3. polinomios de interpolación de newton
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Polinomios de Interpolacin de
Newton
Mara P. Trujillo y Deisy Chaves Edificio 331 Oficina 2108
Atencin a estudiantes:
Martes y Jueves 14:00 a 16:00
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Introduccin
Se tiene un conjunto de valores, y0,y1,..,yn, de cierta
funcin f, desconocida, en ciertos puntos, x0,x1,..,xn, e
interesa conocer los valores en puntos intermedios
Por ejemplo:
Para graficar la solucin de una ecuacin diferencial, y solo se cuenta con la solucin
numrica en un numero finito de puntos
Para determinar numricamente el integral determinado de una funcin y solo se cuenta con
un numero finito de puntos
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Problema de Interpolacin
Dada una funcin tabulada en n+1 puntos,
(xi, yi) (0in)
Se busca un polinomio p, del menor grado
posible, que pase por todos los puntos tal que
p(xi)=yi, para todo i, (0in)
i 0 1 2 3 ... k ... n
xi x0 x1 x2 x3 ... xk ... xn
f(xi)=yi y0 y1 y2 y3 ... yk ... yn
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Teorema de Existencia y Unicidad
Dados un conjunto de valores,y0,y1,..,yn, de
cierta funcin f, desconocida, en ciertos
puntos, x0,x1,..,xn
Si los x0,x1,x2,, xk,,xn son nmeros reales distintos, existe exactamente un polinomio
de grado menor o igual que n tal que p(xi)=yi,
p a r a t o d o i , (0in)
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Polinomio de Interpolacin en la forma de
Newton
Para obtener el polinomio pk+1 que interpola
la funcin en los puntos x0,x1,, xk+1, se usa el polinomio pk , que interpola la funcin en los
puntos x0,x1,, xk, al cual se le agrega el termino ck+1 y una funcin que anula los puntos
x0,x1,, xk al evaluar el polinomio en uno de estos puntos
Tenemos entonces que
p0(x) = c0
p1(x) = c0 + c1 (x-x0) Polinomio de orden uno
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Polinomio de Interpolacin en la forma de
Newton (Continuacin)
Veamos que
))...((...))(()()(
...
))(()()(
)()(
)(
10102010
1020102
0101
00
nnn xxxxcxxxxcxxccxp
xxxxcxxccxp
xxccxp
cxp
))(()()(
)()(
)(
12022021022
011012
002
xxxxcxxccxp
xxccxp
cxp
-
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Polinomio de Interpolacin en la forma de
Newton (Continuacin)
En forma comprimida tenemos,
La construccin del polinomio requiere que
1
00
0);()(i
j
j
k
i
ik nkxxcxp
kkk
k
k
k
yxp
yxp
yxp
yxp
)(
...
)(
)(
)(
22
11
00El polinomio pasa por
todos los puntos y por
tanto ah el error es cero
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Polinomio de Interpolacin en la forma de
Newton (Continuacin)
Los coeficientes se determinan tal que
kkk
k
k
k
yxp
yxp
yxp
yxp
)(
...
)(
)(
)(
22
11
00
)( 01
011
00
xx
yyc
yc
nkxxxxxx
xpyc
kkkk
kkkk
1;))....()((
)(
110
1
-
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Ejercicio
Construir el polinomio de interpolacin y
calcular el valor de la funcin para x=1
i xi f(xi)
0 0 1.0
1 0.4 1.49182
2 0.8 2.22554
3 1.2 3.32011
-
0.500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
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Polinomios de Interpolacin
de la forma de Newton
La interpolacin de
Newton no tiene
limitaciones de
reutilizacin de
clculos previos
Esta basada en una
tabla de diferencias
ik
i
k
i
k
iii
iii
iii
ii
fff
fff
fff
fff
ff
1
1
1
2
1
23
1
2
1
1
0
....
-
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4
43
2
2
22
1
3
1
2
11
0
4
0
3
0
2
00
432
4
3
2
1
0
f
ff
fff
ffff
fffff
fffffi iiiii
Polinomios de Interpolacin
de la forma de Newton
-
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Es una diferencia dividida finita de orden N+1,
ya que esta dada por los coeficiente principales
de orden N dividida entre la distancia entre los
puntos mas extremos
Las diferencias divididas se calculan entonces
con base en esta idea
01
),...,1,0()1,...,2,1()1,,...,1,0(
1
xx
fff
N
NN
NN
NNN
Polinomios de Interpolacin
de la forma de Newton
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Diferencias Divididas Finitas
)xx(
)x(f)x(f)x,x(f
1ii
1i
0
i
0
1ii
1
)(
),(),(),,(
2
21
1
1
1
21
2
ii
iiiiiii
xx
xxfxxfxxxf
ii yxf )(0
)(
),,(),,(),,,(
3
321
2
21
2
321
3
ii
iiiiiiiiii
xx
xxxfxxxfxxxxf
-
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Tabla de Diferencias Divididas
xi f (xi) f1 Primero f2Segundo f3Tercero f4 Cuarto
-
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Polinomios de Interpolacin de Newton con
Diferencias Divididas
Tenamos que
El polinomio de Interpolacin de Newton con
diferencias divididas se define como
1
00
0);()(i
j
j
k
i
ik nkxxcxp
1
00
0);()(i
j
j
k
i
ik nkxxbxp
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Polinomios de Interpolacin de Newton con
Diferencias Divididas
donde los coeficientes del polinomios se
calculan con base en la tabla de diferencias
divididas
00 xfb
],[ 011 xxfb
0122 ,, xxxfb
0,, xxfb nn
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Ejemplo
)2)(1)(2(3.0)1)(2(25.0)2(24)(3 xxxxxxxp
xi f (xi) f1 Primero f2Segundo f3Tercero
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Ejercicio
Calcular el polinomio usando la tabla de
diferencias divididas finitas
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Error de Interpolacin
El error de interpolacin esta dado por la
diferencia entre la funcin f(x) y el polinomio
p(x)
Usando una modificacin del teorema del
desarrollo de series de Taylor
)()()( xpxfxR n
n
i
ix
n
nn xxfn
xpxfxR0
)1( )()!1(
1)()()(
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Ejemplo
Sea f(x)=sin(x), se interpola la funcin en el
intervalo [0,] usando 10 puntos. El error de interpolacin esta dado por
Generalmente se tiene un conjunto de puntos
y se desconoce la forma de la funcin y sus
derivadas
10
0
)10( )()(sin!10
1)()sin(
i
ix xxxpx
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Error de Interpolacin Usando Diferencias
En este caso la derivada se aproxima con la
diferencia para tener una aproximacin del
error
Ejemplo
Usando los datos del ejemplo del slide 10, el
error de interpolacin de p2(x) esta dado por
n
i
ixxxnnn xxfxpxpxR nn0
,....,,1 )()()()( 01
)1)(2(25.0)2(24)(2 xxxxp
)2)(1)(2(3.0)(2 xxxxR
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Lecturas Complementarias
Mtodos Numricos para Ingenieros, Steven C. Chapra
y Raymond P. Canale
Capitulo 18: Interpolacin
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