Álgebra

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TEMA 5 - ALGEBRA

Antonio Enrıquez Padial

21 de enero de 2012

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1 El Algebra,¿para que sirve?Definiciones y Aplicaciones

2 MonomiosDefinicionesOperaciones con Monomios

3 PolinomiosDefinicionesOperaciones con Polinomios

4 Productos NotablesDefiniciones-Productos Notables

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Definiciones y Aplicaciones

Llamamos Algebra a la parte de las matematicas en la que seutilizan letras para expresar numeros de valor desconocido oindeterminado.Entre las aplicaciones del Algebra estan las siguientes:

Para expresar propiedades de las operaciones aritmeticas

Para expresar la relacion entre variables relativas a distintasmagnitudes (formulas)

Para manejar numeros de valor indeterminado y susoperaciones (expresiones algebraicas)

Para expresar relaciones que faciliten la resolucion deproblemas (ecuaciones)

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Definicion

Llamamos expresion algebraica a toda combinacion de numeros yletras unidas por signos de operacion:(suma, resta,...)

Ejemplo

3x + 112x2 + 7

Gracias a estas expresiones algebraicas vamos a poder expresarenunciados de nuestro lenguaje habitual en terminos matematicos.

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Ejemplo

El doble de un numero menos tres = 2x-3

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Pagina 109, ejercicio 8Pagina 119, ejercicios 1, 8

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Definicion de Monomio

Un monomio es una expresion algebraica de la forma axn

a es el coeficiente

x es la variable o incognita

n es el grado del monomio

xn es la parte literal

Nota

El grado de un monomio es la suma de los exponentes de lasincognitas

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Ejemplos

5x2y4

Coeficiente = 5

Parte Literal = x2y4

Grado = 2 + 4 = 6

Monomios Semejantes

Decimos que dos monomios son semejantes si tienen la mismaparte literal

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Ejemplo

2x4 y 7x4 son monomios semejantes porque tienen la misma parteliteral: x4

Ejercicios

Pagina 111, ejercicio 1Pagina 119, ejercicio 9

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Suma y Diferencia

Para sumar (o restar) dos monomios semejantes, sumamos (orestamos) los coeficientes y conservamos la misma parte literal.

Nota

Observa que para la suma y resta de monomios se exige que losmonomios sean semejantes. En caso de que los monomios no seansemejantes, se deja la operacion indicada.

Ejemplo

8x2 + 3x2 = (8 + 3)x2 = 11x2

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Nota

Observa que para la suma y resta de monomios se exige que losmonomios sean semejantes. En caso de que los monomios no seansemejantes, se deja la operacion indicada.

Ejemplo

8x2 + 3x2 = (8 + 3)x2 = 11x2

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Para sumar (o restar) dos monomios semejantes, sumamos (orestamos) los coeficientes y conservamos la misma parte literal.

Nota

Observa que para la suma y resta de monomios se exige que losmonomios sean semejantes. En caso de que los monomios no seansemejantes, se deja la operacion indicada.

Ejemplo

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Para sumar (o restar) dos monomios semejantes, sumamos (orestamos) los coeficientes y conservamos la misma parte literal.

Nota

Observa que para la suma y resta de monomios se exige que losmonomios sean semejantes. En caso de que los monomios no seansemejantes, se deja la operacion indicada.

Ejemplo

8x2 + 3x2 = (8 + 3)x2 = 11x2

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Producto

Para multiplicar dos monomios, multiplicamos los coeficientes ysumamos los grados de los exponentes de las parte literales.

Ejemplo

(2x3)(6x5) = (2 ∗ 6)x3+5 = 12x8

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Para multiplicar dos monomios, multiplicamos los coeficientes ysumamos los grados de los exponentes de las parte literales.

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Division

Para dividir dos monomios, dividimos los coeficientes y restamoslos grados de los exponentes de las partes literales.

Ejemplo

(8x12) : (2x5) = (8/2)(x12−5) = 4x7

Ejercicios

Pagina 111, Ejercicios 3, 5, 7, 9, 10, 12, 13.Pagina 119, Ejercicios 10 y 11.Pagina 120, Ejercicio 12.Pagina 112, Ejercicios 17, 18, 19.Pagina 120, Ejercicio 13.; Pagina 121, Ejercicio 27

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Ejemplo

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Ejemplo

(8x12) : (2x5) = (8/2)(x12−5) = 4x7

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Ejemplo

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Definicion de Polinomio

Llamamos polinomio a una expresion algebraica formada por lasuma o diferencia de dos o mas monomios no semejantes.

Ejemplo

5x4 es un monomio.

3x2 es otro monomio.

Esos monomios no son semejantes.

La suma o resta de esos monomios es un polinomio.

5x4 + 3x2 es un polinomio

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Ejemplo

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Esos monomios no son semejantes.

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Ejemplo

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Esos monomios no son semejantes.

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Ejemplo

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Nota

El grado de un polinomio es el del monomio de mayor gradoEl termino independiente es el valor que no lleva incognita

Ejemplo

Dado el polinomio P(x) = 5x4 + 6x3 − x2 + 8x − 18 su grado es elgrado del monomio de mayor grado, es decir, el grado de 5x4 que es4

El termino independiente de ese polinomio es el termino que notiene incognita, es decir, -18

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Dado el polinomio P(x) = 5x4 + 6x3 − x2 + 8x − 18 su grado es elgrado del monomio de mayor grado, es decir, el grado de 5x4 que es4

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Dado el polinomio P(x) = 5x4 + 6x3 − x2 + 8x − 18 su grado es elgrado del monomio de mayor grado, es decir, el grado de 5x4 que es4

El termino independiente de ese polinomio es el termino que notiene incognita, es decir, -18

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Definicion de Valor numerico de un polinomio

Llamamos valor numerico de un polinomio al valor que toma elpolinomio cuando sustituimos la incognita X por un valordeterminado

Ejemplo

Dado el polinomio P(x) = 2x3 + 3x2 − 4x + 5. ¿Calcula el valornumerico para x=2?

Sustituimos la incognita x por el valor que nos dan, en este caso 2.

P(2) = 2 ∗ 23 + 3 ∗ 22 − 4 ∗ 2 + 5 ; Calculamos termino a termino

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Ejemplo

Dado el polinomio P(x) = 2x3 + 3x2 − 4x + 5. ¿Calcula el valornumerico para x=2?

Sustituimos la incognita x por el valor que nos dan, en este caso 2.

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Dado el polinomio P(x) = 2x3 + 3x2 − 4x + 5. ¿Calcula el valornumerico para x=2?

Sustituimos la incognita x por el valor que nos dan, en este caso 2.

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Dado el polinomio P(x) = 2x3 + 3x2 − 4x + 5. ¿Calcula el valornumerico para x=2?

Sustituimos la incognita x por el valor que nos dan, en este caso 2.

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Continuacion del Ejemplo

P(2)=2*8+3*4-8+5

P(2) = 16 + 12 − 8 + 5; De donde tenemos que P(2)=25

Por tanto el valor numerico de ese polinomio para x=2 es 25.

Ejercicios

Pagina 113, ejercicios 1,2,3,4Pagina 120, ejercicio 14

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Por tanto el valor numerico de ese polinomio para x=2 es 25.

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Por tanto el valor numerico de ese polinomio para x=2 es 25.

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P(2)=2*8+3*4-8+5

P(2) = 16 + 12 − 8 + 5; De donde tenemos que P(2)=25

Por tanto el valor numerico de ese polinomio para x=2 es 25.

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Continuacion del Ejemplo

P(2)=2*8+3*4-8+5

P(2) = 16 + 12 − 8 + 5; De donde tenemos que P(2)=25

Por tanto el valor numerico de ese polinomio para x=2 es 25.

Ejercicios

Pagina 113, ejercicios 1,2,3,4Pagina 120, ejercicio 14

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P(2)=2*8+3*4-8+5

P(2) = 16 + 12 − 8 + 5; De donde tenemos que P(2)=25

Por tanto el valor numerico de ese polinomio para x=2 es 25.

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Suma y resta de Polinomios

Para sumar o restar dos polinomios sumamos o restamos losterminos semejantes entre sı, y le sumamos los no semejantes.

Ejemplo

Calcula la suma de P(x) = 3x2 + 7x + 5 yQ(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 3

Escribimos la suma, P(x)+Q(x)=

3x2 + 7x + 5 + 3x3 + 4x2 + 2x + 3

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Para sumar o restar dos polinomios sumamos o restamos losterminos semejantes entre sı, y le sumamos los no semejantes.

Ejemplo

Calcula la suma de P(x) = 3x2 + 7x + 5 yQ(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 3

Escribimos la suma, P(x)+Q(x)=

3x2 + 7x + 5 + 3x3 + 4x2 + 2x + 3

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Para sumar o restar dos polinomios sumamos o restamos losterminos semejantes entre sı, y le sumamos los no semejantes.

Ejemplo

Calcula la suma de P(x) = 3x2 + 7x + 5 yQ(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 3

Escribimos la suma, P(x)+Q(x)=

3x2 + 7x + 5 + 3x3 + 4x2 + 2x + 3

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Para sumar o restar dos polinomios sumamos o restamos losterminos semejantes entre sı, y le sumamos los no semejantes.

Ejemplo

Calcula la suma de P(x) = 3x2 + 7x + 5 yQ(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 3

Escribimos la suma, P(x)+Q(x)=

3x2 + 7x + 5 + 3x3 + 4x2 + 2x + 3

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Continuacion del Ejemplo

Agrupamos los terminos semejantes entre sı, empezando porlos de mayor grado

3x3 + (3x2 + 4x2) + (7x + 2x) + (5 + 3)

3x3 + 7x2 + 9x + 8

Luego la suma de P(x) y Q(x) es 3x3 + 7x2 + 9x + 8

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Agrupamos los terminos semejantes entre sı, empezando porlos de mayor grado

3x3 + (3x2 + 4x2) + (7x + 2x) + (5 + 3)

3x3 + 7x2 + 9x + 8

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Agrupamos los terminos semejantes entre sı, empezando porlos de mayor grado

3x3 + (3x2 + 4x2) + (7x + 2x) + (5 + 3)

3x3 + 7x2 + 9x + 8

Luego la suma de P(x) y Q(x) es 3x3 + 7x2 + 9x + 8

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Agrupamos los terminos semejantes entre sı, empezando porlos de mayor grado

3x3 + (3x2 + 4x2) + (7x + 2x) + (5 + 3)

3x3 + 7x2 + 9x + 8

Luego la suma de P(x) y Q(x) es 3x3 + 7x2 + 9x + 8

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Veamos otro ejemplo

Calcula la resta de P(x) = 3x2 + 7x + 5 yQ(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 3

Escribimos la resta, P(x)-Q(x)=

(3x2 + 7x + 5) - (3x3 + 4x2 + 2x + 3)

¡¡Ojo!!- El segundo polinomio lleva un signo - delante,entonces tenemos que cambiar los signos.

3x2 + 7x + 5 −3x3 − 4x2 − 2x − 3

Agrupamos los terminos semejantes entre sı, empezando porlos de mayor grado

-3x3 + (3x2 − 4x2) + (7x − 2x) + (5 − 3)

De donde nos queda que P(x)-Q(x)=−3x3 − x2 + 5x + 2

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Veamos otro ejemplo

Calcula la resta de P(x) = 3x2 + 7x + 5 yQ(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 3

Escribimos la resta, P(x)-Q(x)=

(3x2 + 7x + 5) - (3x3 + 4x2 + 2x + 3)

¡¡Ojo!!- El segundo polinomio lleva un signo - delante,entonces tenemos que cambiar los signos.

3x2 + 7x + 5 −3x3 − 4x2 − 2x − 3

Agrupamos los terminos semejantes entre sı, empezando porlos de mayor grado

-3x3 + (3x2 − 4x2) + (7x − 2x) + (5 − 3)

De donde nos queda que P(x)-Q(x)=−3x3 − x2 + 5x + 2

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Veamos otro ejemplo

Calcula la resta de P(x) = 3x2 + 7x + 5 yQ(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 3

Escribimos la resta, P(x)-Q(x)=

(3x2 + 7x + 5) - (3x3 + 4x2 + 2x + 3)

¡¡Ojo!!- El segundo polinomio lleva un signo - delante,entonces tenemos que cambiar los signos.

3x2 + 7x + 5 −3x3 − 4x2 − 2x − 3

Agrupamos los terminos semejantes entre sı, empezando porlos de mayor grado

-3x3 + (3x2 − 4x2) + (7x − 2x) + (5 − 3)

De donde nos queda que P(x)-Q(x)=−3x3 − x2 + 5x + 2

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Veamos otro ejemplo

Calcula la resta de P(x) = 3x2 + 7x + 5 yQ(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 3

Escribimos la resta, P(x)-Q(x)=

(3x2 + 7x + 5) - (3x3 + 4x2 + 2x + 3)

¡¡Ojo!!- El segundo polinomio lleva un signo - delante,entonces tenemos que cambiar los signos.

3x2 + 7x + 5 −3x3 − 4x2 − 2x − 3

Agrupamos los terminos semejantes entre sı, empezando porlos de mayor grado

-3x3 + (3x2 − 4x2) + (7x − 2x) + (5 − 3)

De donde nos queda que P(x)-Q(x)=−3x3 − x2 + 5x + 2

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Calcula la resta de P(x) = 3x2 + 7x + 5 yQ(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 3

Escribimos la resta, P(x)-Q(x)=

(3x2 + 7x + 5) - (3x3 + 4x2 + 2x + 3)

¡¡Ojo!!- El segundo polinomio lleva un signo - delante,entonces tenemos que cambiar los signos.

3x2 + 7x + 5 −3x3 − 4x2 − 2x − 3

Agrupamos los terminos semejantes entre sı, empezando porlos de mayor grado

-3x3 + (3x2 − 4x2) + (7x − 2x) + (5 − 3)

De donde nos queda que P(x)-Q(x)=−3x3 − x2 + 5x + 2

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Veamos otro ejemplo

Calcula la resta de P(x) = 3x2 + 7x + 5 yQ(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 3

Escribimos la resta, P(x)-Q(x)=

(3x2 + 7x + 5) - (3x3 + 4x2 + 2x + 3)

¡¡Ojo!!- El segundo polinomio lleva un signo - delante,entonces tenemos que cambiar los signos.

3x2 + 7x + 5 −3x3 − 4x2 − 2x − 3

Agrupamos los terminos semejantes entre sı, empezando porlos de mayor grado

-3x3 + (3x2 − 4x2) + (7x − 2x) + (5 − 3)

De donde nos queda que P(x)-Q(x)=−3x3 − x2 + 5x + 2

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Veamos otro ejemplo

Calcula la resta de P(x) = 3x2 + 7x + 5 yQ(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 3

Escribimos la resta, P(x)-Q(x)=

(3x2 + 7x + 5) - (3x3 + 4x2 + 2x + 3)

¡¡Ojo!!- El segundo polinomio lleva un signo - delante,entonces tenemos que cambiar los signos.

3x2 + 7x + 5 −3x3 − 4x2 − 2x − 3

Agrupamos los terminos semejantes entre sı, empezando porlos de mayor grado

-3x3 + (3x2 − 4x2) + (7x − 2x) + (5 − 3)

De donde nos queda que P(x)-Q(x)=−3x3 − x2 + 5x + 2

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Veamos otro ejemplo

Calcula la resta de P(x) = 3x2 + 7x + 5 yQ(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 3

Escribimos la resta, P(x)-Q(x)=

(3x2 + 7x + 5) - (3x3 + 4x2 + 2x + 3)

¡¡Ojo!!- El segundo polinomio lleva un signo - delante,entonces tenemos que cambiar los signos.

3x2 + 7x + 5 −3x3 − 4x2 − 2x − 3

Agrupamos los terminos semejantes entre sı, empezando porlos de mayor grado

-3x3 + (3x2 − 4x2) + (7x − 2x) + (5 − 3)

De donde nos queda que P(x)-Q(x)=−3x3 − x2 + 5x + 2

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Ejercicios

Pagina 114, ejercicios 5,6 y 7Pagina 120, ejercicios 15,16 y 18

Producto de dos polinomios

Para multiplicar dos polinomios, multiplicamos cada monomio delprimer polinomio por todos y cada uno de los monomios delsegundo. Realizadas estas operaciones, agrupamos los monomiossemejantes y los operamos entre sı.

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Producto de dos polinomios

Para multiplicar dos polinomios, multiplicamos cada monomio delprimer polinomio por todos y cada uno de los monomios delsegundo. Realizadas estas operaciones, agrupamos los monomiossemejantes y los operamos entre sı.

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Ejemplo

Sean P(x) = 2x2 + 3x + 2 y Q(x) = x2 + x + 1 dospolinomios, y queremos calcular su producto, P(x)*Q(x)

P(x)*Q(x)=(2x2 + 3x + 2) ∗ (x2 + x + 1)

Multiplico cada monomio del primer polinomio por todos losmonomios del segundo

(2x2) ∗ (x2) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) +

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Ejemplo

Sean P(x) = 2x2 + 3x + 2 y Q(x) = x2 + x + 1 dospolinomios, y queremos calcular su producto, P(x)*Q(x)

P(x)*Q(x)=(2x2 + 3x + 2) ∗ (x2 + x + 1)

Multiplico cada monomio del primer polinomio por todos losmonomios del segundo

(2x2) ∗ (x2) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) +

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Ejemplo

Sean P(x) = 2x2 + 3x + 2 y Q(x) = x2 + x + 1 dospolinomios, y queremos calcular su producto, P(x)*Q(x)

P(x)*Q(x)=(2x2 + 3x + 2) ∗ (x2 + x + 1)

Multiplico cada monomio del primer polinomio por todos losmonomios del segundo

(2x2) ∗ (x2) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) +

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Ejemplo

Sean P(x) = 2x2 + 3x + 2 y Q(x) = x2 + x + 1 dospolinomios, y queremos calcular su producto, P(x)*Q(x)

P(x)*Q(x)=(2x2 + 3x + 2) ∗ (x2 + x + 1)

Multiplico cada monomio del primer polinomio por todos losmonomios del segundo

(2x2) ∗ (x2) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) +

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Ejemplo

Sean P(x) = 2x2 + 3x + 2 y Q(x) = x2 + x + 1 dospolinomios, y queremos calcular su producto, P(x)*Q(x)

P(x)*Q(x)=(2x2 + 3x + 2) ∗ (x2 + x + 1)

Multiplico cada monomio del primer polinomio por todos losmonomios del segundo

(2x2) ∗ (x2) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) +

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Ejemplo

Sean P(x) = 2x2 + 3x + 2 y Q(x) = x2 + x + 1 dospolinomios, y queremos calcular su producto, P(x)*Q(x)

P(x)*Q(x)=(2x2 + 3x + 2) ∗ (x2 + x + 1)

Multiplico cada monomio del primer polinomio por todos losmonomios del segundo

(2x2) ∗ (x2) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) +

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Ejemplo

Sean P(x) = 2x2 + 3x + 2 y Q(x) = x2 + x + 1 dospolinomios, y queremos calcular su producto, P(x)*Q(x)

P(x)*Q(x)=(2x2 + 3x + 2) ∗ (x2 + x + 1)

Multiplico cada monomio del primer polinomio por todos losmonomios del segundo

(2x2) ∗ (x2) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) +

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Ejemplo

Sean P(x) = 2x2 + 3x + 2 y Q(x) = x2 + x + 1 dospolinomios, y queremos calcular su producto, P(x)*Q(x)

P(x)*Q(x)=(2x2 + 3x + 2) ∗ (x2 + x + 1)

Multiplico cada monomio del primer polinomio por todos losmonomios del segundo

(2x2) ∗ (x2) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) +

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Continuacion del Ejemplo

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x2) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x2) + 2 ∗ x +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x2) + 2 ∗ x + 2 ∗ 1 =

Desarrollamos esos productos de monomios y tenemos:

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Continuacion del Ejemplo

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x2) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x2) + 2 ∗ x +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x2) + 2 ∗ x + 2 ∗ 1 =

Desarrollamos esos productos de monomios y tenemos:

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Continuacion del Ejemplo

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x2) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x2) + 2 ∗ x +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x2) + 2 ∗ x + 2 ∗ 1 =

Desarrollamos esos productos de monomios y tenemos:

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MonomiosPolinomios

Productos Notables

DefinicionesOperaciones con Polinomios

Operaciones con Polinomios

Continuacion del Ejemplo

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x2) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x2) + 2 ∗ x +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x2) + 2 ∗ x + 2 ∗ 1 =

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(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x2) +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x2) + 2 ∗ x +

(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x2) + 2 ∗ x + 2 ∗ 1 =

Desarrollamos esos productos de monomios y tenemos:

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(2x2) ∗ (x2) + (2x2) ∗ (x) + (2x2) ∗ 1 + (3x) ∗ (x2) +(3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x2) + 2 ∗ x + 2 ∗ 1 =

2x4 + 2x3 + 2x2 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2x2 + 2x + 2 =

Agrupamos los monomios semejantes:

2x4 + (2x3 + 3x3) + (2x2 + 3x2 + 2x2) + (3x + 2x) + 2 =

2x4 + (5x3) + (7x2) + (5x) + 2

Ejercicios

Pagina 115, ejercicios 8,9 y 10Pagina 121, ejercicio 21Pagina 122, ejercicio 25

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2x4 + 2x3 + 2x2 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2x2 + 2x + 2 =

Agrupamos los monomios semejantes:

2x4 + (2x3 + 3x3) + (2x2 + 3x2 + 2x2) + (3x + 2x) + 2 =

2x4 + (5x3) + (7x2) + (5x) + 2

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2x4 + 2x3 + 2x2 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2x2 + 2x + 2 =

Agrupamos los monomios semejantes:

2x4 + (2x3 + 3x3) + (2x2 + 3x2 + 2x2) + (3x + 2x) + 2 =

2x4 + (5x3) + (7x2) + (5x) + 2

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2x4 + 2x3 + 2x2 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2x2 + 2x + 2 =

Agrupamos los monomios semejantes:

2x4 + (2x3 + 3x3) + (2x2 + 3x2 + 2x2) + (3x + 2x) + 2 =

2x4 + (5x3) + (7x2) + (5x) + 2

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2x4 + 2x3 + 2x2 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2x2 + 2x + 2 =

Agrupamos los monomios semejantes:

2x4 + (2x3 + 3x3) + (2x2 + 3x2 + 2x2) + (3x + 2x) + 2 =

2x4 + (5x3) + (7x2) + (5x) + 2

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2x4 + 2x3 + 2x2 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2x2 + 2x + 2 =

Agrupamos los monomios semejantes:

2x4 + (2x3 + 3x3) + (2x2 + 3x2 + 2x2) + (3x + 2x) + 2 =

2x4 + (5x3) + (7x2) + (5x) + 2

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Definicion de Productos Notables

Llamamos productos notables a ciertos productos de binomios cuyamemorizacion resulta util para abreviar los calculos con expresionesalgebraicas

Cuadrado de una suma

El cuadrado de una suma de dos sumandos es igual...

... al cuadrado del primer sumando...

... mas el cuadrado del segundo sumando...

... mas el doble del primero por el segundo.

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

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... mas el cuadrado del segundo sumando...

... mas el doble del primero por el segundo.

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... al cuadrado del primer sumando...

... mas el cuadrado del segundo sumando...

... mas el doble del primero por el segundo.

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

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El cuadrado de una suma de dos sumandos es igual...

... al cuadrado del primer sumando...

... mas el cuadrado del segundo sumando...

... mas el doble del primero por el segundo.

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El cuadrado de una suma de dos sumandos es igual...

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... mas el cuadrado del segundo sumando...

... mas el doble del primero por el segundo.

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El cuadrado de una suma de dos sumandos es igual...

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Ejemplo del Cuadrado de una Suma

Se nos pide calcular el valor de (x + 5)2

(x + 5)2=...

Cuadrado del primero... x2

...mas cuadrado del segundo...52

...mas el doble del primero por el segundo: 2 ∗ x ∗ 5

De donde se tiene que: (x + 5)2 = x2 + 25 + 10x

Y ordenando tenemos que: (x + 5)2 = x2 + 10x + 25

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(x + 5)2=...

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...mas cuadrado del segundo...52

...mas el doble del primero por el segundo: 2 ∗ x ∗ 5

De donde se tiene que: (x + 5)2 = x2 + 25 + 10x

Y ordenando tenemos que: (x + 5)2 = x2 + 10x + 25

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Se nos pide calcular el valor de (x + 5)2

(x + 5)2=...

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...mas cuadrado del segundo...52

...mas el doble del primero por el segundo: 2 ∗ x ∗ 5

De donde se tiene que: (x + 5)2 = x2 + 25 + 10x

Y ordenando tenemos que: (x + 5)2 = x2 + 10x + 25

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(x + 5)2=...

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...mas el doble del primero por el segundo: 2 ∗ x ∗ 5

De donde se tiene que: (x + 5)2 = x2 + 25 + 10x

Y ordenando tenemos que: (x + 5)2 = x2 + 10x + 25

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...mas el doble del primero por el segundo: 2 ∗ x ∗ 5

De donde se tiene que: (x + 5)2 = x2 + 25 + 10x

Y ordenando tenemos que: (x + 5)2 = x2 + 10x + 25

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Se nos pide calcular el valor de (x + 5)2

(x + 5)2=...

Cuadrado del primero... x2

...mas cuadrado del segundo...52

...mas el doble del primero por el segundo: 2 ∗ x ∗ 5

De donde se tiene que: (x + 5)2 = x2 + 25 + 10x

Y ordenando tenemos que: (x + 5)2 = x2 + 10x + 25

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Se nos pide calcular el valor de (x + 5)2

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...mas el doble del primero por el segundo: 2 ∗ x ∗ 5

De donde se tiene que: (x + 5)2 = x2 + 25 + 10x

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Cuadrado de una diferencia

El cuadrado de una diferencia de dos terminos es igual...

... al cuadrado del primer termino...

... mas el cuadrado del segundo termino...

... menos el doble del primero por el segundo.

(a− b)2 = a2 + b2 − 2ab

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... mas el cuadrado del segundo termino...

... menos el doble del primero por el segundo.

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... al cuadrado del primer termino...

... mas el cuadrado del segundo termino...

... menos el doble del primero por el segundo.

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El cuadrado de una diferencia de dos terminos es igual...

... al cuadrado del primer termino...

... mas el cuadrado del segundo termino...

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El cuadrado de una diferencia de dos terminos es igual...

... al cuadrado del primer termino...

... mas el cuadrado del segundo termino...

... menos el doble del primero por el segundo.

(a− b)2 = a2 + b2 − 2ab

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Se nos pide calcular el valor de (x − 5)2

(x − 5)2=...

Cuadrado del primero... x2

...mas cuadrado del segundo...52

...menos el doble del primero por el segundo: −2 ∗ x ∗ 5

De donde se tiene que: (x − 5)2 = x2 + 25 − 10x

Y ordenando tenemos que: (x − 5)2 = x2 − 10x + 25

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Se nos pide calcular el valor de (x − 5)2

(x − 5)2=...

Cuadrado del primero... x2

...mas cuadrado del segundo...52

...menos el doble del primero por el segundo: −2 ∗ x ∗ 5

De donde se tiene que: (x − 5)2 = x2 + 25 − 10x

Y ordenando tenemos que: (x − 5)2 = x2 − 10x + 25

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...menos el doble del primero por el segundo: −2 ∗ x ∗ 5

De donde se tiene que: (x − 5)2 = x2 + 25 − 10x

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Cuadrado del primero... x2

...mas cuadrado del segundo...52

...menos el doble del primero por el segundo: −2 ∗ x ∗ 5

De donde se tiene que: (x − 5)2 = x2 + 25 − 10x

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Suma por diferencia

La suma de dos monomios por su diferencia es igual a ladiferencia de sus cuadrados

(a + b) ∗ (a− b) = a2 − b2

Ejemplo de Suma por Diferencia

Se nos pide calcular el valor de (x + 5) ∗ (x − 5)

Cuadrado del primero....x2

...menos cuadrado del segundo...−52

De donde se tiene que: (x + 5) ∗ (x − 5) = x2 − 52

De donde tenemos que: (x + 5) ∗ (x − 5) = x2 − 25

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(a + b) ∗ (a− b) = a2 − b2

Ejemplo de Suma por Diferencia

Se nos pide calcular el valor de (x + 5) ∗ (x − 5)

Cuadrado del primero....x2

...menos cuadrado del segundo...−52

De donde se tiene que: (x + 5) ∗ (x − 5) = x2 − 52

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(a + b) ∗ (a− b) = a2 − b2

Ejemplo de Suma por Diferencia

Se nos pide calcular el valor de (x + 5) ∗ (x − 5)

Cuadrado del primero....x2

...menos cuadrado del segundo...−52

De donde se tiene que: (x + 5) ∗ (x − 5) = x2 − 52

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Ejemplo de Suma por Diferencia

Se nos pide calcular el valor de (x + 5) ∗ (x − 5)

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...menos cuadrado del segundo...−52

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(a + b) ∗ (a− b) = a2 − b2

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Se nos pide calcular el valor de (x + 5) ∗ (x − 5)

Cuadrado del primero....x2

...menos cuadrado del segundo...−52

De donde se tiene que: (x + 5) ∗ (x − 5) = x2 − 52

De donde tenemos que: (x + 5) ∗ (x − 5) = x2 − 25

Antonio Enrıquez Padial TEMA 5 - ALGEBRA

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Suma por diferencia

La suma de dos monomios por su diferencia es igual a ladiferencia de sus cuadrados

(a + b) ∗ (a− b) = a2 − b2

Ejemplo de Suma por Diferencia

Se nos pide calcular el valor de (x + 5) ∗ (x − 5)

Cuadrado del primero....x2

...menos cuadrado del segundo...−52

De donde se tiene que: (x + 5) ∗ (x − 5) = x2 − 52

De donde tenemos que: (x + 5) ∗ (x − 5) = x2 − 25

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(a + b) ∗ (a− b) = a2 − b2

Ejemplo de Suma por Diferencia

Se nos pide calcular el valor de (x + 5) ∗ (x − 5)

Cuadrado del primero....x2

...menos cuadrado del segundo...−52

De donde se tiene que: (x + 5) ∗ (x − 5) = x2 − 52

De donde tenemos que: (x + 5) ∗ (x − 5) = x2 − 25

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(a + b) ∗ (a− b) = a2 − b2

Ejemplo de Suma por Diferencia

Se nos pide calcular el valor de (x + 5) ∗ (x − 5)

Cuadrado del primero....x2

...menos cuadrado del segundo...−52

De donde se tiene que: (x + 5) ∗ (x − 5) = x2 − 52

De donde tenemos que: (x + 5) ∗ (x − 5) = x2 − 25

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Ejercicios

Pagina 117, ejercicios 1,2,4,5

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