3.3 - 3.4 curvatura de superficies regladas. parámetro de...

Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion

3.3 - 3.4 Curvatura de superficies regladas.Parametro de distribucion. Tipos de superficies

regladas desarrollables. Lınea de estriccion yarista de retroceso.

Sonia L. Rueda

ETS Arquitectura. UPM

Curvas y Superficies, 2015

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Curvas y superficies

1. Curvas

2. Superficies

3. Superficies Regladas

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Superficies regladas en Arquitectura

Interior de La Sagrada Familia. A. Gaudı

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Superficies regladas en Arquitectura

Maquetas de hiperboloide reglado de la Sagrada Familia

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Superficies regladas en Arquitectura

Museo de Arte de Milwaukee. Santiago Calatrava, 2001

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Superficies

3.1 Parametrizacion de una superficie reglada: Directriz ygeneratrices. Superficies regladas de Bezier.

3.2 Curvatura de las superficies regladas. Parametro dedistribucion.

3.3 Tipos de superficies regladas desarrollables. Lınea deestriccion y arista de retroceso.

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Contenidos

Repaso de notacionEjemplos

Curvatura de superficies regladas

Superficies desarrollablesSuperficies desarrollables en arquitecturaTipos de superficies desarrollables

Lınea de estriccionParametrizacion de la lınea de estriccionArista de retroceso

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Repaso de notacionDefinicion Una superficie reglada S, es una superficie que contieneal menos una familia uniparametrica de rectas. Admite unaparametrizacion de la forma

α : D ⊆ R2 −→ R3

α(u, v) = γ(u) + vω(u),

donde γ(u) y ω(u) son (en general) parametrizaciones de curvas enR3 (suponemos que ω(u) nunca se anula). Llamaremosparametrizacion reglada a una parametrizacion lineal en uno de losparametros.

La curva parametrizada por γ(u) se denomina directriz o curvabase. Para cada valor del parametro u = u0, tenemos una recta

γ(u0) + vω(u0)

que recibe el nombre de generatriz.

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Hiperboloide de una hojax2

a2 + y2

b2 − z2

c2 = 1. Es una superficie doblemente reglada. Admite

dos parametrizaciones regladas,

α(u, v) = γ(u) + v(±γ′(u) + (0, 0, c)), (u, v) ∈ [0, 2π)× R,

γ(u) = (acos(u), bsen(u), 0) una parametrizacion de la ellipsex2

a2 + y2

b2 = 1.

Si a = 2, b = 3, c = 5 y v ∈ [−1, 1] tenemos:

Shukhov (1853-1939)

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Paraboloide hiperbolicoHiperboloides reglados y paraboloides hiperbolicos son superficiesdoblemente regladas.

Los Manantiales, F. Candela (1990-1997)

Es una superficie de Bezier de bigrado (1, 1), la mas sendilla, 4puntos de control, la malla de cotrol es un cuadrilatero.

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Conoide de PluckerDada por la parametrizacion reglada

α(u, v) = (0, 0, sen(2u)) + v(cos(u), sen(u), 0), (u, v) ∈ [0, 2π)× R.

Si v ∈ [0, 2] tenemos:

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Banda de Mobius

Dada por la parametrizacion reglada

α(u, v) = (cos(u), sen(u), 0)

+ v(cos(u

2

)cos(u), cos

(u2

)sen(u), sen

(u2

)),

(u, v) ∈ [0, 2π)× R.

Si v ∈ [0, 2] tenemos:

u ∈ [0, π/4] u ∈ [0, π] u ∈ [0, 2π] u ∈ [0, 3π] u ∈ [0, 4π]

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Lınea de estriccionParametrizacion de la lınea de estriccionArista de retroceso

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Curvatura de superficies regladas

La curvatura de Gauss o total de una superficie reglada en unpunto regular P = α(u0, v0) es siempre menor o igual que cero.

K (P) =−f 2

EG − F 2= − [γ′(u0), ω(u0), ω′(u0)]2

||αu(u0, v0) ∧ αv (u0, v0)||4≤ 0.

Definicion Llamamos parametro de distribucion al numero realdado por el producto mixto p(u0) = [γ′(u0), ω(u0), ω′(u0)].

Observamos que:

• Todos los puntos regulares de una generatrizΓu0 ≡ γ(u0) + vω(u0) son del mismo tipo: si p(u0) = 0 sontodos parabolicos y si p(u0) 6= 0 son todos hiperbolicos.

• Toda generatriz Γu0 es una asıntota de la superficie, ya que lacurvatura normal es nula en la direccion de su vector director.

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Superficies desarrollables

Definicion Una superficie S (no necesariamente reglada) es unasuperficie plana si su curvatura de Gauss es cero en todo punto(regular). Tales superficies se han llamado tradicionalmentesuperficies desarrollables y se pueden construir doblando una hojade papel.

Una superficie reglada S es

desarrollable⇔ K (P) = 0,∀P ⇔ f = 0⇔ p(u) ≡ 0

En caso contrario diremos que S es no desarrollable o alabeada.

Son superficies regladas desarrollables: cilindros, conos, banda deMobius...

Proposicion Una superficie reglada es desarrollable si, y solo si, elvector normal es constante a lo largo de cualquier generatriz.

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Superficies desarrollables en Arquitectura

Museo Guggenheim de Bilbao. Frank O. Gehry, 1997

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Superficies desarrollables en Arquitectura

Parque del Milenio, Chicago. F.O. Gehry, 2004

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Superficies desarrollables

Proposicion Una superficie reglada es desarrollable si, y solo si, elvector normal es constante a lo largo de cualquier generatriz.

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Tipos de superficies desarrollables

1. S es cilındrica sobre una curva C si

α(u, v) = γ(u) + vw ,

siendo γ : (a, b)→ R una parametrizacion de C y w un vectorfijo de R3.

2. S es conica sobre una curva C si

α(u, v) = Q + vω(u),

siendo Q un punto de R3 llamado vertice y ω : (a, b)→ Runa parametrizacion de C.

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Ejemplo de superficie cilındrica

La superficie reglada S parametrizada porα(u, v) = (2cos(u), 0, 3sen(u)) + v(2, 1,−5) es cilındrica.

El plano tangente a S en los puntos de la generatriz α(Pi , v) es3 + x − 3y = 0.

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Ejemplo de superficie conicaLa superficie reglada parametrizada por

α(u, v) = (2, 0, 3) + v(u3, u, cos(u)),

(u, v) ∈ [0, 4π)× [0, 1] es una superficie conica.

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Tipos de superficies desarrollables

3 S es desarrollable tangencial de la curva C si

α(u, v) = γ(u) + vγ′(u),

siendo Q un punto de R3 y γ : (a, b)→ R unaparametrizacion de C.

Proposicion Las superficies cilındricas, conicas y desarrollablestangenciales son superficies planas (desarrollables).

En general una superficie desarrollable es en cierto sentido la unionde trozos de los tipos anteriores.

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Lınea de estriccion

Sea S una superficie reglada no cilındrica (asumimos queω′(u) ∧ ω(u) nunca se anula). Si una generatriz de S no contienepuntos singulares, entonces contiene un punto en el que lacurvatura de Gauss es mınima (maxima en valor absoluto), al quellamamos punto central.

La lınea de estriccion de S contiene a los puntos centrales y a lospuntos singulares de S, los puntos P = α(u, v) que verifican

(αu(u, v) ∧ αv (u, v)) · (ω′(u) ∧ ω(u)) = 0.

Dicha curva divide a la superficie en dos partes que son de algunaforma muy parecidas (en muchos casos existe algun tipo desimetrıa).

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Parametrizacion de la lınea de estriccion

La lınea de estriccion, de una superficie reglada no cilındrica,contiene:

• Los puntos singulares, αu(u, v) ∧ αv (u, v) = 0.

• Los puntos centrales, para los que ω′(u) ∧ ω(u) es ortogonal aαu(u, v) ∧ αv (u, v).

Es la curva parametrizada por:

β(u) = γ(u)−(

(γ′(u) ∧ ω(u)) · (ω′(u) ∧ ω(u))

||ω′(u) ∧ ω(u)||2

)ω(u).

Ejemplos con Maple

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Arista de retrocesoDefinicion La lınea de estriccion de una superficie desarrollabletangencial recibe el nombre de arista de retroceso.

En este caso solo contiene puntos singulares y su nombre se debeal siguiente resultado.

Recordemos que S esta parametrizada por

α(u, v) = γ(u) + vω(u) con ω(u) 6= 0,∀u.

Si γ′(u) ≡ 0 (es identicamente cero), S es conica y si ω′(u) ≡ 0, Ses cilındrica.

Proposicion Sea S una superficie desarrollable para la que γ′(u) yω′(u) nunca se anulan. Se demuestra que S es una superficiedesarrollable tangencial de su arista de retroceso, parametrizadapor β(u). Es decir,

α(u, v) = β(u) + vβ′(u).