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MATEMATICA APLICADAMATEMATICA APLICADA

GeneralidadesGeneralidades

Teoría del conocimiento denominado NOPSIOLOGIA

Dentro de ella esta la EPISTEMOLOGIA o Tratado de la Verdad.

Hay dos tipos de cienciasCIENCIAS

FORMALES O TAUTOLOGICAS

FACTICAS O EMPIRICAS

MATEMATICA LOGICA

No necesitan de un mundo real para existir

Necesitan un mundo

real o físico para existir

TAUTOLOGICASTAUTOLOGICAS

ES UNA VERDAD UNIVERSALMENTE VALIDA

TAUTOLOGICATAUTOLOGICA

ES UNA PROPOSICION CUYO VALOR DE VERDAD ES VERDADERO (V), INDEPENDIENTEMENTE DE LOS VALORES DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES QUE LA COMPONEN.

CONTRADICCIONCONTRADICCION

ES UNA PROPOSICION CUYO VALOR DE VERDAD ES FALSO (F), INDEPENDIENTEMENTE DE LOS VALORES DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES QUE LA COMPONEN.

CONTINGENCIACONTINGENCIA

ES UNA PROPOSICION QUE TOMA VALORES VERDADEROS EN UNOS CASOS Y FALSOS EN OTROS, DEPENDIENDO DE LOS VALORES DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES QUE LA COMPONEN.

DOS PROPOSICIONES SON LOGICAMENTE EQUIVALENTES SI AL CONECTARLAS MEDIANTE LA BICONDICIONANTE SE OBTIENE UNA PROPSICION TAUTOLOGICA.

POSTULADOS O AXIOMAS Y POSTULADOS O AXIOMAS Y TEOREMASTEOREMAS

ARGUMENTO:ARGUMENTO:

ES UNA RELACION ENTRE UN CONJUNTO DE PROPOSICIONES P1, P2,…, PN LLAMADAS PREMISAS Y OTRAS PROPOSICIONES q LLAMADA LA CONCLUSION.

CONJUNTO:CONJUNTO:

TERMINO PRIMITIVO, TERMINO TECNICO DE UNA TEORIA QUEE ACEPTA SIN DEFINICION.

AXIOMAS:AXIOMAS:

UN AXIOMA O POSTULADO ES UNA PROPOSICION INICIAL LA CUAL SE ASUME COMO VERDADERA.

AXIOMAS:AXIOMAS:

EL CONJUNTO DE POSTULADOS DE LOS CUALES SE DESPRENDEN LOS DEMAS PROPOSICIONES DE UN SISTEMA SE LLAMA CONJUNTO DE POSTULADOS DEL SISTEMA

AXIOMAS:AXIOMAS:

EN ESTE, UNO DE LOS AXIOMAS NO DEBE SER DEDUCIBLE DE LOS OTROS.

POSTULADOS: POSTULADOS:

ES UNA VERDAD NO TAN EVIDENTE QUE SE ACEPTA SIN DEMOSTRACION.

TEOREMAS:TEOREMAS:

ES CUALQUIER PROPOSICION QUE SE DESPRENDE DE OTRA PROPOSICION O PROPOSICIONES DADAS POR SUPUESTAS O PREVIAMENTE DEMOSTRADAS DENTRO DEL SISTEMA.

TEOREMAS:TEOREMAS:

ASI, UN TEOREMA ES UNA PROPOSICION CUYA VERACIDAD REQUIERE SER DEMOSTRADA A PARTIR DE OTRAS.

PROPOSICIONES SIMPLES Y PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTASCOMPUESTAS

PROPOSICIONES Y TABLAS DE PROPOSICIONES Y TABLAS DE VERDADVERDAD

ENUNCIADOS:ENUNCIADOS:

UN ENUNCIADO (O ASERCION VERBAL) ES UNA COLECCIÓN DE SIMBOLOS, (O SONIDOS) QUE ES VERDADERA O FALSA, PERO NO VERDADERA Y FALSA SIMULTANEAMENTE.

PROPOSICIONES Y TABLAS DE PROPOSICIONES Y TABLAS DE VERDADVERDAD

ENUNCIADOS:ENUNCIADOS:

LA VERACIDAD O FALSEDAD DE UNA PROPOSICION ES LO QUE SE LLAMA SU VALOR DE VERDAD.VALOR DE VERDAD.

PROPOSICIONES Y TABLAS DE PROPOSICIONES Y TABLAS DE VERDADVERDAD

ENUNCIADOS:ENUNCIADOS:

LOS ENUNCIADOS SERAN REPRESENTADOS POR LETRAS:

p, q, r,….

PROPOSICIONES Y TABLAS DE PROPOSICIONES Y TABLAS DE VERDADVERDAD

ENUNCIADOS:ENUNCIADOS:

A LA VERACIDAD O FALSEDAD DE UN ENUNCIADO SE LE DENOMINA VALOR DE VERDAD

PROPOSICIONES Y TABLAS DE PROPOSICIONES Y TABLAS DE VERDADVERDAD

EJEMPLO:EJEMPLO:

CONSIDEREMOS LAS EXPRESIONES SIGUIENTES:

1. París está en Inglaterra2. 2 + 2 = 43. ¿A dónde va usted?4. Escriba su trabajo en el pizarrón.

PROPOSICIONES Y TABLAS DE PROPOSICIONES Y TABLAS DE VERDADVERDAD

1. París está en Inglaterra2. 2 + 2 = 4

Estas dos expresiones son enunciados, el primero es FALSO y el segundo es VERDADERO.

PROPOSICIONES Y TABLAS DE PROPOSICIONES Y TABLAS DE VERDADVERDAD

3. ¿A dónde va usted?4. Escriba su trabajo en el pizarrón.

Estas dos expresiones no son enunciados ya que no son verdaderas o falsas.

PROPOSICIONES Y TABLAS DE PROPOSICIONES Y TABLAS DE VERDADVERDAD

ENUNCIADOS COMPUESTOS:ENUNCIADOS COMPUESTOS:

ALGUNOS ENUNCIADOS CONSTAN DE ENUNCIADOS SIMPLES O PARCIALES (SUB-ENUNCIADOS) Y VARIOS CONECTORES LOGICOS.

PROPOSICIONES Y TABLAS DE PROPOSICIONES Y TABLAS DE VERDADVERDAD

ENUNCIADOS COMPUESTOS:ENUNCIADOS COMPUESTOS:

DICHOS ENUNCIADOS RECIBEN EL NOMBRE DE ENUNCIADOS ENUNCIADOS COMPUESTOS.COMPUESTOS.

PROPOSICIONES Y TABLAS DE PROPOSICIONES Y TABLAS DE VERDADVERDAD

EJEMPLO 1:EJEMPLO 1:

“LAS ROSAS SON ROJAS Y LAS VIOLETAS SON AZULES”

PROPOSICIONES Y TABLAS DE PROPOSICIONES Y TABLAS DE VERDADVERDAD

EJEMPLO 1:EJEMPLO 1:

Es un enunciado compuesto con los enunciados simples:

“LAS ROSAS SON ROJAS” y “LAS VIOLETAS SON AZULES”

PROPOSICIONES Y TABLAS DE PROPOSICIONES Y TABLAS DE VERDADVERDAD

EJEMPLO 2:EJEMPLO 2:

“EL ES INTELIGENTE O ESTUDIA CADA NOCHE”

PROPOSICIONES Y TABLAS DE PROPOSICIONES Y TABLAS DE VERDADVERDAD

EJEMPLO 2:EJEMPLO 2:

Es, implícitamente, un enunciado compuesto con los enunciados simples:

“EL ES INTELIGENTE” y “ESTUDIA CADA NOCHE”

PROPOSICIONES Y TABLAS DE PROPOSICIONES Y TABLAS DE VERDADVERDAD

ENUNCIADOS COMPUESTOS:ENUNCIADOS COMPUESTOS:

LA PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE UN ENUNCIADO COMPUESTO CONSISTE EN QUE SU VALOR DE VERDAD SE DETERMINA COMPLETAMIENTE POR MEDIO DEL VALOR DE LA VERDAD DE SUS ENUNCIADOS SIMPLES JUNTO CON LA MANERA COMO ESTOS SE CONECTAN PARA FORMAR UN ENUNCIADO COMPUESTO.

LL O G I C A O G I C A

LOGICALOGICAESTUDIA LA VALIDEZ DE LOS ARGUMENTOS.

NO TODO ARGUMENTO VALIDO ES VERDADERO, PERO TODO ARGUMENTO VERDADERO ESES VALIDO.

LOGICALOGICA

ALGO ES LOGICO CUANDO SOLO PUEDE SER ASI Y DE NINGUNA OTRA MANERA.

LOGICALOGICA

¿CUÁNDO ES CIERTO QUE LA LUNA ES DE QUESO?

NORMALMENTE LA RESPUESTA SE DIRIGE POR EL MUNDO EMPIRICOMUNDO EMPIRICO.

LOGICALOGICA

LA LOGICA ES EL PROGRAMA QUE PERMITE CONSTRUIR LA MATEMATICA.

LOGICALOGICA

PROPOSICION:PROPOSICION:

ES UNA EXPRESION DECLARATIVA DE LA CUAL CABE PREGUNTARSE SI ES VERDADERA O FALSA

LOGICALOGICA

LO QUE UNE UNA O MAS PROPOSICIONES SE LLAMAN CONECTIVOS LOGICOSCONECTIVOS LOGICOS

LOGICALOGICA

CONECTIVOS LOGICOSCONECTIVOS LOGICOS SON SIMBOLOS USADOS PARA COMBINAR PROPOSICIONES DADAS, PRODUCIENDO ASI OTRAS LLAMADAS PROPOSICIONES COMPUESTAS

LOGICALOGICA

CONECTIVOS LOGICOSCONECTIVOS LOGICOS SON :• CONJUNCION.CONJUNCION.• DISYUNCION.DISYUNCION.• NEGACION.NEGACION.• CONDICIONAL.CONDICIONAL.• BICONDICIONALBICONDICIONAL

LOGICALOGICA

EL ARREGLO QUE NO PERMITE TENER EL ARREGLO QUE NO PERMITE TENER LOS POSIBLES VALORES DE VERDAD DE LOS POSIBLES VALORES DE VERDAD DE UNA PROPOSICION COMPUESTA A UNA PROPOSICION COMPUESTA A PARTIR DE LOS VALORES DE VERDAD PARTIR DE LOS VALORES DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPONENTES DE LAS PROPOSICIONES COMPONENTES SE LAMA UNA SE LAMA UNA TABLA DE VERDAD.TABLA DE VERDAD.

LOGICALOGICA

NEGACIONNEGACION

LOGICALOGICANEGACION NEGACION

LA NEGACION DE UNA PROPOSICION ES UNA PROPOSICION QUE TIENE UN VALOR DE VERDAD OPUESTO.

LOGICALOGICANEGACION NEGACION

DADO CUALQUIER ENUNICADO p, PODEMOS CONFORMAR OTRO ENUNCIADO, LLAMADO LA NEGACION DE P, ESCRIBIENDO “ES FALSO QUE…”

LOGICALOGICANEGACION NEGACION

PRECEDIENDO A “p”, O , SI ESTO ES POSIBLE, INSERTANDO EN “p” LA PALABRA “NO”

p p

V FF V

LOGICALOGICATABLA DE VERDADTABLA DE VERDAD

L

LOGICALOGICA

DOBLE NEGACIONDOBLE NEGACION

LOGICALOGICA

NEGACION Y DOBLE NEGACION SE DENOTA COMO:

( )

L

( )

L L

p p p

V F VF V F

LOGICALOGICATABLA DE VERDADTABLA DE VERDAD

L LL

LOGICALOGICA

CONJUNCIONCONJUNCION

LOGICALOGICACONJUNCION CONJUNCION

DOS ENUNCIADOS CUALESQUIERA PUEDEN COMBINARSE POR MEDIO DE LA “y” PARA CONFORMAR UN ENUNCIADO COMPUESTO QUE SE DENOMINA LA CONJUNCION DE LOS ENUNCIADOS ORIGINALES.

p p ^ q^ q

LOGICALOGICACONJUNCION CONJUNCION

DENOTA LA CONJUNCION DE LOS ENUNCIADOS p y q, QUE SE LEEN “p y q”

LOGICALOGICA

“Y” SE REPRESENTA POR:

( V )CONJUNCIONCONJUNCION

LOGICALOGICACONJUNCION CONJUNCION

Ejemplo:

Sea p “llueve” y q “el sol brilla”

Entonces pp^q ^q denota el enunciado “llueve y el sol brilla”

LOGICALOGICA

PROPOSICION:

LA PIZARRA ES DE COLOR AMARILLO YY REDONDA

LOGICALOGICA

PROPOSICION:

LA PIZARRA ES DE COLOR AMARILLO YY REDONDALA PIZARRA ES DE COLOR AMARILLO

LA PIZARRA ES REDONDA

LOGICALOGICA

PROPOSICION:

LA PIZARRA ES DE COLOR AMARILLO YY REDONDA

YY ES UNA CONJUNCION

p q p p ^ q^ q

V V VV F FF V FF F F

LOGICALOGICATABLA DE VERDADTABLA DE VERDAD

LOGICALOGICACONJUNCION CONJUNCION

EL VALOR DE VERDAD DEL ENUNCIADO COMPUESTO pp^q^q SATISFACE LA PROPIEDAD SIGUIENTE:

LOGICALOGICACONJUNCION CONJUNCION

SI p ES VERDADERO Y q ES VERDADERO, ENTONCES pp^q^q ES VERDADERO; DE OTRA MANERA pp^q^q ES FALSO.

LOGICALOGICACONJUNCION CONJUNCION

AQUI LA PRIMERA LINEA ES UNA MANERA ABREVIADA DE DECIR QUE SI p ES VERDADERO Y q ES VERDADERO, ENTONCES pp^q ^q ES VERDADERO.

LOGICALOGICACONJUNCION CONJUNCION

LAS OTRAS LINEAS TIENEN UN SIGNIFICADO ANALOGO.

LOGICALOGICACONJUNCIONCONJUNCION

CUANDO SE USA UN CONECTIVO DEBE CUMPLIRSE AMBOS ENUNCIADOS O PROPOSICIONES PARA QUE SEA VERDADERO:

p p yy q q

LOGICALOGICA

DISYUNCIONDISYUNCION

LOGICALOGICADISYUNCIONDISYUNCION

DOS ENUNCIADOS CUALESQUIERA PUEDEN COMBINARSE POR MEDIO DE LA “O” PARA CONFORMAR UN NUEVO ENUNCIADO QUE SE DENOMINA LA DISYUNCIONDISYUNCION DE LOS ENUNCIADOS ORIGINALES.

LOGICALOGICADISYUNCIONDISYUNCION

• Disyunción Inclusiva• Disyunción exclusiva

LOGICALOGICA

DISYUNCION INCLUSIVADISYUNCION INCLUSIVA

LOGICALOGICADISYUNCION INCLUSIVADISYUNCION INCLUSIVA

La Disyunción inclusiva es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones p y q mediante la disyuntiva inclusiva (v).

LOGICALOGICADISYUNCION INCLUSIVADISYUNCION INCLUSIVA

DENOTA LA CONJUNCION DE LOS ENUNCIADOS p o q, QUE SE LEEN “p o q”

LOGICALOGICA

“O” SE REPRESENTA POR:

( V )

DISYUNCION INCLUSIVADISYUNCION INCLUSIVA

p q p V q

V V VV F VF V VF F F

LOGICALOGICATABLA DE VERDADTABLA DE VERDAD

LOGICALOGICA

BASTA CON QUE SE CUMPLA CON UNA DE LAS PROPOSICIONES PARA QUE SEA VERDADERA:

p o q

LOGICALOGICA

DISYUNCION EXCLUSIVADISYUNCION EXCLUSIVA

LOGICALOGICADISYUNCION EXCLUSIVADISYUNCION EXCLUSIVA

La Disyunción exclusiva es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones p y q mediante la disyuntiva exclusiva (v).

LOGICALOGICA“O” EXCLUSIVO

SE REPRESENTA COMO ( V ).

ES UNA ACCION AUTOMATICAMENTE NIEGA A OTRA.

MAÑANA O ESTOY AQUÍ O ESTOY EN SAN PEDRO SULA

LOGICALOGICA

CONDICIONALCONDICIONAL

( )

LOGICALOGICA

LA CONDICIONAL ES LA PROPOSICION COMPUESTA QUE RESULTA DE CONECTAR DOS PROPOSICIONES p Y q MEDIANTE EL CONDICIONAMIENTO.

SI – ENTONCES O CONDICIONAL Y SE DENOTA COMO:

LOGICALOGICA

ANTECEDENTE CONSECUENTE

p q p q

V V VV F FF V VF F V

LOGICALOGICATABLA DE VERDADTABLA DE VERDAD

LOGICALOGICA

LA CARACTERISTICA FUNDAMENTAL DE LA CONDICIONAL ES QUE SU VALOR DE VERDAD ES FALSO SOLO CUANDO EL CONSECUENTE ES FALSO Y EL ANTECEDENTE ES VERDADERO.

EN LOS DEMAS CASOS LA CONDICIONAL ES VERDADERA.

LOGICALOGICA

PARA EL MISMO EFECTO PUEDEN HABER MUCHAS CAUSAS A MENOS QUE SE ESTABLEZCA UNA CAUSA UNICA:

(SOLAMENTE Y SI)

p

p1p2 qp3pn

LOGICALOGICATABLA DE VERDADTABLA DE VERDAD

LOGICALOGICA

BI - CONDICIONALBI - CONDICIONAL

LOGICALOGICA

LA BI-CONDICIONAL ES LA PROPOSICION COMPUESTA QUE RESULTA DE CONECTAR DOS PROPOSICIONES p Y q MEDIANTE LA BI-CONDICIONANTE.

LOGICALOGICA

SI Y SOLO SI ES BICONDICIONAL Y SE DENOTA COMO:

( )

LOGICALOGICA

X + 3 = 7 SI Y SOLO SI X = 4

SI X + 3 = 7 ENTONCES X = 4SI x = 4 ENTONCES X + 3 = 7

p q p q

V V VV F FF V FF F V

LOGICALOGICATABLA DE VERDADTABLA DE VERDAD

LOGICALOGICA

LA CARACTERISTICA FUNDAMENTAL DE LA BI-CONDICIONAL ES QUE SU VALOR DE VERDAD ES VERDADERO SOLO EN CASOS EN QUE p Y q TENGAN VALORES IGUALES (O AMBOS SON VERADEROS O AMBOS FALSOS).

EN LOS DEMAS CASOS LA BI-CONDICIONAL ES FALSA.

PROPOSICIONES COMPUESTAS PROPOSICIONES COMPUESTAS MAS COMPLEJASMAS COMPLEJAS

LOGICALOGICA

LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS PUEDEN COMBINARSE O CONECTARSE A OTRAS PARA FORMAR PROPOSICIONES AUN MAS COMPLEJAS.

LOGICALOGICA

ESTA CLARO QUE EL VALOR DE VERDAD DE UNA PROPOSICION, POR COMPLEJA QUE SEA, DEPENDE DE LOS VALORES DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES QUE LAS COMPONEN EN SUS FORMAS SIMPLES.

LOGICALOGICA

RECORDEMOS:RECORDEMOS:

LOS ENUNCIADOS SERAN REPRESENTADOS POR LETRAS:

p, q, r,….

LOGICALOGICATABLA DE VERDADTABLA DE VERDAD

p q r p q

V V V V

V V F F

V F V F

V F F F

F V V FF V F FF F V FF F F F

V (p q) r

V

F

F

F

FFFF

V V