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Aula 11 - MQIII
ROLDÃO DA ROCHA
1UFABC
November 13, 2019
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I QED: L = LDirac + LMaxwell + Lint.Dirac/Maxwell:
L = ψ̄(
iγµ∂µ −mc~
I)ψ −
14
FµνFµν −ecψ̄γµψAµ.
I invariante por
ψ(xν) 7→ eiα(xν )ψ(xν)
Aµ(xν) 7→ Aµ(xν)−1e∂µα(xν)
∂µ 7→ Dµ ≡ ∂µ +iec
Aµ(xν) (derivada covariante).
I ∂µ 7→ Dµ ≡ ∂µ + iec Aµ(xν) (acoplamento mínimo).
I −i~∂µ 7→ −i~∂µ + ec Aµ
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I QED: L = LDirac + LMaxwell + Lint.Dirac/Maxwell:
L = ψ̄(
iγµ∂µ −mc~
I)ψ −
14
FµνFµν −ecψ̄γµψAµ.
I invariante por
ψ(xν) 7→ eiα(xν )ψ(xν)
Aµ(xν) 7→ Aµ(xν)−1e∂µα(xν)
∂µ 7→ Dµ ≡ ∂µ +iec
Aµ(xν) (derivada covariante).
I ∂µ 7→ Dµ ≡ ∂µ + iec Aµ(xν) (acoplamento mínimo).
I −i~∂µ 7→ −i~∂µ + ec Aµ
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I QED: L = LDirac + LMaxwell + Lint.Dirac/Maxwell:
L = ψ̄(
iγµ∂µ −mc~
I)ψ −
14
FµνFµν −ecψ̄γµψAµ.
I invariante por
ψ(xν) 7→ eiα(xν )ψ(xν)
Aµ(xν) 7→ Aµ(xν)−1e∂µα(xν)
∂µ 7→ Dµ ≡ ∂µ +iec
Aµ(xν) (derivada covariante).
I ∂µ 7→ Dµ ≡ ∂µ + iec Aµ(xν) (acoplamento mínimo).
I −i~∂µ 7→ −i~∂µ + ec Aµ
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I QED: L = LDirac + LMaxwell + Lint.Dirac/Maxwell:
L = ψ̄(
iγµ∂µ −mc~
I)ψ −
14
FµνFµν −ecψ̄γµψAµ.
I invariante por
ψ(xν) 7→ eiα(xν )ψ(xν)
Aµ(xν) 7→ Aµ(xν)−1e∂µα(xν)
∂µ 7→ Dµ ≡ ∂µ +iec
Aµ(xν) (derivada covariante).
I ∂µ 7→ Dµ ≡ ∂µ + iec Aµ(xν) (acoplamento mínimo).
I −i~∂µ 7→ −i~∂µ + ec Aµ
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I
⇔(
i~γµ∂µ −ecγµAµ −mcI4
)ψ = 0 ,
onde Aµ = (A0,−Ai ) e ψ = ψ(r, t) = Ψ(r)e−iEt/~.I
i~γµ∂µ − γµec
Aµ =
(i~ ∂∂x0− e
c A0 −σ ·(i~∇+ e
c A)
σ ·(i~∇+ e
c A)
−i~ ∂∂x0
+ ec A0
).
I Portanto (Ec −
ec A0 σ ·
(p− e
c A)
−σ ·(p− e
c A)
−Ec + e
c A0
)Ψ(r)−mcΨ(r) = 0.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I
⇔(
i~γµ∂µ −ecγµAµ −mcI4
)ψ = 0 ,
onde Aµ = (A0,−Ai ) e ψ = ψ(r, t) = Ψ(r)e−iEt/~.I
i~γµ∂µ − γµec
Aµ =
(i~ ∂∂x0− e
c A0 −σ ·(i~∇+ e
c A)
σ ·(i~∇+ e
c A)
−i~ ∂∂x0
+ ec A0
).
I Portanto (Ec −
ec A0 σ ·
(p− e
c A)
−σ ·(p− e
c A)
−Ec + e
c A0
)Ψ(r)−mcΨ(r) = 0.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I
⇔(
i~γµ∂µ −ecγµAµ −mcI4
)ψ = 0 ,
onde Aµ = (A0,−Ai ) e ψ = ψ(r, t) = Ψ(r)e−iEt/~.I
i~γµ∂µ − γµec
Aµ =
(i~ ∂∂x0− e
c A0 −σ ·(i~∇+ e
c A)
σ ·(i~∇+ e
c A)
−i~ ∂∂x0
+ ec A0
).
I Portanto (Ec −
ec A0 σ ·
(p− e
c A)
−σ ·(p− e
c A)
−Ec + e
c A0
)Ψ(r)−mcΨ(r) = 0.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I (1c (E − eA0 −mc2) σ ·
(p− e
c A)
−σ ·(p− e
c A)
− 1c (E − eA0 + mc2)
)(ΨAΨB
)= 0.
I
⇒{σ ·(p− e
c A)
ΨB = − 1c (E − eA0 −mc2)ΨA
−σ ·(p− e
c A)
ΨA = 1c (E − eA0 + mc2)ΨB
(1)
I (1) implica:
σ ·(
p−ec
A) ΨB︷ ︸︸ ︷(
cE − eA0 + mc2
)[−σ ·
(p−
ec
A)]
ΨA = −1c
(
≡Ek︷ ︸︸ ︷E −mc2−eA0)ΨA. (2)
ou
σ ·(
p−ec
A)(
c2
E − eA0 + mc2
)[σ ·(
p−ec
A)]
ΨA = (Ek − eA0)ΨA.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I (1c (E − eA0 −mc2) σ ·
(p− e
c A)
−σ ·(p− e
c A)
− 1c (E − eA0 + mc2)
)(ΨAΨB
)= 0.
I
⇒{σ ·(p− e
c A)
ΨB = − 1c (E − eA0 −mc2)ΨA
−σ ·(p− e
c A)
ΨA = 1c (E − eA0 + mc2)ΨB
(1)
I (1) implica:
σ ·(
p−ec
A) ΨB︷ ︸︸ ︷(
cE − eA0 + mc2
)[−σ ·
(p−
ec
A)]
ΨA = −1c
(
≡Ek︷ ︸︸ ︷E −mc2−eA0)ΨA. (2)
ou
σ ·(
p−ec
A)(
c2
E − eA0 + mc2
)[σ ·(
p−ec
A)]
ΨA = (Ek − eA0)ΨA.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I (1c (E − eA0 −mc2) σ ·
(p− e
c A)
−σ ·(p− e
c A)
− 1c (E − eA0 + mc2)
)(ΨAΨB
)= 0.
I
⇒{σ ·(p− e
c A)
ΨB = − 1c (E − eA0 −mc2)ΨA
−σ ·(p− e
c A)
ΨA = 1c (E − eA0 + mc2)ΨB
(1)
I (1) implica:
σ ·(
p−ec
A) ΨB︷ ︸︸ ︷(
cE − eA0 + mc2
)[−σ ·
(p−
ec
A)]
ΨA = −1c
(
≡Ek︷ ︸︸ ︷E −mc2−eA0)ΨA. (2)
ou
σ ·(
p−ec
A)(
c2
E − eA0 + mc2
)[σ ·(
p−ec
A)]
ΨA = (Ek − eA0)ΨA.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I
σ ·(
p−ec
A)(
c2
E − eA0 + mc2
)[σ ·(
p−ec
A)]
ΨA = (Ek − eA0)ΨA. (3)
I Baixas energias: |eA0| � mc2, Ek � mc2.
I Termo c2
E−eA0+mc2 : Taylor
c2
E − eA0 + mc2=
12m
(2mc2
E − eA0 + mc2
)
=1
2m
1
1 +Ek−eA0
2mc2
=
12m
(1−
Ek − eA0
2mc2+ · · ·
)(4)
I Em 1a. ordem c2
E−eA0+mc2 ≈ 12m .
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I
σ ·(
p−ec
A)(
c2
E − eA0 + mc2
)[σ ·(
p−ec
A)]
ΨA = (Ek − eA0)ΨA. (3)
I Baixas energias: |eA0| � mc2, Ek � mc2.
I Termo c2
E−eA0+mc2 : Taylor
c2
E − eA0 + mc2=
12m
(2mc2
E − eA0 + mc2
)
=1
2m
1
1 +Ek−eA0
2mc2
=
12m
(1−
Ek − eA0
2mc2+ · · ·
)(4)
I Em 1a. ordem c2
E−eA0+mc2 ≈ 12m .
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I
σ ·(
p−ec
A)(
c2
E − eA0 + mc2
)[σ ·(
p−ec
A)]
ΨA = (Ek − eA0)ΨA. (3)
I Baixas energias: |eA0| � mc2, Ek � mc2.
I Termo c2
E−eA0+mc2 : Taylor
c2
E − eA0 + mc2=
12m
(2mc2
E − eA0 + mc2
)
=1
2m
1
1 +Ek−eA0
2mc2
=
12m
(1−
Ek − eA0
2mc2+ · · ·
)(4)
I Em 1a. ordem c2
E−eA0+mc2 ≈ 12m .
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I
σ ·(
p−ec
A)(
c2
E − eA0 + mc2
)[σ ·(
p−ec
A)]
ΨA = (Ek − eA0)ΨA. (3)
I Baixas energias: |eA0| � mc2, Ek � mc2.
I Termo c2
E−eA0+mc2 : Taylor
c2
E − eA0 + mc2=
12m
(2mc2
E − eA0 + mc2
)
=1
2m
1
1 +Ek−eA0
2mc2
=
12m
(1−
Ek − eA0
2mc2+ · · ·
)(4)
I Em 1a. ordem c2
E−eA0+mc2 ≈ 12m .
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I Portanto a Eq. (2) pode ser escrita como
Hamiltoniano de Pauli-Schrödinger−eφ/c︷ ︸︸ ︷1
2m
[σ ·(
p−ec
A)]2
ΨA = (Ek − eA0)ΨA
⇔1
2m
(p−
ec
A)2
ΨA −e~
2mcσ · BψA = (Ek − eA0)ΨA
I Como φ/c = A0, segue-se que
HPauli-SchrödingerΨA = Ek ΨA.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I Portanto a Eq. (2) pode ser escrita como
Hamiltoniano de Pauli-Schrödinger−eφ/c︷ ︸︸ ︷1
2m
[σ ·(
p−ec
A)]2
ΨA = (Ek − eA0)ΨA
⇔1
2m
(p−
ec
A)2
ΨA −e~
2mcσ · BψA = (Ek − eA0)ΨA
I Como φ/c = A0, segue-se que
HPauli-SchrödingerΨA = Ek ΨA.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I Agora,
ΨB = −c
E − eA0 + mc2σ ·(
p−ec
A)
ΨA
(3)≈ −
12mc
σ ·(
p−ec
A)
ΨA
≈2m√
Ek
2mcΨA
≈vc
ΨA.
I ΨB é suprimido na aproximação de baixas energias (small component), poisv � c.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I Agora,
ΨB = −c
E − eA0 + mc2σ ·(
p−ec
A)
ΨA
(3)≈ −
12mc
σ ·(
p−ec
A)
ΨA
≈2m√
Ek
2mcΨA
≈vc
ΨA.
I ΨB é suprimido na aproximação de baixas energias (small component), poisv � c.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Simetrias
I Grupo SO(3). Rotações com respeito aos eixos coordenados:
Rx (φ) =
1 0 00 cosφ sinφ0 − sinφ cosφ
, Ry (ψ) =
cosψ 0 − sinψ0 1 0
sinψ 0 cosψ
,
Rz (θ) =
cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0
0 0 1
.
I Vetor ~v =
xyz
.
Rotação: ~v 7→ U~v , U ∈ SO(3).I
Jz =1i
dRz (θ)
dθ
∣∣∣∣∣θ=0
=
0 −i 0i 0 00 0 0
,
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Simetrias
I Grupo SO(3). Rotações com respeito aos eixos coordenados:
Rx (φ) =
1 0 00 cosφ sinφ0 − sinφ cosφ
, Ry (ψ) =
cosψ 0 − sinψ0 1 0
sinψ 0 cosψ
,
Rz (θ) =
cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0
0 0 1
.
I Vetor ~v =
xyz
.
Rotação: ~v 7→ U~v , U ∈ SO(3).I
Jz =1i
dRz (θ)
dθ
∣∣∣∣∣θ=0
=
0 −i 0i 0 00 0 0
,
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Simetrias
I Grupo SO(3). Rotações com respeito aos eixos coordenados:
Rx (φ) =
1 0 00 cosφ sinφ0 − sinφ cosφ
, Ry (ψ) =
cosψ 0 − sinψ0 1 0
sinψ 0 cosψ
,
Rz (θ) =
cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0
0 0 1
.
I Vetor ~v =
xyz
.
Rotação: ~v 7→ U~v , U ∈ SO(3).I
Jz =1i
dRz (θ)
dθ
∣∣∣∣∣θ=0
=
0 −i 0i 0 00 0 0
,
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Simetrias
I
Jx =1i
dRx (φ)
dφ
∣∣∣∣∣φ=0
=
0 0 00 0 −i0 i 0
,
Jy =1i
dRy (ψ)
dψ
∣∣∣∣∣ψ=0
=
0 0 i0 0 0−i 0 0
.
I Rotações infinitesimais: Rz (δθ) = I + iJzδθ.
I Álgebra de Lie so(3): geradores {Jx , Jy , Jz}, satisfazem [Jx , Jy ] = iJz ,ciclicamente.
I
Rz (θ) = [Rz (δθ)]N = [I + iJzδθ]N
=
[I + iJz
θ
N
]N
N→∞= eiJzθ
= I + iJzθ − J2zθ2
2!+ · · · =
cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0
0 0 1
.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Simetrias
I
Jx =1i
dRx (φ)
dφ
∣∣∣∣∣φ=0
=
0 0 00 0 −i0 i 0
,
Jy =1i
dRy (ψ)
dψ
∣∣∣∣∣ψ=0
=
0 0 i0 0 0−i 0 0
.
I Rotações infinitesimais: Rz (δθ) = I + iJzδθ.
I Álgebra de Lie so(3): geradores {Jx , Jy , Jz}, satisfazem [Jx , Jy ] = iJz ,ciclicamente.
I
Rz (θ) = [Rz (δθ)]N = [I + iJzδθ]N
=
[I + iJz
θ
N
]N
N→∞= eiJzθ
= I + iJzθ − J2zθ2
2!+ · · · =
cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0
0 0 1
.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Simetrias
I
Jx =1i
dRx (φ)
dφ
∣∣∣∣∣φ=0
=
0 0 00 0 −i0 i 0
,
Jy =1i
dRy (ψ)
dψ
∣∣∣∣∣ψ=0
=
0 0 i0 0 0−i 0 0
.
I Rotações infinitesimais: Rz (δθ) = I + iJzδθ.
I Álgebra de Lie so(3): geradores {Jx , Jy , Jz}, satisfazem [Jx , Jy ] = iJz ,ciclicamente.
I
Rz (θ) = [Rz (δθ)]N = [I + iJzδθ]N
=
[I + iJz
θ
N
]N
N→∞= eiJzθ
= I + iJzθ − J2zθ2
2!+ · · · =
cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0
0 0 1
.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Simetrias
I
Jx =1i
dRx (φ)
dφ
∣∣∣∣∣φ=0
=
0 0 00 0 −i0 i 0
,
Jy =1i
dRy (ψ)
dψ
∣∣∣∣∣ψ=0
=
0 0 i0 0 0−i 0 0
.
I Rotações infinitesimais: Rz (δθ) = I + iJzδθ.
I Álgebra de Lie so(3): geradores {Jx , Jy , Jz}, satisfazem [Jx , Jy ] = iJz ,ciclicamente.
I
Rz (θ) = [Rz (δθ)]N = [I + iJzδθ]N
=
[I + iJz
θ
N
]N
N→∞= eiJzθ
= I + iJzθ − J2zθ2
2!+ · · · =
cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0
0 0 1
.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Simetrias
I Rotação finita com respeito a um eixo n̂, por um ângulo θ:
Rn(θ) = ei~J·~θ,
onde ~θ = θn̂.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Simetrias
I Rotações em SU(2) = {U ∈ M(2,C |UU† = I, det U = 1}.
U =
(a b−b∗ a∗
), |a|2 + |b|2 = 1.
I Ângulos de Euler:
Rx (φ) = eiσxφ/2 =
(cos(φ/2) i sin(φ/2)i sin(φ/2) cos(φ/2)
),
Ry (ψ) = eiσyψ/2 =
(cos(ψ/2) sin(ψ/2)− sin(ψ/2) cos(ψ/2)
),
Rz (θ) = eiσzθ/2 =
(eiθ/2 0
0 e−iθ/2
).
I Vetor ~v =
(z x − iy
x + iy −z
)∈ SU(2).
I Rotação: ~v 7→ U~vU†.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Simetrias
I Rotações em SU(2) = {U ∈ M(2,C |UU† = I, det U = 1}.
U =
(a b−b∗ a∗
), |a|2 + |b|2 = 1.
I Ângulos de Euler:
Rx (φ) = eiσxφ/2 =
(cos(φ/2) i sin(φ/2)i sin(φ/2) cos(φ/2)
),
Ry (ψ) = eiσyψ/2 =
(cos(ψ/2) sin(ψ/2)− sin(ψ/2) cos(ψ/2)
),
Rz (θ) = eiσzθ/2 =
(eiθ/2 0
0 e−iθ/2
).
I Vetor ~v =
(z x − iy
x + iy −z
)∈ SU(2).
I Rotação: ~v 7→ U~vU†.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Simetrias
I Rotações em SU(2) = {U ∈ M(2,C |UU† = I, det U = 1}.
U =
(a b−b∗ a∗
), |a|2 + |b|2 = 1.
I Ângulos de Euler:
Rx (φ) = eiσxφ/2 =
(cos(φ/2) i sin(φ/2)i sin(φ/2) cos(φ/2)
),
Ry (ψ) = eiσyψ/2 =
(cos(ψ/2) sin(ψ/2)− sin(ψ/2) cos(ψ/2)
),
Rz (θ) = eiσzθ/2 =
(eiθ/2 0
0 e−iθ/2
).
I Vetor ~v =
(z x − iy
x + iy −z
)∈ SU(2).
I Rotação: ~v 7→ U~vU†.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Simetrias
I Rotações em SU(2) = {U ∈ M(2,C |UU† = I, det U = 1}.
U =
(a b−b∗ a∗
), |a|2 + |b|2 = 1.
I Ângulos de Euler:
Rx (φ) = eiσxφ/2 =
(cos(φ/2) i sin(φ/2)i sin(φ/2) cos(φ/2)
),
Ry (ψ) = eiσyψ/2 =
(cos(ψ/2) sin(ψ/2)− sin(ψ/2) cos(ψ/2)
),
Rz (θ) = eiσzθ/2 =
(eiθ/2 0
0 e−iθ/2
).
I Vetor ~v =
(z x − iy
x + iy −z
)∈ SU(2).
I Rotação: ~v 7→ U~vU†.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Simetrias
I 2-espinor α =(α1α2
)se transforma como α 7→ Uα, U ∈ SU(2).
I 2-espinor α† = (α∗1 , α∗2 ) se transforma como α† 7→ α†U†.
I O produto α†α é invariante sob SU(2).I Agora αα† se transforma como vetor sob SU(2): αα† 7→ Uαα†U†.I
αα† =
(−α1α2 α2
1−α2
2 α1α2
)= ~v =
(z x − iy
x + iy −z
)I
x = 12 (α2
1 − α22)
y = 12 (α2
1 + α22)
z = −α1α2.
I SU(2)/Z2 ' SO(3).
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Simetrias
I 2-espinor α =(α1α2
)se transforma como α 7→ Uα, U ∈ SU(2).
I 2-espinor α† = (α∗1 , α∗2 ) se transforma como α† 7→ α†U†.
I O produto α†α é invariante sob SU(2).I Agora αα† se transforma como vetor sob SU(2): αα† 7→ Uαα†U†.I
αα† =
(−α1α2 α2
1−α2
2 α1α2
)= ~v =
(z x − iy
x + iy −z
)I
x = 12 (α2
1 − α22)
y = 12 (α2
1 + α22)
z = −α1α2.
I SU(2)/Z2 ' SO(3).
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Simetrias
I 2-espinor α =(α1α2
)se transforma como α 7→ Uα, U ∈ SU(2).
I 2-espinor α† = (α∗1 , α∗2 ) se transforma como α† 7→ α†U†.
I O produto α†α é invariante sob SU(2).I Agora αα† se transforma como vetor sob SU(2): αα† 7→ Uαα†U†.I
αα† =
(−α1α2 α2
1−α2
2 α1α2
)= ~v =
(z x − iy
x + iy −z
)I
x = 12 (α2
1 − α22)
y = 12 (α2
1 + α22)
z = −α1α2.
I SU(2)/Z2 ' SO(3).
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Simetrias
I 2-espinor α =(α1α2
)se transforma como α 7→ Uα, U ∈ SU(2).
I 2-espinor α† = (α∗1 , α∗2 ) se transforma como α† 7→ α†U†.
I O produto α†α é invariante sob SU(2).I Agora αα† se transforma como vetor sob SU(2): αα† 7→ Uαα†U†.I
αα† =
(−α1α2 α2
1−α2
2 α1α2
)= ~v =
(z x − iy
x + iy −z
)I
x = 12 (α2
1 − α22)
y = 12 (α2
1 + α22)
z = −α1α2.
I SU(2)/Z2 ' SO(3).
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Simetrias
I 2-espinor α =(α1α2
)se transforma como α 7→ Uα, U ∈ SU(2).
I 2-espinor α† = (α∗1 , α∗2 ) se transforma como α† 7→ α†U†.
I O produto α†α é invariante sob SU(2).I Agora αα† se transforma como vetor sob SU(2): αα† 7→ Uαα†U†.I
αα† =
(−α1α2 α2
1−α2
2 α1α2
)= ~v =
(z x − iy
x + iy −z
)I
x = 12 (α2
1 − α22)
y = 12 (α2
1 + α22)
z = −α1α2.
I SU(2)/Z2 ' SO(3).
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Simetrias
I 2-espinor α =(α1α2
)se transforma como α 7→ Uα, U ∈ SU(2).
I 2-espinor α† = (α∗1 , α∗2 ) se transforma como α† 7→ α†U†.
I O produto α†α é invariante sob SU(2).I Agora αα† se transforma como vetor sob SU(2): αα† 7→ Uαα†U†.I
αα† =
(−α1α2 α2
1−α2
2 α1α2
)= ~v =
(z x − iy
x + iy −z
)I
x = 12 (α2
1 − α22)
y = 12 (α2
1 + α22)
z = −α1α2.
I SU(2)/Z2 ' SO(3).
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Simetrias
I 2-espinor α =(α1α2
)se transforma como α 7→ Uα, U ∈ SU(2).
I 2-espinor α† = (α∗1 , α∗2 ) se transforma como α† 7→ α†U†.
I O produto α†α é invariante sob SU(2).I Agora αα† se transforma como vetor sob SU(2): αα† 7→ Uαα†U†.I
αα† =
(−α1α2 α2
1−α2
2 α1α2
)= ~v =
(z x − iy
x + iy −z
)I
x = 12 (α2
1 − α22)
y = 12 (α2
1 + α22)
z = −α1α2.
I SU(2)/Z2 ' SO(3).
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Grupo de Lorentz
I SU(2)/Z2 ' SO(3).SL(2,C)/Z2 ' Spin(1, 3)/Z2 ' SO(1,3).
I Vetores no espaço-tempo: ~v =
(ct + z x − iyx + iy ct − z
)(matrizes hermitianas em
GL(2,C)).I Norma ‖~v‖2 = det~v .I Lei de transformação: ~v 7→ A~vA†, onde A ∈ SL(2,C).
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Grupo de Lorentz
I SU(2)/Z2 ' SO(3).SL(2,C)/Z2 ' Spin(1, 3)/Z2 ' SO(1,3).
I Vetores no espaço-tempo: ~v =
(ct + z x − iyx + iy ct − z
)(matrizes hermitianas em
GL(2,C)).I Norma ‖~v‖2 = det~v .I Lei de transformação: ~v 7→ A~vA†, onde A ∈ SL(2,C).
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Grupo de Lorentz
I SU(2)/Z2 ' SO(3).SL(2,C)/Z2 ' Spin(1, 3)/Z2 ' SO(1,3).
I Vetores no espaço-tempo: ~v =
(ct + z x − iyx + iy ct − z
)(matrizes hermitianas em
GL(2,C)).I Norma ‖~v‖2 = det~v .I Lei de transformação: ~v 7→ A~vA†, onde A ∈ SL(2,C).
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Grupo de Lorentz
I SU(2)/Z2 ' SO(3).SL(2,C)/Z2 ' Spin(1, 3)/Z2 ' SO(1,3).
I Vetores no espaço-tempo: ~v =
(ct + z x − iyx + iy ct − z
)(matrizes hermitianas em
GL(2,C)).I Norma ‖~v‖2 = det~v .I Lei de transformação: ~v 7→ A~vA†, onde A ∈ SL(2,C).
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Grupo de Lorentz
I Boosts:
x ′ =x + vt√1− v2
c2
y ′ = y
z′ = z
t ′ =t + vx
c2√1− v2
c2
I Definindo-se
γ =1√
1− v2
c2
β =vc
x0 = ct , x1 = x , x2 = y , x3 = z,
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Grupo de Lorentz
I Boosts:
x ′ =x + vt√1− v2
c2
y ′ = y
z′ = z
t ′ =t + vx
c2√1− v2
c2
I Definindo-se
γ =1√
1− v2
c2
β =vc
x0 = ct , x1 = x , x2 = y , x3 = z,
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Grupo de Lorentz
I Boosts:
x0′ = γ(x0 + βx1)
x1′ = γ(βx0 + x1)
x2′ = x2
x3′ = x3
I Como
γ =1√
1− v2
c2
,
β =vc,
então γ2 − β2γ2 = 1.I Portanto existe um ângulo φ tal que γ = coshφ e γβ = sinhφ.I tanhφ = β = v
c .
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Grupo de Lorentz
I Boosts:
x0′ = γ(x0 + βx1)
x1′ = γ(βx0 + x1)
x2′ = x2
x3′ = x3
I Como
γ =1√
1− v2
c2
,
β =vc,
então γ2 − β2γ2 = 1.I Portanto existe um ângulo φ tal que γ = coshφ e γβ = sinhφ.I tanhφ = β = v
c .
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Grupo de Lorentz
I Boosts:
x0′ = γ(x0 + βx1)
x1′ = γ(βx0 + x1)
x2′ = x2
x3′ = x3
I Como
γ =1√
1− v2
c2
,
β =vc,
então γ2 − β2γ2 = 1.I Portanto existe um ângulo φ tal que γ = coshφ e γβ = sinhφ.I tanhφ = β = v
c .
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Grupo de Lorentz
I Boosts:
x0′ = γ(x0 + βx1)
x1′ = γ(βx0 + x1)
x2′ = x2
x3′ = x3
⇔
x0′
x1′
x2′
x3′
=
Matrix de boost︷ ︸︸ ︷coshφ sinhφ 0 0sinhφ coshφ 0 0
0 0 1 00 0 0 1
x0
x1
x2
x3
.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Boosts
I
x0′
x1′
x2′
x3′
=
B=Matrix de boost︷ ︸︸ ︷coshφ sinhφ 0 0sinhφ coshφ 0 0
0 0 1 00 0 0 1
x0
x1
x2
x3
.
I Geradores de boosts:
Kx =1i∂Bx
∂φ
∣∣∣∣∣φ=0
= −i
0 1 0 01 0 0 00 0 0 00 0 0 0
Ky =1i∂By
∂φ
∣∣∣∣∣φ=0
= −i
0 0 1 00 0 0 01 0 0 00 0 0 0
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Boosts
I
x0′
x1′
x2′
x3′
=
B=Matrix de boost︷ ︸︸ ︷coshφ sinhφ 0 0sinhφ coshφ 0 0
0 0 1 00 0 0 1
x0
x1
x2
x3
.
I Geradores de boosts:
Kx =1i∂Bx
∂φ
∣∣∣∣∣φ=0
= −i
0 1 0 01 0 0 00 0 0 00 0 0 0
Ky =1i∂By
∂φ
∣∣∣∣∣φ=0
= −i
0 0 1 00 0 0 01 0 0 00 0 0 0
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Boosts
I
Kz =1i∂Bz
∂φ
∣∣∣∣∣φ=0
= −i
0 0 0 10 0 0 00 0 0 01 0 0 0
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Rotações
I
Jx =1i
dRx (φ)
dφ
∣∣∣∣∣φ=0
=
0 0 00 0 −i0 i 0
↪→ −i
0 0 0 00 0 0 00 0 0 10 0 −1 0
,
Jy =1i
dRy (ψ)
dψ
∣∣∣∣∣ψ=0
=
0 0 i0 0 0−i 0 0
↪→ −i
0 0 0 00 0 0 −10 0 0 00 1 0 0
,
Jz =1i
dRz (θ)
dθ
∣∣∣∣∣θ=0
=
0 −i 0i 0 00 0 0
↪→ −i
0 0 0 00 0 1 00 −1 0 00 0 0 0
.
I Boosts e rotações satisfazem a álgebra [Kx ,Ky ] = −iJz (ciclicamente),[Jx ,Kx ] = O = · · · , [Jx ,Ky ] = iKz (ciclicamente).
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Rotações
I
Jx =1i
dRx (φ)
dφ
∣∣∣∣∣φ=0
=
0 0 00 0 −i0 i 0
↪→ −i
0 0 0 00 0 0 00 0 0 10 0 −1 0
,
Jy =1i
dRy (ψ)
dψ
∣∣∣∣∣ψ=0
=
0 0 i0 0 0−i 0 0
↪→ −i
0 0 0 00 0 0 −10 0 0 00 1 0 0
,
Jz =1i
dRz (θ)
dθ
∣∣∣∣∣θ=0
=
0 −i 0i 0 00 0 0
↪→ −i
0 0 0 00 0 1 00 −1 0 00 0 0 0
.
I Boosts e rotações satisfazem a álgebra [Kx ,Ky ] = −iJz (ciclicamente),[Jx ,Kx ] = O = · · · , [Jx ,Ky ] = iKz (ciclicamente).
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Representações do grupo de Lorentz
I [Kx ,Ky ] = −iJz (ciclicamente), [Jx ,Kx ] = O = · · · , [Jx ,Ky ] = iKz (ciclicamente).I Definindo-se J = (Jx , Jy , Jz ) e K = (Kx ,Ky ,Kz ) e
A =12
(J + iK)
B =12
(J− iK)
obtemosI [Ax ,Ay ] = iAz (ciclicamente); [Bx ,By ] = iBz (ciclicamente); e [Ai ,Bj ] = O.I Temos 2 álgebras SU(2), geradas cada uma por A e B.I Momento angular: representações (j, j ′) ∈ SU(2)× SU(2) do grupo de Lorentz.I Casos especiais:
B = 0 ⇒ J = iK→ (j, 0)
A = 0 ⇒ J = −iK→ (0, j ′)
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Representações do grupo de Lorentz
I [Kx ,Ky ] = −iJz (ciclicamente), [Jx ,Kx ] = O = · · · , [Jx ,Ky ] = iKz (ciclicamente).I Definindo-se J = (Jx , Jy , Jz ) e K = (Kx ,Ky ,Kz ) e
A =12
(J + iK)
B =12
(J− iK)
obtemosI [Ax ,Ay ] = iAz (ciclicamente); [Bx ,By ] = iBz (ciclicamente); e [Ai ,Bj ] = O.I Temos 2 álgebras SU(2), geradas cada uma por A e B.I Momento angular: representações (j, j ′) ∈ SU(2)× SU(2) do grupo de Lorentz.I Casos especiais:
B = 0 ⇒ J = iK→ (j, 0)
A = 0 ⇒ J = −iK→ (0, j ′)
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Representações do grupo de Lorentz
I [Kx ,Ky ] = −iJz (ciclicamente), [Jx ,Kx ] = O = · · · , [Jx ,Ky ] = iKz (ciclicamente).I Definindo-se J = (Jx , Jy , Jz ) e K = (Kx ,Ky ,Kz ) e
A =12
(J + iK)
B =12
(J− iK)
obtemosI [Ax ,Ay ] = iAz (ciclicamente); [Bx ,By ] = iBz (ciclicamente); e [Ai ,Bj ] = O.I Temos 2 álgebras SU(2), geradas cada uma por A e B.I Momento angular: representações (j, j ′) ∈ SU(2)× SU(2) do grupo de Lorentz.I Casos especiais:
B = 0 ⇒ J = iK→ (j, 0)
A = 0 ⇒ J = −iK→ (0, j ′)
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Representações do grupo de Lorentz
I [Kx ,Ky ] = −iJz (ciclicamente), [Jx ,Kx ] = O = · · · , [Jx ,Ky ] = iKz (ciclicamente).I Definindo-se J = (Jx , Jy , Jz ) e K = (Kx ,Ky ,Kz ) e
A =12
(J + iK)
B =12
(J− iK)
obtemosI [Ax ,Ay ] = iAz (ciclicamente); [Bx ,By ] = iBz (ciclicamente); e [Ai ,Bj ] = O.I Temos 2 álgebras SU(2), geradas cada uma por A e B.I Momento angular: representações (j, j ′) ∈ SU(2)× SU(2) do grupo de Lorentz.I Casos especiais:
B = 0 ⇒ J = iK→ (j, 0)
A = 0 ⇒ J = −iK→ (0, j ′)
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Representações do grupo de Lorentz
I [Kx ,Ky ] = −iJz (ciclicamente), [Jx ,Kx ] = O = · · · , [Jx ,Ky ] = iKz (ciclicamente).I Definindo-se J = (Jx , Jy , Jz ) e K = (Kx ,Ky ,Kz ) e
A =12
(J + iK)
B =12
(J− iK)
obtemosI [Ax ,Ay ] = iAz (ciclicamente); [Bx ,By ] = iBz (ciclicamente); e [Ai ,Bj ] = O.I Temos 2 álgebras SU(2), geradas cada uma por A e B.I Momento angular: representações (j, j ′) ∈ SU(2)× SU(2) do grupo de Lorentz.I Casos especiais:
B = 0 ⇒ J = iK→ (j, 0)
A = 0 ⇒ J = −iK→ (0, j ′)
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Representações do grupo de Lorentz
I [Kx ,Ky ] = −iJz (ciclicamente), [Jx ,Kx ] = O = · · · , [Jx ,Ky ] = iKz (ciclicamente).I Definindo-se J = (Jx , Jy , Jz ) e K = (Kx ,Ky ,Kz ) e
A =12
(J + iK)
B =12
(J− iK)
obtemosI [Ax ,Ay ] = iAz (ciclicamente); [Bx ,By ] = iBz (ciclicamente); e [Ai ,Bj ] = O.I Temos 2 álgebras SU(2), geradas cada uma por A e B.I Momento angular: representações (j, j ′) ∈ SU(2)× SU(2) do grupo de Lorentz.I Casos especiais:
B = 0 ⇒ J = iK→ (j, 0)
A = 0 ⇒ J = −iK→ (0, j ′)
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I Para j = 12 , a representação (1/2, 0) indica que J = ~σ/2 e portanto K = −i~σ/2.
I 2-espinores ξ ∈ (1/2, 0) do grupo de Lorentz se transformam como
ξ 7→ exp
(i2~σ · ~θ +
12~σ · ~φ
)ξ = exp
(i2~σ · (~θ − i~φ)
)ξ.
I Para j ′ = 12 , a representação (0, 1/2) indica que J = ~σ/2 e portanto K = i~σ/2.
I 2-espinores η ∈ (0, 1/2) do grupo de Lorentz se transformam como
η 7→ exp
(i2~σ · ~θ −
12~σ · ~φ
)η = exp
(i2~σ · (~θ + i~φ)
)η.
I As irreps. (0, 1/2) e (1/2, 0) são inequivalentes.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I Para j = 12 , a representação (1/2, 0) indica que J = ~σ/2 e portanto K = −i~σ/2.
I 2-espinores ξ ∈ (1/2, 0) do grupo de Lorentz se transformam como
ξ 7→ exp
(i2~σ · ~θ +
12~σ · ~φ
)ξ = exp
(i2~σ · (~θ − i~φ)
)ξ.
I Para j ′ = 12 , a representação (0, 1/2) indica que J = ~σ/2 e portanto K = i~σ/2.
I 2-espinores η ∈ (0, 1/2) do grupo de Lorentz se transformam como
η 7→ exp
(i2~σ · ~θ −
12~σ · ~φ
)η = exp
(i2~σ · (~θ + i~φ)
)η.
I As irreps. (0, 1/2) e (1/2, 0) são inequivalentes.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I Para j = 12 , a representação (1/2, 0) indica que J = ~σ/2 e portanto K = −i~σ/2.
I 2-espinores ξ ∈ (1/2, 0) do grupo de Lorentz se transformam como
ξ 7→ exp
(i2~σ · ~θ +
12~σ · ~φ
)ξ = exp
(i2~σ · (~θ − i~φ)
)ξ.
I Para j ′ = 12 , a representação (0, 1/2) indica que J = ~σ/2 e portanto K = i~σ/2.
I 2-espinores η ∈ (0, 1/2) do grupo de Lorentz se transformam como
η 7→ exp
(i2~σ · ~θ −
12~σ · ~φ
)η = exp
(i2~σ · (~θ + i~φ)
)η.
I As irreps. (0, 1/2) e (1/2, 0) são inequivalentes.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I Em 4-espinor(ξη
)∈ (0, 1/2)⊕ (1/2, 0) se transforma como
(ξη
)=
(e
12 (~σ·(~θ−i~φ)) O
O e12 (−~σ·(~θ+i~φ))
)(ξη
).
I Podemos identificar ξ 7→ φR e η 7→ φL.I Considerando-se somente boosts, ~θ = 0,
φR = e12~σ·
~φφR
=
[cosh
(φ
2
)I + σ · ~n sinh
(φ
2
)]φR .
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I Em 4-espinor(ξη
)∈ (0, 1/2)⊕ (1/2, 0) se transforma como
(ξη
)=
(e
12 (~σ·(~θ−i~φ)) O
O e12 (−~σ·(~θ+i~φ))
)(ξη
).
I Podemos identificar ξ 7→ φR e η 7→ φL.I Considerando-se somente boosts, ~θ = 0,
φR = e12~σ·
~φφR
=
[cosh
(φ
2
)I + σ · ~n sinh
(φ
2
)]φR .
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I Em 4-espinor(ξη
)∈ (0, 1/2)⊕ (1/2, 0) se transforma como
(ξη
)=
(e
12 (~σ·(~θ−i~φ)) O
O e12 (−~σ·(~θ+i~φ))
)(ξη
).
I Podemos identificar ξ 7→ φR e η 7→ φL.I Considerando-se somente boosts, ~θ = 0,
φR = e12~σ·
~φφR
=
[cosh
(φ
2
)I + σ · ~n sinh
(φ
2
)]φR .
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Grupo de Lorentz
I Como
γ =1√
1− v2
c2
β =vc
então
γ =1√
1− v2
c2
=1√
1− β2≈ 1 +
β2
2+
38β4 +
516β6 + . . .
I Energia/momento relativísticos de uma partícula: E = γmc2, p = γmv.
I Para γ ≈ 1 + β2
2 + . . ., temos E ≈ mc2 + mv2
2 .I Para γ ≈ 1 + . . ., temos p ≈ mv.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Grupo de Lorentz
I Como
γ =1√
1− v2
c2
β =vc
então
γ =1√
1− v2
c2
=1√
1− β2≈ 1 +
β2
2+
38β4 +
516β6 + . . .
I Energia/momento relativísticos de uma partícula: E = γmc2, p = γmv.
I Para γ ≈ 1 + β2
2 + . . ., temos E ≈ mc2 + mv2
2 .I Para γ ≈ 1 + . . ., temos p ≈ mv.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Grupo de Lorentz
I Como
γ =1√
1− v2
c2
β =vc
então
γ =1√
1− v2
c2
=1√
1− β2≈ 1 +
β2
2+
38β4 +
516β6 + . . .
I Energia/momento relativísticos de uma partícula: E = γmc2, p = γmv.
I Para γ ≈ 1 + β2
2 + . . ., temos E ≈ mc2 + mv2
2 .I Para γ ≈ 1 + . . ., temos p ≈ mv.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Grupo de Lorentz
I Como
γ =1√
1− v2
c2
β =vc
então
γ =1√
1− v2
c2
=1√
1− β2≈ 1 +
β2
2+
38β4 +
516β6 + . . .
I Energia/momento relativísticos de uma partícula: E = γmc2, p = γmv.
I Para γ ≈ 1 + β2
2 + . . ., temos E ≈ mc2 + mv2
2 .I Para γ ≈ 1 + . . ., temos p ≈ mv.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Grupo de Lorentz
I Considerando-se somente boosts, ~θ = 0,
φR = e12~σ·
~φφR
=
[cosh
(φ
2
)I + σ · ~n sinh
(φ
2
)]φR .
I γ2 − β2γ2 = 1. Portanto existe um ângulo φ tal que γ = coshφ e γβ = sinhφ.I
cosh
(φ
2
)=
√coshφ+ 1
2=
√γ + 1
2=
√E
mc2 + 1
2=
√E + mc2
2mc2,
sinh
(φ
2
)=
√coshφ− 1
2=
√γ − 1
2=
√E
mc2 − 1
2=
√E −mc2
2mc2.
I Portanto φR transforma-se, quando ~θ = 0, como
φR = e12~σ·
~φφR =
√E + mc2
2mc2I + σ · ~n
√E −mc2
2mc2
φR .
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Grupo de Lorentz
I Considerando-se somente boosts, ~θ = 0,
φR = e12~σ·
~φφR
=
[cosh
(φ
2
)I + σ · ~n sinh
(φ
2
)]φR .
I γ2 − β2γ2 = 1. Portanto existe um ângulo φ tal que γ = coshφ e γβ = sinhφ.I
cosh
(φ
2
)=
√coshφ+ 1
2=
√γ + 1
2=
√E
mc2 + 1
2=
√E + mc2
2mc2,
sinh
(φ
2
)=
√coshφ− 1
2=
√γ − 1
2=
√E
mc2 − 1
2=
√E −mc2
2mc2.
I Portanto φR transforma-se, quando ~θ = 0, como
φR = e12~σ·
~φφR =
√E + mc2
2mc2I + σ · ~n
√E −mc2
2mc2
φR .
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Grupo de Lorentz
I Considerando-se somente boosts, ~θ = 0,
φR = e12~σ·
~φφR
=
[cosh
(φ
2
)I + σ · ~n sinh
(φ
2
)]φR .
I γ2 − β2γ2 = 1. Portanto existe um ângulo φ tal que γ = coshφ e γβ = sinhφ.I
cosh
(φ
2
)=
√coshφ+ 1
2=
√γ + 1
2=
√E
mc2 + 1
2=
√E + mc2
2mc2,
sinh
(φ
2
)=
√coshφ− 1
2=
√γ − 1
2=
√E
mc2 − 1
2=
√E −mc2
2mc2.
I Portanto φR transforma-se, quando ~θ = 0, como
φR = e12~σ·
~φφR =
√E + mc2
2mc2I + σ · ~n
√E −mc2
2mc2
φR .
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Grupo de Lorentz
I Considerando-se somente boosts, ~θ = 0,
φR = e12~σ·
~φφR
=
[cosh
(φ
2
)I + σ · ~n sinh
(φ
2
)]φR .
I γ2 − β2γ2 = 1. Portanto existe um ângulo φ tal que γ = coshφ e γβ = sinhφ.I
cosh
(φ
2
)=
√coshφ+ 1
2=
√γ + 1
2=
√E
mc2 + 1
2=
√E + mc2
2mc2,
sinh
(φ
2
)=
√coshφ− 1
2=
√γ − 1
2=
√E
mc2 − 1
2=
√E −mc2
2mc2.
I Portanto φR transforma-se, quando ~θ = 0, como
φR = e12~σ·
~φφR =
√E + mc2
2mc2I + σ · ~n
√E −mc2
2mc2
φR .
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
I Portanto φR , φL transformam-se, quando ~θ = 0, como
φR = e12~σ·
~φφR =
√E + mc2
2mc2I + σ · ~n
√E −mc2
2mc2
φR ,
φL = e−12~σ·
~φφR =
√E + mc2
2mc2I− σ · ~n
√E −mc2
2mc2
φL,
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