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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
Volumen 21
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA VOLUMEN 21
Editora: Patricia Lestón
Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C. Editores Asociados: Cecilia Crespo Crespo, Carlos Oropeza Legorreta y Hugo Parra
Diseño de portada y CD: Liliana Álvarez Díaz
Dirección de Educación Continua del Instituto Politécnico Nacional Janet Ramírez Sandoval
CICATA‐IPN, Legaria Diseño de interiores: José Francisco Canché Gómez
CICATA‐IPN, Legaria Digitalización: Juan Gabriel Molina Zavaleta Christian Pérez Bohorquez
CICATA‐IPN, Legaria Edición: ©2008. Colegio Mexicano de Matemática Educativa A. C.
CMM 040505 IC7 Paseo de las Lomas 67. Parque Residencial Coacalco, CP 55720 Coacalco, Estado de México México
www.cmmedu.com ISBN: 978‐970‐9971‐15‐6
©2008. Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C. www.clame.org.mx
Se autoriza la reproducción total o parcial, previa cita a la fuente:
Lestón, P. (Ed.). (2008). Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, Vol. 21. México, DF: Colegio Mexicano de Matemática Educativa A. C. y Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.
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Consejo Directivo Gustavo Martínez Sierra
Presidente presidencia@clame.org.mx
Germán Beitía Secretario
secretario@clame.org.mx
Joaquín Padovani Tesorero
tesorero@clame.org.mx
Juan Raúl Delgado Rubí Vocal Caribe
vocal_caribe@clame.org.mx
Edison de Faria Vocal Centroamérica
vocal_centroamerica@clame.org.mx
Gisela Montiel Espinosa Vocal Norteamérica
vocal_norteamerica@clame.org.mx
Cecilia Crespo Crespo Vocal Sudamérica
vocal_sudamerica@clame.org.mx
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Consejo
Consultivo
Comisión
de Admisión
Egbert Agard
Ricardo Cantoral
Fernando Cajas
Guadalupe de Castillo
Evarista Matías
Rosa María Farfán
Teresita Peralta
Sandra Castillo
Eugenio Carlos
Liliana Homilka
Comisión de
Promoción Académica
Comité
Internacional de Relme
Javier Lezama
Edison de Faria
Yolanda Serres
Leonora Díaz Moreno
Mayra Castillo
Uldarico Malaspina
Leonora Díaz Moreno
Miguel Solís
Gustavo Bermúdez
Olga Pérez
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Comité Científico de Evaluación
Alanís, Juan Antonio Aparicio, Eddie Arcos, Ismael Ardila, Analida Arrieche Alvarado, Mario Ávila Godoy, Ramiro Bermúdez, Gustavo Blanco, Haydeé Blanco, Ramón Buendía Abalos, Gabriela Cabañas Sánchez, María Guadalupe Cadoche, Lilian Camacho, Alberto Campistrous, Luis Cantoral, Ricardo Carlos Rodríguez, Eugenio Carrasco, Eduardo Carrillo, Hugo Castañeda, Apolo Castillo, Sandra Cordero Osorio, Francisco Cortés Zabala, Carlos Crespo Crespo, Cecilia Dalcín, Mario De Faria, Edison Delgado, Raúl Delgado, César Díaz Moreno, Leonora Dolores, Crisólogo Engler, Adriana Espinoza, Lorena Espinoza, Pedro Farfán, Rosa María Gaita Ipaguirre, Rosa Cecilia García Zatti, Mónica Grijalva, Agustín Gutiérrez Alvarez, Milagros Homilka, Liliana Ibarra Olmos, Silvia Lara Galo, Claudia Lanza, Pierina
Lestón, Patricia Lezama, Javier Mántica, Ana María Marcolini Bernardi, Josefina Marta Mariscal, Elizabeth Martínez Sierra, Gustavo Mingüer Allec, Luz María Miranda Montoya, Eduardo Molfino, Verónica Molina, Juan Gabriel Montiel Espinsa, Gisela Muñoz, Germán Ochoviet, Teresa Cristina Ojeda Salazar, Ana María Olave, Mónica Oropeza Legorreta, Carlos Ortega del Rincón, Tomás Osorio Abrego, Héctor Parra, Hugo Pérez González, Olga Lidia Pérez, María del Carmen Piceno Rivera, Juan Carlos Ponteville, Christiane Reséndiz, Evelia Rey, José Luis Rizo Cabrera, Celia Rosas Mendoza, Alejandro Ruiz, Blanca Salat, Ramón Sánchez Aguilar, Mario Sardella, Oscar Scaglia, Sara Serna, Luis Arturo Serres, Yolanda Sierra, Modesto Tejada de Castillo, Guadalupe Testa Rodríguez, Yacir Valdivé, Carmen Valero, Socorro Velázquez Bustamante, Santiago Zúñiga, Leopoldo
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Tabla de Contenidos
CATEGORÍA 1: Análisis del currículum y propuestas para la enseñanza de las matemáticas Transformación lineal en contexto geométrico
Juan Gabriel Molina Zavaleta
1
Una reflexión sobre el propio aprendizaje. Su análisis desde la perspectiva de los estilos de aprendizaje Mercedes Anido, Ana María Craveri, María del Carmen Spengler
11
La visualización, como estrategia de estudio en el concepto de dependencia e independencia lineal
Carlos Oropeza Legorreta, Javier Lezama Andalón
23
Algunas reflexiones sobre resolución de problemas en matemáticas Edison De Faria Campos
32
Las competencias matemáticas en la formación del profesional de ciencias económicas Margarita del Valle Veliz, Blanca E. Lezana, María Angélica Pérez
40
Diferentes marcos en la resolución de problemas por demostrar Nora Ferreira, Estela Rechimont, Carlos Parodi
50
La ubicación del problema en la planificación de clase Mercedes Anido, Patricia Có, Martha Guzmán
60
Resolución de problemas en los programas de estudio de matemática del ministerio de educación pública de Costa Rica
Edison De Faria Campos
69
Organización del contenido de la disciplina matemática para ciencias técnicas José Manuel Ruiz Socarras, Gaspar Barreto Argilagos, Ramón Blanco Sánchez
78
El currículo escolar mexicano de las ciencias en el nivel medio Adriano Balám Narváez, Eddie Aparicio Landa
89
Un estudio del currículo matemático en sistemas educativos de nivel medio, una visión prospectiva
Erika Canché Góngora, Landy Sosa Moguel
99
Los contenidos de geometría en textos oficiales y su tratamiento didáctico Martha Imelda Jarero Kumul, María Guadalupe Ordaz Arjona
109
-
vii
Un estudio sobre el discurso en los libros de texto de matemáticas. Su relación con la práctica escolar
Mildred Maldonado, María Ordaz, María Rodríguez, Jorge Tuyub
118
Sistema de ecuaciones lineales: secuencia didáctica para su enseñanza María Rey Genicio, Clarisa Hernández, Silvia Forcinito
128
La producción de textos: una alternativa para evaluar en matemáticas Sandra Evely Parada Rico, Diana Jaramillo
139
Una clasificación de libros de cálculo basada en los programas de curso María Rosado, Ángel Estrella‐González, Belén Gamboa
150
Creencias y matemática: un estudio de casos Edison De Faria Campos
159
Actitudes generalizadas sobre la enseñanza de la matemática en el nivel medio Eduardo Canul Pech, Eddie Aparicio Landa
169
Aspectos afectivos intervinientes en el aprendizaje de la estadística: las actitudes y sus formas de evaluación
Ana Sofía Aparicio, Jorge Luis Bazán
180
Secuencia didáctica para la enseñanza de Programación Lineal María Rey Genicio, Clarisa Hernández, Silvia Forcinito
190
Un estudio del concepto de variable en los libros de texto Lina Morales Peral, José Luis Díaz Gómez
201
La comprensión de un concepto matemático y los registros de representación semiótica Estela Rechimont, Nora Ferreyra, Nora Andrada, Carlos Parodi
212
Una experiencia de autoevaluación y coevaluacion en grupos numerosos Marisa Angélica Digión, Beatriz del Carmen Autino
222
Enseñanza y comprensión de estocásticos en tercer grado de secundaria Orlando Vázquez Pérez; Ana María Ojeda Salazar
234
El concepto de función: una mirada desde las matemáticas escolares. Jhony Alexánder Villa Ochoa
245
Resultados académicos conforme a los hábitos y estrategias de aprendizaje Marta Golbach, Analía Mena, Graciela Abraham, María Rosa Rodríguez, Graciela Galindo, Mabel Rodríguez Anido
255
Algunas estrategias de la educación a distancia en la educación matemática universitaria tradicional
María del Carmen Spengler, Luisina Egidi, Ana María Craveri
267
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viii
Adquisición de la noción de cantidad: niños preescolares con lenguaje limitado Ignacio Garnica y Dovala, Hilda Eneyda González Ortiz
278
Modelos de enseñanza sobre razón y proporción Elena Fabiola Ruiz Ledesma, Marta Elena Valdemoros Álvarez
289
La factorización de polinomios. Una experiencia docente. Mariana Morales Vilorio
299
Dificultades conceptuales y procedimentales en el aprendizaje de funciones en estudiantes de bachillerato
Jesús López Cahun, Landy Sosa Moguel
308
Significados elementales y sistémicos de una ecuación de segundo grado Luis E. Capace P., Mario Arrieche
319
Las ideas previas sobre el cálculo integral en los alumnos de primer año de la universidad
Liliana Milevicich
329
La enseñanza y aprendizaje del cálculo integral en el contexto de primer año de la universidad
Liliana Milevicich
339
La integral definida como objeto de una ingeniería didáctica Ileana Pluss
350
Mostrando los conceptos didácticos en una clase de análisis matemático Ana Elisa Ibañez
362
Matemática aplicada a crisis empresariales María Rosa Rodríguez, Jesús A. Zeballos, Eduardo M. Nieto
373
Implicaciones epistemológicas en la comprensión de probabilidad en tercer grado de secundaria
Saúl Elizarrarás Baena, Ana María Ojeda Salazar
383
Las hipótesis previas para la enseñanza de la estadística básica en la universidad Teresita E. Terán, Mercedes Anido de López
394
Libros de texto y programas de cómputo en el aula del tercer ciclo de educación primaria María Patricia Flores Marroquín, Ana María Ojeda Salazar
406
Una actividad para el aprendizaje de la probabilidad, diseñada con el método histórico cultural de Vygotski y la teoría de la actividad de Leontiev
Jorge Gómez Arias
416
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ix
Modelos matemáticos a partir del modelo nomológico – deductivo de la explicación científica
Horacio A. Caraballo. Cecilia Z. González
427
Un estudio interpretativo sobre errores detectados en alumnos universitarios al calcular integrales
Raúl Katz, Natalia Sgreccia
436
¿Sobre qué nos enseñan los errores de nuestros alumnos? 25 años despues… Mónica Caserio, Martha Guzmán, Ana María Vozzi
447
Utilizacion del modelo de Lagrange para la Enseñanza de extremos condicionados Martha Beatriz Fascella, Hugo Víctor Masía
457
Estudio del comportamiento de la función a partir de la derivada. Análisis de una secuencia didáctica.
Adriana Engler, Silvia Vrancken, María Inés Gregorini, Daniela Müller, Marcela Hecklein, Natalia Henzenn
466
Identificación de dificultades en la enseñanza y el aprendizaje del cálculo a partir de los resultados de exámenes colegiados
José Alvaro Encinas Bringas, Luís Ángel Contreras Niño, Ruth Elba Rivera Castellón, Maximiliano De Las Fuentes Lara, Enrique René Bastidas Puga
477
Transformaciones básicas de las funciones Tulio Rafael Amaya De armas
487
Adquisición de la noción de cantidad: niños preescolares con lenguaje limitado Ignacio Garnica y Dovala, Hilda Eneyda González Ortiz
496
Dificultades para el aprendizaje de matemática discreta Mónica del Sastre, Erica Panella
507
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x
CATEGORÍA 2: El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación profesional Programa de matemática educativa en línea del Cicata ‐ IPN
Elizabeth Mariscal, Alejandro Miguel Rosas, Mario Sánchez
517
Prácticas docentes y errores de los alumnos Patricia Có, Mónica del Sastre, Erica Panella
527
La integración de una componente didáctica en la formación de profesores universitarios
Anido, M., Rubio Scola, H.
532
Estrategia de capacitación para la profesionalidad del docente de matemática en UNAPEC
Génova Féliz, Nancy Montes de Oca Recio
550
Contribuciones teóricas para caracterizar clases reflexivas de matemática en la escolaridad básica
Natalia Sgreccia, Marta Massa
560
Formación y capacitación de profesores. Una experiencia de fortalecimiento del discurso matemático escolar
Santiago Ramiro Velázquez, Oliver Texta Mongoy
571
La praxis de la didáctica de la matemática Martín Andonegui Zabala
582
Los primeros pasos de los futuros profesores de matemática Nilda Etcheverry, Norma Evangelista, Estela Torroba, Marisa Reid
594
La observación en el aula, como instrumento de evaluación. Una experiencia didáctica Lidia B Esper, Lidia Bénitez, Marta Torres, Sonia Benítez
605
Reconocimiento de algunas dificultades en la práctica docente sobre la enseñanza de fracciones: estudio de caso
Marta Elena Valdemoros Álvarez, Elena Fabiola Ruiz Ledezma
616
Un estudio cualitativo sobre las prácticas docentes en las aulas de matemáticas en el nivel medio
Martha Imelda Jarero Kumul, Mayra Anaharely Sarai Báez Melendres, Cristy Arely Cantú Interián, Karla Margarita Gómez Osalde
627
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xi
Criterios de idoneidad y argumentación en la evaluación de los cambios dentro de una comunidad de profesores de matemática
Vicenç Font, Ana B. Ramos
636
El diálogo asíncrono docente‐ investigador, como proceso de construcción colaborativa del conocimiento
María Eugenia Ramírez Solís, Liliana Suárez Téllez, Pedro Ortega Cuenca
646
Aproximación a la dimensión normativa en didáctica de las matemáticas desde un enfoque ontosemiótico
Juan D. Godino, Vicenç Font, Miguel R. Wilhelmi, Carlos de Castro
656
Metáforas y ontosemiótica. El caso de la representación gráfica de funciones en el discurso escolar
Vicenç Font, Jorge I. Acevedo, Marina Castells, Janete Bolite
667
Interpretación de los profesores del saber a enseñar. Reporte de una experiencia con profesores universitarios de álgebra en facultades de ingeniería
Silvia Elena Ibarra Olmos, Ramiro Ávila Godoy
677
Significados personales del paralelismo y geometría de los cuadriláteros en la formación de profesores de matemática
Mary Arrieche, Mario Arrieche, Belén Arrieche
686
¿Qué se investiga en educación matemática? Perspectivas de un investigador en desarrollo
Mario José Arrieche Alvarado
695
Procesos en matemáticas. Una perspectiva ontosemiótica Vicenç Font, Norma Rubio, Ángel Contreras
706
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xii
CATEGORÍA 3: Consideración de aspectos socioepistemológicos en el análisis y el rediseño del discurso matemático escolar Intuición y razón en la construcción del conocimiento matemático
Cecilia Crespo Crespo
717
El concepto de significado en la reconstrucción del conocimiento matemático Alberto Camacho Ríos
728
Socioepistemología y matemáticas Ricardo Cantoral, Rosa María Farfán
740
Significados asociados al punto de inflexión Alberto Camacho Ríos
754
Lo periódico en la relación de una función y sus derivadas Gabriela Buendía Abalos
765
Una visión socioepistemológica de la residencia Liliana Homilka, Javier Lezama
776
Identificando a geometria nas construções indígenas Lucélida de Fátima Maia da Costa
787
El contexto, la predicción y el uso de herramientas; elementos socioepistemológicos de la matematización de la economía.
Saúl Ezequiel Ramos Cancino
795
Euler: su concepto de serie numérica infinita y su influencia en la matemática del siglo XVIII.
Alejandro Miguel Rosas Mendoza
806
Las prácticas sociales que conforman la cultura matemática de los profesores del Instituto Tecnológico de Oaxaca.
Luz María Mingüer Allec
815
Acerca de la existencia de formas de argumentación construidas fuera de escenarios escolares que llegan al aula de matemática
Cecilia Crespo Crespo, Rosa M. Farfán, Javier Lezama
825
Construcción del infinito en escenarios no escolares Patricia Lestón, Apolo Castañeda
836
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xiii
Comunicando cambios en el tiempo: elementos para una situación didáctica
Eduardo Carrasco Henríquez, Leonora Díaz Moreno
846
Sobre las rupturas conceptuales en la construcción escolar de las funciones trigonométricas
Gustavo Martínez Sierra
857
Desarrollo de la noción de graficación en la antigüedad Apolo Castañeda Alonso
868
Matrices de sentido para las nociones de velocidad y tiempo Leonora Díaz Moreno
878
Docencia en matemáticas: hacia un modelo del profesor desde la perspectiva de la socioepistemología
Javier Lezama, Elizabeth Mariscal
889
Una visión socioepistemológica a través de la predicción en la conservación de la energía Hipólito Hernández Pérez
901
Elementos teóricos de la investigación: la formación de los docentes y sus creencias en el enfoque de la enseñanza de las matemáticas a través de la resolución de problemas
Leticia Téllez Hernández, Gustavo Martínez Sierra
911
Elementos históricos, epistemológicos y didácticos del concepto de función cuadrática Yadira Marcela Mesa, Jhony Alexánder Villa Ochoa
922
La integral definida: simplificación del límite en el proceso de enseñanza de la definición Eugenio Carlos Rodríguez
931
El carácter evolutivo de las prácticas sociales. El caso de la predicción Iván López‐Flores, Carolina Carrillo, Herminio Alatorre
939
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xiv
CATEGORÍA 4: Uso de la tecnología en el proceso de aprendizaje de las matemáticas La interacción docente ante la vinculación del entorno tecnológico en el ámbito escolar
Juana Acosta Ganém, Miguel Ángel Cruz Castillo
951
Los medios tecnológicos de apoyo en la enseñanza de las matemáticas Rogelio Ramos Carranza, Miguel Álvarez Gómez
962
La enseñanza y aprendizaje del cálculo integral mediante el uso de ordenador Liliana Milevicich, Alejandro Lois
973
La genesis instrumental en una situación de modelación del movimiento Eduardo Carlos Briceño Solís, Francisco Cordero Osorio
983
Experiencia de cátedra usando herramientas informáticas y el aprendizaje cooperativo María E. Ascheri, Rubén A. Pizarro
993
Introducción al lenguaje OCTAVE: aplicaciones a problemas de matemática María E. Ascheri, Rubén A. Pizarro
1004
Una propuesta didáctica para el estudio de funciones con la utilización de un software Daniela Müller, Adriana Engler, Silvia Vrancken
1015
Evaluación de un texto interactivo para enseñar funciones José Luis Díaz Gómez, Lina Morales Peral
1026
Diseño de actividades de matemáticas con el uso de tecnología Landy Sosa Moguel, Eddie Aparicio Landa, Jorge Tuyub Moreno
1036
Modelación del movimiento en un ambiente tecnológico: Una categoría de modelación‐graficación para el cálculo
Liliana Suárez Téllez, Francisco Cordero Osorio
1046
Un laboratorio tecnológico como sistema didáctico para el aula de matemáticas Gabriela Buendía Abalos, Adriana Cordero Guadarrama
1057
Actividades de probabilidad y estadística con tecnologías de la información y la comunicación
José Luis Torres Guerrero, Liliana Suárez Téllez, Blanca Ruiz Hernández, Pedro Ortega Cuenca, María Eugenia Ramírez Solis.
1067
Desarrollo de un tutorial web de cálculo numérico con herramientas de gestión de curso para la Universidad Nacional Experimental de Guayana
Sandra Castillo, Luzmín Núñez, Guillermo Perozo
1077
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xv
Acercamiento intuitivo al concepto de función derivada José Carlos Cortés Zavala
1088
Aproximaciones al valor de la integral definida utilizando una calculadora graficadora. Esther Ansola Hazday, Eugenio Carlos Rodríguez, Nelson Hernández Reyes, Pablo Gómez Fuentes, Débora Oliva Alfonso, Danelia Sánchez Camaraza
1099
Construcciones geométricas con calculadoras graficadoras Nelson Hernández Reyes, Esther Ansola Hazday, Eugenio Carlos Rodríguez, Pablo Gómez Fuentes
1109
Asistente matemático. Herramienta necesaria en la enseñanza de la matemática Pedro Castañeda Porras, Arely Quintero Silverio, Eugenio Hernández Vargas
1118
Enseñanza‐aprendizaje de ecuaciones diferenciales ordinarias con el uso de TIC’s Estela Torroba, Marisa Reid, Nilda Etcheverry
1127
Uso de la calculadora básica en la resolución de problemas aditivos Eduardo Basurto Hidalgo
1136
Cursos de matemáticas en la red. Cómo buscan los alumnos y qué los moviliza a abrir un sitio
Ana Lasserre, Josefina Royo, Celia Torres, Edna Agostini, Mercedes Naraskevicins
1144
Proyecto educativo. Procad Dora Fernández de Musomecci, Marta Susana Golbach, Ida Cristina Kempf de Gil, Carolina Ana Rotger
1155
Propuesta para la enseñanza del concepto de derivada, un acercamiento visual con Geogebra
Armando López Zamudio
1166
Un tutor interactivo para la enseñanza del álgebra: análisis de las condiciones para su implementación
Analía Mena de Pappalardo, Marta Golbach
1176
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xvi
Presentación El Acta Latinoamericana de Matemática Educativa (Alme) presenta una nueva edición. Y mantiene como lo hiciera desde su origen su espíritu de difusión e intercambio de producciones de profesores e investigadores en Matemática Educativa de toda Latinoamérica.
Los trabajos que integran esta edición fueron presentados durante Relme 21, Vigésimo Primera Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa, llevada a cabo en la ciudad de Maracaibo, Venezuela. Una vez finalizada la reunión, los ponentes sometieron sus trabajos a una nueva evaluación para incluirlos en esta Acta, con la intención de hacer llegar sus propuestas e investigaciones a un cada vez mayor número de colegas interesados y comprometidos con el crecimiento de nuestra disciplina.
Se busca con esta publicación un fortalecimiento de la profesionalización de la tarea docente y de la investigación en matemática educativa, observando las características locales compartidas por los colegas de Latinoamérica y distinguiendo en esta tarea la necesidad de generar un campo de conocimiento científico, reconocido dentro y fuera de nuestra comunidad. Año tras año, la difusión mediante una publicación de nivel académico, del estado del arte en materia de docencia e investigación en el campo de la matemática educativa en Latinoamérica es otro de los objetivos que el Comité Latinoamericano de Matemática Educativa cumple con esta publicación periódica.
Los trabajos han sido organizados según cuatro categorías:
Categoría 1: Análisis del Currículum y Propuestas para la Enseñanza de las Matemáticas.
Categoría 2: El Pensamiento del Profesor, sus Prácticas y Elementos para su Formación.
Categoría 3: Consideración de Aspectos Socioepistemológicos en el Análisis y Rediseño del Discurso Matemático Escolar.
Categoría 4: Uso de la Tecnología en el Proceso de Aprendizaje de las Matemáticas.
Los integrantes del Comité Editor y Comisión Académica del ALME 21, agradecen a todos los profesores e investigadores que enviaron sus artículos. Todo el trabajo que se requirió para llegar a este documento fue realizado con atención y dedicación, y especialmente, orgullo de poder haber colaborado con esta tarea.
Se agradece especialmente a los árbitros por su contribución solidaria y profesional, como asimismo y de manera especial a todos los colegas que de manera generosa y entusiasta nos regalaron su tiempo, inteligencia y creatividad para la realización de este proyecto.
Comisión Académica del
Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 2008
Mayo 2008
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Categoría 1
Análisis del currículum y
propuestas para la
enseñanza de las
matemáticas
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Categoría 1 Análisis del currículum y propuestas para la enseñanza de las matemáticas
Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.
1
Resumen. En este documento se discuten algunas ideas producto de la investigación de Molina (2004) que se trabajaron en un taller de la XXI Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa. El tema a discusión, los modelos mentales intuitivos (en el sentido de Fischbein, 1987, 1989) que un grupo de estudiantes manifestó acerca de la Transformación Lineal (TL) en un contexto geométrico.
Palabras clave: intuición, modelos mentales, transformación lineal
Introducción y objetivo
Este taller tuvo dos propósitos, en principio hacer concientes a los participantes acerca de
los modelos intuitivos que pudiesen tener acerca de la Transformación Lineal en contexto
geométrico, y por otra parte compartir los resultados de la investigación realizada por
Molina (o.p.) acerca de las concepciones de un grupo de estudiantes sobre la TL. Lo que
entendemos por intuición y por modelos intuitivos está en términos de la teoría de
Fischbein (o.p.) sobre el tema y que abordaremos en el siguiente apartado.
La mecánica del taller fue la siguiente, plantear a los asistentes como tarea seis
actividades tomadas del intrumento diseñado en la investigación citada y posteriormente
discutirlas, señalando el origen y propósito de éstas en terminos de el acercamiento
teórico del trabajo. La primera actividad estuvo compuesta por cuatro preguntas abiertas
acerca de la TL. Las siguientes cinco tareas fueron preguntas acerca de la existencia de la
TL, presentadas en formato geométrico.
La intuición
Según Fischbein, las personas tenemos la necesidad de entrar en un estado de
convencimiento acerca de los conceptos matemáticos con los que nos encontramos, es
TRANSFORMACIÓN LINEAL EN CONTEXTO GEOMÉTRICO Juan Gabriel Molina Zavaleta Programa de Matemática Educativa, CICATA‐IPN Méxicojmolinaz@ipn.mx Campo de investigación: Modelos mentales Nivel: Superior
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Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 21
Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.
2
decir, tener certeza de ellos. Lograr ese estado de convencimiento es mediado por la
intuición, a través de modelos intuitivos. Con respecto a la intuición señala que este
término no tiene definición única y lo que debemos entender por ella, se refiere a aquellas
ideas que son aceptadas como ciertas por ser evidentes por sí mismas, es decir, no
requieren argumentación para ser aceptadas.
La intuición no es la principal fuente de conocimientos evidentes y verdaderos, pero parece serlo,
porque su papel es exactamente: crear aparición de certeza, conferir a distintas interpretaciones o
representaciones un carácter de certeza intrínseca e incuestionable (Fischbein, 1987, p. 12, nuestra
traducción)
Fischbein (1987) hace una delineación detallada acerca de la intuición, discutiendo los
rasgos característicos que pueden tener las nociones intuitivas.
Los modelos intuitivos
La delineación que es fundamental para dar sentido a este trabajo es la referente a qué se
entiende por modelo intuitivo y cómo el modelo intuitivo influye en la cognición.
Para Fischbein, los modelos intuitivos son nociones intuitivamente aceptables que se
desempeñan como un sustituto de otras nociones:
Los modelos representan una herramienta esencial para moldear o para darle forma a las
cogniciones intuitivamente inaceptables. Cada vez que una persona se tiene que enfrentar con una
noción que es intuitivamente inaceptable, tiende a producir (algunas veces deliberadamente, otras
veces inconscientemente) substitutos de esa noción que son intuitivamente más accesibles. Tales
sustitutos son comúnmente llamados modelos intuitivos (Fischbein, 1987, p.121, nuestra traducción y
énfasis).
Con respecto a los modelos, Fischbein entiende un modelo en el sentido de Gentner
(1983):
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Categoría 1 Análisis del currículum y propuestas para la enseñanza de las matemáticas
Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.
3
Generalmente hablando, un sistema B representa un modelo de un sistema A si, en la base de un
cierto isomorfismo, una descripción o una solución producida en términos de A puede ser reflejada
consistentemente en términos de B y viceversa (Gentner, 1983, citado en Fischbein, 1987, p.121).
En su trabajo, Fischbein realiza una categorización amplia acerca de los modelos, sin
embargo, para nuestros fines, solamente retomaremos la siguiente:
Modelos explícitos y modelos implícitos (o tácitos)
En esta clasificación distingue entre los modelos explícitos y los implícitos. Los modelos
explícitos se construyen o se escogen en forma consciente para facilitar a conseguir una
solución. Por ejemplo, si consideramos alguna función que da información del volumen de
un recipiente en términos de alguno de sus lados; esta función nos facilitaría encontrar las
dimensiones que debería tener tal lado para que el recipiente contenga el mayor volumen
posible.
Un modelo es implícito o tácito cuando el sujeto no está consciente de su influencia o del
alcance de éste. Esta distinción juega un papel importante en la investigación.
Los modelos intuitivos y la cognición, según Fischbein
El papel de los modelos intuitivos en nuestro pensamiento, es el siguiente:
…Los modelos tácitos o intuitivos (ambos, paradigmáticos y analógicos), juegan un rol fundamental
en cualquier proceso de razonamiento productivo. No puede existir una actividad de razonamiento
productivo sin eventos productivos que consisten en globalización, concretización, extrapolación, etc.
Los modelos intuitivos son genuinamente benéficos con respecto a todos estos aspectos. Un modelo
ofrece a quien resuelve, un sustituto del original, que por medio de sus cualidades es mejor adaptado
a la naturaleza del pensamiento humano que el original. Nosotros pensamos mejor con lo
perceptible, con lo prácticamente manipulable, con lo familiar, con lo que se le puede controlar su
comportamiento, con la validez implícita, que con lo abstracto, lo que no se puede representar, lo
incierto, lo infinito (Fischbein, 1987, p.122, nuestra traducción y énfasis)
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Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 21
Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.
4
Linchevski y Vinner (1988, citados en Fischbein, 1989, p. 10) comentan que existen varias
concepciones erróneas en estudiantes respecto al concepto de conjunto, como por
ejemplo considerar que los elementos de un conjunto deben poseer una cierta propiedad
explícita común y pensar que un conjunto debe estar compuesto por más de un elemento.
Si el modelo intuitivo que sustituye el concepto de conjunto es el de la colección de
objetos, estas concepciones erróneas son previsibles:
El modelo intuitivo manipula de tras de escena el significado, el uso, las propiedades del concepto
formalmente establecido. El modelo intuitivo parece ser más fuerte que el concepto formal. El
estudiante tiende a olvidar las propiedades formales y tiende a mantener en mente aquéllas
impuestas por un modelo. La explicación parece ser muy simple: las propiedades impuestas por el
modelo concreto constituyen una estructura coherente, mientras las propiedades formales,
aparecen, al menos a primera vista, más bien como una colección arbitraria (Fischbein, 1989).
Para los fines de la investigación es importante identificar qué modelos intuitivos tienen
los estudiantes sobre la TL porque estos son fundamentales en sus razonamientos
productivos. Los modelos que los estudiantes tengan sobre la TL determinarán las
concepciones que de tal concepto se formen: “lo que un individuo puede aprender, y
cómo lo aprende, depende de los modelos con que cuenta” (Papert, 1981, p.13).
En Fischbein (1989) se explica, entre otras cosas, que los modelos tácitos en los
estudiantes no son inalterables, que con la intervención apropiada se pueden modificar,
con el objeto de afectar benéficamente el entendimiento de los conceptos matemáticos
en los estudiantes. Dentro de sus conclusiones, a manera de sugerencia, indica que un
primer paso para definir la estrategia para conseguir tal modificación consiste lógicamente
en identificar los modelos tácitos en los estudiantes con respecto al concepto matemático
de interés.
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Categoría 1 Análisis del currículum y propuestas para la enseñanza de las matemáticas
Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.
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Mediante la discusión de las respuestas a las actividades y del acercamiento teórico
discutido anteriormente se pretende alcanzar el primer objetivo de este taller. El segundo
propósito se procurará comentando los resultados de la investigación que nos ocupa.
Las actividades y sus aportes
A continuación se discuten las actividades y los aportes de éstas al trabajo de Molina
(2004). Es importante señalar que muchos de los detalles no se retoman, pero se pueden
consultar en la fuente en cuestión.
Actividad 1
Contestar las siguientes preguntas:
a) ¿Qué entiendes por transformación lineal?
b) Propón un ejemplo de una transformación lineal y argumenta por qué es lineal.
c) Propón un ejemplo de una transformación no lineal y argumenta por qué es no
lineal.
d) ¿Qué significa lineal en la transformación lineal?
Con respecto a estas preguntas se reporta lo siguiente:
Inciso a. La mayoría de los estudiantes entienden la TL como una especie de función, que a
un conjunto de vectores los convierte en otro, pero no hicieron referencia a las dos
propiedades que debe cumplir para ser lineal. Solamente dos estudiantes de los cinco
entrevistados afirmaron que se trataba de una función y que cumplía dos propiedades.
Inciso b. La mayoría pudo plantear un ejemplo (algunos con errores en la sintaxis), sin
embargo solo dos estudiantes pudieron demostrar algebraicamente que sus ejemplos
correspondían con una TL. Cabe mencionar que los estudiantes del estudio tenían largo
tiempo de haber tomado algún curso de álgebra lineal. Esta situación no afectó el estudio
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porque según la teoría de referencia los modelos o nociones intuitivas que los estudiantes
se forman entorno a los conceptos matemáticos predominan con el tiempo.
Inciso c. Esta cuestión en general casó dificultad, solo dos personas pudieron dar un
ejemplo, ambos ejemplos incluían un término 2x .
Inciso d. Esta pregunta fue contestada por todos, aquí salieron a la luz nociones intuitivas
asociadas a ese término. Un estudiante lo relacionaban con segmentos de recta, “lineal
viene de línea”; otro estudiante con un orden en el cuál se hacen operaciones; otro pupilo
con ecuaciones de primer grado. Sin embargo ninguno hacía referencia a que éste es un
adjetivo que se le da a un operador cuando satisface las dos condiciones para cualquier
escalar k y cualesquiera vectores 2,u v∈ℜ , ( ) ( )T ku kT u= y ( ) ( ) ( )T u v T u T v+ = + . En
palabras de Fischbein podemos decir “el modelo intuitivo parece ser más fuerte que el
concepto formal. El estudiante tiende a olvidar las propiedades formales y tiende a
mantener en mente aquéllas impuestas por un modelo”.
Actividades trabajadas
Las actividades presentan la siguiente pregunta:
Diga si es posible que exista una transformación lineal que convierta los vectores de la
Figura 1 en los vectores de la Figura 2. Argumente por qué.
Actividad, inciso a
Figura 1 Figura 2
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Por motivos de espacio no incluimos las restantes actividades, estas se pueden consultar
en el siguiente hipervínculo:
http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=33500204&iCveNum=6262
El resultado principal que reporta es que los modelos intuitivos detectados en todos los
estudiantes sobre la TL son una serie de casos particulares de transformaciones lineales.
Éstas son transformaciones lineales que se conocen en el ambiente escolar como
expansiones, contracciones, reflexiones, rotaciones y composiciones de éstos. Los
estudiantes, con el conjunto anterior de transformaciones lineales en 2ℜ como universo,
cuando las preguntas involucran sólo estas transformaciones, en la mayoría de los casos
determinan si la transformación involucrada en la cuestión es lineal; en caso de que tal
transformación no forme parte de su universo, ésta es excluida de la clase TL. Para
justificar lo antes dicho retomamos un caso en que se refleja esta situación.
El caso de Hermes: En el transcurso de la entrevista este alumno contestó con
desenvoltura y correctamente cada uno de los casos que se le plantearon, mostrando
facilidad para transitar entre las representaciones gráficas y las algebraicas. Sin embargo
cuando llegó a la actividad l tuvo dificultades.
Ante esta situación, de entrada Hermes contesta negando la existencia de la TL; con
seguridad dice:
H159: No, ésta no, porque está dejando fijo a B y este, está transformando a, A (señala la figura 2), y
pues no.
Resulta importante lo repentina y contundente de la reacción de Hermes al negar la
posible existencia de la TL, porque dos rasgos de la intuición son su evidencia y certeza;
son nociones que quien las experimenta no siente necesidad de argumentos para aceptar
como ciertas y Hermes parece estar seguro de su respuesta. Ante la reacción de Hermes
intervenimos pidiendo que agregara detalles a su explicación. Como respuesta Hermes
intentó dar una justificación algebraica que respaldara su afirmación, no la consiguió, sin
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embargo mantuvo su postura. A continuación al pasar a la siguiente pregunta (actividad
m):
Figura 1 Figura 2
Hermes estaba en profundas meditaciones, repentinamente tomó la hoja en la que estaba
plasmado el caso anterior, la actividad l y a continuación desarrolló un elaborado
argumento a favor de la existencia de la TL, recurriendo a ideas relativas a los vectores
base de una transformación; aquí nos interesa resaltar que con mucha seguridad cambió
de postura, y mostró que en el caso de la actividad l sí podría existir una transformación
lineal y comentó que lo mismo ocurriría con la actividad m. Cuando Hermes descubrió que
sí podría existir la TL, nos explicó los rasgos que él consideraba de la transformación lineal
y qué fue con los que se apoyaba para argumentar:
H181(Fragmento):…Pues tendría que cambiar de opinión en varias de esas, pero […]
E182: Mjm, ¿en cuáles tendrías que cambiar de opinión?
H183: Pues en un montón, sí porque estaba yo pensando, considerando transformaciones solamente
rotación y por escalar, y no o sea, no necesariamente, de hecho ésta va a ser una transformación,
transformación lineal, además.
Posiblemente lo que condujo inicialmente a Hermes a concluir la no existencia de la TL es
que él pensaba en la transformación lineal como una función que tiene el mismo simple
efecto geométrico en todos los vectores del plano (expande todos, contrae todos, rota
todos, etc); cuando observa que el vector B se mantiene constante, interpreta que la
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transformación no afectó a un vector, entonces concluye que no es una TL. En otras
palabras, Hermes tiene en mente ciertos modelos intuitivos acerca de cómo se comportan
las transformaciones lineales, de tal forma que cuando se enfrenta a una situación que no
encaja dentro de su universo de modelos, rechaza la existencia de la transformación
lineal, como en la actividad l.
Hermes pensaba la transformación lineal en términos de movimientos geométricos
simples, la expansión, compresión, la rotación y combinaciones de ellos. Cuando abordó la
actividad m, él percibió una transformación lineal que tenía un comportamiento que
consideraba imposible en ellas, que un vector se contraiga y otro se expanda, teniendo
como resultado el cambió de postura, esta observación la respaldan con el diálogo H109 y
en H183; aunque en este caso su argumento está basado en el no cumplimiento de la
propiedad de la multiplicación por un escalar.
H109: Porque como están alineados, deberían de cumplir este, esto deberían de cumplir (señala
, ( ) ( )A B T A T Bλ λ= = ), a esto, si se cumple esto, eso se debe cumplir y veo que, que no pues,
un vector se estira y el otro se encoge, eso es lo que veo que no se puede.
Como discutimos en los párrafos anteriores, inicialmente Hermes se mostró reacio en
aceptar la existencia de la TL. Su reacción, firmeza en no aceptar la existencia, no poder
argumentar, podría ser la manifestación de su intuición ejerciendo influencia en él. Por
otra parte, su cambio de postura después de observar el caso siguiente es un ejemplo de
cómo una noción intuitiva puede ser modificada, cuando otro modelo intuitivo entra en
juego. Al reflexionar sobre la pregunta, lo que era implícito volvió explícito [ver 183 arriba]
y esto permitió el cambio en su postura. La pregunta planteada en la actividad m tiene un
formato diferente a las anteriores, esto también podría tener el efecto de evocar modelos
mentales de otra naturaleza en Hermes (uno con figuras que para él sí es una TL, porque
tal vez lo asocia con la fórmula 1
2
2x x
Ty y⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
que sí cumple las propiedades), él logra
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percibir en la actividad m que si los lados que determinan la figura 1 representan vectores,
ocurría algo semejante a lo planteado en la actividad m: una TL que afecta en forma
diferente a los vectores, por consiguiente deduce que en tal caso sí podría existir.
Conclusiones
El álgebra lineal es una materia muy importante en el currículo escolar en México, por ello
es importante mostrar explícitamente a profesores y estudiantes cómo los modelos
intuitivos influyen implícitamente en nuestro razonamiento, esto brinda una comprensión
profunda del concepto TL, pues permite que nuestro conocimiento sobre el tema se
aproxime mejor al que la matemática le asigna.
Referencias bibliográficas
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Holland: Reidel.
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lineal en contexto geométrico. Tesis de maestría no publicada. México: Cinvestav‐IPN.
Papert, S. (1981). Desafío a la mente. Argentina: Ediciones Galápago.
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Resumen. En este trabajo se analiza una encuesta de opinión de los alumnos sobre una modalidad de aprendizaje que incorpora la herramienta computacional y su vinculación con la Teoría de los Estilos de Aprendizaje en la concepción de Alonso, Gallego y Honey (1999), a modo de evaluación de una experiencia de aprendizaje de temas introductorios al Álgebra Lineal, en un Laboratorio de Informática de la Facultad de Ciencias Económicas y Estadística de la Universidad Nacional de Rosario (FCE y E de la UNR). Se trata de contar con una autoevaluación, que en un proceso de metacognición, aporte elementos para evaluar la comprensión, el interés, el esfuerzo personal en el desarrollo de los temas propuestos, para orientar la programación de actividades y elaboración de material didáctico que potencien los procesos de indagación, reflexión, abstracción y aplicación.
Palabras clave: estilos de aprendizaje, encuesta de opinión, metacognición
Introducción
Se trata de relacionar las siguientes indagaciones realizadas con alumnos de primer año de
la carrera de Contador que cursan Matemática I. en la FCE y E de la UNR.:
a) los Estilos de Aprendizaje de la población de análisis mediante la aplicación del
Cuestionario Honey – Alonso de Estilos de Aprendizaje (CHAEA).
b) la opinión de los alumnos a través de una encuesta sobre la motivación, facilitación y
utilidad del trabajo interactivo con el computador en temas de Álgebra Lineal
Surge así, como objetivo de este trabajo: contar con una autoevaluación que constituya a
su vez una estrategia de metacognición de un proceso de aprendizaje y a partir de ella
mejorar el diseño de las actividades de enseñanza con herramientas CAS (Computer
Algebraic System)
UNA REFLEXIÓN SOBRE EL PROPIO APRENDIZAJE. SU ANÁLISIS DESDE LA PERSPECTIVA DE LOS ESTILOS DE APRENDIZAJE. Mercedes Anido, Ana María Craveri, María del Carmen SpenglerFacultad de Ciencias Económicas y Estadística de la Universidad Nacional de Rosario
Argentina
anidom@fceia.unr.edu.ar, craveri@arnet.com.ar, mariaspengler@gmail.comCampo de investigación: Didáctica de la Matemática Nivel: Superior
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Problema de investigación
¿Qué relación existe entre las repuestas del alumno a la encuesta y su estilo de
aprendizaje predominante?
¿Se insinúan tendencias entre las formas en que los alumnos reflexionan sobre su trabajo
y su estilo personal de aprender?
La determinación de los estilos de aprendizaje
¿Qué entendemos por Estilos de Aprendizaje?
Las Teorías de los Estilos de Aprendizaje han venido a confirmar la diversidad y relatividad
del aprendizaje y demostrado que las personas piensan de manera distinta, captan la
información, la procesan, la almacenan y la recuperan de forma diferente. Proponen un
camino para mejorar el aprendizaje por medio de la conciencia personal del docente y del
alumno, de las peculiaridades diferenciales, es decir, de los Estilos Personales de
Aprendizaje (Alonso et al. 1999)
Existen distintas teorías de Estilos de Aprendizaje y cada una de ellas aporta su
correspondiente instrumento de diagnóstico. En este tema nuestros referentes han sido
los Dres. Catalina Alonso y Domingo Gallego Gil y el instrumento de diagnóstico el CHAE.
La definición de estilo que se adopta es la que propone Keefe (1982), quien considera los
Estilos de Aprendizaje como los rasgos cognitivos, afectivos y fisiológicos que sirven como
indicadores relativamente estables, de cómo los alumnos perciben, interaccionan y
responden a sus ambientes de aprendizaje.
Para Honey y Mumford (1986), los Estilos de Aprendizaje se corresponden con el
recorrido cíclico de cuatro etapas de Kolb (1984): experimentación concreta, observación
reflexiva, conceptualización abstracta, experimentación activa y son cuatro
respectivamente:
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Activo: Se entusiasman frente a tareas nuevas. Pasan rápidamente de una actividad a
otra. Se aburren con tareas de largo plazo. Tienden a centrar a su alrededor todas las
actividades.
Reflexivo: Les gusta considerar y observar las experiencias desde diferentes perspectivas.
Recogen datos y los analizan detenidamente antes de llegar a alguna conclusión. Son
prudentes. Observan y escuchan a los demás. Intervienen sólo cuando se han adueñado
de la situación.
Teórico: Adaptan e integran las observaciones dentro de teorías lógicas. Tienden a ser
perfeccionistas. Analizan y sintetizan Buscan la racionalidad y la objetividad. Huyen de lo
subjetivo y ambiguo.
Pragmático: Su punto fuerte es la aplicación práctica de las ideas. Actúan rápidamente y
con seguridad con aquellas ideas y proyectos que los atraen. Se impacientan ante
personas que teorizan. Su filosofía es: siempre se puede hacer mejor, si funciona es
bueno.
El CHAEA consta de 80 ítems breves y se estructura en cuatro grupos o secciones de 20
ítems correspondientes a los cuatro Estilos de Aprendizaje: Activo‐Reflexivo‐Teórico‐
Pragmático.
Todos los ítems están distribuidos aleatoriamente formando un solo conjunto. Cada ítem
es una afirmación que el alumno marcará con un signo + sólo si se siente identificado con
ella. La última hoja del cuestionario contiene cuatro columnas (una por cada Estilo) donde
figuran impresos todos los 80 números predistribuidos por estilo por los autores del
Cuestionario y donde según corresponda el alumno marcará con un círculo los números
de los ítems a los que señaló con signo +. La puntuación absoluta que el sujeto obtenga
en cada grupo de 20 ítems, es el número de marcas que cuenta en cada una de las cuatro
columna, será el nivel que alcance en cada uno de los cuatro Estilos de Aprendizaje.
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La fiabilidad y validez del CHAEA ha sido demostrada a través de las investigaciones
llevadas a cabo por Catalina Alonso en 1371 estudiantes de las Facultades y Escuelas
Universitarias, pertenecientes a las Universidades Complutense y Politécnica de Madrid.
La elección del CHAEA estuvo basada además en la factibilidad de su aplicación en grupos
numerosos de alumnos.
Los estilos de aprendizaje en nuestra experiencia
La interpretación del puntaje es relativa a la población donde se toma el cuestionario, por
lo que para interpretar las puntuaciones del mismo, se construye un baremo de
interpretación. a partir de una muestra de 381 alumnos
La siguiente tabla contiene los límites de los intervalos que resultan del análisis de las
estructuras de percentiles de las distribuciones de los puntajes para cada estilo. Esto
permite clasificar a los alumnos en la categoría de preferencia que le corresponde de
acuerdo al puntaje declarado en cada una de las columnas del cuestionario CHAEA.
Baremo General. Preferencias en Estilos de Aprendizaje. FCEyE UNR
Muy baja Baja Moderada Alta Muy alta
Activo 0 ‐ 6 7 ‐ 8 9 – 13 14 ‐ 15 16 – 20
Reflexivo 0 ‐ 9 10 ‐ 12 13 – 16 17 ‐ 18 19 – 20
Teórico 0 ‐ 8 9 ‐ 11 12 – 14 15 ‐ 16 17 – 20
Pragmático 0 ‐ 7 8 ‐ 10 11 – 14 15 16 – 20
¿Cómo interpretar el puntaje del CHAEA, con nuestro baremo?
Un alumno que ingresa al primer año de la FCEyE de la UNR que obtuvo, por ejemplo 9
puntos en cada Estilo de Aprendizaje, tiene:
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Preferencia moderada en Estilo Activo
Preferencia muy baja en Estilo Reflexivo
Preferencia baja en Estilo Teórico
Preferencia baja en Estilo Pragmático
La encuesta de opinión como estrategia de metacognicion
¿Por qué consideramos que la encuesta, además de su carácter como instrumento
evaluativo de un proceso de aprendizaje, constituye una estrategia de metacognición?
Cuando hablamos de metacognición hablamos de la conciencia y el control que los
individuos tienen sobre sus procesos cognitivos. (Terán y Anido, 2007)
El término metacognición de acuerdo a la mayoría de los autores alude a dos
componentes básicos, el saber acerca de la cognición y la regulación de la cognición. El
primer componente se refiere a la capacidad de reflexionar sobre nuestros propios
procesos cognitivos, y la regulación metacognitiva implica el uso de estrategias que nos
permiten controlar esfuerzos cognitivos. El propósito fundamental al enseñar a los
estudiantes los mecanismos de la metacognición es hacer posible que ellos asuman la
responsabilidad de sus propias actividades de aprendizaje y de comprensión. Los
psicólogos basándose en los planteos de Vygotsky (1978) consideran que la mejor forma
de lograr este objetivo es transferir gradualmente a los jóvenes la responsabilidad de la
regulación.
Hawkins y Pea (1987) se basan explícitamente en la obra de Vygotsky al abogar por un
enfoque del aprendizaje que promueva la transición de la heterorregulación (ser regulado
por los otros) a la autorregulación. Johnson (1985) comenta también la importancia de
que los estudiantes asuman el control de su propio aprendizaje de la ciencia y sostiene
que cuando los estudiantes aprenden que tienen cierto control sobre la información a la
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que acceden, pueden verse a sí mismos como directores responsables de su propio
aprendizaje y no como receptáculos inertes de información que otros les vuelcan.
En este caso se pide a los alumnos una reflexión sobre la comprensión de temas de un
área específica, en relación a su capacidad de aplicación y la interpretación de su propia
experiencia en un trabajo de Laboratorio, en cuanto al interés despertado y el esfuerzo
demandado. Se trata de que los estudiantes tomen conciencia del conocimiento adquirido
y de las experiencias realizadas. A ese fin la encuesta de opinión constituye una estrategia
para esa toma de conciencia.
Metodología
Se indagó la opinión del alumno con relación a las siguientes variables técnicas:
• Realización de cursos previos de computación
• Acceso a una computadora
• Comprensión de los temas
• Interpretación y abstracción de situaciones problemáticas
• Necesidad de recurrir al docente
• Esfuerzo demandado por la tarea
• Preferencia
• Valoración de los problemas presentados
El Diseño integra tres análisis:
a) El análisis descriptivo de cada una de las variables que intervienen en la encuesta.
b) El análisis de la asociación entre algunas variables de la encuesta consideradas
relevantes. En este punto se indaga sobre la posibilidad de que los alumnos que no han
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realizado cursos previos de computación son impactados de manera diferente por la
modalidad de trabajo en el Laboratorio que aquellos que podrían tener mayores
facilidades a la hora de manejar una computadora.
Se analiza la significación de la asociación entre “realización de cursos previos de
computación” y/o “tener acceso a una computadora” y la adaptación a la modalidad de
trabajo propuesta. Para esto se cruzan las respuestas a cada variable del cuestionario con
la variable “realización de cursos previos de computación” y a continuación con la variable
“acceso a una computadora”.
c) La vinculación entre las respuestas del alumno y su “estilo de aprendizaje”
predominante. En este punto se indaga sobre la relación entre las respuestas a la encuesta
de opinión y el Estilo de Aprendizaje predominante en el alumno. Por ejemplo, al respecto
se preestablece que en un alumno predomina el estilo Activo, si en este estilo ha obtenido
el puntaje más alto respecto de los demás estilos.
Este último análisis, da respuesta al segmento de la investigación que se enfoca en esta
presentación.
Algunos resultados
La mayoría de los alumnos posee conocimientos sobre computación (74,6%), en general
adquiridos durante la escuela secundaria. Además, sólo un 16,7% declara no tener acceso
a una computadora (Gráficos Nº1 y Nº2)
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El 79,8% de los alumnos opinan que han comprendido satisfactoria o muy
satisfactoriamente los temas trabajados con esta modalidad, el 16,7 % medianamente y
reconocen que ha sido poco satisfactoria el 3,5%.
El 73,6% de los alumnos encuestados declaran que la modalidad de trabajo lo ha ayudado
mucho en la interpretación y abstracción de situaciones problemáticas, el 26,4% considera
que la ayuda ha sido escasa o nula.
El 70,8% de los alumnos dicen preferir esta metodología por sobre la tradicional, el 23,6 %
se manifiesta por la no preferencia y el 5,6% no contesta.
La opinión de los alumnos respecto de la demanda de esfuerzo para la resolución de los
ejercicios planteados en el Laboratorio comparativamente con el esfuerzo realizado para
resolver los ejercicios de las prácticas anteriores es dispar. El 48,6% opina que el esfuerzo
fue igual, un 37,8% entiende que realizó un menor esfuerzo y a un 11,8% le demandó un
esfuerzo mayor (Gráfico Nº 3). Los ejercicios planteados durante el curso le parecieron
interesantes a la mayoría de los alumnos encuestados (83,3%). El 2,1% de los alumnos los
consideraron triviales (Gráfico Nº 4).
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Todos los alumnos requirieron al menos ocasionalmente la orientación o apoyo del
docente para resolver las aplicaciones planteadas durante el curso. El 6,3% manifiesta que
“siempre” necesitó de la orientación del docente para resolver los problemas planteados.
Esto podría indicar que la asistencia de la herramienta computacional no implica el
reemplazo del docente, sino que funcionaría como un efectivo complemento
b) El análisis de la asociación entre algunas variables de la encuesta consideradas
relevantes.
La variable “Realización de cursos previos de computación” es independiente de:
• “Comprensión de los temas”(p=0.813)
• “Esfuerzo empleado en la resolución de los ejercicios” (p=0.998)
• “Percepción sobre los problemas presentados en la práctica” (p=0.556)
La variable “Acceso a una computadora”, sólo se detectó asociada a la variable “Esfuerzo
empleado en la resolución de los ejercicios” (p=0.018 de que sean independientes)
c) La vinculación entre las respuestas del alumno y su “estilo de aprendizaje”
predominante.
Con respecto a la “Comprensión de los temas de Álgebra Lineal”, el único estilo que
presenta diferencia en la distribución de las respuestas es el estilo Activo (p=0.029). Una
mayor proporción de alumnos se han pronunciado por las categorías extremas (superior o
inferior) de esta variable comparativamente con los restantes estilos que se pronunciaron
mayormente por la categoría central. Con respecto a la “Preferencia por esta modalidad”
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la diferencia en las respuestas se detecta también en los alumnos predominantemente
activos (p=0.038), quienes se manifiestan por la no preferencia por esta modalidad
diferenciándose así de los restante Estilos.
Conclusiones
El alto porcentaje de alumnos que manifiestan tener conocimientos de computación y
disponer de una computadora fuera de la Facultad, lleva a suponer condiciones adecuadas
para acceder en forma casi inmediata a la utilización de programas CAS en las clases
prácticas, la nivelación de los pocos ‘no preparados’ es factible. En relación al esfuerzo que
significó para el alumno trabajar con esta modalidad, comparativamente al realizado con
la metodología tradicional (clase expositiva), poco más del 10% percibe un esfuerzo
mayor, al cruzar esta información con la referida a la posibilidad de acceder a una
computadora fuera del Laboratorio, como era de esperar, menos del 10% de los alumnos
que pueden acceder a una computadora percibieron haber realizado un mayor esfuerzo,
mientras que este porcentaje se eleva a casi el 30% en los alumnos que no tienen
disponible un computador fuera de las horas asignadas al Laboratorio. Por otra parte, la
mayoría prefiere esta modalidad a la metodología tradicional y considera que esta
propuesta de trabajo contribuye satisfactoriamente a la comprensión e interpretación de
los problemas de Álgebra Lineal. Sobre la posible existencia de una relación entre las
respuestas del alumno y su estilo personal de aprendizaje, independientemente del ‘estilo
predominante’, la mayoría ha recibido bien esta modalidad. No obstante llaman la
atención algunos resultados observados en los alumnos predominantemente activos en lo
que se refiere a preferir esta modalidad (Laboratorio de Computación) por sobre la
metodología tradicional (Clase Expositiva). El 40% de los alumnos predominantemente
activos manifiestan no preferir la modalidad de trabajo en el Laboratorio, es en el único
‘estilo’ donde se observa tan alta proporción por la no preferencia. Este es un resultado
inesperado si se tiene en cuenta la ‘interactividad’ (respuesta rápida, manejo de
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comandos, posibilidad de verificaciones inmediatas, etc.) que ofrece el trabajo frente a un
computador.
Referencias bibliográficas
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diagnóstico y mejora. Bilbao: Ediciones Mensajero
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LA VISUALIZACIÓN, COMO ESTRATEGIA DE ESTUDIO EN EL CONCEPTO DE DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL Carlos Oropeza Legorreta, Javier Lezama AndalónFESC ‐ UNAM, CICATA ‐ IPN Méxicocarlos_oropezamx@yahoo.es, jlezamaipn@gmail.comCampo de investigación: Pensamiento matemático avanzado Nivel: Superior
Resumen. En este trabajo nos apoyamos de experiencias en clase con estudiantes del curso de Álgebra Lineal, en las que se les proponen actividades que los conducen a elaborar representaciones de carácter geométrico de los conceptos de combinación lineal, dependencia e independencia lineal. Estas experiencias ponen su atención en representaciones geométricas, que nos brindarán elementos para problematizar la adquisición de los conceptos de dependencia e independencia lineal, reconociendo en ellos una especial complejidad debido al nivel de abstracción que presentan. Es en los escenarios geométricos que podremos, a partir de la actividad matemática desarrollada por los estudiantes, encontrar los indicios de comprensión o no de dichos conceptos y estructurar preguntas precisas sobre la adquisición de los conceptos en Álgebra Lineal por parte de los estudiantes.
Palabras clave: visualización, combinación lineal, dependencia e independencia lineal
Introducción
La enseñanza y aprendizaje del álgebra lineal en las escuelas de ingeniería representa un
conjunto de dificultades diferentes a las que se presenta, por ejemplo en el cálculo. En
esta materia, es frecuente motivar la enseñanza de los conceptos a partir de otros
conocimientos físicos o geométricos presentados previamente, pero en el álgebra lineal la
mayor parte de conceptos son presentados por los libros de texto recomendados para su
estudio, como definiciones formales de objetos cuya existencia no tiene (en la mayoría de
los casos) conexión con conocimientos previos ni argumentos geométricos o físicos que
motiven la definición presentada. En el ámbito escolar, el carácter abstracto de esta
materia ha obligado a la comunidad matemática de esta especialidad ha reflexionar con
relación a la búsqueda de representaciones diferentes del tema. Con el fin de clarificar las
dificultades que enfrentan los alumnos al estudiar el concepto matemático de
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dependencia e independencia lineal en polinomios de segundo grado que se aborda en la
asignatura de álgebra lineal, en esta investigación se pretende hacer uso de las
representaciones visuales para que los alumnos puedan incorporarlas en la búsqueda de
significados en el concepto antes referido. Tradicionalmente los problemas asociados se
resuelven usando la definición dada junto con argumentos derivados de la lógica. Esto
hace que muchos estudiantes sientan que la materia es demasiado abstracta (se ha
observado que en curso convencional los estudiantes son capaces de determinar si un
conjunto de vectores forman o no un espacio vectorial, es decir pueden aplicar los
axiomas con la dificultad inherente correspondiente, pero cuando se les cuestiona
respecto a su significado, ellos no pueden articular una respuesta, entendemos este hecho
como una manipulación algebraica carente de significado) y que los contenidos son
objetos que no tienen relación con algo que se pueda aplicar en la realidad. Entre los
problemas relativos al aprendizaje del álgebra lineal, están las diferentes representaciones
que puede tener un mismo objeto y para las cuales no resulta muy claro para un
estudiante que se trata del mismo objeto. Por ejemplo en un momento dado se puede
presentar al conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo
como un subespacio vectorial y en otro momento ese mismo conjunto se puede presentar
como el núcleo de una transformación lineal o bien es frecuente ayudarse de la geometría
en R2 o R3 para visualizar la suma de vectores, pero es difícil usar la geometría para
visualizar las sumas en espacios vectoriales como polinomios o matrices. El alumno se
encuentra, entonces, con dos representaciones diferentes de la suma de vectores, una
geométrica con una definición formal y otra enteramente formal para espacios vectoriales
generales.
En busca de un Marco Teórico
Es mi interés encontrar un punto de vista que me permita reflexionar estrategias de la
visualización, dentro de las perspectivas generales, los investigadores han desarrollado
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Categoría 1 Análisis del currículum y propuestas para la enseñanza de las matemáticas
Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.
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múltiples marcos teóricos locales y metodologías que caracterizan de formas distintas el
modo en que las preguntas de investigación se eligen y expresan y el modo en que son
abordadas (afectando, por tanto, el tipo de resultados que se puede obtener y el modo en
que son descritos). Artigue (2003). El desarrollo de las teorías que fortalecen la
importancia de la visualización matemática, considerada como la habilidad para
interpretar y representar de manera diferente la información percibida y la reflexión
extraída de información visual, impone a los autores de textos considerar estas ideas para
presentar nuevas propuestas de enseñanza. (Hitt, 2002). Arcavi (1999), admite haber
combinado las definiciones de Zimmermann y Hershkowitz, declarando que la
visualización es la capacidad, el proceso y el producto de creación, interpretación, empleo
de reflexión sobre cuadros, imágenes, diagramas, en
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