4 (5ptos) Dado el Camino: r (t)=(e−2 t sin 3 t , e−2 t cos3 t , e−2 t)

Calcular:

a) La curvatura y la torsión para t=0b) Las ecuaciones de plano osculador, binormal y rectificante para t=0

Desarrollo

- Determinamos desde la primera hasta la tercera derivada de dicha fusión.

r x ( t )=e−2 t sin 3 t

r x' ( t )=−2e−2 t sin 3 t+3cos3 t . e−2 t

r x' ( t )=e−2 t(−2sin 3 t+3cos3 t)

r x' (0 )=3

r y (t )=e−2 t cos3 t

r y' (t )=−2e−2 t cos3 t−3sin 3t . e−2t

r y' ( t )=e−2 t(−2cos3 t+3sin 3 t)

r y' (0 )=−2

r z ( t )=e−2t

r z' ( t )=−2e−2 t

r z' (0 )=−2

r ' (0 )=(3 ,−2 ,−2)

.......................................................................................................................................................

r x' ' (t )=−2e−2 t (−2sin 3t+3cos3 t )+¿

r x' ' (t )=e−2 t ¿

r x' ' (0 )=−12

r y' ' (t )=−2e−2 t (−2cos3 t+3sin 3 t )+¿

r y' ' (t )=e−2 t ¿

r y' ' (0 )=−5

r z' ' ( t )=4e−2 t

r z' ' (0 )=4

r ' ' (0 )=(−12,−5 ,4)

.................................................................................................................

r x' ' ' ( t )=−2e−2 t ¿

r x' ' ' ( t )=e−2 t ¿

r x' ' ' (0 )=9

r y' ' ' ( t )=−2e−2 t ¿

r y' ' ' ( t )=e−2 t ¿

r y' ' ' ( t )=4 6

r z' ' ' ( t )=−8e−2 t

r z' ' ' (0 )=−8

r ' ' ' (0 )=(9 ,46 ,−8)

Entonces tenemos:

r (0 )=(0 ,1 ,0 ) r ' (0 )=(3 ,−2 ,−2)

r ' ' (0 )=(−12 ,−5 ,4 ) r ' ' ' (0 )=(9 ,46 ,−8)

a) Curvatura y torsión para t = 0

Formulas

K=‖f ' (o)×f ' '(0)‖

‖f ' (o)‖3 τ=¿¿

Efectuamos

f ' (o )×f ' ' (0 )=| 3 −2 −2−12 −5 4 |=(−18,12 ,−39)

‖f ' (o)×f ' ' (0)‖=3√36+16+169=3√221

‖f ' (o)‖=√9+4+4=√17

K=3√221√173

=3√1317

τ=(−18,12,−39 ) .(9 ,46 ,−8)

(3√221)2=

−54+184+104663

τ=6 /17

a) Los planos osculador, binormal y rectificante para t= 0Para determinar los planos es necesario calcular los vectores direccionales de la tangente, normal y binormal.

T→

¿f ' (o )

‖f ' (o )‖

B→

¿f ' (o)× f ' ' (0 )

‖f ' (o)× f ' ' (0 )‖ N→

¿B→

×T→

T→

¿(3 ,−2 ,−2)

√17

B→

¿(−6 ,4 ,−13)

√221

N→

¿ 117√13

(−6 , 4 ,−13 )× (3 ,−2 ,−2)

N→

¿ 117√13|−6 4 13

3 −2 −2|

N→

¿ 117√13

(−34 ,−51, 0)

N→

¿ 1√13

(−2,−3 ,0 )

Siguiente a esto determinamos los planos:

a) Osculador

Posc : [P−f (0)] . B⃑=0

[ ( x , y , z )−(0 ,1 ,1 ) ] . 1

√221(−6 ,4 ,−13 )=0

(x , y−1 , z−1) . (−6 ,4 ,−13 )=0

6 x−4+13 z−9=0

b) Binormal Pbin : [P−f (0) ] . T⃑=0

[ ( x , y , z )−(0 ,1 ,1 ) ] . 1√17

(3 ,−2 ,−2 )=0

( x , y−1 , z−1 ) . (3 ,−2 ,−2 )=0

3 x−2 y−2 z+4=0

c) Rectificante Prec : [P− f (0)] . N⃑=0

[ ( x , y , z )−(0 ,1 ,1 ) ] . 1√13

(−2 ,−3 ,0 )=0

( x , y−1 , z−1 ) . (−2 ,−3 ,0 )=0

2 x+3 y−3=0

Gráfico aplicando software

5. (5puntos)Dada la integral

∫−1

0

∫−√9+9x

√9+9 x

f (x , y )dydx+∫0

15

∫x−3

√9+9 x

f (x , y)dy dx

Calcular:

a) Construir la región de integración

b) Expresar la integral como una sola integralTenemos que:

y=√9+9 x ...................................................... x= y2

9−1 α

y=x−3...........................................................x= y+3 β

Del grafico anterior se determina que y∈ [−3 ,12 ] ; además que α<βEntonces

∫−3

12

∫y2

9−1

y +3

f (x , y )dx dy

c) Calcular el valor de la integral si: f ( x , y )= y2

∫−3

12

∫y2

9−1

y +3

y2dxdy

∫−3

12

y2( x| y+3y2/9−1

)dxdy

∫−3

12

y2( y+3− y2

9+1)dx dy

∫−3

12

(− y4

9+ y3+4 y2)dx dy

− y5

45+ y

4

4+ 4 y

3

3 |12−3

−125

45+ 12

4

4+ 4 .12

3

3−(−(−3)5

45+(−3)4

4+4 (−3)3

3 )78754

Aplicación del software