analisis matricial

Ing. Carlos Elmer Cruz Salazar

2016

Autor: ING. CIVIL I 7º “K”

2016

Au

tor:

ING

. CIV

IL I

7º

“K”

ANALISIS ESTRUCTURAL

AVANZADO

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 2

CUADERNILLO DE EJERCICIOS UNIDAD 3

INGENIERIA CIVIL | 7° “K”

INTEGRATES

SANTOS NATAREN HUGO ALBERTO

SANTOS CAMACHO MANUEL JULIO CESAR

VILLALOBOS HERNANDEZ FCO. GABRIEL

SANCHEZ ZARATE ENRIQUE

TRINIDAD FIGUEROA GUADALUPE

VELAZQUEZ ORTIZ LUIS ENRIQUE

ANALISIS ESTRUCTURAL

AVANZADO

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 3

14-1 DETERMINE LA MATRIZ DE RIGIDEZ K P ARA EL ENSAMBLE. CONSIDERE

𝒒𝒖𝒆 𝑨 = 𝟎. 𝟓 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟕 Y QUE 𝑬 = 𝟐𝟗(𝟏𝟎𝟑) KSI PARA CADA ELEMENTO.

Barra 1

𝜆𝑥 = cos 36.87 = 0.8

𝜆𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 36.87 = 0.6

𝐿 = 60

5 6 1 2

154.667 116 -154.667 -116 5

116 87 -116 -87 6

-154.667 -116 154.667 116 1

-116 -87 116 87 2

K11

Barra 2 𝜆𝑥 = 1 𝜆𝑦 = 0 𝐿 = 72

1 2 3 4

K12

201.389 0 -201.389 0 1

0 0 0 0 2

-201.389 0 201.389 0 3

0 0 0 0 4

Barra 3 𝜆𝑥 = cos 36.87 = 0.8 L=60

𝜆𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 36.87 = −0.6

7 8 1 2

154.667 -116 -154.667 116 7

-116 87 116 -87 8

-154.667 116 154.667 -116 1

116 -87 -116 87 2

K13

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 4

Ensamble para la determinación de la matriz de rigidez K

1 2 3 4 5 6 7 8

510.723 0 -201.39 0 -154.667 -116 -154.667 116 1

0 174 0 0 -116 -87 116 -87 2

-201.389 0 201.389 0 0 0 0 0 3

0 0 0 0 0 0 0 0 4

-154.667 -116 0 0 154.667 116 0 0 5

-116 -87 0 0 116 87 0 0 6

-154.667 116 0 0 0 0 154.667 -116 7

116 -87 0 0 0 0 -116 87 8

KG

14-2 DETERMINE LOS DESPLAZAMIENTOS HORIZONTALES Y VERTICAL EN LA

JUNTA (3) DEL ENSAMBLE DEL PROBLEMA.

𝐷𝑘 =

[ 00000]

𝑄𝐾 = [0−4]

1 2 3 4 5 6 7 8

0 510.723 0 -201.39 0 -154.667 -116 -154.667 116 D1

-4 0 174 0 0 -116 -87 116 -87 D2

Q3 -201.389 0 201.389 0 0 0 0 0 0

Q4 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Q5 -154.667 -116 0 0 154.667 116 0 0 0

Q6 -116 -87 0 0 116 87 0 0 0

Q7 -154.667 116 0 0 0 0 154.667 -116 0

Q8 116 -87 0 0 0 0 -116 87 0

KG

0 = 510.72𝐷1 + 0𝐷2

−4 = 0𝐷1 + 172𝐷2

𝐷1 = 0

𝐷2 = −0.0230𝑖𝑛

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 5

14-3 DETERMINE LA FUERZA E N CADA ELEMENTO DEL ENSAMBLE DEL

PROBLEMA 14-1

𝐷1 = 𝐷2 = 𝐷3 = 𝐷4 = 𝐷5 = 𝐷6 = 𝐷7 = 𝐷8 = 0 𝐷2 = −0.230

Barra 1

𝑄1 =0.5(29(103))

60[−0.8 −0.6 0.8 0.6] [

000

−0.230

]

𝑄1 =0.5(29(103))

60(0.6)(−0.230) = −𝟑. 𝟑𝟑𝑲

Barra 2

𝑄2 =0.5(29(103))

72[−1 0 1 0] [

0−0.0230

00

]

𝑄2 = 0

Barra 3

𝑄3 =0.5(29(103))

60[−0.8 0.6 0.8 −0.6] [

000

−0.230

]

𝑄3 =0.5(29(103))

60(0.6)(−0.230) = −𝟑. 𝟑𝟑𝑲

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 6

14-4 DETERMINE LA MATRIZ DE RIGIDEZ K PARA LA ARMADURA. CONSIDERE QUE

𝑨 = 𝟎 𝟕 𝟓 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟕 Y QUE 𝑬 = 𝟐𝟗(𝟏𝟎𝟑)𝒌𝒔𝒊.

Barra 1

𝜆𝑥 = sen450 = −0.707

𝜆𝑦 = cos 450 = −0.707

𝐿 = 12√32

1 2 3 4

160.155 160.155 -160.155 -160.155 1

160.155 160.155 -160.155 -160.155 2

-160.155 -160.155 160.155 160.155 3

-160.155 -160.155 160.155 160.155 4

K11

Barra 2

𝜆𝑥 = 0 𝜆𝑦 = −1 𝐿 = 48

1 2 5 6

0.000 0.000 0.000 0.000 1

0.000 453.125 0.000 -453.125 2

0.000 0.000 0.000 0.000 5

0.000 -453.125 0.000 453.125 6

K12

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 7

Barra 3

𝜆𝑥 = sen36.870 = 0.6

𝜆𝑦 = cos 36.87 = −0.8

𝐿 = 60

1 2 7 8

130.50 -174.00 -130.50 174.00 1

-174.00 232.00 174.00 -232.00 2

-130.50 174.00 130.50 -174.00 7

174.00 -232.00 -174.00 232.00 8

K13

Ensamble para la determinación de la matriz de rigidez K

1 2 3 4 5 6 7 8

290.655 -13.845 -160.155 -160.155 0.000 0.000 -130.50 174.00 1

-13.845 845.280 -160.155 -160.155 0.000 -453.125 174.00 -232.00 2

-160.155 -160.155 160.155 160.155 0 0 0 0 3

-160.155 -160.155 160.155 160.155 0 0 0 0 4

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0 0 5

0.000 -453.125 0.000 0.000 0.000 453.125 0 0 6

-130.500 -130.500 0.000 0.000 0.000 0.000 130.50 -174.00 7

174.000 174.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -174.00 232.00 8

K

14-5 DETERMINACIÓN DEL DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL DE LA JUNTA 1 Y LA

FUERZA EN EL ELEMENTO 2.

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 8

Elemento 2

𝜆𝑥 = 0 𝜆𝑦 = 1,−1

𝐷1 = −500

𝐷2 = 0

𝐷𝑘 =

000000

Qk=⌈5000⌉

1 2 3 4 5 6 7 8

-500 290.655 -13.845 -160.155 -160.155 0.000 0.000 -130.50 174.00 1 D1

0 -13.845 845.280 -160.155 -160.155 0.000 -453.125 174.00 -232.00 2 D2

Q3 -160.155 -160.155 160.155 160.155 0 0 0 0 3 0

Q4 -160.155 -160.155 160.155 160.155 0 0 0 0 4 0

Q5 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0 0 5 0

Q6 0.000 -453.125 0.000 0.000 0.000 453.125 0 0 6 0

Q7 -130.500 -130.500 0.000 0.000 0.000 0.000 130.50 -174.00 7 0

Q8 174.000 174.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -174.00 232.00 8 0

K

[−5000

] = [0.003443191 5.63967E − 05

5.63967E − 05 0.001183964] [𝐷1𝐷2]

−500 = 𝐴𝐸(0.003443191D1 − 5.63967E − 05D2)

0 = 5.63967E − 05D1 − 0.001183964D2

𝐷2 =-1.72159573 𝐷 = -0.02819834

ELEMENTO 2

𝜆𝑥 = 0 𝜆𝑦 = −1 𝐿 = 48

𝑄2 =0.75(29(103))

48[0 1 0 −1] [

−1.7116−0.0282

00

]

𝑄2 =0.75(29(103))

48(1)(−0.082) = −𝟏𝟐. 𝟕𝟖𝒍𝒃

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 9

14-7 DETERMINE LA MATRIZ DE RIGIDEZ K ARA LA ARMADURA. CONSIDERE QUE

A = 0.0015 𝑴𝟐 Y QUE E = 200 G P A P ARA CADA ELEMENTO.

Barra 1

𝜆𝑥 = −1 𝜆𝑦 = 0 𝐿 = 2

5 6 7 8

150000000 0 -150000000 0 5

0 0 0 0 6

-150000000 0 150000000 0 7

0 0 0 0 8

K11

Barra 2 𝜆𝑥 = −1 𝜆𝑦 = 0 𝐿 = 2

1 2 5 6

150000000 0 -150000000 0 1

0 0 0 0 2

-150000000 0 150000000 0 5

0 0 0 0 6

K12

Barra 3

𝜆𝑥 = sen45 = −0.707

𝜆𝑦 = cos 45 = −0.707

𝐿 = 2√2

1 2 3 4

53020000 -53020000 -53020000 53020000 1

-53020000 53020000 53020000 -53020000 2

-53020000 53020000 53020000 -53020000 3

53020000 -53020000 -53020000 53020000 4

k13

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 10

Barra 4 𝜆𝑥 = 0 𝜆𝑦 = 1 𝐿 = 2

5 6 3 4

0 0 0 0 5

0 150000000 0 -150000000 6

0 0 0 0 3

0 -150000000 0 150000000 4

k14

Barra 5 𝜆𝑥 = −0.7071 𝜆𝑦 = −0.7071 𝐿 = 2.8284

3 4 7 8

53020000 53020000 -53020000 -53020000 3

53020000 53020000 -53020000 -53020000 4

-53020000 -53020000 53020000 53020000 7

-53020000 -53020000 53020000 53020000 8

k15

Barra 6 𝜆𝑥 = −1 𝜆𝑦 = 0 𝐿 = 2

3 4 9 10

150000000 0 -150000000 0 3

0 0 0 0 4

-150000000 0 150000000 0 9

0 0 0 0 10

k16

Ensamble para la determinación de la matriz de rigidez K

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

203020000 -53020000 -53020000 53020000 -150000000 0 0 0 0 0 1

-53020000 53020000 53020000 -53020000 0 0 0 0 0 0 2

-53020000 53020000 256040000 0 0 0 -53020000 -53020000 -150000000 0 3

53020000 -53020000 0 256040000 0 -150000000 -53020000 -53020000 0 0 4

-150000000 0 0 0 300000000 0 150000000 0 0 0 5

0 0 0 -150000000 0 150000000 0 0 0 0 6

0 0 -53020000 -53020000 -150000000 0 203020000 53020000 0 0 7

0 0 -53020000 -53020000 0 0 53020000 53020000 0 0 8

0 0 -150000000 0 0 0 0 0 150000000 0 9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10

KG

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 11

14-8 DETERMINE EL DESPLAZAMIENTO VERTICAL EN LA JUNTA 2 Y LA FUERZA EN

LA JUNTA EL ELEMENTO [5]. CONSIDERE QUE 𝑨 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟓 Y QUE 𝑬 = 𝟐𝟎𝟎 𝑮𝑷𝒂.

𝑄𝑘 =

[

0−30000

0000 ]

123456

𝐷𝑘 = [

0000

]

78910

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

203020000 -53020000 -53020000 53020000 -150000000 0 0 0 0 0 D1

-53020000 53020000 53020000 -53020000 0 0 0 0 0 0 D2

-53020000 53020000 256040000 0 0 0 -53020000 -53020000 -150000000 0 D3

53020000 -53020000 0 256040000 0 -150000000 -53020000 -53020000 0 0 D4

-150000000 0 0 0 300000000 0 150000000 0 0 0 D5

0 0 0 -150000000 0 150000000 0 0 0 0 D6

KG

0 = [203.033 𝐷1 − 53.033𝐷2 − 53.033𝐷3 + 53.033𝐷4 − 150𝐷5](106) − 30(103)

= [−53.033𝐷1 + 53.033𝐷2 + 53.033𝐷3 − 53.033𝐷4](106)

0 = [−53.033𝐷1 + 53.033𝐷2 + 256.066𝐷3](106)

0 = [53.033𝐷1 − 53.033𝐷2 + 256.066𝐷4 − 150𝐷6](106)

0 = [−150𝐷4 + 300𝐷5](106)

0 = [−150𝐷4 + 150𝐷6](106)

𝐷1 = −0.0004𝑚 𝐷2 = −0.0023314𝑚 𝐷3 = 0.0004𝑚 𝐷4 = −0.00096569𝑚

𝐷5 = −0.0002𝑚 𝐷6 = 0.00096569𝑚 = 0.000966𝑚

𝜆𝑦 = −cos 45 . 𝜆𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 45

𝐿 = 2.8284𝑀

(𝑞5)𝐹 =0.0015[200(109)]

2.8284[. 707 .707 − .707 − .707]= -42.4 kN

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 12

14.9 DETERMINE LA MATRIZ DE RIGIDEZ K PARA LA ARMADURA. CONSIDERE QUE

A= 0.0015 𝑴𝟐 Y QUE E = 200 GPA PARA CADA ELEMENTO.

Barra 1

𝜆𝑥 = cos 36.87 = − 0.8

𝜆𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 36.87 = 0.6

𝐿 = 5𝑚

Barra 2 𝜆𝑥 = −1 𝜆𝑦 = 0 𝐿 = 4𝑚

1 2 3 4

75000000 0 -75000000 0 1

0 0 0 0 2

-75000000 0 75000000 0 3

0 0 0 0 4

k12

Barra 3 𝜆𝑥 = −1 𝜆𝑦 = 0 𝐿 = 4𝑚

3 4 9 10

75000000 0 -75000000 0 3

0 0 0 0 4

-75000000 0 75000000 0 9

0 0 0 0 10

k13

Barra 4 𝜆𝑥 = −1 𝜆𝑦 = 0 𝐿 = 3𝑚

3 4 5 6

0 0 0 0 3

0 100000000 0 -100000000 4

0 0 0 0 5

0 -100000000 0 100000000 6

k14

1 2 5 6

38400000 28800000 -38400000 -28800000 1

28800000 21600000 -28800000 -21600000 2

-38400000 -28800000 38400000 28800000 5

-28800000 -21600000 28800000 21600000 6

k11

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 13

Barra 5 𝜆𝑥 = cos 36.87 = − 0.8 𝜆𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 36.87 = 0.6 𝐿 = 5𝑚

5 6 9 10

38400000 28800000 -38400000 -28800000 5

28800000 21600000 -28800000 -21600000 6

-38400000 -28800000 38400000 28800000 9

-28800000 -21600000 28800000 21600000 10

k15

Barra 6 𝜆𝑥 = −1 𝜆𝑦 = 0 𝐿 = 4𝑚

5 6 8 7

75000000 0 -75000000 0 5

0 0 0 0 6

-75000000 0 75000000 0 8

0 0 0 0 7

k16

Barra 7 𝜆𝑥 = 0 𝜆𝑦 = 1 𝐿 = 3𝑚

8 7 9 10

0 0 0 0 8

0 100000000 0 -100000000 7

0 0 0 0 9

0 -100000000 0 100000000 10

k17

Ensamble para la determinación de la matriz de rigidez K

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 14

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

113400000 28800000 -75000000 0 -38400000 -28800000 0 0 0 0 1

28800000 21600000 0 0 -28800000 -21600000 0 0 0 0 2

-75000000 0 150000000 0 0 0 0 0 0 0 3

0 0 0 100000000 0 -100000000 0 0 0 0 4

-38400000 -28800000 0 0 84600000 57600000 0 -75000000 0 0 5

-28800000 -21600000 0 -100000000 57600000 143200000 0 0 0 0 6

0 0 0 0 0 0 100000000 0 0 -100000000 7

0 0 0 0 -75000000 0 0 75000000 0 0 8

0 0 -75000000 0 -75000000 -28800000 0 0 0 0 9

0 0 0 0 -28800000 -28800000 -100000000 0 0 100000000 10

KG

14.10, 14-11 DETERMINE LA FUERZA EN EL ELEMENTO (5). CONSIDERE QUE A =

00015𝐌𝟐 Y QUE E = 200 GPA PARA CADA ELEMENTO.

1 2 3 4 5 6 7

0 113400000 28800000 -75000000 0 -38400000 -28800000 0 D1 0

-20000 28800000 21600000 0 0 -28800000 -21600000 0 D2 -20000

0 -75000000 0 150000000 0 0 0 0 D3 0

0 0 0 0 100000000 0 -100000000 0 D4 0

0 -38400000 -28800000 0 0 84600000 57600000 0 D5 0

0 -28800000 -21600000 0 -100000000 57600000 143200000 0 D6 0

0 0 0 0 0 0 0 100000000 D7 0

2.66667E-08 -3.55556E-08 1.33333E-08 -2.34968E-23 -3.1329E-23 -2.34968E-23 0 D1 0.000711111

-3.55556E-08 0.00000014 -1.77778E-08 4.62963E-08 2.09832E-22 4.62963E-08 0 D2 -0.0028

1.33333E-08 -1.77778E-08 1.33333E-08 -1.18424E-23 -1.18424E-23 -1.18424E-23 0 D3 0.000355556

0 4.62963E-08 0 2.84217E-07 -1.7094E-07 2.74217E-07 0 D4 -0.000925926

0 1.15348E-22 0 -1.7094E-07 1.28205E-07 -1.7094E-07 0 D5 -2.30696E-18

0 4.62963E-08 0 2.74217E-07 -1.7094E-07 2.74217E-07 0 D6 -0.000925926

0 0 0 0 0 0 0.00000001 D7 0

M INVERSA

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 15

0.8 -0.6 -0.8 0.6 -2.30696E-18

-0.000925926

0

0

𝑸𝟓 = 𝟑𝟑. 𝟑𝟑

14.12 DETERMINE LA MATRIZ DE RIGIDEZ K PARA LA ARMADURA. CON SIDERE QUE

𝑨 = 𝟐 𝒑𝒖𝒍𝒈 𝟐 Y QUE 𝑬 = 𝟐 𝟗 ( 𝟏𝟎𝟑) KSI.

Barra 1 𝜆𝑥 = 0 𝜆𝑦 = −1 𝐿 = 72𝑖𝑛

1 2 5 6

0 0 0 0 1

0 805.556 0 -805.56 2

0 0 0 0 5

0 -805.56 0 805.556 6

K11

Barra 2 𝜆𝑥 = −1 𝜆𝑦 = 0 𝐿 = 96𝑖𝑛

5 6 3 4

604.167 0 -604.17 0 5

0 0 0 0 6

-604.17 0 604.167 0 3

0 0 0 0 4

K12

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 16

Barra 3 𝜆𝑥 = −1 𝜆𝑦 = 0 𝐿 = 96𝑖𝑛

1 2 7 8

604.167 0 -604.17 0 1

0 0 0 0 2

-604.17 0 604.167 0 7

0 0 0 0 8

K13

Barra 4 𝜆𝑥 = 0 𝜆𝑦 = −1 𝐿 = 72𝑖𝑛

3 4 7 8

0 0 0 0 3

0 805.556 0 -805.56 4

0 0 0 0 7

0 -805.56 0 805.556 8

K14

Barra 5 𝜆𝑥 = −0.8 𝜆𝑦 = −0.6 𝐿 = 120𝑖𝑛

1 2 3 4

309.333 232 -309.33 -232 1

232 174 -232 -174 2

-309.33 -232 309.333 232 3

-232 -174 232 174 4

K15

Barra 6 𝜆𝑥 = −0.8 𝜆𝑦 = 0.6 𝐿 = 120𝑖𝑛

5 6 7 8

309.333 -232 -309.33 232 5

-232 174 232 -174 6

-309.33 232 309.333 -232 7

232 -174 -232 174 8

K16

ENSAMBLE PARA LA DETERMINACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ K

1 2 3 4 5 6 7 8

913.5 232 -309.333 -232 0 0 -604.167 0 1

232 979.556 -232 -174 0 -805.556 0 0 2

-309.333 -232 913.5 232 -604.167 0 0 0 3

-232 -174 232 979.556 0 0 0 -805.556 4

0 0 -604.167 0 913.5 -232 -309.333 232 5

0 -805.556 0 0 -232 979.556 232 -174 6

-604.167 0 0 0 -309.333 232 309.333 -232 7

0 0 0 -805.556 232 -174 -232 979.556 8

KG

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 17

14.13 DETERMINE E L DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL DE LA JUNTA Y LA FUERZA

E N E L ELEMENTO [5]. CONSIDERE QUE A -2 PULG2 Y QUE E = 29(𝟏𝟎𝟑) KSI. NO TOME

EN CUENTA EL ESLABÓN CORTO EN (2).

14.14 DETERMINE LA FUERZA EN EL ELEMENTO [3] SI EL ELEMENTO ERA 0.025

PULGADAS MÁS CORTO DE LO ESPERADO ANTES DE AJUSTARSE EN LA

ARMADURA. CONSIDERE QUE A = 2 PULG2 Y QUE E=29(𝟏𝟎𝟑) KSI. NO TOME EN

CUENTA EL ESLABÓN CORTO E N (2).

913.5 232 -309.333 -232 0 D1 0

232 979.556 -232 -174 0 D2 0

-309.333 -232 913.5 232 -604.167 D3 3

-232 -174 232 979.556 0 D4 0

0 0 -604.167 0 913.5 D5 0

CONOCIDOS

0.00140996 -0.00013793 0.00072414 0.00013793 0.00047893 D1 0.00217241

-0.00013793 0.00116379 0.00040733 7.7586E-05 0.0002694 D2 0.00122198

0.00072414 0.00040733 0.00274946 -0.00040733 0.00181843 D3 0.00824839

0.00013793 7.7586E-05 -0.00040733 0.00116379 -0.0002694 D4 -0.00122198

0.00047893 0.0002694 0.00181843 -0.0002694 0.00229736 D5 0.00545529

M INVERSA

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 18

16-1 DETERMINAR LA MATRIZ DE LAS RIGIDECES K DE LA ESTRUCTURA PARA EL

MARCO.

DATOS

𝐴 = 10 𝐸3 𝑚𝑚4. = 0.01𝑚2

𝐼 = 300 𝐸6 𝑚𝑚4 = 0.0003𝑚4.

𝐸 = 200 𝐺𝑝𝑎.= 200𝐸9𝑁

𝐿 = 4𝑚

Componentes de la matriz de rigideces.

𝐴𝐸

𝐿=(0.01𝑚)(200𝐸9𝑁)

4= 500𝐸6 𝑁/𝑚

12𝐸𝐼

𝐿3=12(200𝐸9𝑁)(300 𝐸−6)

42= 11.25𝐸6 𝑁/𝑚

6𝐸𝐼

𝐿2=6(200𝐸9𝑁)(0.0003𝑚4)

42= 22.5𝐸6 𝑁

4𝐸𝐼

𝐿=4(200𝐸9𝑁)(0.0003𝑚4)

4= 60𝐸6 𝑁.𝑚

2𝐸𝐼

𝐿=2(200𝐸9𝑁)(0.0003𝑚4)

4= 30𝐸6 𝑁.𝑚

Elemento 1 (VIGA)

𝜆𝑋 =4−0

4= 1 𝜆𝑌 =

0−0

4= 0

7 8 9 1 2 3 500 0 0 -500 0 0 7

0 11.25 22.5 0 -11.25 22.5 8 0 22.5 60 0 -22.5 30 9

-500 0 0 500 0 0 1 0 -11.25 -22.5 0 11.25 -22.5 2

0 22.5 30 0 -22.5 60 3

E6

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 19

7

8

9

1

2

3

500 0 0 -500 0 0 7 0 11.25 22.5 0 -11.25 22.5 8 0 22.5 60 0 -22.5 30 9

-500 0 0 500 0 0 1 0 -11.25 -22.5 0 11.25 -22.5 2 0 22.5 30 0 -22.5 60 3

Elemento 2 (COLUMNA)

𝜆𝑋 =4−4

4= 0 𝜆𝑌 =

−4−0

4= −1

Matriz de rigideces del marco

1 2 3 4 5 6 7 8 9 511.25 0 22.5 -11.25 0 22.5 -500 0 0 1

0 511.25 -22.5 0 -500 0 0 -11.25 -22.5 2

22.5 -22.5 120 -22.5 0 30 0 22.5 30 3

-11.25 0 -22.5 11.25 0 -22.5 0 0 0 4 0 -500 0 0 500 0 0 0 0 5

22.5 0 30 -22.5 0 60 0 0 0 6

-500 0 0 0 0 0 500 0 0 7 0 -11.25 22.5 0 0 0 0 11.25 22.5 8 0 -22.5 30 0 0 0 0 25.5 60 9

E6

1 2 3 4 5 6 11.25 0 22.5 -11.25 0 22.5 1

0 500 0 0 -500 0 2

22.5 0 60 -22.5 0 30 3

-11.25 0 -22.5 11.25 0 -22.5 4

0 -500 0 0 500 0 5

22.5 0 30 -22.5 0 60 6

E6

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 20

16-2 DETERMINE LAS REACCIONES EN LOS SOPORTES FIJOS 1 Y 2. CONSIDERE

QUE E = 200 GPA, I = 300(106) MM4 Y A =10(103) MM2 PARA CADA ELEMENTO.

Conociendo las cargas en los nodos y las deflexiones

𝑄𝑘 [

−5(103)

−24(103)

11(103)

]123 𝐷𝑘

[ 000000] 456789

Relación de cargas-desplazamiento Q=KD

[ −5(103)

−24(103)

11(103)𝑄4𝑄5𝑄6𝑄7𝑄8𝑄9 ]

=

[ 511.25 0 22.50 511.25 −22.522.5−11.25022.5−50000

−22.50

−50000

−11.25−22.5

120−22.5030022.530

−11.25 0 22.50 −500 0

−22.511.50

−22.5000

005000000

30−22.5060000

−500 0 00 −11.25 −22.5000050000

22.50000

11.2522.5

30000022.560 ]

(106)

[ 𝐷1𝐷2𝐷3000000 ]

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 21

Qu = K11Du + K12DK

−5(103) = (511.25𝐷1 + 22.5𝐷3)(106) (1)

−24(103) = (511.25𝐷2 − 22.5𝐷3)(106) (2)

11(103) = (511.25𝐷1 − 22.5𝐷2 + 120𝐷3)(106) (3)

Resolviendo las ecuaciones 1, 2 y 3

𝐷1 = 13.57(10−6)𝑚

𝐷2 = −43.15(10−6)𝑚

𝐷3 = 86.12(10−6)𝑟𝑎𝑑

Usando estos resultados y aplicándolos en Qu = K21Du + K22Dk

𝑄4 = −11.25(106)(−13.57)(10−6) + (−22.5)(106)(86.12)(10−6) = −1.785𝐾𝑁

𝑄5 = −500(106)(−43.15)(10−6) = 21.58𝐾𝑁

𝑄6 = 22.5(106)(−13.57)(10−6) + 30(106)(86.12)(10−6) = 2.278𝐾𝑁.𝑚

𝑄7 = −500(106)(−13.57)(10−6) = 6.785𝐾𝑁

𝑄8 = −11.25(106)(−43.15)(10−6) + 22.5(106)(86.12)(10−6) = 2.423𝐾𝑁

𝑄9 = −22.5(106)(−43.15)(10−6) + 30(106)(86.12)(10−6) = 3.555𝐾𝑁.𝑚

Reacciones.

𝑅4 = −1.785 + 5 = 3.214𝐾𝑁 = 3.21KN

𝑅5 = 21.58 + 0 = 21.58𝐾𝑁 = 21.6𝑁

𝑅6 = 2.278 − 5 = −2.722𝐾𝑁.𝑚 = −2.722𝐾𝑁.𝑚

𝑅7 = 6.785 + 0 = 6.785𝐾𝑁 = 6.79𝐾𝑁

𝑅8 = 2.423 + 24 = 26.42𝐾𝑁 = 26.4𝐾𝑁

𝑅9 = 3.555 + 16 = 19.55𝐾𝑁.𝑚 = 19.6𝐾𝑁.𝑚

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 22

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 23

16-3 DETERMINE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE ESTRUCTURA K PARA EL MARCO.

SUPONGA QUE (3). ESTÁ ARTICULADO Y QUE (1) ESTÁ FIJO. CONSIDERE QUE E =

200 MPA, I= 300(10)6 MM4 Y A=21(10)3 MM2 PARA CADA ELEMENTO.

ELEMENTO 1:

𝜆𝑥 =5−0

5= 1 𝜆𝑦 = 0

𝐴𝐸

𝐿=(0.021)(200𝐸8)

5= 840000

6𝐸𝐼

𝐿2=6(200𝐸6)(300𝐸−6)

52= 14000

4𝐴𝐸

𝐿=4(200𝐸6)(300𝐸−6)

5= 48000

12𝐸𝐼

𝐿3=12(200𝐸6)(300𝐸−6)

53 = 5760

2𝐸𝐼

𝐿=2(200𝐸6)(300𝐸−6)

5= 24000

K1=

840000 0 0 −840000 0 00 5760 14400 0 −5760 144000 14400 48000 0 −14400 24000

−840000 0 0 840000 0 00 −5760 −14400 0 5760 −144000 14400 24000 0 −14400 48000

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 24

ELEMENTO 2:

𝜆𝑌 =0 − (−4)

4= 1 𝜆𝑋 = 0

𝐴𝐸

𝐿=(0.021)(200𝐸6)

4= 1050000

6𝐸𝐼

𝐿2=6(200𝐸6)(300𝐸−6)

42= 22500

4𝐴𝐸

𝐿=4(200𝐸6)(300𝐸−6)

4= 60000

12𝐸𝐼

𝐿3=12(200𝐸6)(300𝐸−6)

43 = 11250

2𝐸𝐼

𝐿=2(200𝐸6)(300𝐸−6)

4= 30000

K2=

11250 0 −22500 −11250 0 −225000 1050000 0 0 −1050000 0

−22500 0 60000 22500 0 30000−11250 0 22500 11250 0 22500

0 −1050000 0 0 1050000 0−22500 0 30000 22500 0 60000

𝐾 =

851250 0 22500 22500 −11250 0 −840000 0 00 1055760 −14400 0 0 −1050000 0 −5760 −14400

22500 −14400 108000 30000 −22500 0 0 14400 2400022500 0 30000 60000 −22500 0 0 0 0−11250 0 −22500 −22500 11250 0 0 0 0

0 −1050000 0 0 0 1050000 0 0 0−840000 0 0 0 0 0 840000 0 0

0 −5760 14400 0 0 0 0 5760 144000 −14400 24000 0 0 0 0 14400 48000

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 25

16-4 DETERMINE LAS REACCIONES CON LOS SOPORTES 1 Y 3 CONSIDERE QUE

E= 200 MPA, I=300 (10⁶) MM⁴ Y A= 21(10³) MM² PARA CADA ELEMENTO.

7 8 9 1 2 3

𝐾1 =

[ 840000

00

−84000000

05760144000

−576014400

014400480000

−1440024000

−84000000

84000000

0−5760−14400

05760−14400

014400240000

−1440048000 ]

789123

1 2 3 5 6 4

𝐾2 =

[ 112500

−22500−11250

0−22500

01050000

00

−10500000

−225000

60000225000

30000

−112500

22500112500

22500

0−1050000

00

10500000

−225000

30000225000

60000 ] 123564

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 26

MATRIZ GLOBAL

1 2 3 4 5 6 7 8 9

𝐊 =

[ 851250

02250022500−11250

0−840000

00

01055760−14400

00

−10557600

−5760−14400

22500−1440010800030000−22500

00

1440024000

225000

3000060000−22500

0000

−112500

−22500−22500112500000

0−1050000

000

1050000000

−84000000000

84000000

0−5760144000000

57601440

0−14400240000000

1440048000 ]

𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗

𝑫𝑲 =

[ 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎]

𝑸𝑲 = [

𝟎𝟎𝟑𝟎𝟎𝟎

]

[ 𝟎𝟎𝟑𝟎𝟎𝟎𝑸𝟓𝑸𝟔𝑸𝟕𝑸𝟖𝑸𝟗 ]

=

[ 851250

02250022500−11250

0−840000

00

01055760−14400

00

−10557600

−5760−14400

22500−1440010800030000−22500

00

1440024000

225000

3000060000−22500

0000

−112500

−22500−22500112500000

0−1050000

000

1050000000

−84000000000

84000000

0−5760144000000

57601440

0−14400240000000

1440048000 ]

[ 𝑫𝟏𝑫𝟐𝑫𝟑𝑫𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ]

CALCULO DE LAS REACCIONES

[

003000

] = [

8512500

2250022500

01055760−14400

0

22500−1440010800030000

225000

3000060000

] [

D1D2D3D4

] + [

0000

]

0 = 851250 𝐷1 + 22500 𝐷3 + 22500 𝐷4

0 = 1055760 𝐷2 +−14400 𝐷3

300 = 22500 𝐷1 +−14400 𝐷2 + 108000 𝐷3 + 30000 𝐷4

0 = 22500 𝐷1 + 30000 𝐷3 + 60000 𝐷4

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 27

SOLUCION

𝐷1 = −0.00004322 𝑚 𝐷2 = 0.00004417 𝑚 𝐷3 = 0.00323787 𝑟𝑎𝑑 𝐷4 = −0.00160273 𝑟𝑎𝑑

[ Q5Q6Q7Q8Q9]

=

[ −11250

0−840000

00

0−1050000

0−5760−14400

−2250000

1440024000

−225000000

]

[

−0.000043220.000044170.00323787−0.00160273

] +

[ 00000]

𝐐𝟓 = −𝟑𝟔. 𝟑 𝑲𝑵 𝐐𝟔 = −𝟒𝟔. 𝟒 𝑲𝑵 𝐐𝟕 = 𝑵𝟑𝟔. 𝟑 𝑲𝑵 𝐐𝟖 = 𝟒𝟔. 𝟒 𝑲𝑵 𝐐𝟗 = 𝟕𝟕. 𝟏 𝑲𝑵 ∗𝒎

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 28

16-5 DETERMINE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA K PARA EL MARCO.

CONSIDERE QUE E= 200 GPA, I= 350 (𝟏𝟎𝟔 ) 𝒎𝒎𝟒 Y 𝑨 = 𝟏𝟓(𝟏𝟎𝟑)𝒎𝒎𝟐 PARA CADA ELEMENTO. LAS JUNTAS EN 1 Y 3 ESTÁN ARTICULADOS.

𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎 = 200 ∗ 109𝑁/𝑚

𝐼 = 350 ∗ 106𝑚𝑚4 = 350 ∗ 10−6𝑚4

𝐴 = 15 ∗ 103𝑚𝑚2 = 0.015 𝑚2 𝐴𝐸

𝐿=(0.015)(200𝐸9)

4= 750𝐸6𝑁/𝑚

12𝐸𝐼

𝐿3=12(200𝐸9)(350𝐸−6)

43 = 13.125𝐸6𝑁/𝑚

6𝐸𝐼

𝐿2=6(200𝐸9)(350𝐸−6)

42= 26.25𝐸6𝑁

4𝐸𝐼

𝐿=4(200𝐸9)(350𝐸−6)

4= 70𝐸6𝑁 ∙ 𝑚

2𝐸𝐼

𝐿=2(200𝐸9)(350𝐸−6)

4= 35𝐸6𝑁 ∙ 𝑚

Por miembro 1 𝜆𝑥 =4−0

4= 1 𝜆𝑦 =

0−0

4= 0

𝐾1 =

0080 00009 0000500 00010000 020000 03000

[ 750 0 0 −750 0 00 13.125 26.25 0 −13.125 26.250 26.25 70 0 −26.25 35

−750 0 0 750 0 00 −13.125 −26.25 0 13.125 −26.250 26.25 35 0 −26.25 70 ]

(106)

Por miembro 2 𝜆𝑥 =4−4

4= 0 𝜆𝑦 =

−4−0

4= −1

𝐾2 =

0080 00009 0000500 00010000 020000 03000

[ 750 0 0 −750 0 00 13.125 26.25 0 −13.125 26.250 26.25 70 0 −26.25 35

−750 0 0 750 0 00 −13.125 −26.25 0 13.125 −26.250 26.25 35 0 −26.25 70 ]

(106)

Matriz general 9X9

𝐾2 =

000010 00002000 0000300 0004000000 0050000 60000 7 08000 9

[ 763.125 0 26.25 26.25 0 −13.125 0 0 0

0 763.125 −26.25 0 −26.25 0 −750 −750 −13.12526.25 −26.25 140 35 35 −26.25 0 0 26.2526.25 0 35 70 0 −26.25 0 0 00 −26.25 35 0 70 0 0 0 26.25

−13.125 0 26.25 −26.25 0 13.125 0 0 00 −750 0 0 0 0 750 750 0

−750 0 0 0 0 0 0 0 00 −13.125 26.25 0 26.25 0 0 0 13.125 ]

(106)

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 29

16-6 DETERMINE LAS REACCIONES EN LOS SOPORTES ARTICULADOS 1 Y 3

CONSIDERE QUE E=200 GPA, I=350 (𝟏𝟎𝟔 ) MM4 Y A=15 (𝟏𝟎𝟑) MM2 PARA CADA ELEMENTO.

𝑄𝑘 =

[

0 −41.25(103)

45(103) 0 0 ]

1 234 5

𝐷𝑘 = [

0 0 0 0

]

6 7 8 9

[

0 −41.25(103)

45(103) 0 0𝑄6𝑄7𝑄8𝑄9 ]

=

[ 763.125

026.25 26.25 0

−13.1250

−7500

0 763.125−26.250

−26.250

−7500

−13.125

26.25 −26.2514035 35

−26.2500

26.25

26.25 03570 0

−26.25000

0 −26.25350 70000

26.25

−13.125 0

−26.25−26.25 0

13.125000

0 −75000 0075000

−750 000 0007500

0 −13.12526.250

26.25000

13.125

]

106

[ 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4𝐷50000 ]

Desde la partición de matriz, Qk= K11Du + K12Dk

0= (763.125D1 + 26 .25D3 + 26.25D4) ( 106 ) (1)

-41.25 (103)= 763.125D1 + 26 .25D3 + 26.25D5) ( 106 ) (2)

45(103)= (26.25D1 - 26.25D2 + 140D3 + 35D4 + 35D4) ( 106 ) (3)

0= (26.25D1 + 35D3 + 70D4) (106) (4)

0= (26.25D1 + 35D3 + 70D4) (106) (5)

Resultados ecuación. (1) a (5)

D1= -7.3802(10−6) D2= -47.3802(10−6) D3= 423.5714(10−6)

D5= -209.0181(10−6) D5= -229.5533(10−6)

Utilizando estos resultados y aplicando Qu= K21Du +K22Dk

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 30

Q6= (-13.125) (10−6) – 7.3802(10−6) – 26.25(10−6)423.5714(10−6) – 26.25(106) - 209.0181(10−6) + 0 = -

5.535 kN

Q7= -750(106) – 47.3802(10−6) + 0 = 35.535 kN

Q8= -750(106) – 7.3802(10−6) + 0 = 5.535 kN

Q9= -13.125(106) – 47.3802(10−6) + 26.25(106) + 423.5714(10−6) + 26.25(106) – 229.5533(10−6) + 0 =

5.715 kN

Superponer estos resultados a los de la figura (a),

R6 = - 5. 535 kN + 0 = 5.54 kN

R7= 35.535 + 0 = 35.5 kN

R8= 5.535 + 0 = 5.54 kN

R9= 5.715 + 18.75 = 24.5 kN

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 31

16.7 DETERMINE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA K, PARA EL MARCO.

CONSIDERE QUE 𝑬 = 𝟐𝟗 × 𝟏𝟎𝟑 𝒌𝒔𝒊 , 𝑰 = 𝟔𝟓𝟎𝒑𝒖𝒍𝒈𝟒 , 𝑨 = 𝟐𝟎𝒑𝒖𝒍𝒈𝟐 , PARA CADA

ELEMENTO.

Miembro 1

λx =10 − 0

10= 1 λy = 0

𝐴𝐸

𝐿=(20)(29 × 103)

10(12)= 4833.33

6𝐸𝐼

𝐿2=6(29 × 103)(650)

(10)2(12)2= 7854.17

2𝐸𝐼

𝐿=2(29 × 103)(650)

10(12)= 314166.67

12𝐸𝐼

𝐿3=12(29 × 103)(650)

(10)3(12)3= 130.90

4𝐸𝐼

𝐿=4(29 × 103)(650)

10(12)= 628333.33

𝐾1 =

[ 4833.33

00

−4833.3300

0130.907854.17

0−130.907854.17

07854.17628333.33

0−7854.17314166.67

−4833.3300

4833.3300

0−130.90−7854.17

0130.90−7854.17

07854.17314166.6

0−7854.17628333.33]

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 32

Miembro 2

λY =12 − 0

12= 1 λX = 0

𝐴𝐸

𝐿=(20)(29 × 103)

(12)(12)= 4027.78

6𝐸𝐼

𝐿2=6(29 × 103)(650)

(12)2(12)2= 5454.28

2𝐸𝐼

𝐿=2(29 × 103)(650)

(12)(12)= 261805.55

12𝐸𝐼

𝐿3=12(29 × 103)(650)

(12)3(12)3= 75.75

4𝐸𝐼

𝐿=4(29 × 103)(650)

(12)(12)= 523611.11

𝐾2 =

[ 75.750

5454.28−75.750

5454.28

04027.78

00

−4027.780

5454.280

523611.11−5454.28

0261805.55

−75.750

−5454.2875.750

−5454.28

0−4027.78

00

4027.780

5454.280

261805.55−5454.28

0523611.11]

MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURAL

𝐾:

[ 4833.33

00

−4833.33 0 0000

0 130.907854.17

0−130.907854.17

000

0 7854.17628333.33

0−7854.17314166.67

000

−4833.33 00

4909.08 0

5454.28−75.750

5454.28

0 −130.90−7854.17

0 4158.68−7854.17

0−4027.78

0

0 7854.17314166.675454.28−7854.171151944.44−5454.28

0261805.55

0 00

−75.75 0

−5454.2875.750

−5454.28

0 000

−4027.7800

4027.780

0 00

5454.28 0

261805.55−5454.28

0523611.11

]

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 33

16-8 DETERMINE LOS COMPONENTES DE LOS DESPLAZAMIENTOS EN 1

CONSIDERE QUE E =29(𝟏𝟎𝟑 ) KSI, I=650𝒑𝒖𝒍𝒈𝟒 Y A=20 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟐PARA CADA ELEMENTO.

𝐷𝑘=|000| 𝑄𝑘=

|

|

−4−60000

|

|

[ −4 −6 0 0 00𝑄7𝑄8𝑄9 ]

=

[ 4833.33

00

−4833.33 0 0000

0 130.907854.17

0−130.907854.17

000

0 7854.17628333.33

0−7854.17314166.67

000

−4833.3300

4909.08 0

5454.28−75.750

5454.28

0 −130.90−7854.17

04158.68−7854.17

0−4027.78

0

0 7854.17314166.675454.28−7854.171151944.44−5454.28

0261805.55

0 00

−75.75 0

−5454.2875.750

−5454.28

0 000

−4027.7800

4027.780

0 00

5454.28 0

261805.55−5454.28

0523611.11

]

[ 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4𝐷5𝐷6000 ]

[ −4 −6 0 0 00 ]

+

[ 4833.33

00

−4833.33 0 0

0 130.907854.17

0−130.907854.17

0 7854.17628333.33

0−7854.17314166.67

−4833.3300

4909.08 0

5454.28

0 −130.90−7854.17

04158.68−7854.17

0 7854.17314166.675454.28−7854.171151944.44

]

[ 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4𝐷5𝐷6]

+

[ 0 00 000]

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 34

-4 = 4833.33D1 - 4833.33D4

-6 = 130.90D2 + 7854.17D3 - 130.90D5 + 7854.17D6

0 = 7854.17D2 + 628333.33D3 - 7854.17D5 + 314166.67D6

0 = -4833.33D1 + 4909.08D4 + 5454.28D6

0 = -130.90D2 - 7854.17D3 + 4158.68D5 - 7854.17D6

0 = 7854.17D2 + 314166.67D3 + 5454.28D4 – 7854.17D5 + 11519944.44D6

Resolviendo los rendimientos de las ecuaciones anteriores

D1= -0.608 in

D2= -1.12 in

D3= 0.0100 rad

D4= -0.6076 in

D5= -0.001490 in

D6= 0.007705 rad

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 35

16.9 DETERMINE LA MATRIZ DE RIGIDEZ K PARA EL MARCO. CONSIDERE 𝑬 =

𝟐𝟗 × 𝟏𝟎𝟑 𝒌𝒔𝒊, 𝑰 = 𝟑𝟎𝟎𝒑𝒖𝒍𝒈𝟒, 𝑨 = 𝟏𝟎𝒑𝒖𝒍𝒈𝟐, PARA CADA ELEMENTO.

Miembro 1

λy =10 − 0

10= 1 λx = 0

𝐴𝐸

𝐿=(10)(29 × 103)

10(12)= 2416.67 𝑘/𝑖𝑛

6𝐸𝐼

𝐿2=6(29 × 103)(300)

(10)2(12)2= 3625 𝑘

2𝐸𝐼

𝐿=2(29 × 103)(300)

10(12)= 145000 𝑘. 𝑖𝑛

12𝐸𝐼

𝐿3=12(29 × 103)(300)

(10)3(12)3= 60.4167 𝑘/𝑖𝑛

4𝐸𝐼

𝐿=4(29 × 103)(300)

10(12)= 290000 𝑘. 𝑖𝑛

𝐾1 =

[

860.4167

0−3625−60.4167

0−3625

90

2416.6700

−2416.670

5−36250

29000036250

145000

1−60.4167

0362560.4167

03625

20

−2416.6700

2416.670

3−36250

14500036250

290000] 895123

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 36

Miembro 2

λx =20 − 0

20= 1 λy =

10 − 10

20= 0

𝐴𝐸

𝐿=(10)(29 × 103)

(120)(12)= 1208.33 𝑘/𝑖𝑛

6𝐸𝐼

𝐿2=6(29 × 103)(300)

(20)2(12)2= 906.25 𝑘

2𝐸𝐼

𝐿=2(29 × 103)(300)

(20)(12)= 72500 𝑘. 𝑖𝑛

12𝐸𝐼

𝐿3=12(29 × 103)(300)

(20)3(12)3= 7.5521 𝑘/𝑖𝑛

4𝐸𝐼

𝐿=4(29 × 103)(300)

(20)(12)= 145000 𝑘. 𝑖𝑛

𝐾2 =

[

11208.33

00

−1208.3300

20

7.5521906.250

−7.5521906.25

30

906.25145000

0−906.2572500

6−1208.33

00

1208.3300

70

−7.5521−906.25

07.5521−906.25

40

906.25725000

−906.25145000 ]

123684

Matriz de rigidez estructural

𝐾:

[ 1268,75

036250

3625−1208.33

0−60.4167

0

0 2424.22906.25906.2500

−7.55210

−2416.67

3625 906.2543500072500145000

0−906.25−36250

0 906.2572500145000 00

−906.2500

36250

1450000

29000000

−36250

−1208.33 0000

1208.33000

0 −7.5521−906.25−906.25

00

7.552100

−60.4167 0

−36250

−362500

60.41670

0 −2416.67

00 0000

2416.67

]

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 37

16-10 DETERMINE LA REACCIONES DE SOPORTE EN (1) Y (3). TOMAR E = 2911032 KSI, I = 300 IN4, A = 10 IN2 PARA CADA MIEMBRO.

Cargas y deflexiones normales conocidas. Las cargas normales que actúan sobre el grado de libertad.

20 = - 2416.67D2 D2 = - 8.275862071 (10-3) 5 = - 7.5521 (- 8.2758)(10- 3) - 906.25D3 - 906.25D4 0 = 906.25 (- 8.2758)(10- 3) + 72500D3 + 145000D4 4.937497862 = - 906.25D3 - 906.25D4

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 38

Desde la partición de matriz Qk = K11Du + K12Dk,

0 = 1268.75D1 + 3625D3 + 3625D5 - 1208.33D6 (1) -25 = 2424.22D2 + 906.25D3 + 906.25D4 (2) -1200 = 3625D1 + 906.25D2 + 435000D3 + 72500D4 + 145000D5 (3) 0 = 906.25D2 + 72500D3 + 145000D4 (4) 0 = 3625D1 + 145000D3 + 290000D5 (5) 0 = -1208.33D1 + 1208.33D6 (6)

Resolución de La ecu. (1) a (6) D1 = 1.32 D2 = -0.008276 D3 = -0.011 D4 = 0.005552 D5 = -0.011 D6 = 1.32

Usando estos resultados y aplicando Qk = K21Du + K22Dk

Q7 = -7.5521 (-0.008276) - 906.25(-0.011) - 906.25(0.005552) = 5

Q8 = 60.4167 (1.32)-3625(-0.011)-3625(-0.011) = 0

Q9 = -2416.67 (-0.008276) = 20

Superponer estos resultados a los de FEM mostrados

R7 = 5 + 15 = 20 k Ans.

R8 = 0 + 0 = 0 Ans.

R9 = 20 + 0 = 20 k Ans.

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 39

16.-11 DETERMINE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA K PARA EL MARCO,

CONSIDERE QUE E =29(103) KSI. 1= 700 PULG4 Y A = 20 PULG2 PARA CADA

ELEMENTO.

𝐴𝐸

𝐿=20((29(102))

24(12)= 2013.89𝐾/𝑖𝑛

13𝐸𝐼

𝐿2=12(29(103)(700)

(24(12))2= 10.197𝑘/𝑖𝑛

6𝐸𝐼

𝐿2=6((29(102))(700)

24(12))2= 1468.46 𝐾

4𝐸𝐼

𝐿=4(29(103)(700)

(24(12)= 281944 𝐾. 𝑖𝑛

2𝐸𝐼

𝐿=2(29(103))(700)

24(12)= 140972 𝐾. 𝑖𝑛

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 40

L=16 ft AX = 24−24

16= 0 𝑎𝑛𝑑 𝑥𝑦 =

16−0

16= 1.

𝐴𝐸

𝐿=20((29(103))

16(12)= 3020.83𝐾/𝑖𝑛

12𝐸𝐼

𝐿3=12(29(103)(700)

(16(12))3= 34.4170𝑘/𝑖𝑛

6𝐸𝐼

𝐿=6((29(103))(700)

16(12))2= 3304.04𝐾

4𝐸𝐼

𝐿=4(29(103)(700)

(16(12)= 42217 𝐾. 𝑖𝑛

2𝐸𝐼

𝐿=2(29(103))(700)

16(12)= 211458 𝐾. 𝑖𝑛

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 41

16.12 DETERMINE LAS REACCIONES EN LOS SOPORTES FIJOS 1 Y 2. CONSIDERE

QUE E = 200 GPA, I= 300(10^6) MM^4 Y A= 10(10^3) MM^2 PARA CADA ELEMENTO.

CARGAS Y DEFLEXIONES NODALES CONOCIDAS, LAS CARGAS NODALES ACTÚAN

A LIBERTAD.

Qk=

{

0−13.75108000 }

{

12345}

DK={

0000

}{

6789

}

RELACIÓN CARGAS, DESPLAZAMIENTO Y APLICACIÓN DE Q=KD.

[

0−13.759000

− − −−𝑄6𝑄7𝑄8𝑄9 ]

[ 2048.31

0−3304.04−3304.04

0− − − −−34.4170

0−2013. .89

0

]

[

03031. .03−1468.46

0−1468.46− − − −

0−3020.83

0−10.1976]

[ −3304.04−1468.46704861211458140972− − −−3304.04

00

1468.46 ]

[ −3304.04

0211458422917

0− −− −3304.04

000 ]

[

0−1468.46140972

0281944− − − −

000

1468.46 ]

[ −34.4170

03304.043304.04

0− −− −34.4170

000 ]

[

0−3020. .83

000

− − −− −0

−3020.8300 ]

[ −2013.89

0000

− −− −00

2013.890 ]

[

0−10.19761468.46

01468.46− − − −

000

10.1976 ]

[

𝐷1𝐷2𝐷3𝐷4𝐷5

− −− −0000 ]

ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO

ING. CIVIL I 7º “K” 42

A PARTIR DE LA PARTICIÓN DE MATRIZ.

Qk= K11Du+K12DK

0=2048.31D1 – 3304.04D3- 3304.04D4 (1)

-13.75=3031.03D2 -1468.46D3 -1468.46D5 (2)

90= -3304.04D1-1468.46D2+704861D3+211458D4+140972D5 (3)

0= -3304.04D1+211458D3+422917D4 (4)

0=-1468.46D2+140972D3+281944D5 (5)

SOLUCION DE ECUACIONES.

D1=0.001668 D2=-0.004052 D3=0.002043 D4=-0.001008 D5=-0.001042

USANDO ESTOS RESULTADOS Y APLICANDO Qu=K21Du+K22Dk

Q6=-34.4170 (0.001668) +3304.04(0.002043) +3304.04(-0.001008) =3.360

Q7= -3020.83 (-0.004052) = 12.24

Q8= -2013.89 (0.001668) = -3.360

Q9= -10.1976 (-0.004052) +1468.46(0.002043) +1468.46(-0.001008) = 1.510

Superponer estos resultados a los de FEM

R6=3.360 + 0 = 3.36K

R7= 12.24 + 0 = 12.2K

R8= -3.360 + 0 = -3.36K

R9=1.510 +6.25 = 7.76K