algoritmo_transportedecoordenadasporgauss
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ALGORITMO PARA EL TRANSPORTE DE COORDENADAS GEODÉSICAS POR EL MÉTODO DE GAUSS. EJEMPLO DE CÁLCULO
MANUEL PÉREZ GUTIÉRREZ. DPTO. DE INGENIERÍA CARTOGRÁFICA Y DEL TERRENO, ESC. POLITÉCNICA SUPERIOR DE ÁVILA
TRANSPORTE DE COORDENADAS GEODÉSICAS POR EL MÉTODO DE GAUSS O DELAS ESFERAS AUXILIARES
ALGORITMO DE CÁLCULO Y EJEMPLO
PROBLEMA INVERSO DEL TRANSPORTE DE COORDENADAS
Datos de partida: - Coordenadas geodésicas de dos puntos del
elipsoide - Elipsoide (ED50)
Objetivo: calcular los acimutes directo y recíproco y el arco de geodésica que los une.
ϕ0 = 39º 29’ 27.38” λ0= -3º 26’ 38.50” ϕ2 = 39º 32’ 51.23” λ2= -3º 35’ 53.05” Elipsoide Hayford a = 6378388 metros e = 0.081991889979029 e2 = 0.00672267002233
En primer lugar calculamos la convergencia de meridianos. Sobre la esfera de Jacobi, la convergencia de meridianos es igual a la existente en el elipsoide (hasta el cuarto orden) cuyas latitudes esféricas fueran igual a las geodésicas
0 2
2 0
0 2
22· ·tag2cos
2
senz arctag
ϕ ϕλ λ
ϕ ϕ
⎛ + ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟∆ = ⎜ ⎟−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∆z = -0º 05’ 52. 8814864870”
Calculamos la latitud media y la diferencia de longitudes entre los dos puntos
- 0 2
2mϕ ϕϕ +
=
- 2 0λ λ λ∆ = −
ϕm = 39º 31’ 09.49” ∆λ = -0º 09’ 14.55”
ALGORITMO PARA EL TRANSPORTE DE COORDENADAS GEODÉSICAS POR EL MÉTODO DE GAUSS. EJEMPLO DE CÁLCULO
MANUEL PÉREZ GUTIÉRREZ. DPTO. DE INGENIERÍA CARTOGRÁFICA Y DEL TERRENO, ESC. POLITÉCNICA SUPERIOR DE ÁVILA
Calculamos las latitudes esféricas (sobre la esfera de Jacobi), que coinciden con las reducidas al elipsoide (teorema de Clairaut)
- 0·obu arctag taga
ϕ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
- 2 2·bu arctag taga
ϕ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
- 0 2
2mu uu +
=
u0 = 39º 23’ 46.0692641140” u2 = 39º 27’ 10.1572199696” um = 39º 25’ 28.1132420418”
Ahora calculamos el acimut medio. Pueden utilizarse varias expresiones, todas deducidas al aplicar la segunda analogía de Neper al triángulo esférico (sobre la esfera de Jacobi).
- 1 2
2z = arctag·
2
m
m
ztag
u utagu tag
∆⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
zm = 295º 25’ 47.444474548”
Los acimutes directo y recíproco son inmediatos
- 0 2mzz z ∆
= +
- 2 2mzz z π∆
= − +
z0 = 295º 28’ 43.885217791” z2 = 115º 22’ 51.003731304”
Vamos ahora a por las coordenadas geodésicas ortogonales. Calculamos los valores
- 1
2· ·nSN ρ
=
- 2·( ·cos )x N arcsen λ ϕ= ∆
- 2
22
·2·x tagN
ω ϕ=
- 2
, para pasaraánguloNωω =
- 2 0ϕ ϕ ω ϕ∆ = + −
- ·my ρ ϕ= ∆
Sn =1.230572151402138e-014 x = -13241. 18627909216 m ω = 11.33341309091052 metros ω = 0º 00’ 00.366001011141181” ∆ϕ = 0º 03’ 24. 5860010111” y = 6309. 68968652162 metros
Ahora el arco aproximado s = 14667.71344240421 metros
ALGORITMO PARA EL TRANSPORTE DE COORDENADAS GEODÉSICAS POR EL MÉTODO DE GAUSS. EJEMPLO DE CÁLCULO
MANUEL PÉREZ GUTIÉRREZ. DPTO. DE INGENIERÍA CARTOGRÁFICA Y DEL TERRENO, ESC. POLITÉCNICA SUPERIOR DE ÁVILA
- 2
0
1· 1 · ·3 n
xs S ysenz
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
Con el arco anterior podemos calcular otro más exacto
- 2 20
0
1· 1 · · ·cos3 n
xs S s zsenz
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
s = 14667.70995132679 metros
PROBLEMA DIRECTO DEL TRANSPORTE DE COORDENADAS Con los datos obtenidos del paso anterior realizamos a continuación el problema directo del transporte de coordenadas.
ϕ0 = 39º 29’ 27.38” λ0= -3º 26’ 38.50” z0 = 295º 27’ 17.539172519” s = 14667.710 metros Elipsoide Hayford a = 6378388 metros e = 0.081991889979029 e2 = 0.00672267002233
Primero calculamos las coordenadas geodésicas ortogonales
- 1
2· ·nSN ρ
=
- 2 20 0
1· 1 · · ·cos3 nx s senz S s z⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
- 2 20 0
2·cos 1 · · ·3 ny s z S s sen z⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Sn = 1.230588277971295e-014 x = -13241.18627906485 metros y = 6309.735208817575metros
El primer incremento de la latitud es elemental
- 0
yϕρ
∆ =
- 2
2 20
0
· 1 · ·8·
y e y cosa
ϕ ϕρ
⎛ ⎞∆ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∆ϕ = 0º 03’ 24. 5884823430” ∆ϕ = 0º 03’ 24. 5884823109 “
Así, la latitud del punto 1, obtenido como intersección del círculo máximo que pasa por el punto 0 y es perpendicular al meridiano del punto 2 es
- 1 0ϕ ϕ ϕ= + ∆
ϕ1 = 39º 32’ 51. 9684823109”
Ahora podemos calcular una latitud como sigue ϕm = 39º 31’ 09. 6742411555” ∆ϕ = 0º 03’ 23. 3611663249”
ALGORITMO PARA EL TRANSPORTE DE COORDENADAS GEODÉSICAS POR EL MÉTODO DE GAUSS. EJEMPLO DE CÁLCULO
MANUEL PÉREZ GUTIÉRREZ. DPTO. DE INGENIERÍA CARTOGRÁFICA Y DEL TERRENO, ESC. POLITÉCNICA SUPERIOR DE ÁVILA
- 0 1
2mϕ ϕϕ +
=
- m
yϕρ
∆ =
- 2
2 2· 1 · ·8· m
m
y e y cosa
ϕ ϕρ
⎛ ⎞∆ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∆ϕ = 0º 03’ 23. 3611664915 “
La latitud definitiva se calcula añadiendo el pequeño arco ω
- 1 2 211 ·
aNe sen ϕ
=−
- 2
11
·2·x tagN
ω ϕ=
- 1
, para pasaraánguloNωω =
- 2 1ϕ ϕ ω= +
N1 = 6387097.843931667metros ω= 11.33345426174558 metros ω = 0º 00’ 00.36600233854728”
ϕ2 = 39º 32’ 51. 6024799723”
La longitud ahora es trivial pues podemos calcular
- 2 2 221 ·
aNe sen ϕ
=−
- 2
2cos
xsenNarcsenλϕ
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟∆ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
- 2 0λ λ λ= + ∆
N2 = 6387097.806421765metros ∆λ = -0º 09’ 14. 5500054819” λ2 = -3º 35’ 53. 0500054828”
Y finalmente la convergencia, que se obtienen como en el problema inverso
-
0 2
2 0
0 2
22· ·tag2cos
2
senz arctag
ϕ ϕλ λ
ϕ ϕ
⎛ + ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟∆ = ⎜ ⎟−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∆z = -0º 05’ 52. 8814925484”
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