análisis numerico - repaso conceptos básicos (diferencial_alumnos)

ANÁLISIS NUMÉRICOINGENIERÍA ELÉCTRICA - ULEAM

1r tema – Conceptos básicos - calculo diferencial e integral

Ing. Marcos Ponce Jara

ponce.jara.marcos@gmail.com

Sea f(x) una función y consideremos un numero real. Si f(x) se acerca arbitrariamente a un único valor L cuando x se aproxima a por ambos lados (sin llegar nunca a ser igual a ), decimos que el limite de f(x) cuando x tiende a es L, y escribimos

¿Qué es un límite de una función?

Limite de una función f(x)

En la definición observamos que solo interesa conocer como esta definida la función f cerca del punto . Si la función existe o no en el punto no tiene importancia. La cuestión crucial aquí es la siguiente

lim𝑥→𝑥0

𝑓 (𝑥 )=𝐿

lim𝑥→𝑥0 −

𝑓 (𝑥 )=𝐿

lim𝑥→𝑥0+¿ 𝑓 (𝑥 ) =𝐿 ¿

¿

limite por la izquierda de f(x)

limite por la derecha de f(x)

Calcule el siguiente limite utilizando los 3 métodos mostrados en el apartado anterior:NOTA: obsérvese que aunque la función no esta definida para x=1 no importa ya que por definición se consideran solo los valores cercanos a , pero no iguales a

Ejemplo 2

Limite de una función f(x)

lim𝑥→ 1

𝑥−1𝑥2−1

limite por la izquierda de f(x)

limite por la derecha de f(x)

lim𝑥→ 1

𝑥−1𝑥2−1

=0,5

Sea f una función definida por ambos lados de , excepto posiblemente en la misma . Entonces

significa que los valores de f (x) pueden ser arbitrariamente grandes (tan grandes como queramos), tomando x suficientemente cerca de , pero no igual a .

Limites infinitos

Limite de una función f(x)

lim𝑥→𝑥0

𝑓 (𝑥 )=∞

Limites infinitos

Limite de una función f(x)

lim𝑥→𝑥0

𝑓 (𝑥 )=±∞

Ejercicio 5 Calcule el siguiente limite:

Limite de una función f(x)

lim𝑥→3

2 𝑥𝑥−3

Sin hacer muchos cálculos podemos observar que:• Si x tiende a 3 por la derecha (3+), entonces el denominador x-3 es un

número positivo muy pequeño. Por otro lado 2x estará muy cerca de 6, y por tanto el cociente 2x/(x-3) es un número positivo muy grande

• Asimismo, si nos acercamos a 3 por la izquierda (3-), el denominador x-3 es un número negativo muy pequeño, pero 2x es aún un número positivo (cercano a 6). Así, 2x/(x-3) es un número negativo muy grande

lim𝑥→3+¿

2𝑥𝑥− 3

=∞¿

¿

lim𝑥→3−

2 𝑥𝑥−3

=∞

v

Ejercicio 5 Calcule el siguiente limite:

Limite de una función f(x)

lim𝑥→ 2

𝑥2−2𝑥𝑥2− 𝑥−2

Utilice los siguientes valores para evaluar la función : X = 2.5, 2.1, 2.05, 2.01, 2.005, 2.001,1.9, 1.95, 1.99, 1.995, 1.999

limite por la izquierda de f(x)limite por la derecha de f(x)lim𝑥→2

𝑓 (𝑥 )=23=0,66…

v v

Limite de f(x) usando las leyes de los limites

Limite de f(x) usando las leyes de los limites

Ejercicio 6 Calcule los siguientes limites:

(6a)

Limite de f(x) usando las leyes de los limites

Ejercicio 7 Calcule los siguientes limites:

(6b)

v

Limite de f(x) usando las leyes de los limites

Limite de f(x) usando las leyes de los limites

Ejercicio 8 Calcule el siguiente limite:

No podemos encontrar el limite por sustitución directa de x = 3 porque f (3) no esta definida. Tampoco podemos aplicar la ley del cociente porque el limite del denominador es 0. Ahora, necesitamos de un proceso algebraico preliminar.

Limite de f(x) usando las leyes de los limites

Ejercicio 9 Calcule el siguiente limite y dibuja la función g(x)

:

v

v

Limite de f(x) usando las leyes de los limites

Calculo de limite (indeterminaciones)

00𝑛 º0

±∞ƎArreglo matemático

Derivadas y razones de cambio

Recta tangente y velocidad

Derivada o razón de cambio

La derivada en un punto, esta asociada a la pendiente de la recta tangente al grafico de una función, en el punto que le corresponde a la imagen de determinado valor de “x”

Derivadas y razones de cambio - m

Derivadas y razones de cambio – v(t)

En general, suponga que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta, de acuerdo con una ecuación del movimiento s= f(t), donde s es el desplazamiento (distancia dirigida) del objeto respecto al origen, en el tiempo t. La función f que describe el movimiento se conoce como función posición del objeto. En el intervalo de tiempo t = a hasta t= a + h, el cambio en la posición es f (a + h) - f (a)

Derivadas y razones de cambio – f’(t)

Derivadas y razones de cambio

Se define la razón de cambio de una cantidad cualquiera como la división del cambio en la cantidad sobre el tiempo transcurrido en realizar dicho cambio.

Razonde cambio=cambioen la cantidadtiempo transcurrido

2d interpretación

Derivadas y razones de cambio• El vinculo con la primera interpretación es que si dibuja la

curva y=f(x), entonces la razón de cambio instantánea es la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto x=a.

• Esto significa que cuando la derivada es grande (y como consecuencia, la curva es escarpada, como en el punto P), los valores de “y” cambian rápidamente.

• No obstante cuando la derivada es pequeña, la curva es relativamente plana (como en el punto Q) y el valor de “y” cambia lentamente.

• En particular podemos afirmar que f’(a) es la razón de cambio del desplazamiento “s” respecto del tiempo “t” o la velocidad de la partícula en t=a. Por otro lado la rapidez de la partícula es el valor absoluto de la velocidad |f’(a)|

Derivadas como una función

En la sección anterior consideramos la derivada de la función en un punto fijo x=a.

Supongamos ahora que en la ecuación se remplaza “a” con una variable “x” variable.

Entonces f’(x) será considerada como una nueva función, en la cual cada punto de la misma puede interpretarse geométricamente como la pendiente de a recta tangente a la gráfica en el punto (x, f(x)).Note que: las tangentes A, B y C son horizontales, por lo tanto su derivada será 0. Entre A y B las tangentes tienen pendiente positiva f’(x) es positivaEntre B y C las tangentes tiene pendiente negativa, de modo que f’(x) es negativa

Derivadas otras notaciones

Si usamos la notación tradicional y=f(x) para indicar que la variable independiente es x y la variable dependiente es y, podemos definir otras notaciones para indicar un derivada:

𝑓 ′ (𝑥 )=𝑦 ′=𝑑𝑦𝑑𝑥

=𝑑 𝑓𝑑𝑥

=𝑑𝑑𝑥

𝑓 (𝑥 )=𝐷𝑓 (𝑥 )=𝐷𝑥 𝑓 (𝑥)

Se llaman operadores de derivación e indican la operación de derivación, que es el proceso de calcular la derivada. El símbolo d/dx no debe considerarse como un razón; es sencillamente un sinónimo de f’(x). Esta es una notación muy útil sobre todo cuando se usa en la notación de incrementos.

¿Qué significado tienen los símbolos D y d/dx?

Derivadas superiores

Si f es una función derivable, entonces su derivada f’ también es una función, así que f’’ puede tener una derivada de si misma, señalada por (f ‘)’= f’’. Esta nueva función f’’ se denomina segunda derivada de f porque es la derivada de la derivada de f. Utilizando la notación de Leibniz, la segunda derivada de y = f (x) se escribe como:

=

La tercera derivada f’’’ es la derivada de la segunda derivada: f’’’ (f‘‘)’. De este modo, f’’’(x) puede interpretarse como la pendiente de la curva y= f ‘’(x) o como la razón de cambio de f’’(x). Si y = f (x), entonces, las notaciones alternativas para la tercera derivada son:

=

Derivadas y reglas de derivación

Hasta aquí hemos visto:

• Como interpretar las derivadas en términos de pendientes y razones de cambio

• Como estimar las derivadas de funciones dadas por medio de tablas de valores

• Interpretar las graficas las derivadas de funciones

Pero seria tedioso si siempre tuviera que aplicar la definición de límite cada vez que se quisiese calcular una derivada, de modo que en esta parte se desarrollan reglas para hallar derivadas sin tener que usar directamente esa definición.

Estas reglas de derivación permiten calcular con relativa facilidad derivadas de funciones polinominales, racionales, algebraicas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y trigonométricas inversas.

Derivadas funciones polinominales y exponenciales

Función f(x)=C

Derivadas funciones polinominales y exponenciales

Función f(x)=

La regla de la potencia permite hallar las rectas tangentes sin hacer uso de la definición de derivada.

Derivadas funciones polinominales y exponenciales

Reglas: Nuevas derivadas a partir de sus anteriores

Derivadas funciones polinominales y exponenciales

Reglas: regalas de derivación producto y división

Derivadas funciones polinominales y exponenciales

Reglas: regala de la cadena

Derivadas funciones polinominales y exponenciales

Derivadas funciones polinominales y exponenciales

Reglas: regala de la potenciación con regla de la cadena

Calculo diferencial

FIN