bloque 9 matematicas
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BLO
QU
E
9 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »
SUG
EREN
CIA
DE
EVID
ENCI
AS
DE
AP
REN
DIZ
AJE
»
UN
IDA
D D
E CO
MP
ETEN
CIA
»
• Comprendelosmétodospararesolverecuacionescuadráticasincompletas:-Extraccióndefactorcomún-Despejedelavariablecuadrática
• Identificaecuacionesincompletasdesegundogradoenunavariable.
• Ubicaeinterpretasituacionesconecuacionescuadráticasincompletas.
• Comprendelosmétodospararesolverecuacionescuadráticascompletas.
• Describeelprocedimientodecompletaryfactorizartrinomioscuadradosperfectospararesolverecuacionescompletasdesegundogradoenunavariable.
• Identificaraícesrealesycomplejasyescribeecuacionesapartirdeéstas.
• Ubicaeinterpretasituacionesconecuacionescuadráticascompletas.
Resuelve ecuaciones cuadráticas I
BLO
QU
E
9 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »
SUG
EREN
CIA
DE
EVID
ENCI
AS
DE
AP
REN
DIZ
AJE
»U
NID
AD
DE
COM
PET
ENCI
A»Construyeeinterpretamodelos
aritméticos,algebraicosygráficosaplicandolaspropiedadesdelosnúmerosrealesyexpresionesalgebraicas,relacionandomagnitudesconstantesyvariables,yempleandolasliteralesparalarepresentaciónyresolucióndesituacionesy/oproblemasalgebraicos,concernientesasuvidacotidianayescolar,queleayudanaexplicarydescribirsurealidad.Identificalascaracterísticaspresentesentablas,gráficas,mapas,diagramasotextos,provenientesdesituacionescotidianasylostraduceaunlenguajealgebraico.
• Aplicatransformacionesalgebraicasparadespejarlavariableenunaecuacióncuadráticapura.
• Extraefactorcomúnparafactorizarunaecuacióncuadráticamixta.
• Aplicalapropiedaddelproductoceroparahallarlasraícesdeunaecuacióncuadráticamixta.
• Resuelveecuacionescuadráticascompletasmediantelatécnicadecompletaryfactorizartrinomioscuadradosperfectos.
• Reconocequeunaecuacióncuadráticapuedetenerraícesreales,oraícescomplejas,enparesconjugados,yescribelasecuacionescuadráticasapartirdesusraíces.
• Resuelveoformulaproblemasdesuentorno,uotrosámbitos,quepuedenrepresentarseysolucionarsemedianteunaecuaciónounafuncióncuadrática.
• Efectúalascorrespondientesconversionesdeunidades,ensituacionesmodeladasconecuacionescuadráticasdondesepresentandistintasunidadesdemedición.
• Obtienelasolucióndeecuacionescuadráticas.
• Aplicatécnicasalgebraicasdedespejeoextraccióndeunfactorcomún.
• Resuelveecuacionesincompletasdesegundogradoenunavariable.
• Utilizalatécnicadecompletaryfactorizartrinomioscuadradosperfectospararesolverecuacionescompletasdesegundogradoenunavariable.
• Representaysolucionasituacionesconecuacionescuadráticas.
• Aprecialautilidaddeutilizarmétodosespecíficospararesolverecuacionescuadráticasincompletas.
• Valoralaimportanciadecontarconunmétodoalgebraicopararesolvertodotipodeecuacióncuadráticaenunavariable.
• Valoralaaplicabilidaddelasecuacionescuadráticaspararepresentaryresolverdiversassituaciones.
286
B9 �B9 �Corresponde ahora estudiar las ecuaciones cuadráticas, completas oincompletas,apartirdemodelarsituacionesdediversoscontextos,diferentesmétodosalgebraicosdesolución.
Efectúaentucuaderno lossiguientesejerciciosysubraya laopciónquemuestraelresultadocorrecto:
1.Ricardoaceptóunempleocomovendedordeunproducto.Susueldoseráde10dólaresporcadaunidadvendidax,másunacomisióndiariade35dólares.¿Cuáldelassiguientesexpresionesrepresentaelsueldoydecincodíasdetrabajo?
a) ( )y 5 x 35= +
b) ( )y 5x 5 35= +
c) ( )y 5 35x 10= +
d) ( )y 5 10x 35= +
2.¿Cuáleslasolucióndelsiguientesistemadeecuacioneslineales?
x y 153x 2y 20
+ =− =
a) x 5, y 10= = b) x 7, y 8= = c) x 10, y 5= = d) x 8, y 7= =
3.Ellargodeunrectánguloeseldobledesuanchoqueesx.¿Cuáldelassiguientesexpresionesrepresentaeláreadelrectángulo,enunidadescuadradas?
a) 3x b)4x c)6x d)2x2
4. Unatinadebañosellenaenmediahoraconlallavedelaguacalienteyen15minconlallavedeaguafría.Latinasedesaguaen60 min.¿Cuáleslaexpresiónqueindicaeltiempodellenadoconambasllavesyeldesagüeabierto?
a) 1 1 1x 1
30 15 60 + + =
b) 1 1 1x 1
30 15 60 + − =
INTRODUCCIÓN
Evaluación diagnóstica
B9 �
287
B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI
c)x x x
130 15 60
+ + =
d)1 1 1
x30 15 60
+ + =
5.Enlaexpresión ( )( )x 4 x 1 0− + = ,¿quévaloresdexsatisfacenlaigualdad?
a) x 4, x 1= = − b) x 4, x 1= − = c) x 2, x 1= = d) x 3, x 0= =
6.¿Cómocompletaslaexpresión 2x 6x+ paraqueseatrinomiocuadradoperfecto?
7.Enlaexpresión ( )2x 5 9− = ,¿quévalordexsatisfacelaigualdad?
a) x 4, x 1= = − b) x 4, x 1= − = c) x 2, x 1= = d) x 3, x 0= =
8. Enlaecuación ( )2x 2 0− = ,¿quévalordexsatisfacelaigualdad?
a) x 1= b) x 2= c) x 4= d) x 0=
9.Enlaecuación 2x 361= ,¿quévalordexsatisfacelaigualdad?
a) x 3= b) x 2= − c) x 3= − d) x 2=
10. ¿Quénúmerodebeirdentrodelradical ?
a)Eldoblede15b)Elcuadradode15c)Lapotenciade15d)Lamitadde15
Modelandoconecuacionescuadráticas.
Organizadosenequiposdetresintegrantesymonitoreadosporsuprofesor,realicenlos cálculos necesarios, registrándolos en su cuaderno de notas, para encontrarla ecuación cuadrática que modele la situación planteada, así como su respuestacorrespondiente.
1.Hallardosnúmerosparesconsecutivoscuyoproductosea168.
a) 12 y 14 b) 24 y 7 c) 6 y 28 d) 4 y 4
Actividad introductoria
288
B9 �B9 �2. Calculardosnúmeroscuyasumasea39ycuyoproductosea380.
a) 10 y 29 b) 15 y 24 c) 25 y 14 d)19 y 20
Alfinalizarelíjaseunodelosequiposparaexponersusresultadosfrentealgrupo.
Siunaecuacióntienesólounaincógnitayelmayorexponentedeéstaesdos,entoncessetieneunaecuacióndesegundogradoconunaincógnita,tambiénllamadaecuacióncuadrática.Al resolverunaecuacióndeestetipo,puedenencontrarsedossoluciones,unasolución,obien,laecuaciónpuedenotenersolución,enlosreales.
Unaecuacióndesegundogradoconunaincógnitatienelaforma:
ax2 + bx + c = 0
donde:a,bycsonnúmerosreales,cona≠0.ax2eseltérminocuadrático.bxeseltérminolineal.c eseltérminoindependiente.
Paralaecuaciónanterior,sibycsondistintosdecero,laecuaciónsellamacompleta;perosibocsonigualesacerosetieneunaecuaciónincompleta.
Laecuacióncuadráticaesdegranimportanciaysepresentafrecuentementenosóloenmatemáticas,sinotambiénenfísica,química,biología,etc.,yaquemodelamuchosfenómenosrelacionadosconestasciencias.Porejemplo,enfísicaelmodeloquedescribeelmovimientodecaídalibrees:
h=4.9t2
Pararepresentarlaenergíapotencialelástica,elmodeloes:
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
B9 �
289
B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI
EP= 21kx
2
Elmodeloquepermitecalculareláreadeuncírculoes.
A=πr2
Ejemplo
El siguiente caso presenta una situación quepuedemodelarsepormediodeunaecuacióndesegundogradoconunaincógnita.
Paraencontrarelmodeloquepermitecalcularlalongituddeuntensorquesujetaaunatorre,siéstemidedosunidadesmásquelaalturadelatorre,ydesdelabasedelatorrehastadondesesujetaeltensormideunaunidadmásquelaalturadelatorre.
Solución:
Enlafiguraseobservauntriángulorectángulo,cuyahipotenusarepresentaeltensoryloscatetos(baseyalturadelatorre).
Donde:
Alturadelatorre:x
Longituddelabasehastadondesesujetaeltensor: x + 1
Longituddeltensor: x + 2
AltenerencuentaelteoremadePitágoras,secumple:
(x + 2)2 = (x + 1)2 + x2
Así,x2 + 4x + 4 = x2 + 2x + 1 + x2
Luego,laecuaciónquemodelaestasituaciónes:
x2 – 2x – 3 = 0
Unavezencontradalaecuaciónseprocederáaresolverlaaplicandoalgúnmétododesoluciónalgebraicoqueestudiaremosacontinuación,ográficoqueabordaremosenelsiguientebloque.
290
B9 �B9 �
Diseñaunaecuaciónquemodelecadaunadelassituacionesplanteadas.Alfinalizarcomparatusmodelosconlosdetuscompañeros.
1. Encuentraelnúmerodistintodeceroqueesigualaldobledesucuadrado.
2. Sialdobledelcuadradodeunnúmeroselerestaeltripledelmismoelresultadoescero.Hallaelnúmero,siésteesdistintodecero.
3.Enunrectángulo,labasemideeltriplequelaaltura.Sisedisminuyeen1centímetrocadalado,eláreainicialdisminuyeen15centímetros.Calculalasdimensionesyeláreadelrectánguloinicial.
4. Halla3 números impares consecutivos, tales que si al cuadradodelmayor se lerestanloscuadradosdelosotros2,seobtienecomoresultado7.
5.Laedaddeunpadreeselcuadradodeladesuhijo.Dentrode24añoslaedaddelpadreseráeldobledeladelhijo¿cuántosañostieneahoracadauno?
Métodos de solución
Hemos mencionado en el bloque VI que resolver una ecuación significaencontrarelvalorrealdelavariablequecumplelaigualdad.Ahorabien,parauna ecuación cuadrática se pueden encontrar sólo dos valores reales quesatisfacentalecuación,mismosquesonlassolucionesoraícesdelaecuación.Si existen efectivamente dos soluciones, éstas se designan por x1 y x2. Sisólohayunasolución,porx1.Sinoseencuentraunvalorrealquecumplalaigualdad,seconcluyequelaecuaciónnotienesoluciónenlosnúmerosreales,portanto,lassolucionesseencuentranenlosnúmeroscomplejosysellamanraícescomplejasoimaginarias.
Pero,¿cómoseencuentranlassolucionesdeunaecuacióncuadrática?Hayalgunosmétodosdesolución,losqueabordaremosenestebloqueseránlosmétodosalgebraicosdespejeparaecuacionesincompletasyfactorización. Veamos.
Métodos algebraicos
Despeje para ecuaciones incompletas
Abordemos la solución para ecuaciones incompletas, es decir, la ecuacióncuadrática:
Actividad
B9 �
291
B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI
ax2 + bx + c = 0 a ≠ 0,dondeloscoeficientesbocsonigualesacero,dedondesedesprendendoscasos.
Caso 1
Sib=0,setieneunaecuacióndesegundogradoconunaincógnitaenlaquefaltaeltérminolineal,esdecir,laecuacióntienelaforma:
ax2 + c = 0
Pararesolverestaecuaciónbastarádespejarxcomosigue:
2
2
2
ax c 0
ax cc
xa
cx
a
+ =
= −
= −
= ± −
Ejemplos
I.Resolvamosecuacionescuadráticasincompletasdelaformaax2 + c = 0yhagamoslacomprobacióndelasmismas.
1. 2x 4 0− =
Solución:
x
x
x
x
2
2
1
2
4 0
4
4
4 2
4 2
− =
=
=±
= =
=− =−
de donde
x
Comprobación:
Para 1x 2= Para 2x 2= −
( )22 4 0
4 4 00 0
− =
− ==
( )22 4 0
4 4 00 0
− − =
− ==
Se verifica la igualdad; luego 1x 2= y
2x 2= − , son las raíces de la ecuación2x 4 0− =
2. 24x 25 0− =
292
B9 �B9 �Solución:
4 25 0254254
254
52
254
52
2
2
1
2
x
x
x
x
− =
=
=±
= =
=− =−
dedonde
x
Comprobación:
Para 1
5x
2= Para 2
5x
2= −
254 25 0
2
254 25 0
425 25 00 0
− = − = − ==
25
4 25 02
254 25 0
425 25 00 0
− − = − = − ==
Severificalaigualdad;luego 1
5x
2= y 2
5x
2= − ,
sonlasraícesdelaecuación 24x 25 0− =
Caso 2
Sic=0,setieneunaecuacióndesegundogradoconunaincógnitaenlaquefaltaeltérminoindependiente,esdecir,laecuacióntienelaforma:
ax2 + bx = 0
Pararesolverestaecuaciónseaplica la factorizaciónportérminocomúndedondesedesprendenlasdossolucionescomosigue:
( )
2
1
2
ax bx 0
x 0x ax b 0 b
ax b 0 xa
+ =
=+ = →
+ = → = −
Ejemplos
I.Resolvamosecuacionescuadráticasincompletas,ahoradelaformaax2 + bx = 0yhagamostambiénlacomprobación.
1. 2x 4x 0− =
Solución:
x x
x x
x x
2
1
2
4 0
4 0
0
4 0 4
− =
−( )=
=
− = → =
de dondex
Comprobación:Para 1x 0= Para 2x 4=
( ) ( )20 4 0 0
0 0 00 0
− =
− ==
( ) ( )24 4 4 0
16 16 00 0
− =
− ==
Severificalaigualdad;luego 1x 0= y
2x 4= ,sonlasraícesdelaecuación 2x 4x 0− = .
B9 �
293
B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI
2. 26x 7x 0− =
Solución:
6 7 0
6 7 0
0
6 7 076
2
1
2
x x
x x
x x
− =
−( )=
=
− = → =
de dondex
Comprobación:
Para 1x 0=
( ) ( )26 0 7 0 0
0 0 00 0
− =
− ==
Para 2
7x
6=
27 76 7 0
6 6
49 496 0
36 3649 4936 360 0
− = − =
−
=
Severificalaigualdad;luego 1x 0= y 2
7x
6= ,
sonlasraícesdelaecuación26x 7x 0− =
Factorización
Paraencontrarlassolucionesoraícesdeunaecuacióncuadráticacompleta,esdecir,laecuacióndelaformaax2 + bx + c = 0 a ≠ 0,dondeloscoeficientesbycsondistintosdecero,podráaplicarseelmétodoalgebraicoporfactorización;nuevamentesepresentandoscasos:
Caso 1
Este caso se presenta cuando se tiene una ecuación cuadrática, la cual esposiblefactorizar.Pararesolverestaecuación,sefactorizacorrectamentelaexpresiónax2 + bx + c,ylosfactoresresultantesseigualanacerodedonde,despejando la incógnita en cada igualdad se obtendrán las raíces de laecuación.
Ejemplos
I.Resolvamosecuacionescuadráticascompletasaplicandofactorizaciónyefectuemoslacomprobación.
1. x2 – 5x –14 = 0
Sefactorizalaecuación:(x + 2) (x – 7) = 0
Aligualarlosdosfactoresacero,setiene:x + 2 = 0 y x – 7 = 0
Aldespejarxenestasigualdadesseencuentranlosvaloresx = –2 y x = 7
Así,lassolucionesoraícesdelaecuaciónx2 – 5x –14=0son:x1-2 yx2=7
294
B9 �B9 �Comprobación:Parax1 = 7
( ) ( )27 5 7 14 0
49 35 14 049 49 00 0
− − =
− − =− ==
Parax2 = –2
( ) ( )22 5 2 14 0
4 10 14 014 14 00 0
− − − − =
+ − =− ==
Severificalaigualdad;luego 1x 0= y
2x 4= ,sonlasraícesdelaecuación 2x 4x 0− =
2. 6x2 + 11x –10 = 0
Sefactorizalaecuación:(3x – 2) (2x + 5) = 0
Aligualarlosdosfactoresacero,setiene:3x – 2 = 0 y 2x + 5 = 0
Despejandoxenestasigualdadesseencuentranlosvalores y2 5x x
3 2= = −
Así,lassolucionesoraícesdelaecuación6x2 + 11x –10 = 0son: y1 2
2 5x x
3 2= = −
Comprobación:
Para 1
2x
3= Para 2
5x
2= −
22 26 11 10 0
3 3
4 226 10 0
9 38 8
03 30 0
+ − = + − =
− =
=
25 5
6 11 10 02 2
25 556 10 0
4 275 75
02 2
0 0
− + − − = − − =
− =
=
Caso 2
Éste se presenta cuando se tiene una ecuación cuadrática, la cual noes posible factorizar inmediatamente. Para resolver esta ecuación de la
formaax2 + bx + c = 0sebuscaexpresarlacomo 2 b cx x
a a+ = − yapartirde
éstaseprocedecomosigue:
B9 �
295
B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI
Apartirdelaforma:
Se completa a trinomio cuadradoperfecto (T.C.P) el miembroizquierdodelaecuación,atendiendoque el término que completa aT.C.Psesumedeambosladosdelaecuación.
Se factoriza el T.C.P. a binomiocuadradoalcuadrado.
Se extrae raíz cuadrada en ambosladosdelaigualdad.
Seefectúanlosprocesosalgebraicosnecesariosparadespejarx.
Las soluciones o raíces de laecuaciónson:
xbax
ca
xbax
ba
ca
ba
xba
2
22 2
2 2
2
+ =−
+ + =− +
+
=− +
+
=± − +
+ =± − +
+
2 2
2 2
2
4
2 4
2 4
ca
ba
xba
ca
ba
xba
ca
ba
xb22
44
24
2
24
2
42
2
2
2
2
ab c
a
xba
b ca
xba
b ca
xb b c
a
=±−
+ =±−
=− ±−
=− ± −
xb b c
ax
b b ca1
2
2
242
42
=− + −
=− − −y
Ejemplos
I.Encontremoslassolucionesdelassiguientesecuacionescuadráticascompletandoatrinomiocuadradoperfectoyefectuandolacomprobaciónrespectiva.
1. x2 – 6x – 7 = 0
Seexpresalaecuaciónenlaformaindicada:
x2 – 6x = 7
Se completa a trinomio cuadradoperfecto el primermiembrode esta ecuación,recordandoque:
• Seprocedeadividirentre2elcoeficientedeltérminolineal.
Paraesteejemplo:6
32−
= −
• Elresultadoasíobtenidoseelevaalcuadrado.
(–3)2 = 9
296
B9 �B9 �Este valor completa la expresión del primer miembro en un trinomio cuadradoperfectoyporlapropiedadaditivadelaigualdad,debemossumarloaamboslados,comosigue:
x2 – 6x + 9 = 7 + 9
Sefactorizaeltrinomiocuadradoperfectocomobinomioalcuadrado:
(x – 3)2 = 16
Seextraeraízcuadradaenambosladosdelaigualdad.
x – 3 = 16±
Sedespejax: x – 3 = 4±
x = 4 3± +
Donde: x = 4 + 3 y x = – 4 + 3
Así,lassolucionesoraícesdelsistemason: 1 2x 7 y x 1= = −
Comprobación:
Parax1 = 7 Parax2 = –1
( ) ( )27 6 7 7 0
49 42 7 049 49 00 0
− − =
− − =− ==
( ) ( )21 6 1 7 0
1 6 7 07 7 00 0
− − − − =
+ − =− ==
2. 5x2 – 7x – 9 = 0
Seexpresalaecuaciónenlaformaindicada:
2 7 9x x
5 5− =
Se completa a trinomio cuadrado perfecto el primer miembro de esta ecuación,recordandoque:
• Seprocedeadividirentre2elcoeficientedeltérminolineal.
Paraesteejemplo:
( )
77 75
2 2 5 10= =
Paracompletaratrinomiocuadradoperfecto,atiendequeelcoeficientedeltérminocuadráticosealaunidad(1),siendonecesarioenocasiones,dividirlaecuaciónporelcoeficientededichotérminocuadrático.
B9 �
297
B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI
• Elresultadoasíobtenidoseelevaalcuadrado.
27 4910 100 =
Estevalorcompletalaexpresióndelprimermiembroenuntrinomiocuadradoperfectoyporlapropiedadaditivadelaigualdad,debemossumarloaamboslados,comosigue:
2 7 49 9 49x x
5 100 5 100− + = +
Sefactorizaeltrinomiocuadradoperfectocomobinomioalcuadrado:
27 229x
10 100 − =
Seextraeraízcuadradaenambosladosdelaigualdad.
7 229x
10 100− = ±
Sedespejax:7 229
x10 10
− = ±
7 229 7 229x
10 10 10±
= ± =
Dedonde: 7 229
x10
+= y
7 229x
10−
=
Así,lassolucionesoraícesdelsistemason: 1
7 229x 2.21
10+
= = y x2
7 22910
0 81=−
=− .
.
Comprobación:
Para 1
7 229x
10+
=
298
B9 �B9 �2
7 229 7 2295 7 9 0
10 10
49 14 229 229 49 7 2295 9 0
100 10 10
49 7 229 229 49 7 2299 0
20 10 20 10 10139 139
010 10
0 0
+ +− − =
+ +
− − − =
+ + − − − =
− =
=
3. 5x2 - 4x + 1 = 0
Seexpresalaecuaciónenlaformaindicada:
2 4 1x x
5 5− = −
Se completa a trinomio cuadrado perfecto el primer miembro de esta ecuación,recordandoque:
• Seprocedeadividirentre2elcoeficientedeltérminolineal.
Paraesteejemplo:
44 25
2 10 5
−= − = −
• Elresultadoasíobtenidoseelevaalcuadrado.
22 45 25
− =
Este valor completa la expresión del primer miembro en un trinomio cuadradoperfectoyporlapropiedadaditivadelaigualdad,debemossumarloaamboslados,comosigue:
2 4 4 1 4x x
5 25 5 25− + = − +
Sefactorizaeltrinomiocuadradoperfectocomobinomioalcuadrado:
22 1x
5 25 − = −
Seextraeraízcuadradaenambosladosdelaigualdad.
B9 �
299
B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI
2 1x
5 25− = ± −
Sedespejax:
2 1x
5 25= ± −
Dedonde,
( )
( )
2 1x 1
5 25
2 11
5 25
2 1i
5 5
= ± −
= ± −
= ±
Luego,1
2
2 ix
5 52 i
x5 5
= + = −
Así,lassolucionesoraícesdelsistemasoncomplejas(imaginarias):
xi
y xi
1 2
25 5
25 5
= + = −
Otrosmétodosdesolucióndeunaecuacióncuadráticasonelgráficoyporfórmulageneral,motivosdeestudiodelsiguientebloque.
I.Resuelvelassiguientesecuacionescuadráticasincompletasdelaformaax2+c=0ycompruebaquelasraícesencontradassoncorrectas.
1. 2x 9 0+ =
2. 23x 12 0+ =
3. 22x 10 0− − =
4. 27x 11 0+ =
5. 25x 15 0− =
Unaraízimaginariaocompleja,esunnúmerocuyocuadradoesnegativo;serepresentacomobi,dondebesunnúmerorealeieslaunidadimaginariaconlapropiedadsiguiente:
i2=–1,dedondei=1−
Lassolucionescomplejasseexpresancomo
a bi±
Actividad
300
B9 �B9 �6. 281x 16 0− − =
7. 2x 18 0− + =
8. 28x 20 0+ =
9. 21x 4 0
2− =
II.Resuelvelassiguientesecuacionescuadráticasincompletasdelaformaax2+bx=0ycompruebaquelasraícesencontradassoncorrectas.
1. 2x 3x 0+ =
2. 23x 9x 0− =
3. 2x 4x 0− − =
4. 214x 17x 0− =
5. 25x 20x 0− − =
6. 212x 48x 0− =
7. 23x 18x 0− − =
8. 21 1x x 0
2 3+ =
9. 21 4x x 0
2 3− =
III.Aplicandofactorizaciónresuelvelassiguientesecuacionescuadráticascompletasycompruebaquelasraícesencontradassoncorrectas.
1. 2x x 2 0− − =
2. 2x 3x 4 0− − =
3. 2x 10x 25 0+ + =
4. 22x 5x 3 0+ − =
5. 2x 10x 24 0− + =
6. 22x 3x 5 0− − =
7. 23x 12x 12 0− + =
8. 2x 5x 6 0+ − =
9. 2x 2x 15 0− − =
10. 23x 5x 2 0− + =
11. 263x 29x 4 0− − + =
12. 265x 29x 4 0− − + =
B9 �
301
B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI
IV.Resuelvelassiguientesecuacionescuadráticascompletandoatrinomiocuadradoperfecto;compruebaquelasraícesencontradassoncorrectas.
1. 2x x 1 0− − =
2. 2x 3x 2 0− − =
3. 2x 10x 20 0+ + =
4. 22x 4x 6 0+ − =
5. 2x 5x 24 0− + =
6. 22x 8x 5 0− − =
7. 23x 12x 15 0− + =
8. 2x 6x 4 0+ − =
9. 2x 2x 10 0− − =
10. 2x 5x 2 0− + =
11. 260x 30x 120 0− + =
12. 210x 30x 1 0− + =
V.Apartirdelasecuacionesmodeladasenelejercicioanterior,encuentralasolucióndecadaunadeellasaplicandounmétodoalgebraico.
1.Encuentraelnúmerodistintodeceroqueesigualaldobledesucuadrado.
2.Sialdobledelcuadradodeunnúmeroselerestaeltripledelmismoelresultadoescero.Hallaelnúmero,siésteesdistintodecero.
3. En un rectángulo, la basemide el triple que la altura.Si se disminuye en1 centímetrocadalado,eláreainicialdisminuyeen 15centímetros.Calcularlasdimensionesyeláreadelrectánguloinicial.
4.Halla3númerosimparesconsecutivos,talesquesialcuadradodelmayorselerestanloscuadradosdelosotros 2, seobtienecomoresultado7.
5. Laedaddeunpadreeselcuadradodeladesuhijo.Dentrode24añoslaedaddelpadreseráeldobledeladelhijo,¿cuántosañostieneahoracadauno?
VI. Enequipos resuelvan los siguientesproblemas, cuya solución seráexpuestaenplenaria.
1. La suma de dos números es9 y la suma de sus cuadrados es53. Halla losnúmeros.
302
B9 �B9 �2.Unnúmeropositivoes3/5 deotroysuproductoes2160.Encuentralosnúmeros.
3. Paola tiene tres añosmás que Brenda y el cuadrado de la edad deAdrianaaumentadoenelcuadradodelaedaddeBrendaequivalea317años.Determinaambasedades.
4.Unnúmeroeseltripledeotroyladiferenciadesuscuadradoses1800. ¿Cuálessonlosnúmeros?
5. El cuadradodeunnúmerodisminuidoen 9, equivalea8 vecesel excesodelnúmerosobre2.Obtienetalesnúmeros.
6.Untrenharecorrido200kmenciertotiempo.Parahaberrecorridoesadistanciaen1horamenos,lavelocidaddebíahabersido10km/h.Encuentralavelocidaddeltren.
7.Unaempresavendecalzadodeportivoa$40elparsisepidenmenosde50 pares.Sisecompran 50 omás,hasta600,elpreciodelparsereduceaunatasade$.04porelnúmerorequerido.¿Cuántosparessepuedencomprarcon$1800?
8.Sedeseausarunahojadepapelde24 cm x 36cm parauncartelrectangularcuyolargoseavertical.Losmárgenesalosladosyenlapartesuperiordebentenerigualanchura,peroelmargeninferiordebetenerdobleanchuraquelosdemás.Calculaelanchodelosmárgenessielárea impresadebetener661.5cm2.
9.Unapelotadebeisbolsearrojadirectahaciaarribaconunavelocidadinicialde64 pies/s.Elnúmerodepiess, sobreel terrenodespuésde t segundos,estáexpresadoporlaecuación:s=-16 t2 + 64 t.¿Cuándoestarálapelotaa48piessobreelterreno?
Resuelve en tu cuaderno de notas cada una de las situaciones planteadas,determinando en cada uno de ellas: ecuación cuadrática y método algebraico desolución.Elijelaopciónquemuestraelresultadocorrectoacadauna.
1.JuanAntoniotieneunterrenodeformacuadradaconunáreade289 m2,quequiereemplear como corral. ¿Cuántos metros de tela de alambre va a necesitar paracercarloporloscuatrolados?
a) 13 b) 15 c) 17 d) 19
Autoevaluación
B9 �
303
B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI
2. Si se aumenta en4 cm el ladodeun cuadrado, su área aumenta en 104 cm2.Calculareláreayperímetrodelcuadradoinicial.
a)Área:121cm2
Perímetro:44cmc)Área:144cm2
Perímetro:48cm
b)Área:81cm2
Perímetro:36 cmd)Área:169cm2
Perímetro:52cm
3. Determinaelvalordemparaquelaecuación2x2 - 4x + m = 0 tengaunaraízcuadráticadoble(demultiplicidad2).
a)m= 0 b)m=1 c)m=2 d)m=3
4.Calculaelvalordexparaelsiguientepardeecuaciones:
( )2
2
3x y 12
y 2 2 x 2
+ =
+ = +
a) x 2= ± b) x 2= c) x 3= d) x 3= ±
5. Enunlaboratorioseestudiaelcrecimientodeunabacteriapeligrosa;elestudiodesucomportamiento fueencargadoaHugo,pero, sedurmióysóloalcanzóaregistrarlosdatosmostradosenlasiguientetabla:
Hora (x) Crecimiento de una bacteria (y)
1 43 12
287
8411 124
¿CuáleslaexpresiónalgebraicaquedebióencontrarHugoparadeterminarlosvaloresquefaltanyasíestablecerlarelaciónentreambascolumnas?
a) 2y x 3= +
b) y x 3= +
c) 2y 3x=
d) 2y 3x 1= +
304
B9 �B9 �Evaluación formativa
Apartirdelasituaciónplanteadarealizaloquesepide.
Dos obreros tardan 12 horas en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardarían en hacerloseparadamente,siunotarda5horasmásqueelotro?
a) Encuentralaecuacióncuadráticaquemodelalasituación.
b) Resuelvelaecuacióncuadráticaaplicandounmétodoalgebraico.
c) Verificaqueelprimerobrerotardaenrealizareltrabajo,élsolo,21.75horas,esdecir,21horasy45minutos;elsegundoobrerotarda5horasmás,esdecir,26horasy45minutos.
B9 �
305
B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI
Escala de rango
Nombredelalumno:
Escala de valoración:0 Nulo1 Deficiente2 Aceptable3 Satisfactorio
Aspectos observables Sí No Estimación
Comprendiólasituacióndelplanteada
Encontrólaecuacióncuadráticacorrectamente
Resolviólaecuaciónporalgúnmétodoalgebraico
Severificaronlosresultados
TOTAL:Cal
Total=
×1012
=
OBSERVACIONES:Nombredequienrevisó:
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