5ptos
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4 (5ptos) Dado el Camino: r (t)=(e−2 t sin 3 t , e−2 t cos3 t , e−2 t)
Calcular:
a) La curvatura y la torsión para t=0b) Las ecuaciones de plano osculador, binormal y rectificante para t=0
Desarrollo
- Determinamos desde la primera hasta la tercera derivada de dicha fusión.
r x ( t )=e−2 t sin 3 t
r x' ( t )=−2e−2 t sin 3 t+3cos3 t . e−2 t
r x' ( t )=e−2 t(−2sin 3 t+3cos3 t)
r x' (0 )=3
r y (t )=e−2 t cos3 t
r y' (t )=−2e−2 t cos3 t−3sin 3t . e−2t
r y' ( t )=e−2 t(−2cos3 t+3sin 3 t)
r y' (0 )=−2
r z ( t )=e−2t
r z' ( t )=−2e−2 t
r z' (0 )=−2
r ' (0 )=(3 ,−2 ,−2)
.......................................................................................................................................................
r x' ' (t )=−2e−2 t (−2sin 3t+3cos3 t )+¿
r x' ' (t )=e−2 t ¿
r x' ' (0 )=−12
r y' ' (t )=−2e−2 t (−2cos3 t+3sin 3 t )+¿
r y' ' (t )=e−2 t ¿
r y' ' (0 )=−5
r z' ' ( t )=4e−2 t
r z' ' (0 )=4
r ' ' (0 )=(−12,−5 ,4)
.................................................................................................................
r x' ' ' ( t )=−2e−2 t ¿
r x' ' ' ( t )=e−2 t ¿
r x' ' ' (0 )=9
r y' ' ' ( t )=−2e−2 t ¿
r y' ' ' ( t )=e−2 t ¿
r y' ' ' ( t )=4 6
r z' ' ' ( t )=−8e−2 t
r z' ' ' (0 )=−8
r ' ' ' (0 )=(9 ,46 ,−8)
Entonces tenemos:
r (0 )=(0 ,1 ,0 ) r ' (0 )=(3 ,−2 ,−2)
r ' ' (0 )=(−12 ,−5 ,4 ) r ' ' ' (0 )=(9 ,46 ,−8)
a) Curvatura y torsión para t = 0
Formulas
K=‖f ' (o)×f ' '(0)‖
‖f ' (o)‖3 τ=¿¿
Efectuamos
f ' (o )×f ' ' (0 )=| 3 −2 −2−12 −5 4 |=(−18,12 ,−39)
‖f ' (o)×f ' ' (0)‖=3√36+16+169=3√221
‖f ' (o)‖=√9+4+4=√17
K=3√221√173
=3√1317
τ=(−18,12,−39 ) .(9 ,46 ,−8)
(3√221)2=
−54+184+104663
τ=6 /17
a) Los planos osculador, binormal y rectificante para t= 0Para determinar los planos es necesario calcular los vectores direccionales de la tangente, normal y binormal.
T→
¿f ' (o )
‖f ' (o )‖
B→
¿f ' (o)× f ' ' (0 )
‖f ' (o)× f ' ' (0 )‖ N→
¿B→
×T→
T→
¿(3 ,−2 ,−2)
√17
B→
¿(−6 ,4 ,−13)
√221
N→
¿ 117√13
(−6 , 4 ,−13 )× (3 ,−2 ,−2)
N→
¿ 117√13|−6 4 13
3 −2 −2|
N→
¿ 117√13
(−34 ,−51, 0)
N→
¿ 1√13
(−2,−3 ,0 )
Siguiente a esto determinamos los planos:
a) Osculador
Posc : [P−f (0)] . B⃑=0
[ ( x , y , z )−(0 ,1 ,1 ) ] . 1
√221(−6 ,4 ,−13 )=0
(x , y−1 , z−1) . (−6 ,4 ,−13 )=0
6 x−4+13 z−9=0
b) Binormal Pbin : [P−f (0) ] . T⃑=0
[ ( x , y , z )−(0 ,1 ,1 ) ] . 1√17
(3 ,−2 ,−2 )=0
( x , y−1 , z−1 ) . (3 ,−2 ,−2 )=0
3 x−2 y−2 z+4=0
c) Rectificante Prec : [P− f (0)] . N⃑=0
[ ( x , y , z )−(0 ,1 ,1 ) ] . 1√13
(−2 ,−3 ,0 )=0
( x , y−1 , z−1 ) . (−2 ,−3 ,0 )=0
2 x+3 y−3=0
Gráfico aplicando software
5. (5puntos)Dada la integral
∫−1
0
∫−√9+9x
√9+9 x
f (x , y )dydx+∫0
15
∫x−3
√9+9 x
f (x , y)dy dx
Calcular:
a) Construir la región de integración
b) Expresar la integral como una sola integralTenemos que:
y=√9+9 x ...................................................... x= y2
9−1 α
y=x−3...........................................................x= y+3 β
Del grafico anterior se determina que y∈ [−3 ,12 ] ; además que α<βEntonces
∫−3
12
∫y2
9−1
y +3
f (x , y )dx dy
c) Calcular el valor de la integral si: f ( x , y )= y2
∫−3
12
∫y2
9−1
y +3
y2dxdy
∫−3
12
y2( x| y+3y2/9−1
)dxdy
∫−3
12
y2( y+3− y2
9+1)dx dy
∫−3
12
(− y4
9+ y3+4 y2)dx dy
− y5
45+ y
4
4+ 4 y
3
3 |12−3
−125
45+ 12
4
4+ 4 .12
3
3−(−(−3)5
45+(−3)4
4+4 (−3)3
3 )78754
Aplicación del software
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