analisis vectorial
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ANALISIS VECTORIAL
Es un campo de las matemticas referidas al anlisis real multivariable de vectores en 2 o ms
dimensiones. Es un enfoque de la geometra diferencial como conjunto de frmulas y tcnicas
para solucionar problemas muy tiles para la ingeniera y la fsica. Consideramos los campos
vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian
un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo
escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma
piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad. Y as podemos
citar muchos ejemplos en el mbito de nuestra vida cotidiana donde las matemticas estn
siempre presentes para poder relacionar, estudiar, entender los diversos fenmenos que ocurren
y los mismos que nos facilitan nuestros que actividades diarias, y en el mbito de nuestra
carrera aun mas ser muy importante los conocimientos bsicos para nuestro futuro es las
matemticas, los diferentes teoremas, conceptos que nos facilitaran nuestro estudio, asi de
importante como en este caso los operadores gradiente, divergencia y rotor profundizar en su
estudio y conocer las aplicaciones de estos operadores vectoriales en la carrera de ingeniera
electrnica en control y redes industriales a continuacin detallamos dichos operadores:
Gradiente: mide la tasa y la direccin del cambio en un campo escalar; el gradiente de un
campo escalar es un campo vectorial.
De forma geomtrica el gradiente es un vector que se encuentra normal a una superficie o curva
en el espacio a la cual se le esta estudiando, en un punto cualquiera, llmese , ,
etctera. Algunos ejemplos son:
Considere una habitacin en la cual la temperatura se define a travs de un campo
escalar, de tal manera que en cualquier punto , la temperatura es .
Asumiremos que la temperatura no varia con respecto al tiempo. Siendo esto as, para
cada punto de la habitacin, el gradiente en ese punto nos dar la direccin en la cual se
calienta ms rpido. La magnitud del gradiente nos dir cun rpido se calienta en esa
direccin.
Considere una montaa en la cual su altura en el punto se define como .
El gradiente de H en ese punto estar en la direccin para la que hay un mayor grado de
inclinacin. La magnitud del gradiente nos mostrar cun empinada se encuentra la
pendiente.
Teorema Fundamental Del Gradiente El teorema del gradiente establece que si existe una funcin escalar, y de ella obtenemos dos
puntos y los unimos por medio de una curva C, la integral de lnea que describe el incremento
entre dichos puntos es siempre el mismo. sin importar la trayectoria que se escoja entre los
puntos.
\int_{(L)}{\nabla{f}}.(ds)}=f(b)-f(a)
En donde
f.(ds) es el incremento infinitesimal. Adems, cuando hacemos
la integral estamos sumando todos los incrementos de la
funcin en todas las direcciones.
A continuacin se muestra una grfica que ilustra mejor
el concepto.
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Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el
rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial. A continuacin dos ejemplos.
En un campo vectorial que describa las velocidades lineales de cada parte individual de un disco que rota, el rotacional tendr un valor constante en todas las
partes del disco.
Si una autopista fuera descrita con un campo vectorial, y los carriles tuvieran diversos lmites de velocidad, el rotacional en las fronteras entre los carriles sera
diferente de cero.
Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos
puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.
El ejemplo ms caracterstico lo dan las cargas elctricas, que dan la divergencia del campo
elctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo elctrico.
SISTEMA DE COORDENADAS CILINDRICAS
En las coordenadas cilndricas la localizacin de un punto P se especifica por medio de tres
cantidades, r, , z. Las definiciones de estas cantidades se especifican claramente en la grfica, donde tambin se ilustran los vectores unitarios y el vector de posicin del punto. Se puede
observar que cuando el vector de posicin se proyecta sobre el plano xy, r es la longitud de esta
proyeccin, mientras que es el ngulo que dicha proyeccin forma con el eje x positivo, z es la misma que en el sistema de coordenadas rectangulares.
Las relaciones entre coordenadas cartesianas y cilndricas se describen a continuacin:
COORDENADAS ESFERICAS
la figura muestra las coordenadas esfricas (, , ) del punto P en el espacio. La primera coordenada esfrica es simplemente la distancia del origen a P. la segunda coordenada es y es el ngulo 0P y el eje z positivo, siempre puede ser elegido entre el intervalo [0, ]. por ultimo, es el ngulo familiar de las coordenadas cilndricas y siempre vamos a poder elegirlo en el intervalo [0, 2].
La relacin de las coordenadas esfricas con las cartesianas se ilustra a continuacin:
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