Álgebra elemental

188

Upload: donar

Post on 10-Feb-2016

118 views

Category:

Documents


4 download

DESCRIPTION

Álgebra elemental. Las cuatro operaciones fundamentales Productos notables y factorización Fracciones Ecuaciones de primer grado Funciones y gráficas Ecuaciones simultaneas de primer grado Exponentes radicales Ecuaciones de segundo grado Razones, proporciones y variaciones Logaritmos. - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Page 1: Álgebra elemental
Page 2: Álgebra elemental

1.Las cuatro operaciones fundamentales2.Productos notables y factorización3.Fracciones4.Ecuaciones de primer grado5.Funciones y gráficas6.Ecuaciones simultaneas de primer grado7.Exponentes radicales8.Ecuaciones de segundo grado9.Razones, proporciones y variaciones10.Logaritmos

Page 3: Álgebra elemental
Page 4: Álgebra elemental

1.El sistema de los números reales2.Definiciones básicas3.Adición y sustracción4.Símbolos de agrupación5.Multiplicación6.Exponentes en la multiplicación7.Productos que incluyen multinomios8.Los exponentes en la división9.Divisiones que incluyen multinomios10.Operaciones en que aparece el cero

Page 5: Álgebra elemental
Page 6: Álgebra elemental

Las operaciones fundamentales del álgebra son la adición, la sustracción, la multiplicación y la división.

Page 7: Álgebra elemental

El primer paso en la creación del sistema de los números reales fue la invención de los enteros positivos 1, 2, 3 ... , o números empleados para contar un conjunto de objetos.

Page 8: Álgebra elemental

Los números enteros positivos

ó números naturales

1,2,3,

los denotaremos como

N

Page 9: Álgebra elemental

Cuando uno suma dos números naturales (dos números enteros positivos) el resultado es, siempre, otro número natural.

Page 10: Álgebra elemental

Cuando uno suma dos números naturales (dos números enteros positivos) el resultado es, siempre, otro número natural.

Se dice entonces que el conjunto de los números naturales es cerrado con respecto a la operación de suma.

Page 11: Álgebra elemental

Cuando uno multiplica dos números naturales (dos números enteros positivos) el resultado es, siempre, otro número natural.

Page 12: Álgebra elemental

Cuando uno multiplica dos números naturales (dos números enteros positivos) el resultado es, siempre, otro número natural.

Se dice entonces que el conjunto de los números naturales es cerrado con respecto a la operación de multiplicación.

Page 13: Álgebra elemental

Sin embargo, si uno sustrae dos números enteros positivos, el resultado no necesariamente es un número entero positivo.

Page 14: Álgebra elemental

Sin embargo, si uno sustrae dos números enteros positivos, el resultado no necesariamente es un número entero positivo.

Por ejemplo, si tenemos

7 9 ?

Page 15: Álgebra elemental

Lo mismo sucede en el caso de la división.El cociente de dos números enteros positivos, no es en general un número entero.

Page 16: Álgebra elemental

Evidentemente, un conjunto numérico es inadecuado si la suma, el producto, la diferencia o el cociente de dos de los números del sistema no es también un elemento del sistema.

Page 17: Álgebra elemental

Evidentemente, un conjunto numérico es inadecuado si la suma, el producto, la diferencia o el cociente de dos de los números del sistema no es también un elemento del sistema.

Por ejemplo, no existe ningún entero positivo que sea igual a 5 - 9 ó a 5 ÷ 9. Esto es, la sustracción y la división sólo pueden aplicarse de manera limitada a los enteros positivos.

Page 18: Álgebra elemental

Se dice que un conjunto de números es un conjunto cerrado, para una operación, si al aplicar dicha operación a dos elementos del conjunto el resultado es también un elemento del conjunto.

Page 19: Álgebra elemental

Puesto que la suma y el producto de dos enteros positivos cualesquiera es también un entero positivo, entonces el conjunto de los enteros positivos es un conjunto cerrado con respecto a la adición y la multiplicación

Se dice que un conjunto de números es un conjunto cerrado, para una operación, si al aplicar dicha operación a dos elementos del conjunto el resultado es también un elemento del conjunto.

Page 20: Álgebra elemental

Se dice que un conjunto de números es un conjunto cerrado, para una operación, si al aplicar dicha operación a dos elementos del conjunto el resultado es también un elemento del conjunto.

En cambio, la diferencia y el cociente de dos enteros positivos no conduce siempre a un entero positivo, esto es, el conjunto de los enteros positivosno es un conjunto cerrado con respecto a la sustracción y la división.

Page 21: Álgebra elemental

Es así como se origina la necesidad de ampliar el sistema. (Recuérdeseque el sistema numérico es una invención).

Se dice que un conjunto de números es un conjunto cerrado, para una operación, si al aplicar dicha operación a dos elementos del conjunto el resultado es también un elemento del conjunto.El conjunto de los enteros positivos no es un conjunto cerrado con respecto a la sustracción y la división.

Page 22: Álgebra elemental

La solución de problemas prácticos, esencialmente la solución de ecuaciones, llevo, de manera natural, a la introducción de los números enteros negativos.

Page 23: Álgebra elemental

Si tengo 4 pesos y un pan cuesta 5, ¿cuánto tengo?

¿4-5=?

Page 24: Álgebra elemental

Así el conjunto de los números enteros está constituido por los números naturales, el cero y los números enteros negativos.

Page 25: Álgebra elemental

El conjunto de los números enteros

..., 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,...

lo denotaremos como

Z

Page 26: Álgebra elemental

..., 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,... Z

El conjunto de los números enteros es cerrado para las operaciones de suma, resta y multiplicación.

Page 27: Álgebra elemental

¿Qué número multiplicado por 2 nos da 1?

Page 28: Álgebra elemental

¿Qué número multiplicado por 2 nos da 1?

Evidentemente esta pregunta no tiene respuesta “dentro de los números enteros”.El conjunto de los números enteros no es cerrado con respecto a la operación de división.

Page 29: Álgebra elemental

¿Qué número multiplicado por 2 nos da 1?El conjunto de los números enteros no es cerrado con respecto a la operación de división.

Para responder esta pregunta tenemos que “inventar” los números racionales.

Page 30: Álgebra elemental

Los números racionales son aquellos que se escriben como el cociente de dos números enteros.

Page 31: Álgebra elemental

Los números racionales son aquellos que se escriben como el cociente de dos números enteros.

Las fracciones son los números racionales.

3 7 1 1 23Los números , , , ,

5 3 9 2 54son números racionales.

Page 32: Álgebra elemental

A los números racionales

los denotaremos como

Q

Page 33: Álgebra elemental

Notese que los números racionales

contienen a los números enteros,

que a su vez, contienen a los

números naturales.

Es decir,

N Z Q

Page 34: Álgebra elemental

Existen números, como 2 que

no se puede expresar como el

cociente de dos números enteros.

A dichos números se les llama

.números irracionales

Page 35: Álgebra elemental

Al conjunto de todos los números,

se les llama .números reales

Page 36: Álgebra elemental

La interpretación de los números como distancias es útil para definir y para comprender las ampliaciones del sistema numérico.

Page 37: Álgebra elemental

L´L

Page 38: Álgebra elemental

Interpretación de los números como distancias. La interpretaciónde los números como distancias es útil para definir y para comprenderlas ampliaciones mencionadas del sistema numérico. Para ello se usaránla línea recta indefinida L' L (Fig. 1.1), un punto O fijo sobre ella,y la unidad de distancia u. A la derecha de O se trazan intervalos delongitud u, obteniéndose los puntos que aparecen debajo de li línea.Luego, a partir del primer punto a la derecha de O, se colocan sucesi·vamente los enteros 1, 2, 3 ... Se tiene así la certeza de que cada unode los puntos marcados en la línea está asociado tanto con uno de losnúmeros enteros como con una distancia que representa a cada uno

Page 39: Álgebra elemental
Page 40: Álgebra elemental

Definición del sistema de los números reales, Se define el conjuntade los números reales como el conjunto de los números r que se puedenasociar con puntos R situados sobre una línea recta de tal maneraque cada punto R está a una distancia r del punto fijo O. Si R está a laderecha de O, r es positivo; si R está a la izquierda de O, r es negativo;si R coincide con O, r es cero, Cero no es positivo ni negativo y separa,además, a los números positivos de los números negativos.

Page 41: Álgebra elemental

El valor absoluto o valor numérico de un número se define como sigue:a)El valor absoluto o valor numérico

de un número real positivo es el número mismo.

b)El valor absoluto o valor numérico de un número real negativo es el mismo número con signo opuesto.

Page 42: Álgebra elemental

El valor absoluto o valor numérico de un número es el número “en si”, sin el signo.

El valor absoluto, es por tanto, siempre un número positivo.

Page 43: Álgebra elemental

El valor absoluto de un número n, se representa por medio del símbolo│n│y se puede imaginar como la distancia entre O y el punto que representa a n en la escala de los números reales.

Page 44: Álgebra elemental
Page 45: Álgebra elemental

El valor absoluto o valor numérico de un número se define como sigue:a)El valor absoluto o valor numérico

de un número real positivo es el número mismo.

b)El valor absoluto o valor numérico de un número real negativo es el mismo número con signo opuesto.

Page 46: Álgebra elemental

1.El sistema de los números reales2.Definiciones básicas3.Adición y sustracción4.Símbolos de agrupación5.Multiplicación6.Exponentes en la multiplicación7.Productos que incluyen multinomios8.Los exponentes en la división9.Divisiones que incluyen multinomios10.Operaciones en que aparece el cero

Page 47: Álgebra elemental
Page 48: Álgebra elemental

Un grupo de números y letras combinadas entre sí mediante una o más de las operaciones fundamentales recibe el nombre de expresión algebraica.

Page 49: Álgebra elemental

Un grupo de números y letras combinadas entre sí mediante una o más de las operaciones fundamentales recibe el nombre de expresión algebraica.

2 2

3 2

Las siguientes son expresiones algebráicas:

5 3

2

1 1 13

x y

a ab b

qw r rf q r

Page 50: Álgebra elemental

Un número o una letra, o varios números y letras, combinados entre sí mediante las operaciones de multiplicación o de división, o de ambas, recibe el nombre de término

Page 51: Álgebra elemental

Un número o una letra, o varios números y letras, combinados entre sí mediante las operaciones de multiplicación o de división, o de ambas, recibe el nombre de término

3

3 4

2

2 3

Ejemplos:

3

3

23

37

xy z

a b c

x y

d f

Page 52: Álgebra elemental

Puesto que un término no implica ni adición ni sustracción, todo grupo de letras que en una expresión algebraica esté separado de otros grupos mediante los signos más o menos es un término.

Page 53: Álgebra elemental

De acuerdo con lo anterior, el signo de un término es el signo que lo precede.

Puesto que un término no implica ni adición ni sustracción, todo grupo de letras que en una expresión algebraica esté separado de otros grupos mediante los signos más o menos es un término.

Page 54: Álgebra elemental

Puesto que un término no implica ni adición ni sustracción, todo grupo de letras que en una expresión algebraica esté separado de otros grupos mediante los signos más o menos es un término. De acuerdo con lo anterior, el signo de un término es el signo que lo precede.

2 3 2 4 7

2 3 2 4 7

En la expresión

2 13 5

3 2son términos

2 13 , 5 , ,

3 2y los que están en rojo son sus signos.

x y x y z xyz x yz

x y x y z xyz x yz

Page 55: Álgebra elemental

Si un término está compuesto de un número y una o más letras, el número recibe el nombre de coeficiente numérico de las letras en el término.

Page 56: Álgebra elemental

Si un término está compuesto de un número y una o más letras, el número recibe el nombre de coeficiente numérico de las letras en el término.

2 3 2 4 7

En los términos

2 13 , 5 , ,

3 2los coeficientes numéricos son:

2 1+3, 5, , +

3 2

x y x y z xyz x yz

Page 57: Álgebra elemental

Si un término está compuesto de un número y una o más letras, el número recibe el nombre de coeficiente numérico de las letras en el término.

Comúnmente al hablar del coeficiente numérico se dice simplemente el coeficiente.

Page 58: Álgebra elemental

Una expresión algebraica que contiene solamente un término se denominamonomio.

Page 59: Álgebra elemental

Una expresión algebraica que contiene exactamente dos términos se denominabimonomio.

Page 60: Álgebra elemental

Una expresión algebraica que contiene exactamente tres términos se denominatrinomio.

Page 61: Álgebra elemental

Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se denominanmultinomios.

Page 62: Álgebra elemental

En realidad se le puede decir multinomio a cualquier expresión algebraica que contenga más de un término.

Page 63: Álgebra elemental

1.El sistema de los números reales2.Definiciones básicas3.Adición y sustracción4.Símbolos de agrupación5.Multiplicación6.Exponentes en la multiplicación7.Productos que incluyen multinomios8.Los exponentes en la división9.Divisiones que incluyen multinomios10.Operaciones en que aparece el cero

Page 64: Álgebra elemental
Page 65: Álgebra elemental

En álgebra los términos suma y diferencia se usan en el mismo sentido que en aritmética, si se aplican a números positivos.Sin embargo, su aplicación a números negativos hace necesario precisar el procedimiento de adición.

Page 66: Álgebra elemental

Esta operación más amplia, que se conoce como adición algebraica, se describe en el regla siguiente:La suma algebraica de dos números con el mismo signo es la suma de los valores absolutos de los dos números, precedida de su signo común; la suma algebraica de dos números con signo diferente es la diferencia de los valores absolutos de los números, precedida por el signo del número de mayor valor absoluto.

Page 67: Álgebra elemental

Para hacer la suma de varios términos que poseen las mismas letras, se efectúa la suma aritmética de los coeficientes y se agrega el grupo de letras.

3 3 3

2 2 2 2 2 2

La suma de 4 y 7 es: 11

La suma de 3 y 2 es: 5

La suma de 12 y 9 es: 3

a b a b a b

x y z x y z x y z

st st st

Page 68: Álgebra elemental

La suma de dos o más términos que contienen letras diferentes puede ser solamente expresada colocando un signo más entre ellos.

Page 69: Álgebra elemental

La suma de dos o más términos que contienen letras diferentes puede ser solamente expresada colocando un signo más entre ellos.

Por ejemplo, la suma de-1ab y 3cdes-1ab + 3cd.

Page 70: Álgebra elemental

En aritmética se puede comprobar que, para cualquier par de números que se ensaye, la suma es la misma independientemente del orden en que se efectúe la adición. Esto se conoce como la propiedad conmutativa de la adición.Consideraremos que esto es cierto para todos los números y tendremos entonces el axioma siguiente:

Page 71: Álgebra elemental

La adición es conmutativa.

Es decir,

a b b a

Page 72: Álgebra elemental

Otra propiedad de la adición, que puede comprobarse fácilmente para cualesquiera tres o más números dados, es que la suma es la misma independientemente del orden en el cual los números se adicionen.

Page 73: Álgebra elemental

Otra propiedad de la adición, que puede comprobarse fácilmente para cualesquiera tres o más números dados, es que la suma es la misma independientemente del orden en el cual los números se adicionen.

Por ejemplo,

2 + 3 + 7 = 5 + 7 = 2 + 10 = 9 + 3 = 12.

Page 74: Álgebra elemental

Consideraremos que esta propiedad, conocida como la propiedad asociativa de la adición, es válida para todos los números.De ese modo tenemos el axioma siguiente, en el cual los paréntesis se usan para indicar el orden en que se efectúa la adición:

Page 75: Álgebra elemental

La adición es asociativa.

Es decir,

a b c a b c

Page 76: Álgebra elemental

Estos dos axiomas son la base del procedimiento usual para encontrar la suma de dos o más expresiones.Esto es, del procedimiento en el cual se escribe cada expresión debajo de la que le precede, y al mismo tiempo, se ordenan los términos de tal modo que los que contienen las mismas letras queden formando columnas.

Page 77: Álgebra elemental

2

2

2

umar las expresiones

3 + 1;

2 2 3 ;

4 3

S

x x

x x

x x

Page 78: Álgebra elemental

2

2

2

3 1

2 3 2

4 3

x x

x x

x x

2 2 2

umar las expresiones

3 + 1; 2 2 3 ; 4 3

S

x x x x x x

Page 79: Álgebra elemental

El proceso de restar o sustraer

de

equivale a encontrar una ,

tal que

b a

x

a b x

Page 80: Álgebra elemental

Se determina sumando

a cada miembro de la igualdad,

obteniéndose

x b

a b b x b x

El proceso de restar o sustraer de

equivale a encontrar una , tal que

b a

x a b x

Page 81: Álgebra elemental

Con ello se verifica la regla usual de la sustracción: Para restar una cantidad de otra se cambia el signo del “sustraendo” y se procede como en la adición.

Page 82: Álgebra elemental

1.El sistema de los números reales2.Definiciones básicas3.Adición y sustracción4.Símbolos de agrupación5.Multiplicación6.Exponentes en la multiplicación7.Productos que incluyen multinomios8.Los exponentes en la división9.Divisiones que incluyen multinomios10.Operaciones en que aparece el cero

Page 83: Álgebra elemental
Page 84: Álgebra elemental

Cuando un grupo de términos en una expresión algebraica van a ser manejados como un solo número, se encierran en paréntesis, ( ); en corchetes, [ ]; o bien en llaves, { }.

Page 85: Álgebra elemental

Estos símbolos se usan también para indicar que se van a efectuar ciertas operaciones algebraicas y el orden en el cual deben efectuarse.

Page 86: Álgebra elemental

Con objeto de efectuar las operaciones indicadas mediante el uso de los símbolos de agrupación, se necesita quitar dichos símbolos antes de llevar a cabo la operación final.

Page 87: Álgebra elemental

Si la operación indicada es la adición, se puede, por el axioma de la asociatividad, omitir los símbolos de agrupación y combinar los términos en el orden que se desee.

Page 88: Álgebra elemental

Si la operación indicada es la sustracción, el grupo de términos encerrados en el paréntesis precedido del signo menos, es el sustraendo.

Page 89: Álgebra elemental

Si la operación indicada es la sustracción, el grupo de términos encerrados en el paréntesis precedido del signo menos, es el sustraendo.

Por tanto, de acuerdo con la definición de sustracción, se cambian todos los signos del sustraendo, se omiten los símbolos de agrupación y se combinan después los términos en el orden que se desee.

Page 90: Álgebra elemental

Se tiene el siguiente procedimiento para eliminar los símbolos de agrupación en una expresión algebraica:

Si en una expresión algebraica es necesario eliminar la pareja de símbolos de agrupación precedido por un signo menos, debe cambiarseel signo de cada uno de los términos encerrados por estos símbolos.

Page 91: Álgebra elemental

Se tiene el siguiente procedimiento para eliminar los símbolos de agrupación en una expresión algebraica:

Sin embargo, si los símbolos de agrupación están precedidos por un signo más, pueden eliminarse sin ningún cambio en la expresión.

Page 92: Álgebra elemental

Si en una expresión algebraica es necesario insertar un par de símbolos de agrupación precedido de un signo menos, deben cambiarse los signos de cada uno de los términos que quedan encerrados.

Page 93: Álgebra elemental

Cuando una expresión algebraica contiene uno o más pares de símbolos de agrupación, encerrados en otro par, se eliminará primero el de más adentro.

Page 94: Álgebra elemental
Page 95: Álgebra elemental

1.El sistema de los números reales2.Definiciones básicas3.Adición y sustracción4.Símbolos de agrupación5.Multiplicación6.Exponentes en la multiplicación7.Productos que incluyen multinomios8.Los exponentes en la división9.Divisiones que incluyen multinomios10.Operaciones en que aparece el cero

Page 96: Álgebra elemental
Page 97: Álgebra elemental

El producto de dos números

y

se expresa como:

a b

a b

a b

ab

Page 98: Álgebra elemental

a bMultiplicando Multiplicador

Page 99: Álgebra elemental

a bProducto

Page 100: Álgebra elemental

Cada uno de los números que aparecen en el producto, o el producto de dos o más de ellos, es un factor del producto.

Page 101: Álgebra elemental

Ya que cualquier número nes igual an×1resulta que n es un factor de sí mismo.

Page 102: Álgebra elemental

Cualquier número que no tenga otro factor que él mismo y uno, se llama número primo.

Page 103: Álgebra elemental

La multiplicación es conmutativa,

esto es

a b b a

Page 104: Álgebra elemental

La multiplicación es asociativa,

esto es

a bc ab c

Page 105: Álgebra elemental

La multiplicación es distributiva

con respecto a la adición,

esto es

a b c ab ac

Page 106: Álgebra elemental

El producto de dos factores del

mismo signo es positivo.

El producto de dos factores de

signos diferentes es negativo

Page 107: Álgebra elemental

1.El sistema de los números reales2.Definiciones básicas3.Adición y sustracción4.Símbolos de agrupación5.Multiplicación6.Exponentes en la multiplicación7.Productos que incluyen multinomios8.Los exponentes en la división9.Divisiones que incluyen multinomios10.Operaciones en que aparece el cero

Page 108: Álgebra elemental
Page 109: Álgebra elemental

2

El producto

se escribe

y se llama cuadrada.

a a

a

a

Page 110: Álgebra elemental

3

El producto

se escribe

y se llama cúbica.

a a a

a

a

Page 111: Álgebra elemental

El producto

...

veces, se escribe

y se llama enésima potencia de

ó a la .

n

a a a a

n a

a

a n

Page 112: Álgebra elemental

Si es un entero positivo, el símbolo

se denomina la enésima potencia de

y es el producto de factores, cada uno

de los cuales es .

nn a

a

n

a

Page 113: Álgebra elemental

Si es un entero positivo, el símbolo

se denomina la enésima potencia de

y es el producto de factores, cada uno

de los cuales es .

nn a

a

n

a

La letra se llama la base

y el exponente.

a

n

Page 114: Álgebra elemental

naLa base

El exponente

Page 115: Álgebra elemental

Podemos enunciar

el siguiente teorema:n m n ma a a

Page 116: Álgebra elemental

n m n ma a a

veces veces

veces

Demostración:

... ...

Como la multiplicación es asociativa,

...

Y por la definición de potenciación,

n m

n m

n m

n m

n m n m

a a a a a a a a a a

a a a a a a

a a a

Page 117: Álgebra elemental

Teorema:

nn na b ab

Page 118: Álgebra elemental

nn na b ab

veces veces

veces

Demostración:

... ...

Como la multiplicación es asociativa,

...

Y por la definición de potenciación,

n n

n n

n n

n

nn n

a b a a a a b b b b

a b ab ab ab ab

a b ab

Page 119: Álgebra elemental

Teorema:

pn npa a

Page 120: Álgebra elemental

pn npa a

veces

veces

...

Demostración:

...

Por la primera ley de los

exponentes en la multiplicación,

y por tanto,

p

pn n n n n

p

n n n npn

pn np

a a a a a

a a

a a

Page 121: Álgebra elemental

1.El sistema de los números reales2.Definiciones básicas3.Adición y sustracción4.Símbolos de agrupación5.Multiplicación6.Exponentes en la multiplicación7.Productos que incluyen multinomios8.Los exponentes en la división9.Divisiones que incluyen multinomios10.Operaciones en que aparece el cero

Page 122: Álgebra elemental
Page 123: Álgebra elemental

El producto de un monomio por

un multinomio es la suma de los

productos del monomio por cada

uno de los términos del multinomio.

Page 124: Álgebra elemental

El producto de dos multinomios es

igual a la suma de los productos

obtenidos al multiplicar cada

término de un multinomio por

cada término del otro.

Page 125: Álgebra elemental
Page 126: Álgebra elemental
Page 127: Álgebra elemental
Page 128: Álgebra elemental

1.El sistema de los números reales2.Definiciones básicas3.Adición y sustracción4.Símbolos de agrupación5.Multiplicación6.Exponentes en la multiplicación7.Productos que incluyen multinomios8.Los exponentes en la división9.Divisiones que incluyen multinomios10.Operaciones en que aparece el cero

Page 129: Álgebra elemental
Page 130: Álgebra elemental

Si y son dos números y si 0,

se acostumbra indicar la división

de entre , sea por el uso del signo

de división , sea escribiendo

los dos números a modo de fracción, .

a b b

a b

a b

a

b

Page 131: Álgebra elemental

El número se llama dividendo,

el número se llama divisor

y el resultado de la operación

se llama cociente.

a

b

Page 132: Álgebra elemental

a

b

Dividendo

Divisor

Cociente

Page 133: Álgebra elemental

La ley de los signos para la división es

similar a la anteriormente establecida

para la multiplicación:

El cociente de dos números del mismo

signo es positivo.

El cociente de dos números de signos

diferentes es negativo.

Page 134: Álgebra elemental

El cociente de dos números del

mismo signo es positivo.

El cociente de dos números de

signos diferentes es negativo.

Page 135: Álgebra elemental

Teorema:

con 0, y enteros,

y .

mm n

n

aa

aa m n

m n

Page 136: Álgebra elemental

0

Demostración:

1

1

m m m m n n

n n n n

m n nm n m n

n

a a a a a a

a a a a

a aa a

a

Teorema: con 0, y enteros, y .m

m nn

aa a m n m n

a

Page 137: Álgebra elemental

Teorema:

con 0, y entero positivo.

n n

n

a a

b b

b n

Page 138: Álgebra elemental

1.El sistema de los números reales2.Definiciones básicas3.Adición y sustracción4.Símbolos de agrupación5.Multiplicación6.Exponentes en la multiplicación7.Productos que incluyen multinomios8.Los exponentes en la división9.Divisiones que incluyen multinomios10.Operaciones en que aparece el cero

Page 139: Álgebra elemental
Page 140: Álgebra elemental

El cociente que se obtiene al dividir

un multinomio entre un monomio

es la suma de los cocientes que

resultan de dividir cada término

del multinomio por el monomio.

Page 141: Álgebra elemental

El cociente que se obtiene al dividir un multinomio entre

un monomio es la suma de los cocientes que resultan de

dividir cada término del multinomio por el monomio.

Page 142: Álgebra elemental

El cociente que se obtiene al dividir un multinomio entre

un monomio es la suma de los cocientes que resultan de

dividir cada término del multinomio por el monomio.

2 3 2 2 23 12 21

3

x yz x y z xyz

xyz

Page 143: Álgebra elemental

El cociente que se obtiene al dividir un multinomio entre

un monomio es la suma de los cocientes que resultan de

dividir cada término del multinomio por el monomio.

2 3 2 2 2

2 3 2 2 2

2

3 12 21

3

3 12 21

3 3 3

4 7

x yz x y z xyz

xyz

x yz x y z xyz

xyz xyz xyz

x x yz z

Page 144: Álgebra elemental

Para dividir

un multinomio por otro multinomio

se efectúan los siguientes pasos:

Page 145: Álgebra elemental

1. Tanto el dividendo como el divisor

se disponen en orden ascendente

o descendente de las potencias de

alguna letra que aparezca en ambos.

Page 146: Álgebra elemental

2. Se divide el primer término del

dividendo por el primer término

del divisor y se obtiene así el

primer término del cociente.

Page 147: Álgebra elemental

3. Se multiplica el divisor por el

primer término del cociente y el

producto obtenido se sustrae

del dividendo.

Page 148: Álgebra elemental

4. El residuo obtenido en el paso

anterior se trata como un nuevo

divisor y se repiten con él los

pasos 2 y 3.

Page 149: Álgebra elemental

5. Se continúa este proceso hasta

obtener un residuo en el cual el

mayor exponente de la letra que

en el paso 1 se escogió como base

de la ordenación sea menor que

el mayor exponente de dicha letra

en el divisor.

Page 150: Álgebra elemental

Para dividir un multinomio por otro multinomio se efectúan los siguientes

pasos:

1. Tanto el dividendo como el divisor se disponen en orden ascendente

o descendente de las potencias de alguna letra que aparezca en

ambos.

2. Se divide el primer término del dividendo por el primer término

del divisor y se obtiene así el primer término del cociente.

3. Se multiplica el divisor por el primer término del cociente y el

producto obtenido se sustrae del dividendo.

4. El residuo obtenido en el paso anterior se trata como un nuevo

divisor y se repiten con él los pasos 2 y 3.

5. Se continúa este proceso hasta obtener un residuo en el cual el

mayor exponente de la letra que en el paso 1 se escogió como base de

la ordenación sea menor que el mayor exponente de dicha letra en el

divisor.

Page 151: Álgebra elemental

2 2

Dividir

2 2 3

entre

2

b a ab

a b

Page 152: Álgebra elemental

2 22 2 3

21. Tanto el dividendo como el divisor se disponen en orden ascendente

o descendente de las potencias de alguna letra que aparezca en ambos.

b a ab

a b

2 22 3 2

2

a ab b

a b

Page 153: Álgebra elemental

2 22 3 2

21. Tanto el dividendo como el divisor se disponen en orden ascendente

o descendente de las potencias de alguna letra que aparezca en ambos.

a ab b

a b

2 22 2 3 2a b a ab b

Page 154: Álgebra elemental

2 22 3 2

21. Tanto el dividendo como el divisor se disponen en orden ascendente

o descendente de las potencias de alguna letra que aparezca en ambos.

a ab b

a b

2 22 2 3 2a b a ab b

Page 155: Álgebra elemental

2 22 2 3 2

2. Se divide el primer término del dividendo por el primer término

del divisor y se obtiene así el primer término del cociente.

a b a ab b

2 2

2 2 3 2

aa b a ab b

Page 156: Álgebra elemental

2 2

2 2 3 2

3. Se multiplica el divisor por el primer término del cociente

y el producto obtenido se sustrae del dividendo.

aa b a ab b

2 2

2

2

2 2 3 2

2 ______________ 4 2

aa b a ab b

a abab b

Page 157: Álgebra elemental

4. El residuo obtenido en el paso anterior se trata como

un nuevo divisor y se repiten con él los pasos 2 y 3.

2 2

2

2

2 2 2 3 2

2 ______________ 4 2

a ba b a ab b

a abab b

Page 158: Álgebra elemental

4. El residuo obtenido en el paso anterior se trata como

un nuevo divisor y se repiten con él los pasos 2 y 3.

2 2

2

2

2

2 2 2 3 2

2 ______________ 4 2 4 2 __________ 0

a ba b a ab b

a abab bab b

Page 159: Álgebra elemental

5. Se continúa este proceso hasta obtener un residuo en el cual el

mayor exponente de la letra que en el paso 1 se escogió como base de

la ordenación sea menor que el mayor exponente de dicha letra en el

divisor.

2 2

2

2

2

2 2 2 3 2

2 ______________ 4 2 4 2 __________ 0

a ba b a ab b

a abab bab b

Page 160: Álgebra elemental

2 22 2 32

2

b a aba b

a b

Page 161: Álgebra elemental

2 2 3 2 2

2 2

Dividir

10 5 2 4 2

entre

2 5

xy y x x x y xy

xy x y

Page 162: Álgebra elemental

2 2 3 2 2

2 2

10 5 2 4 2

2 5

1. Tanto el dividendo como el divisor se disponen en orden ascendente

o descendente de las potencias de alguna letra que aparezca en ambos.

xy y x x x y xy

xy x y

3 2 2 2 2

2 2

Elegimos la letra que aparece tanto

en el dividendo como en el divisor

2 4 2 10 5

2 5

x

x x x y xy xy y

x xy y

Page 163: Álgebra elemental

3 2 2 2 2

2 2

2 4 2 10 5

2 5

1. Tanto el dividendo como el divisor se disponen en orden ascendente

o descendente de las potencias de alguna letra que aparezca en ambos.

x x x y xy xy y

x xy y

2 2 3 2 2 2 22 5 2 4 2 10 5x xy y x x x y xy xy y

Page 164: Álgebra elemental

2 2 3 2 2 2 22 5 2 4 2 10 5

2. Se divide el primer término del dividendo por el primer término

del divisor y se obtiene así el primer término del cociente.

x xy y x x x y xy xy y

2 2 3 2 2 2 2

2 2 5 2 4 2 10 5

xx xy y x x x y xy xy y

Page 165: Álgebra elemental

2 2 3 2 2 2 2

2 2 5 2 4 2 10 5

3. Se multiplica el divisor por el primer término del cociente

y el producto obtenido se sustrae del dividendo.

xx xy y x x x y xy xy y

2 2 3 2 2 2 2

3 2 2

2 2 5 2 4 2 10 5

2 4 10 _____________________________

xx xy y x x x y xy xy y

x x y xy

2 2 2 5x xy y

Page 166: Álgebra elemental

4. El residuo obtenido en el paso anterior se trata como

un nuevo divisor y se repiten con él los pasos 2 y 3.

2 2 3 2 2 2 2

3 2 2

2 1 2 5 2 4 2 10 5

2 4 10 _____________________________

xx xy y x x x y xy xy y

x x y xy

2 2 2 5x xy y

Page 167: Álgebra elemental

4. El residuo obtenido en el paso anterior se trata como

un nuevo divisor y se repiten con él los pasos 2 y 3.

2 2 3 2 2 2 2

3 2

2 +1 2 5 2 4 2 10 5

2 4 ______________________________

xx xy y x x x y xy xy y

x x y

2 2

2 2

2 5

2 5 __________________________

x xy y

x xy y

0

Page 168: Álgebra elemental

5. Se continúa este proceso hasta obtener un residuo en el cual el

mayor exponente de la letra que en el paso 1 se escogió como base de

la ordenación sea menor que el mayor exponente de dicha letra en el

divisor.

2 2 3 2 2 2 2

3 2

2 +1 2 5 2 4 2 10 5

2 4 ______________________________

xx xy y x x x y xy xy y

x x y

2 2

2 2

2 5

2 5 __________________________

x xy y

x xy y

0

Page 169: Álgebra elemental

2 2 3 2 2

2 2

10 5 2 4 2

2 5

2 1

xy y x x x y xy

xy x y

x

Page 170: Álgebra elemental
Page 171: Álgebra elemental

1.El sistema de los números reales2.Definiciones básicas3.Adición y sustracción4.Símbolos de agrupación5.Multiplicación6.Exponentes en la multiplicación7.Productos que incluyen multinomios8.Los exponentes en la división9.Divisiones que incluyen multinomios10.Operaciones en que aparece el cero

Page 172: Álgebra elemental
Page 173: Álgebra elemental

Si el cero es considerado como la ausencia

total de cantidad, entonces es evidente que:

0

0 0

y

00

n n

n

n

Page 174: Álgebra elemental

Tenemos las ecuaciones

0 1 0 y 0 2 0

Page 175: Álgebra elemental

Entonces, igualando: 0 1 0 2

0 0Dividiendo: 1 2

0 0Por tanto, 1 1 1

¡¡¡

2

y finalmente

¡¡ 1 2 !!!!!!

Tenemos las ecuaciones

0 1 0 y 0 2 0

Page 176: Álgebra elemental

2 2

Tenemos las ecuaciones:

0 y 0x x x x x

Page 177: Álgebra elemental

Igualando:

Dividiendo:

Simplific

1

ando:

Sumando: 2

y finalmente

2

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x xx x x

x x

2 2

Tenemos las ecuaciones:

0 y 0x x x x x

Page 178: Álgebra elemental

Si el cociente que se obtiene al dividir

entre se define como el valor de

tal que , entonces, para 0 y

0, se obtiene 0 , y, por tanto,

no existe valor de que satisfaga esa

expresión, ya q

a b a

a bx b

a a x

x

ue siempre 0 0.x

Page 179: Álgebra elemental

Si 0 y 0, entonces 0 0 ,

expresión que se satisface con

cualquier valor de ; esto es,

0, no existe como número único.

0

b a x

x

Page 180: Álgebra elemental

En consecuencia,

¡¡¡¡¡ la división entre cero

quedará excluida!!!!!

Page 181: Álgebra elemental

El símbolo se ha definido

cuando es un entero positivo,

pero esta definición carece de

significado cuando 0.

na

n

n

Page 182: Álgebra elemental

0

Sin embargo, si se exige que la ecuación

con 0, y enteros, y .

sea válida para , se tiene

con 0

mm n

n

nn n

n

aa a m n m n

am n

aa a a

a

Page 183: Álgebra elemental

0

0

En consecuencia, ya que es igual a 1,

el valor de se define como igual a 1 y

se tiene 1 con 0.

n

n

a

a

a

a a

Page 184: Álgebra elemental

0

0 0

0

Esta definición de es consistente

también con la ecuación ,

ya que .

Este es el resultado que debe esperarse

si =1.

n m n m

n n n

a

a a a

a a a a

a

Page 185: Álgebra elemental
Page 186: Álgebra elemental
Page 187: Álgebra elemental
Page 188: Álgebra elemental