-1

Problemas Gauss y Gauss-Jordan

• División entre 0, esto debido a la presencia de un pivote nulo.

• Errores de redondeo, depende del número de cifras significativas usadas.

• Sistemas mal condicionados• Sistemas singulares, posee 2 ecuaciones

linealmente dependientes, determinante nulo

Gauss y Gauss-Jordan con Pivote

• Se utiliza la técnica del pivoteo para evitar la división entre 0 o entre números pequeños

• Pivoteo parcial: se intercambian filas de tal forma que el pivote es el mayor, en valor absoluto, elemento de la columna (equivale a cambiar el orden de las ecuaciones)

• Pivoteo total: Se intercambian filas o columnas para que el pivote sea el mayor posible. Al intercambiar columnas se intercambia el orden de las variables

Método de Gauss (Pivote Parcial)

11 12 13 14 1 11 1 122 23 24 2 21 1 132 33 34 3 31 1 142 43 44 4 4

0

0

0

a a a a x b

a a a x b

a a a x b

a a a x b

11 12 13 14 1 11 1 142 43 44 2 41 1 132 33 34 3 31 1 122 23 24 4 2

0

0

0

a a a a x b

a a a x b

a a a x b

a a a x b

Pivóte Máximo

11 12 13 14 1 11 1 122 23 24 2 21 1 132 33 34 3 31 1 142 43 44 4 4

0

0

0

a a a a x b

a a a x b

a a a x b

a a a x b

Método de Gauss (Pivote Total)

11 13 12 14 1 11 1 123 22 24 3 21 1 133 32 34 2 31 1 143 42 44 4 4

0

0

0

a a a a x b

a a a x b

a a a x b

a a a x b

Pivóte Máximo

Método de Gauss paramatrices simétricas

• Las matrices simétricas tienen datos redundantes.

• Se puede almacenar la mitad de la matriz en un arreglo monodimensional, ahorrando la mitad de la memoria.

Método de Thomas para matrices tridiagonales

• Este método de resolución de matrices tridiagonales se basa en un método tradicional de sustitución.

• Debido a la poca densidad de términos en este tipo de matriz, la secuencia de cálculos puede ser conducida de tal forma que se reduzca considerablemente el número de operaciones.

Método de Thomas

n

1n

2n

3

2

1

n

1n

2n

3

2

1

nn 1nn

n 1n1n 1n2n 1n

1n 2n2n 2n

3332

232221

1211

b

b

b

.

.

b

b

b

x

x

x

.

.

x

x

x

aa0...000

aaa...000

0aa...000

.........

.........

000...aa0

000...aaa

000...0aa

Método de Thomas

• Este sistema de ecuaciones es equivalente a:

nnnn 1n1nn

i1i1i iii i1i1i i

122 111 1

bxaxa

.....................

bxaxaxa

.....................

bxaxa

Método de Thomas

• El proceso de sustitución que se aplica a cada línea es equivalente al método de Gauss con pivote, pero se simplifica debido a la presencia de los numerosos ceros:

1i 1-i

1-i ii 1-ii i

'i i a

aaaa

1i 1i

1i i1iii a

abb'b

Método de Thomas• Los ai i-1 transformados son siempre nulos

(posición por debajo del pivote) y los ai i+1 quedan inalterados por que el valor en la posición superior a ellos es también siempre nula. El sistema se transforma en:

n

1n

2n

3

2

1

n

1n

2n

3

2

1

nn

n 1n1n 1n

1n 2n2n 2n

2n 3n

33

2322

1211

'b

'b

'b

.

.

'b

'b

b

x

x

x

.

.

x

x

x

'a00...000

a'a0...000

0a'a...000

..a......

......0..

000...'a00

000...a'a0

000...0aa

Método de Thomas

• Una vez terminada la fase de sustitución en todas las ecuaciones, se puede proceder al cálculo del vector solución mediante las ecuaciones:

nn

nn a'

b'x

i i

1i1i iii a'

xa'bx

Método de LU

• En el método de Gauss tradicional, el hecho de que se pueda llegar a una forma triangular simplifica sustancialmente los cálculos al tener solamente una sustitución inversa que realizar. La premisa del método LU es justamente la descomposición en matrices triangulares, razón por la cual esta característica pueda ser aprovechada.

CÁLCULO MATRICIAL

MÉTODO LU (lower y upper)• Técnica muy utilizada en la resolución de

sistemas de ecuaciones.• El objetivo es descomponer una matriz en

dos triangulares equivalentes, tal que se cumpla que:

A = L U

Método de LU El problema a resolver es:

Ax=b

La introducción de la descomposición LU conduce a:LUx=b

Si ahora se introduce la variableintermedia z igual al producto Ux, se llegaa:

Lz=b

Método de LU• Esta última ecuación permite obtener por

simples sustituciones el vector z ya que z1=b1/l11, z2=(b2-l21z1)/l22 y así sucesivamente.

n

3

2

1

n

3

2

1

nn3n2n1n

333231

2221

11

b

.

.

b

b

b

z

.

.

z

z

z

l...lll

.......

.......

0...lll

0...0ll

0...00l

Método de LU

• Una vez conocido el vector z, es muy fácil utilizar una técnica similar para obtener x ya que

n

3

2

1

n

3

2

1

nn

n333

n22322

n1131211

z

.

.

z

z

z

x

.

.

x

x

x

u...000

.......

.......

u...u00

u...uu0

u...uuu

Método LU

nnnnn

n

n

n

nn

n

n

n

aaaa

aaaa

aaa

aaaa

u

uu

uuu

uuuu

lll

ll

l

.

.....

.....

.

.a

.

.000

.....

.....

.00

.0

.

.

1.

.....

.....

0.1

0.01

0.001

321

3333231

2232221

1131211

333

22322

1131211

3n 2n 1n

3231

21

A = L U

Método LU

a11=1 . u11

nnnnn

n

n

n

nn

n

n

n

aaaa

aaaa

aaa

aaaa

u

uu

uuu

uuuu

lll

ll

l

.

.....

.....

.

.a

.

.000

.....

.....

.00

.0

.

.

1.

.....

.....

0.1

0.01

0.001

321

3333231

2232221

1131211

333

22322

1131211

3n 2n 1n

3231

21

nnnnn

n

n

n

nn

n

n

n

aaaa

aaaa

aaa

aaaa

u

uu

uuu

uuuu

lll

ll

l

.

.....

.....

.

.a

.

.000

.....

.....

.00

.0

.

.

1.

.....

.....

0.1

0.01

0.001

321

3333231

2232221

1131211

333

22322

1131211

3n 2n 1n

3231

21

Método LU

a12=1 . u12

a1j=1 . u1jEn general,

Método LU

nnnnn

n

n

n

nn

n

n

n

aaaa

aaaa

aaa

aaaa

u

uu

uuu

uuuu

lll

ll

l

.

.....

.....

.

.a

.

.000

.....

.....

.00

.0

.

.

1.

.....

.....

0.1

0.01

0.001

321

3333231

2232221

1131211

333

22322

1131211

3n 2n 1n

3231

21

a21=l21 . u11 a31=l31 . u11

ai1=li1 . u11En general,

Método LU• De esta forma:

1 1

1 1 11

1

1

1

1

Fila 1 de U: ( )

Col. 1 de L: ( )

Fila i de U: ( , 1, 1)

Col. j de L: ( , 1, 1)

j j

i i

i

ij ij ik kjk

j

ij ij jj ik kjk

a u j

a l u i

a u l u j i i j

a l u l u j i i j

MÉTODOS ITERATIVOS

• Los métodos iterativos se basan en hacer una sustitución de una de las variables (distinta para cada ecuación) y expresar esta variable en función de las otras.

• El problema se transforma en un proceso iterativo ya que se requiere tener un primer estimado de lo que podría ser la solución.

MÉTODOS ITERATIVOS• Con este primer vector solución se puede

calcular un nuevo vector modificado de la solución.

• Al repetir estas operaciones numerosas veces, se obtiene una aproximación cada vez mejor de la solución.

• El proceso iterativo se detiene cuando la solución es suficientemente estable entre dos operaciones consecutivas.

MÉTODOS ITERATIVOS

• El primer estimado que suele usarse para hallar el vector solución es el vector nulo.

• Entre los métodos iterativos se encuentran el de Jacobi, Gauss-Seidel y relajación.

Método iterativo de Jacobi

• De todos los métodos iterativos, el método de Jacobi es el más sencillo de aplicar y comprender.

• Sin embargo no es un proceso muy eficiente en cuanto a la obtención del resultado.

Método iterativo de Jacobi

• La ecuación matricial puede ser modificada y reescrita de la forma:

0...xaxabxa

...................

xa...0xabxa

.....................

xa...xa0bxa

2n211n nnnn

nn 211 22222

nn 122 1111 1

Método iterativo de Jacobi• Este conjunto de ecuaciones puede ser

escrito en forma matricial si se descompone la matriz A en la suma de tres matrices (una triangular inferior con ceros en la diagonal, una diagonal y una triangular superior con ceros en la diagonal). A = L + D + U.

• De la igualdad original correspondiente al sistema lineal A x = b se puede entonces obtener:

Método iterativo de Jacobi

• (L+D+U)x=b• Dx=b-(L+U)x• Esta última forma indica que el vector x

puede ser obtenido a partir de un estimado inicial del mismo vector x.

• Esta forma, conocida como forma implícita, permite obtener en forma iterativa una aproximación cada vez mejor del vector x solución del sistema lineal.

Método iterativo de Jacobi

• Para diferenciar las etapas sucesivas de cálculo del vector x, se le suele indicar el orden de la iteración como superíndice. La expresión anterior se transforma entonces en:

• x(k+1) = D-1(b-(L+U)x(k))

Método iterativo de Jacobi• Siendo la matriz D una matriz diagonal, su

inverso se obtiene simplemente reemplazando el termino de la diagonal por su propio inverso (1/aii).

• En cuanto a la operación de cálculo propiamente dicho, su expresión es:

ii

n

ij1j

)k(jiji

)1k(i a

xab

x

Método iterativo de Jacobi

• Como se había mencionado anteriormente, si bien este método es sumamente sencillo para ponerlo en funcionamiento, su rendimiento en cuanto a número de iteraciones hace poco interesante su uso.

Método iterativo de Jacobi

• En lo que se refiere a convergencia, una condición suficiente (pero no necesaria) es que la matriz A inicial sea diagonalmente dominante.

• Esta condición se cumple si:

n

ij,1jijii aa

Método iterativo de Jacobi

• En realidad, estos sistemas lineales pueden llegar a converger aún si todas sus líneas no cumplen con este requisito.

• En los nuevos programas usando procesadores en paralelo, se está usando el método de Jacobi por permitir separar la información y procesarla en forma paralela (Smith, 1992).

Método iterativo de Gauss-Seidel

• El método de Gauss-Seidel es una simple modificación del método original de Jacobi.

• Se diferencia solamente por el hecho de que cuando se quiere calcular el elemento xi

k+1 del vector x se conoce a este nivel del cálculo todas las estimaciones recientes de xj

k+1 (con j<i).

Gauss-Seidel

• Si el proceso es convergente estos valores de xj

k+1 son más cercanos a los anteriores xjk

, razón por la cual el proceso de convergencia debe ser mejor.

• La escritura matricial correspondiente al método de Gauss-Seidel es:

• (D+L)x(k+1)=b-Ux(k)

Gauss-Seidel

ii

i

j

n

ij

kjij

kjiji

ki a

xaxab

x

1

1 1

)()1(

)1(

Gauss-Seidel

• El método de Gauss-Seidel disminuye sustancialmente el número de iteraciones.

• El criterio de convergencia es similar al criterio fijado por el método de Jacobi.

• Sin embargo muchos problemas que convergen con el método de Gauss-Seidel no convergen con el método de Jacobi.

Gauss-Seidel

• De forma general si converge con Jacobi, converge más rápidamente con Gauss-Seidel.

• Esto se debe sin lugar a dudas al hecho que el vector solución se ve forzado a acercarse a la solución real y por ende entra más rápidamente en el dominio de convergencia.

Método iterativo de relajación

• El método de relajación es un método propuesto por Frankel en 1950 para reducir el número de iteraciones en los cálculos de soluciones de sistemas lineales por el método de Gauss-Seidel.

Relajación

• Se basa en obtener en cada iteración un promedio ponderado (solamente para los elementos del vector anteriores a la posición de cálculo) de la solución del método de Jacobi y de la solución del método de Gauss-Seidel.

ii

1i

1j

n

1ij

)k(jij

)1k(jiji

ii

n

1j

)k(jiji

)1k(i a

xaxab

a

xab

)1(x

• La forma matricial correspondiente a esta descomposición es:

(k)1)+(k ) - (1- = xUDLbLx

donde, es el parámetro de relajación.

Relajación

Relajación

• El método de relajación puede ser calculado cualquier sea el valor de w>0.

• En el caso que w sea igual a 1, el método es equivalente al método de Gauss-Seidel.

• Se denomina sub relajación al método cuando w<1 y super-relajación cuando w>1.

Relajación

• Se podría decir que si ®w 0 el método se acerca al método de Jacobi, sin embargo la expresión específica ha de ser usada en este caso.

• Para reducir el número de iteraciones es recomendable utilizar valores de entre 1,1 y 1,3.

Relajación

• No tiene mucho sentido buscar para la solución de un solo sistema lineal el coeficiente de relajación óptimo que minimice el número de iteraciones.

Relajación• Pero en caso de necesitar resolver muchos

sistemas lineales parecidos (por ejemplo para un estudio de sensibilidad de los parámetros térmicos en problemas de diferencias finitas o elementos finitos) esta inversión en tiempo de cálculo puede ser recuperada en la solución de todos los sistemas que se resuelven en el desarrollo del proyecto.

CONDICIÓN DE UNA MATRIZ

• Como se ha señalado anteriormente, es claro que cualquiera de los métodos numéricos ya expuestos permite obtener un valor aproximado de la solución y no la solución algebraica.

• Esto se debe fundamentalmente a que en el cálculo, se ha utilizado una representación finita de los números.

CONDICIÓN DE UNA MATRIZ

• Esto implica que se puede cometer errores en las asignaciones mismas de los números de la matriz a las variables binarias de la computadora cuando los números no son enteros.

• Por otra parte, en la secuencia de los cálculos, se genera un segundo tipo de error en las divisiones, sumas y restas con número de magnitud distinta.

CONDICIÓN DE UNA MATRIZ

• La condición de una matriz:

)(cond1 AAAIAA 1

• Si la condición de A es cercana a 1, la matriz está bien condicionada, mientras que se dice que la matriz está mal condicionada cuando cond (A) >> 1 (> 100 para una matriz pequeña).

CONDICIÓN DE UNA MATRIZ

• La norma de una matriz se define como:

– Norma Euclidiana:

– Norma p=1:

– Norma p=∞:

‖ 𝐴 ‖

2

1 1

n n

ijei j

A a

111

maxn

j n iji

A a

11

maxn

i n ijj

A a

CONDICIÓN DE UNA MATRIZ

• La condición de una matriz es un factor de magnificación del error relativo.

• Si la matriz tiende a ser singular, los elementos de la matriz inversa se tornan muy grandes (ya que el determinante tiende a cero) y por ende la norma de la matriz inversa es un número muy grande.

INVERSO DE UNA MATRIZ• Calcular el inverso de una matriz cuadrada

corresponde a obtener la matriz solución de la siguiente igualdad :

• AA-1= A-1A=I

1...000

.......

.......

0...100

0...010

0...001

x.xxx

.....

.....

x.xxx

x.xxx

x.xxx

a.aaa

.....

.....

a.aaa

a.aaa

a.aaa

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

• Eliminación de Gauss.• Método LU.• Matriz triangular.

INVERSO DE UNA MATRIZMétodos

INVERSO DE UNA MATRIZEliminación Gaussiana

• La técnica utilizada se basa, como en el caso anterior, en realizar una serie de combinaciones lineales sobre las diferentes líneas de la matriz con el fin de hacer aparecer en posiciones particulares valores característicos del problema.

Matriz aumentada original

.

1...00a...aa

............

............

0...00a...aa

0...10a...aa

0...01a...aa

nn2n1n

n33231

n22221

n11211

1...000

.......

.......

0...100

0...010

0...001

.

.....

.....

.

.x

.

.

.

.....

.....

.

.a

.

321

3333231

2232221

1131211

321

3333231

2232221

1131211

nnnnn

n

n

n

nnnnn

n

n

n

xxxx

xxxx

xxx

xxxx

aaaa

aaaa

aaa

aaaa

Matrizaumentada

Matriz aumentada final

nn2n1n

n33231

n22221

n11211

a...aa1...00

............

............

a...aa0...00

a...aa0...10

a...aa0...01

Matriz aumentada intermedia

1...0aa...a0

............

............

....0aa...a0

0...1aa...a0

0...0aa...a1

)1(1n

)1(nn

)1(2n

)1(31

)1(n3

)1(32

)1(21

)1(n2

)1(22

)1(11

)1(n1

)1(12

INVERSO DE UNA MATRIZ

• Por ende, la primera fila debe ser dividida por el coeficiente a11, mientras que a cada una de las demás, se le debe aplicar una fórmula idéntica a la mencionada en el caso de eliminación Gaussiana.

Matriz inversa en el lado derecho

)n(nn

)n(2n

)n(1n

n(n3

)n(32

)n(31

)n(n2

)n(22

)n(21

)n(n1

)n(12

)n(11

a...aa1...00

............

............

a...aa0...00

a...aa0...10

a...aa0...01