2 modelado matematico
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Captulo 2: Modelado Matemtico de Sistemas de Control
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Funcin de Transferencia y Respuesta Impulso
Funcin de Transferencia:
Sistema LTI:
Funcin de Transferencia:
(Sistema de orden n) Respuesta Impulso:
X(s) Y(s)
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3
Sistemas de Control Automtico
Diagramas de Bloques:
X(s) Y(s)
Y(s) = G(s) X(s)
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4
Sistemas de Control Automtico
Diagramas de Bloques: Sistema en lazo cerrado
Funcin de transferencia en lazo cerrado:
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5
MATLAB 2-1
Sistemas de Control Automtico
Diagramas de Bloques: Uso de MATLAB
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6
Controladores Automticos
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7
Controladores Industriales
1. De dos posiciones (ON OFF)
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8
Controladores Industriales
1. De dos posiciones (ON OFF)
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9
Controladores Industriales
2. Controlador Proporcional (P)
Kp e(t) u(t)
Funcin de Transferencia:
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10
Controladores Industriales
3. Controlador Integral (I)
Ki/s e(t) u(t)
Funcin de Transferencia:
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11
Controladores Industriales
4. Controlador Proporcional-Integral (PI)
G(s) e(t) u(t)
Funcin de Transferencia:
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Controladores Industriales
5. Controlador Proporcional-Derivativo (PD)
G(s) e(t) u(t)
Funcin de Transferencia:
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Controladores Industriales
6. Controlador Proporcional Integral Derivativo (PID)
Funcin de Transferencia:
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Sistema Sujeto a Perturbaciones
F.T. de la perturbacin: (se asume que R(s) = 0)
F.T. de la entrada de referencia: (se asume que D(s) = 0)
En un sistema lineal:
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Diagrama de Bloques
Procedimiento: 1. Ecuaciones que describen el comportamiento dinmico de cada componente:
2. Transformadas de Laplace de las ecuaciones (asumimos C.I. = 0)
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Diagrama de Bloques
3. Representar individualmente en forma de bloques cada ecuacin
4. Se integran los elementos en un solo diagrama
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Modelado en el Espacio de Estados
Teora de Control Moderno: MIMO Variables en el Tiempo Desde 1960 Concepto de Estado Sistemas lineales y no lineales En el Dominio del tiempo
Estado:
Conjunto ms pequeo de variables (variables de estado) de tal manera que el conocimiento de estas variables en t = t0, junto con el conocimiento de la entrada para t t0, determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier t t0.
Variables de Estado: Determinan el estado del sistema dinmico. No necesitan ser fsicamente medibles u observables.
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Modelado en el Espacio de Estados
Vector de Estado: Si se necesitan n variables de estado:
= =
12. .
Espacio de Estado:
Espacio n-dimensional, cuyos ejes de coordenadas estn formados por las variables de estado.
Ecuaciones en el Espacio de Estados: La representacin de un sistema no es nico El nmero de variables de estado es el mismo La salida de los integradores de un sistema son las variables de estado.
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Sistema de ecuaciones de un sistema dinmico:
Ecuaciones de salida del sistema dinmico:
Ecuaciones en el Espacio de Estado
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Si definimos las siguientes matrices:
Entonces, las ecuaciones anteriores se pueden escribir como:
(Ecuacin de estado)
(Ecuacin de salida)
Ecuaciones en el Espacio de Estado
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Ecuaciones en el Espacio de Estado
Para un sistema lineal:
Para un sistema Lineal e Invariante en el tiempo (LTI):
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Ejemplo:
Modelo matemtico:
Variables de estado:
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Ejemplo (cont.):
Ec. de estado:
Ec. de salida:
Modelo en espacio de estados:
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Relacin entre Funcin de Transferencia y Ecuaciones de Estado
Modelo en espacio de estado:
Laplace:
Reemplazo en la ecuacin de salida:
Ya que: Entonces:
Condiciones Iniciales = 0 :
Matriz Funcin de Transferencia, dimensin m x r
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Ejemplo:
Modelo en espacio de estados:
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Representacin en el espacio de estados de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
Ecuacin diferencial:
Funcin de Transferencia:
Calculo coeficientes Beta:
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Representacin en el espacio de estados de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
En notacin matricial:
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Usando MATLAB para transformar Modelos
De Funcin de Transferencia a Espacio de Estados:
F. T.
MATLAB:
Ejemplo:
Ver MATLAB Programa 2-2
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Usando MATLAB para transformar Modelos
De Espacio de Estados a Funcin de Transferencia:
Ver MATLAB Programa 2-3
Ejemplo:
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