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ÁMBITO

CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO

MÓDULO DOS

ÁMBITO CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO MÓDULO DOS

BLOQUE 4 TEMA 1: POTENCIAS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1. POTENCIAS

1.1. POTENCIA DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE NATURAL 1.2. POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO 1.3. NÚMEROS MUY GRANDES Y MUY PEQUEÑOS. LA NOTACIÓN CIENTÍFICA 1.4. OPERACIONES CON NÚMEROS EXPRESADOS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA 1.5- USO DE LA CALCULADORA

2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 2.1. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA 2.2. MONOMIOS 2.3. POLINOMIOS

3. ECUACIONES Y LENGUAJE ALGEBRAICO 3.1. DEFINICIONES 3.2. PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO 3.3. EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3.4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES

BLOQUE 5

TEMA 3: FIGURAS PLANAS 1. INTRODUCCIÓN 2. LOS ÁNGULOS Y SU MEDIDA 3. FIGURAS GEOMÉTRICAS EN EL PLANO. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD 4. CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS SENCILLAS: MEDIATRIZ Y BISECTRIZ 5. POLÍGONOS. CLASIFICACIÓN, PROPIEDADES Y RELACIONES

5.1. TRIÁNGULOS 5.2. CUADRILÁTEROS 5.3. POLÍGONOS REGULARES. CONSTRUCCIÓN Y PROPIEDADES

6. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO 7. SIMETRÍA DE FIGURAS PLANAS Y SU APRECIACIÓN EN LA NATURALEZA 8. HERRAMIENTAS INFORMÁTICAS PARA LA GEOMETRÍA PLANA

BLOQUE 6 TEMA 5: MEDIDA Y PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA 1. LA MEDIDA

1.1. EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES 1.2. APARATOS DE MEDIDA

2. PERÍMETRO DE POLÍGONOS 3. ÁREAS DE POLÍGONOS

3.1. CUADRADO 3.2. RECTÁNGULO 3.3. PARALELOGRAMO 3.4. TRIÁNGULO 3.5. ROMBO 3.6. TRAPECIO 3.7. POLÍGONOS REGULARES 3.8. POLÍGONOS IRREGULARES

4. ÁREA DEL CÍRCULO 5. SEMEJANZAS ENTRE FIGURAS PLANAS

5.1. LA ESCALA 5.2. MAPAS Y PLANOS 5.3. SEMEJANZA ENTRE OBJETOS 5.4. LAS DISTINTAS VISTAS DE UN OBJETO. NORMALIZACIÓN Y ACOTACIÓN 5.5. NORMALIZACIÓN 5.6. ACOTACIÓN

I-OPERACIONES MATEMÁTICAS REPASO INICIAL DEL MÓDULO DOS

ÁMBITO CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO Repaso-1

I.1. CONJUNTOS NUMÉRICOS Según las necesidades que se han ido produciendo para contar diferentes realidades, los humanos hemos ideado diferentes tipos de números que dan respuesta a éstas:

a) Números Naturales (su conjunto se representa con N): permiten contar animales, cosas, etc N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ....}

b) Números Enteros (Z): permiten contar “las deudas”, es decir, incluyen números ne-gativos: Z={...., -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...}

c) Números Racionales (Q): permiten representar porciones de un todo: Q={..., 5

12− , 21− , 8

6− , 10 , 9

4 , 27 , 3

15 , ...}

d) Números Irracionales (I): como π, 2 , ... e) Números Reales (R): incluyen todos los anteriores.

I.2. OPERACIONES CON NÚMEROS Y PROPIEDADES En general, con todos los tipos de números anteriores es posible realizar operaciones bá-sicas como la suma, resta, multiplicación y división, que ya conocerás. Conviene tener en cuenta en todas ellas unas propiedades que pueden serte de mucha utilidad: - Lo primero que debes saber es que todas estas operaciones se definen para dos núme-ros (podríamos decir que son operaciones ‘binarias’). Por eso, por ejemplo, cuando que-remos hacer 2+2+3, decimos “dos y dos cuatro, y tres, siete”; por supuesto, todos lo sa-bemos hacer, pero fíjate en que has hecho dos sumas, y en cada una de ellas sólo juntas dos números, ¡no tres!. Las siguientes propiedades te ayudarán a solucionar muchos ca-sos (el nombre es lo de menos; fíjate en los ejemplos):

SUMA MULTIPLICACIÓN

Propiedad Ejemplo Propiedad Ejemplo

CONMUTATIVA a+b=b+a 3+2=2+3 5=5 a·b=b·a 3·2=2·3

6=6

ASOCIATIVA a+(b+c)=(a+b)+c 5+(1+6)=(5+1)+6

5+7=6+6 12=12

a·(b·c)=(a·b)·c 2·(3·7)=(2·3)·7

2·21=6·7 42=42

ELEMENTO NEUTRO a+0=a 7+0=7 a·1 = a 7·1=7

ELEMENTO OPUESTO a+(-a)=0 3+(-3)=0

3-3=0 -------------------- ---------------------

ELEMENTO INVERSO ------------------------ ----------------------- a· a

1 =1, (si a≠0) 5· 51 = 15

551·5 ==

DISTRIBUTIVA a·(b+c)=a·b+a·c 3·(2+7) = 3·2 + 3·7

3·9 = 6 + 21 27 = 27

- Una de las consecuencias de lo anterior es que con la existencia del opuesto, la resta se equipara a una suma (del minuendo con el opuesto del sustraendo). - De igual modo, con la existencia del inverso, la división se equipara a la multiplicación (del dividendo por el inverso del divisor). - Otra consecuencia es una regla básica cuando aparecen operaciones combinadas: “cuando hay varios números entre los que aparecen su mas, restas, multiplicaciones y divisiones, la PRIORIDAD la tienen la multiplicac ión o división (ambas con igual prioridad) y luego las sumas o restas, salvo que ha ya paréntesis o corchetes, que modifican esta prioridad” .

REPASO INICIAL DEL MÓDULO DOS I-OPERACIONES MATEMÁTICAS

Repaso-2 ÁMBITO CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO

Ejemplos: a) 3·4+2 = 12+2 =14 b) 3·(4+2) = 3·6 =18 Fíjate cómo con los mismos números y operaciones, el resulta-

do es distinto con el paréntesis. - Regla de los signos en la multiplicación (o división): - Suma de fracciones : si tienen el mismo denominador, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador: 8

481

83 =+

Cuando los denominadores no son iguales (que es lo normal), es necesario obtener frac-ciones equivalentes a las dadas que sí tengan los denominadores iguales (para ello basta multiplicar su numerador y denominador por el mismo número. Ejemplo: 10

155·25·3

23 == , es

decir, 23 y 10

15 son equivalentes y representan la misma cantidad). Hay dos formas de obtener este común denominador:

a) Multiplicando todos los denominadores entre sí: db

bcda

db

bc

db

da

d

c

b

a

·

··

·

·

·

· +=+=+

Ejemplo: 12

52

12

1042

6·2

2·56·7

6

5

2

7 =+=+=+

b) Obteniendo el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores y usando éste co-mo común denominador, para lo cual habrá que multiplicar cada numerador por el número que, multiplicado por el denominador original, da el mcm. Recuerda que el mcm de varios números se obtiene multiplicando entre sí los factores primos comunes y no comunes con mayor exponente de los números de los que se quiere calcular. En el ejemplo anterior: mcm(2 y 6) = 6, luego:

6

26

6

521

6

5

6

21

6

5

3·2

3·7

6

5

2

7 =+=+=+=+

El resultado, como puedes imaginar, es equivalente al anterior: 12

52

2·6

2·26

6

26 ==

La ventaja de usar el mcm es que, en general, conduce a números más pequeños, evi-tando posibles errores. Su inconveniente, es que hay que entretenerse en factorizar y ob-tener el mcm. - Producto de fracciones : se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí

(en ‘horizontal’): db

ca

d

c

b

a

·

·· = Ejemplo:

20

21

5·4

7·3

5

7·

4

3 ==

- División de fracciones : se multiplican numeradores y denominadores ‘en cruz’:

cb

da

d

c

b

a

·

·: = Ejemplo:

28

15

7·4

5·3

5

7:

4

3 ==

- Fracciones equivalentes : representan al mismo número, aunque tengan aspecto dife-rente (numerador y denominador), luego, al dividirlas entre sí darán por resultado 1, o lo

que es lo mismo: cbdad

c

b

a·· =⇒=

(+)·(+) = (+) (+)·(-) = (-) (-)·(+) = (-) (-)·(-) = (+)

I-OPERACIONES MATEMÁTICAS REPASO INICIAL DEL MÓDULO DOS

ÁMBITO CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO Repaso-3

- Símbolos matemáticos : en el anterior cuadro aparece el símbolo ⇒ , que se lee “impli-ca” y equivale a decir “... y en consecuencia ...”. Además de éste, en matemáticas se usan muchos otros, entre los cuales puedes encontrarte estos:

≡ Identidad / Tal que ... < Menor que ... ∈ Pertenece a ... {...} Conjunto > Mayor que ... ∉ No pertenece a ... ⇒ Implica (directa) ∃ Existe ⇐ Implica (inversa) ∀ Para todo ⇔ Doble implicación

- Potencias : definición de potencia natural: 43421

vecesn

n aaaaa ........··= Ejemplo: 34 = 3·3·3·3 = 81

Propiedades: Ejemplos:

qpqp aa ·)( = 642)2( 623 == qpqp aaa +=· 3222·2 523 ==

ppp baba ·)·( = 369·43·2)3·2( 222 ===

p

pp

b

a

b

a =

243

32

3

2

3

25

55

==

qpq

p

aa

a −= 4222

2 2353

5

=== −

pp

aa

1=− 8

1

2

12

33 ==−

aaaa pp pp =⇒= )(11

2222)2(22 13·33 33

31

31

31

====⇒=

0,10 ≠∀= aa 120 =

REPASO INICIAL DEL MÓDULO DOS I-OPERACIONES MATEMÁTICAS

Repaso-4 ÁMBITO CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO

EJERCICIOS DE OPERACIONES CON NÚMEROS 1º) Realiza las siguientes operaciones con números enteros:

a) (-2)·(-5)+6·(7-1) = b) 5·(3+4) –2·(9+21) = c) 3·(2·8)+12-40:5 = d) (9-5)·(6+4)+(3·4):2 = e) 2·(-3)+(5-7)·9-8:2+1 = f) [2-3·(6+4):5]·9+(2-1)·6 = g) -5·(-4)+8:(3+5) = h) 3-5·[3-2·(-1)·(4+2·(3-6):3)] =

2º) Realiza las siguientes operaciones con fracciones y simplifica el resultado cuando sea posible:

a) =−2

5

7

12

c) =⋅21

5

10

14

b) =4

9:

5

3

d) =−+9

2

6

1

3

4

e) =

−+

−−4

3

2

1

5

3:

5

42

7

29

g) =

++

+

−20

7

5

4

3

1

6

1:

4

1

3

2

f) =+

+

10

7·

7

8

6

1

4

9:

5

3·

2

5

h) =

−15

2:

9

2

6

1·

3

4

3º) Escribe el opuesto y el inverso de los siguientes números:

Número Opuesto Inverso

12

-5

2

1

3

2−

4º) Calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m) de los siguientes números: a) 36 y 54 b) 12, 20 y 36

5º) Realiza las siguientes operaciones con potencias, simplificando al máximo cuando sea posible:

a) =2)2·3(

c) =5

6

7

7

b) =32 5·5

d) =2

42

15

5·3

TEMA 1: POTENCIAS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS MÓDULO DOS

BLOQUE 4 DEL ÁMBITO CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO <1>

1. POTENCIAS 1.1. POTENCIA DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE NATURAL 1.2. POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO 1.3. NÚMEROS MUY GRANDES Y MUY PEQUEÑOS. LA NOTACIÓN CIENTÍFICA 1.4. OPERACIONES CON NÚMEROS EXPRESADOS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA 1.5- USO DE LA CALCULADORA

2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 2.1. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA 2.2. MONOMIOS 2.3. POLINOMIOS

3. ECUACIONES Y LENGUAJE ALGEBRAICO 3.1. DEFINICIONES 3.2. PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO 3.3. EL LENGUAJE ALGEBRAICO 3.4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES

1. POTENCIAS 1.1. POTENCIA DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE NATURAL Las potencias en números racionales funcionan igual que en números naturales y enteros.

De esta forma se define: 4434421

vecesnb

a

b

a

b

a

b

an

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

PROPIEDADES:

1.- Potencia de una fracción: n

nn

b

a

b

a =

Ejemplo: 6561

16

9999

2222

9

2

9

24

44

=××××××==

Para elevar una fracción a una potencia, se elevan a dicha potencia el numer a-dor y el denominador de la fracción.

2.- Producto de potencias de la misma base: nmnm

b

a

b

a

b

a+

=

Ejemplos:

a) 3125

243

55555

33333

5

3

5

3

5

3532

=××××××××=

=

⋅

b)

729

64

333333

)2()2()2()2()2()2(

3

2

3

2

3

2642

=×××××

−×−×−×−×−×−=

−=

−⋅

−

Para multiplicar potencias de la misma base, se dej a la misma base y se suman los exponentes.

MÓDULO DOS TEMA 1: POTENCIAS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

<2> BLOQUE 4 DEL ÁMBITO CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO

3.- División de potencias de la misma base: nmnm

b

a

b

a

b

a−

=

:

Ejemplos:

a) 125

27

555

333

5

3

5

3

5

3:

5

334747

=××××=

=

=

−

b) 81

16

3333

)2()2()2()2(

3

2

3

2

3

2:

3

242626

=×××

−×−×−×−=

−=

−=

−

− −

Para dividir potencias de la misma base, se deja la misma base y se restan los exponentes.

4.- Potencia de una potencia: nmnm

b

a

b

a⋅

=

Ejemplo: 105252

5

4

5

4

5

4

=

=

⋅

Para elevar una potencia a otra potencia, se deja l a misma base y se multiplican los exponentes.

5.- Potencia de un producto: nnn

d

c

b

a

d

c

b

a

⋅

=

⋅

Ejemplo: 333

5

1

7

2

5

1

7

2

⋅

=

⋅

Para eleva r un producto a una potencia, se eleva cada factor a dicha pote ncia.

6.- Exponentes 0 y 1 de un número racional: b

a

b

a

b

a =

=

10

;1

Cualquier número racional elevado a 0 es igual a 1 Cualquier número racional elevado a 1 es igual al m ismo número

1.2. POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO Todas las potencias que has estudiado hasta ahora tenían como exponente un número natural y, como sabes, se interpretan como un producto de factores iguales:

( ) )3()3()3()3(3 4 −×−×−×−=−

5

2

5

2

5

2

5

23

××=



Pero, ¿qué ocurre si nos encontramos con una potencia con exponente negativo?. ¿Qué significaría ( ) 23 − ? Si tenemos en cuenta la regla de multiplicación de potencias de la misma base, entonces:

13333 02222 ===× +−−

Si 133 22 =×− , entonces 2

2

3

13 =−

Es decir, si a es un número racional distinto de cero: nn

aa

1=−

Una potencia de exponente negativo es igual a 1 div idido por la misma p otencia con exponente positivo.

En particular, si n=1, entonces a

a11 =− puesto que, como sabemos, el exponente 1 no se

suele escribir. También tenemos que considerar el caso en que la base es una fracción. Por ejemplo:

2

2

2

2

22

2

3

5

3

5

5

3

1

5

3

1

5

3

===

=

−

En general, nn

a

b

b

a

=

−

Para elevar una fracción a un exponente negativo se invierte la fracción y se cambia el signo del exponente

1.2.1. OPERACIONES CON POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO Las operaciones con potencias de exponente entero cumplen las mismas propiedades que hemos visto para las potencias de exponente natural. Por tanto, las operaciones, se realizan de la misma forma aunque, eso sí, habrá que tener en cuenta las reglas de los signos al operar con los exponentes. A continuación veremos algunos ejemplos: Multiplicación de potencias de la misma base:

a) 7)4()3(43

5

3

5

3

5

3

5

3−−+−−−

=

=

⋅

b) 4)3(737

3

2

3

2

7

2

7

2

−=

−=

−⋅

− −+−

División de potencias de la misma base:

a) 3)52()5()2(52 6666:6 === +−−−−−− b) 46262

5

3

5

3

5

3:

5

3−−

−=

−=

−

−

Potencia de una potencia:

a) ( ) 124)3(43 222 −⋅−− == b)

12)3()4(34

5

4

5

4

5

4

=

=

−⋅−−−

Potencia de un producto: 222

7

1

3

2

7

1

3

2−−−

⋅

=

⋅



1.2.2. UN CASO ESPECIAL: LAS POTENCIAS DE BASE 10 Las potencias de base 10 suponen un caso muy especial dentro del conjunto de las po-tencias. Son especiales porque su cálculo se hace tremendamente fácil. Fíjate en los si-guientes ejemplos: 101 = 10 102 = 100 103 = 1 000 106 = 1 000 000 109 = 1 000 000 000 1012 = 1 000 000 000 000 1015 = 1 000 000 000 000 000 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000

Cualquier potenci a de base 10 y exponente positivo es igual a 1 segu ido de ta n-tos ceros como indique el exponente.

¿Y si el exponente es negativo? ¿Qué ocurre entonces? Por ejemplo, aplicando lo que ya sabemos:

001,01000

110

01,0100

110

1,010

110

3

2

1

==

==

==

−

−

−

El valor absoluto del exponente indica el lugar que ocupa la cifra 1 a la der echa de la coma.

10-1 = 0,1 10-2 = 0,01 10-3 = 0,001 10-6 = 0,000001 10-9 = 0,000000001 10-12 = 0,000000000001 10-15 = 0,000000000000001 10-18 = 0,000000000000000001 10-21 = 0,000000000000000000001



1.3. NÚMEROS MUY GRANDES Y MUY PEQUEÑOS. LA NOTACIÓ N CIENTÍFICA A veces tenemos que expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas. En esos casos, es cuando nos resulta especialmente útil lo que acabamos de ver. Por ejemplo, ¿sabes cuántas células puede llegar a tener el cuerpo humano? Pues unos cincuenta billones, es decir, 50000000000000. Cantidades como esta, incluso mayores, son bastante incómodas de escribir, incluso de leer (tendríamos que contar todos los ceros para saber como de grande es esa cantidad, y si es mayor o menor que otras). Para evitar estos inconvenientes, y aprovechamos lo que sabemos de las potencias de 10, tendremos: 1310500001000000000500005000000000 ⋅=⋅= Esto último es un ejemplo de lo que llamamos notación científica . Escribir un número en notación científica es expresarlo como el producto de un número (entero o decimal) entre 1 y 10, y una potencia de 10. Veamos algunos ejemplos más:

a) 529000000 = 5,29 · 108 b) 590000000000 = 5,9 · 1011 c) 0,000987 = 9,87 · 10-4 d) 0,000000045 = 4,5 · 10-8

Volviendo a las células, sabemos que su tamaño es muy pequeño. Por poner un ejemplo, el diámetro de una célula de la hoja del peral es de 0,0000074 m, que escrito en notación científica sería 7,4 · 10-6 m Seguro que recuerdas que en el núcleo de las células se encuentran los cromosomas y que estos están formados por ADN que, como también recordarás, forma unas cadenas bastante largas enrolladas en lo que se llama “doble hélice”. Pues bien, el diámetro de cada espira de la hélice es de 2 · 10-9 m. ¿Y te gustaría saber el volumen que ocupa una de esas espiras? Pues “nada menos” que 1,07 · 10-20 cm 3 ¿Te atreverías a escribir este número en forma decimal y sin equivocarte? Para los científicos que se ocupan de estudiar fenómenos y objetos de dimensiones muy grandes, como los que se estudian en astronomía, por ejemplo, la notación científica es muy útil, porque les permite trabajar con números muy grandes con cierta facilidad. La distancia que nos separa de la nebulosa de Andrómeda, por ejemplo, es aproximada-mente igual a 95000000000000000000 km. Para expresar este número en notación científica, basta con:

1. Escribir las cifras significativas (95), colocando una coma a la derecha de la prime-ra cifra (9,5).

2. Contar las cifras que hay a la derecha del 9 (19 en total), lo que nos dará el expo-nente al que hay que elevar el 10.

Por lo tanto, en este ejemplo: kmkm 19105,900000000009500000000 ⋅= Para escribir en notación científica números muy pequeños, actuamos de forma parecida, sólo que en este caso el exponente del 10 será negativo. Como ejemplo, tomemos el número 0,000987. Para escribirlo en notación científica hare-mos lo siguiente:

1. Escribir las cifras significativas (987), colocando una coma a la derecha de la pri-mera (9,87).

2. Contar el lugar que ocupa la primera cifra significativa a partir de la coma. Esto nos dará el valor absoluto del exponente (negativo).

Por lo tanto tendremos: 41087,9000987,0 −⋅=



1.3.1. APROXIMACIÓN DE NÚMEROS MUY GRANDES CUYAS CIFRAS NO SON CEROS Puede parecer que para expresar un número con notación científica, es necesario que algunas de sus cifras sean ceros y sin embargo lo más habitual es que números muy grandes tengan muchas cifras distintas de cero. ¿Qué haremos? Utilizaremos las aproxi-maciones de números. Con números muy grandes o muy pequeños es frecuente hacer aproximaciones , despreciando cifras que no son significativas y sustituyéndolas por ce-ros. Observa el siguiente ejemplo : La distancia entre el Sol y la Tierra es 149.597.870.691 metros o 149.597.870,691 kilóme-tros. Tratándose de millones de kilómetros, cien mil kilómetros más o menos son insignifi-cantes por lo que podemos redondear o aproximar este número y sustituir algunas cifras por ceros. Podríamos decir que la distancia máxima del Sol a la Tierra es aproximada-mente 149.600.000 kilómetros (o 149.600.000.000 metros) y si lo queremos expresar con notación científica pondremos 1,496 · 108 km (1,496 · 1011 m). Para expresar un número con notación científica debemos usar una sola cifra para la parte entera y el resto las pondremos como parte decimal. No es conveniente usar más de 3 cifras decimales. El resto de las cifras decimales se redondean o sustituyen por ce-ros. Ejemplos : 1- Expresa con notación científica los siguientes números:

237000 = 2,37 · 105 128500000000000 = 1,285 · 1014 860000000000000000 = 8,6 · 1017

2- Expresa con notación decimal los siguientes números:

3,24 · 105=3,24 · 100000 = 3240000 4,7 · 108=4,7 · 100000000 = 470.000.000 5,859 · 106 = 5,859 · 1000.000 =5.859.000

3- Expresa con notación científica el número de habitantes que había en el mundo en el año 2005:

En el 2005 se contabilizaron 6.525.170.264 habitantes que es aproximadamente 6.525.000.000 es decir 6,525 · 109 habitantes. En este caso se comprende mejor si lo expresamos diciendo que había unos seis mil quinientos millones de habitantes.

1.4. OPERACIONES CON NÚMEROS EXPRESADOS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA La notación científica también es útil para realizar operaciones con números muy grandes o muy pequeños de forma fácil y cómoda. Llamamos orden de magnitud de un número al exponente al que está elevado el 10 cuando el número está escrito en notación científica. 1.4.1. SUMA Y RESTA Debemos distinguir dos casos: a) Las potencias de 10 son iguales: En este caso, sumamos o restamos los números que preceden a las potencias de 10, de-jando el 10 elevado al mismo exponente.

Ejemplos: 2 · 10-3 + 4,9 · 10-3 = (2 + 4,9) · 10-3 = 6,9 · 10-3 -5 · 106 + 7 · 106 = (-5 + 7) · 106 = 2 · 106



b) Las potencias de 10 son distintas: Si son distintas no podemos sumar ni restar directamente, sino que antes tenemos que conseguir que sean iguales. Actuaremos de la siguiente forma. Supongamos que tenemos que realizar la siguiente operación: 4,2 · 104 - 3,1 · 103

1) Reducimos a la potencia de 10 de menor exponente (para ello podemos des-componer en producto la potencia de exponente mayor):

4,2 · 101 · 103 - 3,1 · 103 = 42 · 103 - 3,1 · 103 2) Sumamos o restamos los números que van delante de las potencias de diez:

(42 - 3,1) · 103 = 38,9 · 103 3) Finalmente, escribimos el resultado correctamente en notación científica:

38,9 · 103 = 3,89 · 104 Si los exponentes fueran negativos, el procedimiento es el mismo. Veamos un ejemplo:

-6,1 · 10-3 - 7 · 10-2 1) -6,1 · 10-3 - 7 · 101 · 10-3 = -6,1 · 10-3 - 70 · 10-3 2) (-6,1 - 70) · 10-3 = -76,1 · 10-3 3) -76,1 · 10-3 = -7,61 · 10-2

1.4.2. MULTIPLICACIÓN Para multiplicar dos números en notación científica, se multiplican los números que pre-ceden a las potencias de 10 y se multiplican también dichas potencias (sumando los ex-ponentes. Ejemplos : (4 · 105) · (2 · 107) = (4 · 2) · (105 · 107) = 8 · 1012 (-2 · 10-4) · (7 · 10-11) = (-2 · 7) · (10-4 · 10-11) = -14 · 10-15 En este último ejemplo, tenemos que “arreglar” el resultado para que esté correctamente expresado en notación científica (una sola cifra entera delante de la potencia de 10):

-14 · 10-15 = -1,4 · 10-14 Este último paso, habrá que realizarlo después de cualquier operación, siempre que sea necesario. 1.4.3. División Para dividir dos números en notación científica, se dividen los números que preceden a las potencias de 10 y también dichas potencias (restando los exponentes). Ejemplos : (4,7 · 102) : (9,4 · 106) = (4,7 : 9,4) · (102 : 106) = 0,5 · 10-4 = 5 · 10-5 (-1,8 · 10-11) : (-3 · 10-16) = (1,8 : 3) · (10-11 : 10-16) = 0,6 · 105 = 6 · 104 Como has podido ver, en el último paso de ambos ejemplos hemos tenido que “arreglar” de nuevo el resultado. 1.5. USO DE LA CALCULADORA La calculadora también nos permite operar con números en notación científica, aunque no todas las calculadoras son iguales:

• Unas admiten más cifras o dígitos, mientras que otras admiten menos. • Puede variar, de unas calculadoras a otras, los símbolos de las teclas que permiten

escribir números en notación científica. A continuación vamos a utilizar una calculadora científica para multiplicar dos números muy grandes. Veremos qué ocurre.



Si no tienes una calculadora a mano, puedes realizar los cálculos con la que encontrarás en esta dirección de internet: http://www.ayudadigital.com/Documentos-formularios/ calculadora_cientifica.htm Vamos a multiplicar en la calculadora 2720000000 x 55000000 Escribe en la calculadora la operación 2720000000 x 55000000 y al pulsar la tecla con el símbolo “=” aparece la expresión 1.496 e+17 Observa que nos aparece un número con una cifra en la parte entera y el resto son deci-males (nos suena, ¿verdad?). Después, dependiendo de la calculadora, aparecerá a la derecha un número pequeñito o bien una e (minúscula o mayúscula) seguida de un signo + y un número. ¿Qué crees que indica dicho número? Seguro que lo has adivinado: el número es el exponente al que está elevado el 10. En nuestro ejemplo la “e” significaría “10 elevado a”. Es decir, al realizar operaciones cuyo resultado no puede ser presentado en el visor de manera significativa aparecerán en no-tación científica, donde la e estará mostrando el exponente de base 10. Efectivamente, el resultado de la multiplicación anterior es un número cuya expresión en notación científica es 1,496 · 1017 Pero, ¿cómo podemos usar la calculadora para escribir y operar con cantidades en no-tación científica? Casi todas las calculadoras científicas tienen una tecla marcada con “EXP”, “EE” o “E” que es la que se usa para introducir las potencias de 10 (no se debe escribir el 10). Por ejemplo para escribir el número 3,5 · 1014 la secuencia de teclas será: 3.5 EXP 14 Si lo que queremos es multiplicar el número anterior por 5,2 · 104, haremos lo siguiente: 3.5 EXP 14 x 5.2 EXP 4 = Y la pantalla debe mostrar lo siguiente (o algo similar): 1.82 e+19 Si necesitas escribir un exponente o número negativo usa la tecla +/- (cambio de signo): Ejemplos:

a) Para introducir en la calculadora –215,27, tecleamos: 215.27+/- b) Para introducir en la calculadora 5,821·10-4, teclearemos: 5.821EXP4+/- Si a continuación pulsamos la tecla = , en la pantalla debería aparecer: 0.0005821 c) Para introducir en la calculadora –6,24·10-11, teclearemos primero su valor abso-luto (el positivo) y, una vez en pantalla, pulsamos la tecla de cambio de signo: Tecleamos 6.24EXP11+/- y, al pulsar la tecla =, en la pantalla aparecerá: 6.24 e-11 Ahora pulsamos la tecla de cambio de signo, +/-, y tendremos en la pantalla: -6.24 e-11

En todo caso, para saber los aspectos específicos de tu calculadora respecto a la nota-ción científica y uso de funciones concretas, debes CONSULTAR EL MANUAL DE USUARIO, ya que la gran cantidad de modelos existentes en el mercado no permite hacer una explicación que sea válida para todas.



2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

3ax + 2ay – 4xy Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de ope-raciones para reflejar de forma generalizada la relación que existe entre varias magnitu-des y poder realizar un cálculo de esa relación en función de los valores que tomen las diferentes magnitudes. Ejemplo: expresar el valor del perímetro y del área de un terreno rectangular. Si supone-mos que mide "x" metros de largo e "y" metros de ancho, obtendremos: Perímetro: 2x + 2y ; Área: x . y Ambas son expresiones algebraicas (recuérdese que el signo de la multiplicación acos-tumbra a no ponerse). Otras expresiones algebraicas podrían ser:

Suma de cuadrados: a2 + b2 Triple de un número menos doble de otro: 3x - 2y Suma de varias potencias de un número: a4 + a3 + a2 + a

2.1. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras por número y se realiza la opera-ción indicada se obtiene un número que es el "valor numérico " de la expresión algebrai-ca para los valores de las letras dados. En el ejemplo anterior , si el largo del terreno fueran 50 m (x = 50) y el ancho 30 m (y = 30), el valor numérico sería: Perímetro = 2 · 50 + 2 · 30 = 100 + 60 = 160 m Área = 50 · 30 = 1500 m2

Naturalmente debe observarse que el valor numérico de una expresión algebrai-ca no es único sino que depende del valor que demos a las letras que intervie-nen en ella.

2.2. MONOMIOS Si se observan las siguientes expresiones algebraicas se verá que en ellas aparecen dis-tintas operaciones: 1) 3ax ; 2) -2xy2 ; 3) 8ab3x ; 4) 3ax - 2y ; 5) x2 + 2x - 4 En las tres primeras expresiones no aparecen sumas entre términos mientras que en la 4) y la 5) sí. En los tres primeros casos se trata de monomios mientras que en los otros dos no. Podemos decir por tanto que:

Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que apare-cen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural.

Se llama coeficiente de un monomio al número que aparece multiplicando a las letras. Normalmente se coloca al principio. Si es un 1 no se escribe y nunca es 0 ya que la ex-presión completa sería 0. En los tres ejemplos de monomios anteriores los coeficientes son 3 ; -2 ; y 8 respectivamente.



Se denomina grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras. De este modo los tres monomios anteriores serán: el 1) de grado 2, el 2) de grado 3, el 3) de gra-do 5 (como es sabido cuando el exponente es 1 no se escribe).

En la mayor parte de los casos los monomios que se utilizarán serán más simples ya que sólo estarán formados por una letra, normalmente la x, el exponente correspon-diente que será el grado del monomio y un coeficiente.

Ejemplo : -2x2 ; 3x ; -5x3 ; x5 son cuatro monomios de grados 2, 1, 3 y 5 respectivamente.

Los coeficientes de un monomio pueden no ser enteros (por ejemplo 6

5;

2

1;6,0 − , etc)

aunque normalmente serán enteros y así lo vamos a suponer en este tema.

2.2.1. MONOMIOS SEMEJANTES Son monomios semejantes entre sí aquellos en los que aparecen las mismas letras con los mismos exponentes. Ejemplos : Son monomios semejantes entre sí: 2ax4y3 ; -3ax4y3 ; ax4y3 ; 5ax4y3

No son semejantes entre sí ni a los anteriores: axy3 ; 3a2x4y3 ; 2bx4 Dos monomios semejantes sólo se pueden diferenciar en el coeficiente y siempre ten-drán el mismo grado.

2.2.2. SUMA Y RESTA DE MONOMIOS Observa las siguientes operaciones:

1) 5ax4y3 - 2ax4y3 = 3ax4y3 2) 4ax4y3 + x2y

En el primer caso la resta de monomios se puede realizar, mientras que en el segundo caso la suma no. En el primer caso se trata de monomios semejantes y en el segundo no. Por tanto:

Para sumar o restar dos monomios tienen que ser semejantes. La suma o resta es otro monomio semejante a ellos que tiene por coeficiente la suma o diferencia, según el caso, de los coeficientes.

Cuando los monomios no son semejantes la suma queda indicada y el resultado es un polinomio como veremos en este tema. Ejemplo : observa las siguientes operaciones con monomios:

a) 2ax4 - 3ax4 + 5ax4 = 7ax4 - 3ax4 = 4 ax4 b) 2x 3 - x + x 3 + 3x3 +2x = 6x 3 + x

Como puedes observar, se suman o restan los coeficientes de los monomios que son semejantes. Si no lo son, no pueden sumarse y entonces se deja la operación indica-da.



2.2.3. PRODUCTO DE MONOMIOS Para multiplicar monomios se debe recordar el producto de potencias que, como sabemos se puede realizar si tienen la misma base. Por ejemplo 5x2 · 3x4 = 15x6 ya que: "Para multiplicar potencias de la misma base se deja la m isma base y se suman los expo-nentes" Pues bien:

Para multiplicar monomios, se multiplican los coeficientes de cada uno entre si y las potencias que tengan la mima base de cada uno, dejando las de distinta base como estén.

Ejemplo: Calcula el producto de los siguientes monomios: 4ax4y3 · x2y · 3ab2y3 . Se pro-cede de la siguiente forma:

a) Se multiplican los coeficientes : 4, 1 y 3 respectivamente. Resultado: 12 b) Se multiplican todas las potencias de base a (sumando los exponentes) . Resul-

tado: a2 c) Se multiplican todas las potencias de base b . Resultado: b2 d) Se multiplican todas las potencias de base x . Resultado: x6 e) Se multiplican todas las potencias de base y . Resultado: y7 Resultado final: 4ax4y3 · x2y · 3ab2y3 = 12a2b2x6y7

2.2.4. DIVISIÓN DE MONOMIOS

Dos monomios no siempre se pueden dividir. Observa los siguientes ejemplos:

a) (4ax4y3):(2x2y) En este caso a) se pueden dividir los coeficientes entre si y las letras del dividendo entre las del divisor, aunque en el divisor no esté la "a". Se obtendría como resulta-do a) 2ax2y2 b) (6x 4y):(ax 3) Sin embargo en el caso b), al no existir la "a" en el dividendo, no es posible la divi-sión.

Quizás se entienda mejor si expresamos la división como una fracción y la "simplifica-mos ", restando los exponentes de las potencias de la misma base:

222

34

22

4yax

yx

yax =

En el caso b) obviamente no podemos hacer lo mismo al no poder simplificar la "a" del denominador.

Tampoco pueden dividirse los monomios cuando en el divisor aparece una letra con una potencia mayor que en el dividendo. El resultado no sería un monomio pues que-daría, al restar los exponentes, un exponente negativo (recuérdese que los exponen-tes de las letras deben ser positivos).

Ejemplo: Si planteamos la división (2ax2):(-3a3x), el resultado sería - 2/3 a-2 x . El coefi-ciente -2/3 es perfectamente válido aunque solemos usar coeficientes enteros, pero no así a-2 ya que el exponente no es positivo.



2.3. POLINOMIOS 2.3.1. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS DE POLINOMIOS

Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes.

Si recordamos la suma de monomios, cuando estos no eran semejantes, no se podían sumar. En este caso lo que se obtiene es por tanto un polinomio. Ejemplo: son polinomios las expresiones siguientes:

a) 4ax4y3 + x2y + 3ab2y3 b) 4x4 -2x3 + 3x2 - 2x + 5 En el primer caso, el polinomio consta de la suma de tres monomios, cada uno de ellos es un término del polinomio, luego tiene tres términos, cada uno con varias letras, mientras que en el segundo caso el polinomio tiene 5 términos. Si un término sólo consta de un número se le llama término independiente (5 en el caso b y no existe en el caso a). Cuando un polinomio consta de dos monomios se denomina binomio ; si tiene tres mo-nomios, se llama trinomio . Con más de tres términos (monomios), ya se denomina en general polinomio . Ejemplos: x2y + 3ab2y3 ; 2x + 3 son dos binomios; el caso a) anterior o -2x3 + 3x2 + 5 son trinomios, mientras que el caso b) anterior es un polinomio. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman. Así, en el caso a) los grados de los monomios (suma de los exponentes de las letras) son 8, 3 y 6, luego el grado del polinomio es 8 ; en el caso b) el grado es 4 . Los coeficientes del polinomio son los números que acompañan como factores a las letras (coeficientes de los monomios). En el caso b) anterior, los coeficientes serían 4 , -2 , 3 , -2 y 5, respectivamente. "Lo más habitual que nos vamos a encontrar son poli nomios del tipo del caso b), por tanto con una sola letra, que habitualmente ser á la x". En este caso, a la letra se le suele llamar variable .

2.3.2. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS La suma de polinomios se basa en la de monomios, ya vista en este tema. Se podrán su-mar los términos (monomios) que sean semejantes de los polinomios objeto de la suma. A partir de este momento, trabajaremos ya sólo con polinomios con una sola letra (x), por considerar que son los más utilizados en l a práctica. Ejemplo : para calcular la suma de los polinomios: (4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) + ( 5x3 - x2 + 2x ) Basta sumar los términos de grados 3, 2 y 1 de ambos polinomios y dejar el resto de los términos del primero como está. Podemos indicar la suma de la siguiente forma para verla mejor: 4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 + - 5x3 -x2 + 2x ____________________ 4x4 - 7x3 + 2x2 + 5



Por tanto:

Para sumar dos o más polinomios se suman los términos semejantes de cada uno de ellos.

Si en lugar de sumar dos polinomios se tratara de r estarlos, bastaría cambiar el signo a todos los términos del segundo y sumar los resultados. Ejemplo : para calcular la diferencia o resta de los dos polinomios anteriores: (4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) - ( 5x3 - x2 + 2x ) Se calcula la suma: (4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) + ( - 5x3 + x2 - 2x ) = 4x 4 - 7x3 + 4x2 - 4x + 5 (Observa que hemos cambiado el signo a todos los té rminos del polinomio sus-traendo) 2.3.3. PRODUCTO DE POLINOMIOS

Para multiplicar dos polinomios se deben multiplicar todos los monomios de unos por todos los del otro y sumar los resultados. ("Atención especial al producto de potencias de la misma base").

En el caso en que ambos polinomios consten de vario s términos, se puede indicar la multiplicación de forma semejante a como se hace con número de varias cifras, cuidando de situar debajo de cada monomio los que s ean semejantes. Ejemplo: Fíjate cómo puede hacerse el producto de dos polinomios de varios términos:

329124

264

396

32

132

234

34

23

23

−++−+−

−+−−+−

xxxx

xxx

xx

x

xx

En la práctica, no suele indicarse así la multiplicación como, sino que suelen colocarse todos los términos seguidos y sumar después los que sean semejantes. Ejemplo: (-2x3+3x2-2x+5)·(x+1) = -2x 4+3x3-2x2+5x-2x 3+3x2-2x+5 = - 2x 4+x3+x2+3x+5 IGUALDADES NOTABLES : Se denominan así a algunas operaciones de especial interés con polinomios, ya que aparecerán frecuentemente en los cálculos. Las más usuales son: a) Cuadrado de un binomio : suma (a + b)2 o diferencia (a - b)2 Naturalmente realizar un cuadrado es multiplicar el binomio por sí mismo, luego:

(a + b)2 = (a + b )·(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 "El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero, más dos veces el primero por el segundo, más el cuadrado del segundo."

De modo similar: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ( igual que antes pero cambiando el signo cen-tral).



"En cualquier caso se debe tener en cuenta que el primer término "a" también puede ser negativo y por tanto cambiar el signo central". "En general se puede considerar siempre como una suma y para cada término asignarle el signo que le preceda (ver ejemplo)”. Ejemplos:

1) (2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 · 2x · 3y + (3y)2 = 4x2 +12xy + 9y2 2) (- x + 3)2 = (-x)2 + 2 · (-x) · 3 + 32 = x2 - 6x + 9

b) Suma por diferencia : se refiere al producto de la suma de dos monomios, por la dife-rencia de ellos mismos: (a + b)·(a - b) = a2 - ab + ba + b2 = a2 - b2

" suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados."

Otras igualdades importantes , aunque menos utilizadas (porque puede hacerse la cuenta en caso de duda) son: c) Cubo de una suma: (a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3

d) Cuadrado de un trinomio: (a + b + c) 2 = a2+ b2 +c2 + 2ab+ 2ac + 2bc 2.3.4. DIVISIÓN DE POLINOMIOS La división de polinomios, en general se realiza de forma semejante a la de números de varias cifras, aunque las operaciones que realizamos rápidamente con los números, con los polinomios las vamos indicando. El proceso es el siguiente: Con los polinomios dividendo y divisor ordenados de mayor a menor grad o:

• Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al primer término del cociente

• Se multiplica dicho término por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los signos contrarios, cuidando que debajo de cada término se coloque otro semejante

• Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de grado menor al inicial

• Se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser de menor grado.

Normalmente se dividen polinomios con una sola vari able (x) tanto en el dividendo como en el divisor. En la imagen siguiente se puede ver una división completa: Ejemplo:

23

134

44414

1334

2

2

23

2

23

+−−+−+−

−+−+

+−+−

x

xxxx

xxxx

xxxx

Como se ve, se ha obtenido de cociente 4x + 1 y de resto - 3x + 2 3. ECUACIONES Y LENGUAJE ALGEBRAICO 3.1. DEFINICIONES Al comparar dos expresiones algebraicas mediante el signo matemático “igual” (=), crea-mos una igualdad en la que pueden darse tres situaciones: 1ª) Que tenga infinitas soluciones y se denomina identidad . Ejemplo : 3b = b + b + b Podemos dar cualquier valor a “b” y siempre se cumplirá la igualdad.



2ª) Que tenga una sola solución y se denomina ecuación . Ejemplo : x = 3 + 1 Solamente dando el valor 4 a “x” se cumplirá la igualdad. 3º) Que la igualdad no se cumpla nunca, dando así lugar a expresiones del tipo 3 = 7 que, evidentemente, son falsas y cuyo significado es que no tienen solución. Ejemplo : x = x+1 3.1.1. ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN En toda ecuación se identifican unos elementos que la conforman:

• Términos : Son cada uno de los monomios que forman la ecuación. • Miembros : Son los polinomios que se encuentran a ambos lados del signo igual. El

primer miembro a la izquierda del signo y el segundo a la derecha. • Incógnita : Es la parte literal (habitualmente x) que es objeto del cálculo.

Primer miembro Segundo miembro 7 + 4(5+x) = 3x – 1 Término Término Término Término

7 4(5+x) 3x -1 Según el grado de los polinomios contenidos en ellas, las ecuaciones pueden ser de pri-mer grado, de segundo grado, etc. Ejemplos:

• Ecuaciones de primer grado: 2x -1 = x + 2 • Ecuaciones de segundo grado: 2x + 3 = x2 – 5

En este módulo vamos a estudiar las de primer grado, siendo las de segundo objeto de estudio en posteriores módulos. 3.2. PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRA DO Los pasos a seguir pasos para resolver cualquier ecuación de primer grado son estos:

1) Eliminación de denominadores. 2) Eliminación de paréntesis. 3) Transposición de términos. 4) Reducción de términos semejantes. 5) Despeje de la incógnita.

Veámoslo con más detalle sobre casos concretos: 1) Eliminación de denominadores. Si existen denominadores se eliminarán, aplicando el procedimiento del mínimo común múltiplo (mcm) (Recuerda que se obtiene sacando los factores primos de cada número y luego multiplicando los factores primos no comunes y los comunes con mayor exponente). Por tanto, se halla el mínimo común múltiplo de todos los denominadores y éste se divide entre cada denominador antiguo, multiplicando el resultado por su respectivo numerador. Ejemplo :

532

=+ xx

El mcm de los denominadores 2 y 3 es 6. Ponemos el mismo denominador en los dos miembros. Lo dividimos por cada denominador antiguo y el resultado lo multiplicamos por su respectivo numerador.

6

30

6

56

56

6

23

=

⋅=+

x

xx



A continuación eliminamos los denominares multiplicando los dos miembros por el m.c.m. En nuestro caso multiplicamos los dos miembros por 6 y nos queda:

305 =x 2) Eliminación de paréntesis. Si existen paréntesis se operan para eliminarlos, teniendo buen cuidado de ir multiplican-do los signos correspondientes. Para ello hay que tener en cuenta la regla de los signos:

)()()( +=+⋅+ Ejemplo :

34

32263

3)1(2)2(3

=−=+−−

=−−−

x

xx

xx

)()()( +=−⋅− )()()( −=−⋅+ )()()( −=+⋅−

3) Transposición de términos. Consiste en dejar en un miembro los términos que posean la incógnita y pasar al otro miembro los demás. La transposición de términos se rige por las reglas:

• Cualquier término que esté en un miembro sumando, pasa al otro restando, y vice-versa.

• Cualquier término que esté en un miembro multiplicando pasa al otro dividiendo, y viceversa.

4) Reducción de términos semejantes. Se suman los términos semejantes de uno y otro miembro. 5) Despeje de la incógnita. Se deja la incógnita totalmente aislada y con signo positivo. Ejemplo : 31539865 −−=+− xxx - Agrupo los términos con x en el primer miembro y los otros en el segundo:

83391565 −−=+− xxx - Reduzco términos semejantes:

2814 =x - Como el 14 está multiplicando a x , pasa al otro miembro dividiendo:

214

28 ==x

EJEMPLOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

153) +=+ xxa Primero agrupo las xen el primer miembro y los números en el segundo:

513 −=− xx Ahora, reduzco términos:

42 −=x Finalmente, despejo x :

22

4 −=−=x

)5(33) +−=− xxb Primero, elimino el paréntesis, efectuando la operación:

1533 −−=− xx Ahora, agrupo las xen el primer miembro y los números en el segundo:

3153 −−=+− xx Reduzco términos:

182 −=x Y, finalmente, despejo la x :

92

18 −=−=x



83

47

2

3) +=+ xx

c

Lo primero es calcular el mcm de los denominadores, mcm (2,3)=2·3=6 Ahora, ponemos el mcm como común denominador en ambos miembros:

6

8·6

6

4·2

6

6·7

6

3·3 +=+ xx

Multiplicamos los dos miembros por el mcm, que en este caso es 6, y así desapa-recen los denominadores:

488429 +=+ xx Agrupamos las x en el primer miembro y los números en el segundo:

424889 −=− xx Reducimos términos semejantes:

6=x

63

2

2

1) =++− xx

d

Lo primero, para poder quitar denominadores, es calcular el m.c.m de los denomi-nadores iniciales, en este caso m.c.m(2,3)=6 Ahora ponemos como denominador común el m.c.m de los denominadores (en es-te caso 6):

6

6·6

6

)2·(2

6

)1·(3 =++− xx

Eliminamos denominadores multiplicando los dos miembros por el denominador común (6):

6·6)2·(2)1·(3 =++− xx Quitamos paréntesis y agrupamos términos semejantes:

75

35

355

433623

364233

==

=−+=+

=++−

x

x

xx

xx

3.3. EL LENGUAJE ALGEBRAICO La parte realmente práctica de todos los contenidos estudiados hasta ahora, consiste en traducir problemas de la vida cotidiana a un lenguaje algebraico para poder resolverlos. En general, como ya sabemos, llamamos incógnita a la cantidad que es objeto de cálculo y la identificamos habitualmente con la letra “x” (aunque puede utilizarse cualquier letra). A esta incógnita le aplicamos las operaciones que deducimos del enunciado literal de los problemas. Ejemplo : El doble de un número: x2

La mitad de un número: 2

x

De esta forma traducimos los planteamientos literales en algebraicos. Ejemplos de traducción a lenguaje algebraico:

a) Un cuarto de un número o la cuarta parte de un número: x4

1

b) El cubo de la diferencia de dos números: (x − y)3 c) El triple del cubo de la suma de dos números: 3 (x + y)3



► Intenta escribir frases que traduzcan al lenguaje ordinario las siguientes expresiones algebraicas. ¡No te dejes asustar por su aspecto!:

a) 3

23 yx −

c) 5

xx +

e) 2)( yx −

g) 23

yx +

i) 2

3

− yx

k) ( )2

3

1yx −

m) )2·(4 −x

b) 4

2x

x −

d) xyx 22 +

f) 4

3−x

h) )2)·(1·( ++ xxx

j) ( )3x

l) ( )3x

n) 12

53 −x

3.4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES Para resolver problemas mediante ecuaciones debemos seguir el siguiente proceso:

1. Identificar la incógnita 2. Plantear la ecuación 3. Resolver la ecuación 4. Comprobar la solución 5. Expresar con palabras la solución

Ejemplo : Si restamos 12 a un número lo reducimos a su tercera parte.

1. Identificar la incógnita: x (el número que nos piden)

2. Plantear la ecuación: 3

12x

x =−

3. Resolver la ecuación: 18;362;363;363 ===−=− xxxxxx

4. Comprobar la solución: 18 – 12 = 6 ; 63

18 = ; 6 = 6

5. Expresar con palabras la solución: El número pedido es el 18.

TEMA 3: FIGURAS PLANAS MÓDULO DOS


1. INTRODUCCIÓN 2. LOS ÁNGULOS Y SU MEDIDA 3. FIGURAS GEOMÉTRICAS EN EL PLANO. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD 4. CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS SENCILLAS: MEDIATRIZ Y BISECTRIZ 5. POLÍGONOS. CLASIFICACIÓN, PROPIEDADES Y RELACIONES

5.1. TRIÁNGULOS 5.2. CUADRILÁTEROS 5.3. POLÍGONOS REGULARES. CONSTRUCCIÓN Y PROPIEDADES

6. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO 7. SIMETRÍA DE FIGURAS PLANAS Y SU APRECIACIÓN EN LA NATURALEZA 8. HERRAMIENTAS INFORMÁTICAS PARA LA GEOMETRÍA PLANA 1. INTRODUCCIÓN La palabra geometría significa “medida de la Tierra” y, aunque inicialmente fue la ciencia dedicada a este cometido, posteriormente pasó a ser la parte de las Matemáticas dedica-da al estudio de las propiedades de las figuras o formas en el plano y en el espacio. La geometría empezó a desarrollarse en el antiguo Egipto, aunque fue en la Grecia clásica donde se establecieron muchos de sus fundamentos teóricos, que han sido la base de esta ciencia hasta nuestros días. De hecho Euclides, sabio griego que vivió en Alejandría alrededor del año 300 a.C., es conside-rado como padre de la geometría, ya que en su li-bro “Los Elementos” estableció las propiedades de líneas, planos, triángulos y demás figuras geométricas. Para ello partió de unas pocas afirmaciones lógicas no demostrables (axiomas), que a nosotros nos pueden parecer he-chos bastante evidentes:

1) Entre dos puntos puede trazarse una sola recta. 2) Cualquier segmento puede prolongarse en cualquier sentido indefinidamente. 3) Tomando como centro cualquier punto, se puede trazar una circunferencia con

cualquier radio. 4) Todos los ángulos rectos son iguales. 5) Por todo punto exterior a una recta puede trazarse una recta paralela a la dada.

Lo importante es que, a partir de los axiomas, pueden deducirse muchas propiedades o teoremas, por razonamiento lógico, como por ejemplo:

1) La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180º. 2) La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es 360º. 3) El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los

cuadrados de sus catetos (teorema de Pitágoras). ....................

Hay que tener en cuenta que el gran mérito de Euclides fue hacer una recopilación de los conocimientos que otros mu-chos sabios de la época tenían sobre esta materia, dándoles coherencia y unidad. En este tema veremos los aspectos básicos de lo relaciona-do con las figuras planas, que son las que pueden represen-tarse en un plano, es decir, una región del espacio con la

forma de la hoja que estás leyendo ahora o la de la pizarra, aunque de un tamaño todo lo grande que te puedas imaginar. Los planos suelen denominarse con letras griegas y, por comodidad, para representarlos se dibujan sus bordes irregulares para indicar que el dibu-jo pertenece a una región infinita.

π

MÓDULO DOS TEMA 3: FIGURAS PLANAS


Los conceptos de punto y de recta contenidos en un plano serán indispensables para comprender otros, como ángulos, polígonos o círculos. Así, la idea intuitiva de punto del plano es suficiente para comprender que un plano está formado por infinitos puntos; también es clara la idea del concepto de recta , resultado de unir dos puntos con una regla, por ejemplo. Una vez definidos estos conceptos, se comprende el de región angular , como cada una de las partes en que que-da dividido un plano por dos rectas que se cortan en un punto (rectas secantes). También podemos comprender la idea de semirrecta , co-mo la parte de una recta a partir de un punto de ésta, lla-mado origen . Un segmento será la porción de una recta comprendida entre dos puntos, llamados extremos . De este modo podemos empezar definiendo lo que son ángulos y cómo se miden. 2. LOS ÁNGULOS Y SU MEDIDA

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen co-mún. A las semirrectas se las llama lados y al origen común, vértice.

Los ángulos suelen representarse mediante letras griegas o letras mayúsculas con el marcador angular, Â=α Para medir ángulos, basta con compararlos con ángulos caracterís-ticos, como los determinados por dos radios de una circunferencia: -Un ángulo completo corresponde a una vuelta completa de circun-ferencia. -Un ángulo llano es la mitad de uno completo (media circunferen-cia). -Un ángulo recto es la cuarta parte del completo (la cuarta parte de la circunferencia). -Un ángulo nulo estaría determinado por dos radios coincidentes. Para mayor comodidad, y para poder medir cualquier ángulo, pueden utilizarse distintas unidades angulares, aunque las más utilizadas son: a) El grado sexagesimal: el ángulo completo contiene 360 grados, cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto, en 60 segundos (1º = 60’ = 3600”). b) El radián: es el ángulo delimitado por dos radios de una circunferencia, de modo que la longitud del arco de circunferencia comprendido entre ambos coincide con el radio (r). Es la unidad natural de medidas angulares, ya que se define a partir de medidas de longitud.

La región angular resaltada en la figura de la izquierda sería 1 ra-dián. Hay que tener en cuenta que, como la longitud de una circun-ferencia es r2π , una circunferencia completa tiene π2 radianes (aproximadamente 6,28 radianes)

r

l

radio

arcorad ==)(α , o bien radioánguloarco ×= , cuando el ángulo

está en radianes.



Por tanto, los medidas angulares para los ángulos más característicos es la siguiente:

ÁNGULO SEXAGESIMALES RADIANES

COMPLETO

360º π2

LLANO

180º π

RECTO

90º 2

π

Dadas las equivalencias anteriores, para cualquier ángulo puede establecerse el siguiente criterio:

180

)(º)(

απα ⋅=rad , o bien π

αα )(180)(º

rad⋅=

Ejemplo 1 : Expresar en radianes el ángulo de 30º:

radradradrad

52,06180

30)(

º180

º30)( ==⋅=⇒= ππαπ

α

Ejemplo 2: Expresar en grados sexagesimales el ángulo de 0,25 radianes:

"12'19º14º32,1414,3

º4525,0180)(º

25,0

180

)(º ===⋅=⇒=π

απ

α

Independientemente del criterio anterior, los ángulos pueden ser: -Agudos (menores que un ángulo recto). -Obtusos (mayores que un ángulo recto). -Cóncavos (mayores que el ángulo llano). -Convexos (menores que el ángulo llano).

Agudo Obtuso Cóncavo Convexo Según su posición relativa, los ángulos pueden ser: Consecutivos : con el vértice y un lado común.

Adyacentes : consecuti-vos, con los lados no co-munes que son continua-ción.

Opuestos por el vértice : los lados de uno son la pro-longación de los del otro por lo que tienen la misma amplitud (en la figura, 1 y 3; 2 y 4)



En la medida de ángulos se utiliza el transportador de ángulos, que es un aparato en forma de semicírculo que está graduado. Para realizar correctamente la medida, se hace coincidir el vértice del ángulo con la cruceta de la zona recta del transportador, de modo que un lado del ángulo coincida con el “cero” del semicírculo y el otro lado se situará sobre la división que corresponde a su medida: Es posible realizar OPERACIONES CON ÁNGULOS (sumas, restas, multiplicaciones o divisiones) del modo siguiente: Suma de ángulos : el resultado es otro án-gulo cuya amplitud es la suma de las ampli-tudes de los ángulos a sumar.

Resta de ángulos : el resultado es otro án-gulo, cuya amplitud es la diferencia entre la del mayor y la del menor.

Multiplicación de un ángulo por un n ú-mero entero : el resultado es otro ángulo cuya amplitud es el producto del número por la amplitud del ángulo a multiplicar.

División de un ángulo por un número e n-tero : el resultado es otro ángulo, cuyo resul-tado es otro que multiplicado por el número dé como resultado el original

:4 =

Según su suma, dos ángulos pueden ser entre sí complementarios (si suman un ángulo recto) o suplementarios (si suman un ángulo llano):

Complementarios Suplementarios Cuando se expresen las medidas angulares en unidades sexagesimales, habrá que tener cuidado al realizar las operaciones con ellas, ya que deben respetarse las relaciones en-tre grados, minutos y segundos (1º = 60’ ; 1’ = 60” ; 1º = 3600”). Ejemplos: a)

"42'82º39

"17'39º27

"25'43º12

+

Como 82’ = 60’+22’ = 1º y 22’, se cambia el resulta-do obtenido, dejándolo como 40º 22’ 42”

b)

"49"50º26

"23'47º18

"72'97º44

"23'47º18

"12'38º45

−=

−

Como ahora 38’<47’, transformamos 1º de los 45º en 60’ (38’+60’=98’) pero, como 12”<23”, transforma-mos 1’ de los 98’ en 60” (12”+60”=72”). De este mo-do ya no hay problemas con que alguna de las subunidades del minuendo sea menor que las del sustraendo.



c)

0

"95

"95

"60'1

'140

"35'141

'120º2

"19'28º10

5"35'21º52

=

=

En este caso vemos cómo al dividir los grados que-da un resto parcial de 2º (120’), que se añaden a los minutos que había al principio (120’+21’ = 141’); esta cantidad se vuelve a dividir entre 5 y queda un resto parcial de 1’ (60”), que se añaden a los segundos que había al principio (60”+35”=95”). Esta cantidad se vuelve a dividir entre cinco de nuevo y, en este caso, el resultado es exacto, aunque podría haber quedado un resto no nulo.

3. FIGURAS GEOMÉTRICAS EN EL PLANO. PARALELISMO Y P ERPENDICULARIDAD Cuando hablamos de figuras geométricas en el plano, nos estamos refiriendo a formas como triángulos, cuadriláteros y polígonos en general, que se forman cuando tres o más rectas se cortan en el plano, dos a dos, de distintas maneras. Para empezar, según la posición que dos rectas del plano tengan entre sí, pueden ser: a) Secantes : si coinciden en un punto. Dentro de éstas, se dice que son perpendicula-res cuando dividen el plano en cuatro regiones angulares iguales, es decir, cuando for-man ángulos rectos entre ellas. b) Paralelas : si no tienen ningún punto en común. Para dibujar una recta paralela a una dada, puede hacerse fácilmente con ayuda de regla y escuadra (o cartabón): 1º. Se sitúa la escuadra (o el cartabón) sobre la recta original, de la que se quiere dibujar otra que sea paralela. 2º. Se pone una regla sobre el lado corto de la escuadra, de modo que sirva de soporte para des-lizar la escuadra (también permitirá medir la dis-tancia entre las paralelas). 3º. Una vez deslizada la escuadra hasta la distan-cia deseada, se traza la recta paralela.



Para dibujar una recta perpendicular a una dada, con ayuda de regla y escuadra (o carta-bón), se procede así: 1º. Se coloca la regla sobre la recta original, a la que se quiere trazar una perpendicular. 2º. Se apoya la escuadra sobre la regla, de modo que la zona graduada quede perpendicularmente a la regla. 3º. Se traza la perpendicular, hasta la longitud deseada. También puede trazarse una perpendicular mediante regla y compás por el mismo procedimiento por el que se traza la mediatriz, que veremos en el apartado si-guiente. 4. CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS SENCILLAS: MEDIATRIZ Y BISECTRIZ Ambos conceptos pretenden representar la mitad de un elemento geométrico, por lo que son de sumo interés en la construcción de figuras geométricas más complejas: Mediatriz de un segmento : es la recta que contiene los puntos situados a la misma distancia de cada uno de los extremos del segmento. Por tanto, corta al segmento en su punto medio y es perpendicular a él. Para construirla, tienes dos opciones:

a) Medir el segmento, calcular la mitad de su longitud y trazar con la escuadra una recta perpendicular al segmento, de modo que pase por su punto medio.

b) Utilizando el compás: se traza desde cada extremo del segmento un arco de circunferencia que se ex-tienda a ambos lados del segmento. Ambos arcos se cortan en dos puntos situados a la misma dis-tancia de los dos extremos, por lo que pertenecen a la mediatriz. Por tanto, bastará unirlos para obtener la mediatriz buscada. Los dos arcos trazados deben tener el mismo radio y éste puede ser cualquiera, siempre que sea mayor que la mitad del segmento.

Bisectriz de un ángulo : es la recta que, pasando por su vértice, divide el ángulo en dos iguales. Para obtenerla, basta seguir los siguientes pasos: 1º) Con un compás, se traza un arco con centro en el vértice del ángulo, que corte a los dos lados del ángulo. 2º) Desde los puntos de corte del arco trazado con los lados, se trazan con el compás sendos arcos de igual apertura hacia el in-terior del ángulo. 3º) Se une el vértice con el punto de corte de los dos últimos ar-cos trazados. Trazar paralelas, perpendiculares, mediatrices y bisectrices pue-den ser el punto de partida para dibujar figuras geométricas más complejas o para analizar sus propiedades, tal como veremos en los siguientes apartados.



5. POLÍGONOS. CLASIFICACIÓN, PROPIEDADES Y RELACION ES. Triángulos y cuadriláteros son dos tipos de polígonos, que son figuras geométricas que, como su nombre indica, contienen varios ángulos.

Un polígono es una porción del plano delimitada por tres o más segmentos rectos, llamados lados, cuyos extremos coinciden, dos a dos, en ciertos puntos llamados vértices, que se asocian a los correspondientes ángulos del polígono (internos o externos). En todo polígono coincide el número de vértices, lados y ángulos; ade-más, no pueden existir polígonos con menos de tres lados.

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. Se llaman diagonales del polígono a los seg-mentos que unen dos vértices no consecuti-vos y en cualquier polígono su número viene dado por la siguiente fórmula:

2

)3( −⋅= NND

En esta fórmula, D es el número de diagona-les y N, el número de lados del polígono. La justificación de la fórmula es que de cada vér-tice se pueden trazar diagonales a todos los demás vértices, excepto a él mismo y a sus dos vecinos (tres vértices excluidos para tra-zar diagonales). Por tanto, el número de posibles diagonales de un polígono de N lados se obtiene multiplicando el número de vértices (N) por los vértices a los que puede trazar-se diagonal desde cada uno de ellos (N-3), pero hay que dividir entre dos porque cada vértice repetiría diagonal, al ser origen y destino. Ejemplos : -Un triángulo (N=3) no tiene diagonales:

-Un rectángulo (N=4) tiene 2 diagonales:

-Un pentágono (N=5) tiene 5 diagonales:



En cuanto la clasificación de los polígonos, puede hacerse según distintos criterios: a) Por el número de lados : triángulos (3 lados), cuadriláteros (4 lados), pentágonos (5 lados), hexágonos o exágonos (6 lados), heptágonos (7 lados), octógonos (8 lados), eneágonos (9 lados), decágonos (10 lados), endecágonos (11 lados), dodecágonos (12 lados). También podemos referirnos, para otros números de lados, de la forma genérica “polígono de ..... lados”. b) Por la relación entre sus lados : cuando tienen todos sus la-dos y ángulos iguales, se les llama polígonos regulares; en caso contrario, son polígonos irregulares. c) Por sus ángulos : si todos sus ángulos son convexos (menores que el ángulo llano), el polígono es convexo; en caso contrario, es cóncavo. Una propiedad interesante de los polígonos convexos es que pueden dividirse sólo en dos partes mediante una recta que los atraviese, mientras que los polígonos cóncavos pueden dividir-se en más de dos.

5.1. TRIÁNGULOS Los triángulos son polígonos con tres lados, tres ángulos y tres vértices. Sus vértices suelen representarse con letras ma-yúsculas (A,B,C) de modo que el ángulo corres-pondiente se designa con la misma letra, pero con el símbolo angular o mediante la correspondiente letra griega ( Cγ,Bβ,Aα === ); los lados se repre-sentan con las letras minúsculas correspondientes a las de sus vértices opuestos (a,b,c). 5.1.1. ELEMENTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO a) Las alturas del triángulo son los segmentos que unen cada vértice con el lado opuesto, siendo per-pendiculares a éste o a su prolongación. Para trazar-las, basta con situar la regla sobre el lado del que se desea trazar la altura; sobre la regla se apoya la es-cuadra y se desplaza ésta hasta que coincida su la-do perpendicular a la regla con el vértice. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto (interior o exterior al triángulo) llamado ortocentro .



b) Medianas : son los segmentos que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se cortan en un punto lla-mado baricentro , que coincide con el centro de gravedad del triángulo (punto sobre el que actúa la fuerza de su peso), por lo que podríamos mantener en equilibrio un triángulo recortado apoyándolo sobre su ba-ricentro en la punta de un lápiz. c) Mediatrices de los lados: pasan perpendicularmente por el punto medio de cada lado. Se cortan en un punto llamado circuncentro , que coincide con el centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo. d) Bisectrices de los ángulos: dividen en dos ángulos iguales cada uno de ellos. Se cor-tan en un punto llamado incentro , que coincide con el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

5.1.2. PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS Se puede comprobar fácilmente que cualquier triángulo tiene las siguientes propiedades: a) La suma de sus ángulos interiores equivale a dos ángulos rectos (180º). b) Cualquier lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. c) En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo. d) Dos triángulos son iguales si:

- Sus lados son iguales. - Tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. - Tienen igual un lado y los dos ángulos adyacentes.

5.1.3. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS Según sus lados, un triángulo puede ser:

-Equilátero: con todos los lados iguales. -Isósceles: con dos lados iguales. -Escaleno: con los tres la-dos diferentes.

Según sus ángulos, un triángulo puede ser:

-Acutángulo: con todos los ángulos agudos (<90º). -Obtusángulos: con algún ángulo obtuso (>90º). -Rectángulos: con un ángulo recto. En este caso, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa, y los otros dos catetos, cumpliendo el llamado teorema de Pitá-goras: “El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los ca-tetos”: 222 cba +=



5.1.4. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS Para dibujar correctamente un triángulo es necesario utilizar regla, compás y, según los datos de partida, también el transportador de ángulos. a) A partir de otro triángulo dibujado : se mide uno de sus lados y se traza con la regla el correspondiente segmento; luego, se toma la medida de los otros dos lados con el compás y se trazan sendos arcos desde los correspondientes vértices: los dos arcos se cortarán en el tercer vértice. b) Triángulo equilátero : basta dibujar uno de sus lados y, después, se hace con el com-compás algo parecido al caso anterior, pero tomando la misma apertura del compás, que coincidirá con la del lado dibujado. c) Si se conoce un lado y dos ángulos , se dibuja el lado y, mediante el transportador, se miden los ángulos tomando como centro los extremos del segmento dibujado. A continua-ción, se trazan las rectas que contienen a los otros dos lados, que se cortarán en el tercer vértice. 5.2. CUADRILÁTEROS Son polígonos con cuatro lados y cuatro ángulos. Sobre un cuadrilátero pueden trazarse dos dia-gonales, dividiéndole cada una de ellas en dos triángulos, lo cual demuestra que sus ángulos interiores suman cuatro ángulos rectos (360º). Efectivamente, en el triángulo ABC la suma de sus ángulos interiores es α + β + γ = 180º. Por otro lado, en el triángulo ADC, la suma de sus ángulos interiores será α’ + β’ + γ’ = 180º. Por tanto, la suma de todos estos ángulos (es decir, la de los ángulos internos del cuadrilátero) será 360º.



5.2.1. CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS Igual que todos los polígonos, los cuadriláteros pueden ser cóncavos o convexos, según que tengan un ángulo mayor de 180º o no. A su vez, los cuadriláteros convexos pueden clasificarse, según la relación entre sus la-dos, en:

a) Paralelogramos : con los lados paralelos dos a dos. b) Trapecios : con dos lados paralelos entre sí y otros dos no. c) Trapezoides : no tienen lados paralelos.

Los paralelogramos pueden ser:

El cuadrado tiene todos los lados iguales y los cuatro ángulos rectos, con dos dia-gonales iguales y perpendiculares. El rectángulo tiene los lados iguales dos a dos y también los cuatro ángulos rec-tos. Las diagonales son iguales, pero no perpendiculares. El lado sobre el que se apoya se llama base y el perpendicular a éste, altura. El Rombo tiene los cuatro lados iguales y los ángulos iguales dos a dos. Las dos diagonales son perpendiculares. El Romboide tiene los lados iguales dos a dos y los ángulos iguales dos a dos. Al lado sobre el que se apoya se le llama base; la altura es el segmento que une la base con su lado opuesto, siendo perpendicular a los dos.

Todos los paralelogramos se caracterizan porque una diagonal les divide en dos triángulos iguales. Los trapecios pueden ser: Isósceles : con los lados no paralelos iguales. Rectángulos : con dos ángu-los rectos. Escalenos : ni lados iguales, ni ángulos rectos. En todos los trapecios se llaman bases a los dos lados paralelos (base mayor y ba-se menor); su altura es el segmento que une las dos bases y es perpendicular a ambas.



5.3. POLÍGONOS REGULARES. CONSTRUCCIÓN Y PROPIEDADE S. Los polígonos regulares se caracterizan por tener todos sus lados y sus ángulos iguales, de modo que es posible encontrar en ellos un punto interior, lla-mado centro del polígono , que está a la misma distancia de todos los vértices y, por tanto, permite trazar desde él una circunferencia que toca todos los vértices (circunferencia circunscrita).

El ángulo central lo calcularemos dividiendo 360º entre el número de lados del polígono.

Si se trazan segmentos que unan el centro del polí-gono regular con sus vértices, se divide al polígono en tantos triángulos isósceles iguales, como lados tiene el polígono. La altura de cada uno de estos triángulos se llama apotema ; el ángulo central es el que se corresponde con el centro del polígono como vértice de los citados triángulos. El ángulo interior del polígono es el correspondiente a un vértice del mismo, y puede calcularse como el suplementario del central, por ser la suma de los dos no centra-les de cada triángulo.

Es decir, el ángulo interiorN

360º180º−=β , siendo N el número de lados del polígono regular.

También puede calcularse este ángulo trazando tantas diagonales como sea posible des-de un vértice. Estas diagonales descompondrán el polígono en triángulos, de modo que multiplicando el número de triángulos obtenidos por 180º y dividiendo entre el número de vértices del polígono, se obtiene el ángulo correspon-diente a cada vértice. Ejemplo : en el exágono pueden trazarse tres diagonales desde un vértice, que lo dividen en cuatro triángulos; como cada uno de ellos contiene 180º, en total los ángulos interio-res del exágono sumarán 4x180º =720º que, divididos entre

seis ángulos interiores, resulta que el ángulo interior será º1206

º1804=

×=β , resultado que

coincide con el obtenido por el método del ángulo central: º120º60º1806

º360º180 =−=−=β

Para dibujar un polígono regular, nos basaremos en sus propiedades, siguiendo alguno de los siguientes procedimientos: a) A partir de un lado, usando regla y transportador d e ángulos :

1º) Dibujamos un segmento con la medida correspondiente al lado del polígono.

2º) Calculamos el ángulo interior, N

360º180º−=β y, con ayuda del transportador, lo

dibujamos partiendo de uno de los extremos del lado ya dibujado. 3º) Medimos sobre él otro segmento con la misma longitud que el lado. 4º) Volvemos a representar el ángulo interior sobre otro vértice y repetimos la ope-ración anterior hasta que el polígono se cierre.

El inconveniente de este método es que, como no seamos muy precisos en la medida de ángulos y en el trazado de los segmentos, puede salir deformada la figura. b) A partir del ángulo central, usando regla, transpor tador de ángulos y compás :



1º) Conocido el número de lados, se determina el ángulo central, N

º360=α .

2º) Se representa el ángulo central con ayuda del transportador y se traza su bisec-triz. Sobre ésta trazamos un segmento perpendicular que toque a los dos lados del ángulo central y cuya medida sea la correspondiente al lado del polígono. De este modo queda determinado el radio de la circunferencia en la que tocarán todos los vértices del polígono. 3º) Dibujamos con el compás la circunferencia que circunscribe al polígono, toman-do como centro el elegido para el ángulo central y como radio uno de los lados de éste, hasta su corte con el lado ya representado. 4º) Con el compás, tomamos la apertura correspondiente al lado del polígono y hacemos marcas sucesivas sobre la circunferencia, hasta dar una vuelta completa. 5º) Se unen las marcas que han quedado en la circunferencia y ya tendremos el polígono.

5. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO La circunferencia es una línea curva y cerrada formada por puntos que están todos a la misma distancia de otro, llamado centro de la circunferencia. Por eso se dice que son puntos equidistantes del centro. Dadas sus característi-cas, una circunferencia puede considerarse en muchos as-pectos como un polígono regular con un número muy gran-de de lados. Círculo : es la porción de plano encerrada en el interior de una circunferencia, incluyendo a la propia circunferencia. 6.1. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Radio : es cualquier segmento comprendido entre el centro de la circunferencia y uno de sus puntos. También recibe este nombre la longitud de uno de estos segmentos. Diámetro : es cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. Mide el doble que un radio. Cuerda : es cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia. Arco de circunferencia : es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circun-ferencia. Suele asociarse a cada cuerda el menor de los posibles arcos de circunferencia.



Semicircunferencia : es cada uno de los arcos correspondientes a un diámetro (la mitad de una circunferencia).

Longitud de la circunferencia : es fácil comprobar que hay una relación de proporciona-lidad entre la longitud de una circunferencia y su radio. Efectivamente, basta tomar mone-das de distintos tamaños: si medimos la longitud de la circunferencia que las delimita me-diante un hilo, por ejemplo, y su diámetro con una regla o un calibre, se encuentra un va-lor constante al dividir ambos valores que resulta ser, aproximadamente 3,14. Este núme-ro se representa con la letra griega π (“pi”) y su valor es 3,14159265 ....., aunque en la práctica basta con tomar un valor aproximado en los cálculos normales. Por tanto, la longitud de la circunferencia puede calcularse con la fórmula DπL ⋅= , o lo que es lo mismo: Rπ2L ⋅⋅= 6.2. ELEMENTOS DEL CÍRCULO Segmento circular : es la porción de círculo comprendida entre una cuerda y el arco co-rrespondiente. Semicírculo : porción de círculo limitada entre un diámetro y su arco (una semicircunfe-rencia). Por tanto, es medio círculo. Zona circular : porción de círculo limitada por dos cuerdas paralelas. Sector circular : porción de círculo limitada por dos radios. Corona circular : porción de círculo comprendida entre dos círculos concéntricos (con el mismo centro y distintos radios). Trapecio circular : porción de corona circular delimitada por dos radios.



6. SIMETRÍA DE FIGURAS PLANAS Y SU APRECIACIÓN EN L A NATURALEZA. La mente humana siente una gran atracción por el equilibrio y la armonía en las formas, colores o sonidos, quizá porque las considera creaciones propias, tal como queda refleja-do en todas sus manifestaciones artísticas (pintura, escultura, música) o arquitectónicas. Sin embargo, esta armonía se encuentra presente en la naturaleza mucho más de lo que nos podemos imaginar, sin necesidad de intervención de la mano del hombre. Ejemplos de ello son la estructura de todos los seres vivos y de las sustancias cristalinas, como el cuarzo o la pirita, que bien podríamos pensar que han salido del taller de un herrero o de un joyero. Otros ejemplos pueden ser los caparazones de los caracoles, los anillos de crecimiento de los árboles, los copos de nieve o la misma estructura de las estrellas y las galaxias.

La causa del equilibrio en la naturaleza quizá quede suficientemente justificada si tene-mos en cuenta que en la materia que nos rodea debe existir un equilibrio de fuerzas de tipo electrostático, que son las que mantienen unidos los átomos y las moléculas que la constituyen. La citada armonía se basa en la repetición de diferentes pautas que se asocian al concep-to de simetría, que puede definirse como el equilibrio entre diferentes partes de una figura, en lados opuestos de un punto, línea o plano. Los tipos de simetría más comunes son:

a) Simetría axial : Consiste en trazar una recta, llamada eje de simetría, y hacer co-rresponder a cada punto otro situado a la misma distancia respecto a esa recta. Es la simetría más fácilmente reconocible: la observamos al mirar a través de un espe-jo.

b) Simetría de traslación: Todos los puntos se mueven en una dirección determina-da y a una distancia fija, marcada por un eje de simetría. Todo se conserva, menos la posición.

c) Simetría de rotación: Todos los puntos se desplazan, según un arco de circunfe-rencia, respecto a un eje o un punto denominado centro de simetría.



Un aspecto curioso relacionado con la simetría, de gran trascendencia en la naturaleza y en las creaciones artísticas, es el llamado problema de la “pavimentación del suelo”, es decir, cómo es posible rellenar el plano utilizando figuras planas. La situación se plantea, por ejemplo, cuando se pretende cubrir un suelo con baldosas de diferentes formas; la condición para lograrlo es que los polígonos que se utilicen sumen en cada vértice con sus ángulos interiores un ángulo completo (360º): - Con cuadrados ( 90ºβ = ), al coincidir en cada vértice cuatro, se logra el objetivo (4x90º = 360º) - Con exágonos ( 120ºβ = ), coincidiendo tres en cada vértice, se cumple también la condi-ción (3x120º = 360º) - Con un cuadrado ( 90ºβ = ), un exágono ( 120ºβ = ) y un dodecágono ( 150ºβ = ), también se logra el objetivo (90º+120º+150º=360º).

Como puede comprenderse, el número de combinaciones, aunque variado, es relativa-mente limitado. 7. HERRAMIENTAS INFORMÁTICAS PARA LA GEOMETRÍA PLAN A. Existen muchos programas informáticos sobre matemáticas en general y particularmente sobre geometría, que nos permiten experimentar de forma ágil cómo construir figuras pla-nas y comprobar los diferentes tipos de simetría que pueden presentar. La ventaja respec-to de los métodos tradicionales, basados en el uso de regla, escuadra, compás y transpor-tador, es que permiten hacer modificaciones más flexibles de las figuras sin necesidad de tener que volverlas a dibujar; además permiten establecer a voluntad medidas de longitud o angulares directamente desde el teclado del ordenador. Te recomendamos que, si te es posible, te descargues a tu ordenador alguno de estos programas (como el TESS o GEOGEBRA) y pruebes tú mismo. Seguro que te ayudarán a comprender mejor ciertos aspectos de la geometría. En esta dirección de internet pueden encontrar algunos:

http://www.pnte.cfnavarra.es/ieszizur/departamentos /matematicas/recursos/infos/index3.html

TEMA 5: MEDIDA Y PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA MÓDULO DOS


1. LA MEDIDA 1.1. EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES 1.2. APARATOS DE MEDIDA

2. PERÍMETRO DE POLÍGONOS 3. ÁREAS DE POLÍGONOS

3.1. CUADRADO 3.2. RECTÁNGULO 3.3. PARALELOGRAMO 3.4. TRIÁNGULO 3.5. ROMBO 3.6. TRAPECIO 3.7. POLÍGONOS REGULARES 3.8. POLÍGONOS IRREGULARES

4. ÁREA DEL CÍRCULO 5. SEMEJANZAS ENTRE FIGURAS PLANAS

5.1. LA ESCALA 5.2. MAPAS Y PLANOS 5.3. SEMEJANZA ENTRE OBJETOS 5.4. LAS DISTINTAS VISTAS DE UN OBJETO. NORMALIZACIÓN Y ACOTACIÓN 5.5. NORMALIZACIÓN 5.6. ACOTACIÓN

1. LA MEDIDA Las observaciones científicas son en muchos casos medidas de propiedades. Pues bien, podemos definir magnitud física como toda aquella propiedad que puede ser medida o comparada de forma objetiva; es, por tanto, un concepto abstracto y general, difícil de de-finir en muchas ocasiones. Son magnitudes físicas la longitud, el tiempo o la masa, pero no la alegría o la belleza. Medir una magnitud consiste en comparar una magnitud en una situación, con otra en la que se la considera como unidad. Para comprenderlo, basta pensar en cómo asignamos la longitud de un segmento: si tomamos un segmento de longitud unidad (1u), la longitud de otro segmento será el número de veces que se puede repetir el segmento unidad al llevarlo sobre él. Por tanto, una medida siempre debe ser considerada como el producto de una cantidad (un número) por una unidad: unidadcantidadmedida ×= El signo de multiplicar (× ) suele suprimirse, pero hemos de considerar que está presente, sobre todo cuando vayamos a hacer cambios de unidades , que pueden hacerse susti-tuyendo las antiguas unidades por su equivalencia en las nuevas y luego respetar las operaciones matemáticas que puedan contener las unidades. Ejemplo: sabemos que 1 cm = 10 mm; por tanto mmmmmmcm 50)105()10(55 =×=×= Las magnitudes físicas pueden clasificarse según distintos criterios en: a) Magnitudes fundamentales y derivadas: las fundamentales son pocas y se conside-ran simples, mientras que las derivadas son muchas y se definen a partir de las funda-mentales (normalmente mediante una ecuación matemática). Ejemplos:

- Magnitudes fundamentales: longitud, masa, tiempo. - Magnitudes derivadas: superficie ( baS ·= ), volumen ( cbaV ··= ), densidad

(V

md = ), ...

MÓDULO DOS TEMA 5: MEDIDA Y PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA


b) Magnitudes escalares y vectoriales: las escalares quedan determinadas exclusiva-mente por un número y una unidad, mientras que en las vectoriales se necesita indicar además su orientación mediante segmentos especiales lla-mados vectores, que tienen un origen, un extremo (indicado por la punta de la flecha), una longitud (llamada módulo), una orientación determinada por una dirección (la recta que los contiene) y un sentido (indicado por su extremo); para representar las magnitudes vectoriales se usa una letra con una flechita encima. Ejemplos:

- Magnitudes escalares: masa, tiempo, densidad. - Magnitudes vectoriales: velocidad (v

r), fuerza ( F

r), aceleración (a

r)

1.1. EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES Si para medir las diferentes magnitudes cada uno de nosotros utilizáramos distintas uni-dades, no podríamos entendernos al referirnos a distancias, pesos, tiempos, etc. Por ello, es necesario utilizar un conjunto coherente de unidades y establecer ciertas reglas de uso. Imagina que nos dicen que la longitud de una mesa es de cinco cuartas; dependien-do de lo grande que sea la mano de la persona que mide, así será la longitud de la mesa. Antiguamente había unidades con el mismo nombre que variaban su valor de una región a otra; además, las subdivisiones de las diferentes unidades no eran decimales, lo cual representaba grandes complicaciones para el cálculo. En 1795, en un intento de renovación y racionalidad fruto de la Revolución Francesa, se creó el Sistema Métrico Decimal (SMD), en el que se establecieron una serie de unidades perfectamente definidas, con múltiplos y submúltiplos que varían de diez en diez unida-des, es decir, cada unidad es 10 veces mayor que su inmediata inferior y 10 veces menor que su inmediata superior (para pasar de una unidad a otra mayor, hay que dividir por el 1 seguido de tantos ceros como lugares separe a ambas unidades y para pasar de una uni-dad a otra menor, multiplicaremos con el mismo criterio, en lugar de dividir). De este modo, se estableció el “metro” como unidad de longi-tud, definiéndolo como “la diezmillonésima parte del cuadran-te del meridiano terrestre que pasa por París”, que equivale a decir que, si se diera la vuelta a la Tierra saliendo de París, pasando por el Polo Norte, el Polo Sur y volviendo a París, habría que recorrer cuarenta millones de metros, es decir, 40.000 kilómetros. La anterior definición de metro parece arbitraria y complicada, pero lo importante es que se construyó físicamente el metro patrón, un lingote de platino-iridio (para evitar su deterioro) de un metro de longitud, a partir del cual se construyeron copias para poder fabricar reglas y demás utensilios de medida de longitud en los países que quisieran adoptar el SMD (España lo declaró sistema de medidas oficial en 1849). De igual forma que con el metro, se hizo con otras unidades de medida, como el kilogramo (unidad de masa) que se defi-nió tomando como referencia el agua: se decidió que la masa de un decímetro cúbico de agua (un litro) es un kilogramo, y también se construyó el kilogramo patrón. El desarrollo de la ciencia y de la técnica durante el siglo XX hizo necesario introducir mo-dificaciones esenciales en el SMD y establecer nuevas unidades de medida utilizables en



las relaciones internacionales. Esto se resolvió en la XI Conferencia general de Pesas y Medidas celebrada en París en octubre de 1960, en la que los países signatarios de la Convención del Metro, entre los que figuraba España, resolvieron adoptar el denominado Sistema Internacional de unidades (SI) que establece las siguientes siete magnitudes físicas fundamentales , con sus correspondientes unidades perfectamente definidas:

MAGNITUD FÍSICA UNIDAD ABREVIATURA Longitud metro m Tiempo segundo s Masa kilogramo kg Intensidad de corriente eléctrica amperio A Temperatura kelvin K Cantidad de sustancia mol mol Intensidad luminosa candela cd Como las magnitudes derivadas se pueden definir a partir de otras mediante una ley física (una fórmula), pueden deducirse sus unidades en el S.I. a partir de las de las magni-tudes fundamentales: MAGNITUD FÍSICA UNIDAD ABREVIATURA Superficie metro cuadrado m2 Volumen metro cúbico m3 Velocidad metro por segundo m/s Aceleración metro por segundo cuadrado m/s 2 Número de ondas metro a la potencia menos uno m-1 Densidad kilogramo por metro cúbico kg/m 3 Si sólo dispusiéramos de esas unidades, a veces sería complicado dar ciertas medidas, como el grosor de un folio, la distancia entre Madrid y Londres, la masa de un pendiente de oro, la edad de una persona, la velocidad máxima a la que puedes circular por una ciudad, etc. Por eso es imprescindible disponer de unidades mayores y menores que las básicas (múltiplos y submúltiplos) y saber manejar el cambio. En el siguiente cuadro se enumeran algunas de ellas: FACTOR PREFIJO SÍMBOLO EJEMPLO

1.000.000.000.000.000.000 = 1018 exa E 1 exámetro = Em = 1.000.000.000.000.000.000 m 1.000.000.000.000.000 = 1015 peta P 1 petámetro= 1 Pm = 1.000.000.000.000.000 m 1.000.000.000.000 = 1012 tera T 1 terámetro = 1 Tm = 1.000.000.000.000 m 1.000.000.000 = 109 giga G 1 gigámetro = 1 Gm = 1.000.000.000 m

1.000.000 = 106 mega M 1 megámetro = 1 Mm = 1.000.000 m 1.000 = 103 kilo k 1 kilómetro = 1 km = 1.000 m 100 = 102 hecto h 1 hectómetro = 1 hm = 100 m 10 = 101 deca da 1 decámetro = 1 dam = 10 m 1 = 100 --------- --------- 1 metro = 1 m 0,1 = 10-1 deci d 1 decímetro = 1 dm = 0,1 m

0,01 = 10-2 centi c 1 centímetro = 1 cm = 0,01 m 0,001 = 10-3 mili m 1 milímetro = 1 mm = 0,001 m 0,000001 = 10-6 micro µ 1 micrómetro = 1 µ m = 0,000001 m

0,000000001 = 10-9 nano n 1 nanómetro = 1 nm = 0,000000001 m 0,000000000001 = 10-12 pico p 1 picómetro = 1 pm = 0,000000000001 m 0,000000000000001 = 10-15 femto f 1 femtómetro = 1 fm = 0,000000000000001 m 0,000000000000000001 = 10-18 atto a 1 attómetro = 1 am = 0,000000000000000001 m



Las que más solemos usar son las que aparecen sombreadas en la parte central; la co-lumna de la izquierda está expresada en lo que denominamos notación científica que es un modo de representar los números muy grandes o muy pequeños utilizando potencias de diez. Para que te resulte más fácil realizar cambios de unas a otras unidades (múltiplos y submúltiplos del SMD) quizá te sea útil la “escalera” del Sis-tema Métrico Decimal, en la que cada peldaño separa a cada uno de los múltiplos o submúltiplos de la unidad y significa tener que multiplicar o divi-dir por 10 (según se “descienda” o se “ascienda” por la escalera). Ejemplo: 5 hm = 500 m, pero 5 cm = 0,05 m. 1.1.1. UNIDADES DE LONGITUD La unidad principal es el metro; los múltiplos del metro serán: decámetro, hectó metro, kiló metro,… Los submúltiplos del metro serán: decímetro, centí metro, milí metro,… Lo podemos ver más claro en el siguiente cuadro:

Cada unidad es 10 veces mayor que la inmediata inferior y 10 veces menor que la inme-diata superior, es decir, para pasar de una unidad a otra cualquiera situada a su derecha, se multiplica por la unidad seguida de tantos ceros como lugares separan a las unidades consideradas; para pasar hacia la izquierda se divide de la misma forma. Ejemplos: • Para pasar de dam a cm se multiplica por 1.000, puesto que nos desplazamos tres luga-res a la derecha. • Para pasar de dm a km se divide por 10.000, puesto que nos desplazamos cuatro luga-res a la izquierda. 1.1.2. UNIDADES DE MASA La unidad de masa, como se ha dicho anteriormente, es el kilogramo . También tiene múltiplos y submúltiplos, pero se añaden algunas medidas distintas al resto, que desta-camos a continuación:

Para pasar de una unidad a otra se sigue el mismo criterio que para las unidades de longi-tud y capacidad. En consecuencia: • 1 t = 1000 kg • 1 q = 100 kg



1.1.3. UNIDADES DE VOLUMEN Y CAPACIDAD De igual forma lo podríamos hacer con el resto de magnitudes. Dada su importancia, va-mos a ver las unidades de volumen y capacidad . Cuando nos referimos a la capacidad que tiene un recipiente, hacemos mención a la can-tidad de líquido que éste puede contener. La unidad de medida principal es el litro . Entre las cosas que podemos medir en litros, encontramos la cantidad de agua que cabe en una botella, el aceite que cabe en el motor de un coche, o el agua que puede contener una piscina, entre otros. Al igual que ocurre con las unidades de longitud, el litro también tiene múltiplos y submúl-tiplos.

Ahora bien, cuando nos referimos al volumen que ocupa un líquido, fluido, gas o sólido, hacemos mención al espacio que éstos utilizan y entonces utilizamos las unidades de volumen . La unidad de volumen es el metro cúbico (m 3). Como el resto de unidades, también tiene múltiplos y submúltiplos:

Pero, a diferencia de las demás unidades, éstas aumentan o disminuyen de 1.000 en 1.000. Por tanto, para pasar de una unidad a otra que está situada a la derecha, debemos contar los lugares que las separan y multiplicar por 1000 cada lugar que nos traslademos; si la unidad está situada a la izquierda, deberemos dividir, con el mismo criterio (si usa-mos la “escalera del SMD”, se dice que los escalones son triples para las unidades de volumen). Ejemplos:

- Para pasar de m3 a cm3, “bajamos” dos escalones, por lo que habrá que multiplicar por 1.000.000, es decir, tres veces 100.

- Para pasar de dm3 a hm3, “subimos” tres escalones, por lo que habrá que dividir 1.000.000.000, es decir, tres veces 1000.

Entre las unidades de volumen y capacidad existen unas equivalencias que vienen de-terminadas por la definición de litro, que es la capacidad de un cubo que tiene de arista un decímetro, es decir, 1 litro es la capacidad de 1 dm3. Por tanto, 1 L = 1 dm 3 (el símbolo del litro debería escribirse en minúscula, pero como puede confundirse en caracteres de imprenta con el uno, se acepta escribirlo en mayúscula). A continuación se expresan di-chas equivalencias:



Normalmente, las grandes cantidades de volumen vienen expresadas en hectómetros cúbicos. Recuerda, por ejemplo, cuando se habla de los trasvases de agua. Según lo ex-plicado más arriba, su equivalencia con el litro (dm3) será: 1 hm3 = 1.000.000.000 dm3 = 1.000.000.000 litros 1.1.4. UNIDADES DE SUPERFICIE La unidad de superficie es el metro cuadrado (m 2). Los múltiplos y submúltiplos del me-tro cuadrado son:

Estas unidades aumentan o disminuyen de 100 en 100. Por tanto, para pasar de una uni-dad a otra que está situada a la derecha, debemos contar los lugares que las separan y multiplicar por 100 cada lugar que nos traslademos. Si la unidad está situada a la izquier-da, deberemos dividir, con el mismo criterio (si usamos la “escalera del SMD”, se dice que los escalones son dobles para las unidades de superficie). Ejemplos:

- Para pasar de m2 a cm2, “bajamos” dos escalones, por lo que multiplicamos por 10.000, es decir, dos veces 100.

- Para pasar de dm2 a hm2, subimos tres escalones, por lo que habrá que di-vidir 1.000.000, es decir, dos veces 1000.

Para medir superficies en el campo se suelen utilizar las llamadas unidades agrarias , que son el área (a), la hectárea (ha) y la centiárea (ca) , cuyas equivalen-cias con las unidades de superficie las que aparecen en el cuadro de la derecha. Para pasar de una unidad agraria a otra, se sigue el mismo procedimiento que para las unidades de super-ficie. Por tanto, 1 ha = 100 a; 1 ha = 10.000 ca. 1.2. INSTRUMENTOS DE MEDIDA Cuando vas conduciendo, ¿cómo controlarías la velocidad si tu coche no tuviera velocímetro?.¿Cómo sabrías las distancias entre localidades si no estuvieran indicadas en las carrete-ras?.¿Cómo comprobarías la eficacia de tu dieta si no tuvieras pesos para pesarte?

Si vas caminando por la calle, habi-tualmente observarás los termóme-tros instalados que nos marcan la temperatura. Igualmente, cuando conduces tu coche controlas la velocidad a la que circulas mirando el velocímetro y cuando vas por una carretera, los postes kilométricos te van marcando las distan-cias y las direcciones, no podríamos vivir sin reloj para controlar el tiempo, etc.



Pues bien, los termómetros, los velocímetros, los relojes, las balanzas y demás aparatos, son instrumentos de medida que “conviven” con nosotros, ayudándonos a que nuestra vida diaria sea más cómoda y fácil. Los instrumentos de medida son necesarios por diferentes motivos; entre ellos podríamos apuntar los siguientes:

a. Los sentidos nos pueden engañar. b. Hay magnitudes que no son perceptibles con los sentidos. c. Valores muy altos o muy bajos de una magnitud no pueden apreciarse con los sentidos. d. Las pequeñas variaciones de una magnitud escapan a la sensibilidad de nues-tros sentidos. e. Con ellos y las unidades de medida es posible obtener un número que represen-te la cantidad de una magnitud en un objeto determinado.

Así pues, los instrumentos de medida se construyen de tal forma que pueden cubrir estas carencias. Sin embargo, tanto el grado de desarrollo tecnológico como el uso al que se destina el instrumento condicionan la perfección del aparato. Cada aparato de medida queda definido por las siguientes características:

a. Cota máxima y cota mínima. b. Rapidez. c. Sensibilidad. d. Precisión.

Cuando queramos obtener el valor de una propiedad de un objeto, lo primero que hare-mos será escoger un instrumento que mida la magnitud; una vez escogido el tipo de apa-rato, tendremos que elegir uno en concreto, de acuerdo con el objeto y los requerimientos que deseemos. Por ejemplo, no cogeremos la misma balanza para medir la masa de una barra de pan que para hallar la masa de una pepita de oro o la de un camión. Cota máxima y mínima: el valor máximo que puede medir un instrumento de medida se denomina cota máxima ; al valor mínimo que puede medir un instrumento de medida se denomina cota mínima . El conocimiento de las cotas de un instrumento es imprescindible para evitar estropearlo o para no hacer medidas carentes de sentido. Rapidez: un instrumento de medida es rápido si necesita poco tiempo para su calibración antes de empezar a medir y si la aguja o cursor alcanza pronto el reposo frente a un valor de la escala cuando lanzamos la medida. O sea, la aguja no oscila durante mucho tiempo. Así, por ejemplo, la balanza de un panadero es mucho más rápida que la de un joyero. Sensibilidad: se llama sensibilidad de un aparato de medida al valor de la variación más pequeña de la magnitud que puede ser apreciado con dicho aparato. Un termómetro clíni-co que es capaz de apreciar una variación de una décima de grado en la temperatura del cuerpo humano se dice que tiene una sensibilidad de un decigrado; en un termómetro casero, la sensibilidad puede ser, en cambio, de un grado centígrado. Los científicos suelen expresar una medida escribiendo junto a la cantidad que se lee con el instrumento, la sensibilidad del mismo. En el caso del termómetro clínico, si hemos me-dido una temperatura de 38ºC, escribiríamos 38,0±0'1 ºC, mientras que si lo hemos hecho con el termómetro casero, escribiríamos 38±1 ºC Fidelidad: el concepto de fidelidad de un aparato se presta a muchas confusiones y, por ello, conviene aclararlo. Si con un instrumento se repite varías veces una misma medida y se obtienen valores muy diferentes, diremos que es poco fiel, mientras que si las diferen-cias observadas son pequeñas, aunque existan, diremos que es un instrumento fiel. Precisión de un instrumento de medida: una característica importante de los aparatos de medida es la precisión. La precisión de un aparato tiene relación con el error que se comete al hacer la medida y, también, con la sensibilidad y la fidelidad. Cuanto más preci-so sea un instrumento, menor será la incertidumbre o error absoluto del número aproxi-



mado resultado de la medida. La precisión de un aparato de medida es la mínima varia-ción de magnitud que puede determinarse sin error. La precisión de un instrumento está estrechamente relacionada con la sensibilidad del mismo: con un instrumento que tiene una sensibilidad de 1 cg no podremos tener una precisión de mg (no podremos determi-nar la cifra de mg sin error). La fidelidad de un aparato de medida influye también decisi-vamente en la precisión. 2. PERÍMETRO DE POLÍGONOS El perímetro de un polígono se define como la suma de todos los lados del mismo. Al ser la suma de varias medidas de longitud, es también una medida de longitud. Para realizar esta suma es preciso que todas las medidas estén en la misma unidad. De este modo, el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 5 cm, 6 cm y 10 cm es 5+6+10=21 cm. Para calcular el perímetro es necesario conocer la longitud de todos los lados de la figura. Si el polígono es regular (con todos sus lados son iguales), el cálculo se simplifica, pues solamente habrá que multiplicar la medida del lado por el número de lados que tenga. Ejemplo 1: Cuadrado de 5 cm de lado. Su perímetro será 5 cm. x 4 lados = 20 cm. Ejemplo 2: Hexágono de 5 cm de lado. Perímetro = 5 cm. x 6 lados = 30 cm. Longitud de la circunferencia : Como ya vimos en el tema anterior, la circunferencia puede ser considerada un polígono regular “con infinitos lados”, por lo que su longitud es equivalente al perímetro de dicho polígono. Puede comprobarse experimentalmente que entre su longitud y la de su diámetro hay una relación constante, a la que los matemáticos griegos decidieron llamar π (“pi”, que es una letra de su alfabeto). De este número se co-nocen muchas cifras (tiene infinitas), siendo las primeras 3,141592653589..., aunque normalmente consideramos como valor de 14,3=π . Por tanto, la longitud de la circunferencia será:

diámetronciacircunfereladeLongitud ·π= o, si lo prefieres: DL ⋅= π

Como el diámetro es el radio multiplicado por dos ( RD ⋅= 2 ), se suele escribir:

radionciacircunfereladeLongitud ·2 π⋅= o, si lo prefieres: RL ⋅⋅= π2

3. ÁREAS DE POLÍGONOS El área de una figura es la porción del plano que cubre. Partiendo de la idea de unidad de superficie para un cuadrado, puede determinarse para el resto de los polígonos, a partir de sus propiedades. 3.1. ÁREA DEL CUADRADO

Por definición, un metro cuadrado es el área contenida en un cua-drado de 1 m de lado, por lo que si los lados de otro cuadrado miden “L metros”, su área será el producto de sus lados:

2LAcuadrado =



3.2. ÁREA DEL RECTÁNGULO

Como una variante del cuadrado, su área puede obtenerse multipli-cando sus dos lados diferentes, es decir, multiplicando la base por la altura:

HBArectángulo ⋅=

3.3. ÁREA DEL PARALELOGRAMO

Como puede apreciarse en el dibujo, si quitamos la zona triangular de la izquierda del dibujo y la llevamos a la zona triangular de líneas discontinuas, resultaría un rectángulo de la misma base y de igual altura, por lo que su área puede obtenerse con la misma fórmula que la de un rectángulo (recuerda que el rectángulo es un tipo de parale-logramo):

HBA ramoparale ⋅=log

3.4. ÁREA DEL TRIÁNGULO

Todo triángulo puede considerarse como la mitad de un paralelo-gramo, ya que cualquier paralelogramo queda dividido por una de sus diagonales en dos triángulos iguales. Por tanto, el área de un triángulo puede calcularse como la mitad del área del paralelogramo que lo contendría, es decir, el área del triángulo es la mitad del pro-ducto de su base por su altura:

2

HBAtriángulo

⋅=

3.5. ÁREA DEL ROMBO

Un rombo queda dividido en cuatro triángulos iguales por sus diago-nales, de modo que cada uno de estos tiene por base la mitad de

una de sus diagonales,2

d, y por altura la mitad de la otra diago-

nal,2

D, siendo su área

8222 Dd

ADd

i

⋅=⋅

= . Pero, como hay cuatro

triángulos iguales en el rombo, el área de éste será la mitad del pro-ducto de sus diagonales:

2

DdArombo

⋅=



3.6. ÁREA DEL TRAPECIO

El trapecio se puede descomponer en un rectángulo, con la misma altura que el trapecio y su base menor, y dos triángulos que forma-rían uno de la misma altura que el trapecio cuya base sería la di-ferencia entre las dos bases del trapecio. Por tanto, el área del trapecio sería la misma que la suma de las de las figuras descritas, es decir:

2

2

2

)( HbHBHbHbBHbAAA triángulorectángulotrapecio

⋅−⋅+⋅⋅=⋅−+⋅=+=

que, escrito de otra forma, queda como el producto de la semisu-ma de las bases, por la altura:

HbB

Atrapecio ⋅+=2

)(

3.7. ÁREAS DE POLÍGONOS REGULARES Consideremos diversos polígonos regulares, como un triángulo equilátero, un cuadrado, un hexágono regular o un octógono regular. Todos ellos tienen un centro definido. Si uni-mos dicho centro con los vértices de cada uno de los polígonos, se descompondrán en tantos triángulos como lados tiene.

Todos los triángulos resultantes de la descomposición son iguales y tienen como base un lado (L), y su altura es la apotema del polí-

gono (a). El área de estos triángulos será 2

apotemaladoAtriángulo

⋅= ,

por lo que el área del polígono regular se obtendrá multiplicando este área por el número de triángulos que tiene el polígono, es de-cir, por el número de lados de éste, n. Por tanto, el área del polí-gono regular será:

22

apotemaperímetroapotemaladonAnA triángulogularpolígonore

⋅=⋅⋅=⋅= , es

decir, el producto del semiperímetro por la apotema del polígono regular. O bien, escrito de forma abreviada:

2

aPA regularpolígono

⋅=

3.8. ÁREAS DE POLÍGONOS IRREGULARES Para calcular el área de otros polígonos se dibujan las diagonales necesarias con el fin de que queden descompuestos en triángulos; después se calcula el área de estos triángulos y se suman los valores obtenidos.

En el polígono irregular de la izquierda, bastaría con obtener el área de los tres triángulos que lo componen para, sumándolas, obtener su área:

321 triángulotriángulotriángulopolígono AAAA ++=



4. ÁREA DEL CÍRCULO

Como el círculo puede considerarse un polígono regular cuyo perímetro es la longitud de la circunferencia que lo delimita y cuya apotema coincide con su radio, su área puede calcularse con la fórmula del área del polí-gono regular:

2

2

2

RRapotemaperímetroAcírculo

⋅⋅⋅=⋅= π, es decir:

2RAcírculo ⋅= π

RESUMEN DE FÓRMULAS

FIGURA PERÍMETRO ÁREA

CUADRADO

LP ×= 4 2LA =

RECTÁNGULO

)(2 HBP +×= HBA ×=

PARALELOGRAMO

)(2 LBP +×= HBA ×=

TRIÁNGULO

cbaP ++= 2

HBA

×=

ROMBO

LP ×= 4 2

dDA

×=

TRAPECIO

dcbaP +++= HbB

A ×

+=2

POLÍGONOS REGULARES

LladosnP ×= º 2

apotemaperímetroA

×=

POLÍGONOS IRREGULARES

...+++= cbaP ...321 +++= TTT AAAA

CÍRCULO

RP π2= 2RA π=



5. SEMEJANZAS ENTRE FIGURAS PLANAS De forma intuitiva solemos decir que dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero distinto tamaño, como estos dos rectángulos:

Sin embargo, en geometría se dice que dos figuras son semejantes cuando sus ángulos homólogos son iguales y las longitudes de sus lados homólogos guardan una razón cons-tante, es decir, son segmentos proporcionales. Hay que tener en cuenta que el término homólogo se refiere a que ocupa la posición equivalente en figuras con la misma forma; por eso se llaman también ángulos y lados comparables. Veamos un ejemplo:

Comprobemos si los dos rectángulos anteriores son semejantes:

-Proporcionalidad de los lados homólogos:

Efectivamente, se puede comprobar que 212464

2

12

6 ×=×⇒= ; además, la razón

en ambas fracciones es la misma (0,5) y, por ello, recibe el nombre de razón de semejanza . -Igualdad de ángulos: Puesto que son dos rectángulos, ambos tienen todos los ángulos de 90º y, por tan-to, los ángulos correspondientes son iguales.

Como se cumplen las dos condiciones señaladas, podemos afirmar que los dos rectángu-los son semejantes. El concepto de semejanza es aplicado especialmente en los triángulos, y más concreta-mente en los triángulos rectángulos, pues sirve de base para la trigonometría, parte de las Matemáticas que asigna a cada ángulo unos valores numéricos característicos llamados razones o funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente), que se definen del si-guiente modo dentro de un triángulo rectángulo:

seno coseno tangente

hipotenusa

opuestocatetosen =)(α

hipotenusa

contiguocateto=)cos(α contiguocateto

opuestocatetotag =)(α



Respecto a los valores y uso de estas razones, nos basta saber de momento que pueden obtenerse con la calculadora científica y que, para los ángulos más característicos tienen estos valores:

ángulo (α ) )(αsen )cos(α )(αtag 0º 0 1 0

30º 2

1

2

3

3

3

45º 2

2

2

2 1

60º 2

3

2

1 3

90º 1 0 ∞ 180º 0 -1 0

La semejanza de triángulos posee estos tres criterios específicos: 1º.- Dos triángulos que tienen dos ángulos iguales son semejantes entre sí:

2º.- Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí:

3º.- Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido en -tre ellos es igual , son semejantes entre sí:

De esta forma podemos encontrar valores desconocidos de un triángulo teniendo como referencia otro triángulo semejante.



Ejemplo : Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros?

5.1. LA ESCALA En muchas ocasiones necesitamos representar objetos en un tamaño que no es el real. Así, no podemos representar un edificio o un país a su tamaño real; tampoco podemos representar una célula o pelo a su tamaño. Para poder realizar estas representaciones hemos de aumentar o disminuir el tamaño del objeto de forma proporcional al mismo, es decir, tenemos que realizar una figura semejan-te a la que debemos representar. Para hacer estas representaciones semejantes a la realidad necesitamos saber la razón de semejanza que queremos que haya entre la realidad y el dibujo a realizar. A esta razón de semejanza se le denomina escala. Las escalas se escriben en forma de cociente, donde el dividendo es la medida del di-bujo y el divisor es la medida real del objeto . Para hacerlas más sencillas de identifi-car, se utiliza como referencia el número menor de los dos y se reduce a un 1. Ejemplos: 1:10.000, 1:5, 3:1, 10:1,etc… Según que la razón de semejanza sea menor o mayor que la unidad, las escalas pueden ser de reducción o de ampliación, respectivamente. a) Escalas de reducción : son las más empleadas en planos y mapas; sirven para repre-sentar grandes objetos de forma más reducida. Ejemplos: 1:20.000, 1:1.000.000, 1;4, etc. De esta forma, si nosotros medimos 5 cm en un mapa a escala 1:10.000, en realidad esa distancia será 5 x 10.000 = 50.000 cm = 500 m. b) Escalas de ampliación : se utilizan para representar objetos pequeños a un tamaño mayor para su mejor reconocimiento. Ejemplos: 3:1, 25:1, 1.000:1, etc. Si en un plano con una escala de ampliación de 4:1 realizamos una medida de 16 mm, en realidad la medida será 16 : 4 = 4 mm .



5.2. MAPAS Y PLANOS La principal aplicación de las escalas es la representación de mapas y planos. Un mapa representa una parte de terreno, de forma que las distancias deben ser propor-cionales a las distancias reales. Para ello sirve la escala, que debe estar indicada junto al mapa para poder saber de una forma certera cuál es la distancia entre diferentes puntos del mapa. Los mapas también suelen llevar unas indicaciones en los márgenes haciendo referencia a puntos importantes, a estas indicaciones se les denomina leyenda.

En los planos representamos generalmente objetos de tipo técnico; los más habituales son los de piezas industriales y edificios. Suelen tener escalas de reducción, aunque pueden encontrarse también planos de piezas con escalas de am-pliación (como componentes de circuitos electrónicos o me-canismos de precisión, como relojes, etc). Actualmente se emplean programas de ordenador para la realización de planos. El programa más conocido y extendido para ello es el denominado Autocad, en sus diferentes ver-siones. Este programa puede realizar todo tipo de planos, tanto en dos dimensiones como en cualquier tipo de pers-pectivas.



5.3. SEMEJANZA ENTRE OBJETOS A la hora de planificar una construcción, ya sea la de una estantería, un edificio, un puen-te,…; al principio lo que tenemos es una idea vaga de lo que queremos como resultado final.

Boceto : 1. Proyecto o apunte general previo a la ejecución de una obra artística. 2. Es-quema o proyecto en que se bosqueja cualquier obra. (Diccionario de la Real Acade-mia Española). Dada la definición, la primera imagen es una idea inicial de lo que Gaudi quería que fuese una gran obra. Maqueta : 1. Modelo plástico, en tamaño reducido, de un monumento, edificio, cons-trucción, etc. […] (Diccionario de la Real Academia Española) La segunda imagen es un fragmento de la Sagrada Familia pero de una cons-trucción reducida, que está a escala o es proporcional a la real. Por último, la imagen final es el resultado de un buen trabajo. 5.4. LAS DISTINTAS VISTAS DE UN OBJETO. NORMALIZACI ÓN Y ACOTACIÓN A la hora de mirar un objeto, está claro que no lo vemos, de un solo vistazo, entero; hay partes que se quedan ocultas, que las imaginamos. Para tener una imagen más o menos certera del objeto que estamos mirando necesitamos como mínimo hacer tres vistas: alzado , perfil y planta . Dado un objeto, veamos cómo podemos dibujar sus distintas vistas. La representación de las vistas es el trazo más grueso, las otras líneas son de guía.



Lo primero que solemos representar es el alzado , es lo que ve-mos si estuviésemos donde está la flecha del dibujo. Si nos fija-mos en la cuadrícula que nos proporcionan, lo que vemos es: No vemos la profundidad de la figura, solamente vemos lo ancha y alta que es, así como que tiene dos partes justo por la mitad

Después del alzado, en lo que nos fijamos es en el perfil , lo que vemos si girásemos la figura hacia la derecha de forma que no veamos nada del alzado ni de la parte de detrás. La representa-ción es:

Por último lo que tenemos que tener en cuenta es la planta , que no es ni más ni menos que lo que observaríamos si nos situásemos justo encima del objeto. La representación es:

Puesta la figura entera quedaría:

A continuación tenemos otro ejemplo de las vistas de una figura:



5.5. NORMALIZACIÓN A la hora de representar figuras usando “dibujo técnico”, existe un conjunto de nor-mas que se aplican para que todas las personas que vean el dibujo lo interpreten de igual forma, a esto es a lo que llamamos normalización. En el siguiente cuadro se observan al-gunos de los tipos de línea, su estilo y la función que desempeñan:

5.6. ACOTACIÓN Para terminar, no se nos debe olvidar que los objetos tienen medidas; ponerlas en la representación gráfica que hayamos hecho es lo que llamamos acotar una figura , por

ejemplo: Al igual que la representación de figuras tiene unas normas, la acotación también. Algunas estas normas son: • Tanto las líneas como los elementos de la cota deben tener un grosor menor que el de la figura principal. • Las cifras que se usen deben ser todas del mismo tamaño y colocarse en el centro de la línea de cota co-rrespondiente. • Las líneas de cota no pueden ser los bordes de la figura principal que estamos usando. • …

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