análisis numérico ii diferencias finitas problemas...

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DIFERENCIAS FINITAS

PROBLEMA PARABOLICOS

Análisis Numérico II

Diferencias finitas – problemas parabólicos

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DIFERENCIAS FINITAS

PROBLEMA PARABOLICOS

Análisis Numérico II

Diferencias finitas – problemas parabólicos

• Método explícito centrado

• Tipos de errores

• Consistencia de un esquema numérico

• Convergencia de la solución numérica

• Estabilidad de la solución numérica

• Problema de advección-difusión

• Problemas bidimensionales

• Método de las líneas

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Problema Base

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Método Explícito Centrado

2

2, 0 , 0

u uD x L t

t x

( , 0) ( )u x t f x

( 0, ) ( )u x t g t

( , ) ( )u x L t h t

4/59

Discretización

1

1 1

2

2, 0 , 0

n n n n n

j j j j ju u u u uD j N n

t x

0 ( )j ju f x

0 ( )n nu g t

( )n n

Nu h t

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Método Explícito Centrado

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Cálculo

1

1 11 2 , 0 , 0n n n n

j j j ju r u r u u j N n

2

D tr

x

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Método Explícito Centrado

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Fuentes de Errores

DATOS(ENTRADA)

PROCESOPRECISION

RESULTADOS(SALIDA)

PROCESO DE CALCULO

PROCESO IDEAL

Exactos ExactosInfinitoInfinita

Con errores Con erroresInfinitoInfinita

ERRORES DE ENTRADA

ExactosFinito

ERRORES DE TRUNCAMIENTO

Con erroresInfinita

ERRORES DE REDONDEO

ExactosInfinito

FinitaCon errores

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Tipos de Errores

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Errores Numéricos

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Tipos de Errores

8/59

Errores de Truncamiento

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Tipos de Errores

9/59

Errores de Discretización

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Consistencia de un esquema Numérico

1

1 1

2

( , ) ( , )

( , ) 2 ( , ) ( , )

n n

j j

n n n

j j j n

j

u x t u x t

t

u x t u x t u x tD

x

2 4 22 4

2 4

, ,

( , )2 12n n

j j

n

j

x t x t

u t u xD O t x

t x

10/59

Consistencia

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Consistencia de un esquema Numérico

00

0n

k

tx

Método explícito centrado es consistente

2 4 22 4

2 4

, ,

( , )2 12n n

j j

n

j

x t x t

u t u xD O t x

t x

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Error de Truncamiento Local

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Consistencia de un esquema Numérico

1

1( , )n

n n n n

j jj

e u x t u

n n

j je t

2 4 22 4

2 4

, ,

( , )2 12n n

j j

n

j

x t x t

u t u xe t D O t x

t x

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Error de Truncamiento Global

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Consistencia de un esquema Numérico

ˆ( , )n n n

j j jE u x t u

1

1 1

2

2n n n n n

j j j j j n

j

E E E E ED

t x

1

1 1

2

( , ) ( , )

( , ) 2 ( , ) ( , )

n n

j j

n n n

j j j n

j

u x t u x t

t

u x t u x t u x tD

x

1

1 1

2

2n n n n n

j j j j ju u u u u

Dt x

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Error de Truncamiento Global

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Consistencia de un esquema Numérico

1

1 11 2n n n n n

j j j j jE r E r E E t

1

1 11 2n n n n n

j j j j jE r E r E E t

Si r ½:

1 1 2 2 maxn n n

j k k jE r r E t

1 maxn n n

j k k jE E t

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Error de Truncamiento Global

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Consistencia de un esquema Numérico

1 maxn n n

j k k jE E t

1 1maxn n n

j k k jE E t

1 1 1maxn n n n

j k k j jE E t

1 0

0

maxn

n m

j k k j

m

E E t

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Error de Truncamiento Global

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Consistencia de un esquema Numérico

1

01 max

n m

j m n jE n t

(si r ½)

1

0

nn m

j j

m

E t

1 1

0maxn n m

j m n jE t

16/59

No Consistencia

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Consistencia de un esquema Numérico

00

0tx

p

Esquema de DuFort-Frankel:

1 1 1 1

1 1

22

n n n n n n

j j j j j ju u u u u uD

t x

2

2 2 2 2 2

2

,

( , , ), n

j

n

j

x t

u tDp O t x p t p

t x

,si no

2 2

2 2

u u uD Dp

t x t

17/59

Orden de Precisión

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Consistencia de un esquema Numérico

Esquema explícito centrado:

2 2 2( , ), n

j O t x t x

Esquema de DuFort-Frankel:

2( , )n

j O t x

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Orden de Precisión

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Consistencia de un esquema Numérico

Esquema explícito centrado con máxima

precisión (Douglas):

2 42

2 4

u uD

t x

2 4

2 4

4

,

( ) ( , )2 6 n

j

n

j

x t

D x uD t O t x

x

2

6

xt

D

2 4( , )n

j O t x

19/59

Condición de Borde de Neumann

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Consistencia de un esquema Numérico

2

2, 0 , 0

u uD x L t

t x

( , 0) ( )u x t f x

( 0, ) ( )u x t g t

( , ) ( )u

x L t h tx

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Diferencias finitas – problemas parabólicos

Consistencia de un esquema Numérico

1 1 ( )2

n nnN Nu u

h tx

1

1 1

2

2, 0 , 0

n n n n n

j j j j ju u u u uD j N n

t x

Condición de Borde de Neumann

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Convergencia

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Convergencia de la Solución Numérica

00

,

( , )

nj

n n

j j

tx

x t fijos

u u x t

/

/00

( , )t t

x xtx

u u x t

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Convergencia Explícito Centrado

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Convergencia de la Solución Numérica

Si r 1/2 y es consistente convergente

Condición r 1/2: estabilidad numérica

1 1

,0maxn n m

j k m n kE t

Si r 1/2:

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Teorema de Lax

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Convergencia de la Solución Numérica

Si consistente y estable

convergente

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Manifestación Inestabilidad

Numérica

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Estabilidad de la Solución Numérica

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Condición de Estabilidad

Numérica

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Estabilidad de la Solución Numérica

0n

j

n

u

:o on n

j jSi u perturbada en u

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Método de Von Neumann

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Estabilidad de la Solución Numérica

n n n

j j ju u u

Reemplazar en ecuación en diferencias

y desarrollar a primer orden

jikxn n n ikj x

ju e e

1

1n

n

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Estabilidad de Esquema Explícito

Centrado

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Estabilidad de la Solución Numérica

1

1 2 1 cos( )n

n

ng r k x

1/ 2r

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Esquema de Richardson

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Estabilidad de la Solución Numérica

1/ 22 2 4

1,2 2 ( / 2) 1 4 ( / 2)rsen k x r sen k x

24 ( / 2) 1

1 0

n rsen k xG

1 1

1 1

2

2

2

n n n n n

j j j j ju u u u uD

t x

Incondicionalmente inestable

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Esquema de Du Fort - Frankel

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Estabilidad de la Solución Numérica

1 11 11 1

22

n n n nn nj j j jj j

u u u uu uD

t x

Incondicionalmente estable

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Esquema Implícito Ponderado

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Estabilidad de la Solución Numérica

1 1 1 1

1 1 1 1

2 2

2 2(1 )

n n n n n n n n

j j j j j j j ju u u u u u u uD

t x x

1 2 (1 ) 1 cos( )

1 2 1 cos( )

nr k x

gr k x

31/59

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Estabilidad de la Solución Numérica

Incondicionalmente estable si 1/2

1 2 (1 ) 1 cos( )

1 2 1 cos( )

nr k x

gr k x

L r

m k

Esquema Implícito Ponderado

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Justificación de Implícitos

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Estabilidad de la Solución Numérica

En problemas con escalas

temporales disímeles

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Ecuación de Advección-Difusión

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problema de Advección - Difusión

2

2, 0 , 0

u u uU D x L t

t x x

Es un problema parabólico

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Esquema Explícito Centrado

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problema de Advección - Difusión

2( , )n

j O t x

1

1 1 1 1

2

2,

2

0 , 0

n n n n n n n

j j j j j j ju u u u u u uU D

t x x

j N n

35/59

Estabilidad

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problema de Advección - Difusión

1 2 1 cos( ) sen( ) ng r k x ip k x

2

D tr

x

U tp

x

1/ 2, 2r p r

2

2

2,

2

x Dt t

D U

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Restricción por Estabilidad

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problema de Advección - Difusión

2xt

D

Dx

U

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Upwinding

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problema de Advección - Difusión

1

1 1 1

2

2,

0 , 0

n n n n n n n

j j j j j j ju u u u u u uU D

t x x

j N n

Si U > 0:

( , )n

j O t x

38/59

Estabilidad Para Upwinding

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problema de Advección - Difusión

2

xt

DU

x

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Método de Hirt

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problema de Advección - Difusión

Ecuación verdadera para explícito centrado:

2 2

2 2

2 3 2 42 4

3 4

2

( , ) 03 12

u u u t uU D

t x x t

x u x uU D O t x

x x

40/59

Condición de Courant

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problema de Advección - Difusión

ecuación

hiperbólica

2 2

2 22

u u u t uU D

t x x t

2dx D

dt t

dx x

dt t

1/ 2r

41/59

Condición de Difusión

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problema de Advección - Difusión

2

2

U tD

2 2

22

u u U t uU D

t x x

2

2Dt

U

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Crank-Nicholson Centrado

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problema de Advección - Difusión

2 2( , )n

j O t x

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1

2 2

1

2 2 2

2 21

2

n n n n n n

j j j j j j

n n n n n n

j j j j j j

u u u u u uU

t x x

u u u u u uD

x x

43/59

Pruebas

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problema de Advección - Difusión

5U x

PeD

0,8U t

Crx

44/59

0,05U t

Crx

10U x

PeD

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problema de Advección - Difusión

Pruebas

45/59

5U t

Crx

5U x

PeD

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problema de Advección - Difusión

Pruebas

46/59

Performance

U xPe

D

U tCr

x

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problema de Advección - Difusión

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Problema Base

2 2

2 2, 0 , 0 , 0

u u uD x a y b t

t x y

( , , 0) ( , )u x y t f x y

( , ) ( , ) u s t g s t sobre contorno cerrado

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problemas Bidimensionales

48/59

Explícito Centrado

1

1 1 1 1

2 2

2 2,

0 , 0 , 0

n n n n n n n n

ij ij i j ij i j ij ij ij

x y

u u u u u u u uD

t x y

i N j N n

0 ( , )ij i ju f x y

( , , ) n n

ij i ju g x y t sobre contorno

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problemas Bidimensionales

49/59

Cálculo

1

1 1 1 11 2 2 ,

0 , 0 , 0

n n n n n n

ij x y j x i j i j y ij ij

x y

u r r u r u u r u u

i N j N n

2 2, x y

D t D tr r

x y

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problemas Bidimensionales

50/59

Estabilidad

2,

D ty x r

x

yxik j yik i xn n

iju e e

2 21 42 2

yn xk yk x

g r sen sen

1/ 4r

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problemas Bidimensionales

51/59

Implícito Ponderado Centrado

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

2 2

1 1 1 1

2 2

2 2

2 2(1 )

n n n n n n n n

ij ij i j ij i j ij ij ij

n n n n n n

i j ij i j ij ij ij

u u u u u u u uD

t x y

u u u u u uD

x y

1/ 2: incondicionalmente estable

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problemas Bidimensionales

52/59

Cálculo

1 1 1 1 1

1 1 1 11 2 2 n n n n n n

x y ij x i j i j y ij ij ijr r u r u u r u u u

1: fuertemente implícito

Sistema algebraico acoplado

en ambas direcciones

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problemas Bidimensionales

53/59

Direcciones Alternadas

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

1 1 1 1

2 2

2 2

/ 2

n n n n n n n n

ij ij i j ij i j ij ij iju u u u u u u uD

t x y

1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 1 1

1 1 1 1

2 2

2 2

/ 2

n n n n n n n n

ij ij i j ij i j ij ij iju u u u u u u uD

t x y

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problemas Bidimensionales

54/59

Cálculo

1/ 2 1/ 2 1/ 2

1 1

1 1

1

1

n n n

x ij x i j i j

n n n

y ij y ij ij

r u r u u

r u r u u

Sistemas algebraicos

acoplados por dirección

1 1 1

1 1

1/ 2 1/ 2 1/ 2

1 1

1

1

n n n

y ij y ij ij

n n n

y ij x i j i j

r u r u u

r u r u u

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problemas Bidimensionales

55/59

Estabilidad

1 1 cos( ) 1 1 cos( )

1 1 cos( ) 1 1 cos( )

y xn

x y

r k y r k xg

r k x r k y

Incondicionalmente estable

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problemas Bidimensionales

56/59

Desdoblamiento (Localmente 1D)

1* 1* 1* 1*

1 1 1 1

2 2

2 2[ (1 ) ]

n n n n n n n n

ij ij i j ij i j i j ij i ju u u u u u u uD

t x x

2* 1* 1 1 1 2* 2* 2*

1 1 1 1

2 2

2 2[ (1 ) ]

n n n n n n n n

ij ij ij ij ij ij ij iju u u u u u u uD

t y y

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problemas Bidimensionales

1 2*n n

ij iju u

57/59

Estabilidad

1 1 cos( ) 1 1 cos( )n

x yg r k x r k y

Mas estable que el de paso entero

1/ 2r

0 Totalmente explícito:

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Problemas Bidimensionales

58/59

2

2

u uD

t x

1 1

2

2j j j jdu u u uD

dt x

Discretización Espacial

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Método de las Líneas

59/59

Nuevo Problema Diferencial

dUAU

dt

1

2

3

1

...

N

u

u

U u

u

2 1 0 ... 0

1 2 1 ... 0

0 1 2 ... 0

... ... ... ... ...

0 ... 0 1 2

A r

Sistema de ecuaciones

diferenciales ordinarias

Diferencias finitas – problemas parabólicos

Método de las Líneas