UNAD

LICENCIATURA EN MATEMTICAS

ALGEBRA LINEAL

UNIDAD 2: ALGEBRA LINEAL

Evidencia de aprendizaje. Solucin del problema Sustancias que funcionan como super protenas a travs de matrices

Aaron Campuzano de la Torre

Problema: Sustancias que funcionan como super protenas a travs de matrices

Instrucciones: Lee el problema y al final, realiza lo que se te pide.

Un grupo de ingenieros en biotecnologa realizaron una investigacin para crear una sustancia que funcionara como una super protena en un tipo especial de microorganismos que habita cerca de una zona petrolera. El objetivo era crear microorganismos ms resistentes y en el caso de que existiera algn derrame petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza. Durante la investigacin se presentaron muchas dificultades, pues se tenan previstos tres proyectos diferentes, mismos que resultaron un rotundo fracaso. En cada uno de stos se desarroll una sustancia diferente y cuando se realizaron las pruebas con las sustancias, stas no mejoraron a los microorganismos como se esperaba, por esto los frascos que contenan las sustancias respectivas de cada proyecto fueron vaciados a un mismo contenedor con capacidad de m litros, el cual se encontraba completamente limpio. Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que result de la combinacin de las tres que se vaciaron al contenedor y luego de ponerla en el microscopio observaron los resultados. La muestra era producto de un accidente cientfico.

Despus cada grupo hizo coloc una marca al recipiente que contena su respectiva sustancia, esto con el fin de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que se obtuvo. As, volvieron a utilizar la misma medida que vaciaron al contenedor para formar una nueva sustancia, la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que se encontraba en el contenedor.

Por consiguiente, se dieron cuenta que nadie saba exactamente la cantidad que depositaron de la sustancia, sin embargo tenan el recipiente en el que sealaron la medida. Para saber las cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones y as encontraran los valores exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, entonces realizaron las siguientes pruebas:

1. Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso ms de la tercera y obtuvieron 4.5 litros de la sustancia final.

2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos ms de la tercera, y obtuvieron 12 litros.

Nota: Para encontrar lo que se te pide supn que en las primeras dos pruebas (la del accidente y la repeticin del mismo)se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos de la tercera.

Para resolver este problema, realiza lo siguiente:

1. Integra en este archivo las actividades las respuestas que diste en las actividades Representacin matricial y Mtodo de Gauss. Despus, Utiliza el mtodo de Gauss Jordan para encontrar la cantidad en litros que se coloc en cada vaso de la primera, segunda y tercera sustancia. Comprueba tus resultados por alguno de los mtodos de comprobacin.

1. 2s1+2s2+s3=4.5 2. 4s1+6s2+3s3=123. 6s1+9s2+7s3=mPor resultados de problemas anteriores sabemos que el valor de m=20.5

2 2 1 4.5A= 4 6 3 B= 12 6 9 7 20.5

Matriz aumentada:

2 2 1 | 4.5A|B= 4 6 3 | 12 6 9 7 | 20.5

2 2 1 | 9/2 - R1+R1R1 1 1 | 9/4 4 6 3 | 12 -2R1+R2R2 0 2 1 | 3 R3-R2R2 6 9 7 | 41/2 -3R1+R3R3 0 3 4 | 7 -3/2R1+R1R1

1 1 | 9/4 1 1 | 9/4 0 1 3 | 4 0 1 3 | 4 -3R3+R2R2 0 0 5/2| 5/2 2/5R3R3 0 0 1 | 1

1 1 | 9/4 -1R2+R1R2 1 0 | 5/4 - R3+R1R1 0 1 0 | 1 0 1 0 | 1 0 0 1 | 1 0 0 1 | 1

1 0 0 | 3/4 0 1 0 | 1 0 0 1 | 1

Vaso 1:1. 2s1= 2(0.75)= 1.5 2. 2s2=2(1)= 23. s3=1 Vaso 2: 4. 4s1= 4(0.75)= 35. 6s2=6(1)=66. 3s3=3(1)=3 Vaso 3:7. 6s1=6(0.75)=4.58. 9s2=9(1)= 99. 7s3=7(1)=7

Comprobacin de resultados por el mtodo de Sustitucin de datos.

1. 2s1+2s2+s3=4.5 2(0.75)+2(1)+1(1)=4.51.5+2+1=4.54.5=4.5 2. 4s1+6s2+3s3=124(0.75)+6(1)+3(1)=123+6+3=1212=123. 6s1+9s2+7s3=m6(0.75)+9(1)+7(1)=20.54.5+9+7=20.520.5=20.5

2. Lee el planteamiento del siguiente problema:

Un grupo de ingenieros realiza el proyecto de mostrar en las escuelas la manera en que se debe elaborar impermeabilizante natural con baba de nopal. Para cubrir una superficie de 1 m se requieren los siguientes materiales: 1/2 kilo de calidra, 1/2 kilo de cemento blanco, 1/3 de kilo de pega azulejo, 1/2 kilo de arena gris (cernida), 2/3 de barra de jabn de pasta, 1/6 de kilo de alumbre en piedra, 1/2 nopal de penca.

En la escuela secundaria Adolfo Lpez Mateos, los alumnos tienen que impermeabilizar el techo de la biblioteca que mide 40 m, el auditorio de 50 m, 15 salones de 20 m cada uno, 20 cubculos y la direccin de la escuela que mide 35 m.

Los gastos en material fueron los siguientes: de la direccin 1,067 pesos con 50 centavos, de los salones 9,150 pesos, de la biblioteca 1,220 pesos, de los cubculos 5,490 pesos, y del auditorio 1,525 pesos.

Cada nopal vale 1 peso y la barra de jabn est a 9 pesos. Cul es el costo por kilo de cada uno de los otros materiales?

Cuntos metros cuadrados mide cada uno de los cubculos que impermeabilizaron? 9 m2

Para solucionar este problema, realiza lo siguiente:

1. Construye un sistema de ecuaciones lineales con los datos de las tres pruebas que se mencionan en el problema.2. Representa el sistema mediante su forma matricial.3. Resuelve el problema por el mtodo de Gauss o de Gauss-Jordan.4. Comprueba tus resultados por alguno de los mtodos que se comentaron en el foro Planteamiento del problema.5. Responde las preguntas que se plantean al final del problema.

Para 1 m2 kg calidra kg cemento1/3 kg de pega azulejo kg arena gris cernida2/3 de barra de jabn de pasta = $9 por barra1/6 alumbre en piedra nopal de penca = $1 por pieza

Medidas

Biblioteca 40 m2 Auditorio 50 m215 salones de 20 m2 cada uno = 300 m220 cubculos de ? m2 = 180/20=9 m2Direccin 35 m2

Costos

Direccin $ 1,067.50/35=30.5Salones $ 9,150/300=30.5Biblioteca $ 1,220/40=30.5Cubculos $ 5,490/30.5=180 m2Auditorio $ 1,525/50=30.5

Biblioteca40(1/2*X1)+40(1/2*X2)+40(1/3*X3)+40(1/2*X4)+40(2/3*9)+40(1/6*X5)+40(1/2*1)=122020X1+20X2+40/3X3+20X4+40(6)+ 20/3X5)+40(1/2)=122020X1+20X2+40/3X3+20X4+240+20/3X5+20=122020X1+20X2+40/3X3+20X4+20/3X5=1220-240-2020X1+20X2+40/3X3+20X4+20/3X5=960

Auditorio50(1/2*X1)+50(1/2*X2)+50(1/3*X3)+50(1/2*X4)+50(2/3*9)+50(1/6*X5)+50(1/2*1)=152525X1+25X2+50/3X3+25X4+50(6)+25/3X5+50(1/2)=152525X1+25X2+50/3X3+25X4+300+25/3X5+25=152525X1+25X2+50/3X3+25X4+25/3X5=1525-300-2525X1+25X2+50/3X3+25X4+25/3X5=1200

Salones300(1/2*X1)+300(1/2*X2)+300(1/3*X3)+300(1/2*X4)+300(2/3*9)+300(1/6*X5)+300(1/2*1)=9150150X1+150X2+100X3+150X4+300(6)+50X5+300(1/2)=9150150X1+150X2+100X3+150X4+1800+50X5+150=9150150X1+150X2+100X3+150X4+50X5=9150-1800-150150X1+150X2+100X3+150X4+50X5=7200

Cubculos180(1/2*X1)+180(1/2*X2)+180(1/3*X3)+180(1/2*X4)+180(2/3*9)+180(1/6*X5)+180(1/2*1)=549090X1+90X2+60X3+90X4+180(6)+30X5+180(1/2)=549090X1+90X2+60X3+90X4+1080+30X5+90=549090X1+90X2+60X3+90X4+30X5=5490-1080-9090X1+90X2+60X3+90X4+30X5=4320

Direccin35(1/2*X1)+35(1/2*X2)+35(1/3*X3)+35(1/2*X4)+35(2/3*9)+35(1/6*X5)+35(1/2*1)=1067.5035/2X1+35/2X2+35/3X3+35/2X4+35(6)+35/6X5+35(1/2)=1067.5035/2X1+35/2X2+35/3X3+35/2X4+210+35/6X5+35/2=1067.5035/2X1+35/2X2+35/3X3+35/2X4+35/6X5=1067.50-210-17.535/2X1+35/2X2+35/3X3+35/2X4+35/6X5=840

20 20 40/3 20 20/3 | 96025 25 50/3 25 25/3 | 1200150 150 100 150 50 | 720090 90 60 90 30 | 432035/2 35/2 35/3 35/2 35/6 | 840

Matriz sin solucin.