aa1

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LGEBRA Y D E P A R T A TRIGONOMETRA S MENTO DE CIENCIA

BSICAS

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Indice

Contenido Unidad N ": Lgica y Cuantificadores Lgica Tablas de Verdad Conectivos Lgicos u Operadores Lineales Negacin, Conjuncin Disyuncin, Condicional Bicondicional Ejercicios Tablas de Verdad para Proposiciones Compuestas Ejercicios Clasificacin de Proposiciones Compuestas Leyes del Algebra Proposicional Ejercicios Lgica Cuantificacional Ejercicios Valor de verdad funcion Proposicional Ejercicios Negacin de Proposiciones Autoevaluacin & ' ( 7 8 9 9 "1 "3 "5 16 19 19 21 24 29 32

Unidad N 2: Conjuntos Conjuntos Formas de escribir un conjunto Tipos de Conjuntos Subconjuntos Propiedades de los Subconjuntos Ejercicios Operaciones con conjuntos Ejercicios Figuras achuradas Propiedades de los Conjuntos Problemas de aplicacin Autoevaluacin 35 36 37 40 41 42 43 44 52 53 55 61

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Unidad N 3: Relaciones y Funciones Propiedades del Producto Cartesiano Relacin Representacin Grfica Dominio y Recorrido Plano Cartesiano Grfico de algunas relaciones Ejercicios Funcin Ejercicios 64 66 67 68 70 71 72 83 84

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Tipos de funcion Funcin Inyectiva Funcin Sobreyectiva Funcin Biyectiva y Funcin Inversa Anlisis Completo Autoevaluacin

88 91 91 93 94 112

Unidad N 4: Funcin Exponencial y Logartmica Funcin exponencial y logartmica Propiedades de la funcin Exponencial Aplicaciones de la Funcin Exponencial Funcin Logartmica Propiedades de la Funcin Logartmica Logaritmos Decimales o Comunes Logaritmos naturales Propiedades de los Logaritmo Ecuaciones exponenciales Ecuaciones Logartmicas Sistemas de ecuaciones logartmicas y Exponenciales Autoevaluacin 106 108 109 113 115 117 118 121 124 127 129 131

Unidad N 5: Trigonometra Trigonometra Sistemas de Medida Angulos Cotermiales Angulo en posicin estndar Velocidad angular Funciones trigonomtricas Signos de la funciones trigonomtricas Problemas aplicados Angulos de elevacin y depresin Grfico de las funciones trigonomtricas Grfico de la funcin seno Identidades Ley de los Senos Ley de los Cosenos Ecuaciones Trigonomtricas Funciones trigonomtricas inversas 133 135 139 142 141 142 145 145 153 156 164 175 181 186 192 194

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Unidad N 6: Nmeros Complejos Nmeros Complejos Representacin grfica de los nmeros Complejos Operaciones con complejos Forma polar de un nmero complejo Races de un nmero complejo Unidad N 7: Polinomios Polinomios Operaciones con Polinomios Teorema del cuociente y del resto Teorema fundamental del lgebra 216 216 218 220 198 199 202 205 210

2

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Unidad N 8: Induccin Matemtica Induccin Matematica Unidad N 9: Teorema del Binomio Teorema del Binomio Frmula general del Binomio Bibliografa 230 230 235 225

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CAPITULO I

LOGICA Y CUANTIFICADORES

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LOGICA La Lgica Matemtica es la disciplina que trata de mtodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lgica proporciona reglas y tcnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lgico se emplea en matemtica para demostrar teoremas; en Ciencias de la Computacin para verificar si son o no correctos los Programas; en las Ciencias Fsicas y Naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las Ciencias Sociales y en la Vida Cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente usamos en forma constante el razonamiento lgico para realizar cualquier actividad. Toda estructura matemtica necesita tener un razonamiento vlido a travs de un lenguaje que sea de uso universal. Proposicin: Es una expresin con sentido en algn lenguaje que afirma o niega algo y que nos proporciona informacin. Las proposiciones se denotan con la letras : ; < .etc.. Ejemplo 1: : ; ! y E la cantidad que queda despus de > aos. Si se colocan &!! milgramos de estroncio *! en un reactor nuclear. Cunto quedar despus de "! aos? (Exprese la solucin con dos decimales) !!#%) > donde

Respuesta: El modelo es E T / Luego: E &!! / E $*! ") !!#%) >

, se reemplazan los datos dados: T &!! y > "!

!!#%)"!

Despus de "! aos quedan aproximadamente $*! ") miligramos de estroncio *! Ejercicios: (dos decimales aproximado) " Para el mismo ejercicio dado anteriormente, considere a) T "&!! y > ), determine E b) E "& !!! > ") meses, determine T

2)Si el monto generado por un capital G colocado a una tasa de inters compuesto 3 al cabo de 8 perodos de capitalizacin es: Q G " 38 a)Determine el Monto que se obtendr al cabo de & aos al depositarse $"&!!! a una tasa de inters de &% anual.

b)Si el Monto obtenido es de $ #!!!!!, la tasa de inters de $% anual y el tiempo transcurrido "& aos. Cul fue el capital? $La poblacin mundial T en "*(% era aproximadamente de $ * miles de millones y la tasa de crecimiento anual del #%. Si se supone un crecimiento continuo entonces T $ * / !!# > , donde > es el tiempo en aos despus de "*(%. Suponga que no ocurren cambios en la tasa de crecimiento. + Calcule la poblacin para #!!$. b) En cunto tiempo la poblacin aumenta al doble

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4)En condiciones ideales el nmero de bacterias presentes en un cultivo en > horas est dada por el modelo R > "!!! / 5 > , 5 es la tasa de crecimiento y "!!! es el nmero de bacterias en el tiempo > ! a) Cuntas bacterias habr a las $ horas si 5 ! !!" ?

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b) Cuntas bacterias habr a las $ horas si 5 ! !# ? & Se sabe que la concentracin de un frmaco en sangre viene dado por C "!!! *% miligramos, > en horas). a) Cul es la dosis inicial? b) Qu cantidad de ese frmaco tiene el paciente al cabo de " hora? Y de tres horas? c) Represente la funcin. Respuesta 1) + "#$! 2) + $ "*"%% , $ "#)$(# $ + ' *( miles de millones , $% '' aos % + "!!$ , *%" (' &a) >= 0 C "!! 71 b) > " y = 94 mg en 1 hora > $ y = 83 mg en 3 horas , "&&' )&>

C en

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Otra funcin muy importante que tiene relacin con la funcin exponencial es la funcin logartmica, la cual vamos a estudiar a continuacin

FUNCION LOGARITMICA Ya que la funcin exponencial 0 definida por C , B es biyectiva, tiene en consecuencia una funcin inversa. Para encontrarla, haremos lo siguiente: Intercambiamos las variables B e C para obtener B , C Esta frmula define a B como una funcin de C : C es el exponente al que se eleva la base , para obtener B

Reemplazando la palabra exponente por la palabra logaritmo podemos reformular la definicin as: " C es el logaritmo en la base , de B " y abreviarla utilizando la frmula:

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Esto nos relaciona la funcin logartmica con la exponencial. Por lo tanto, la funcin logartmica con base , se escribe:

Es la funcin inversa de la funcin exponencial con base , .

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GRAFICO DE LA FUNCION LOGARITMO La grfica de esta funcin es simtrica a la grfica de la funcin exponencial. Para graficar le asignamos valores a C y al remplazarlas en la funcin B ,

C

obtenemos valores

de B. Si la base es mayor que 1, la grfica de la funcin es siempre creciente, (se puede observar como crece "ms deprisa", cuanto ms pequea es la base del logartmo).

Ejemplo: Graficar: 0 B 691#

B#

C

B

Ahora grafique usted las siguientes funciones logartmicas:

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Ejercicios + 0 B 691 $ B - 0 B 691#

, 0 B 691 " B#

B "

. 0 B 691

&

" B

Qu puede observar que tienen en comn estas grficas?

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Algunas aplicaciones de la funcin logartmica Los astrnomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos clculos de carcter logartmico. La ecuacin logartmica les permite determinar la brillantez y la magnitud.

En la fsica la funcin logartmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el clculo del volumen "L" en decibeles de un slido, para el cual se emplea la siguiente ecuacin P = 10 691 ( M / M ! ) , donde M es la intensidad del sonido (la energa cayendo en una unidad de rea por segundo), M ! es la intensidad de sonido ms baja que el odo humano puede or (llamado umbral auditivo). Una conversacin en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles. La geologa como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logartmicas para el clculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud V de un terremoto est definida como V 691 E E ! en la escala de Richter, donde E es la intensidad y E ! es una constante. ( E es la amplitud de un sismgrafo estndar, que est a "!! kilmetros del epicentro del terremoto).

De la funcin logartmica se puede decir que: * El dominio es el conjunto de todos los nmeros reales positivos. El recorrido es el conjunto de todos los nmeros reales. La grfica pasa por el punto " ! Si , ", la funcin es creciente. Si ! , ", la funcin es decreciente. 691 , B 691 , A , s y solo si, B A El eje Y es una Asntota vertical , ya que se acerca al eje Y tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacia abajo en el caso en que , " y hacia arriba en caso de , " ("SIEMPRE POR LA DERECHA")

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En la expresin:

C 691 , B se tiene que

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La siguiente tabla muestra el paralelismo entre la forma logartmica y la forma exponencial:

Ejemplo: Calcule los logaritmos siguientes: a) 691 b) 691#

"' ? )?

, la solucin es %, porque #% "' , la solucin es $, porque #$ )

#

Ejercicios Encuentre los siguientes logaritmos: , ) log ( " +) log & "#& %* " . ) log "' ) 0 ) log $ $ 2 log %* (

"

- ) log #& & /) log ' " 1 log "& '#&

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Respuesta + $ / ! , # 0 " - "# 1 % . $% 2 "#

Consecuencias de la definicin NOTA: Lo siguiente es vlido para cualquier base , !, , 1 " El logaritmo de " en cualquier base es "cero" 691 , " !

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#

Si la base y el argumento son iguales, el logaritmo es " 691 , , 1

$

El logaritmo de

ww

ceroww no est definido

691 , ! no est definido % & El logaritmo de un nmero negativo no est definido El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es el exponente de la potencia 691 , , - -

Ejercicios Encuentre los siguientes logaritmos: + 691 - 691#

#

, 691 $ #( . 691+

%

"

+&

7"

/ 691 $ !

0 691

"!

Respuesta + " , $ - ! . 7 " / No est definido

0 No est definido

LOGARITMOS DECIMALES O COMUNES La base de una funcin logartmica puede ser cualquier nmero real positivo diferente de ". En la prctica, sin embargo dos son las bases ms importante cuando , "! y , / (# (")

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Cuando la base es "! se escribe 691 y se subentiende que la base es "!. Ejemplo 691"!

"!! se escribe 691 "!!

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Ejercicios " Encuentre Ud. el valor de los siguientes logaritmos (use su calculadora, # decimales): a) 691 ! !" c) 691 ! !!!!" e) # 691 % ' 691 ( b) 691 "!!!! d) 691 & 691 $ f) ' 691 % $ 691 * 691 $

2)Se sabe que la concentracin de un frmaco en la sangre viene dado por C "!!! *% > C en miligramos, > en horas). Si queremos que la concentracin no baje de 60 mg, al cabo de cunto tiempo tendremos que inyectarle de nuevo? $ Un cultivo de bacterias crece segn la funcin C " # Calcule cunto tiempo tardarn en duplicarse. Respuesta " + # d) ! ## 2 b) % e) ' #( c) & f) " &(B"!

(C : miles de bacterias, B: horas).

"!! ! *% > '! > ) 2 "& 738 Al cabo de aproximadamente ) 2 "& 738 " #B"! % B "! 691 $ 691 #

$

"& ) 2 "' 2

LOGARITMOS NATURALES Si la base , de una funcin logartmica es / # (")#)")..., entonces

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691 / B se escribe 68 B y se subentiende que la base es el nmero "/"

Ejemplo 691 / "!! se escribe 68 "!!

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Ejercicios Determine usando su calculadora los siguientes logaritmos use tres decimales: a) 68 # b) 68 #$% c) 68 & d) # 68 $ 68 % e) $ 68 # & 68 $ 68 " f) 68 ' % 68 # g) 68 /"# #

Respuesta a) ! '*$ b) & %&& c) " '!* d) ! )"" e) ( &($ f) ! *'# g) "# ! &

Muchas veces conviene cambiar la base del logaritmo original a una base conocida. Para esto necesitamos la siguiente definicin: FORMULA DE CAMBIO DE BASE Si " + " y " , " son nmeros positivos diferentes de ", entonces para cualquier nmero positivo R se cumple que: 691 , R Ejemplo Usando la forma anterior, encuentre el valor de 691 ' "), usando su calculadora Respuesta En este ejercicio podemos ver que , ' y R ") Como en la calculadora es posible encontrar los logaritmos decimales, cambiaremos a base "!, entonces + "! 691 ") " '"$" 691 '691 + R 691 + ,

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691 ' ")

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Ejercicios I) Cambie los siguientes logaritmos a la base que se pide Deje expresado: a) 691 b) 691 c) 691&

# a base $ $ a base # * a base $

%

&

II) Encuentre el valor de los siguientes logaritmos aproximados): a) 691 ( #" b) 691 c) 691&

usando cambio de base (3 decimales

#"% ") &

%

d) # 691 e) & 691

"' $ 691

%

"&

#( 691 $ )

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Respuesta I) a) 691 $ # 691 $ & b) 691 691# #

$ %

c)

691 $ * 691 $ &

II) a) " &'& b) $ $$% c) # !)& d) # %"& e) ( %"'

Para poder resolver ejercicios con logaritmos es necesario que conozcamos algunas de sus leyes.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Sean B e C nmeros reales positivos , , ! Entonces:

, " y "8" es cualquier nmero real.

1) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los factores del logaritmo

2) El logaritmo de un cuociente es igual a la diferencia de los factores del logaritmo

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3) El logaritmo de una potencia es igual al exponente de la potencia multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia

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Ahora usaremos estas propiedades para resolver los siguientes ejercicios: Ejemplo Escriba 691 , B# C $ como suma y diferencia de logaritmos Respuesta 691 , B# C $ 691 , B# 691 , C # 691 , B $ 691 , C$

Ejercicios Escriba los siguientes ejercicios como suma y diferencia de logaritmos. Desarrolle al mximo: B C$ D $ +) 691 , B$ C $ #, ) 691 , ,' - ) 691 , B# C & B$ B . ) 691 # B# C C"

- /) 691 - &-

$

#

0 ) 691 , B % # B ( B $B (#

"#& & B# & % ( B * $ g) 691 $ 2) 691 &BB"&%

(

BD( 3) 691 C C " Respuesta

%

$$ + 691 , B 691 , C ## , $ 691 , B * 691 , C $ 691 , D ") - 691 , B 691 , C 691 , & . 691 # B 691 # B "% / "& """ 0 691 , B % 691 , # B ( 691 , B 691 , $ B ( ### 1 % 691 $ B # & $ 691 $ ( B * 691 $ B 691 $ B "#

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" C 691 # C #

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* 2 # 3 691 C B ( 691 C D % 691 C C "

Veamos los casos al revs, es decir, de una suma o resta de logaritmos, escribir como un solo logaritmo

Ejemplo Escriba como un solo logaritmo la siguiente expresin: B# $ # 691 , B $ 691 , C 691 , 7 691 , C 691 , ' C 7 Observacin

Una forma fcil de resolver estos ejercicios es agrupar por signos: Todos aquellos factores a los cuales precede un signo positivo quedan en el numerador de la fraccin , y los que tienen signo negativo quedan en la fraccin del denominador.

Ejercicios Escriba como un solo logaritmo: M a) $ 691 , B " 691 , C &

b)

% 691 B $ 691 7 & 691 8 691 , &

c) 691 , $ 691 , % % 691 , 7 691 , B 691 , A d) 691 B C 691 B C "" 691 + & 691 , 691 2 $% " f) 691 , 7 691 , : 691 , < & " g) 691 + 8 691 + ; & 691 + < 691 + 0 # e) 691 7 691 8 MM Demuestre las siguientes igualdades usando las propiedades de los logaritmos ) #( +691 691 *) 691 691 $ #)*

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""B" , 691 B# $B # 691 691 B " %%B #

Respuesta&

B$ a) 691 , & C 7% B A c) 691 , "#%$ 78 e) 691 + , & 2

B % 8 & b) 691 7$ , d) 691BC BC 7:&

f) 691

,

+81 ! % >+81 ! $

-9=/- !

=/- !

,)

=/8 !

-9= !

-9=/- !

# $

=/- ! #

MZ

+ % "$$$ , ! !(($&

Como consecuencia inmediata de estas definiciones, se obtienen las relaciones llamadas tambin recprocas.

1 =/8 ! = -9=/- ! 1 >+1 ! = -9>1 ! 1 -9= !

1 -9= ! = =/- ! -9=/- ! = 1 =/8 !

=/- ! =

1 -9>1 ! = >+1 !

Supongamos que necesitamos determinar un ngulo conociendo slo el valor de l a travs de una funcin trigonomtrica. Por ejemplo , usted sabe que =/8 ) ! )%)

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Para determinarlo usted debe hacer uso de su calculadora cientfica y usar la funcin INV de ella. Pero OJO, fjese si esta est en modo rad radianes ) o deg (grados sexagesimales

Ejemplo =/8 ) ! )%) en deg : en rad: INV ) &( ** 9 ) = 1, 012 +1 135 o = 1

-9>1 %& 9 " -9>+1 135 o = 1 cosec 45 o = 2 cosec 135 o = 2 =/- 45 o = 2 =/- 135 o = 2

Ejemplo 2 Use un ngulo de referencia para encontrar las seis funciones trigonomtricas para Respuesta: Se observa que el ngulo de 930 es mayor que 360 , luego se le debe restar a ste cualquier entero mltiplo de 360 , sin alterar el valor de las funciones trigonometricas. 930 2 . 360 210 El ngulo de 210 se encuentra en el III cuadrante

VIR GIN IO GO ME Z930

El ngulo de referencia es el de 30 ya que 210 180 $! luego las seis funciones trigonomtricas son para este ngulo son =/8 $! ! " #

-9= $! !

$ #

-9=/- $! ! # =/- $! !

# $ $

-9>+1 $! ! $

>+81 $! !

$ $

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Pero como el cuadrante en el cual trabajamos es el tercero entonces cambiamos los signos C el ngulo original$ # $ $

=/8 #"! !

" #

-9= #"! ! =/- #"! !

>+81 #"! !

-9=/- #"! ! # Ejercicios

# $ $

-9>+1 #"! ! $

"En los siguientes ejercicios, encuentre el ngulo de referencia ! y determine las seis funciones trigonomtricas . + $!! = , $"& o = - #%! 9 = . "#! 9 == / $!! 9 = 0 $"& 9 =

#

Hallar el valor exacto de estas expresioes, usando ngulos de referencia &1$1(1 + =/8 -9= =/8 %%% , -9= &1 >+1 %$ >+1 ('$ - $ -9= 1111 =/8 # -9= # $ =/8 ''%$11

Respuesta + Angulo de referencia : '! =/8 $!! ! -9=/- $!! ! $ #9

>+81 $!! ! $ # $

-9= $!! !

" #

" $

=/- $!! ! # -9>+1 $!! ! 9

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, Angulo de referencia %& =/8 %& ! # #

-9= %& !

# #

#

! >+81 %& "

-9=/- %& ! # # + #

# #

=/- %& ! # $ % $ ' ,

-9>+1 %& ! "

- #

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FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DIRECTAS FUNCION SENO

FUNCION COSENO

FUNCION TANGENTE

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Recuerde que para hacer la grfica de una funcin cualquiera, se construye primero una tabla de valores de los pares ordenados asociados ( B C ), despus se marcan los puntos correspondientes y por ltimo se unen los puntos con una curva suave. Qu pasa con las funciones trigonomtricas?

y ser necesario graficar toda la curva para as determinar su forma?

No, ya que estas curvas son continuas uniforme , es decir, peridicas y cada periodo recibe el nombre de un ciclo y basta con saber las caracteristicas de este ciclo. FUNCION SENO Cul es un ciclo de la funcin seno ? Si usted mira cuidadosamente, puede observar que un ciclo corresponde a un tramo entre los puntos ( ! ! y ( #1 ! y el punto medio de l es el punto 1 !

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Ahora, resumiremos las propiedades de la funcin seno a travs de un ciclo de la funcin. 1) 2) $ % La funcin seno es peridica, con periodo #1 Para cualquier valor dado a x, la solucin se encuentra entre [ " " El seno de x es igual a cero cuando x ! 9 x 1 El seno es una funcin impar, por lo tanto, su grfica es simtrica con respecto alorigen. sen ( x ) = sen x la funcin seno decrece entre 1 y 3 122 1$1La

& 6)

funcin crece entre 0 y 2 C 2 2 1

Toda funcin real de la forma

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0 B + =/8 ,B - . se llama funcin SINUSOIDAL O SINUSOIDE

con a , b , c y d

Cambia el grfico segn sea el valor de "a", "b", "c" o "d" ? Si, y veremos cada uno de los casos 1 CASO Si - . !, entonces , la funcin toma la forma 0 B + =/8 , B

Como y = sen x es peridica, de periodo 2 1 y su grfico tiene la mayor ordenada que es 1, cuando B1 #

# 5 1, entonces, la funcin 0 B + =/8 ,B , suponiendo que a ! y

es tambin peridica repitindose cada vez que ,B bvara en una longitud 2 1 , es decir, cuando x vara 11en una longitud 2b . Su perido es entonces 2b

ww ww la + es

mayor ordenada o mximo de la funcin y se llama amplitud de la funcin Si + !, el ciclo comienza sobre el eje \ Si + ! el ciclo comienza abajo del eje \ Ejemplo 1 Sea la funcin C $ =/8 1 B . Graficar#

Respuesta Amplitud : + $ + ! Periodo : 2b1 , en este ejercicio ,

1 #

luego el periodo es 4

VIR GIN IO GO ME Zb !

Conviene graficar en el eje positivo de las x Los extremos son ( ! ! y ( % ! de un perido El punto medio es ( # ! de un perido El valor mximo lo toma en el punto medio entre ( 0 ! y ( # ! es decir " ! La grfica pasa por le punto ( " $ OJO !!

Como la funcin seno es impar , se tiene que: C + =/8 , B + =/8 ,B , entonces el grfico de C $ =/81 B #

es el simtrico del de $ =/8

1 # B

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Observe los grficos siguientes

Qu puede decir de ellos?. En qu se diferencian 0 B y 1B? 2 CASO Si . !, entonces , la funcin toma la forma 0 B + =/8 , B -

El grfico de esta funcin es similar al de 0 B + =/8 ,B 0 B ! cuando ,B - ! B despejamos x,

Este valor recibe el nombre de FASE y representa el nmero de unidades que se debe trasladar el grfico de C + =/8 ( , B + c ) a lo largo del eje x, para obtener el grfico de l a funcin. Esta traslacin tambin se llama desplazamiento horizontal. Si si, ,

! , la traslacin es hacia la izquierda ! , la traslacin es hacia la derecha

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Ejemplo 2 Graficar C # =/8 #B 1 Respuesta Amplitud + # Periodo : 2b1 , en este ejercicio , 2 luego el periodo es 1 Fase: #B 1 ! #B 1 B 1como este valor es positivo, la traslacin es hacia la derecha#

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En el grfico , la lnea continua muestra el perido que se repite a lo largo de todo el eje. Ejemplo Grafique =/8 B 1

Respuesta Amplitud : + " Periodo : 2b1 , en este ejercicio , " luego el periodo es #1 FaseB 1 ! B1 Grfico

3 CASO Si la funcin toma la forma 0 B + =/8 ,B - . con a , b , c y d

El valor de "d" traslada el grfico en forma vertical Si . ! , el grfico se desplaza hacia arriba d unidades Si . ! el grfico se desplaza hacia abajo d unidades

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Ejemplo Graficar C # =/8 # B 1 $

Respuesta Amplitud : + # Periodo : 2b1 , en este ejercicio , # luego el periodo es 1 Como + ! , el grfico igual al anterior , pero es simtrico a l.

Ejemplo Grafique C " =/8 B

Respuesta

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Amplitud : + " Periodo : 2b1 , en este ejercicio , " luego el periodo es #1 Esta funcin es similar a la de C =/8B , pero se traslada 1 unidad hacia arriba

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Ejercicios Grafique las siguientes funciones a) C # =/8 $B 1 , C $ =/8 #B # - C $ =/8 # B . C 2 sen " B#

/ En la figura se muestra el encefalograma de un cerebro humano durante un sueo profundo. Las ondas [ que se registran corresponde a la funcin [ + =/8 ,B - Cul es el valor de ,

Respuesta

VIR GIN IO GO ME Z

173

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e) , #1

VIR GIN IO GO ME ZFuncin sinusoidal de la forma 0 B + =/8 B , -9= B

Otras formas de ecuaciones son...

Para resolver las grficas es conveniente estudiar el siguiente teorema

Teorema : Para valores cualquiera de a , b y c existen nmeros A y ! tales que 7 =/8 - B 8 -9= - B E =/8 - B ! en donde E 7 # 8 # de aqu podemos resolver an ms la expresin , como sigue

174

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E +

#

,

#

/ E# "+, # +# E#

,# E# +,

" E E # circunferencia unitaria , luego:

por lo tanto el punto de coordenadas P E , E pertenece a la

=/8 !

, E

-9= !

+ E

La grfica entonces corresponde a la funcin C E =/8 - B !

Ejemplo Graficar 0 B # =/8 B & -9= B

Respuesta +# ,& -" luego E #

#

&

#

#* & &*

=/8 !

& #*

! ')

en radianes los 68 se tranforman a " "* La fase es ""* Periodo #1 La grfica es:

VIR GIN IO GO ME Z

Ejemplo ./ aplicacin Dos generadores de corriente alterna producen corrientes que vienen dadas, en funcin del tiempo por las ecuaciones 3 " $ =/8 "#! 1 B 3 # -9= "#! 1 B

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Si la corriente del segundo se aade a la del primero, determine las corrientes mximas, cundo ocurre y la fase producida. Respuesta El total de corriente est dado por la ecuacin 3 3 " 3 # $ =/8 "#! 1 B -9= "#! 1 B + $ ," - "#! 1 E $ " %#3 2

#

#

El punto P tiene coordenadas P

, " As# 3 2

=/8 !

" #

C

-9= !

por cualquiera de las dos formas trigonomtricas es posible determinar el valor del ngulo. Como ! est en el IV cuadrante ! 1 '

Por lo tanto el total de corriente puede representarse por la ecuacin. A =/8 -B ! # =/8 "#! 1 B 1'

Se deduce que la corriente mxima es 2 y que la fase es: "#! 1 B 1 ! ' "#! 1 B 1 ' B B" (#! 1 "#! 1 ' " (#!

VIR GIN IO GO ME Z

unidades de tiempo.1 180

El valor mximo de i ocurre cuando x = Grfico:

+

k 360

,

5

176

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Ej/rcicios Construya la grfica de: " # 3 C =/8 B # -9= B C =/8 B -9= B C =/8 B # -9= B

Respuesta " +" ,# -" E & # #$

=/8 !

, E

# &

'$ E =/8 -B ! & =/8 B '$ )

luego la funcin queda Amplitud & Fase :B '$ ! B '$

VIR GIN IO GO ME Z

Desplazamiento a la izquierda

177

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$

RELACIONES BASICAS E IDENTIDADES Anteriormente habamos visto algunas relaciones llamadas Recprocas, ahora vamos a ver otras ms y que nos servirn para el posterior desarrollo del curso.

Relaciones Recprocas

VIR GIN IO GO ME Z

178

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Relaciones de cuocientes

Relaciones Pitagricas

sen x + cos x = 1 1 + tag x = sec x 1 +cotag x = cosec x2 2 2 2

2

2

Ejercicios Determine el valor de la siguiente expresin usando relaciones pitagricas " # Si B -9= E y =/8 E C , determine el valor numrico de #& B & C

#

#

Si =/8 "# = 0,2 y =/8 $( = 0,6, hallar (usando las frmulas anteriores y sin usar calculadora) + cos 12, tg 12- cos 37- tg 37. Respuesta

"

#&

VIR GIN IO GO ME Z

Con frecuencia es conveniente transformar o reducir una expresin dada que utilice funciones trigonomtricas en otra funcin ms sencilla.

Se llaman IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS a igualdades en las que aparecen expresiones trigonomtricas y para las que ocurre que sea cual sea el valor de los ngulos siempre se verifican.

179

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Una identidad trigonomtrica se verifica transformando alguno de los lados de la igualdad, usando algunas de las identidades vistas anteriormente. Si la igualdad se verifica , entonces decimos que la expresin es una identidad, lo cual la cual se simboliza por " "

Ejemplo Verifique la identidad >+81 B -9= B =/8 B Desarrollaremos el lado izquierdo para llegar al derechoB>+81

B -9= B = =/8 B -9= B >+81 B -9= B =/8 B

=/8 B-9= Por lo tanto

Ejercicios Demuestre que las siguientes igualdades son identidades " =/- B =/8 B -9>+81 B >+81 B -9=# C =/8 =/# #

#

=/8 B" -9= B " -9= B=/8 B " =/8 B-9= B -9= B" =/8 B

$ & ' (

C # -9= ! =/# #

#

C"#

% !

VIR GIN IO GO ME Z

! -9=/#

#

! -9=/#

-9=/""

E -9=

E " -9=

E -9>1# E

)

# =/- # F " =/8 F" =/8 F >+8 B =/8 B=/- B $B=/8" -9= B -9= E -9>1 E =/8 E >+8 E " =/8 E -9= E -9=/- E =/- E

*

180

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"! "" "# "$ "% "& "'

=/8 B -9= B "=/8 B " =/8 B -9= B "-9= B =/8 B =/- B >+81 B " -9= B " =/- B -9>+81 B =/8 B =/8 >-9= > " -9=/- >=/- > >+81#

B -9=/-

#

B -9=

#

B"

" =/-

#> >+1 % > #>" -9=/#

>+1 E -9>1 E

=/-

#

E -9=/-

#

E

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE DOS ANGULOS 1) FORMULAS PARA LA SUMA =/8 ! " =/8 ! -9= " -9= ! =/8 " -9= ! " -9= ! -9= " =/8 ! =/8 " >+81 ! >+81 " >+81 ! " " >+81 ! >+81 " 2) FORMULAS PARA LA DIFERENCIA =/8 ! " =/8 ! -9= " -9= ! =/8 " -9= ! " -9= ! -9= " =/8 ! =/8 " >+81 ! >+81 " >+81 ! " " >+81 ! >+81 " $ FORMULAS PARA EL DOBLE DE UN ANGULO =/8 # ! =/8 ! ! =/8 ! -9= ! -9= ! =/8 ! # =/8 ! -9= ! -9= # ! -9= ! -9= ! =/8 ! =/8 ! -9= >+81 ! ! 4)#

VIR GIN IO GO ME Z#

! =/8

!

>+81 ! >+81 !# >+81 ! " >+81 ! >+81 !" >+81

#

!

FORMULAS PARA EL ANGULO MEDIO =/8 " ! #

" -9= ! # " -9= ! #

-9= " ! #

181

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" -9= !=/8 !" -9= ! >+81 " ! #" -9= !" -9= !=/8 !

Ejemplo Compruebe que =/8 %& 9 ! =/8 %& 9 ! # =/8 ! , utilice la informacin dada

Respuesta =/8 %& 9 ! =/8 %& 9 ! =/8 %& 9 -9= ! =/8 ! -9= %& 9 =/8 %& 9 -9= ! =/8 ! -9= %& 9 # # # # # # # -9= ! # =/8 ! # -9= ! # =/8 !

#

=/8 ! Ejercicios

1)

Si sen 12 = 0,2 y sen 37 = 0,6, halla Calcule, a partir de ellas, +=/8 %* , =/8 25 utilizando las frmulas dadas anetriormente Compruebe que >+81 ! =/8 # ! # =/8#

- -9= %*

. -9= 25

VIR GIN IO GO ME Z

# + , - .

!

-9>+81 ! =/8 #! " -9= # ! " -9= # ! -9>+81 ! =/8 #! -9= ! =/8 ! $!9 -9= ! '! 9

$ +

Verifique que -9= # B -9=%

B =/8

%

B

182

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, - .

=/8 $ B -9= $ B " " =/8 # B =/8 B -9= B # 1 + >+1 B >+1 #B =/-+ # B =/8 E F >+1 E >+1 F -9= E -9= F -9= + , -9= + ," =/8 + , =/8 + ,>+1 + #=/8 + =/8 #+" -9=+ #=/8 + =/8 #+" -9= + #=/8 + =/8 #++ >+1 # #=/8 + =/8 #+#

/

0

1

FORMULA PARA LA SUMA Y DIFERENCIA DE ANGULOS " PRODUCTO DE SENO Y COSENO

=/8 ! -9= "

"#

=/8 ! " =/8 ! "

-9= ! =/8 " " =/8 ! " =/8 ! " #

-9= ! -9= "

"#

-9= !" -9= ! "

=/8 ! =/8 " " -9= ! " -9= ! " #

#

SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS Y COSENOS =/8 E =/8 F # =/8 " E F -9= " E F##

=/8 E =/8 F # -9= " E F =/8 " E F##

VIR GIN IO GO ME Z

-9= E -9= F # -9= " E F -9= " E F##

-9= E -9= F #=/8 " E F =/8 " E F##

Apliquemos estas igualdades en los siguientes ejercicios

183

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Ejemplo " Exprese =/8 40 o -9= 30 o como suma o diferencia de ngulos Solucin =/8 40 o -9=s 30 o Ejemplo 2 Exprese =/8 50 o + =/8 40o como producto Solucin =/8 50 o + =/8 40o = # =/8 " &!## 9 "9#

=/8 $! 9 =/8 %! %! =/8 (! =/8 "! 9

9

$! 9

"9#

%! 9 -9= " &!

9

%! 9 # =/8 %& 9 -9= &9

Ejemplo $

Si el seno de cierto ngulo vale &( y se sabe que el ngulo pertenece al $ cuadrante, calcular las razones trigonomtricas del ngulo doble (para el =/8#! -9=#! >+1 #! y del ngulo mitad de este ngulo. Solucin Para aplicar las frmulas del ngulo doble y del ngulo mitad necesitamos conocer el coseno y la tangente del ngulo. -9= ! " =/8 # !

(En esta frmula consideramos el signo negativo de la raz puesto que los ngulos del tercer cuadrante tienen coseno negativo) #% % #% Tenemos as que el coseno vale -9= ! y >+1 ! ( Aplicando las frmulas dadas por la teora:#%"!#% =/8 # ! # =/8! -9=! # & ((%* #%#&" %*%*%* & #% #%# & #% #%

VIR GIN IO GO ME Z

-9= # ! -9=

#

! =/8

#

!

# >+1 ! >+1 #! " >+1 # !

# "

"! #%

para el ngulo mitad tomamos en las frmulas los signos convenientes (pertenecer al segundo cuadrante)

184

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( #% =/8 ##"%

"

( #%!

( #% -9= ##"% " !>+1 "#% (#% (

"

( #%!

#

( #% ( #%

Ejercicios " a) b) - # + , - Exprese como suma o diferencia de ngulos -9= ""!9 =/8 && -9= &!9 9

-9= $&

9

=/8 && 9 =/8 %!

9

Exprese como producto =/8 (!9

=/8 #!

9

-9= && 9 -9= #& -9= $& 9 -9= (&9

9

$ Si el seno de cierto ngulo vale #"! y se sabe que el ngulo pertenece al # cuadrante, calcular las razones trigonomtricas del ngulo doble (para el =/8#! -9=#! >+1 #! y del ngulo mitad de este ngulo. % Demuestre que =/8 $B =/8 B# =/8 $B =/8 B" >+1 (ref: use la frmula de suma de senos)#

VIR GIN IO GO ME Z

B

Respuesta " +) - # + # -9= %& =/8 #&9 9

"9#

=/8 "'& =/8 && 9

,)

"9#

-9= )& -9= "& 9

" -9= *&9 -9= "& 9 #

,

# -9= %! -9= "&

9

9

185

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- # =/8 && =/8 #!

9

9

TRIANGULOS NO RECTANGULOS Un tringulo no rectngulo o tringulo oblicuo, es aquel que no contiene un ngulo recto. En este tipo de tringulos, los tres ngulos son agudos, o bien dos de sus ngulos son agudos y uno obtuso.

Se ha convenido en llamar A, B y C a los ngulos y + , y - a los lados del tringulo. Anteriormente vimos como se resuelven problemas usando como referencia tringulos rectngulos, ahora resolveremos problemas usando cualquier tipo de tringulo.

Resolver un tringulo, consiste en calcular todos sus elementos: sus tres lados y sus tres ngulos, para sto es necesario conocer al menos tres de sus elementos, uno de los cuales necesariamente es un lado.

LEY DE LOS SENOS En cualquier tringulo ABC, la relacin entre un lado y el seno del ngulo opuesto es constante; esto es:

VIR GIN IO GO ME Z

Este teorema se aplica cuando en un tringulo dado se conocen:

186

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Veamos una aplicacin de este teorema en cada uno de los casos dados Ejemplo Caso I En el tringulo ABC, a = 62.5, B y los lados b y c A= 112o 20 y,

C = 42o 10 . Determine

,

Respuesta Para encontrarB, se determina a travs de la relacin : la suma de los tres ngulos interiores de un tringulo es 180o . B = 180o ( C+ A ) = 180o "&% o $! #& 9 $!,

VIR GIN IO GO ME Z

Para determinar los lados , y - lo hacemos a travs del Teorema del Seno Para determinar , +, = reemplazando se tiene =/8 A=/8 F 62.5, ,= =/8 112 o 20=/8 #&9 $! 62.5 =/8 #& 9 $! , #*",=/8 112 o 20

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Para determinar 62.5,= =/8 112 o 20=/8 %# 9 "!

62.5 =/8 %#9 "! - %&% =/8 112 o 20 , Por lo tanto

B = 25o 30 ,

,

, = 29.1

,

- = 45.4

Ejemplo Caso II Dado el tringulo ABC, - = #& , G y los lados + y , A= $&o y F = ')o . Determine

n G ")! 9

E

F ((9

- =/8 E#& =/8 $&9 Para + = "& =/8 G=/8 ((9 - =/8 F#& =/8 ')9 Para , = #% =/8 G=/8 ((9 Ejemplo caso III

VIR GIN IO GO ME Z

Dado en el tringulo ABC, - = 628.5, , =480 , Ay B y el lado +

C= 55o 10 . Determine

,

188

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Respuesta

tOrientacin En navegacin, la direccin marca el ngulo agudo que forma una recta con la recta norte- sur. En la figura se ilustra una orientacin W%!9 S

Una orientacin R '& o I

VIR GIN IO GO ME Z

En la figura se muestran las coordenadas de U" :R #& 9 I U# R (! 9 S U$ W%! 9 S y U% W&& 9 I

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Ejercicios Represente en la figura + W#!9 I , R "&9 S

Respuesta

B:

sen B = , sen G =-

480 sen 55 0 10 628

,

VIR GIN IO GO ME ZG

= 380 50

A = 180o ( F + G ) = 86 o Para a = , =/8 E%)! =/8 )' 9 ('% =/8 F=/8 $) 9 &!

Ejercicios " Resuelva el tringulo ABC dado que + $"& , &") C A $$9 %! Determine -

Fy

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#

Resuelva el tringulo ABC dado que + & - %#" C Determine : , Fy G

A "$!9 %!

$

Sean A y B dos puntos localizados en las mrgenes opuestas de un ro. Desde A se traza una lnea AC = #(& 7 y se miden los ngulos CAB = "#& 9 %! ACB %) 9 &! Encuentre la longitud AB. Un edificio est situado arriba de una colina con una pendiente de 15 de inclinacin. El Sol est sobre el edificio con unngulo de elevacin de 42 o . Encuentre la altura del edificio si ste proyecta una sombra de 36 pies de largo, o

%

&

Una torre forma un ngulo de 113 o 12 con el plano inclinado sobre el cul est y desde una distancia de 89 m de su base medida hacia abajo del plano se ve la ,torre bajo un ngulo de 23 o 27 . Clacular la altura de la torre Dos boyas estn apartada por una distancia de 64,2 m y un bote est a 74,1 m de la ms cercana. El ngulo que forman las dos visuales del bote a las boyas es de o,27 18 Qu distancia hay del bote a la boya ms alejada? Un barco navega hacia el Este, cuando observa una luz con una orientacin R '# 9 I . Despus de que el barco navega #&! 7>, la luz se encuentra a R %)9 I Si el curso se mantiene igual Cul ser la menor distancia entre el barco y la luz?

'

(

) Un satlite que orbita alrededor de la tierra pasa sobre dos estaciones de observacin, Phoenix y Los Angeles que estan a $%! millas una de otra. En cierto instante los ngulos de elevacin son '! 9 y (& 9 respectivamente. A qu distancia se encuentra el satlite de la estacin de Los Angeles?

VIR GIN IO GO ME Z

*Un barco B pide socorro y se reciben sus seales en dos estaciones de radio, A y C, que distan entre s 50 km. Desde las estaciones se miden los siguientes ngulos: BAC = %'9 y BCA &$9 . A qu distancia de cada estacin se encuentra el barco? 10)Para hallar la altura de un globo, realizamos las mediciones indicadas en la figura. Cunto dista el globo del punto A? Cunto del punto B? A qu altura est el globo?

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""Para localizar una emisora clandestina, dos receptores, A y B, que distan entre s 10 km, orientan sus antenas hacia el punto donde est la emisora. Estas direcciones forman con AB ngulos de %! 9 y '&! . A qu distancia de A y B se encuentra la emisora?

Respuesta " # $ % - &' , "%#$( EF #"&* * La figura pedida es F '& %$9

y9

G )! $(

9

F "" )( y

G $( %'

9

VIR GIN IO GO ME Z

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Usando el Teorema del Seno, 2 #"** :3/= & ' ( ) * 10."" 2 &" ' 7 . "#! $ 7 $%$ 7 %"' 7366+= 36,4 km 25,2 m 6,65 km dista de B LEY DE LOS COSENOS En cualquier tringulo ABC, el cuadrado de cualquiera de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ngulo comprendido entre ellos; esto es y 26,9 m 40,4 km 24,3 m 9,38 km dista de A

Este teorema se aplica cuando en un tringulo dado se conocen:

VIR GIN IO GO ME Z

El caso M lo resolver usted cuando se de un ejercicio tipo, resolvamos un ejemplo del caso MM Ejemplo Caso MM Dado en el tringulo ABC, a = $! $ , , = %!% y c = 62.6

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Respuesta Podemos determinar cualquiera de los tres ngulos con los datos dados Determinemos +#

A#

,

#

-

# ,- - 9= E

Despejamos

-9= E

,# -# +#"'$# "' $*") (' *") !* ! *"' # ,-# %! % '# '9

E #$ '& Para F:

-9= F ! )%%(

F $# $

9

Para determinar Por lo tanto: E #$ '& ,9

G : ")!

9

#$ '&

9

$# $9 "#% !&

9

VIR GIN IO GO ME Z9

F $# $

9

G

"#% !&

Ejercicios Determine los ngulos de un tringulo , si los lados son ( ' y * respectivamente Respuesta E &! *) 9

F %" (& 9

G )( #(

9

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Ejemplo Dos barcos parten de un puerto a las 7:00 a.m, uno viaja a 12 nudos (millas nuticas por hora) y elotro a 10 nudos. Si el barco ms rpido mantiene una orientacin de N47 o S y el otro barco mantiene una orientacin de S20 o S, Cul es su separacin (a la milla nutica ms cercana) a las 11:00 a.m de ese mismo da? Respuesta Como el tiempo transcurridos es de 4 horas, tenemos que: la distancia que recorre el barco ms rpido es de 4 .12 = 48 millas nuticas del puerto y la distancia que recorre el barco ms lento 4.10 =40 millas nuticas. Usando estas distancias y las orientaciones dadas, podemos dibujar el tringulo que se muestra en la figura .

Sea c la distancia que separa los barcos a las 11:00 a.m. por Teorema del coseno, tenemos: - # %) G#

%!

#

# %)%! -9=9

G ")! 9 %( 9 #! 9 ""$ - ($ &"

VIR GIN IO GO ME Z

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Ejercicios " Identifique las coordenadas de los puntos que se muestran en la figura

#

Resolver el tringulo en el que se conocen los siguientes datos: + & 7 , % 7 G %(

$ Resolver el tringulo en el que se conocen los siguientes datos: + #$ 7 F &$ C )%

4

En el mapa de un caminante el punto A queda a 2,5 pulgadas al oeste del punto B y el punto C queda a 3,5 pulgadas de B y a 4,2 pulgadas de A, respectivamente. Encuentre la orientacin de A hacia C y la orientacin de B hacia C. El dibujo slo es referencial (el tringulo slo es referencial)

VIR GIN IO GO ME Z,

&

Dos puntos inaccesibles A y B son visibles desde D, pero no hay otro punto desde el cual ambos sean visibles. Se toma un punto C desde el cual puede verse A y D y se miden CD = 200 m ,ADC = 89 o ,ACD 50 o 30 . Despus se toma un punto E desde el cual sean visibles D y B y se miden

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DE = 200 m,o

BDE = 54 o 30 ,,

,

BED = 88 0 30 , desde D se mide

,

ADB = 72 30 . Determinar distancia AB

6

Un barco navega hacia el Este, cuando observa una luz con una orientacin R '# 9 "! I . Despus de que el barco navega 250 m, la luz se encuentra a R %)9 #& I Si el curso se mantiene igual Cul ser la menor distancia entre el barco y la luz? En un entrenamiento de ftbol se coloca el baln en un punto situado a 5 m y 8 m de cada uno de los postes del arco, cuyo ancho es de 7 m. Bajo qu ngulo se ve el arco desde ese punto?

(

Respuesta " E R (! 9 I F R %!9 S GW"&9 S H W#&9 I # - $ ( 7 $ F &" %' ' # " E )" "$ ' &) " G $% # ' "

E "!" $# ' "$ "

F %% #% '&& "

VIR GIN IO GO ME Z

4

R $$ ''9 I R # )# 9 O EF $%& %& 60 ! 6 $#& * 7

5 7.-

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ECUACIONES TRIGONOMETRICAS Las ecuaciones trigonomtricas son aquellas que se cumplen slo para algunos valores particulares de los ngulos desconocidos. Las ecuaciones trigonomtricas suelen tener mltiples soluciones que pueden expresarse en grados o en radianes. Por lo tanto, el intervalo de la solucin se encuentra en ! B #1 o ! B $'! 9 Ejemplo: Encuentre B en : =/8 B !9

La igualdad se cumple cuando B ! 9 B ")!9 9 B $'!

RESOLUCION DE ECUACIONES TRIGONOMETRICAS No existe un mtodo general para resolver ecuaciones trigonomtricas, ya depender de la forma que presenten, veamos algunas casos

que va a

A) LA ECUACION PUEDE FACTORIZARSE Ejemplo Resuelva Respuesta Factorizamos por =/ 8 B =/8 B # =/8 B -9= B =/8 B " # -9= B ! luego tenemos que la solucin de la ecuacin se cumple cuando 3 =/8 B ! en radianes 3 B ! 9 1 #1 33 # -9= B " -9= B "#

=/8 B # =/8 B -9= B ! para

! B #1

9

33 " # -9= B !

VIR GIN IO GO ME Z

B

1 $

B

&1 $

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B) LAS DIFERENTES FUNCIONES QUE APARECEN EN LA ECUACION PUEDEN EXPRESARSE EN TERMINOS DE UNA FUNCION SENCILLA

Ejemplo Resuelva # >+8 1#

B =/-

#

B#

Respuesta Reemplacemos =/# >+8 1 $ >+8 1 >+8 1# # #

B

por#

" >+81 B#

#

B para

! B #1

B " >+81 B"" $

#

B

Por lo tanto la solucin es B

1 & 1 ""1 (1 ''''

C) AMBOS LADOS DE LA EXPRESION SE ELEVAN AL CUADRADO Ejemplo Resuelva =/8 B -9= B " para ! B $'! Respuesta =/8 B -9= B " / ab # ( =/8 B -9= B ) 2 " =/8 2 B # =/8 B -9= B -9= " # =/8 B -9= B " # =/8 B -9= B ! =/8 B -9=B ! =/8 B !9

#

B"

B ! ! $'! -9= B !

!

VIR GIN IO GO ME Z!

B *!

Ejercicios Encuentre x en 0 B #1 + # =/8 B " ! - >+81 B $ -9>+81 B % / # -9= B " =/8 B , # =/- B >+81 B -9>+81 B . -9= B $ =/8 B " 0 % =/8 B ( $

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1 ) =/8 B -9= B = 02 2 ) (>+81 B 1) ( % =/8 B $ )=0

3 ) =/8 2 B + =/8 B # = 0 4 ) $ cos2 B = =/8 5 -9=# 2

B

B -9= B

Respuesta + B 1 6 , B 1 ' - B 1 % . B ! / B 1 # 0 B 1 ' 1) B = 0 1 2 B 4 B 1 3 B = 2 1 4) B = 3 5 B ! 51 3 B &1 ' B &1' B "#& B %1$ B &'% B &1' B 1 121 B 33 B #1 51 4 B 1 # B 41 3 B & 1 % B #1 B %$*

B

B

B

B

21 3

B

41 3 B #1

B

51 3

B 1#B $1#

VIR GIN IO GO ME Z$1 #

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS La ecuacin B =/8 Cdefine un valor nico para C cuando B es conocido, la ecuacin puede no tener solucin o tener varias. Por ejemplo , si B # no hay solucin, dado que el seno de un ngulo nunca excede de "; Si B " # existen varias soluciones para C $! 9 "&! 9 $*! 9 &"!9

Para expresar C en funcin de B, se escribe C +3:69 ./ $:9