Alonso Fernández Galián Tema 7: Funciones I

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TEMA 7: FUNCIONES I: FUNCIONES ALGEBRAICAS Una función real de variable real f es una regla de asignación entre números reales, de manera que a cada número x real de cierto conjunto D, llamado dominio de la función, le corresponde otro número real y. Intuitivamente, una función real de variable real es una fórmula que define una relación de dependencia entre dos variables. 7.1 EXPRESIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Clasificación de funciones. Las funciones se pueden clasificar según su expresión analítica: Lineales. Polinómicas Cuadráticas. Racionales …

Algebraicas Fraccionarias. Irracionales.

Funciones Exponenciales.

Trascendentes Logarítmicas. Trigonométricas.

Aquí nos ocuparemos de las funciones algebraicas. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo: Expresar analítica y la gráfi-camente la función que a cada número le asigna su cuadrado: Expresión analítica:

2xy ó 2)( xxf Tabla de valores:

4242111100

2

xyx

Gráfica:

Funciones reales de variable real

Una función es una regla de cálculo, de ma-nera que para cada valor de la variable x se obtenga un valor de la variable y.

Expresión analítica: Fórmula de la función:

)(xfy ::

yx

edependient variablenteindependie variable

Dominio: Conjunto de valores que podemos dar a la variable x.

Gráfica: Lugar geométrico formado por los puntos cuyas coordenadas ),( yx satisfacen la expresión analítica de la función.

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Ejemplo: Representar la siguiente función: 24 xy

Tabla de valores:

0231023140

4 2

xyx

Gráfica:

Ejemplo: Representar la siguiente función:

12 xy

Tabla de valores:

5231321110

12

xyx

Gráfica:

Ejemplo: Representar la siguiente función:

142

x

xy

Tabla de valores:

6,12212,136,122100

yx

Gráfica:

Ejemplo: Representar la siguiente función:

xy 1

Tabla de valores (el dominio son todos los números reales excepto el 0):

221125,05,0211/1

xyx

Gráfica:

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7.2 CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN Veamos las principales características que puede tener una función. Crecimiento y decrecimiento. Intuitivamente, una función es creciente o decreciente en un in-tervalo si al trazar la gráfica de izquierda a derecha, ésta sube o baja sobre dicho intervalo:

Una función que es siempre creciente o siempre decreciente se denomina monótona. Extremos relativos. Los extremos relativos de una función corresponden, intuitivamente, a los puntos donde la gráfica tiene una cumbre, denominados máximos relativos, o un valle, denomi-nados mínimos relativos.

Periodicidad. Se dice que una función f es periódica de periodo T si su gráfica se repite a in-tervalos de longitud T. Analíticamente:

f es periódica de periodo T )()( xfTxf , para cualquier valor x

Por ejemplo, las funciones trigonométricas son funciones periódicas.

Una función tiene un máximo relativo en el punto de abscisa ax si existe un inter-valo alrededor de a, ),( haha , tal que cualquier otro valor x de dicho intervalo satisface que )()( afxf .

Gráficamente:

Una función tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa ax si existe un inter-valo alrededor de a, ),( haha , tal que cualquier otro valor x de dicho intervalo satisface que )()( afxf .

Gráficamente:

Una función es creciente en el intervalo ),( ba si para cualesquiera dos valores del

intervalo, 1x y 2x , se cumple que:

)()( 2121 xfxfxx

Gráficamente:

Una función es decreciente en el intervalo ),( ba si para cualesquiera dos valores del

intervalo, 1x y 2x , se cumple que:

)()( 2121 xfxfxx

Gráficamente:

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Simetrías. La gráfica de una función puede ser simétrica respecto a algún elemento. En particu-lar, son interesantes las simetrías respecto al eje de ordenadas y respecto al origen:

-Se dice que una función f es par si es simétrica respecto al eje de ordenadas. Analíticamente:

f es par )()( xfxf , para cualquier valor de x

-Se dice que una función f es impar si es simétrica respecto al origen. Analíticamente:

f es impar )()( xfxf , para cualquier valor de x

Nota: La terminología “par/impar” proviene de las funciones de la forma nxy , con n un nú-mero entero positivo, que son pares o impares dependiendo de si el exponente n es par o impar:

nxy , n par nxy , n impar

Ejemplo: 1

2)( 2

xxxf es impar.

Analíticamente:

)(1

21)(

)(2)( 22 xfx

xx

xxf

Ejemplo: 3)( 2 xxf es par.

Analíticamente:

)(33)()( 22 xfxxxf

Ejemplo: La función seno es periódica de periodo 2:

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7.3 FUNCIONES LINEALES

Significado de la pendiente: La pendiente mide el aumento vertical respecto al horizontal:

Si la recta pasa por los puntos 11 , yx y 22 , yx , la pendiente es:

12

12

xxyy

m

Por ejemplo, la pendiente de la recta que pasa por 1,2 y 5,4 es:

22415

m

Para representar una recta basta calcular dos puntos de la misma:

Ejemplo: Representar grá-ficamente la función:

xy 3

La pendiente es 3m y la ordenada en el origen es

0n . Tabla de valores:

3110yx

Gráfica:

Ejemplo: Representar grá-ficamente la función:

12 xy

La pendiente es 2m y la ordenada en el origen es

1n . Tabla de valores:

5210yx

Gráfica:

Ejemplo: Representar gráfi-camente la función:

32 xy

La pendiente es 2m y la ordenada en el origen 3n . Hagamos una tabla de valo-res:

1230

yx

Gráfica:

La gráfica de una función lineal es una recta:

Las funciones lineales son aquellas de la forma:

nmxy

-Pendiente: El número m se denomina pendiente, y determina la inclinación de la función lineal:

0m La función es creciente.

0m La función es decreciente.

-Ordenada en el origen: El número n se denomina ordenada en el origen, y determina la altura a la que la función corta al eje de ordenadas.

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Forma punto-pendiente de una función lineal. Veamos cómo calcular la expresión analítica de una función cuando conocemos su pendiente, m, y un punto por el que pasa, 00 , yx .

Nota: Dos rectas son paralelas si y solamente si tienen la misma pendiente:

Ejemplo: Escribir la ecuación de la recta paralela a 42 xy que pasa por )5,1( P .

La recta 42 xy tiene pendiente 2m . Por tanto, la recta buscada tiene ecuación:

72522)5()1(2 xyxyxy

Ejemplo: Calcular la expresión analítica de la recta que tiene pendiente 3m y pasa por el punto )8,2(P .

Escribimos la ecuación punto-pendiente y desarrollamos:

238638)2(3 xyxyxy

Un punto arbitrario de la recta yx, debe cumplir que:

mxxyy

0

0

Despejando y obtenemos la llamada forma punto-pendiente:

00 yxxmy

Ejemplo: Representar gráficamente la si-guiente función dada en forma implícita:

22 yx

Despejamos “y” para hacer una tabla de valores:

02101

21

yxxy

La pendiente es 2/1m y la ordenada en el origen es 1n .

Gráfica:

Ejemplo: Representar gráficamente la si-guiente función lineal:

23 xy

La pendiente es 3m y la ordenada en el origen es 2n . Elaboremos una tabla de valores:

1120

yx

Gráfica:

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7.4 FUNCIONES CUADRÁTICAS

Son aquellas de la forma:

cbxaxxf 2)(

Su gráfica es una parábola:

-Si 0a , está abierta hacia arriba (). -Si 0a , está abierta hacia abajo ().

Puntos de corte con los ejes. Veamos cómo se calculan los puntos de corte con los ejes:

-Con el eje de abscisas (eje x): Se calculan haciendo 0y en la expresión analítica de la fun-ción:

0

2

ycbxaxy

Ejemplo: Representar la función:

222 xxy

Su gráfica es una parábola:

1º) El vértice tiene coordenadas:

122

)1(22

2

abxv

32121)2( 2 fyv .

2º) Tabla de valores alrededor del vértice:

1322312011

yx

Gráfica:

Ejemplo: Representar la siguiente función cuadrática:

582 2 xxy

1º) El vértice tiene coordenadas:

248

22)8(

2

abxv

352822)2( 2 fyv .

2º) Tabla de valores alrededor del vértice:

5413321150

yx

Gráfica:

Representación de funciones cuadráticas:

1º) Se calculan las coordenadas del vértice de la parábola, ),( vv yxV , que son:

abxv 2

)( vv xfy

2º) Se elabora una tabla de valores con unos cuatro puntos más alrededor del vértice.

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-Con el eje de ordenadas (eje y): Se calcula haciendo 0x en la expresión analítica de la fun-ción.

0

2

xcbxaxy

Nota: La función cuadrática más simple es 2)( xxf . En la próxima sección veremos cómo representar a partir de ella otras funciones cuadráticas.

Ejemplo: Calcular el vértice y los puntos de corte con los ejes de la parábola:

32)( 2 xxxf

1º) Vértice:

122

12)2(

2

abxv y 43121)1( 2 fyv

El vértice es el punto )4,1( V .

2º) Puntos de corte con el eje de abscisas:

31

242

21242320

032

2

122

xx

xxxy

xxy

La gráfica de la función corta al eje de abscisas en los puntos )0,1( y )0,3( .

3º) Con el eje de ordenadas:

330200

32 22

yy

xxxy

La gráfica de la función corta al eje de ordenadas en el punto )3,0(

La gráfica es:

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7.5 MOVIMIENTOS EN LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Muchas funciones pueden representarse moviendo la gráfica de otra función f más simple. La opuesta de una función. La gráfica de la función )(xfy es la simétrica respecto al eje de abscisas de la gráfica de f .

Traslaciones horizontales:

-La gráfica de )( pxfy se obtiene trasladando p unidades a la izquierda la gráfica de f .

-La gráfica de )( pxfy se obtiene trasladando p unidades a la derecha la gráfica de f .

Traslaciones verticales:

-La gráfica de qxfy )( se obtiene trasladando q unidades hacia arriba la gráfica de f .

-La gráfica de qxfy )( se obtiene trasladando q unidades hacia abajo la gráfica de f .

Ejemplo: Dibuja la gráfica de 13)( 2 xxf a partir de la gráfica de 2xy .

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5.6 FUNCIONES RACIONALES Son aquellas que tienen como expresión analí-tica un cociente de polinomios:

)()()(

xQxPxf

Su dominio está formado por todos los números reales excepto aquellos en los que se anula el denominador.

)( fD ℝ 0)(/ xQx

Nota: Otras funciones racionales también se pueden representar a partir de xy /1 dividiendo y rescribiendo la función adecuadamente.

Ejemplo: Representar las siguientes funciones a partir de la gráfica de xy /1 .

x

y 1

21

x

y 21

1

xy

Ejemplo: Representar la función:

xy 1

Su dominio es )( fD ℝ 0 . Hagamos una tabla de valores:

1125,0433,03

5,021125,0425,0

yx

La gráfica de la función es:

Ejemplo: Calcula el dominio de las siguien-tes funciones:

(a)3

1)(

x

xf .

)( fD ℝ 3 .

(b) 5

2)(

x

xxf .

)( fD ℝ 5 .

(c) 4

1)( 2

xxxf .

)( fD ℝ 2,2 .

(c) 32

3)( 2

xxxxf .

)( fD ℝ 3,1 .

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7.7 FUNCIONES IRRACIONALES Son aquellas en las que la variable independiente, x, está afectada por una raíz:

)(xgy

Su dominio está formado por todos los números reales para los que el radicando es no negativo.

)( fD ℝ 0)(/ xgx

La función raíz. La función irracional más simple es:

xy

-Su dominio son los números reales no negativos:

,0)( fD

-Elevando al cuadrado obtenemos xy 2 , con 0y , por lo que su gráfica es una “semiparábola” sobre el eje de abscisas.

A partir de su gráfica podemos obtener la de otras raíces:

Ejemplo: Representa 21 xy .

Ejemplo: Representa 2 xy .

Ejemplo: Calcula el dominio de las siguientes funciones:

(a) 3)( xxf

El radicando debe ser no negativo: 303 xx . Por tanto, el dominio es:

,3)( fD

(b) xxf 48)(

El radicando debe ser no negativo: 2048 xx . Por tanto, el dominio es:

2,)( fD

(c) 24)( xxf

El radicando debe ser no negativo: debemos resolver la inecuación 04 2 x .

Así, el dominio es:

2,2)( fD

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7.8 FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Una función puede definirse “pegando” trozos de otras:

El valor absoluto. El valor absoluto de un número real x es el propio número si éste es positivo y su opuesto si es negativo. Así, la función valor absoluto es:

0 si,0 si,

xxxx

xy

Ejemplo: Representar gráficamente la función:

2 si720 si

0 si)( 2

xxxx

xxxf

La gráfica de la función es:

Nota: La función presenta una discontinuidad en 2x .

Ejemplo: Representar gráficamente la función:

5 si852 si3

2 si1)(

2

xxx

xxxf

La gráfica de f coincide con:

-La gráfica de 12 xy en el intervalo 2, . -La gráfica de 3y en el intervalo 5,2 . -La gráfica de xy 8 en el intervalo ,5 .

Así, la gráfica de la función es: