calculo ii integrales
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ESCUELA:
PONENTE:
CÁLCULO II APLICACIONES DE LAS INTEGRALES
CICLO:
Ing. María del Carmen Cabrera L.
Octubre 2009 – Febrero 2010
1
CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN
I BimestreBIMESTRE
Área de una función y el eje de abscisas
La función es positivaSi la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:
Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos: Se calculan los puntos de corte con el eje 0X, haciendo
f(x) = 0 y resolviendo la ecuación. El área es igual a la integral definida de la función
que tiene como límites de integración los puntos de corte.
b
a
dxxfA )(
Ejercicio
1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.
puntos de corte con los ejes
0 = 4x – x2 x=0 x=4
Ejercicio (2)
3
)4()4(2
3
)0()0(2
32
32
3
32
4
0
2 )4( dxxxA4
0
32
32
xx
tom
ado
de
: in
eto
r
G
g
Área de una función y el eje de abscisas (2)
La función es negativa
Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:
b
a
dxxfA )( b
a
dxxfA )(
Ejercicio
1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.
0 = x2 - 4x
x=0
x=4
tom
ado
de
: in
eto
r
Ejercicio (2)
2
32
3
)4(23
)4()0(2
3
)0(
3
32
4
0
2 )4( dxxxA4
0
23
23
x
x
3
32A
Área de una función y el eje de abscisas
La función toma valores positivos y negativos
En ese caso el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:
1. Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2. Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.
3. El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.
Ejercicio
1. Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.
puntos de corte con los ejes
x3 − 6x2 + 8x =0 x(x2 - 6x + 8) = 0
x=0 x=2 x=4
Ejercicio (2)
4
2
232
0
23 )86()86( dxxxxdxxxxA
2
0
234
2
0
23 424
2)86(2
xx
xdxxxxA
el área por razones de simetría se puede escribir así:
8A
tom
ado
de
: in
eto
r
Área comprendida entre dos funciones
El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.
b
adxxfxgA )()(
Ejercicio
1. Calcular el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x.
En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.
x1=1 x2=6
xy
xxy
2
652
Ejercicio (2)
1
6
2 )652( dxxxxA
De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.
6
1
2 )67( dxxx
6
1
23
62
7
3
x
xx
6
896
2
7
3
136
2
67
3
6 23
tom
ado
de
: in
eto
r
Volumen de una función
El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado por:
b
adxxfV 2)(
Ejercicio
1. Calcular el volumen de la esfera de radio r.
Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².
Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera.to
mad
o d
e:
inet
or
Ejercicio (2)
r
r
r
r
dxxrdxxrV 2222
Resolviendo en base a la fórmula:
333
2
3
4
3
2
3
2
3
3r
rrxxr
r
r
GRACIAS
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