cÁlculo diferencial
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CÁLCULO DIFERENCIAL
El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de
cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en
el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la
de diferencial de una función.
El estudio del cambio de una función es de especial interés para el cálculo diferencial, en
concreto el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho
cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial
se apoya constantemente en el concepto básico dellímite. El paso al límite es la principal
herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia
claramente del álgebra.
Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una
función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme
un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos,
una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de en
cada punto . Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha
función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para
conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y
mínimos.
La inversa de una derivada se llama primitiva, anti derivada o integral indefinida.
DIFERENCIACIÓN Y DIFERENCIABILIDAD
Una función de una variable es diferenciable en un punto si su derivada existe en ese
punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto perteneciente al
intervalo. Si una función no es continua en c, entonces no puede ser diferenciable en c; sin
embargo, aunque una función sea continua en c, puede no ser diferenciable. Es decir, toda
función diferenciable en un punto c es continua en c, pero no toda función continua en c es
diferenciable en c (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0).
Noción de derivada
Recta secante entre los puntosf(x+h) y f(x).
Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme
se van aproximando a la rectatangente.
Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo
conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello,
aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de las
pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente.
Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que
llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como
negativo. La pendiente de la recta entre los puntos y es
Esta expresión es un cociente diferencial de Newton. La derivada de f en x es el límite del
valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente:
Si la derivada de f existe en cada punto x, podemos definir la derivada de f como la función
cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x.
Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultado una división por cero,
calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo. Una técnica es simplificar
el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada. Esto resulta muy
sencillo con funciones polinómicas, pero para la mayoría de las funciones resulta demasiado
complicado. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan la diferenciación de la
mayoría de las funciones descritas.
INTEGRACIÓN
La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático.
Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos,
infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en
el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia
también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos
de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac
Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de
Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la
derivación y la integración son procesos inversos.
Teoría
Se interpreta como el área bajo la curva de f, entre a y b.
Dada una función de una variable real y un intervalo de la recta real,
la integral es igual al área de la región del plano limitada entre la gráfica de , el eje , y
las líneas verticales y , donde son negativas las áreas por debajo del eje .
La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F,
cuya derivada es la función dada . En este caso se denomina integral indefinida, mientras
que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores
mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.
Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo
XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma
independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una
función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una anti derivada. Las integrales y
las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones
en ciencia e ingeniería.
Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que
aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A
comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral,
donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace
la integración. La integral curvilínea se define para funciones vectoriales de una variable, y el
intervalo de integración [a,b] se sustituye por el de la parametrización de la curva sobre la
cual se está integrando, la cual, conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral
de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio
tridimensional.
Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en
la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a
partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de
muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos
modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral
de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.
CÁLCULO VECTORIAL
Historia
El estudio de los vectores se origina con la invención de los cuaterniones de Hamilton, quien
junto a otros los desarrollaron como herramienta matemáticas para la exploración del espacio
físico. Pero los resultados fueron desilusionantes, porque vieron que los cuaterniones eran
demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente.
Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte vectorial, y las dificultades surgían
cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que
muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así
comenzó el Análisis Vectorial.
Este trabajo se debe principalmente al físico estadounidense Josiah Willard Gibbs (1839-
1903).
El cálculo vectorial o análisis vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis
real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la geometría
diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para
la ingeniería y la física.
Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio,
y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la
temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar
de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto
asociamos un vector de velocidad.
Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:
Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un
campo escalar es un campo vectorial.
Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto;
el rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial.
Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia
ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.
Laplaciano: relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra
magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.
La mayoría de los resultados analíticos se entienden más fácilmente usando la maquinaria
de la geometría diferencial, de la cual el cálculo vectorial forma un subconjunto.
CÁLCULO INFINITESIMAL
El cálculo infinitesimal o cálculo de infinitesimales constituye una parte muy importante de
la matemática moderna. Es normal en el contexto matemático, por simplificación,
simplemente llamarlo cálculo.
El cálculo, como algoritmo desarrollado en el campo de la matemática, incluye el estudio de
los límites, derivadas, integrales y series infinitas, y constituye una gran parte de la educación
de las universidades modernas. Más concretamente, el cálculo infinitesimal es el estudio del
cambio, en la misma manera que la geometría es el estudio del espacio.
El cálculo infinitesimal tiene amplias aplicaciones en la ciencia y la ingeniería y se usa para
resolver problemas para los cuales el álgebra por sí sola es insuficiente. Este cálculo se
construye con base en el álgebra, la trigonometría y la geometría analítica e incluye dos
campos principales, cálculo diferencial y cálculo integral, que están relacionados por
el teorema fundamental del cálculo. En matemática más avanzada, el cálculo es usualmente
llamado análisis y está definido como el estudio de las funciones.
Más generalmente, el cálculo puede referirse a cualquier método o sistema de cuantificación
guiado por la manipulación simbólica de las expresiones. Algunos ejemplos de otros cálculos
bien conocidos son el cálculo proposicional, el cálculo predicativo, el cálculo relacional y
el cálculo lambda.
FUNDAMENTOS
En matemáticas, los fundamentos se refiere al desarrollo riguroso de un tema
desde axiomas y definiciones precisas. El obtener un fundamento riguroso para el cálculo
ocupó a los matemáticos por la mayor parte del siglo que siguió a Leibniz y Newton y todavía
es un área activa en la actualidad. Los fundamentos del cálculo fueron objeto de diversas
especulaciones filosóficas e interpretaciones informales, la falta de rigor y laxitud con que
fueron afrontados ciertos problemas de fundamentación contribuyeron a la crisis de los
fundamentos de las matemáticas.
Sin embargo, ya durante el siglo XIX se empezó a trabajar en una aproximación rigurosa
para los fundamentos del cálculo. El más usual hoy en día es el concepto de límite definido
en la continuidad de los números reales (el concepto de límite es esencialmente un concepto
topológico). Una alternativa es el análisis no estándar, en el cual el sistema de números
reales es aumentado con infinitesimales y números infinitos, como en la concepción original
de Newton y Leibnitz. Los fundamentos del cálculo son incluidos en el campo del análisis
real, el cual contiene las definiciones completas y pruebas matemáticas de los teoremas del
cálculo, así como también generalizaciones tales como la teoría de la medida y la teoría de
distribuciones.
INSTITUTO NACIONAL DE EDUCACIÓN DIVERSIFICADA SANTA ANA HUISTA
Curso:
Matemática
Profesor:
Wilmar Cano
Carrera:
Bachillerado con orientación en educación
Grado:
5to.
Alumnos:
Virgilio Antonio García
Jesús Alberto Mendoza Silvestre
Fecha de entrega:
24/08/2015
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