1.sistemas de ecuaciones lineales 2.Álgebra de matrices 3.determinantes 4.geometría de los...
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1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
...
...
...
es el número de incognitas
n n
n n
i i i in n i
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n
es el número de ecuacionesm
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
En términos de matrices el sistema
de ecuaciones se puede escribir
...
...
. . .
. . .
. . .
...
n
n
m m mn m m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
11 12 1
21 22 2
1 2
Si
...
...
.
.
.
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
A
1 1
2 2
. . y
. .
. .
m m
x b
x b
x b
x b
El sistema de ecuaciones se escribe
x bA
1 1
1
1
x b
x b
x b
x b
A
A A A
I A
A
1.Suma, multiplicación por un escalar y transposición
2.Multiplicación de matrices
3.Matrices inversas
4.Matrices elementales
Si es una matriz cuadrada,
una matriz es llamada la
inversa de si y sólo si
y
A
B
A
AB I BA I
Una matriz que tiene matriz inversa
es llamada matriz invertible.
Si es una matriz cuadrada, una matriz es llamada
la inversa de si y sólo si y A B
A AB I BA I
Si es una matriz cuadrada, una matriz es llamada
la inversa de si y sólo si y . A B
A AB I BA I
Hay matrices que no tienen inversa
Si la inversa existe, es única
1 1
1
1
x b
x b
x b
x b
A
A A A
I A
A
Si es una matriz cuadrada invertible,
existe una secuencia de operaciones
elementales de los renglones que lleva
la matriz a la matriz identidad del
mismo tamaño, escribimos .
A
A I
A I
1
Esta misma serie de operaciones en los
renglones lleva la matriz a .I A
Si es una matriz cuadrada invertible, existe una
secuencia de operaciones elementales de los
renglones que lleva la matriz a la matriz
identidad del mismo tamaño, escribimos .
A
A
I A I
1 1 0 1 0 0
3 0 2 0 1 0
1 0 1 0 0 1
12
3 1 3
3
/3
1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0
3 0 2 0 1 0 0 3 2 3 1 0
1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1
1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0
0 3 2 3 1 0 0 1 2 / 3 1 1 / 3 0
0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1
R R
R R R
3 2
33
1 1 0 1 0 0
0 1 2 / 3 1 1 / 3 0
0 1 1 1 0 1
1 1 0 1 0 0
0 1 2 / 3 1 1 / 3 0
0 0 1 / 3 0 1 / 3 1
1 1 0 1 0 0
0 1 2 / 3 1 1 / 3 0
0 0 1 0 1 3
R R
R
2 3 2 3
1 2
2 2
3 3
1 1 0 1 0 0
0 1 2 / 3 1 1 / 3 0
0 0 1 0 1 3
1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0
0 1 2 / 3 1 1 / 3 0 0 1 0 1 1 2
0 0 1 0 1 3 0 0 1 0 1 3
1 0 0 0 1 2
0 1 0 1 1 2
0 0 1 0 1 3
R R R R
R R
Sea una matriz .
es invertible o no singular si existe
una matriz de rango tal que
n
n n
n n
A
A
B
AB = BA = I
La matriz se llama inversa de y se denota
Cuando existe la matriz inversa es única
1B A A
Sea una matriz . es invertible o no singular si existe una
matriz de rango tal que n
n n
n n
A A
B AB = BA = I
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
Toda matriz cuadrada tiene asociado
un , que es un núdeterminant mero compl j .e e o
n n
11 12 1
21 22 2
1 2
El determinante de la matriz se escribe
...
...
.det
.
.
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
A
A
,1
det sgn
La suma se calcula sobre todas las
permutaciones de los números
1,2,3,..., y sgn es 1 si la
permutación es par ó 1 si es impar.
n
n
i iS i
a
n
A
11 22 12 21
*Permutaciones del 1 y el 2: 1,2 , 2,1
así que
det a a a a A
,1
det sgn
La suma se calcula sobre todas las permutaciones
de los números 1,2,3,..., y sgn es 1 si la
permutación es par ó 1 si es impar.
n
n
i iS i
a
n
A
11 1211 21 21 12
21 22
En el caso de una matriz cuadrada 2 2
el determinante es el número complejo
deta a
a a a aa a
A A
1 3 1 3det
2 4 2 4
1 4 3 2 10
11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 22 31 13 21 32
Permutaciones del 1, 2 y 3
1,2,3 , 1,3,2 , 2,1,3 , 2,3,1 , 3,2,1 , 3,1,2
así que
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
,1
det sgn
La suma se calcula sobre todas las permutaciones
de los números 1,2,3,..., y sgn es 1 si la
permutación es par ó 1 si es impar.
n
n
i iS i
a
n
A
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 22 33 12 23 31 13 21 32
11 23 32 12 21 33 13 22 31
En el caso de una matriz cuadrada 3 3
el determinante es el número complejo
det
a a a
a a a
a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
A A
5 3 3 5 3 3
3 1 0 det 3 1 0
4 2 3 4 2 3
5 3 3
3 1
5 3 3
3 1 0
0
4 2 3
Truco que solo sirve para matrices 3x3
1) Se duplican los renglones 1 y 2
5 3 3
3 1 015 185 1 3
3
3 0124 2 3
27 0 1
2 3 4
3 3 5 2 0 4 15 3 3
3 1 0
3 0
3 2
2) Se multiplican diagonalmente hacía abajo con signo +
y diagonalmente hacía arriba con signo -
1 0 2
4 1 5
1 1 2
1 0 2 1 0 2
4 1 5
4 3
det 4 1 5
2 3 2 2 3 2
1 0 2
4 1 5
2 3 2
2 24 0
0 15
2 2 0
4 0 2 1 3 5 2 1
5
4
2
33
1.- Si todos los elementos de una fila o de una columna de
una matriz son cero, entonces su determinante es cero
2.- Si todos los elementos de una fila o de una columna de
una matriz se multiplican por el mismo número , entonces
su determinante se multiplica por .
3.- Si una par de filas o de columnas de una matriz se
intercambian, el determinante cambia de signo
k
k
4.- Si una fila o una columna de una matriz es
proporcional a otra fila o a otra columna, el
determinante es cero.
5.- Si todos los elementos de una fila o de una
columna se pueden expresar como la suma de
dos términos, entonces el determinante puede
escribirse como la suma de dos determinantes,
cada uno de los cuales contiene uno de los
términos en la fila o columna correspondiente.
6.- Si a todos los elementos de una fila o de una columna
se le añade veces el elemento correspondiente de otra
fila o columna, el valor del determinante no cambia.
k
11 22 33
Si la matriz es triangular,
entonces
det ...
es decir, el determinante es el
producto de los elementos
diagonales.
nna a a a
A
A
Usando las propiedades 1 a 6 expuestas
arriba, se lleva la matriz original a una
forma triangular cuyo determinante es
el producto de los elementos de la
diagonal
1
Sea una matriz cuadrada .
Eligimos una fila, la ,
entonces
det 1
donde es el determinante de la matriz
que resulta de quitar la fila y la columna
ni j
ij ijj
ij
n n
i
a M
M
i j
A
A
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
.
.
.
...
n
n
ijij
m m mn
a a a
a a a
Ma
a a a
1
Sea una matriz cuadrada .
Eligimos una columna, la ,
entonces
det 1
donde es el determinante de la matriz
que resulta de quitar la fila y la columna
ni j
ij iji
ij
n n
j
a M
M
i j
A
A
5 3 3
3 1 0
4 2 3
1) Se escoge un renglón.
Elegimos el primero.
2) Se toman los elementos de ese renglón uno por uno.
Empecemos por el elemento 5.
3) Se crea un nuevo determinante quitando el renglón
y la colum
-1 0
2 3
na del elemento escogido, es decir
A este determinante se le llama menor
1 1
5 3 3
3 1 0
4 2 3
-1 0-1 5
2 3
Número de columna+Número de renglón
4) El determinante obtenido (el menor) se
multiplica por el elemento y se pone como
signo -1
En este caso
5 3 3
3 1 0
4 2 3
5) Se hace lo mismo con todos los
elementos del renglón escogido.
1 1 1 2 1 3
5 3 3
3 1 0
4 2 3
1 0 3 0 3 11 5 1 3 1 3
2 3 4 3 4 2
5 3 3 9 3 10 15 27 30 12
1 1 1 2
1 3 1 4
0 3 4 2
1 0 2 2
1 3 2 1
3 2 3 1
0 2 2 1 2 2
1 0 3 2 1 1 3 1 2 1
2 3 1 3 3 1
1 0 2 1 0 2
1 4 1 3 1 1 2 1 3 2
3 2 1 3 2 3
1 2 2 1 2 2 1 0 2
3 1 2 1 4 1 2 1 2 1 3 2
3 3 1 3 3 1 3 2 3
1 2 22 1 1 1 1 2
1 2 1 1 2 2 1 5 2 2 2 9 93 1 3 1 3 3
3 3 1
1 0 23 1 1 1 1 3
1 3 1 1 0 2 1 1 0 2 2 7 132 1 3 1 3 2
3 2 1
1 0 23 2 1 2 1 3
1 3 2 1 0 2 1 13 0 9 2 7 272 3 3 3 3 2
3 2 3
1 1 1 2
1 3 1 4
0 3 4 2
1 0 2 2
1 3 2 1
3 2 3 1
0 2 2 1 2 2
1 0 3 2 1 1 3 1 2 1
2 3 1 3 3 1
1 0 2 1 0 2
1 4 1 3 1 1 2 1 3 2
3 2 1 3 2 3
3 9 4 13 2 27 25
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
Un espacio vectorial es un conjunto en el que hay definidas
dos operaciones:
suma + y multiplicación por un escalar.
* Es cerrado respecto a las dos operaciones
* Existe el 0 respecto a la suma
* Exi
V
ste el inverso respecto a la suma
* Las operaciones son asociativas y distributivas
Sea un conjunto no vacio de objetos, llamados elementos.
El conjunto es un espacio lineal, o espacio vectorial o
espacio vectorial lineal si:
V
V
Axioma de cerradura bajo la suma:
Axioma 1. Para cualesquiera dos elementos y en
corresponde un único elemento en llamado la suma
y denotado como
x y V
V
x y
Sea un conjunto no vacio de objetos, llamados elementos.
El conjunto es un espacio lineal, o espacio vectorial o
espacio vectorial lineal si:
V
V
Axioma de cerradura bajo la multiplicación por un real:
Axioma 2. Para cualquier elementos en y para
cualquier escalar corresponde un único elemento
en llamado el producto de por y denotado
x V
a
V a x como ax
Axioma 3. Conmutatividad de la suma
Para todos y en se tiene
x y V
x y y x
Axioma 4. Asociatividad de la suma
Para todos , y en se tiene
x y z V
x y z x y z
Axioma 5. Existencia del elemento 0
Hay un elemento en , denotado por 0, tal que
0 para todo en
V
x x x V
Axioma 6. Existencia del negativo
Para todo elemento en , el elemento -1 tiene la
propiedad
-1 0
x V x
x x
Axioma 7. Asociatividad en la multiplicación por
un escalar
Para todo en y para todos los escalares
y , se tiene
x V
a b
a bx ab x
Axioma 8. Distributividad en la multiplicación por un
escalar respecto a la suma en
Para todo y en y para todo escalar , se tiene
V
x y V a
a x y ax ay
Axioma 9. Distributividad en la adición de escalares
Para todo en y para todos los escalares y ,
se tiene
x V a b
a b x ax bx
Axioma 10. Existencia de la identidad
Para todo en , se tiene 1x V x x
• Espacios vectoriales reales
• Espacio vectoriales complejos
A los números utilizados como multiplicadores se les denomina escalares. A los escalares los denotaremos por letras itálicas
A los elementos del espacio vectorial les llamaremos genéricamente vectores. A los vectores los denotaremos por letras itálicas con flecha arriba
Sea el conjunto de todas las -adas de números reales.n nR
1 2 1 2
1 1 2 2 3
Para cualesquiera dos elementos
, ,..., y , ,..., de
definimos la suma como la -ada
, ,..., .
nn n
n
x x x x y y y y
x y n
x y x y x y x y
R
1 2
1 2
Para cualquier número real
y para cualquier -ada , ,..., de
definimos el producto por un número real
como la -ada
, ,...,
nn
n
r
n x x x x
rx
n
rx rx rx rx
R
1)
2)
3)
4)
5) 0
6) 1 0
7)
8)
9)
10) 1
n
n
x y
rx
x y y x
x y z x y z
x x
x x
r sx rs x
rx ry r x y
rx sx r s x
x x
R
R
: , continua
Matrices
nR
V f a b R f
M m n m n
Sea el conjunto de funciones continuas definidas en el
intervalo , .
: , es continua en el intervalo
La suma y la multiplicación por un escalar son las usuales,
y ante bajo esas operaciones las
V
a b
V f a b R f
funciones siguen siendo
continuas, así que el conjunto es cerrado ante ambas
operaciones.
Las demás propiedades son triviales.
El conjunto de matrices de un tamaño dado,
con componentes en los complejos ,
es un espacio vectorial
Matm n
C
C
El cero 0 es único
El negativo, denotado como , es único
0 0
0 0
Si 0 entonces 0 ó 0
Si y 0, entonces
Si y 0, entonces
v
v
r
r v rv r v
rv r v
rv ru r v u
rv sv v r s
v
1
2 , 3 , y en general n
i
u v u v u
v v v v v v v v nv
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