Repaso Determinar una conica Haz de conicas Conicas degeneradas de un haz Algunos tipos de haces

Semana 13: Determinacion de conicas. Hacesde conicas proyectivas.

Sonia L. Rueda

ETS Arquitectura. UPM

Geometrıa afın y proyectiva, 2015

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Geometrıa afın y proyectiva

1. Algebra lineal

2. Geometrıa afın y euclıdea

3. Conicas y cuadricas

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Conicas y cuadricas

3.1 Introduccion al espacio proyectivo.

3.2 Clasificacion y determinacion de conicas.

3.3 Clasificacion de cuadricas y elementos notables.

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Contenidos

Repaso: Conica afın y proyectiva

Determinar una conicaInfinitas conicas pasan por 4 puntosInterseccion de dos conicas

Haz de conicas

Conicas degeneradas de un haz

Algunos tipos de haces4 puntos reales distintos.2 puntos reales distintos y 1 real doble.2 puntos reales dobles.

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Repaso: Conica afın y proyectiva

Determinar una conicaInfinitas conicas pasan por 4 puntosInterseccion de dos conicas

Haz de conicas

Conicas degeneradas de un haz

Algunos tipos de haces4 puntos reales distintos.2 puntos reales distintos y 1 real doble.2 puntos reales dobles.

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Conicas afines (reales)

Elipse Hiperbola Parabola

Junto con los casos degenerados (dos rectas reales que se cortan,dos rectas reales paralelas o coincidentes) o imaginarios.

Ecuaciones reducidas:

x2

a2+

y2

b2= 1,

x2

a2− y2

b2= 1, y2 = 2px .

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Conica afın

Dado

p(x , y) = a11x2 + a22y

2 + a12xy + a01x + a02y + a00 ∈ R[x , y ],

llamamos conica afın al conjunto de puntos del plano

C = {(x , y) ∈ R2 | p(x , y) = 0}

Expresamos su ecuacion en forma matricial, siendo A la matriz dela conica,

p(x , y) =(

1 x y) a00 a01/2 a02/2

a01/2 a11 a12/2a02/2 a12/2 a22

1xy

.

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Conica proyectiva

El polinomio homogeneo de grado dos

a00x20 + a11x

21 + a22x

22 + a12x1x2 + a01x1x0 + a02x2x0 ∈ R[x0, x1, x2]

define una forma cuadratica ω : R3 → R que tiene como matrizasociada la matriz A de la conica

ω(X ) = XAX t

siendo X = (x0, x1, x2). Llamamos conica proyectiva al conjunto depuntos de P2

C = {X ∈ P2 | ω(X ) = 0}.

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Repaso: Conica afın y proyectiva

Determinar una conicaInfinitas conicas pasan por 4 puntosInterseccion de dos conicas

Haz de conicas

Conicas degeneradas de un haz

Algunos tipos de haces4 puntos reales distintos.2 puntos reales distintos y 1 real doble.2 puntos reales dobles.

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Determinar una conica

Hallar los 6 coeficientes de su ecuacion

λp(x , y) = λ(a11x2 + a22y

2 + a12xy + a01x + a02y + a00) = 0

en funcion de un parametro λ.

λ

a00 a01/2 a02/2a01/2 a11 a12/2a02/2 a12/2 a22

Necesitamos 5 condiciones, 5 ecuaciones lineales en loscoeficientes.

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Determinar una conica

Existen infinitas conicas proyectivas que pasan por 4 puntos de P2.

Ejemplo con Maple:

Haz de conicas Conicas degeneradas

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Interseccion de dos conicas

Dadas dos conicas proyectivas C1 y C2, definidas por formascuadraticas ω1, ω2 : R3 → R, determinadas por matrices A1, A2.

La interseccion de dos conicas C1 y C2 puede ser un numero finito oinfinito de puntos, solucion del sistema de ecuaciones cuadraticas:{

ω1(x0, x1, x2) = XA1Xt = 0

ω2(x0, x1, x2) = XA2Xt = 0

La interseccion es infinita si las conicas son coincidentes o si,siendo degeneradas, tienen una recta en comun.

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Interseccion de dos conicas

Si excluimos estos casos la interseccion son cuatro puntos.

El sistema de 2 ecuaciones cuadraticas tienes 4 soluciones(contando multiplicidades):

1. 4 soluciones reales distintas.

2. 2 soluciones reales distintas y 1 real doble.

3. 2 soluciones reales dobles.

4. 1 solucion real de multiplicidad 4.

5. 2 soluciones reales y 2 complejas conjugadas.

6. . . .

Estudiaremos los casos 1, 2 y 3.

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Determinar una conicaInfinitas conicas pasan por 4 puntosInterseccion de dos conicas

Haz de conicas

Conicas degeneradas de un haz

Algunos tipos de haces4 puntos reales distintos.2 puntos reales distintos y 1 real doble.2 puntos reales dobles.

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Haz de conicas

Sean C1 y C2 dos conicas con interseccion finita.

Definicion El haz de conicas H determinado por C1 y C2 es unafamilia de conicas dada por la ecuacion

λ1ω1(X ) + λ2ω2(X ) = 0, con (λ1, λ2) ∈ R2 − {(0, 0)},

y la matriz del haz es λ1A1 + λ2A2.

Proposicion 1

1. Todas las conicas de H intersecan en los puntos comunes deC1 y C2. Llamamos puntos base de H al conjunto de puntosde P2 interseccion de todas las conicas del haz.

2. Por un punto que no sea punto base de H pasa una solaconica de H.

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Determinar una conicaInfinitas conicas pasan por 4 puntosInterseccion de dos conicas

Haz de conicas

Conicas degeneradas de un haz

Algunos tipos de haces4 puntos reales distintos.2 puntos reales distintos y 1 real doble.2 puntos reales dobles.

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Conicas degeneradas de un haz

Proposicion 2 Supongamos que el haz H esta determinado por lasconicas C1 y C2 y que al menos una de ellas es no degenerada. Elhaz de conicas H contiene a lo sumo 3 conicas degeneradas(contadas con multiplicidades).

Supongamos que C2 es no degenerada, det(A2) 6= 0:

det(A1 + µA2) = det(A2)µ3 + · · ·+ det(A1) = 0.

• Tres soluciones reales µ1, µ2, µ3. Conicas degeneradas conmatrices

A1 + µ1A2, A1 + µ2A2, A1 + µ3A2.

• Una solucion real µ1 y dos complejas. La unica conicadegenerada tiene matriz A1 + µ1A2.

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Determinar una conicaInfinitas conicas pasan por 4 puntosInterseccion de dos conicas

Haz de conicas

Conicas degeneradas de un haz

Algunos tipos de haces4 puntos reales distintos.2 puntos reales distintos y 1 real doble.2 puntos reales dobles.

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4 puntos reales distintos.Haz de conicas H con puntos base A,B,C y D. Conicasdegeneradas del haz:

C1 ≡ (A + B)(C + D) = r1r2 = 0,

C2 ≡ (A + C )(B + D) = s1s2 = 0,

C3 ≡ (A + D)(B + C ) = l1l2 = 0.

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2 puntos reales distintos y 1 real doble.Haz de conicas H con puntos base A,B y C = D. Conicasdegeneradas del haz:

C1 ≡ (A + B)(C + C ) = rt = 0,

C2 ≡ (A + C )(B + C ) = s1s2 = 0.

La recta t es tangente a las conicas no degeneradas del haz en C .

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2 puntos reales dobles.Haz de conicas H con puntos base A = B y C = D. Conicasdegeneradas del haz:

C1 ≡ (A + A)(C + C ) = t1t2 = 0,

C2 ≡ (A + C )(A + C ) = s2 = 0.

Las rectas t1 y t2 son tangentes a las conicas no degeneradas delhaz en A y C respectivamente.