aporte trabajo 2 algebra lineal

1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

1.1. Sistema lineal−x−4 y−7 z=−12

5 x−7 y−3 z=−5

−8 x+5 y+6 z=3

La matriz ampliada es:

-1 -4 -7 -12

5 -7 -3 -5

-8 5 6 3

F1 * -1

1 4 7 12

5 -7 -3 -5

-8 5 6 3

[F1 * -5] + F2

1 4 7 12

0 -27 -38 -65

-8 5 6 3

[F1 * 8] + F3

1 4 7 12

0 -27 -38 -65

0 37 62 99

[F2 * -1/27]

1 4 7 12

0 1 38/27 65/27

0 37 62 99

[F3 * -37] + F3

1 4 7 12

0 1 38/27 65/27

0 0 268/27 268/27

Escribimos el sistema nuevamente con los resultados obtenidos:

x+4 y+7 z=12

y+ 3827z=6527

26827z=268

27

En el ultimo al despejar z obtenemos z=1.

Remplazamos este valor en la segunda ecuación y despejamos Y:

y+ 3827

(1)=6527

y=6527

−3827

y=2727

y=1

Ahora remplazamos los valores de las dos primeras variable en la primera ecuación y despejamos y.

x+4 (1)+7(1)=12

x+4+7=12

x=12−4−7

x=1

Entonces, los valores de las variables son:

x=1, y=1, z=1.

1.2. Sistema lineal3 x− y−z+4w=10

8 x−3 y−z−2w=−18

La matriz ampliada es:

3 -1 -1 4 10

8 -3 -1 -2 -18

13f 1

1−13

−13

43

103

8 -3 -1 -2 -18

f 2−8 f 1

1−13

−13

43

103

0−13

53

−383

−1343

−3 f 2

1−13

−13

43

103

0 1 -5 38 134

f 1+13f 2

1 043

14 48

0 1 -5 38 134

La matriz ya se encuentra en su forma escalonada reducida, a continuación el sistema resultante;

x+ 43z+14w=48

y−5 z+38w=134

Despejando X en la primera ecuación y Y en la segunda, podemos expresar un el vector [x,y,z,w,] en función de z,w:

x=48−43z−14w

y=134+5 z−38w

z=z

w=w

El vector resultante seria:

[48−43 z−14w ,134+5 z−38w , z ,w ]Para cada valor que se le asigne a z y w se obtiene un valor que satisface las dos ecuaciones. Con lo anterior se trata de un caso con infinitas soluciones.

2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el método que prefiera para hallar A-1).

x – y - 7z = 8

3x - 8y - 2z = 7

-5x + 2y +z = -2

Empleamos el método Gauss-Jordan

Escribimos la matriz de coeficientes

1 -1 -7 8

3 -8 -2 7

-5 2 1 -2

[F1.3] +F2 ^ [F1.5] + F3

1 -1 -7 8

0 -5 19 17

0 -3 -34 -42

[F2.1/5]

1 -1 -7 8

0 1 -19/5 -17/5

0 -3 -34 -42

[F2.3]+F3 ^ [F2+F1]F1

1 0 -54/5 -57/5

0 1 -19/5 -17/5

0 0 -227/5 -261/5

[F3. -5/227]

1 0 -54/5 -57/5

0 1 -19/5 -17/5

0 0 1 261/227

[F3+19/5]+F2 ^ [F3.54/5]+F1

1 0 0 231/227

0 1 0 220/227

0 0 1 261/227

Entonces los valores de las variables son:

x = 231/227

y = 220/227

z = 261/227

Probemos los resultados en el sistema de ecuaciones

Primera ecuación: x – y - 7z = -8

231/227 – 220/227 – 7(261/227) = -8

231/227 – 220/227 – 1827/227 = -8

1816/227 = -8

-8 = -8 correcto

Segunda ecuación: 3x - 8y - 2z = -7

3(231/227) – 8(220/227) – 2(261/227) = -7

693/227 – 1760/227 – 522/227 = -7

-1589/227 = -7

-7 = -7 correcto

Tercera ecuación: -5x + 2y +z = -2

-5(231/227) + 2(220/227) + 261/227 = -2

-1155/227 + 440/227 + 261/227 = -2

-454/227 = -2

-2 = -2 correcto

3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que:3.1.Contiene a los puntos P = (7,-1,1) y Q = (-1,5 - 3)

Solución:

PQ = (1 -7)i + (5 + 1)j + (-3 -1)k

6i + 6j + 4k

Entonces:

a = 6

b = 6

c = -4

Las ecuaciones paramétricas:

x = x1 + ta x = 7 + 6t

y = y1 + ta y = -1 + 6t

z = z1 + ta z = 1 – 4t

Las ecuaciones simétricas

x−x1a

=y− y1b

=z−z1c

x−76

= y−16

= z−1−4

3.2. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que

contiene a P = (5,3,−7 ) y es paralela a la recta x−93

= y+3−4

= z+97

Como la recta ya esta expresada en su ecuación simétrica, podemos encontrar el punto P y el vector dirección:

P=(−9,3,9) y su vector v=(3 ,−4,7)Y como son paralelas, entonces tienen el mismo vector dirección.

Para P=(5,3 ,−7) y su vector v=(3 ,−4,7) Las ecuaciones paramétricas:x=5+6 t y=3−4 t z=−7+7 t

Las ecuaciones simétricas:x−56

= y−3−4

= z+77

4. Encuentre la ecuación general del plano que:

4.1.Contiene a los puntos P = (-8,5,0) , Q = (5,-4,-8) y R = (-3,-5,1)

Formamos los vectores (PQ) y (PR)

PQ = (5+8)i + (-4-5)j + (-8+8)k

PQ = 13i – 9j

PR = (-3+8)i + (-5-5)j + (1-0)k

PR = 5i -10j + k

Hallamos un vector perpendicular a PQ y PR simultáneamente, este nos servirá como vector normal.

PQ x PR = 13 −9 05 −10 1

i= −9 0−10 1

j = 13 05 1

k = 13 −95 −10

i = 9

j = 18

k = 68

9i + 18j + 68k

Ahora utilizamos cualquiera de los tres puntos, por ejemplo R (-3,-5,1)

9(x + 3) + 18(y + 5) + 68(z + 1) =0

9x +27 + 18y + 90 + 68z + 68 = 0

9x + 18y + 68z +27 +90 + 68 = 0

9x + 18y + 68z = 185 ecuación general del plano

4.2.Contiene al punto P = (-7,-8 - 3) y tiene como vector normal an = -5iˆ - 2 ˆj + 6kˆComo tenemos un punto y el vector normal, entonces:

-5(x + 7) + -2(y + 8) + 6(z + 3) = 0

-5x -35 – 2y – 16 + 6z + 18 = 0

-5x -2y +6z -35 -16 +18 = 0

-5x -2y +6z = -33 ecuación general del plano

5. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:π1: x-5y-8z=10 y π2: -2x-5y-7z=9

De π1: tenemos n1=1 i−5 j−8 k

De π2: tenemos n2=−2 i−5 j−7 kVeamos si son paralelos

n1 X n2=| i j k1 −5 −8

−2 −5 −7|=i|−5 −8−5 −7|− j| 1 −8

−2 −7|+ k| 1 −5−2 −5|

¿−5 i+23 j+15 k ≠0 i+0 j+0 k No son paralelas, por lo tanto tienen punto de intersección.

Resolvamos las ecuaciones simultáneamente:

[ 1 −5 −8−2 −5 −7|109 ]ƒ2+2ƒ1[1 −5 −8

0 −15 −23|1029 ]− 115ƒ2[1 −5 −8

0 12315 |

10−2915 ]

ƒ1+5ƒ2[1 0−13

0 12315

| 13

−2915 ]

Las ecuaciones resultantes son:

x−13z=13

y+ 2315z=−29

15

Despejando X en la primera ecuación y Y en la segunda, tenemos:

x=13+ 13z

y=−2915

−2315z

z=z

Con lo anterior los puntos donde se interceptan esta dado por:

[ 13 + 13z ,−29

15−2315z , z ]