37 lgebra lineal elemental y aplicaciones

22222Subespacios

Introduccin

En muchas aplicaciones es necesario emplear subconjuntos de espacios vectoriales,que son a su vez espacios vectoriales. En el mdulo 1 vimos que el conjunto deternas ordenadas que forman un plano que pasa por el origen es un espacio vecto-

rial, as que tanto 3\ como este subconjunto son espacios vectoriales.

Objetivos

1. Reconocer en V aquellos subconjuntos que tienen estructura de espacio vectorial.2. Aplicar el criterio de subespacio para determinar subespacios en un espacio vectorial V.3. Aplicar las propiedades de los subespacios.

Preguntas bsicas

1. Qu es un subespacio?2. Si H es un subespacio de V, el elemento neutro de V pertenece a H?3. Es la interseccin de subespacios de V un subespacio de V? Lo es la unin?4. En todo espacio vectorial hay subespacios?

Contenidos

2.1 Definicin y criterio de subespacio2.2 Ejemplos2.3 Propiedades

En 3\ las rectas y los planos que pasan por el origen sonsubespacios.

Vea el mdulo 2 del programa de televisinlgebra lineal.

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2.1 Definicin y criterio de subespacio

Sea H un subconjunto no vaco de un espacio vectorial V y supngase que H en smismo es un espacio vectorial con las operaciones de suma y multiplicacin por unescalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V.

El siguiente teorema nos mostrar un resultado que simplificar notablemente eltrabajo para determinar si un subconjunto de V es o no un subespacio de V.

Teorema 1: Criterio de subespacio

Un subconjunto no vaco H del espacio vectorial V es un subespacio de V si secumplen las dos reglas de cerradura. Esto es:

1. Si e ,H H x y entonces .H+ x y2. Si , entonces para todo escalar .H H x xLa demostracin del teorema consiste en verificar que al darse las dos reglas decerradura se verifican los dems axiomas de la definicin de espacio vectorial.

Como los vectores de H tambin estn en V, las leyes de asociatividad, conmutatividad,de distribucin y de identidad multiplicativa (axiomas ii, v, vii, viii, ix y x) se cum-plen.

Ahora, si ,Hx entonces 0 Hx por (2) y 0 =x 0 (teorema 1, mdulo 1). De igualmanera, ( 1) H x y ( 1) = x x (teorema 1, mdulo1), verificndose el axioma iv.Con esto queda completa la demostracin.

El teorema anterior establece que para probar si un conjunto H, H V es o no unsubespacio de V, basta con probar las dos reglas de cerradura.

Como consecuencia del teorema podemos expresar lo siguiente:

i. Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene el 0.

ii. Todo espacio vectorial tiene dos subespacios triviales: el mismo espacio(V V) y el conjunto que tiene como nico elemento el mdulo. Por qu?

Los subespacios distintos a { }yV 0 se llaman subespacios propios.2.2 Ejemplos

1. Sea { }( , ) / , es un real fijo y .H x y y mx m x= = \2 y .H H \

Sean 1 1 2 2( , ) y ( )x y x y elementos de H; entonces,

Captulo 1: Espacios vectoriales

39 lgebra lineal elemental y aplicaciones

1 1 1 1 2 2 2 2 (x , ) ( , ) y ( , ) ( , ).y x m x x y x m x= =1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

( , ) ( , )( , ( )).

x x y y x x mx mxx x m x x

+ + = + += + +

Luego:

1 2 1 2( , ) .x x y y H+ +

Ahora, sea ( , )x y H y veamos si ( , ) .x y H

( )( , ) ( , ),

( , ) ( , ) ( , ) , ( ) ,( , ( )) .

Por lo tanto:( , ) .

x y x m xx y x mx x mx x m xx m x H

x y H

== = =

En consecuencia, el conjunto de puntos del plano que estn sobre una rectaque pasa por el origen forma un subespacio de 2.\

2. Sea { }2 2( , ) / , ,H x y y mx b H H= = + \ \ Veamos si H es un subespacio de 2.\

H est formado por los puntos sobre una recta de pendiente m e interceptocon el eje y igual a b; es decir, una recta que no pasa por el origen.

Sean 1 1 2 2 ( , ) y ( , )x y x y elementos de H. Veamos si 1 1 2 2 ( , ) ( , ) .x y x y H+

1 1 1 1 2 2 2 2 ( , ) ( , ), ( , ) ( , ).x y x m x b x y x m x b= + = +

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

( , ) ( , ) ( , ) ( + , ) ( , ( ) 2 ).

x y x y x x y y x x m x b mx bx x m x x b

+ = + + = + + += + + +

Luego 1 1 2 2 ( , ) ( , )x y x y H+ ; por lo tanto, H no es un subespacio de 2.\

3. Sea { }3( , , ) / , , ; , , , .H x y z x at y bt z ct a b c t= = = = \ \H es el conjunto de puntos de 3\ que estn sobre una recta del espacio quepasa por el origen. Comprobemos para H las dos reglas de cerradura.

Sean 1 1 1 2 2 2( , , ) ( , , ) ; entonces,x y z y x y z H

1 1 1 1 1 1 1( , , ) ( , , ), x y z at bt ct t= \ ,2 2 2 2 2 2 2( , , ) ( , , ), x y z at bt ct t= \ ,

Mdulo 2: Subespacios

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1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2( , , ) ( , , ) ( , , )x y z x y z at at bt bt ct ct+ = + + + 1 2 1 2 1 2 1 2( ( ), ( ), ( )), ( ) .a t t b t t c t t t t= + + + + \

1 1 1 2 2 2Luego (( , , ) ( , , ))x y z x y z H+ y

1 1 1 1 1 1( , , ) ( ( ), ( ), ( ))x y z at bt ct = 1 1 1 1( ( ), ( ), ( )) , ( ).a t b t c t H t = \

As que H es un subespacio de 3.\

En 2\ tenemos los siguientes subespacios: los subespacios triviales 2\ y{ }0 , y un subespacio propio, las rectas que pasan por el origen.Los subespacios propios de 3\ son las rectas y los planos que pasan por elorigen.

4. Sabemos que todo polinomio es una funcin continua, as que el conjuntode polinomios de grado menor o igual que n en el intervalo cerrado[ , ], [ , ]na b a bP es un subconjunto del conjunto de funciones continuasdentro del mismo intervalo.

[ , ] [ , ].n a b C a bPComo nP es un espacio vectorial para todo entero n, entonces es unsubespacio de [ , ]C a b .

5. Sea [ , ]C a b el conjunto de funciones con primera derivada continua, definidas en [ , ]a b .

Como toda funcin derivable es continua, entonces [ , ] [ , ].C a b C a b Ade-ms, la suma de funciones diferenciables es una funcin diferenciable, y unmltiplo constante de una funcin diferenciable es diferenciable. Se veentonces que [ , ]C a b es un subespacio propio de [ , ]C a b , ya que no todafuncin continua es diferenciable.

2.3 Propiedades

Teorema 2

Sean 1 2yH H subespacios de un espacio vectorial V. Entonces 1 2H H es unsubespacio de V.

Captulo 1: Espacios vectoriales

41 lgebra lineal elemental y aplicaciones

Demostracin

1 2 1 2ya queH H H H 0 .

Sean 1 2yx x elementos de 1 2H H , luego 1 1 1 2yH H x x . Igualmente,2 1 2 2yH H x x . Como 1 2yH H son subespacios, se cumple que

1 2 1 1 2 2( ) y ( ) .H H+ + x x x x

Es decir:

1 2 1 2( ) .H H+ x x

Ahora, 1 1 1 2 1 1 1 2y , ya que y .H H H H x x x xLuego:

1 1 2 .H H x

Por lo tanto, se cumplen las dos reglas de cerradura y 1 2H H es un subespacio.

La interseccin de subespacios es un subespacio, pero la unin 1 2( )H H nonecesariamente es un subespacio.

Ejemplo

{ }21 ( , ) / .H x y y x= =\{ }22 ( , ) / 2 .H x y y x= =\

1 2(1, 1) y (1, 2) .H H

Entonces:

1 2(1, 1) ( ) yH H 1 2(1, 2) .H H

Pero 1 2(1, 1) (1, 2) (2, 3) ( )H H+ = ya que 1 2(2, 3) y (2, 3)H H . As que1 2H H no es cerrado bajo la suma ; por lo tanto, no es un subespacio.

Mdulo 2: Subespacios

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En los ejercicios 1 a 12 se dan un espacio V y un subconjunto W. Determine si W es un subespacio.

1. { }2 , ( , ) : .V W x y x y= = =\2. { }, : es simtrica .nn nnV M W A M A= = 3. { }3 3, ( , , ) : ( , , ) es perpendicular a ( , , ) .V W x y z x y z a b c= = \ \4. { }4 4, : (0) 0 .V W p p= = =P P5. { }4 4, : (0) 1 .V W p p= = =P P6. { }4 4, : grado de 4 .V W p p= = =P P7. La traza de una matriz n nA se define como:

11 22tr ... nnA a a a= + + + .

Sean { } y : tr 0 .nn nnV M W A M A= = =8. 22 22

0, : .

0a

V M W A M Ab

= = =

9. 23 23, : , donde 2 1 .a b c

V M W A M A a cd e f

= = = = +

10. 23 23, : , donde .0 0a b c

V M W A M A b a cd

= = = = + 11. { }[0, 1], [0, 1] : (0) (1) 0 .V C W f C f f= = = =12. { }[0, 1], [0, 1] : (0) 1 .V C W f C f= = =13. Sean 23 1 23

0, :

b cV M W A M A

d e f = = =

y 2 23 : con .0a b c

W A M A b a cd e

= = = + a. Demuestre que 1 2 y W W son subespacios.

b. Describa el subconjunto 1 2W W W= y demuestre que es un subespacio.

14. Sea { }: , con .n m nW A A M = = x X 0\Demuestre que W es un subespacio de .n\ W se llama espacio nulo de la matriz A.

Ejercicios del captulo 1 (mdulo 2)

43 lgebra lineal elemental y aplicaciones

15. Sean (1, 2, 4) e ( 3, 2, 0)= = x y dos vectores en 3\ y sea

{ }3 : , con , .W = = + u u x y\ \Demuestre que W es un subespacio de 3.\

16. Sean 1 2 y W W subespacios de un espacio vectorial V.

Sea { }1 2 1 2 1 1 2 2: con y .W W W W+ = = + v v v v v vDemuestre que 1 2W W+ es un subespacio de V.