1.5 análisis estadístico

Unidad temática1. Introducción

ProfesorMatías Peredo Parada

Matias peredo@usach clMatias.peredo@usach.clDepartamento de Ingeniería Civil en Obras Civiles

Oficina 18Oficina 18

Av. Ecuador 3659 Estación Central · Santiago · Chile · 7182810

Contenido Unidad Temática1 Introducción1. Introducción

1.1 Generalidades de la Hidrología

1.2 El clima

1.3 Características geomorfológicas de la cuencacuenca

1 4 Balance hídrico1.4 Balance hídrico

1 5 Análisis probabilístico de variables1.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

2

1 5 Análisis probabilístico1.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicasde variables hidrológicas

ÍndiceÍndice

Revisión de conceptos básicos

F ó l t i V i bl t dí tiFenómenos aleatorios. Variables estadísticas y aleatorias

Modelos probabilísticos de mayor uso en hidrología✓ Recursos

✓ Crecidas

Técnicas de estimación de parámetros y selección deTécnicas de estimación de parámetros y selección de modelos

P í d d t iPeríodo de retorno y riesgo

Análisis de frecuencia

41.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Conceptos básicos (i)Conceptos básicos (i)

Proceso hidrológico

Determinística Aleatoria

Proceso estocástico

I id bIncertidumbre

Hipótesis: Estacionaridadp

Estudios de crecidas Análisis de frecuencia

Estudios de recursos hídricos Régimen hidrológico

Año hidrológico vs. Año natural5

1.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

g

Variables aleatorias. Función de di t ib ió (i )distribución (iv)

Función de distribución de probabilidad acumulada (cdf) de una variable aleatoria:( )

x][X P = (x)F X ≤ ada

95

99

99.9

a

Percentil o cuantil:

][( )X

. acu

mul

a

50

80

95

Percentil o cuantil:

(a)F=X -1 % p

rob

1

5

20

F ió d d id d d b bilid d ( df)

(a)F= X Xa100 1000 10000

0.1

Xa

Función de densidad de probabilidad (pdf):(x)Fd=(x)f X

X

61.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

dx(x)f X

Variables aleatorias. Momentos y t dí ti ( ii)estadísticos (vii)

Momentos EstadísticosMomentos Estadísticos

Población Muestra

∫∞

∞−

== dxxxfXE )()(μPrimero momentoMedia ∑

=

=n

i

i

nXX

1

[ ] ∫∞

∞−

−=−= dxxfxXE )()()( 222 μμσSegundo momentoVarianza

( )∑=

−−

=n

ii XX

nS

1

22

11

Desviación estándaro desviación típica

2σσ = 2SS =p

Coeficiente de variaciónμσ

=CVXSCV =

[ ] ∫∞

−=−= dxxfxXE )()(1)( 33

3 μσ

μγTercer momentoCoeficiente de asimetría ( )( )

( )∑ −=

ni

s SXX

nnnC 3

3

21

μ X

71.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

∞−σCoeficiente de asimetría ( )( )∑=−− i Snn 121

ÍndiceÍndice

Revisión de conceptos básicos

Modelos probabilísticos de mayor uso en hidrologíaModelos probabilísticos de mayor uso en hidrología✓ Recursos

✓ Crecidas

Técnicas de estimación de parámetros y selección de p ymodelos

Período de retorno y riesgoPeríodo de retorno y riesgo

Análisis de frecuencia

81.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í R (i)en hidrología. Recursos (i)

Normal ∞≤≤∞−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡− xe

1=(x)f 2

2

2)-(x μ

Normal✓Aplicación del teorema

∞≤≤∞⎥⎦⎢⎣ xe2

(x)f 2X σσπ

del límite central

✓Valores negativos✓Valores negativos

✓Asimetría nula

91.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í R (ii)en hidrología. Recursos (ii)

ln1 2)x( μL l 0ln

>x e 2x1 = (x)f 2

Y

Y

2)-x(

-

YX σ

μ

σπ1

Lognormal

e = 2YY 2

1 + σμμ✓ Media

e - e = 2YY

2YY + 22 + 22 σμσμσ✓ Varianza

✓ P i d d2ln

22lnlnln ln XYXY bba σσμμ =+=

✓ PropiedadesY=aXb

W=XY 2ln

2ln

2lnlnlnln YXWYXW σσσμμμ +=+=

101.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

2ln

2ln

2lnlnlnln YXRYXR σσσμμμ +=−=R=X/Y

Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í R (iii)en hidrología. Recursos (iii)

Normal99.9

ada 80

9599

LogNormal

prob.

acum

ula

52050

g

da

99

99.9

% pr

0 1 2 3 40.1

15

acum

ulad

50

80

95

Aportaciones anuales (Hm3)0 1 2 3 4

(X 1000)Caudal medio anual

% p

rob.

1

5

20

Aportaciones anuales (Hm3)100 1000 10000

0.1

Caudal medio anual

111.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Aportaciones anuales (Hm3)Caudal medio anual

Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í R (i )en hidrología. Recursos (iv)

Gamma xX ex = (x)f λβ

β

βλ −−

Γ1

)(

✓Variables hidrológicas

βΓ )(

22

λβσ

λβμ ==

✓Variables hidrológicas asimétricas

λλ

✓ Límite inferior cero

✓Usada con✓Usada con precipitación

121.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í R ( )en hidrología. Recursos (v)

Weilbull⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

β1

exp1)( xxFX

✓Distribución teórica de mínimos

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝α

p)(X

( )βαμ β +Γ 1( )( ) ( )[ ]ββασ

βαμβ

β

+Γ−+Γ=

+Γ=

1211

222

131.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í C id ( i)en hidrología. Crecidas (vi)

Gumbel ( )θ

λμ 0,5772 + = ln

( )e- = (x)F x -X

θλexpθ

θπσ 2

22

6 =

✓ Extremos de una población normal

1,1396 = γ

✓ Valores negativos✓ Ajuste pésimo en clima

torrencial

141.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í C id ( ii)en hidrología. Crecidas (vii)

LogPearson tipo III

( ) ( )

( ) 0

10 log

0

yxx

eyy = (x)fyy

X ≥Γ

− −−−

βλ λββ

( )ββ

λs

y

YCS

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

22

✓ Usada USA por US Water

( )xΓ ββYSYy −=0

✓ Usada US po US ateResources Council

✓ Extremos de una población normal

✓ Valores negativos

✓ Ajuste pésimo en clima torrencial

151.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í C id ( iii)en hidrología. Crecidas (viii)

General Extreme Value (GEV)⎤⎡

⎞⎛1

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αβ

βx-x-1- = (x)F 0X exp

⎦⎣

[ ])1+(-1 + x = 0 ββαμ Γ [ ])1+(-)1+2(= 2

22 ββα

σ ΓΓ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛[ ])( β

βμ [ ])1()12( ββ

βσ ΓΓ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

) +1 ( 2 + ) +1 ( ) 2+1 ( 3 - ) 3+1 ( =3 ββββγ ΓΓΓΓ

± [ ] ) +1 ( - ) 2+1 ( =

2 3/2 ββγ

ΓΓ±

✓ Usada por el UK Natural Environment Research Council

✓ Gumbel es un caso particular de GEV16

1.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

✓ Gumbel es un caso particular de GEV

Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í C id (i )en hidrología. Crecidas (ix)

Two Component Extreme Value (TCEV)

[ ]xxX ee = (x)F 21

21exp θθ λλ −− −−

✓Surge en Italia 80’sC id di iCrecidas ordinarias

Crecidas extraordinarias

✓Máximo de dos poblaciones Gumbel independientesp p

✓Excesivo número de parámetros

171.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í C id ( )en hidrología. Crecidas (x)

SQRT-ET-maxSQRT ET max

( ) ( )[ ]x-x+1k=F(x) αα expexp − ( ) ( )[ ]x-x+1k=F(x) αα expexp −

✓Origen japonés

✓ Justificación física para precipitaciones diarias✓ Justificación física para precipitaciones diarias máximas anuales

✓Sól d á t✓Sólo dos parámetros

181.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

ÍndiceÍndice

Revisión de conceptos básicos

Modelos probabilísticos de mayor uso en hidrologíaModelos probabilísticos de mayor uso en hidrología✓ Recursos

✓ Crecidas

Técnicas de estimación de parámetros y selección de p ymodelos

Período de retorno y riesgoPeríodo de retorno y riesgo

Análisis de frecuencia

191.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Técnicas de estimación de parámetros y l ió d d l (i)selección de modelos (i)

Métodos de estimación

✓Método de los momentos✓Método de los momentosMomentos poblacionales = Parámetros

✓Método de Máxima Verosimilitud✓Método de Máxima VerosimilitudMás adecuado

( ) ( )θθ ;1

i

n

ixfL

=∏=

201.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Técnicas de estimación de parámetros y l ió d d l (ii)selección de modelos (ii)

Selección de modelos✓Experiencia personal

✓Test de ajuste estadísticos✓Test de ajuste estadísticosPrueba Chi-Cuadrado

P b K l S iPrueba Kolmogorov-Smirnov

Prueba W

Prueba Student

✓Comparación con la distribución empíricas o plotting p p p gpositions

211.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Técnicas de estimación de parámetros y l ió d d l (ii)selección de modelos (ii)

Test Chi-Cuadrado ( ) ( )[ ]( )∑ −

=m

i i

iisc xp

xpxfn1

22χ

✓ H0 = Distribución de probabilidad propuesta se ajusta

( )=i ixp1

Tomado de Chow 1994

✓ H0 Distribución de probabilidad propuesta se ajusta adecuadamente a la muestra

22RECHAZA =

21,

2ανχχ −>c

22ACEPTA =

✓ Grados de libertad m p 1

21,

2ανχχ −<c

✓ Grados de libertad ν = m-p-1

✓ Nivel de confianza 1-α = 95% generalmente. nivel de significancia

221.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

α = nivel de significancia

Técnicas de estimación de parámetros y l ió d d l (iii)selección de modelos (iii)

Método gráficos✓ Papel probabilístico✓ Papel probabilístico

Normal

LognormalLognormal

Gumbel

✓ Plotting position

Weibull 1+=

nmp donde,

m = ordenú d b i

Gringortenan

amp21−+

−=

n = número de observacionesa= 0.375 Normal

0.44 Gumbel 0 4 Otras

231.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

0.4 Otras

ÍndiceÍndice

Revisión de conceptos básicosModelos probabilísticos de mayor uso en hidrologíaModelos probabilísticos de mayor uso en hidrología✓ Recursos✓ Crecidas✓ Crecidas

Técnicas de estimación de parámetros y selección de modelosmodelosPeríodo de retorno y riesgo Análisis de frecuencia

241.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Período de retorno y riesgo (i)Período de retorno y riesgo (i)

Año de Intervalo de recurrenciaCaudales máximos anuales Año de excedencia

Intervalo de recurrencia (años)

19314

1935

Caudales máximos anuales

6000

7000

11936

11937

4000

5000

3 s-

1

19377

19449

19532000

3000m3

m1 mi mnxT 1953

31956

61962

0

1000

1930 1935 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970

T

19623

19652

1930 1935 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970Año

19675

1972Promedio

0.4=m25

1.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

4.00

Período de retorno y riesgo (ii)Período de retorno y riesgo (ii)

Para cada observación✓Éxito

✓Fallo

pxX T prob.≥

( )pxX T −< 1prob.( ) pp m 11 −−

✓Fallo ( )pT p ob.

( ) ( )∑∞

−11 mE( ) ( )∑=

−=1

1m

ppmmE

( ) TpE 1( )( )[ ] T

pppmE ==−−

=11 2

261.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Período de retorno y riesgo (iii)Período de retorno y riesgo (iii)

Si la v.a. es máximo anual [ ] ( ) 1

Probabilidad de excedencia[ ] ( ) ][añomediafrecuencia 1−=≤ xFxXP X

Probabilidad de excedencia[ ] ( )xFxXP X−=> 1

✓Período de retorno T período medio entre excedencias en años

( )xFT

X−=

11

No confundir con período exacto de ocurrencia

( )xFX1

271.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Período de retorno y riesgo (iv)Período de retorno y riesgo (iv)

V.a. X es el Qmáx anual registrado en el aforo de un ríoT = 100 años para X = 150 m3/s indica que:T = 100 años para X = 150 m /s indica que:

✓ Probabilidad de no excedencia del valor 150 m3/s un año cualquiera esP [X≤150] = FX(150) = 1-(1/T) = 1-(1/100) = 1-0,01 = 0,99

✓ Probabilidad de excedencia del valor 150 m3/s un año cualquiera es✓ Probabilidad de excedencia del valor 150 m /s un año cualquiera esP [X>150] = 1-FX(150) = 1/T = 1/100 = 0,01

✓ En los próximos 1000 años ¿cuántas veces Qmáx anual superará 150 m3/s?:

en el entorno de 10 veces

✓ En los próximos 1000 años ¿cuál es la probabilidad de que el valor 150 3/ d l 1 ? RIESGO

281.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

150 m3/s se vea superado al menos 1 vez? → RIESGO

Período de retorno y riesgo (v)Período de retorno y riesgo (v)

“Fallo” de una infraestructura hidráulica = situación en la que su capacidad se ve superada (excedencia)q p p ( )

Si caudal de diseño es XT => probabilidad de fallo un año cualquiera es p = 1/Taño cualquiera es p 1/T

Si Z = # fallos durante N años => Z ~ binomial (N,p)

( ) zNz ppN

=z] [ZP −−⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

= 1

Riesgo durante un período N:

( )ppz

][ ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

Riesgo durante un período N:

( )Np=]P[ZR −−=−= 110129

1.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

( )p] P[ZR 1101

Período de retorno y riesgo (vi)Período de retorno y riesgo (vi)

V.a. X es el Qmáx anual registrado en el aforo de un ríoT = 100 años para X = 150 m3/s indica que:p q

✓ El riesgo en los próximos 1000 años esp = P [X>150] = 1/T = 1/100 = 0 01p = P [X>150] = 1/T = 1/100 = 0,01N = 1000

✓ El i l ó i 20 ñR = 1-(1-p)N = 0,9996

✓ El riesgo en los próximos 20 años esp = 0,01N = 20N = 20

✓ La probabilidad de que se supere 150 m3/s una vez en los próximos 20 años es

R = 1-(1-p)N = 0,1821

años esp = 0,01N = 20, z = 1 P [Z 1] 0 011 (1 0 01)20 1 0 1652

20

301.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

N 20, z 1 P [Z=1] = · 0,011 · (1-0,01)20-1 = 0,16521

ÍndiceÍndice

Revisión de conceptos básicosFenómenos aleatorios Variables estadísticas yFenómenos aleatorios. Variables estadísticas y aleatoriasModelos probabilísticos de mayor uso en hidrologíaModelos probabilísticos de mayor uso en hidrología✓ Recursos✓ Crecidas✓ Crecidas

Técnicas de estimación de parámetros y selección de modelosmodelosPeríodo de retorno y riesgo Análisis de frecuencia

311.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Análisis de frecuencia (i)Análisis de frecuencia (i)

Objetivo: Relacionar magnitud evento con f i d i di t lsu frecuencia de ocurrencia mediante el

uso de funciones de distribución de probabilidad

Resultados: Obtener caudales de diseño, entre otrosentre otros

321.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Análisis de frecuencia (ii)Análisis de frecuencia (ii)

Análisis de frecuencia utilizando el Factor de Frecuencia Kde Frecuencia KT

✓Funciones que no son fácilmente invertibles✓Funciones que no son fácilmente invertiblesNormal

Log-Pearson tipo III

EV (Caso particular GEV)EV (Caso particular GEV)

✓La magnitud xT xTT SKxx +=

✓ yTT SKyyxy +=→= )log(

331.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Análisis de frecuencia (iii)Análisis de frecuencia (iii)

Pasos:

1. Calcular los parámetros estadísticos de la distrib ciónla distribución

2 Para T determinar K = f(C ;T)2. Para T, determinar KT = f(Cs;T)1 Expresión matemática1. Expresión matemática

2. Valores tabulados

341.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Análisis de frecuencia (iv)Análisis de frecuencia (iv)

Distribución Normal

zxK tT =

−=

σμ

σ

201032808028530515517232

2

001308.0189269.0432788.11010328.0802853.0515517.2

wwwwwwz

+++++−

=

21

2

1ln ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

pw

⎦⎣⎟⎠

⎜⎝ p

351.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Análisis de frecuencia (v)Análisis de frecuencia (v)

Distribución EV Tipo I (Gumbel)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

1lnln5772.06

TTKT π ⎭⎩

⎥⎦

⎢⎣ ⎠⎝ −1Tπ

ñTxT 332⎬

⎫= μ✓ añosT

KT

T 33.20

=⎭⎬⎫

=μ

361.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Análisis de frecuencia (vi)Análisis de frecuencia (vi)

Distribución Log-Pearson tipo III

( ) ( ) ( ) 5432232

3116

311 kzkkzkzzkzzKT ++−−−+−+=

33

sCk =6

k =

✓z se calcula igual que para la distribución Normalo a

371.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Período de retorno y riesgo (vii)Período de retorno y riesgo (vii)

I t l d fiIntervalos de confianza

UTyT KSyU αα ,, +=

LKSyL += TyT KSyL αα ,, +=

bKK ± 2

aabKK

K TTLUT

−±=

2,

,α

( )121

2

−−=

nza α

nzKb T

22 α−=

381.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Conclusión

Conceptos básicosConceptos básicos

Objetivo: Conocer características estadísticas de la muestra de datos hidrológicos1. Selección de la variable aleatoria y su muestra2 Asumir una expresión funcional de distribución de2. Asumir una expresión funcional de distribución de

probabilidad (Estadística Paramétrica)3 Estimar sus parámetros a partir de la muestra3. Estimar sus parámetros a partir de la muestra4. Seleccionar el mejor modelo estadístico

1. Modelo = función de distribución + método de estimación2. Prueba de bondad de ajuste

5. Cálculo de los estadísticos y cuantiles y su incertidumbre

401.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Utilidad del Análisis EstadísticoUtilidad del Análisis Estadístico

Análisis estadístico sólo si existen datos

De caudales: cuencas con estación de aforosDe caudales: cuencas con estación de aforos(poco habitual)✓Análisis de la Frecuencia de las Crecidas

Cuantiles

✓En Recursos: Régimen Hidrológico => estadísticos de diversas v ade diversas v.a.

411.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Utilidad del Análisis EstadísticoUtilidad del Análisis Estadístico

De precipitación: cuencas no aforadas(siempre hay datos diarios)(siempre hay datos diarios)✓En Crecidas, paso previo del Análisis

Hidrometeorológico clásico:Hidrometeorológico clásico:Análisis de la Frecuencia de Precipitaciones Diarias Máximas AnualesCálculo de la Tormenta (o Hietograma) de Proyecto de período TAplicación de un modelo de transformación lluvia-escorrentía => QT

Ambos, aunque la cuenca sea aforada

421.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas