algebra lineal unam

8/22/2019 Algebra Lineal Unam

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Mario Matiauda, Cristian Kornuta



Coronel Félix Bogado 2160 | Posadas - Misiones | Tel-Fax: (0376) 4428601

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Página Web:

www.editorial.unam.edu.ar

Colección: Ediciones EspecialesCoordinación de la edición: Claudio O. Zalazar

Hecho el depósito de la Ley Nº 11.723

ISBN: 978-950-579-238-2

Impreso en Argentina

©Editorial Universitaria

Universidad Nacional de Misiones

Posadas, 2012

Matiauda, Mario EugenioIntroducción al álgebra lineal.-1a ed.- Posadas: EdUNaM -Editorial Universitaria de la Universidad Nacional de Misiones, 2012.E-Book.ISBN 978-950-579-238-2

1. Álgebra Lineal. I. TítuloCDD 512.5



Unidad 1-INTRODUCCION

1.1-INTRODUCCION

1.2-SISTEMAS HOMOGENEOS

1.3-MATRICES

1.3.1- PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS:

Aplicaciones en MATLAB

Unidad 2- ESPACIOS VECTORIALES

2.1-DEFINICION

2.2- ESPACIO VECTORIAL DE LAS FUNCIONES

2.3-PROPIEDADES EN UN ESPACIO VECTORIAL

2.4-DEFINICION Y CARACTERIZACION DE LOS SUBESPACIOS VECTORIALES

2.4.1-INTERSECCION DE SUBESPACIOS

2.5-COMBINACIONES LINEALES

Elementos de Algebra Lineal - 2011 2



2.6- SUBESPACIO GENERADO

2.6.1-CONJUNTOS EQUIVALENTES DE VECTORES

2.6.2-INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL

2.6.3-PROPIEDADES DE LA INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL

2.7-CARDINAL DE LAS BASES DE UN ESPACIO VECTORIAL

2.8-DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

2.8.1- COORDENADAS DE UN VECTOR

2.9-PRODUCTO INTERIOR

2.9.1-PROPIEDADES DEL PRODUCTO INTERNO

2.10- ESPACIO VECTORIAL NORMADO 2.10.1-NORMA INDUCIDA POR UNA PRODUCTO

INTERIOR





Unidad 3- APLICACIONES LINEALES

3.1- DEFINICION

3.2-CONDICION NECESARIA Y SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE UNA APLICACION LINEAL

3.3-PROPIEDADES DE LAS APLICACIONES LINEALES

3.4-NUCLEO DE UNA APLICACION LINEAL

3.5- IMAGEN DE UNA APLICACION LINEAL

3.5.1-RELACION ENTRE LAS DIMENSIONES DEL NUCLEOE IMAGEN

3.6-OPERACIONES CON APLICACIONES LINEALES

3.7-EL ESPACIO VECTORIAL DE LAS APLICACIONESLINEALES

3.8- COMPOSICION DE APLICACIONES LINEALES




3.9- TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS APLICACIONESLINEALES

3.9.1-VECTOR DE COORDENADAS

3.9.2-ASOCIACION ENTRE MATRICES Y APLICACIONESLINEALES

3.10-SUMA DE MATRICES

3.11-MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

3.12-ISOMORFISMO ENTRE APLICACIONES LINEALES Y MATRICES

3.13-ESPACIO VECTORIAL DE LAS MATRICES

3.14-PRODUCTO ENTRE MATRICES

3.15-ALGUNAS MATRICES ESPECIALES

3.16- TRASPUESTA DE UNA MATRIZ

3.17-MATRIZ INVERSIBLE




3.18-CAMBIO DE BASE


Unidad 4-EL SISTEMA COMO APLICACION LINEAL

4.1- DEFINICION

4.2-NOTACIÓN MATRICIAL

4.3-REDUCCION POR FILAS A FORMAS ESCALONADAS

4.4-ALGORITMO PARA OBTENER UNA MATRIZ TRIANGULAR Y TRIANGULAR REDUCIDA

4.5-CONJUNTO SOLUCION DE UN SISTEMA LINEAL

4.6-EL SISTEMA COMO UNA APLICACION LINEAL



Unidad 5-DETERMINANTES Y SISTEMAS LINEALES

INTRODUCCION Elementos de Algebra Lineal - 2011 6



5.1-APLICACIONES BILINEALES

5.1.1-APLICACION BILINEAL ALTERNADA

5.2-DETERMINANTE DE ORDEN 2

5.3-LA PERMUTACION Y SU SIGNO

5.4-APLICACIONES TRILINEALES ALTERNADAS


5.6- PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES DE ORDEN 3

5.7-DESARROLLO DEL DETERMINANTE POR LOSELEMENTOS DE UNA LINEA

5.8-APLICACIONES MULTILINEALES

5.9-APLICACIONES MULTILINEALES ALTERNADAS

5.10-DETERMINANTE DE ORDEN n

5.11-DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE Mn(K)

5.12-PROPIEDADES Elementos de Algebra Lineal - 2011 7



5.13-DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS

ELEMENTOS DE UNA LINEA

5.14- MATRIZ ADJUNTA

5.15-RANGO DE UNA MATRIZ

5.15.1-CALCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ

5.15.2-CALCULO DEL RANGO POR EL METODO DE GAUSS-

JORDAN 5.16- SISTEMA DE CRAMER

5.16.1-SOLUCION DE UN SISTEMA DE CRAMER

5.17- TEOREMA DE ROUCHE-FROBENIUS

5.18-SOLUCION DE UN SISTEMA MEDIANTE EL METODO DEGAUSS-JORDAN





Unidad 6- AUTOVALORES - AUTOVECTORES-DIAGONALIZACION

6.1-INTRODUCCIÓN

6.2-MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA Y GEOMETRICA

6.3-SEMEJANZA DE MATRICES

6.4-DIAGONALIZACION

6.5-DIAGONALIZACION ORTOGONAL

6.6-TEOREMA DE CAYLEY – HAMILTON


Unidad 7-DESCOMPOSICION EN VALORES SINGULARES.FORMAS CUADRÁTICAS

7.1-INTRODUCCION

7.2-FORMAS CUADRATICAS

7.3-EXPRESION DIAGONAL DE UNA FORMA CUADRATICA

7.3.1- TIPOS DE FORMAS CUADRATICAS Elementos de Algebra Lineal - 2011 9



7.3.2-ESTUDIO DEL SIGNO DE UNA FORMA CUADRÁTICA REAL DE n VARIABLES

Apéndice 1- DEFINICIÓN, NOTACIÓN Y CLASIFICACIÓN DE LOS

VECTORES INTRODUCCION

Tipos de vectores

Representación

Gráficamente

Operaciones fundamentales; suma y diferencia de vectores

Forma trinómica y vectores unitarios

Aplicaciones en MATLAB Anexo 1 - Introducción básica sobre MATLAB

¿QUE ES MATLAB?

¿POR QUE ELEGIR MATLAB?




DISTINTOS CAMPOS DE ACCIÓN

ALGUNAS GRAFICAS EN MATLAB

EL ENTORNO DE MATLAB ARCHIVOS *.m DE MATLAB

EL EDITOR DE MATLAB

EJEMPLO DE FUNCION EN MATLAB

TOOLBOX

ALGUNOS TOOLBOXES

Anexo 2

consec.m

homsoln.m

lincomb.m




lisub.m

rowcomb.m

rowscale.n rowswap.m

solucion.m

utristep.m

rrefstep.m

dependencia.m

span.m

spanview.m

angulo.m

plano.m




vector.m

vector3.m

dist.m drawec.m

plotangle

BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTAL CONSULTADA

MAS... BIBLIOGRAFÍA DE INTERES




INTRODUCCION

El Algebra Lineal es una herramienta básica para casi todas las ramas de lamatemática así como para disciplinas afines tales como la física, la ingeniería y la

computación entre otras, comúnmente esta denominación de Algebra Lineal,simplifica en realidad ‘lo lineal’, que es el concepto central, presente en elcoloquio y actividades más sencillas de la vida diaria, ligado a ‘lo proporcional’.

Existen muchísimos buenos textos de Algebra Lineal ,esta presentación es

sólo una introducción básica al tema, pensada en los contenidos curriculares decursos del tema y, al mismo tiempo, una guía de estudios para los interesados.

En el objetivo de Algebra + Lineal, se propone, iniciar con una secuenciapreliminar de ecuaciones lineales y elementos del cálculo matricial, empleando elconcepto familiar de una columna y una fila, para posteriormente entrar en la‘antipática’ abstracción (estructuras y espacios).

También incluimos la herramienta del software como ayuda complementodel conjunto de operaciones, en su versión elemental.




1.1-INTRODUCCION

Una ecuación lineal en las variables (o incógnitas) x 1 ;...; x n es una expresiónde la forma a 1 x 1 + …+ a n x n = b

A a 1 ;...; a n € K se les denomina coeficientes de la ecuación, y a b ε K términoindependiente.

Muchas veces los coeficientes a 1 ;...;a n y el término independiente b serán

elementos de un cuerpo K (con K = R ó C). En tal caso se dice que la ecuaciónanterior es una ecuación lineal con coeficientes en K :

Ejemplo

Si n = 2 y a1; a2 ε R, la ecuación lineal a1 x + a2y = b (I) representa una recta en

el plano R2

; es decir, el conjunto de pares ( x; y) que satisfacen la ecuación (I)constituyen una recta.




Por ejemplo

La ecuación y = 2x + 2 representa la recta que pasa por el punto (0,2) dependiente dos

y

xo

(0,2)




Es importante observar que las operaciones que afectan a las variables queintervienen en las ecuaciones lineales se reducen a multiplicarlas por loscoeficientes y sumarlas.

Así por ejemplo,

3x + 4y = 16 x1 - x2 + πx4 = 1

son expresiones lineales

Se dice que (α1;…; αn) ε K n es solución de la ecuación

a1 x1 + …+ an xn = b

sia1α1 + … + anαn = b




Ejemplo (x; y; z) = (3; 2;-1) es solución de x + y + z = 4:

Por otra parte (x; y; z) = (4; 0; 0) también es solución de dicha ecuación.

Un sistema de ecuaciones lineales es una sucesión finita de ecuacioneslineales. Es usual representar los sistemas de ecuaciones lineales colocando lasucesión de ecuaciones lineales en columna.

Así, un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se representaría por

a11 x1 + … + a1n xn = b1 ...

am1 x1 + ::: + amn xn = bm




Ejemplo: el sistema

x2 + x3 = 12x1 - x3 = 2

x2 + x3 = 4

es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

Se dice que ( α1;…; αn) ε K n es solución del sistema de ecuaciones

a11 x1 + … + a1n xn = b1 ...am1 x1 + … + amn xn = bm sia11 α 1 + ... + a1n α n = b1 ...am1 α 1 + … + amn α n = bm




Es importante tener presente que los sistemas de ecuaciones lineales puedenno tener soluciones o tener más de una.

Los sistemas de ecuaciones lineales que no tienen solución, como el delejemplo anterior, se denominan sistemas incompatibles.

Los que tienen al menos una solución, esto es, los sistemas compatibles,pueden tener una única solución, en cuyo caso se denominan compatiblesdeterminados, o más de una solución, en cuyo caso, si los coeficientes del sistema

son números reales o complejos, el sistema tiene infinitas soluciones y los sistemascorrespondientes se denominan compatibles indeterminados.




Si tomamos un caso sencillo, de dos ecuaciones con dos incógnitas:

a1 x+b1y=c1 a2 x+b2y=c2

según su número de soluciones, tendremos:

Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Secortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema

Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. Notienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución

Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas

coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos sonsoluciones.




1.2-SISTEMAS HOMOGENEOS

Definición: se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si lostérminos independientes de todas las ecuaciones que lo constituyen son iguales a

0.Ejemplo x1 + x3 = 02x1 - x2 + x3 = 0

es un sistema homogéneo de 2 ecuaciones con 3 incógnitas.

Observación : Cualquier sistema de ecuaciones lineales homogéneoa11 x1 + … + a1n xn = 0...a

m1 x

1+ … + a

mn x

n= 0

es compatible, puesto que (0; …; 0) ε K n es siempre una solución de dicho sistema. A esta solución se la conoce como solución trivial. Si un sistema homogéneo tienesoluciones distintas de la trivial, a cualquiera de dichas soluciones ladenominaremos solución no trivial.




Más adelante se verá que un sistema homogéneo de ecuaciones lineales concoeficientes en R ó C satisface exactamente una de las siguientes proposiciones:

El sistema homogéneo sólo tiene la solución trivial. El sistema homogéneo tiene infinitas soluciones además de la trivial.

En particular, se verá que todo sistema homogéneo con coeficientes en R ó Cque tenga más incógnitas que ecuaciones, tiene infinitas soluciones.




Es práctico trabajar los sistemas de ecuaciones con las matrices ampliadas,apuntando su resolución a aplicar lo que se denominan transformacioneselementales por filas. Estas son las siguientes:

1. Sumar a una la otra multiplicada por un número: F i = F i + λ F j

2. Multiplicar una fila por un número distinto de cero: F i = λ F i

3. Intercambiar dos las: F i ↔ F j

La aplicación sucesiva de transformaciones elementales por filas sobre unsistema de ecuaciones lineales (o sobre su matriz ampliada) permite pasar de unsistema de ecuaciones lineales a otro que, teniendo las mismas soluciones que elplanteado, es más sencillo de resolver. En esta sección demostraremos con tododetalle que esto es efectivamente así. Por otra parte, las transformaciones

elementales son reversibles, es decir, si realizando transformaciones elementalessobre un sistema de ecuaciones lineales S obtenemos un sistema de ecuacioneslineales S’ , recuperándose S a partir de S’ realizando las transformacioneselementales “inversas” en el orden adecuado (el orden inverso del que se haseguido para pasar de S a S ’).




Se dice que dos sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas son

equivalentes si uno de ellos puede obtenerse a partir del otro realizando sobre elprimero una sucesión finita de transformaciones elementales por filas.

TRAFORMACION TRANSFORMACION INVERSA

λ

λ

λ( λ ≠ 0 ) 1λ ↔ ↔




1.3-MATRICES

Introducimos algunos conceptos, a costa de aparecer con cierto desorden,sobre las matrices, para valernos de ellas en esta introducción de resolución de

sistemas de ecuaciones lineales, volviendo a una presentación más rigurosa ensecciones posteriores.

Sean n,m ε N . El conjunto de las matrices de n filas y m columnas concoeficientes en un cuerpo K es

… ⋮ ⋮ …

, ∀ 1 ≤ ≤ , 1 ≤ ≤

para definir una matriz en K nxm basta especificar, para cada 1 ≤ i ≤ n y cada1: j ≤ m , qué elemento de K se halla en el lugar ij (correspondiente a laintersección de la fila i y la columna j ) de la matriz.




Así, sean n,m ε N , y sean 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ l ≤ m . Se define la matriz Ekl ε K nxm

ij =

1 si ik,jl0 si no

Matriz canónica o identidad de K nxm

Sean A,B ε K nxm. Entonces A = B si y sólo si Aij = Bi j para cada 1 ≤i ≤ n; 1 ≤

j ≤ m .

Se definen la suma de matrices y el producto por escalares como

:

×

→ 1 ≤ 1 ≤ , 1 ≤ ≤

. : × → , . 1 ≤ 1 ≤ , 1 ≤ ≤

Definiremos ahora un producto que, dadas dos matrices A y B concoeficientes en K tales que la cantidad de columnas de A sea igual a la cantidad de filasde B , calcula una nueva matriz C .




Sean A ε K nxm y B ε K mxr . Se define el producto de A por B como la matriz C ε K nxr tal que

, 1 ≤ 1 ≤ , 1 ≤ ≤

=

1. Propiedad asociativa: dadas A ε K nxm B ε K mxr , y C ε K rxs , se tiene que( A.B).C = A.(B.C).

2. Para cada n ε N , sea In ε K nxn definida por

1 0 ≠

Entonces, si A ε K nxm , se verifica: In.A = A.In = A

La matriz In se denomina matriz identidad de K nxn.




1.3.1- PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS

(a) Si A ε K nxm y B, C ε K mxr , entonces A.(B + C) = A.B + A.C.

(b) Si A,Bε

K nxm yC

ε

K mxr , entonces(A + B).C = A.C + B.C

Observemos que, en particular, el producto de matrices está definido paracualquier par de matrices en K nxn. y, por lo tanto, se tiene una operación‘’producto" en K nxn.para cada n ε N , pudiendo entonces inferir que (K nxn,+,.) es unanillo.

Propiedades que difieren , en el producto matricial, de las usuales de números reales,como ser: El producto de matrices no es conmutativo, incluso en el caso de matricescuadradas; el hecho que A.B = 0 no implica que A = 0 o B = 0.




Incluimos dos nociones de utilidad para la sección de estudio actual

Sea A ε K nxm . Se llama matriz traspuesta de A, y se nota At, a la matriz

At ε K mxn definida por (At ) ij = A ji para cada 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n .

Sea A ε K nxn . Se llama traza de la matriz A, y se nota tr(A) , al escalar

=

Sobre la inversa de una matriz: Una matriz A ε K nxn admite inversa(no singular)si existe una matriz B ε K nxn tal que A.B = B.A = In .

La matriz B de la definición es única. Pues, si A.B = B.A = In y A.C = C.A = In , entonces

B = In.B = (C.A).B = C.(A.B) = C.In = C




Se puede entonces establecer la siguiente definición:

Si una matriz A’ se obtiene realizando transformaciones elementales por filassobre una matriz A; diremos que las matrices A y A’ son equivalentes por

filas(válido para columnas).

A las transformaciones elementales por filas, realizadas, ya sea directamentesobre las ecuaciones del sistema, bien sobre las filas de su matriz ampliada lasdenotaremos del mismo modo. De manera que estamos en condiciones de

representar un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, a través de larepresentación matricial como:

A x= b . La matriz A se llama matriz del sistema, es de dimensión m x n y sus elementos son los coeficientes de las incógnitas. La matriz x es una matriz

columna, de dimensión n x 1 , formada por las incógnitas del sistema. Por último,la matriz b es otra matriz columna, de dimensión m x 1 , formada por lostérminos independientes. Es decir: ⋯

x=

y b=




Además, se llama matriz ampliada del sistema, que representaremos por A*, ala matriz de dimensión m x (n+1) que se obtiene a partir de lamatriz A, añadiéndole la columna formada por los términos independientes

Lema : Si dos sistemas de ecuaciones son equivalentes, entonces tienenexactamente las mismas soluciones. En otras palabras, si S y S’ son equivalentes,(α1; …; αn) es solución de S , (α1; …; αn) es solución de S’




A plicaciones

en MATLABElementos de Algebra Lineal



VARIABLES MATRICIALES

GENERALIDADES

La matriz, conceptualmente, como conjunto de vectoresPor ejemplo:>> A=[1 2 3; 1 3 4;-1 2 3] o mat=[1 2 3; 1 3 4;-1 2 3]

A = mat=1 2 3 1 2 31 3 4 1 3 4-1 2 3 -1 2 3

A los elementos de una matriz se accede sin más que escribir el nombre de lamatriz y, entre paréntesis, los respectivos índices:

>>A=(1,3) % Elemento en la primera fila y tercera columna de Aans =

3




También se puede acceder a un fila o columna completas

>>mat(:,2) % Segunda columna de matans =

232

>>mat(2,:) % Su segunda fila

ans =1 3 4

Existen comandos que permiten crear de forma sencilla matrices.Por ejemplo, dado el vector v

>>v=[ 1 2 3];>>diag(v) % Matriz diagonal cuya diagonal es el vector vans =

1 0 00 2 00 0 3




>>diag(diag(M)) % Matriz diagonal con la diagonal de M. La sentencia diag(M) dael vector formado por la diagonal de la matriz M

ans =

1 0 00 5 00 0 9

>>diag(ones(1,4),1)+diag(ones(1,4),-1) % Matriz tridiagonal 5x5 con 0 en la

diagonal principal y 1 en la sub y superdiagonal

ans =

0 1 0 0 0

1 0 1 0 0

0 1 0 1 00 0 1 0 1

0 0 0 1 0

>>tril(M) % Matriz formada por la parte triangular inferior de M




OPERACIONES CON MATRICES

>> A+B % suma de las matrices A y B (igual dimensiones)

>> A-B % resta de las matrices A y B (igual dimensiones)

>> A*B % producto de matrices, si es posible efectuarla

>> α*A % producto del escalar alfa por la matriz A

>> A^p % eleva la matriz A a la potencia escalar p




MATRICES ESPECIALES EN MATLAB

>> eye(3) % genera la matriz identidad cuadradaans =

1 0 00 1 00 0 1

>> ones(3,2) % matriz 3x2 de unosans =

1 11 11 1

>> zeros(3,2) % llena de ceros

ans =0 00 00 0




Para generar una matriz formada por números aleatorios uniformementedistribuidos entre 0 y 1, se usa: rand(3,2)

Matrices dispersas (huecas)

Cuando se trabaja con matrices con muchos ceros, Matlab las genera con elcomando sparse empleando menos bytes

Sea la matriz

>> A=[0 0 0 3; 0 0 1 2; 3 0 0 1; 0 0 0 2];

>> s=sparse(A) % la convierte a dispersas =

(3,1) 3(2,3) 1(1,4) 3

(2,4) 2(3,4) 1(4,4) 2

se la recupera con full(s)




Se pueden generar directamente matrices dispersas con:

>>sparse(i,j,s,m,n) % Donde i, j son los subíndices de los elementos no nulos, s esun vector con los valores de los no nulos, (m, n) el tamaño de la matriz. Así:

>> i=[1 2 2 3 3 3]; % vector >> j=[4 3 4 1 4 4]; % vector >> s=[3 1 2 3 1 2]s =

3 1 2 3 1 2>> m=4; n=4;>> sparse(i,j,s,m,n)ans =

(3,1) 3

(2,3) 1(1,4) 3(2,4) 2(3,4) 3

>> full(s) se recupera




Para acceder a determinados elementos o partes de una matriz dada A

A(m,n) Da el elemento (m,n) de A (fila m y columna n) A(a:b,c:d) Da la submatriz de A formada por las filas que hay entre la

a-ésima y la b-ésima y por las columnas entre la c-ésima y lad-ésima A(a:p:b,c:q:d) Da la submatriz de A formada por las filas que hay entre la

a-ésima y la b-ésima de p en p,y por las columnas entre lac-ésima y la d-ésima tomándolas de q en q

A([a b],[c d]) Da la submatriz de A formada por la intersección de lasfilas a-ésima y la b-ésima y las columnas c-ésima y la d-ésima

A([a b c...],[e f g...d]) Da la submatriz de A formada por la intersección de lasfilas a,b,c... y las columnas e,f,g...

A(:,c:d) Da la submatriz de A formada por todas las filas de A y

las columnas que hay entre la c-ésima y la d-ésima A(:,[c d e...]) Da la submatriz de A formada por todas las filas de A y

las columnas c,d,e... A(a:b,:) Da la submatriz de A formada por todas las columnas de

A y las filas entre la a-ésima y la b-ésima.




Para acceder a determinados elementos o partes de una matriz dada A

A([a b c...],:) Da la submatriz de A formada por todas las columnas de A y las filas a,b,c...

A(a;: ) Da la fila a-ésima de A A(:;b) Da la columna b-ésima de A A(: ) Da un vector columna cuyos elementos son las columnas

de A en orden una debajo de otra[A,B,C,...] Define la matriz formada por las submatrices A,B,C,...S A

Borra la submatriz de la matriz A,S A

,dando el restodiag(v) Genera una matriz diagonal con el vector v en la diagonaldiag(A) Extrae la diagonal de A como vector columnaeye(m,n) Genera la mxn con unos en la diagonal principal y ceros

en el restozeros(m,n) Genera la nula mxn

ones(mn,n) Genera la mxn de unossize(A) Da el tamaño de A tril(A) Da la parte triangular inferior de A triu(A) Da la parte triangular superior de A




Así, por ejemplo:

>>A=[1 7;3 9;5 0] A =

1 73 90 0

si se genera

>> B=[A eye(3)] % Genera la mxn con unos en la diagonal principal y ceros en elresto

B =1 7 1 0 0

3 9 0 1 05 0 0 0 1

o >> B(1,:)ans =

1 7 1 0 0




Otros ejemplos:

Dadas las matrices A,B,C, hallar:

a)AB –BA

b)A 2+B2+C2

c)ABC d) sqrt(A)+sqrt(B)-sqrt(C)

e) e A (eB+eC)

>>A=[1 1 0;0 1 1;0 0 1];>>B=[i 1-i 2+i;0 –1 3-i;0 0 –i];>>C=[1 1 1;0 sqrt(2)*i –sqrt(2)*i;1 –1 –1];

a) AB-BA

>>A*B-B*A ans =

0 -1.0000 - 1.0000i 2.00000 0 1.0000 - 1.0000i0 0 0




b) A^2+B^2+C^2

>>A^2+B^2+C^2

ans =

2.0000 2.0000 + 3.4142i 3.0000 - 5.4142i0 - 1.4142i - 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 0.5858i0 2.0000 - 1.4142i 2.0000 + 1.4142i




c) A*B*C

>>A*B*C

ans =

5.0000 + 1.0000i - 3.5858 + 1.0000i - 6.4142 + 1.0000i3.0000 - 2.0000i - 3.0000 + 0.5858i - 3.0000 + 3.4142i

0 - 1.0000i 0 + 1.0000i 0 + 1.0000i




d) sqrt(A)+sqrt(B)-sqrt(C)

>>sqrt(A)+sqrt(B)-sqrt(C)

ans =

0.7071 + 0.7071i 1.0987 - 0.4551i 0.4553 + 0.3436i0 0.1591 + 0.1591i 1.9144 + 0.5560i

-1.0000 0 - 1.0000i 1.7071 - 1.7071i




e) expm(A)*(expm(B)+expm(C))

(expm: eleva la cte. e a la potencia matriz)

>> expm(A)*(expm(B)+expm(C))

ans =

14.1906 - 0.0822i 5.4400 + 4.2724i 17.9169 - 9.5842i

4.5854 - 1.4972i 0.6830 + 2.1575i 8.5597 - 7.6573i3.5528 + 0.3560i 0.1008 - 0.7488i 3.2433 - 1.8406i




MANEJO DE LAS OPERACIONES EN SISTEMAS LINEALES

Tomemos como referencia una matriz A >>A=[ 1 2 3;2 5 4;1 -1 10];

>>A([2 3];:)= A([3 2];:)% Intercambio de renglones: por ejemplo entre dos y tres A =1 2 31 -1 102 5 4

R=[A eye(size(A))]% Supongamos la búsqueda de inversa de AR =

1 2 3 1 0 02 5 4 0 1 01 -1 10 0 0 1

>> R(2,:)=R(2,:)-2*R(1,:); R(3,:)=R(3,:)-R(1,:)

R =1 2 3 1 0 00 1 -2 -2 1 00 -3 7 -1 0 1




>> R(1,:)=R(1,:)-2*R(2,:);R(3,:)=R(3,:)+3*R(2,:)R =

1 0 7 5 -2 00 1 -2 -2 1 0

0 0 1 -7 3 1

>> R(1,:)=R(1,:)-7*R(3,:);R(2,:)=R(2,:)+2*R(3,:)R =

1 0 0 54 -23 -7

0 1 0 -16 7 20 0 1 -7 3 1

Si queremos verificar

>>B=[ 54 -23 -7;-16 7 2;-7 3 1];A*Bans =1 0 00 0 10 1 0

Para llevar a forma escalonada un sistema lineal procedemos de misma forma




SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

solve(‘ecuación’,’x’) Resuelve la ecuación en la variable x

syms x,solve(ecu(x),x) Resuelve la ecuación ecu(x) en la variable x

solve(‘ec1,ec2,...,ecn’,’x1,x2,...,xn’) Resuelve las n ecuaciones simultáneasen x1,x2,..., xn

X=A\B (o X=A/B) Resuelve A*X=B (o X*A=B)


l 1



sea el sistema x+y+z=1, 3x+y=3, x-2y-z=0

solve(‘ec1,ec2,...,ecn’,’x1,x2,...,xn’) Resuelve las n ecuaciones simultáneasen x1,x2,...,xn

>> [x,y,z]=solve('x+y+z=1', '3*x+y=3', 'x-2*y-z=0','x','y','z') x = 4/5 y =3/5z =-2/5

idénticamente, se podría escribir:

>> [x,y,z]=solve('x+y+z=1, 3*x+y=3, x-2*y-z=0','x','y','z')

X=A\B (o X=A/B) Resuelve A*X=B (o X*A=B)

>>A\B % o sencillamente

ans = 1.1429-0.42860.2857


REPRESENTACION GRAFICA SOLUCION DE UN SISTEMAS DE



REPRESENTACION GRAFICA SOLUCION DE UN SISTEMAS DEECUACIONES LINEALES

- 3 4 06 3 4 06 9 4 0 1 o 3 4 06 3 4 06 9 4 0 1

>> [x,y] = meshgrid(-4:0.5:5)>> z = 3*y/4;>> surf(x,y,z)


S b l l d l f 1



Se obtiene el plano de la figura 1

-4

-2

0

2

4

6

-5

0

5

-4

-2

0

2

4




>> hold on>> z = (6*x - 3*y)/4;>> surf(x,y,z)

Se obtienen los planos de la figura 2 interceptados en una línea recta

-4

-2

0

24

6

-5

0

5

-10

-5

0

5

10

15




>> z = (-6*x + 9*y)/4;>> surf(x,y,z)

Se obtiene los planos de la figura 3 interceptados en una línea recta

-4

-2

0

24

6

-5

0

5

-20

-10

0

10

20




>> z = 1- x - y;>> surf(x,y,z)

Se obtienen los cuatro planos de la figura 4 interceptados en el punto(4/11. 4/11,3/11) de R 3

-4

-2

0

2

4

6

-5

0

5

-20

-10

0

10

20


C d



Comparando

>>A = [0 3 -4; 6 -3 -4; 6 -9 4; 1 1 1]; B = [0; 0; 0; 1]>>X = A\B

X =0.36360.36360.2727

Uso de la forma escalonadaSea por ejemplo

>> R=[2 4 6 18;4 5 6 24;3 1 -2 4];>> R(1,:)=0.5*R(1,:)

R =1 2 3 94 5 6 243 1 -2 4


>> R(2 ) R(2 ) 4*R(1 ) R(3 ) R(3 ) 3*R(1 )



>> R(2,:)=R(2,:)-4*R(1,:);R(3,:)=R(3,:)-3*R(1,:)R =

1 2 3 90 -3 -6 -12

0 -5 -11 -23

>>R(2,:)=(-1/3)*R(2,:)R =

1 2 3 9

0 1 2 40 -5 -11 -23

>>R(3,:)=R(3,:)+5*R(2,:)R =

1 2 3 90 1 2 40 0 -1 -3

X 3=3;x 2=-2;x 3=4


fun ti n C r d r(n)



function C=creador(n)

% El comando C=creador(n) genera una matriz C nxn,%cuyas entradas alternan entre 1 y 0.

%%Particularmente C(i,j)=1 si i+j es par, sino C(i,j)=0.%%Asi creador(4) generará la matriz%

% 1 0 1 0% 0 1 0 1% 1 0 1 0% 0 1 0 1

C=ones(5,1)*[1:5]C=rem(C+C'+1,2)


C=ones(n 1)*[1 n]



C=ones(n,1) [1:n];C=rem(C+C'+1,2);

>>creador(6)

ans =1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 11 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 11 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1




2 1 DEFINICION



2.1-DEFINICIONTomemos un cuerpo conmutativo K . Llamaremos espacio vectorial sobre el

cuerpo K al objeto formado por un conjunto E , una ley interna en E llamadasuma, denotada por (x,y) x + y , y una ley de composición externa de K . E

en E llamada producto y denotada ( ,x) x . Estas leyes deben cumplir lossiguientes axiomas:

A1) El par (E,+) es un grupo conmutativo.

A2) El producto cumple con las siguientes condiciones:

1.- α(y + x) = αy + αx 2.- (α + β)x = xα + xβ

3.- α(βx) = (αβ) x

4.- 1x = x

Llamaremos escalares a los elementos del cuerpo K y vectores a los elementos de E .


El espacio vectorial Vamos a denotar con al conjunto de las



El espacio vectorial . Vamos a denotar con al conjunto de lasmatrices columna de dos filas. Por ejemplo:

12 y

dos elementos del conjunto .

Consideremos, por lo tanto, el conjunto

y definamos en él las dos

siguientes leyes:

1. + =

2. α = 11


Vamos a demostrar que el conjunto con las leyes así definidas tiene



Vamos a demostrar que el conjunto , con las leyes así definidas, tieneestructura de espacio vectorial. Para eso probemos, en primer lugar, elcumplimiento del axioma A1; por definición, la operación que hemos definido,es una ley interna; es muy fácil probar que es asociativa, conmutativa y que tiene

elemento neutro que es el vector:

θ = 00

y, por otra parte, el opuesto de

es

. Por consiguiente, el

axioma se satisface y podemos decir que ( ,+) es un grupo conmutativo.


La segunda ley satisface el axioma En efecto es una ley de R x en



La segunda ley satisface el axioma . En efecto, es una ley de R x . en que, para todo β,α de R, cumple con:

1. α = α = α

α

α α α α +

α α = α + α

2.

=

=

=

+

= α

+

β

3. - α = α =

=

4. -1

=

11=


Por consiguiente el axioma se satisface y por ende hemos probado que



Por consiguiente, el axioma se satisface y, por ende, hemos probado quela cuaterna (R²,+,R,.) tiene estructura de espacio vectorial.

Muchas veces nos convendrá utilizar al vector como una matriz fila para lo

cual nos bastará utilizar la transposición de matrices que hemos definido.

Algunas veces, por conveniencia, consideramos a como el par ordenado( , ), lo cual es absolutamente lícito; por supuesto que u , porque lasmatrices, aunque tengan los mismos elementos, tienen formas distintas.


En general, para n N, el conjunto R" de las n-uplas ordenadas de números



En general, para n ∈ N, el conjunto R de las n uplas ordenadas de númerosreales es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales (R, +, .) conla suma de n-uplas y el producto de un número real por una n-upla.

En símbolos:

= × × × …× ={( , , … , ) / ∈ , ∀ 1,2, … , }

La suma de n-uplas es una ley de composición interna

: x →

(u, v) → u + v

definida del siguiente modo,

Si u=(

, , … , )

∈

, ( ,, … , )

∈

, se define

u+v = (

, , … , ) ( , , … , ) ( +

,

+

, … , +

)

El producto de un escalar por una n-upla es una ley de composición externa∴ × → ( α , u) → α u


definida como sigue



definida como sigue

Si α R, u= (

, , … , )

∈R, α u = α (

, , … , )

( α

,α

, … ,α

)

Es claro que para n=1, ES un espacio vectorial, es el espacio vectorial delconjunto de los reales sobre el cuerpo de los números reales. Geométricamentelos vectores de este espacio vectorial se representan en la recta real.


2 2- ESPACIO VECTORIAL DE LAS FUNCIONES



2.2- ESPACIO VECTORIAL DE LAS FUNCIONESDenotemos con F(A,R) al conjunto de funciones con dominio en un

conjunto A R no vacío y codominio en el cuerpo conmutativo R. Es decir:

F(A,R) = { f / f : A R}

Vamos a definir las dos leyes que siguen:

i) Una ley interna en F(A,R) llamada suma, denotada mediante

(g, f ) g + f y definida mediante la regla:

(g + f )(x) = g(x) + f (x), x A

ii) Una ley de composición externa de Rx F(A,R) en F(A,R) llamada

producto, denotada (α ,f ) αf y definida mediante la regla:( α f )(x) = α f (x), x A


Vamos a demostrar que la cuaterna (F(A,R),+,R,.) es un espacio vectorial.



( ( ) )Para ello tendremos que probar el cumplimiento de los axiomas y quedefinen la estructura.

Comencemos con el primer axioma, que exige que el par (F(A,R),+) seaun grupo conmutativo. En tal sentido, la suma, que por definición, es una ley interna en F(A,R), es asociativa. En efecto:

( f , g F(A,R))

((f+g)+h)(x) = (f+g)(x) + h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g+h)(x) = (f+(g+h))(x)


Existe un elemento neutro para la suma; dicho elemento es la función e



definida por:

e(x) = 0, x A

En efecto, si f F(A,R), tendremos:

(f + e)(x) = f (x) + e(x) = f (x) + 0 = f (x)

Es fácil probar que la función es también un elemento neutro por laizquierda.

Cada función f F(A,R) tiene un opuesto, que es la función – f F(A,R) definida por:

(−f )(x) = −f (x)

En efecto:

(f + (−f ))(x) = f (x) + (−f )(x) = 0 = e(x)


Resta probar que – f es opuesto por la izquierda, demostración que esll d l l l f



sencilla de realizar. Por último, la suma es conmutativa; en efecto:

(f + g)(x) = f (x) + g(x) = g(x) + f (x) = (g + f )(x)

y, por consiguiente, terminamos de probar que el par (F(A,R),+) es un grupoconmutativo.

Nos resta comprobar el cumplimiento de segundo axioma que define laestructura de espacio vectorial, que se refiere a la ley de composición externa.

Por definición, el producto de un escalar por una función es una ley decomposición externa. Además:

1. ( α (f+g))(x)= α (f+g)(x)= α (f(x)+g(x))=( α f)(x)+( α g)(x)=( α f+ α g)(x)

2. (( α + β )f)(x)=( α + β )f(x)= α f(x)+ β f(x)=( α f)(x)+( β f)(x)=( α f+ β f)(x)

3. ( α ( β f))(x)= α (( β f)(x))= α ( β f(x))=( αβ ) f(x)

4. (1f)(x)=1f(x)=f(x)


Por lo tanto, queda probado que la cuaterna (F(A,R),+,R,.) es un espaciol E l f l l d (A )



vectorial. En este caso, las funciones, que son los elementos de F(A,R),constituyen los vectores de este espacio. Es obvio decir que, si en vez del cuerpoconmutativo R utilizáramos cualquier otro cuerpo K , todas las demostracionesanteriores serían válidas.

2.3-PROPIEDADES EN UN ESPACIO VECTORIAL

Sea un espacio vectorial (E+,K,.); entonces, x E; α, β K se cumplenlas siguientes propiedades:

1. 0x= θ

2. αθ =0

3. α x= θ α =0 ó x= θ

4. (- α )x=-( α x)


2.4-DEFINICION Y CARACTERIZACION DE LOS



2.4 DEFINICION Y CARACTERIZACION DE LOSSUBESPACIOS VECTORIALESDEFINICIÓN: Tomemos un espacio vectorial (E,+,K,.) y un subconjunto

S de E . Decimos que S es un subespacio de E si la cuaterna (S,+,K,.) es unespacio vectorial.

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE: Sea S un subconjunto no vacío de un espacio vectorial E . Para que S sea subespacio de E es necesario y suficiente que:

( α ,β K) u S v S αu + βv S


Las condiciones son necesarias.



S

→V

→ ) , ∈ → ∈ ) ∈ ^ ∈ → ∈

Por hipótesis S es subespacio vectorial de V , entonces por Definición lresulta que S es un espacio vectorial. Por lo tanto

1. la suma es ley de composición interna en S . es decir que se verifica i). 2. el producto por escalares es ley de composición externa en S conescalares en F . por lo tanto se verifica ii).


Las condiciones son suficientes.



Hipótesis ∁ ≠ ∅) , ∈ → ∈ ) ∈ ∈ → ∈

Tesis S → V =

1) ∁ 2) ≠ ∅3) , 4) ∀ ∈ , ∀ ∈ ; ∈ 5)∀ ∈ , ∀ , ∈ ; 6) ∀ , ∈ , ∀ ∈ ; 7) ∀ , ∈ , ∀ ∈ ; 8) ∀ ∈ ; 1


En efecto



1) S ∁ V, por hipótesis

2) S

≠ ∅,por hipótesis

3) (S, +) es grupo abeliano. En efecto

La condición i) nos indica que + es ley de composición interna en S.

+ es asociativa, ya que se verifica por herencia puesto que S∁ . ∃ ∈ ∶ ∀ ∈ ;

En efecto, por hipótesis ii)∝∈ ∈ → ∈ , Entonces para ∝ ∈ se tiene

∈ → .

∀ ∈ ; ∃ ∈ :

Por hipótesis ii)∝ ∈ ∈ →

Luego tomando ∝ 1 ∈ , resulta


(−1) u ∈ ∈



∈ ∈ .+ es conmutativa en S . Se verifica por herencia, pues S ∁ V .

4),5),6),7) y 8) se verifican por herencia, pues S ∁ V .


Ejemplo: Sea el espacio vectorial (F(A,R),+,R,.) ya definido.T l j t P(A R) d l f i d fi id d l i i t



Tomemos el conjunto P(A,R) de las funciones pares, definido de la siguientemanera:

P(A,R) = { f / f F(A,R) y f (x) = f (-x)}

Probar que P(A,R) es un subespacio de F(A,R).

Solución

Debemos demostrar, en este problema, que:

( α ,β R) f P(A,R) g P(A,R) α f + β g P(A,R)

El hecho de que αf + βg P(A,R) implica el cumplimiento de la condición:

( α f + β g)(x) = ( α f + β g)(- x), x A

de acuerdo a la definición de función par. Tomemos entonces dos funciones f y g deP(A,R); las mismas deben cumplir:

f (x) = f (-x) y g(x) = g(-x)


Multiplicando la primera igualdad por α y la segunda por β y luegod b b b



sumando miembro a miembro, obtenemos:

αf (x) + βg(x) = αf (-x) + βg( -x)

o sea:

( αf )(x) + (βg)(x) = (αf )(-x) + (βg)( -x)

y entonces:

( α f + β g)(x) = ( α f + β g)(-x)

Por lo tanto, queda probado que αf + βg P(A,R) y, por consiguiente,

P(A,R) es un subespacio de F(A,R).


Sea el espacio vectorial Son subespacios vectoriales de :



. :Los conjuntos {(0,0)} y .

Toda recta que contiene al origen. Por ejemplo:

El eje OX , que viene representado analíticamente por

S O X { X , Y ∈ R / y =0}

El eje OY, que viene representado analíticamente por T= OY= { , ∈ / x =0}

La primera bisectriz, que esta representada analíticamente por

H= { , ∈ / y =x}


2.4.1-INTERSECCION DE SUBESPACIOS



TEOREMA: Una intersección cualquiera de subespacios de un espacio vectorial E también es un subespacio de E . La suma de subespacios también esun subespacio

La unión de subespacios , en general, no es un subespacio


Sea el espacio vectorial y sean los subespacios vectoriales



, { ( , ) ∈ /y=x} y , ∈ / 0 , Entonces la unión de estos dos subespacios es el conjunto

∪ { ( , ) ∈ / y=x ˅ y=0}

Es claro que,

∪ ∁ , por definición de ∪ ∪ ≠ ∅, pues (0,0)∈ ∪ Pero

∪ no es cerrado para la suma de vectores, ya que

(1,1) ∈ ∪ ^ (1,0) ∈ ∪ sin embargo (1,1)+(1,0) (2,1)∄ ∪

Por lo tanto ∪ no es un subespacio vectorial de


2.5-COMBINACIONES LINEALES



Definición: Sean un espacio vectorial (E,+,K,.) y un subconjunto finito

, , … , de E . Un vector v de E es combinación lineal de los vectores

de A si existen escalares

, , … tales que:

v ⋯

A los escalares

, , … , los llamaremos coeficientes de la combinación

lineal.


2.6- SUBESPACIO GENERADO



Sea , , … , un subconjunto no vacío de un espacio vectorial E .

A partir de ese conjunto podemos formar otro, que denotaremos Gen(A),cuyos elementos sean todas las combinaciones lineales posibles de hacer con los vectores de A. Es decir:

Gen(A) =

{ α=

, i

∈

}


Sea el espacio y el conjunto A={(1,1)}. El subespacio generado por el conjuntoA



A es

A={(x, y)

∈ /(x, y)=a(1,1)}

Es decir todo vector de A tiene la forma

(x, y)= a(1,1) con a ∈

(x, y)=(a, a)

Luego, (x, y) ∈ x=y

es decir A={(x, y)

∈ / y=x}

La representación geométrica de A es la recta de ecuación y=x (es la primerabisectriz). Para generar este subespacio vectorial basta solo un vector el (1,1)

y

xo

(1,1)


Ejemplo Sea el espacio vectorial (F(A,),+,R,.), con A = R−{ 1}. Caracterizarl ub p i Gen(B) i nd B ={ f g} un ub njunt d F(A R) n



el subespacio Gen(B), siendo B ={ f ,g} es un subconjunto de F(A,R), con:

F(x)=

+y g(x)=

−


Solución



Por definición, si y son elementos de R , tendremos:

Gen(B ) = { h

R (A,F) / h = α 1 f + α 2 g}

Por lo tanto:

h(x)=

+ − − + ++ −=

+ +−−

Si hacemos + = α y - = β , entonces podemos decir que:

Gen (B) =

{h F(A,R) / h (x) =

+− , x

∈A,

∀α,β R


2.6.1-CONJUNTOS EQUIVALENTES DE VECTORES



Sean , , … , y , , … , dos conjuntos de vectoresde un espacio

. Se dice que A y B son dos conjuntos de vectores equivalentes

si y sólo si Gen(A) = Gen(B). Esta relación, como es fácil probarlo, es una

relación de equivalencia, es decir, es reflexiva, simétrica y transitiva.

2.6.2-INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL

DEFINICIÓN Sea un conjunto finito , , … , de un espacio(E,+,K,.) Decimos que A es linealmente independiente si y sólo si:

α α ⋯ α θ → α α ⋯ α 0

DEFINICIÓN Si un conjunto finito , , … , de un espacio vectorial (E,+,K,.) no es linealmente independiente, se dice que es linealmente

dependiente.


Ejemplo: En el espacio tomemos el conjunto



A=

20 ,

01 ,

12

Determinar si A es linealmente independiente.

Solución

De manera similar a la utilizada en el ejemplo anterior, tendremos:

α 20

+ α 01

+ α 12

00


y, por lo tanto:



2α α 0

3α 2α 0

Resolviendo el sistema, obtenemos:

α=

α y

α=( − )

α

Quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones, una para cada valorque le asignemos a α 3 y todas ellas satisfacen la condición exigida. El conjuntoA, por consiguiente, es linealmente dependiente.


2.6.3-PROPIEDADES DE LA INDEPENDENCIAY DEPENDENCIA LINEAL



LINEAL

1. Sea A un conjunto unitario. Solo si el único elemento de A es el vectornulo, entonces A es un conjunto linealmente independiente. Por el contrario, siel único elemento de A es el vector nulo, entonces A es linealmentedependiente.

2. Un conjunto cualquiera que contenga al vector nulo es linealmentedependiente.

3. Un conjunto A no vacío y finito de vectores de un espacio vectorial E eslinealmente dependiente si y sólo si algún vector de A es combinación lineal delos demás.

4. Un conjunto , , … , es linealmente independiente si y sólosi todo vector v del subespacio Gen(A) generado por los vectores de A se puedeexpresar mediante una única combinación lineal de los vectores de A.


DEFINICIÓN: Un espacio vectorial (E,+,K,.) se dice que es finito si estágenerado por un conjunto finito de vectores Si E es un espacio vectorial finito



generado por un conjunto finito de vectores. Si E es un espacio vectorial finito,decimos que un conjunto , , … , es una base de E si A genera a E y, además, es linealmente independiente.

TEOREMA: Todo conjunto generador de un espacio vectorial de tipofinito E ≠ Φ incluye una base de E . Por lo tanto, todo espacio vectorial E ≠ Φ tiene base.

2.7-CARDINAL DE LAS BASES DE UN ESPACIO VECTORIAL

TEOREMA: Si

,

, … , es una base de un espacio E, entonces,

para todo conjunto linealmente independiente B de E se cumple que card B ≤

n .

TEOREMA: En un espacio vectorial de dimensión finita, todas las basestienen el mismo cardinal.


2.8-DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL



Si un espacio vectorial E tiene una base de n elementos, el número naturaln se llama dimensión de E . Dicho de otro modo, llamamos dimensión de unespacio al cardinal de cada una de sus bases. En tal caso escribiremos que n = dim E.

2.8.1- CCOORDENADAS DE UN VECTOR

TEOREMA: Sea , , … , una base de un espacio vectorial E.Para cada v de E , existe un único conjunto de escalares , , … , tales que:

⋯

Un cambio en el orden de los vectores v 1,…, vn da por resultado un cambiocorrespondiente en el orden de los coeficientes del vector v: Esta situaciónjustifica la definición de base ordenada: una base ordenada B = (v 1,…, vn) de un K espacio vectorial de E. es un sistema de vectores libre, generador y ordenado


El sistema { (1, 0, … , 0); … ; (0,… , 0, 1) } de vectores de K n que hemos vistoque es un sistema generador de Kn también es libre puesto que si (α α ) ε Kn



que es un sistema generador de K n también es libre, puesto que si (α1;…; αn) ε K n es tal que α 1 (1, 0,…, 0) + …+ α n(0,… , 0, 1) = (0,…, 0); tendremos que (α 1;…, αn)=(0,…, 0); Por consiguiente, Bn = ((1, 0,…, 0); … ; (0,… , 0, 1)) es una base

ordenada de K n

: A esta base se la conoce con el nombre de base canónica de K n

y se la denota como Bn: Como caso particular, resulta que B1 = (1) es una basedel K espacio vectorial de K


Definición: Sea E un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpoK. Si una base de E, entonces para cada vector v de E



K. Si , , … , una base de E , entonces para cada vector v de E existen escalares , , … , únicos, tales que ⋯ .Decimos que los escalares

, , … , son las coordenadas del vector v en la

base A y, en tal caso, el vector

=

α.

..α

es el vector de coordenadas de v en la base A. A la función v lallamaremos función de coordenadas.


TEOREMA: Sea , , … , una base del espacio vectorial E . Lafunción v cumple con las propiedades:



, , ,función v cumple con las propiedades:

i )

) y, además, es biyectiva.

Ejemplo: Obtener una base del subespacio S de

, siendo:

S=

ε / 0


SoluciónSi

S entonces y por lo tanto:



Si S entonces y, por lo tanto:

=

= 00 + 00 + 00= 1100 + 1010 + 1001

O sea que, una cuaterna de S se obtuvo mediante una combinación lineal

de las cuaternas del conjunto:

A=

1100 ,

1010 ,

1001

lo que quiere decir que A genera al subespacio S . ¿Es A un conjunto linealmenteindependiente? Se puede comprobar fácilmente que lo es. Por lo tanto, hemoshallado en A una base del subespacio S .


Ejemplo: Dado el conjunto



A=

123 , 246, 011de R3 . i) Encontrar el subespacio Gen(A). ii) Hallar una base para Gen(A).

Solución

Como siempre, planteemos, en primer lugar, la combinación lineal: ( , , , K)

xxx = α 123 + α 246 + α 011


De la misma surge:



213

2

4 6

Resolviendo el sistema, obtenemos que = 5+ . Por lo tanto:

G en (A)= ε / = 5 +


ii) Como es obvio, ya sabemos que A genera al subespacio Gen(A) . Resta,por consiguiente, probar que A es linealmente independiente. Es fácil



p g , p q pdemostrar que no lo es y , por lo tanto no es base de Gen(A) . Pero si lequitamos vectores a un conjunto linealmente dependiente hasta lograr unconjunto linealmente independiente, no le quitamos la propiedad

generadora del mismo subespacio Gen(A) , y, de tal forma, podemos obteneruna base a expensas del conjunto original. Por lo tanto, sacándole a alconjunto A, por ejemplo, al vector 1 2 3 , podemos probar fácilmenteque el conjunto resultante:

A’= 246 , 011

es linealmente independiente y, por lo tanto, se constituye en una base deGen(A). Por consiguiente, dim Gen(A) = 2 .


En esta situación las siguientes expresiones son equivalentes



A es un generador de V

El espacio vectorial V es generado por el conjunto A

A genera a V


2.9-PRODUCTO INTERIOR



DefiniciónSea V espacio vectorial real y sea la función . que a cada par ordenado de

vectores de V le hace corresponder un único escalar real, esto es

•: V × V →R

(u. v) → u • v La función • es un producto interior si y sólo si se verifican los siguientes

axiomas:

Ax.1.

∀ , ∈ ; • • Ax.2. ∀ , , ∈ ; • • •

Ax.3. ∀ ∈ , ∀ , ∈ ; • ( • )

Ax.4. ∀ ∈ ; • ≥ 0 ^

• 0 ↔ 0 Definición

Se llamará espacio euclideo a todo espacio vectorial real de dimensiónfinita dotado de un producto interior.


En el espacio vectorial real (n ∈ ), es un producto interior la función



•: × →R definida por

(, ,…, )•(, ,…, )= ⋯ = =

Luego es un espacio vectorial euclídeo

Cualquier sea n

∈ ,el producto interior definido precedentemente se

suele denominar Producto escalar o Producto punto.


2.9.1-PROPIEDADES DEL PRODUCTO INTERNO



Sea V un espacio vectorial euclídeo. Entonces:

∀ ∈ , ∀ , ∈ ; • ( • )


∀ ∈ ; • • =0


∀ , ∈ ; • ≤ • •


Sea v un espacio vectorial euclídeo, y sea la función (doble barra)



: →

u

→

La función es una norma si y solo si verifica los siguientes axiomas:

Ax.1. ∀ ∈ ; ≥ 0

=0↔u0

Ax.2. ∀ ∈ , ∀ ∈ ;

Ax.3.

∀ , ∈ ; ≤


2.10- ESPACIO VECTORIAL NORMADO



Un espacio vectorial normado es un espacio vectorial en el que seencuentra definida una norma .

Todo espacio vectorial euclídeo es un espacio vectorial normado, ya quela norma es inducida por el producto interior definido en V como veremosahora.

2.10.1-NORMA INDUCIDA POR UNA PRODUCTO INTERIOR

Proposición

Sea V un espacio vectorial euclideo, la función definida por

: →

u → = •

es una norma.




A plicacionesen MATLAB

Elementos de Algebra Lineal

Sea n los vectores x,z realizar la combinación lineal – x+z.



>> x=[-0.5 0 .5]>> z=[0.4 -0.81 0.4]

>> w = lincomb({1,-1},{x,z})

w =-0.9000 0.8100 0.1000

Dadas las matrices A1=(2 4 3 ;0 3 2;0 1 4) y A2=[2 1 1 ;0 3 2;0 0 4], realizar lacombinación lineal 1.A1-2.A2, usando lincomb( las matrices ingresar comoceldas) se tiene.

>>A1=[2 4 3 ;0 3 2;0 1 4];A2= [2 1 1 ;0 3 2;0 0 4];A= A={A1 A2};c= {1,-2};lincomb(c,A)

ans =-2 2 10 -3 -20 1 -4


Estudiar si los vectores u=(2,0,0)t; v=(1,3,0)t y w=(1,2,4)t presentandependencia o independencia lineal



p p

El archivo dependence determina si un conjunto de vectores columnas es

linealmente independiente o dependiente

>> A=[2 1 1 ;0 3 2;0 0 4] A =

2 1 10 3 20 0 4

>> [d]=Dependence(A)

Los vectores son linealmente independientes


Los conjuntos de vectores



G1={(-1,1,0),(-1,0,1)} y G2={(-1,1,0),(-1,0,1),(-2,1,1)}

Serán generadores de W?Si formamos las ecuaciones para la definición de W

x[-1 1 0]+y[-1 0 1]=[0 0 0], o sea-x-y=0;x=0;y=0

Con

>>[x,y,z]=solve('-x-y=0', 'x=0', 'y=0','x','y')x=0,y=0

para G2

x[-1 1 0]+y[-1 0 1]+z[-2 1 1]=[0 0 0]-x-y-2z=0;x+z=;y+z=0

>>[x,y,z]=solve(-x-y-2z=0;x+z=;y+z=0,’x’,’y’,’z’)

es linealmente dependiente


Sea W={(x,y,z)/x+y+z=0}



Al ser dos sistemas de generadores, cualquier vector del subespacio se podráexpresar como combinación lineal de cada uno de los vectores del conjunto.

Por ejemplo el vector (3,0,-3) .podrá ser expresado como combinación deG1?

x[-1 1 0]+y[-1 0 1]=[3 0 -3]

entoncesx[-1 1 0]+y[-1 0 1]=[3 0 -3] que nos da

-x-y=3;x=0;y=-3

Pruebe para G2; observe el resultado y se tendrá

-x-y-2z=3;x+z=0;y+z=-3


-Sea el espacio generado por la matrices A = pascal(4);B = rand(4), estudiarsi el vector v = ones(4) está en tal espacio, usando archivo span( verifica si un



vector determinado está en el espacio generado por un conjunto de vectores)

>>v = ones(4); A = pascal(4); B = rand(4); span(v, A, B)

vector dado no está en el espacio.


Otra manera>> clear, syms x y



>> eq1='0.5=(200+3*x+4*y)^2/(20+2*x+3*y)^2/x'>> eq2='10=(20+2*x+3*y)*y/x'

>> [x y]=solve(eq1,eq2,x,y)

Ejercicios de base

- Calcular una base del subespacio engendrado por los vectores de

R 4, {v 1; v 2; v 3; v 4; v 5},donde

v1 = (1; 3; 2; 1), v2 = (1; 1; 1; 1), v3 = (0; 2; 1; 0), v4 = (2; 4; 3; 1), v5 = (1; 1; 1;2).

Usamos el base.m

>> A=[1 3 2 1 ; 1 1 1 1 ; 0 2 1 0; 2 4 3 1 ; 1 1 1 2];>> base


Matriz cuyas filas son los vectores del sistema:



A

3

La base del subespacio son las columnas de la matriz

1 0 0

0 1 01/2 1/2 0

conocidos los generadores de dos subespacios V1 y V2 nos devuelva ladimensión y una base del subespacio suma.

V1 ={ (1; 2; 5; 3; 2); (3; 1; 5; ¡6; 6); (1; 1; 3; 2; 0) }

V2 ={ (2; 1; 4; ¡3; 4); (3; 1; 3;-¡2; 2); (9; 2; 3; -1;-¡2)}


Dados dos subespacios vectoriales V1 y V2 sabemos que la unión de dossistemas generadores de ambos nos proporciona un sistema generador del



subespacio suma V1 + V2.

Usar el archivo suma.m

>> suma

Matriz cuyas filas engendran V1, A1= [1 2 5 3 2;3 1 5 -6 6;1 1 3 2 0];Matriz cuyas filas engendran V2, A2= [2 1 4 -3 4;3 1 3 -2 2;9 2 3 -1 -2];

La dimensión es

4


La base del subespacio son las columnas de la matriz B



1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

-1 3 0 -1


Expresar el vector a de R 3 respecto de la base { v 1,v 2,v 3} si respecto de la base{u1,u2,u3} tiene la siguiente expresión a =2u1 +3u2 − 2u3, y los vectores v j están



definidos por:

v 1 = u1 +3u2 −

u3, v 2 = u1 −

u2 −

u3, v 3 = u2 −

u3a =[u1 u2 u3]X, siendo XT==(2, 3,−2),[ v 1 v 2 v 3]=[u1 u2 u3] P, siendo P=[1 1 0;3 -1 1;-1 -1 1-]

Es decir [v 1 v 2 v 3]=[u1 u2 u3] P, siendo P-1 regular

Reemplazando :a =[v 1 v 2 v 3] P−1 X =[v 1 v 2 v 3] X-

>> p = [1 1 0;3 -1 1;-1 -1 -1];>> x = [2 3 -2]';>> xb = inv(p)*x

xb =1.25000.7500

0


Ejemplo: 24



Demostrar que el vector b=4

34 se encuentra en el subespacio generado

por los vectores

2014

y

2102

Si b esta en el subespacio generado por los dos vectores dados entonces b esuna combinación lineal de tales vectores, es decir, existen escalares

y

tales

que

2014 2102 2434


Lo que es equivalente a resolver la ecuación matricial



2 20 11 04 2

2434

Mediante MATLAB sean

A 2 2; 0 1; 1 0; 4 2 2; 4; 3; 4

y c , . Usando el comando U=ref(C) obtenemos la forma escalonadareducida de la matriz C.


U=

1 0 3



0 3

0 1 -4

0 0 0

0 0 0

Lo que indica que la ecuación matricial es consistente y tiene solución

única 3 y 4. Por lo tanto el valor b 2434 se encuentra en el

subespacio generado por los valores 201 y 210


Sea a1=[1 -2 3]t , a2=[5 -13 -3]t y b=[-3 8-1], estará b en el plano generadopor a1 y a2? Desde la geometría Gen[a1,a2] es un plano que pasa por el origen

R3 d l l d b d l



en R3, entonces estudiamos la solución de x1a1+ x2a2 =b, generando la matrizampliada [a1 a2 b].

Con Matlab>> A=[1 5 -3;-2 13 8;3 -3 1];

>> rrefstep(A)

Llegamos a

Upper Triangular Form STEP-BY-STEP <><><><>

The current matrix is:

1 5 -3

0 -3 2

0 0 -2

Elimination complete in column 2.

De este resultado vemos que 0x 2=-2, sistema sin solución, entonces b noestá en Gen[a1,a2]




Es tal vez el tema fundamental en el Álgebra Lineal porque puedenutilizarse para introducir, asociar y explicar prácticamente todos los

temas del Álgebra Lineal. Sus propiedades, bien utilizadas, abrevian eltrabajo en las demostraciones.


3.1- DEFINICION

S E F d i t i l b l i K S ll



Sean E y F dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K . Se llamaaplicación lineal a toda función f de E en F que cumple con las siguientescondiciones:

(x, y E; α K )

i) f (x + y ) = f (x ) +f ( y )

ii) f (α x ) α f (x )

Las aplicaciones lineales también se llaman homomorfismos, y, como surgede la definición, estas funciones asocian dos espacios vectoriales E y F transformando una suma de elementos de E en una suma de sus imágenes en F y el producto de un escalar por un elemento de E en el producto del escalar porla imagen de dicho elemento en F .


3.2-CONDICION NECESARIA Y SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE UNA APLICACIÓN LINEAL



Sean dos espacios vectoriales E y F sobre el mismo cuerpo K . Una función

f de E en F es una aplicación lineal si y sólo si se cumple que:

( α,β K; x,y E)

f (α x + β y ) = αf ( x ) + βf ( y )

Ejemplo: Sea el espacio (R 2 ,+,R,.). Demostrar que la función f en R 2

definida por

f es una aplicación lineal en R 2 .


Solución

La condición necesaria y suficiente, traducida a la situación dada en elj l di



ejemplo, dice:

Desarrollando el primer miembro, y siempre teniendo presente la regla de

definición de f , tendremos:


Haciendo lo mismo con el segundo miembro de la igualdad:



Ambos miembros, como se ve, coinciden. Por lo tanto, f es una aplicaciónlineal.


3.3-PROPIEDADES DE LAS APLICACIONES LINEALES

Si f es una aplicación lineal de E en F entonces:



Si f es una aplicación lineal de E en F , entonces:

1. La imagen del vector nulo de E es el vector nulo de F .2. La imagen del opuesto de cualquier vector de E es igual al opuesto de su

imagen.

Si E y E’ son espacios vectoriales sobre el mismo K y f : E→ E’ es lineal,entonces se verifica que

1. f (0) = 0;

∀ u ε

E,f(u )=-f(u )

Vemos que ∀ε E ; f (0) = f (0 . u) = 0 . f (u) = 0:


Por otra parte

f( ) + f( ) = f( + ( )) = f( ) = ;



f (u) + f (-u) = f (u + (-u)) = f (0) = 0;

por lo que podemos concluir que f(-u) es el opuesto de f(u) o, lo que es lomismo, que f(-u) = -f(u); puesto que (E’ ; +) es un grupo.

Si E es un espacio vectorial sobre K y u 0 un vector fijo no nulo en E , latransformación

∀ ε E ,f(u) = u + u 0 (la traslación por el vector u 0 ) no es

lineal, ya que f(0) = u 0 ≠ 0 .

El siguiente resultado nos permite asegurar que la función suma de dosfunciones lineales es una función lineal y que, si multiplicamos una funciónlineal por un escalar, la función así obtenida es también una función lineal.


3.4-NUCLEO DE UNA APLICACION LINEAL

DEFINICIÓN: Sea f una aplicación lineal de E en F. Se llama núcleo de f



DEFINICIÓN: Sea f una aplicación lineal de E en F . Se llama núcleo de f y se denota N(f ),al subconjunto de E formado por todos los vectores que tienencomo imagen al vector nulo de F . O sea:

N(f ) = { x E / f ( x ) = 0 }

3.5- IMAGEN DE UNA APLICACION LINEAL

DEFINICIÓN: Sea f una aplicación lineal de E en F . El conjunto imagende f , al que denotaremos I (f ), es el subconjunto de F formado por todos loselementos que son imagen de algún elemento de E . O sea:

I(f ) = {y F / x E y = f ( x )}


Sean E y E’ espacios vectoriales sobre K ,f : E → E’ una función lineal.

Entonces a la dimensión del imagen de f se denomina rango de f y a la



Entonces a la dimensión del imagen de f se denomina rango de f y a ladimensión del núcleo de f se denomina nulidad de f

Sean E y E’ espacios vectoriales sobre K .Entonces, el núcleo de la funciónidentidad Id : E → E es el subespacio {0} y su imagen es el espacio E ; el núcleode la función cero f : E → E’ es el espacio E y su imagen es el subespacio {0}


3.5.1-RELACION ENTRE LAS DIMENSIONES DEL NUCLEO EIMAGEN



Sean E y

E’ espacios vectoriales sobre K f :

E→

E’ una función lineal. Se

verifica que

1. f es inyectiva ↔ Ker(f) = {0};

2. f es sobreyectiva ↔, Im(f) = E’ En el sentido →puesto que f es lineal, f(0) = 0 y en consecuencia:

0 ε Ker(f) o, lo que es lo mismo, {0} está en Ker(f): Por otra parte si u ε Ees tal que u ε Ker ( f ); resulta que f(u) = 0 y f(0) = 0; y, puesto que por hipótesis f es inyectiva, concluimos que u = 0; con lo que Ker(f) está en el conjunto {0}:

En definitiva, Ker(f) = {0}


En el sentido ← Supongamos que Ker(f) ={0} y que u, v ε E son tales quef(u) = f(v). En ese caso f(u) + (-f(v)) = 0 y, puesto que f es lineal,



f(u) + (-f(v)) = f(u) + f (-v) = f(u + (-v)):

En consecuencia f(u + (-v)) = 0; o lo que es lo mismo, u + (-v) ε

Ker(f) = {0}; es decir, u + (-v) = 0; de donde u = v.

2. Por definición, f es sobreyectiva si y sólo si Im(f) =

E’:


Comprobar que si f : E → E’ es un isomorfismo, entonces (,…, ) en E es libre si y sólo si {(),…,()} es libre.



Ejemplo Las funciones IC :K n → Mnx1(K)

(;...; ) → …

e

IF : K n→ M1xn(K )

( … ) →(; …; )

son isomorfismos. A IC le denominaremos isomorfismo columna y a IFisomorfismo fila.


3.6-OPERACIONES CON APLICACIONES LINEALES

Conjunto de las aplicaciones lineales:



Conjunto de las aplicaciones lineales:

Sean E y F dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K. Vamos a

denotar con L(E,K) al conjunto de todas las aplicaciones lineales que tienen a E y F como dominio y codominio, respectivamente. De otra forma:

L(E,K) ={ f / f es una aplicación lineal de E en F}


Nuestro objetivo es dotar a L(E,K) de una estructura de espacio vectorial;para ello definiremos, en primer lugar, la suma de aplicaciones lineales y luegoel producto de escalares por dichas aplicaciones



el producto de escalares por dichas aplicaciones.

Suma de aplicaciones lineales:

DEFINICIÓN: Sean f y g dos elementos de L(E,K). Llamaremos suma de f

y g (f ,g) f + g a la ley definida por:

(f + g)(x) = f (x) + g (x), x E

PROPIEDAD: La suma de dos aplicaciones lineales es una aplicaciónlineal.


Producto de escalares por aplicaciones lineales:

DEFINICIÓN S f l d K L(E K) i



DEFINICIÓN: Sean µ y f elementos de K y L(E,K) respectivamente.Llamaremos producto de escalares por aplicaciones lineales a la ley (µ,f ) µf

definida por:

(µf )(x) = µf (x), x E

PROPIEDAD: El producto de un escalar por una aplicación lineal es unaaplicación lineal.


3.7-EL ESPACIO VECTORIAL DE LAS APLICACIONESLINEALES



El par (L(E,K),+) es un grupo conmutativo La suma es una ley interna en

L(E,K), tal como lo hemos probado. Además es asociativa y conmutativa, porserlo la suma en F ; tiene elemento neutro, que es la aplicación lineal nula e(x)

= 0 y, por último, toda f de L(E,K) admite un opuesto -f definido por(f )(x) = f (x). Por lo tanto, el par (L(E,K),+) es un grupoconmutativo.


Ley de composición externa Por definición, el producto de escalares poraplicaciones lineales es una ley de composición externa, tal como lo hemosprobado. Se puede demostrar, sin dificultad, que:



probado. Se puede demostrar, sin dificultad, que:

(f,g L(E ,F);α,β K)

1. (α + β)f = αf + βf 2. α(f + g) = αf + αg

3.

α(βf ) =

(αβ)f

4. 1f = f

La cuaterna (L(E,K),+,K,.) es un espacio vectorial De las dos secciones

anteriores podemos afirmar que la cuaterna (L(E,K),+,K,.) es un espacio vectorial. En dicho espacio, los vectores son las aplicaciones lineales.


3.8- COMPOSICION DE APLICACIONES LINEALES

Es evidente que, como toda función, una aplicación lineal se puede



q , , p pcomponer con otra, bajo las condiciones adecuadas, que por otra parte, sonconocidas. Pero, el resultado de componer dos aplicaciones lineales, ¿es unaaplicación lineal?. Es fácil probar que la respuesta a esta pregunta es afirmativa.En efecto, sean f L(E,G) y g L(G,F). Vamos a probar que la composiciónde g con f, definida por:

(g o f )(x) = g(f (x))

es una aplicación lineal.


Teniendo en cuenta la condición necesaria y suficiente para la existencia deuna aplicación lineal, tendremos que probar que:



(x,y E;

α,β K)

(g o f )(αx + βy) = α(g o f )(x) + β(g o f )(y)

Veamos:

(g o f )(αxβy) = g(f (αxβy)) = g(αf (x)βf (y))

= αg (f (x))βg (f (y)) = α(g o f )(x)β(g o f )(y)

lo que prueba que si f L(E,G) y g L(G,F), entonces g o f L(E,F).


3.9- TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS APLICACIONES LINEALES



TEOREMA: Sean E y F dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.

Sea A = {, , … , } una base de E. Tomemos el conjuntoB = {, , … , } incluido en F. Existe una única aplicación lineal f de E

en F que cumple que:

f (

) =

, f (

) =

,..., f (

) =

Nota: en las secciones siguientes de la unidad se denotan losvectores8 en negrita) con el supraíndice →


a-Existencia

Cada se escribe como combinación lineal de la base ∝ ⋯



Como f es lineal

() ∝ ()+

⋯+

∝ () y considerando que

buscamos (),∀ 1 , … , ,

Se tendrá:

()∝ +

⋯+

∝

b-Unicidad

Supongamos existe otra aplicación : → /() , ∀ 1 , … ,

Entonces de

, c/

,

∝

⋯

() ∝ ()+⋯+∝ () ∝ ()+⋯+∝ () = ∝ ⋯ () De donde


3.9.1-VECTOR DE COORDENADAS

Sea E espacio vectorial, ,…, base ordenada de E, si , se∝



define el vector de coordenadas de

respecto de B como:

[] ∝

…∝siempre

que se cumpla ∝ ⋯

O sea, el vector de coordenadas de es la n-ada que se forma con loscoeficientes de los vectores de la base, al escribir a

como combinación lineal

de éstas.


Si ahora tenemos ,…, y ,…, bases de E y F ,respectivamente, con : → lineal, para cada se puede calcular el vectorde coordenadas de f ( ) respecto a la base C, formándose una matriz con estos



f( ) p , vectores coordenadas como columnas, es decir:

⋯ , ∀ 1 , . . ,

…

…

…


3.9.2-ASOCIACION ENTRE MATRICES Y APLICACIONESLINEALES

L l l l l d d



La relación que existe entre matrices y aplicaciones lineales, evidenciada enla sección anterior, tiene mucha importancia y merece que la formalicemos con

mayor rigor.


Denotemos con M m,n (K) al conjunto de matrices de m filas y n columnas,cuyos elementos pertenecen al cuerpo K. Elegida la base A de E y B de F,espacios vectoriales de dimensión n y m respectivamente, existe, en relación con



dichas bases, una única función biyectiva f M(f ) de L (E,F ) en M m,n (K ) y además, por ser M una función biyectiva (como es fácil probarlo), existe tambiénuna única función M(f ) f de M m,n (K) en L(E,F). Esta relación biunívocaentre aplicaciones y matrices nos permitirá analizar a éstas utilizando conceptos ya estudiados para aplicaciones lineales, en beneficio de una economía en lasdemostraciones.

Ejemplo: Dada la aplicación lineal f de R 3 en R 2 definida por

Encontrar la matriz asociada a f, M(f ), respecto de las bases

111 , 110 , 100 y 20 , 01

de R 3 y R2 respectivamente.


Solución

Obtenemos las imágenes de las vectores de la base A y las expresamos comocombinación lineal de los vectores de la base B:



111 20 1 20 0 01

110 21 1 20 1 01

1 1 1 / 20 1 0

Como las coordenadas de las imágenes de los vectores de A son la primera,segunda y tercer columna de la matriz M(f ), respectivamente, se tiene:


3.10-SUMA DE MATRICES

DEFINICIÓN: La suma de matrices es una función que asocia a todo par



[a ij ] y [b ij ] de M m,n (K ), otra matriz [a ij ] + [b ij ] del mismo conjunto, y que estádefinida como sigue:

[a ij ] + [b ij ] = [a ij + b ij ]

3.11-MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

DEFINICIÓN: El producto de un escalar α por una matriz [a ij ] delconjunto M m,n ( K ) es otra matriz de M m,n (K ) que se obtiene mediante lasiguiente regla:

α[a ij ] = [αa ij ]


3.12-ISOMORFISMO ENTRE APLICACIONES LINEALES Y MATRICES



Lo analizado en las dos últimas secciones nos permite sacar una conclusión

muy importante.En efecto, la función f M (f ) de L(E,F) en M m,n (K) cumple con las

propiedades:

M(f +g) = M(f ) + M(g) M( α f ) = α M(f )

y, por consiguiente, M es una aplicación lineal; las operaciones de adición y multiplicación por escalares se conservan a través de esa correspondencia.


3.13-ESPACIO VECTORIAL DE LAS MATRICES

El hecho de que la función f M(f ) de L(E,F) en M m,n (K) conserva la



( ) ( ) m,n ( )suma y el producto por escalares, nos permite considerar a los conjuntos L(E,F)

y M m,n (K) "como si fueran iguales". O sea que, como a través del isomorfismose conserva la estructura, entonces podemos asegurar que también la cuaterna(M m,n (K),+,K,.) tiene estructura de espacio vectorial.

En dicho espacio los vectores son las matrices de m filas y n columnas.


3.14-PRODUCTO ENTRE MATRICES

DEFINICIÓN: Al par de matrices [b ik ] de M m,p (K) y [a kj ] de M p,n (K) [ ] d ( ) ll d d d l d



asociamos otra matriz [c ij ] de M m,n (K) llamada producto de las dos primeras, y definida como sigue:

[cij] = [bik ] [akj] = bik akj K=1

p


Sean las aplicaciones t, u sobre los espacios V,W,Z

: →



: →

En términos de la composición se podrá escribir

: →

Definida como

()() , ∀, al ser u y t lineales lo será ut

Ahora si , , ( ,), con B,C,D bases ordenadas de V,W, Zrespectivamente

.

,…, , ,…, , ,…,


Entonces

⋯ , ∀ 1 , . . ,



, ∀ 1 , . . ,

⋯ , ∀ 1 , . . ,

∴ ∀ 1 , . .

⋯ () ⋯ ()

( ⋯ ) ⋯ ( ⋯ )

( ⋯ ) ⋯ ( ⋯ ))

Elementos de Algebra Lineal 2011 157

Utilizando sumatorias

( = )+…( = ), quedando la matriz



asociada como

= ⋯

= ⋮ ⋱ ⋮ = ⋯ =

⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯

(pxm) (mxn)


3.15-ALGUNAS MATRICES ESPECIALES

Matriz identidad Sea la aplicación lineal en E definida por i ( x) = x

(Recuérdese de que se trata de la homotecia de razón 1)



(Recuérdese de que se trata de la homotecia de razón 1).

Si A = {v1,v2,...,vn} es cualquier base de E, entonces la matriz asociada a i es:

1 0 … 0

0 1 … 0… … … …0 0 … 1

A esta matriz, asociada a la aplicación lineal identidad, se la denominamatriz identidad, a la cual denotaremos In , donde n es el número de filas ocolumnas que dicha matriz posee. En particular, para todo número natural n

>1 , vamos a denotar Mn (K) al conjunto de las matrices cuadradas de n filas y n columnas.


Es fácil probar que, cualquiera sea M M n (K ), se verifica que:

MI n = I n M = M



o sea que la matriz I n es el elemento neutro para el producto de matrices

pertenecientes a M n (K).Muchos autores utilizan el conocido "símbolo de Kronecker" o "delta de

Kronecker".

Recibe este nombre todo elemento

δ ji del cuerpo K, con 1 < i,

j < n que cumple con la condición:

i = j δ ji =1

i

≠j

δ ji = 0

Utilizando este símbolo, la matriz identidad I n se denota directamente [ δ ji ].


Matriz escalar Una matriz de M n (K) se llama escalar si se la puede escribirde la forma α I n , donde α es un escalar cualquiera. De otra manera, una matriz esescalar si tiene la forma:



0 … 00 … 0… … … …0 0 …

Es fácil probar que, si dim E = n , entonces la matriz escalar está asociada ala homotecia de razón α, o sea a la aplicación lineal f en E definida por la regla f ( x ) = α x, para todo x de E .

Es importante llamar la atención sobre un detalle que seguramente ha

pasado inadvertido: cuando hablamos de la matriz asociada a una homotecia,no hemos fijado una base para E. En realidad, la matriz asociada a unahomotecia (que es un endomorfismo) es independiente de la base elegida y, másaún, las homotecias son los únicos endomorfismos que tienen esa propiedad.


Matriz diagonal Una matriz perteneciente a M n (K ) se llama diagonal sitodos sus elementos que no se encuentran sobre la diagonal principal son nulos,es decir, si i ≠ j , entonces a ij = 0. Por consiguiente, dicha matriz tiene la forma:



0 … 00 … 0… … … …0 0 …

donde algunos de los elementos de la diagonal principal pueden ser nulos.

Quiere decir que la matriz escalar también es una matriz diagonal.


Matriz triangular Una matriz cuadrada [a ij ] se llama triangular si tiene nulostodos los elementos debajo de la diagonal principal, es decir, si a ij = 0 siempreque i > j. Por lo tanto, la matriz triangular tiene la forma:



… 0 … … … … …0 0 …

3.16- TRASPUESTA DE UNA MATRIZSea una matriz M = [a ij ] de M m,n (K). Se llama traspuesta de M a la matriz

M T de M m,n (K) obtenida a partir de M cambiando filas por columnas. Es decirque, si M = [a ij ] , con m 1 < i < m y 1 < j < n, entonces M T = [b ji ] , con b ji =a ij .


3.17-MATRIZ INVERSIBLE

Se dice que una matriz M de M n (K) es inversible si existe una matriz M1

tal que



tal que:

MM − 1 = M − 1 M = I n

3.18-CAMBIO DE BASE

La matriz A de M n (K), cuyas columnas son las coordinas de los vectores dela base A en la base B , o sea:

…

…

… … … … …

se llama matriz de paso o matriz de transición de la base A a la base B .


TEOREMA Sea un espacio vectorial E y sean A y B dos bases de dichoespacio. Si P es la matriz de paso de A a B , entonces, para todo v de E , secumple que:



[v] B = P[v] A

Ejemplo: Sea el espacio R 3 y elijamos para dicho espacio las bases:

100 , 010 , 001 y 102 , 310 , 012

Si x = [x 1 x 2 x 3 ]T es un vector de R 3 , exprese x en términos de los

vectores de la base B.


Solución

Estudiando el problema, surge inmediatamente que la matriz de paso de B a A, es:



1 3 00 1 12 0 2

Antes de seguir, el alumno debería investigar el porqué de la afirmación

anterior. Una vez hecho esto, hagamos el siguiente análisis: si P es la matriz depaso de A a B, entonces, para todo x de R 3 se tendrá que [x] B = P[x] A , por lotanto

[x] A = P −1 [x] B


Necesitamos, por lo tanto, calcular P 1 ; es fácil comprobar que:

1 4 3 4 3 8



− 4 4 8

1 4 1 4 1 81 4 3 4 1 8

Entonces, si por ejemplo, [x] A = [1 −2 4] T , entonces:

1 4 3 4 3 81 4 1 4 1 814

34

18

124 1 41 474

¿De que forma podría el alumno verificar la solución hallada?


Todo lo que hemos explicado acerca del cambio de base para un dadoespacio vectorial, se comprenderá mejor a partir del diagrama que sigue:



v(en E)

(

)

( )






Matriz asociada a una transformación lineal

Uso de tranf.3



Se plantea para la aplicación lineal T(x,y,z)=(x+y,x-z,y+2z), siendo lasrespectivas bases

A=[0,-3,3;-3,3,0;-2,2,3] y B=[1,2,4; 2,1,-1; 0.5,-1,2].

>>tranf.3

En todos los casos los vectores deben ser ingresados como una matriz filaIngrese el 1er vector de la 1er base en R 3: [0 -3 3]Ingrese el 2do vector de la 1er base en R 3: [-3 3 0]Ingrese el 3ro vector de la 1er base en R 3: [-2 2 3]

B =0 -3 -2-3 3 23 0 3


Ingrese el 1er vector de la 2da base en R^3: [1 2 4]Ingrese el 2do vector de la 2da base en R^3: [2 1 -1]Ingrese el 2do vector de la 2da base en R^3: [0.5 -1 2]



B1 =1.0000 2.0000 0.50002.0000 1.0000 -1.00004.0000 -1.0000 2.0000

M =

Columns 1 through 5

1.0000 2.0000 0.5000 -3.0000 02.0000 1.0000 -1.0000 -3.0000 -3.00004.0000 -1.0000 2.0000 6.0000 3.0000

Column 60

-5.000011.0000


La matriz asociada a la transformación lineal es:

Masoc =0 0 2500 -0 3333



0 0.2500 -0.33330 -2.0000 -0.3333

1.0000 1.5000 2.0000

Con el archivo tranlineal se puede practicar para R 3en R 2: T(x,y,z)=(x+y,x-z)

>> En todos los casos los vectores deben ser ingresados como una matriz fila

Ingrese el 1er vector de la 1er base en R^3: [1 1 1]Ingrese el 2do vector de la 1er base en R^3: [1 1 0]Ingrese el 3ro vector de la 1er base en R^3: [1 0 0]

B =1 1 11 1 01 0 0


Ingrese el 1er vector de la 2da base en R^2: [2 0]Ingrese el 2do vector de la 2da base en R^2: [0 1]

B1 =



B1 2 00 1

M =2 0 2 2 10 1 0 1 1

La matriz asociada a la transformación lineal es:

Masoc =1.0000 1.0000 0.5000

0 1.0000 1.0000


Hallar inversa de una matriz por gauss jordan

Sea la matriz A=[1 1 1;1 2 3;1 3 6], encontrar su inversa.Se crea la matrizaumentada B con A seguida de la identidad I del mismo tamaño que A



aumentada B con A seguida de la identidad I del mismo tamaño que A

>> A=[1 1 1;1 2 3;1 3 6]; B = [A eye(size(A))]

B =1 1 1 1 0 01 2 3 0 1 0

1 3 6 0 0 1

>> B = rref([A eye(size(A))])

B =

1 0 0 3 -3 10 1 0 -3 5 -20 0 1 1 -2 1

El t d Al b a Li al 2011 174

Entonces

>>B = B(:, 4:6)



B =

3 -3 1-3 5 -21 -2 1

Verificando

>> A*B

ans =1 0 0

0 1 00 0 1


Idéntico resultado a

>>inv(A)



ans =

3.0000 -3.0000 1.0000-3.0000 5.0000 -2.00001.0000 -2.0000 1.0000


Hallar las bases fundamentales a una matriz asociada A

El espacio fila de A(rs) es ortogonal al espacio nulo de A(ns) y el espaciocolumna de A(cs) es ortogonal al espacio nulo izquierdo de A(nls); se usa fourb.m



columna de A(cs) es ortogonal al espacio nulo izquierdo de A(nls); se usa fourb.m

>> A = randn(3,5)

A =0.5377 0.8622 -0.4336 2.7694 0.72541.8339 0.3188 0.3426 -1.3499 -0.0631

-2.2588 -1.3077 3.5784 3.0349 0.7147

Se crea una matriz de ceros y unos de la matriz random A

>> A = A >= 0

A =1 1 0 1 11 1 1 0 00 0 1 1 1


Las bases de los cuatro espacios serán[cs, ns, rs, lns] = fourb(A)

cs =



cs 1 1 1

1 0 01 1 0

ns =-1 0

0 -11 00 00 1

El t d Al b Li l 2011 178

rs =1 0 00 1 01 0 0



0 0 1

0 1 0

lns =Empty matrix: 3-by-0


Hallar la matriz de transición de un espacio vectorial a otro espacio,supondremos que las bases ordenadas se almacenan en columnas de las matrices T y S, respectivamente, usando el archivo transmat.m



>> T = [1 2;3 4]; S = [0 1;1 0];

>> V = transmat(T, S)

V =3 41 2

Con V calculamos un vector de coordenadas en la base S:así para el x=[1 1]T

>> xs = V*[1;1] xs =

73

-filmina 321 desde cambio de base hasta 329(inclusive)


Cambio de base

Se consideran la matriz P =(1 -3 4;2 -5 6;-1 0 1) y los vectores de R 3 :

v1 = (-2, 2, 3); v2 = (-8, 5, 2); v3 = (-7, 2, 6)



v1 ( 2, 2, 3); v2 ( 8, 5, 2); v3 ( 7, 2, 6)

Encuéntrese una base B1={u1, u2, u3 } para R 3 tal que P sea la matriz delcambio de base de B1 a B2 ={v1, v2, v3 }

Calcúlense las coordenadas en la base B2 del vector v cuyas coordenadas en

la base B1 son (1, 2, 3).


>> cambio de base1

punto1

Respecto de la base canónica:



u1 =

28

-9

-3

u2 =38

-13

2

u3 =

21

-7

3


Punto2

X2 =



36-22

-9

El d Al b Li l 2011 183

En el espacio vectorial R 4 se consideran las bases: B1 = {u1, u2, u3; u4 } y

B2 = {v1, v2, v3,v4 } donde

(1 1 1 1)



u1 = (1, 1, 1, 1)

u2 = (0, 1, 1, 1)u3 = (0, 0, 1, 1)

u4 = (0, 0, 0, 1)

v 1 = (1, 3, 2,-3)

v 2 = (1,-2, 0, 2) v 3 = (-3,-1;-3, 0)

v 4 = (3, 4, 4,-3)

El d Al b Li l 2011 184

Calcúlese la matriz P que realiza el cambio de base de B2 a B1. Calcúlense lascoordenadas en B1 del vector cuyas coordenadas en la base B2 son (1, 1, 1, 1).

>>cambiobase2



La matriz P buscada es

-4.0000 -2.0000 1.0000 -2.0000

-1.0000 -4.0000 -4.0000 -1.00001.0000 -3.0000 -5.0000 0

3.0000 -1.0000 -4.0000 1.0000

Las coordenadas pedidas en la base {B1} son:

2.0000

2.0000-1.0000-7.0000

El d Al b Li l 2011 185

-Considerando la transformación lineal, cuya matriz está conformada por lafamilia de vectores {(0,-3,-1,3), (-3,3,-1,0), (-2,2,1,3)}

Hallar una base de su núcleo.



>>A=[0,-3,-1,3;-3,3,-1,0;-2,2,1,3;]

A =0 -3 -1 3-3 3 -1 0-2 2 1 3

>> null(A)

ans =0.6448

0.4690-0.52760.2931

El d Al b Li l 2011 186



4.1- DEFINICION

Dado el cuerpo R , llamaremos sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas con coeficientes reales o complejos a todo conjunto de relaciones del



tipo:

… … … … … … … … … … … …

donde:

i) Los elementos a ij , con 1 < i < m y 1 < j < n son números reales ocomplejos a los que llamaremos coeficientes del sistema.

ii) los elementos b i , son elementos de R que llamaremos términosindependientes del sistema.

iii) los elementos x j , que también son elementos de R, y representan lasincógnitas del sistema.

El d Al b Li l 2011 188

¿Qué significa resolver un sistema?. Es encontrar un conjunto de números(s 1,s 2,..., s n ) que, reemplazados por x 1,x 2,...,x n en el sistema, lo satisfacen,Obviamente, tales números pueden no existir; en tal caso se dice que el sistemacarece de solución.



Cuando un sistema tiene solución, lo llamaremos sistema consistente; en casocontrario, estaremos ante un sistema inconsistente. Un sistema consistente puedetener una solución única o un conjunto de infinitas soluciones. Al conjunto detodas las soluciones lo denominaremos conjunto solución del sistema.


4.2-NOTACION MATRICIAL

Si nos detenemos un poco a analizar los elementos que componen un sistemalineal, nos daremos cuenta que la información básica que contiene puede



presentarse en una matriz.

Si tomamos, por ejemplo, el sistema:

2 1

5 3 4 2

entonces, las matrices que siguen resumen sus datos fundamentales del sistemaanterior:

1 2 10 1 1 1 3 4 y 1 2 1 10 1 1 5 1 3 4 2


La primera se llama matriz de los coeficientes y la segunda matrizaumentada del sistema. Como vemos, la matriz aumentada consiste en la matrizde coeficientes a la que se le agrega una columna que consiste de los elementosdel lado derecho del sistema. La utilización de las matrices simplificará la



búsqueda del conjunto solución pero, para que la utilización de esta

herramienta sea más fructífera deberemos dedicar un poco de nuestro tiempopara estudiarla.


4.3-REDUCCION POR FILAS A FORMASESCALONADAS

Una matriz rectangular está en forma escalonada si tiene las siguientes



propiedades:

i) Todas las filas distintas de cero deben estar arriba de cualquier fila contodos ceros.

ii) Cada elemento principal de una fila debe estar a la derecha del elementoprincipal de la fila inmediatamente anterior.

iii) Todos los elementos de una columna que están debajo del elementoprincipal, deben ser ceros.


Una matriz está en forma escalonada reducida si, además, cumple lascondiciones:

i) El elemento principal de cada fila diferente de cero es 1.



ii) Cada 1 que es elemento principal es el único elemento no nulo en sucolumna.

Los siguientes son ejemplos de matrices escalonadas y de una matrizescalonada reducida:

1 2 1 30 1 4 60 0 5 1 y 1 0 0 80 1 0 30 0 1 9


Ejemplo:

Sea la matriz:



1 1 2 0 12 1 1 1 23 0 2 1 11 2 0 0 3

Transformar dicha matriz en su forma escalonada y su forma escalonadareducida.

Solución

→ → → →


→ → 31 1 2 0 10 3 3 1 00 0 1 2 40 0 9 1 12 → → 9

1 1 2 0 10 3 3 1 00 0 1 2 40 0 0 17 24



Hemos terminado ya que la última matriz es triangular; a menudo esconveniente transformar los pivotes en unos, mediante el producto de toda lafila por un número adecuado.

Esta última transformación facilita los cálculos cuando se trata de encontrarel conjunto solución de sistemas lineales.


4.4-ALGORITMO PARA OBTENER UNA MATRIZTRIANGULAR Y TRIANGULAR REDUCIDA

i) Elija la primer columna diferente de cero y, en ella, un elemento no nulo



que será el pivote.

ii) Si el pivote no está en la primera fila, colóquelo en esa posiciónmediante un intercambio de filas.

iii) Utilice operaciones entre filas para transformar en ceros todos loselementos que están debajo del pivote.

iv) Tome la submatriz que quedaría al eliminar la primer fila y la primercolumna y realice nuevamente los pasos i) , ii) y iii). Repita este proceso hastaque no queden filas diferentes de cero para modificar.

v) Para obtener la forma escalonada reducida, comenzando con el pivote

que está más a la derecha, cree ceros arriba de cada pivote. Transforme cadapivote en 1 mediante una división por el número adecuado.



El sistema lineal y su expresión matricial

Haciendo uso de nuestro conocimiento acerca de las matrices, podemos



p

presentar el sistema en forma matricial. En efecto, sean:

… …

… … … … …

…

…

donde A es una matriz de M m,n (R) llamada matriz de los coeficientes delsistema, X es una matriz de M n,1 (R) llamada matriz de las incógnitas del sistema

y B es una matriz de M m,1 (R) que recibe el nombre de matriz de los términos

independientes del sistema.


Como se puede apreciar, el sistema se puede poner de la siguiente manera:

AX = B



que es la traducción matricial del sistema mencionado.

Estamos aquí, pues, ante una ecuación matricial, cuya solución, si la hay,estará dada por el conjunto de todas las matrices X que, reemplazadas en larelación, la satisfacen.

4.6-EL SISTEMA COMO UNA APLICACION LINEAL

Prosiguiendo nuestro camino, cuya meta es transformar el sistema en unaexpresión que sea más fácil de estudiar, tomemos dos espacios vectoriales E y F ,ambos definidos sobre el cuerpo R , cuyas dimensiones sean n y m

respectivamente.


Introduzcamos ahora una aplicación lineal f de E en F que tenga a A comomatriz asociada, en relación a la base canónica de ambos espacios; además,denotemos con b al vector de F , cuyas coordenadas sean b1,b2,...,bm en la basecanónica de F .



Sabemos, por lo visto en el capítulo anterior, que la forma matricial esabsolutamente equivalente a la aplicación lineal f : E → F definida por:

f (x) = b

Es evidente que, en esas condiciones, el conjunto solución del sistema (A) noes otra cosa que el conjunto cuyos elementos son todos los vectores xT = [x1, x2,...,

xn] de Rn que verifican la relación f ( x ) = b. La utilización de una aplicaciónlineal como algo equivalente a un sistema de ecuaciones lineales nos permitirá

caracterizar, con mayor facilidad, al conjunto solución del sistema.



Denotemos con S al conjunto solución del sistema, cuyos elementos serán,por lo tanto, todos los vectores x de Rn que satisfacen la relación. Puedenpresentarse dos situaciones:



presentarse dos situaciones:

i) Sistema inconsistente. En este caso el vector b no pertenece al conjunto I (f ) . Lógicamente, entonces, no habrá ningún x en E , tal que f ( x ) = b. Elsistema, por lo tanto, carece de solución, y :

S = Φ

ii) Sistema consistente. En este caso el vector b es un elemento de I (f ) . Porlo tanto, habrá un x de E , por ejemplo x0, de tal manera que:

f ( x0 ) = b


Cualquier otra solución x que hubiera, cumplirá también con:

f ( x ) = b



Restando miembro a miembro la relación, y teniendo en cuenta que f esuna aplicación lineal, obtenemos:

f ( x ) − f ( x0 ) = f ( x − x0 ) = 0

Hagamos x − x0 = y; dicho vector, como su imagen a través de f es 0, y pertenece a N (f ) . Por consiguiente, todo vector

x = x0 + y es una solución del sistema o, dicho de otro modo, dada unasolución particular cualquiera x0 del sistema, el conjunto solución del mismoes:

S = { x E / y I(f ), x = x0 + y}


Por lo tanto, el conjunto S estará formado por cualquier solución particulardel sistema más los elementos de N(f ) . En N(f ) estarán aquellos vectores queson solución del sistema homogéneo deducido del (A), entendiéndose comosistema homogéneo como aquel que tiene sus lados derechos nulos.



El sistema homogéneo deducido del (A) tiene por ecuación la expresión A X = 0; Un sistema como éste siempre tiene, al menos, la solución trivial X =

0; la pregunta importante que nos tenemos que hacer es si existe o no unasolución no trivial, o sea, una solución distinta de X = 0. Cuando un sistemalineal no homogéneo es consistente indeterminado (o sea, cuando tiene muchas

soluciones), el conjunto solución consta de todos los vectores que se puedanexpresar como una suma entre una solución particular cualquiera y unacombinación lineal arbitraria de vectores que satisfaga el sistema homogéneo.


Supongamos que un sistema se cambia a uno nuevo mediante la



p g q

transformación anterior. Considerando cada operación de fila, es fácil ver quecualquier solución del sistema original sigue siendo una solución del sistemanuevo. Recíprocamente, ya que el sistema original se puede producir por mediode operaciones de fila en el sistema nuevo (las operaciones de fila soninvertibles), cada solución del sistema nuevo también es solución del sistemaoriginal. Por lo tanto: si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales sonequivalentes por filas, entonces los dos sistemas tienen el mismo conjuntosolución.


Ejemplo

Resolver el sistema, utilizando la forma escalonada de la matriz ampliada, elsistema:



3 12 32 2 0

Solución

1 3 12 1 32 2 0 → → 2 → 2 1 3 10 5 50 4 2 →

→ 5

4

1 3 10 5 50 0 10

Observamos que una de las ecuaciones que se obtiene es inconsistente yaque 0 ≠ 10.

El sistema es, por lo tanto, inconsistente, o sea que carece de soluciones.Elementos de Algebra Lineal - 2011 204





-Veamos ejemplos sencillos de sistemas

a)igual número de ecuaciones que incógnitas

>> A = [1 2 3;4 5 6;7 8 10] b=ones(3 1);



>> A = [1 2 3;4 5 6;7 8 10],b=ones(3,1);

>>x = A\b x =

-1.00001.00000.0000

Si se calcula el vector de error residual (debe ser cero)

>> b - A*x

1.0e-015 *

0.11100.66610.2220


b)mayor número de ecuaciones que incógnitas(sobre determinado), con el demínimos cuadrados sería

>>A = [2 –1; 1 10; 1 2];>> x = A\b



>> x = A\b

x =0.5849

0.0491

>>b - A*x

-0.1208-0.07550.3170


c) mayor número de incógnitas que ecuaciones, Matlab nos da una soluciónparticular si el sistema es consistente

>> A = [1 2 3; 4 5 6];b = ones(2,1);x = A\b



x =-0.5000

00.5000

Una solución general se obtiene generando una combinación lineal de x conlas columnas del espacio nulo de A

>>t= null(A)

t =0.4082-0.81650.4082


Si los coeficientes son 1 y -1 de la combinación lineal:

>>z = lincomb({1,-1},{x,t})

z =



z

-0.90820.81650.0918

>> r = b - A*z

r =1.0e-015 *

0.8882

0.1110


-Uso de rref

Sea el sistema de coeficientes y el vector de lado derecho, respectivamente:

>>A = magic(3); b = ones(3,1);



>>A magic(3); b ones(3,1);

>> [x, pivot] = rref([A b])

x =1.0000 0 0 0.0667

0 1.0000 0 0.0667

0 0 1.0000 0.0667

pivot =

1 2 3 %índices de las columnas pivotes


>> x = x(:,4) x =

0.06670.06670.0667



0.0667

>> b - A*x

ans =00

0Uso del solve de matlab>>[x,y,z]=solve('x+y+z=1', '3*x+y=3', 'x-2*y-z=0','x','y','z') x =4/5 y =3/5z =-2/5


O con la sintaxis

>>[x,y,z]=solve('x+y+z=1', '3*x+y=3', 'x-2*y-z=0')

x =



x

4/5

y =3/5

z =-2/5


-empleando el symbolic toolbox Sea un sistema x+2*y-u, 4*x+5*y-v >> syms u v x y;>> S = solve(x+2*y-u, 4*x+5*y-v);>> sol = [S.x;S.y]



sol [S.x;S.y]

sol =

(2*v)/3 - (5*u)/3(4*u)/3 - v/3

Ahora

A = [1 2; 4 5];b = [u; v];z = A\bz =(2*v)/3 - (5*u)/3

(4*u)/3 - v/3

Sol y z producen la misma solución, aunque los resultados se asignan a variables diferentes




INTRODUCCION

En este capítulo desarrollaremos la teoría de los determinantes. En el fondo,se trata de un número real que se asocia con una matriz al cual podemos



introducirlo de dos maneras: una de ellas se basa en definirlo y deducir suspropiedades a partir de esa definición; la otra consiste, por el contrario, enencontrar su regla de definición a partir de las propiedades de las aplicacionesmultilineales alternadas. Elegimos la segunda posibilidad, ya que, por una parte,introduce al determinante de una manera más natural para nosotros, teniendo encuenta los conocimientos que ya poseemos de las aplicaciones lineales.

De todos modos, cualquiera sea la opción elegida, nos encontraremos anteuna teoría difícil, la cual, por los objetivos de la materia que nos ocupa, serásimplificada en gran medida.


5.1-APLICACIONES BILINEALES

DEFINICION: Sean E , L y F tres espacios vectoriales sobre el mismo cuerpoK . Una aplicación ( x ,y ) f ( x ,y ) de E ×L en F se llama bilineal si cumple conlas siguientes condiciones:



i) f (α x,y ) = f ( x,α y ) = αf ( x,y )

ii) f ( x +x′ ,y ) = f ( x,y ) + f ( x′ ,y )

iii) f ( x ,y+ y′) = f ( x,y ) + f ( x ,y ′ )

5.1.1-APLICACION BILINEAL ALTERNADA

DEFINICION: Una aplicación bilineal ( x ,y ) f ( x ,y ) de E ×E en F sellama alternada si f ( x,x ) = 0

PROPIEDAD: Si f es una aplicación bilineal alternada, entonces se cumple:

f ( x,y ) = −f ( y,x )


Ejemplo: Sea E un espacio vectorial de dimensión 3 sobre el cuerpo K y sea

A ={ v1, v2, v3} una base de E . Si:



Definimos una función f de E 2 en E mediante la regla:

, ( ) Demostrar que f es una aplicación bilineal alternada.

SoluciónProbemos que se cumple. En efecto:

, (,) Elementos de Algebra Lineal - 2011 217

con lo que queda probada la mencionada condición. Por otra parte, six′ = x ′1v1 + x ′2v2 + x ′3v3 entonces:



, ′

′ ′ ′ ′ ′ ′ , ( , )

De manera semejante se puede probar que f (x ,y+ y′) = f (x,y) + f (x ,y′),

demostrando con ello que f es bilineal. Además:

, 0

y, por lo tanto, f es alternada. Esta aplicación bilineal alternada que terminamosde definir se llama producto vectorial entre los vectores x e y.



TEOREMA: Sean E y F dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K y

sea dim E = 2. Cualquiera sea A ={ v1, v2} elegida como base de E , y para todo

vector de F existe una única aplicación bilineal alternada ( f ( ) de



vector w de F , existe una única aplicación bilineal alternada ( x ,y) f ( x ,y ) de

E 2 en F tal que f (v1,v2) = w.

DEFINICION: En el Teorema anterior tomemos F = K y w = 1. En talcaso, el mismo nos dice que existe una y solamente una aplicación bilineal

alternada ( x ,y )

f ( x ,y ) de E 2

en K , tal que f (v1,v2) = 1. Dicha aplicación sellama determinante de los vectores x e y con relación a la base A elegida.


Determinante de una matriz cuadrada de dos filas

Sea la matriz:



Se llama determinante de M , y se denota d (M) , al escalar:

En virtud de esta definición, podemos ver que d (A) = d (AT). Además,intercambiando las filas o columnas, d (A) cambia de signo, propiedad ésta quesurge como una consecuencia lógica de su condición de forma bilineal alternada.


5.3-LA PERMUTACION Y SU SIGNO

Introducción: Para poder desarrollar la teoría de los determinantes de ordenmayor que dos, necesitamos utilizar nuestros conocimientos de laspermutaciones. Por ello, comenzaremos esta sección haciendo una rápida



revisión de dicho tema.

a-Permutación

DEFINICION: Sea el conjunto I n = {1 ,2 ,...,n }. Denotemos con F n al

conjunto de todas las funciones biyectivas en I n. Llamaremos permutación p atoda función biyectiva perteneciente a F n. La misma queda caracterizada por elconjunto de las imágenes:

p =( p (1) , p (2) ,..., p (n) )

donde, por ejemplo, p(2) es la imagen de 2 a través de p .


Así, si consideramos el conjunto I 4= {1 ,2 ,3 ,4}, entonces la permutación p = (1,3,4,2) significa que p es una función biyectiva en I 4 que asocia loselementos de la siguiente manera:

1 1



2 3 3 4 4 2

Por otra parte, sabemos que componiendo dos funciones biyectivas,

obtenemos otra función biyectiva; por consiguiente, la composición de dospermutaciones es una nueva permutación.

El número de elementos de F n es n! , o, dicho de otro modo, dado elconjunto I n = {1 ,2 ,...,n }, entonces es factible efectuar n! permutaciones distintasde los n elementos de I

n.


b-INVERSION

DEFINICION: Tomemos nuevamente el conjunto I n = {1 ,2 ,...,n }. Decimosque el par (a ,b ) de elementos de I n presenta inversión para la permutación p de

F n si:



a < b p(a) > p(b)

Por ejemplo, dado el conjunto I 5= {1,2,3,4,5} y la permutación p = (3,1,4,5,2), analicemos qué pares (a ,b) de elementos de I 5 presentan

inversión; para ello escribamos dichos pares con sus correspondientes imágenes:

(1,2)→ 3 , 1 (2,3)→(1,4)

(1,3)→ 3 , 4 (2,5)→(1,2)

(1,4)→ 3 , 5 (3,4)→(4,5)

(1,5)

→ 3 , 2(3,5)

→(4,2)

(4,5)→(5,2)


Como se puede apreciar, los pares (1,2), (1,5), (3,5) y (4,5) presentaninversión. Una manera más práctica de conocer el número de inversiones quehay en una permutación es la siguiente: sea la permutación p = (p(1),p(2),...,p(n)) ; para cada p(i), con i [1,n], se cuentan los términos de lasucesión p que son posteriores a p(i) y menores que él mismo. En el ejemplo



anterior, cuando

p = (3,1,4,5,2), este número es la suma:

2+0+1+1 = 4

y, entonces, diremos que inv (p) = 4.

Conociendo el número inv (p) de una permutación p F n, decimos que pes par o impar si se produce un número par o impar de inversiones. A partir deallí se define el signo de p , que denotaremos Sgn (p) , de la manera siguiente:

Sgn(p)= 1, 1,


Ejemplo: A partir del conjunto I 7 = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7}se define la permutación p =

(1,3,5,7,2,4,6) . Determinar el número de inversiones de p y su signatura.

Solución



Para esta permutación, el número de inversiones es:

inv(p) = 0 + 1 + 2 + 3 + 0 + 0 + 0 = 6

y, por lo tanto, Sgn (p) = 1.


5.4-APLICACIONES TRILINEALES ALTERNADASDEFINICION: Sean dos espacios vectoriales E y F sobre el mismo cuerpo

K . Una aplicación ( x,y,z ) f ( x,y,z) de E 2 en F es trilineal alternada si:



i) es lineal en cada uno de los vectores x, y , z.

ii) es nula si coinciden dos de los tres vectores.

Propiedades

1. Si se intercambian dos de los tres vectores de ( x,y,z) , f ( x,y,z ) cambiade signo.

2. Si uno de los tres vectores de ( x,y,z ) es combinación lineal de los

otros, entonces f ( x,y,z) = 0.

3. Si a uno de los tres vectores de ( x,y,z ) se le suma una combinaciónlineal de los otros dos, f ( x,y,z ) no cambia.


5.5-DETERMINANTE DE ORDEN 3TEOREMA: Sean E y F dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K y

sea dim E = 3 . Cualquiera sea la base A = {v 1,v

2,v

3} de E que se elija y para todo

vector w de F , existe una y sólo una aplicación trilineal alternada f de E3 en F tal



que f (v 1,v 2,v 3) = w

Demostración: Sean x ,y y z tres vectores de E . Siendo A una base de E ,podemos decir:

=

=

=


Suponiendo la existencia de una aplicación trilineal f de E 3 en F , entonces:

, , , , ( , , )



===donde la suma se extiende para todos los subíndices i , j , k tomados en I 3 =

{1 ,2 ,3} de manera arbitraria. Estaríamos, por lo tanto, ante una permutacióncon repetición del conjunto I 3, que como bien sabemos, tiene 27 términos. Ahora bien, como f es alternada, se anularán todas aquellas imágenes f (vi ,v j ,vk )

que no tengan los subíndices i , j , k distintos entre sí, o dicho de otra manera,donde el conjunto (i , j , k ) sea la imagen de {1,2,3} a través de unapermutación. Para nuestra suerte, de los 27 términos de la suma que teníamosoriginalmente, quedará solamente 3!=6 , los cuales serán los siguientes:

, , , , , , , , , , , , (, , )


Observemos los subíndices de los vectores de la base de A. Evidentementeque los mismos son las permutaciones de {1,2,3} , a saber:

1 , 2 , 3 (1,3,2)



2 , 1 , 3 (2,3,1) 3 , 1 , 2 (3,2,1)

Fácilmente podemos ver que la signatura de p 1, p 4 y p 5 es + 1 y la de p 2 , p 3 y p 6 es -1 y, por consiguiente, podemos decir:

, , , , = , , = , , , , , ,

Agrupando los términos por su signo y extrayendo factor común f (v 1,v2,v3), tendremos:

, ,

donde, como sabemos, w = f (v 1,v2,v3).

La relación establece la unicidad de f, cuya existencia hemos supuesto.


Existencia: Probemos que la función definida es lineal en x , suponiendoconstantes los otros dos vectores. Si: ′ ′ ( ′)

entonces, aplicando la regla dada, tendremos:



, , ( ′ - ) , ,

Por otra parte, es fácil demostrar que f (α x,y,z) = αf (x,y,z), siendo, por lo

tanto, la aplicación f lineal en x . De manera similar se prueba la linealidad en losotros dos vectores. Además, como:

′ ′ ′ ′ ′ ′ , , ( ′ , , )

entonces f es alternada, lo que demuestra que la función que hemos supuestoque es una aplicación trilineal alternada, realmente lo es. De esta manera, elTeorema queda demostrado. , , 0 θ


Definición del Determinante de Orden 3: En el enunciado del Teoremaanterior, si F = K y eligiendo, además, w = 1 , la forma trilineal alternada f

( x,y,z ) se llama determinante de los vectores x, y , z con relación a la base A elegida.

Determinante de una matriz de M 3(K ).



3( )

Sea la matriz:

una matriz de M 3(K ). Recibe el nombre de determinante de M , y se denota d (M) , al escalar:

()

++---


Observemos los subíndices de cada uno de los términos de la suma: lossegundos son siempre 1, 2 y 3 (los hemos ubicado ex-profeso de esa manera) y los primeros son las permutaciones de {1,2,3} con su correspondiente signatura.Teniendo en cuenta eso, la suma anterior puede expresarse de la siguientemanera:



()

siendo p un elemento de P 3 (conjunto de las permutaciones de los elementos

{1,2,3}).


5.6- PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES DEORDEN 3

1. El determinante de una matriz M es igual al determinante de sutraspuesta.



2. En un determinante se puede extraer como factor a todo escalar quemultiplique a una línea (llamamos línea a una fila o columna). O sea:

α

α α α

3. Si los elementos de una línea son combinaciones lineales, eldeterminante se puede descomponer en una suma de determinantes.

α ′ α ′ α ′ α ′ ′ ′


4. Si a una línea de un determinante se le suma una combinación lineal delas otras dos, el determinante no varía.



α α α 5. Si una línea del determinante es combinación lineal de las otras dos, el

determinante es cero.

α α α 0


5.7-DESARROLLO DEL DETERMINANTE POR LOSELEMENTOS DE UNA LINEA

Extraigamos en el desarrollo, como factores, a los elementos de una líneacualquiera, por ejemplo la segunda fila:



(

)

(

)

(

)

Esta forma de expresar el determinante se denomina desarrollo por loselementos de la segunda fila. Para ver el lado práctico del método, expresemos laigualdad anterior de la siguiente manera:


Los coeficientes de a 21 , a 22 y a 23 se llaman cofactores de los mismos. Elcofactor de un elemento es, por consiguiente, el determinante que se obtienesuprimiendo en el determinante original la fila y la columna del elementoconsiderado y el signo es positivo o negativo según que la suma de los subíndicesdel elemento sea par o impar respectivamente.



Así como hemos tomado la segunda fila como base para el desarrollo,hubiéramos podido utilizar cualquier línea distinta.

5.8-APLICACIONES MULTILINEALES

DEFINICION: Sean E y F dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo

K . Una aplicación (x1,x2,...,xn) f (x1,x2,..., xn)) de E n en F es multilineal si eslineal en cada uno de los vectores x1,x2,...,xn.

PROPIEDAD: Cualesquiera que sean los escalares α1 ,α2 ,...,αn se cumple:f

(αx1,

αx2,...,

αx n) =

α1 ,

α2 ,...,

αn f (x1,x2,...,xn)


5.9-APLICACIONES MULTILINEALES ALTERNADASDEFINICION: Una aplicación multilineal (x1,x2,...,xn) f (x1,x2,...,xn) de

E n en F es alternada si f (x1,x2,...,xn) = 0 siempre que existan dos índices i y j distintos, tales que xi = x j.



PROPIEDADES:

1. Si en una aplicación multilineal alternada (x1,x2,...,xn) f (x1,x2,...,xn) de E n en F se intercambian de posición dos de los n

vectores x1,x2,...,xn entonces f (x1,x2,...,xn) cambia de signo. Dicho deotra manera, si permutamos los vectores x i y x j , con i < j, entonces:

, , … , , … , , … , (, , … , , … , , … , )


2. Si p es una permutación de In = {1,2,...,n} cuya signatura es Sgn ( p ) ,entonces, para toda aplicación multilineal alternada (x1,x2,...,xn) f (x1,x2,...,xn) se cumple:



(), (), … , () ( , , … , )3. Si cada uno de los vectores x1,x2,...,xn es una combinación lineal de los vectores de {v1,v2,...,vn} de la siguiente manera:

⋯

⋯ … ⋯ entonces para toda aplicación multilineal alternada ( x1,x2,...,xn ) f ( x1,x2,...,xn ) se cumple:

, , … , … (, , … , )

donde la suma se realiza sobre el conjunto F n de las permutaciones p de

{1,2,...,n} con su correspondiente signatura Sgn(p).Elementos de Algebra Lineal - 2011 238

5.10-DETERMINANTE DE ORDEN n

TEOREMA: Dados los espacios vectoriales E y F sobre el mismo cuerpo K . Seadim E = n. Cualquiera sea la base A = {v1,v2,...,vn} de E elegida y para todo vectorw de F, existe una única aplicación multiplicación multilineal alternada



(x1,x2,...,xn) f (x1,x2,...,xn) de E n en F tal que f (x1,x2,...,xn) = w .

DEFINICION: Tomemos el enunciado del Teorema y hagamos F = K . Siademás consideramos w = 1, entonces queda f (v1,v2,...,vn) = 1 y, en tal caso, f (x1,x2,...,xn) se llama determinante de los vectores x1,x2,...,xn en la base A elegida.

Por lo tanto, si:∀ ∈ 1 , ⋯ donde A = { v1,v2,...,vn } es la base de E , entonces:

, , … , … (, , … , )

donde la suma se realiza sobre todas las permutaciones p de los índices {1,2,...,n}.


5.11-DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE MN(K)

DEFINICION

Sea la matriz:



… … … … … … …

Llamamos determinante de A al escalar:

…

donde la suma se realiza sobre las permutaciones p de los índices {1,2,...,n}.


5.12-PROPIEDADES

1. Si A Mn (K), entonces se cumple que d(A) = d(AT).

2. Sea una matriz A de M n (K ). Si en A se intercambia la posición de doslíneas paralelas, el determinante de A cambia de signo.



3. Si una matriz A de M n (K) tiene dos o mas líneas iguales, entonces d(A) = 0.

4. Si una matriz A de M n (K) tiene una línea que es combinación lineal deotras, entonces d(A) = 0.

5. Si a una línea de una matriz A de M n (K) se le suma una combinaciónlineal de las otras, el determinante de A no varía.

6. Si una línea de una matriz A de M n (K) se multiplica por un escalar,entonces el determinante de A queda multiplicado por dicho escalar.

7. Cualesquiera sean las matrices A y B de Mn (K), se cumple que d(AB) = d(A)d(B), siempre que el producto AB esté definido.


5.13-DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOSELEMENTOS DE UNA LINEA

Matriz menor complementaria de un elemento



DEFINICION: Dada una matriz A de M n (K ) , con n ≥ 2 , la matrizcuadrada de orden n-1 obtenida suprimiendo la fila i y la columna j de A se

llama menor complementaria del elemento aij de A y se denota A′ij .

Cofactor de un elemento de una matriz

DEFINICION: Sea A una matriz de M n (K ). Se llama cofactor de un

elemento aij de A al número denotado Aij y definido por:

Aij = (1)I + j

d(A′ij )


El cofactor y el cálculo de un determinante

Es posible utilizar el cofactor para calcular el determinante de cualquier

matriz A de M n (K ). En tal sentido, se puede demostrar que:



⋯ =

Observemos que d(A) se ha calculado sumando los productos de cada

elemento de la fila i por su respectivo cofactor. Diremos, por ello, que se hacalculado el determinante de A por los elementos de la fila i . Es importante

completar lo expuesto aclarando que, así como hemos utilizado una fila i cualquiera como base del cálculo, hubiéramos podido utilizar cualquier columnade la matriz.


5.14- MATRIZ ADJUNTA DEFINICION: Sea A una matriz de Mn (K) . Llamaremos adjunta de A a la

traspuesta de la matriz que resulta de reemplazar cada elemento de A por surespectivo cofactor.



Producto de una matriz por su adjuntaPROPIEDAD: Para toda matriz A de M n (K ) se cumple que:

× × () ×

donde I n es la matriz identidad de M n (K ).

Inversa de una matriz por la adjuntaTEOREMA: Una matriz A de M n (K ) es invertible si y sólo si d(A) no es

cero. En tal caso se cumple que:

− ()()


5.15-RANGO DE UNA MATRIZEl estudio del rango de una matriz es, tal vez, una de las principales

aplicaciones de la teoría de los determinantes. Además, una vez definido elconcepto, nos servirá de importante herramienta en el análisis de los sistemas



lineales.Nosotros, en realidad, ya hemos utilizado este concepto, sin mencionarloen forma explícita. Así, dado un conjunto A = {v 1 ,v 2 ,...,v n } incluido en unespacio vectorial E , se define el rango de A a la dimensión del subespacio de E generado por A. Asimismo, dada una aplicación lineal f de E en F , se llamarango de f , y se denota r(f) , a la dimensión de I(f) . O sea:

r(f) = dim f(E) = dim I(f)

En la sección que sigue, ampliaremos este concepto mediante la definicióndel rango de una matriz.

DEFINICION: Dada la matriz A M m,n (K ) , siendo A = [a ij ]. Llamamosrango de A , al que denotaremos r (A), al número de columnas linealmenteindependientes que tiene A.


5.15.1-CALCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ

Introducción: Sea A la matriz [a ij ] de M n (K ). De dicha matriz podemosextraer matrices cuadradas, de tal forma que las filas y columnas de las mismas

sean parte de las filas y columnas de A. Es obvio que, si p es el orden de



cualquier matriz cuadrada extraída de A, entonces p = min{m,n}.

Si llamamos Ap a una matriz cuadrada de orden p extraída de A, y

teniendo en cuenta que Ap será inversible si d(Ap) ≠ 0 , entonces toda matriz A no nula contiene al menos una matriz inversible, cuyo determinante sea, por lo

tanto, distinto de cero. Si llamamos r al mayor orden de una matriz extraída deA tal de que d(A) ≠ 0, en el Teorema que enunciaremos a continuación, serelacionará el número r con el rango de la matriz A.

TEOREMA: Sea A Mm,n (K) la matriz [a ij ]. El rango de A es el entero

mayor r, tal que pueda extraerse de A una matriz de orden r, cuyo determinantesea no nulo.


5.15.2-CALCULO DEL RANGO POR EL METODO DE GAUSS- JORDAN

El método de Gauss-Jordan permite, mediante un determinado número deoperaciones muy sencillas, calcular el rango de una matriz, obtener la inversa de



una matriz inversible y, como veremos más adelante, hallar la solución de unsistema lineal compatible.

El método utiliza las mismas operaciones que las usadas en el método deGauss, con la única diferencia de que las mismas están sistematizadas de tal

forma que es posible aplicarlo de manera automática. Mediante las operacionesmencionadas, se trata de formar el mayor número posible de vectores canónicoscomo columnas de la matriz.

Dicho número será, precisamente, el rango de la matriz.


Se procede de la siguiente manera: en la matriz … …



… … … … … se elige un elemento no nulo como pivote, por ejemplo el a 11 , y se divide laprimera fila por dicho número, para obtener la matriz:

1 … … … … … … … …


Luego se reducen a cero los demás elementos de la primer columna; paraello, a la segunda fila, por ejemplo, se debe sumar la primera multiplicada por −

a 21/a 11. Así, los elementos de la segunda fila de A se transforman de lasiguiente manera:



→ 0 →

→ … … … … … … … … … … …

→


De la misma manera se procede para todos los elementos de A.Observemos que queda formado un rectángulo; por ejemplo, si transformamosel a 22, tendremos:



… … … … … … … …

Llamando diagonal principal del rectángulo a la que una los vértices del

pivote y del elemento a transformar y simplemente diagonal a la otra, eltransformado de cada elemento que no se encuentre en la fila y columna delpivote es igual a la diferencia entre dicho elemento y el producto de loselementos de la diagonal dividido por el pivote. El proceso continúa con laelección de un nuevo pivote, que se encuentra en filas y columnas distintas a lasde los anteriores, y termina cuando no se puede elegir ningún pivote en esascondiciones. Como hemos dicho, el número de vectores canónicos queaparecen nos indicará el rango de la matriz.


5.16- SISTEMA DE CRAMER Dado el sistema:



… … … … … … … … … … …

Si dicho sistema tiene el mismo número de incógnitas que de ecuaciones y

además la matriz de los coeficientes es invertible, entonces recibe el nombre desistema de Cramer. Ello hace de que el sistema de Cramer siempre seacompatible determinado.


5.16.1-SOLUCION DE UN SISTEMA DE CRAMER Tomemos el sistema anterior en su forma matricial:AX = B

Por ser A una matriz invertible, podemos multiplicar ambos miembros por

A 1 l b



A −1, con lo que obtenemos:

X = A− 1B

La matriz X es la solución única que tiene el sistema. Además, teniendo en

cuenta que: − ()()

entonces queda:

()() ×


Desarrollando todas las matrices, tendremos:… … … … … … …



… 1() … … … … … … …Por lo tanto, cualquier incógnita, xi por ejemplo, vale:

=()

donde la sumatoria va desde k = 1 hasta k = n . Ahora bien; si analizamos másdetenidamente el numerador, veremos que éste no es otra cosa que el desarrollo

del determinante que se obtiene sustituyendo la columna i de M por lostérminos independientes del sistema, que son b 1, b 2,…, b n .


O sea que queda:

… − + …



… … … … … … … … − + … … … … … …

Esta expresión hay que calcularla para cada una de las incógnitas. El

método propuesto de encontrar la solución de un sistema de Cramer esinteresante desde el punto de vista teórico, pero a la hora de aplicarlo resultapoco práctico, por la gran cantidad de cálculos que es necesario realizar. Existenmétodos más fuertes para solucionar un sistema de esas características; unejemplo es el ya utilizado método de Gauss.


5.17- TEOREMA DE ROUCHE-FROBENIUSEste Teorema nos permite determinar si un sistema lineal dado es

consistente o no, y en caso afirmativo, si es determinado o indeterminado. Paraello se utilizan dos matrices:



i) La matriz de los coeficientes del sistema, a la que hemos denotado A.

ii) La matriz ampliada, que denotaremos Ab , que es la matriz A a laque se le ha agregado una columna formada con los términos independientes

del sistema. O sea que:

… … … … … …


Definidas ambas matrices, y siendo r (A) y r (Ab) los rangos de ambas,estamos en condiciones de enunciar el Teorema:

TEOREMA: Un sistema dado de m ecuaciones y n incógnitas es consistentesí y sólo si r(A) = r(Ab). En tal caso:



i) Si r(A) = r(Ab) = n , entonces el sistema es determinado.

ii) Si r(A) = r(Ab) < n entonces el sistema es indeterminado.

En este caso, a la diferencia h = r (A) −n se la llama grado de libertad delsistema. Fijando el valor de h incógnitas, el sistema se convierte en determinado.


5.18-SOLUCION DE UN SISTEMA MEDIANTE EL METODO DE GAUSS-JORDAN

Introducción: Hemos introducido el método de Gauss-Jordan para elcálculo del rango de una matriz dada. Por el mismo método, que no es otra cosa

d i ió d l d li i ió d G d tili d



que una derivación del de eliminación de Gauss, puede ser utilizado paraencontrar la inversa de una matriz invertible y para hallar la solución de unsistema compatible determinado.

Método de Gauss-Jordan

Un alumno que ha estudiado con atención el análisis de la consistencia deun sistema, se habrá percatado que, para sistemas consistentes determinados, elmétodo de Gauss-Jordan proporciona de manera automática, la solución delmismo. La mejor manera de comprobar esta afirmación es resolviendo un caso

práctico, tal como lo haremos en el ejemplo que sigue.


EjemploDado el sistema:

2 1



22 3 1 2Estudiar la compatibilidad del mismo y, en caso de que sea posible, hallar

su solución mediante el método de Gauss-Jordan.

Solución Aplicamos el método de Gauss-Jordan para estudiar la compatibilidad del

sistema:


1 0 1 2 1

-1 1 -1 -1 2

2 -3 0 1 -1



2 -3 0 1 -1

0 1 1 -1 2

1 0 1 2 1

0 1 0 1 3

0 -3 -2 -3 -30 1 1 -1 2

1 0 1 2 1

0 1 0 1 3

0 0 -2 0 60 0 1 -2 -1


1 0 0 4 2

0 1 0 1 3

0 0 0 -4 4

0 0 1 -2 -1



Por lo tanto, r (A) = r (Ab ); quiere decir que el sistema es compatible.Como además, dicho rango común coincide con el número de incógnitas, elsistema es determinado. Como se puede apreciar en el último paso,reconstruyendo el sistema, la solución es

x1 = 6, x2 = 4, x3 = − 3 y x4 = − 1.

0 0 1 -2 -11 0 0 0 6

0 1 0 0 4

0 0 0 1 -1

0 0 1 0 -3


A li i





Demostrar que el conjunto de vectores 1110, 2101 es linealmente

independiente.

Si tales vectores son linealmente independiente entonces la ecuación vectorial



Si tales vectores son linealmente independiente entonces la ecuación vectorial 1110

2101

0000

tiene solución trivial única. Tal ecuación vectorial es equivalente a la ecuación

matricial 1 21 11 00 1

0000

Construimos en MATLAB la matriz A=[1 2;1 1;1 0;0 1].El comandoB=null(A)

Determina el conjunto solución de la ecuación matricial Ax=0 y lo guardaen la variable B. En el caso anterior tenemos que MATLAB retorna la salida


Sea W={(x,y,z)/x+y+z=0}

Al ser dos sistemas de generadores, cualquier vector del subespacio se podráexpresar como combinación lineal de cada uno de los vectores del conjunto.

Por ejemplo el vector (3 0 3) podrá ser expresado como combinación de



Por ejemplo el vector (3,0,-3).podrá ser expresado como combinación deG1?

x[-1 1 0]+y[-1 0 1]=[3 0 -3] entonces

x[-1 1 0]+y[-1 0 1]=[3 0 -3] que nos da

-x-y=3;x=0;y=-3

Pruebe para G2; observe el resultado y se tendrá

-x-y-2z=3;x+z=0;y+z=-3


B=null(A)

B=Empty matrix:2-by-0

Lo que indica que la única solución de la ecuación Ax=0 es la solucióntrivial. Por lo tanto, los dos vectores dados son linealmente independientes.



Haciendo A=[1 2 0 -1;0 3 1 5] y mediante B=null(A) se obtiene como salidala matriz

B =0.0975 0.9072

-0.1129 -0.3412

0.9804 -0.1001

-0.1283 0.2248


Dado que no se obtuvo como resultado ‘Empty matrix ’ concluimos que elconjunto de vectores es efectivamente linealmente dependiente. Analicemos lamatriz B proporcionada por MATLAB. Cada columna de la Matriz B puede ser vista como un vector en . Todo



vector no cero combinación lineal de los vectores 0,09750,11290,98040,1283

y 0,90720,34120,10010,2248

es

una solución


Demostrar que el conjunto de vectores 10 , 23 , 01 , 15 es

linealmente dependiente.

Haciendo A=[1 2 0 -1; 0 3 1 5] y mediante B=null(A) se obtiene como

salida la matriz



salida la matriz

B =

0.0975 0.9072

-0.1129 -0.3412

0.9804 -0.1001

-0.1283 0.2248


Dados los espacios vectoriales R 3, R 4 y R 5, determinar si los siguientesconjuntos de vectores son L.I. o L.D.

a) {(3,2,-1), (1,0,0), (0,1,2)}

>> A = [3 2 1; 1 0 0; 0 1 2]



>> A = [3 2 -1; 1 0 0; 0 1 2]

>> det(A)

ans =-5

Puesto que, el determinante es diferente de cero, la familia de vectores esL.I


b) {(2,1,-3,4), (-1,3,2,1),(-5,1,8,-7), (3,2,1,-1)}

>> B = [2 1 -3 4;-1 3 2 1;-5 1 8 -7;3 2 1 -1]

>>det(B)

0



ans =0

Puesto que, el determinante es igual a cero, la familia de vectores es L.D.


c) (c) {(1,2,-1,5,3), (1,-1,4,-2,0), (1,1,-1,3,12), (0,4,3,1,-1)}

>> C = [1,2,-1,5,3;1,-1,4,-2,0;1,1,-1,3,12;0,4,3,1,-1]

>> rank(C)

4



ans =4

Puesto que, los 4 vectores pertenecen al espacio R 5, no es posible aplicar eldeterminante, sin embargo son L.I., ya que el rango de la matriz, que

conforman, es 4. Si es menor que 4 es L.D.


Estudiar si los vectores constituyen una base en R 3

Se calcula el determinante de la matriz cuyas filas(columnas) sean lascoordenadas de vectores dados.

>>det([2 3 –1;0 0 1;2 1 0])



>>det([2 3 –1;0 0 1;2 1 0])

ans=4

como es distinto de cero, el conjunto es linealmente independiente, formandouna base sabiendo que la dimensión del espacio es 3


Alternativamente se puede estudiar el rango de la matriz de coordenadas

>>rank([2 3 –1;0 0 1;2 1 0])

ans=3



recordemos que alternativamente si se calcula la forma reducida escalonada porfilas (Jordan) de la matriz de coordenadas:

>>rref([2 3 –1;0 0 1;2 1 0])

se ve que el conjunto es linealmente independiente y base.


Analizar si el conjunto de vectores en R 4 es linealmente independiente ono.

Se calcula el rango

>>rank([1 2 2 1;3 4 4 3;1 0 0 1])



>>rank([1 2 2 1;3 4 4 3;1 0 0 1])

ans=2

al ser dos el rango, el conjunto es ligado


Sea el espacio vectorial en R 5; considerando el subespacio en R 5 dado por ,obtener la dimensión de V y una base del subespacio; estudiar si el vectorpertenece al subespacio V?

>> format rat

>>A=[2 3 4 -1 1;3 4 7 -2 -1;1 3 -1 1 8;0 5 5 -1 4];



>>A [2 3 4 1 1;3 4 7 2 1;1 3 1 1 8;0 5 5 1 4];

se calcula forma escalonada

>> rref.(A)ans =

1 0 0 0 0

0 1 0 1/5 11/5

0 0 1 -2/5 -7/5

0 0 0 0 0

de su análisis se ve que la dimensión de V es tres, siendo una base para V elconjunto


C={(1 0 0 0 0); (0 1 0 1/5 11/5);( 0 0 1 -2/5 -7/5)}

Uno de los métodos clásicos para calcular determinantes es emplear laexpansión de cofactores , aunque no es recomendable para grandes matrices,por su complejidad de cálculo, de cualquier se incluyen ejemplos, arrancando

por su vinculación, con el menor de una matriz



por su vinculación, con el menor de una matriz

>> A=rand(5)

A =0.7547 0.1190 0.2238 0.8909 0.2575

0.2760 0.4984 0.7513 0.9593 0.8407

0.6797 0.9597 0.2551 0.5472 0.2543

0.6551 0.3404 0.5060 0.1386 0.8143

0.1626 0.5853 0.6991 0.1493 0.2435


>> minor(A,5,3)

la submatriz es

0.7547 0.1190 0.8909 0.2575

0.2760 0.4984 0.9593 0.8407

0 6797 0 9597 0 5472 0 2543



0.6797 0.9597 0.5472 0.2543

0.6551 0.3404 0.1386 0.8143

el menor es

-0.5559

>> cofact(A,5,3)

ans =-0.5559


Con el manejo de cofactores se puede calcular la adjunta de una matriz

>> adj(A)

ans =

-0 2760 0 2955 0 0050 -0 1918 -0 0922



-0.2760 0.2955 0.0050 -0.1918 -0.0922

0.2490 -0.0598 -0.3335 0.0707 0.0551

-0.2128 0.1098 0.2988 0.0268 -0.5559

-0.1205 -0.1985 -0.0213 0.2195 0.1007

0.2707 -0.2472 -0.0467 -0.2534 0.3794


Y teniendo en cuenta A -1 = adj(A)/det(A), se puede hallar la inversa de A

>>det(A)

>>inv(A)=adj(A)/det(A)

ans =



ans

1.0456 -1.1196 -0.0191 0.7267 0.3494

-0.9435 0.2266 1.2635 -0.2678 -0.2088

0.8064 -0.4161 -1.1323 -0.1017 2.1063

0.4566 0.7520 0.0807 -0.8318 -0.3817-1.0256 0.9365 0.1770 0.9601 -1.4376


REGLA DE CRAMER Sea el sistema: x1 + 2 x2 - 2 x3 = - 1; x1 - x3 = - 1; 2 x1 - x2 + x3 = 3,

cuadrado

>>cramer(A,B')



( , )

toda la información? y/n: n

ans =

1 1 2

>> cramer(A,B')


toda la información? y/n: y

det_matriz_coeffs =

-5

variable =



variable

1

Matriz =

-1 2 -2-1 0 -1

3 -1 1


determinante =-5

variable =

2



Matriz =

1 -1 -2

1 -1 -1

2 3 1

determinante =

-5

variable =

3


Matriz =1 2 -1

1 0 -1

2 -1 3

determinante =



determinante

-10

ans =

1 1 2


Resolviendo con MatlabSerán infinitas las posibles combinaciones lineales, ya que

Un vector de un subespacio vectorial W se genera de FORMA ÚNICA porsistemas de generadores de W que sean L.I.; y por el contrario existen infinitasformas de generar un vector del subespacio W mediante sistemas de generadores

de W que sean L.D.



q

Dado que no se obtuvo como resultado ‘Empty matrix ’ concluimos que

el conjunto de vectores es efectivamente linealmente independiente.


sistemas lineales

>>[L,U,P]=lu(A); % Este es el comando que calcula las matrices L, U, P

>>B=P*b;

>>y=L\B;

>>x=U\y



x U\y

Graficar sistemas lineales con MATLAB

>>X = -20 : 20;>>[x1, x2] = meshgrid(X,X);

>>f = 0.5*x1 - x2 + 9.5;

>>g = 1.02*x1 - 2*x2 + 18.8;

>>surf(x1, x2, f)


40



-20

-10

0

10

20

-20

-10

0

10

20

-40

-20

0

20


>>hold on>>surf(x1, x2, g)

100



-20

-10

0

10

20

-20

-10

0

10

20

-50

0

50


Otra manera>> clear, syms x y

>> eq1='0.5=(200+3*x+4*y)^2/(20+2*x+3*y)^2/x'

>> eq2='10=(20+2*x+3*y)*y/x'

>> [x y]=solve(eq1,eq2,x,y)




Estudiar si los vectores {(2,3,-1),(0,0,1),(2,1,0)} forman una base del espacio vectorial R 3

>> det([2,3,-1;0,0,1;2,1,0])ans =

4

El determinante es no nulo, los vectores son linealmente independientes,formando base, sabiendo que la dimensión del espacio es 3



formando base, sabiendo que la dimensión del espacio es 3Si calculamos el rango de la matriz de coordenadas>> rank([2,3,-1;0,0,1;2,1,0])ans =

3El conjunto es linealmente independiente formando baseEquivalente a calcular la forma escalonada>>rref([2,3,-1;0,0,1;2,1,0])ans =

1 0 0

0 1 00 0 1

Conjunto libre y base




6.1-INTRODUCCION Vemos algunos conceptos antes de entrar directamente en el núcleo centralUna matriz U εCn_n es unitaria si sus columnas forman una base ortonormal

de vectores de Cn. Una matriz Pε R nxn es ortogonal si sus columnas forman una base ortonormal

de vectores de Rn



Equivalentemente, para U Cnxn se puede considerar

U es unitaria.

U es no singular y U *= U _1. (recordemos que U * es la traspuestaconjugada)

UU*= In.

U* es unitaria.

Las filas de U forman un sistema ortonormal de vectores de Cn.

Para todo x ε Cn se tiene 2= 2


Cómo hallarlos?

Sea AεMn(R), para encontrar los autovalores de A debemos encontrarescalares λ tales que Ax = λx , Ax λx = 0 (A λI)x = 0

Para que el sistema )x = 0 tenga soluciones no triviales ha de verificarse que det(A )=0.



(AλIq ( λI)El polinomio PA(λ)det (AλI) recibe el nombre de polinomio

característico de A, y sus raíces son los autovalores de A.

PA(λ) es un polinomio

de grado n y por tanto A tiene a lo sumo n autovalores distintos.

Una vez obtenidos los autovalores de la matriz, para cada uno de ellos seobtienen los autovectores resolviendo el sistema (A λI)x =0, pues V (λ) N(A

λI)= {x

εRn :(A

λI)x = 0}


Ejemplo: obtener los subespacios propios de

1 2 11 0 1 Del polinomio característico λ3 6λ2+11λ 6=0

los autovalores de A son: 1 =1 2 =2 3 =3.Para cada uno de ellos debemoscalcular el correspondiente subespacio propio, así para



4 4 5 λ ,λ ,λλ1 =1 : V (1) = N(A − I)= {x ε Rn :(A − I) x = 0}. (A − I) x = 0

0 2 11 1 14 4 4 000 , llevando a la forma escalonada la matriz de

coeficientes


Se tendrá 1 1 10 2 10 0 0 ,x1 x2 = x3 y 2x2 = x3 de donde

x 1 = −x 3 /2 y x 2 = x 3 /2 x 1 = α, x 2 =α/ 2 ,x 3 =α

entonces, V (1) = L{(− 1/2 ,1/2 , 1)} = L{(− 1, 1, 2)}.



→


Dada la matriz A =[ 2 2;2 -1] los vectores u = (2 ; 1) y v = (1; -2) sonautovectores de A, siendo los respectivos autovalores λ= 3 y λ= -2. Puede verificarhaciendo A.u=λu,

igual para v.

Los vectores u y v determinan la dirección de dos rectas r1

y r2

respectivamente, que pasan por el origen.



p , q p p g

Geométricamente, A.x es la transformación lineal que dilata a cualquier vector u de r1 en un factor λ=3 , en tanto que los vectores v a lo largo de r2 sereflejan respecto al origen de coordenadas y luego sufren un dilatamiento en unfactor λ= 2.


6.2-MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA Y GEOMETRICA Se llama multiplicidad algebraica de un autovalor λ 0 al número de veces que

aparece λ − λ 0 como factor en el polinomio característico de A.

b) Se llama multiplicidad geométrica de un autovalor λ 0 a la dimensión del

subespacio propio V ( λ0)



La dimV ( λ0)=dimN(A − λ0I)= n − r(A − λ0I).

Para un autovalor λ , la multiplicidad algebraica se denota por m ( λ), la

geométrica se denota por µ ( λ).

En el ejemplo se verifica que µ = m =1 para los tres autovalores.


Para cada autovalor, el valor de la multiplicidad geométrica está acotado porel valor de la multiplicidad algebraica., es decir: si λ es un autovalor de A, 1 ≤ m( λ)≤ μ( λ).

Lema: sea λ autovalor de A y x ε V A( λ),x ≠ 0.

i λ l d A V ( λ)



i- αλ es un autovalor de α A y x ε V α A( αλ).

ii- λp es un autovalor de Ap y x V Ap( λp)

iii- A es singular,si y sólo si λ =0 es un autovalor de A.

iv- Si A es regular, entonces λ ≠0 y λ −1 es un autovalor de A −1 y x V A −1 (λ −1).


Veamos:i-λ autovalor de A y x ε VA( λ),x ≠ 0, entonces Ax = λ x α Ax = αλx (α A)x =(αλ)x

luego αλ es un autovalor de α A y x ε V α A( αλ).

ii-Por inducción sobre p :Se verifica para p =2:



-Se verifica para p =2:

A 2x = AA x = A(λ x )= λ (A x )= λ (λ x )= λ 2x luego λ 2es un autovalor de A2 y x ε VA2 ( λ2)

Se supone cierto para p − 1, es decir λ p−1 es un autovalor de Ap−1 y x ,quedaanalizar si se cumple para p:

x= AAp−1x= A( λp−1x)= λp−1(Ax )= λp−1( λx )= λpx.

Finalmente luego λp es un autovalor de Ap y x

Por tanto, para todo p se cumple: λp es un autovalor de Ap y x


iii- A es singular det(A)=0 det(A − 0I)=0 λ =0 es un autovalor de A.

iv-Si A es regular, entonces sus autovalores son no nulos.

Por tanto, si λ es un autovalor cualquiera de A, se verifica:

Ax = λx A−1Ax = A−1λx x = λA−1x A−1x = (1/λ)x



Ax = λ x A 1 Ax = A 1 λx x = λ A 1x A 1x = (1/λ )x

Significando 1/ λ es un autovalor de A−1 y . x Lema: Si v 1, ..., v k sonautovectores correspondientes a autovalores distintos λ1, ..., λk, de una matriz A

entonces {v 1 ,...,v k } es un conjunto linealmente independiente.

Nota: Si A tiene n autovalores distintos podemos obtener una base de Rn formada por n autovectores { v 1,...,v n} tales que v iε V ( λi),i =1, ..., n.


En la matriz ejemplo, sus tres autovalores distintos: λ 1 =1,λ 2 =2 y λ 3 =3, y quesus subespacios propios son:

V (1) = L{( −1, 1, 2)},V (2) = L{( −2, 1, 4)} y V (3) = L{( −1, 1, 4)}

Para obtener una base C de R

3

formada por autovectores de A, basta unir lasbases de los subespacios propios de A:



C = {(−1, 1, 2), (−2, 1, 4), (−1, 1, 4)}


6.3-SEMEJANZA DE MATRICESDos matrices A, B ∈ Mn(R) son semejantes si existe una matriz P ∈ Mn(R)

regular tal que B = P −1 AP .

Lema: Si A y B son dos matrices semejantes, con B = P −1 AP , entonces:



i- PA( λ) = PB( λ).

ii- det(A) = det(B).

iii- tr(A) = tr(B).

iv Si x ∈ VA( λ), x ≠ 0, entonces P −1x ∈ VB( λ).


Ejemplo: sean las matrices

A=1 2 11 0 1 , D =

1 0 00 2 0 ,P =1 2 11 1 1

Mediante el méto de Gauss-Jordan se puede hallar



4 4 5 0 0 3 2 4 4P − 1 =

0 2 1/21 1 01 0 1/2

Haciendo D = P −1 AP , nos da:

D=1 0 00 2 00 0 3


PA(λ ) = det(A − λI ) = 1 2 11 14 4 1 =−λ 3 + 6 λ 2 − 11 λ + 6.

El polinomio característico de D es:

PD(λ) = det(D − λI) = (1 (2 (3



PD(λ ) = det(D λI ) = 1 0 00 2 00 0 3 (1 λ) (2 λ) (3 λ)

=

λ3 + 6

λ2

11

λ+ 6


Igual procedimiento seguimos para demostrar iii e iv en el ejemplo

Con el concepto de semejanza podemos introducir una definición:

Una matriz A ∈ Mn(R) es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal.

Lema: Una matriz A es diagonalizable sí y sólo si existe una base de Rn formada por



autovectores de A.

Sea B = { v1, ..., vn } una base de Rn formada por n autovectores de A, con v i ∈ V ( λi), siendo los autovalores λi iguales o distintos.

Se verifica:

AP=A[ v1 | · · · |v n] = [Av1 | · · · |Avn ] = [ λ1v1| · · · | λnvn] =

[ v 1 | · · · |v n ] ⋱ =P D


En consecuencia D = P −1 AP , siendo P = [ v 1 | · · · |v n ] una matriz regular puessus columnas son linealmente independientes.al ser B una base.

El razonamiento recíproco es inmediato, pues si D = P −1 AP , entoncesB = { v 1 , ..., v n } es una base de Rn formada por autovectores de A.

E l L A l d λ1



Ejemplo: La matriz A = 1 2 11 0 14 4 5 tiene tres autovalores distintos: λ1 =

1, λ2 = 2 y λ3 = 3.

Los subespacios propios de A son:

V (1) = L{( −1, 1, 2)}, V (2) = L{( −2, 1, 4)} y V (3) = L{( −1, 1, 4)}.

Uniendo las bases de estos subespacios se tiene una base de R 3 formada por

autovectores:

B = { v 1 , v 2 , v 3 } siendo v 1 = (−1, 1, 2), v 2 = (−2, 1, 4) y v 3 = (−1, 1, 4).


La matriz de paso P se obtiene escribiendo por columnas los vectores de B.

P = [ v 1|v 2|v 3] =1 2 11 1 1 verificándose D = P −1 AP =

1 0 00 2 0

Las columnas de P están determinadas según el orden de escritura de losautovalores Así si se hubieran ordenado los autovalores como:



2 4 4 0 0 3autovalores. Así, si se hubieran ordenado los autovalores como:

λ1 = 3, λ2 = 2 y λ3 = 1., los subespacios serían:V ( λ1) = V (3) = L{( −1, 1, 4)}, V ( λ2) = V (2) = L{( −2, 1, 4)} y

V ( λ3) =V (1) = L{( −1, 1, 2)}.

En consecuencia, la base B formada por autovectores de A, y las matrices D y P serían:

B = {( −1, 1, 4), ( −2, 1, 4), ( −1, 1, 2)},D= 1 0 00 2 00 0 3 P= 1 2 11 1 14 4 2


6.4-DIGONALIZACIONUn criterio para la diagonalización de matrices se establece a través del lema:Una matriz A ∈ Mn(R ) es diagonalizable si y sólo si posee n autovalores

(iguales o distintos) y sus multiplicidades verifican las siguientes condiciones:

a) m1 + · · · + mp = n.b) para todo autovalor λ i = 1 p



b) , para todo autovalor λi, i = 1, ..., p.

Una matriz A con n autovalores distintos siempre verifica las dos condicionesanteriores.

Entonces para una matriz A ∈ Mn(R), para diagonalizar se fectúan los pasos:

a) Se calculan los autovalores de A, y ha de verificarse que:m1 + · · · + mp = n. Es decir, ha de haber n raíces de PA( λ); μi = mi, para todo

autovalor λi, i = 1, ..., p.

b) Para cada autovalor λi, i = 1, ..., p., se determina una base de cadasubespacio propio V ( λi).


3) Se obtiene la base B = { v 1 , ..., v n } uniendo las bases de los subespaciospropios de A.

Una vez obtenida la base B, disponiendo las componentes de sus vectores porcolumnas se obtiene la matriz de paso P .

La matriz diagonal viene determinada por los autovalores, escritos en el



mismo orden que los vectores correspondientes de la base B, o sea:,

P = [ v 1 | · · · |v n ] D =

0 00 ⋱ 00 0


6.5-DIAGONALIZACION ORTOGONAL Una matriz A ∈ Mn(R ) es ortogonalmente diagonalizable si existe una

matriz Q ortogonal, tal que D = Q t AQ es una matriz diagonal.

Quiere decir que diagonalizar ortogonalmente una matriz A equivale a

encontrar una base ortonormal de R n formada por autovectores.



Las matrices reales simétricas son matrices, que tienen todos los autovaloresreales, y que se pueden diagonalizar ortogonalmente. Además sus autovalores y autovectores tiene propiedades como las que se mencionan seguidamente:

P1- Si A ∈ Mn(R) una matriz simétrica, entonces los autovectores correspondientes aautovalores distintos son ortogonales.


Dados x , y ∈ R n

, se verifica: (Ax)·y = yt

Ax = (At

y)t

x = x·(At

y) =

Sean ahora v 1 ∈ VA( λ1) y v 2 ∈ VA( λ2), cualesquiera, entonces:

Av1 = 1v1 y Av2 = λ 2 v2 , veamos que v1 · v2 = 0.

1(v1 · v2) = (λ1v1) · v2 = (Av1) · v2 =v1 · (Av2) = v1 · 2v2) = λ 2(v1 · v2)



λλ (λluego, λ 1(v1 · v2) = λ 2(v1 · v2) (λ 1 λ 2)(v1 · v2) =0 v1 · v2 = 0

v1⊥v2.

Se desprende: Si A ∈ Mn(R) es simétrica, los subespacios propios de A sonortogonales.

Y el lema: Una matriz A ∈Mn(R) es ortogonalmente diagonalizable si y sólosi es simétrica.


Veamos en un sentido: Si A es ortogonalmente diagonalizable, entoncesexiste una matriz Q ortogonal y una matriz D diagonal, tales que Q t AQ = D . Se verifica que A = Qt DQ,y At = (Qt DQ)t = Qt DQ = A A = At .

Si partimos de la condición simétrica: Si A es simétrica los subespaciospropios de A son ortogonales. Si hallamos una base ortonomal para cada uno deellos y reunimos las bases obtendremos una base ortonormal B = { w 1, ..., w n} de Rn f d t t d A t t A á di g li bl t g l t



formada por autovectores de A , y por tanto A será diagonalizable ortogonalmentesiendo Q = [w1| · · · |wn] la matriz de paso

El procedimiento , para hallar la base ortonormal de autovectores, constaráde los pasos:

a-Dada una matriz simétrica A ∈ Mn(Rn) se calculan los autovalores de A,debiendo cumplirse m1 + · · · + mp = n., ha de haber n raíces de PA( λ).

μi = mi, para todo autovalor λ i , i = 1, ..., p .

b- Para cada autovalor λ i , i = 1, ..., p ., se determina una base ortonormal de

cada subespacio propio V ( λi).

c- Se obtiene la base B = {w1, ..., wn} uniendo las bases ortonormales de lossubespacios propios de A.


Una vez obtenida la base B, disponiendo las componentes de sus vectores porcolumnas se obtiene la matriz de paso Q ortogonal. La matriz diagonal vienedeterminada por los autovalores, escritos en el mismo orden que los vectorescorrespondientes de la base B, o sea:

Q = [ w 1| · · · | w n], D =



0 00 ⋱ 00 0 Ejemplo: Diagonalizar ortogonalmente la matriz

A = 1 2 02 2 20 2 3 ,

det(A−λI )= −λ 3 +6 λ 2 − 3 λ− 10 = − (λ − 5) (λ − 2) (λ + 1); losautovalores son: λ

1

=

1, λ

2

= 2 y λ 3

= 5.


Cálculo de los subespacios propios:Para λ 1 = 1:V ( − 1) = N(A + I) = { x ∈ R n : (A + I) x = 0}. (A + I)x = 0

2 2 02 3 20 2 4 000



2 2 02 3 20 2 4 000Reduciendo por filas la matriz de coeficientes llegamos al sistema:2 2 0 2

De donde x 1 = 2 α ;x 2 = 2 α ; x 3 = α

De aquí V ( −1) = L{(2, 2, 1)} = L{( 2/3 , 2/3 , 1/3 ), ya dividido por la normadel vector (2, 2, 1), ya que deber unitario.

Repitiendo el proceso para los otros dos autovectores, se llega a:-V (2) = L{( −1, 1/2 , 1)} = L{( −2/3 , 1/3 , 2/3 )} -V (5) = L{(1, −2, 2)} = L{( 1/3 , −2/3 , 2/3 )}.


Ya se disponen los tres subespacios propios a través de una base ortonormal

V ( −1) = L{(2, 2, 1)} = L{( 2/3 , 2/3 , 1/3 ) V (2) = L{( −1, 1/2 , 1)} = L{( −2/3 , 1/3 , 2/3 )} V (5) = L{(1, −2, 2)} = L{( 1/3 , −2/3 , 2/3 )}.

Uniendo estas bases de los subespacios propios se tiene una base ortonormalde R3 formada por autovectores:



de R3 formada por autovectores:

B = {w 1, w 2, w 3} siendo w 1 = (2/3 , 2/3 , 1/3 ), w 2 = (−2/3 , 1/3 , 2/3 ) y w 3 =(1/3 , −2/3 , 2/3 ).

Q = [ w 1|w 2|w 3 ] =2/3 2/3 1/32/3 1/3 2/31/3 2/3 2/3 y

D=Qt AQ= 1 0 00 2 00 0 5


6.6-TEOREMA DE CAYLEY - HAMILTONToda matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica. Es decir, si p( ) =

0 es la ecuación característica de A, entonces p(A) = 0 , es decir el polinomiocaracterístico de A anula A.

Se tiene



a 11 - a 12 . . . a 1n

P( ) = det (A - I) = a 21 a 22 - . . . a 2n

: : : a n1 a n2 . . . a nm -


Toda matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica. Es decir, si p( ) = 0 es la ecuación característica de A, entonces p(A) = 0 , es decir elpolinomio característico de A anula a A.

Se tiene

a 11 - a 12 . . . a 1n

P() = det (A I) = a a a



P( ) = det (A - I) = a 21 a 22 - . . . a 2n

: : : a n1 a n2 . . . a nm -

Es claro que cualquier cofactor de (A - I) en un polinomio en . Así, laadjunta de A - I es una matriz de n * n en la que cada componente es unpolinomio en . Es decir,

p 11 ( ) p 12 ( ) . . . p 1n ( )

Adj (A - I) = p 21 ( ) p 22 ( ) . . . p 2n ( ) : : :

p n1 ( ) p n2 ( ) . . . p nm ( )


Entonces podemos ver la adj (A - I ) como en un polinomio, Q( ) , en cuyos coeficientes son matrices de n * n . Para entender esto, se ve lo siguiente:

-2 - 2+ 1 22 - 7 - 4 = -1 2 2 + -2 -7 + 1 -4

42

+ 5

-2 -32

-

+ 3 4 -3 5 -1 -2 3

En algunas situaciones el teorema de Cayley-Hamilton es útil para calcular la



En algunas situaciones el teorema de Cayley-Hamilton es útil para calcular lainversa de una matriz. Si existe A-1 y p(A) = 0, entonces A-1 p(A) = 0 . Veamos, si

p( ) = n + a n-1 n-1 + ... + a 1 + a 0 , entonces

P(A) = An + a n-1 An-1 + ... + a 1 A + a 0 I = 0 y

A-1 p(A) = An-1 + a n-1 An-2 + ... + a 2 A + a 1 I + a 0 A

-1 = 0

Así

A-1 = 1/a 0 (-An-1 – a n-1 An-2 - ... – a 2 A – a 1 I)

Ver que que a 0 0 porque a 0 = det A y se supuso que A era invertible.


AplicacionesMATLAB





eig(A) Da los valores propios de A cuadrada[V,D]=eig(A) Da la matriz diagonal D de valores propios de A y una

matriz V cuyas columnas son los vectores propioscorrespondientes/A*V=V*D

eig(A,B) Da un vector con los valores propios generalizados de A y B cuadradas(raíces de det(λ *B-A))

[V D]=eig(A B) Da la matri diagonal D de alores propios generali ados



[V,D]=eig(A,B) Da la matriz diagonal D de valores propios generalizadosde A y B y una matriz V cuyas columnas son los vectorespropios correspondientes/A*V=B*V*D

[AA,BB,Q,Z,V]=qz(A,B) Da las triangulares superiores AA y BB y las matrices Q y Z/Q*A*Z=AA y Q*B*Z=BB, y da la matriz V de vectoresgeneralizados de A y B, cumpliéndose

A*V*diag(BB)=B*V*diag(AA)

balance(A) Da la matriz B balanceada de A, útil para aproximar los valores propios de A cuando son difíciles de hallar,cumpliéndose eig(A)=eig(balance(A))


[U,T]=schur(A) Da una matriz T y una unitaria U/A=U*T*Ut

y Ut

*U=eye(U); si aes compleja, T es una triang. sup con los valores propios de A en ladiagonal, si es real, T tiene los valores propios en la diagonal.

[L,U]=lu(A) Factoriza A en A=L*U, U es triang sup. y L una pseudotriang.

inferior



[L,U,P]=lu(A) Factoriza A en P*A=L*U, U es triang sup. y L una triang. Inferior, Pmatriz de permutación

R=chol(A) Da R(triang. Sup)/R t*R=A, pero A debe ser definida positiva

[Q,R]=qr(A) Da la triang. sup. R de igual dimensión que A y la ortogonalQ/A=Q*R( para matrices no cuadradas)

[Q,R,E]=qr(A) Da la triang. sup. R de igual dimensión que A, la de permutación E y la ortogonal Q/A*E=Q*R( para matrices no cuadradas)


jordan(A) Da la matriz canónica J de A( J tiene los valores propios de A en la diagonal)[V,J]=jordan(A) Da la matriz canónica J de A y la matriz de paso V cuyas

columnas son los autovectores de A/V -1*A*V=J

condeig(A) Vector con los números de condición para los valores propiosde A h (A) D l t i d H b H



hess(A) Da la matriz de Hessenberg Hpoly(A) Da el polinomio característico de A poly(v) Da un vector cuyas componentes son los coeficientes del

polinomio, cuyas raíces son los elementos del vector v


Ejemplos:

>>[ V,D]=eig(A,B) V =

-1.0000 0.2500 - 0.7500i -0.5833 - 0.4167i0 -0.5000 -0.5000 + 0.5000i0 0 0 + 0.3333i



D =0 - 1.0000i 0 00 -1.0000 0

0 0 0 + 1.0000i

Sea A=[-0,4326 0.2877 1.1892; -1,6656 –1.1465 –0.0376; 0.1253 1.19090.3273] y B la matriz de Hesenberg de A, dada por B=[ -0.4326 -0.1976 1.2074;1.6703 -1.2245 0.1544; 0 -1.0741 0.4053]


>> [V,D]=eig(A) V =0.2827 0.4094 - 0.3992i 0.4094 + 0.3992i0.8191 -0.0950 + 0.5569i -0.0950 - 0.5569i

-0.4991 0.5948 0.5948D =-1.6984 0 0

0 0.2233 + 1.0309i 0



90 0 0.2233 - 1.0309i

>> [V,D]=cdf2rdf(V,D)

V =0.2827 0.4094 -0.39920.8191 -0.0950 0.5569

-0.4991 0.5948 0

D =-1.6984 0 00 0.2233 1.03090 -1.0309 0.2233


>> [U,T]=schur(A)

U =0.2827 0.2924 0.91360.8191 -0.5691 -0.0713

-0.4991 -0.7685 0.4004T =-1 6984 0 2644 -1 2548



-1.6984 0.2644 -1.25480 0.2233 0.72230 -1.4713 0.2233

>> [Q,R,E]=qr(A)

Q =-0.2507 0.4556 -0.8542-0.9653 -0.0514 0.2559

0.0726 0.8887 0.4527


R =1.7254 1.1211 -0.23800 1.2484 0.83460 0 -0.8772

E =1 0 00 1 00 0 1



Tomando A= [1 5 -2; -7 3 1;2 2 -2];

>> [L,U,P]=lu(A)

L =1.0000 0 0

-0.1429 1.0000 0-0.2857 0.5263 1.0000

U =-7.0000 3.0000 1.00000 5.4286 -1.85710 0 -0.7368


P =0 1 01 0 00 0 1

>> [Q,R,E]=qr(A)Q =

-0.1361 -0.8785 -0.45790.9526 -0.2430 0.1831



-0.2722 -0.4112 0.8700R =

-7.3485 1.6330 1.7691

0 -5.9442 2.33660 0 -0.6410

E =1 0 00 1 0

0 0 1>> R=chol(A)??? Error using ==> cholMatrix must be positive definite.


>> X=pinv(A)

X =0.2857 -0.2143 -0.39290.4286 -0.0714 -0.46430.7143 -0.2857 -1.3571

>>jordan(A)



j

ans =-0.8163 0 0

0 1.4082 - 5.6847i 00 0 1.4082 + 5.6847i


Estudiamos la diagonalización de una matriz a través del archivodiagonalización

>>A=[1 1 1;1 2 3;1 3 6];>>diagonalizacion(A)

analizamos la primera propiedad de diagonalizaciónla cual nos dice que A esdiagonalizable si A tiene n valores propios distintos, los valores propios son:



g p p p p Vp =

0.12701.0000

7.8730la matriz A es diagonalizable por ser todos los valores propios distintos

La matriz diagonal semejante a "A"es D=

D =

0.1270 0 00 1.0000 00 0 7.8730

matriz que contiene en su diagonal los valores propios de A Elementos de Algebra Lineal - 2011 326

>> X=pinv(A) X =0.2857 -0.2143 -0.39290.4286 -0.0714 -0.46430.7143 -0.2857 -1.3571

>>jordan(A)ans =-0.8163 0 0



0 1.4082 - 5.6847i 00 0 1.4082 + 5.6847i

-El teorema de Cayley Hamilton establece que pol(A)=poly(A)=0, es decir quecada matriz satisfice su ecuación característica , usando el archivo lincomb

>>Q = lincomb(num2cell(pol), {A^3, A^2, A, eye(size(A))})Q =

1.0e-012 *-0.2842 -0.4547 -0.4547-0.4547 -0.2842 -0.4547-0.4547 -0.4547 -0.2842




7.1-INTRODUCCIONSea A Mn(R), el número real λ es un autovalor de A (o valor propio) si existe

un vector x ≠0, tal que A x = λ x. Todo vector no nulo que satisfaga esta relación sedenomina autovector de A (o vector propio) asociado al autovalor λ .

Un autovector sólo está asociado a un autovalor: En efecto , si x es unautovalor de A asociado a λ 1 y λ 2, entonces: A x = λ 1x = λ 2x (x≠0) λ 1 = λ 2.



Ahora, un autovalor tiene asociados infinitos autovectores.

Es decir, si x es un autovector correspondiente a λ también µx es unautovector correspondiente a λ . De hecho todos los vectores del subespacioN(A−λI ),excepto el vector nulo, son autovectores correspondientes a λ .

Se puede esbozar la definición: si λ es un autovalor de una matriz A Mn(R), el

subespacio N(A−λI ) se denomina subespacio propio de A asociado al autovalorλ ,y se denota por VA(λ) o V (λ ).


Una norma . 2 en Cmxn

se dice que es unitariamente invariantes si∀ y para todo par de matrices unitarias U ε C mxm y V ε C nxn se cumple que = los valores singulares son el resultado de la búsqueda de una formade reducir las formas cuadráticas a forma diagonal mediante cambios de baseortonormales.

Una hiperelipse es la generalización a m dimensiones de una elipse.



Podríamos definirla como la superficie que se obtiene al estirar o comprimirla esfera unidad en m direcciones ortogonales por factores σ1, σ 2,. . . , σ m (posiblemente cero). Es decir, si se fijan m vectores ortonormales u1, . . . , um ε Fm,

los vectores σ 1u1,. . . , σ mum son los semiejes de la hiperelipse con longitudes σ1, σ 2,. . . , σ m.

Si − / 1 es la esfera unidad y A ε F mn_ entonces A(Sn-1) es una hiperelipse. La Figura representa el caso n = m=2 y F= R




Las matrices transforman esferas en elipses

Qué significa esto términos de matrices. Supongamos que la matriz de laaplicación lineal es A ε F mxn y que, por sencillez, r(A)=n≤ m. Notemos que, comoaplicación lineal, A : F n → F m.

Como hemos mencionado, la hiperelipse queda determinada, en principio,por m vectores ortonormales {u1, . . . , um } y las correspondientes longitudes de los

semiejes σ1, σ 2,. . . , σ m que los vamos a suponer ordenados de forma que σ 1≥ σ 2 ≥. . . ≥ σ m


Así σ iui es el i-ésimo semieje más largo de A(S n-1

) . Entonces, para i=1,..,mσiuiε A(Sn-1) pero como los vectores {u 1 , . . . , u m } son ortonormales, y por lo tantoson linealmente independientes, si r(A)=r debe haber como máximo r vectores σ iui linealmente independientes.

De todo ello se sigue que hay r de los σ i

que son distintos de cero. Es decir, sila hiperelipse es la imagen por A de la esfera unidad, debe estar en ImA de formaque sólo puede contener r vectores linealmente independientes. Finalmente sean



{v 1 , . . . , v n } de Sn-1, las anteimágenes de los semiejes no nulos de la hiperelipse:Av i = σ i u i , i=1,… , r.

Por ahora admitamos que los vectores vi son ortogonales (y, por lo tanto,ortonormales porque estan en la esfera unidad).

La condición Av i = σ i u i , i=1,… , r , se puede escribir en forma matricial:

Si escribimos 1, . . . , y , … , tenemos que =⅀ con⅀=diag(σ1, σ 2,. . . , σ r ) siendo y matrices cuyas columnas son vectores ortonormales.


Si escogemos base ortonormal de KerA y que sean ortogonales a los depodemos formar una matrix unitaria V=[ ] que es unitaria y AV = [⅀ 0],

entonces: A= [⅀ 0]V *=⅀*

A esta factorización de A se le llama Descomposición en Valores Singulares

Reducida de A, SVD reducida de A.

Definimos: Sea m, n enteros positivos y A ε Cmxn. Una descomposición en valores



, p y psingulares (completa) de A es una factorización A=U⅀ V * donde: U ε C mxm y V ε C nxn

son unitarias y

⅀ es diagonal. Además,

, … , 0−∗ , … , 0∗− si m ≧ nsi n ≧


En cualquier caso, σ 1 ≥ σ 2 ≥ . . . ≥ σ p ≥0, p=mín{m.n} son números realesno negativos ordenados de mayor a menor y se llaman valores singulares de A.

Además, a los vectores u 1 , . . . , u m y v 1 , . . . , v n que forman las columnas de U y V se les llama vectores singulares de A por la izquierda y por la derecha,respectivamente.

Si A ε R mxn sólo cambia “matriz unitaria” por “matriz ortogonal”.



Quedando establecido de manera rigurosa que tal descomposición es siempreposible y que los valores singulares están determinados de forma única por A.

Lema : Toda matriz A ε F mxn admite una descomposición en valores singulares. Además, los valores singulares están determinados de forma única, y, si A es cuadrada y susvalores singulares son todos distintos, entonces los vectores singulares están tambiéndeterminados de forma única excepto producto por un número complejo de módulo 1.


7.2-FORMAS CUADRATICASSe había visto que una matriz A es simétrica si At=A, necesariamente

cuadrada

De la condición de simetría de A, también se mencionó que implicaba que

cualesquiera dos vectores propios de espacios propios son ortogonales, y lacondición de simetría de A(nxn) era indispensable para la diagonalización

t g l



ortogonal.


Una forma cuadrática sobre R es una aplicación q : R n

→ R que a cada vector x =(x 1 , x 2 , · · · , x n ) ∈ R n le hace corresponder un número real dado por: q (x 1 , x 2 , · · · , x n ) = a 11x 21+a 22x 22 +· · · +a nn x 2n +2a 12x 1x 2+· ·

· +2a 1n x 1x n +· · · +2a n- 1n x n - 1n x n

con aij ∈ R , ∀ i, j = 1, 2, · · · , n, y que corresponde a un polinomio homogéneo desegundo grado en las n variables x

1 , x

2 , · · · x

n .

Esta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de



la forma:

, , … . , , , … . , … … … … … … X t A X

donde la matriz A asociada a la forma cuadrática, es una matriz simétrica de ordenn cuyos elementos de la diagonal principal son los coeficientes de los términoscuadráticos de la expresión polinómica, y los restantes elementos de la matriz son

la mitad de los coeficientes de los términos no cuadráticos de dicha expresión.Esta relación entre los elementos de una y otra expresión de la formacuadrática, permite obtener facilmente cada una de ellas a partir de la otra.


Ejemplo La forma cuadráticaq

: R

2

→

R cuya expresión polinómica esq( x, y

)= 3 x2 − 6 xy + y2 tiene por expresión matricial: , ( , ) 3 33 1

7.3-EXPRESION DIAGONAL DE UNA FORMA CUADRATICA

Una expresión diagonal o canónica de una forma cuadrática q : R n → R vienedada por: 0



, , … . , ⋯ , , … . , … 0… … …0 …

…

es decir, la expresión polinómica sólo contiene términos cuadráticos y la matrizasociada es diagonal.

Cualquier forma cuadrática admite, al menos, una expresión diagonal que esla que viene dada por los autovalores de la matriz asociada, aunque, bajo ciertas

condiciones, también pueden existir otras expresiones diagonales.


Lema: Para toda forma cuadrática q : R n

−→ R , con A su matriz asociada, y λ1, λ2, · · · , λn los autovalores de A, existe una expresión diagonal dada por q( x1, x2, · · · , xn) = λ1 x

211 + λ2 x

22 + · · · + λn x

2n.

Ejemplo. Sea la forma cuadrática q : R 3 → R dada por:

q( x, y, z) = 3 x2 + 3y2 + 5z2 − 4 xy = ( x, y, z) 3 2 02 3 00 0 5



0 0 5 La matriz asociada A tiene los autovalores λ1 = 1, λ2 = λ3 = 5 por lo que una

expresión diagonal de q es q( x, y, z) = x2

+ 5y2

+ 5z2

.

Lema de Jacobi: Sea una forma cuadrática q : R n → R , A su matriz asociada,D1,D2, · · · ,Dn los menores principales de A(los formados con las i primeras filas y las iprimeras columnas) y r ( A) = r ≤ n. La expresión diagonal de Jacobi de la forma cuadráticaq viene dada por:

q( x1, x2, · · · , xn) = D1 x21 +(D2/D1) x2

2 + · · · +(Dr/Dr- 1) x2r ,siempre que D1 = 0,

D2 = 0, · · · ,Dr = 0.


Ejemplo: Sea q la forma cuadrática del ejemplo anterior: Los menoresprincipales son D1 = 3,

2 3 2

2 3 , 3 3 2 0

2 3 00 0 5=25

Como r ( A) = 3 y los tres menores principales son distintos de cero, laexpresión diagonal de Jacobi es:



,expresión diagonal de Jacobi es:

q( x, y, z) = 3 x2 +(5/3)y2 +(25/5)z2 = 3 x2 +5/3y2 + 5z2.


7.3.1- TIPOS DE FORMAS CUADRATICASSea q : R n→ R una forma cuadrática y x = ( x1, x2, · · · , x n) ∈ R n. Se dice que:

q( x) es definida positiva si q( x) > 0, ∀ x ∈ R n, x = 0.

q( x) es definida negativa si q( x) < 0, ∀ x ∈ R n, x = 0.

q(x) es semidefinida positiva si q(x) ≥ 0 ∀x ∈ Rn y ∃u = 0 : q(u) = 0



q( x) es semidefinida positiva si q( x) ≥ 0, ∀ x ∈ R , y ∃ u = 0 : q( u) = 0.

q( x) es semidefinida negativa si q( x) ≤ 0, ∀ x ∈ R n, y ∃ u = 0 : q( u) = 0.

q( x) es indefinida si ∃ u, v ∈ R n

: q( u) > 0, q( v) < 0.

Por ejemplo ,la forma cuadrática q( x, y) = ( x − y)2 es semidefinida positiva puesq( x, y) ≥ 0 ∀ ( x, y) ∈ R 2 y q( x, x) = 0.


En término de autovaloresSea q : Rn → R una forma cuadrática y λ1, λ2, · · · , λn los autovalores de su

matriz asociada. Se verifica:

q( x) es definida positiva si y sólo si los autovalores de A son todos positivos.

q( x) es definida negativa si y sólo si los autovalores de A son todos negativos.

q(x) es semidefinida positiva si y sólo si los autovalores de A son positivos y nulos



q( x) es semidefinida positiva si y sólo si los autovalores de A son positivos y nulos.

q( x) es semidefinida negativa si y sólo si los autovalores de A son negativos ynulos.

q( x) es indefinida si y sólo si los autovalores de A son positivos y negativos.

O de la forma:

Sea q : Rn → R una forma cuadrática, A su matriz asociada,

Di : 1 ≤ i ≤ n los menores principales de A, y r = r(A).


7.3.2-ESTUDIO DEL SIGNO DE UNA FORMA CUADRATICA REAL DE N VARIABLES

Es común que éstas tengan que satisfacer un conjunto de restricciones, o loque es lo mismo, que el vectorx pertenezca a algún subespacio de R n. Por tanto,interesa clasificar la forma cuadrática en el subespacio en el que están restringidas

las variables.

Sean q : Rn → R una forma cuadrática y E un subespacio vectorial de Rn.



Sean q : Rn R una forma cuadrática y E un subespacio vectorial de R .

q restringida a E es definida positiva si q(

x) > 0,

∀ x

∈E,

x =

0.

q restringida a E es definida negativa si q( x) < 0, ∀ x ∈ E, x = 0.

q restringida a E es semidefinida positiva si q( x) ≥ 0, ∀ x ∈ E, y ∃u ∈ E,u = 0 : q(u) = 0.

q restringida a E es semidefinida negativa si q(

x) ≤ 0,

∀ x

∈E, y

∃u

∈E,

u = 0 : q(u) = 0..

q( x) es indefinida si ∃u, v ∈ E : q(u) > 0, q( v) < 0


Veremos como nos ayudamos con Matlab para una aplicación de las formascuadráticas.

Una forma cuadrática en Rn es una aplicación q : R nx R n → R ; cuyos valores seobtienen mediante una fórmula del tipo q( X ) = XT AX; siendo X = (x1,

…, xn)T y

A Ɛ M n

, una matriz simétrica, es decir, A cumple la condición A = AT

O sea debemos hallar un cambio de variable o de baseX PY ( )T l l PT AP D d



X = PY , Y = (y 1 ; ; y n ) T, para el cual se tenga que PT AP = D, siendo matrizdiagonal

La nueva forma cuadrática Y T DY no tendrá productos cruzados, (, 0 , ≠ ) y será una suma que sólo tiene términos cuadrados, ∝ , la diagonal principal de D serán los coeficientes ∝, … , ∝


Sea X=(x 1 ,… ,x 4 ) t

, nos piden clasificar la forma cuadrática 2 6 9 9 4 4 4

empleando diagonalización ortogonal y transformaciones elementales.

Escriba la nueva forma cuadrática.

L i i d A [ 2 2 2 2 2 6 0 0 2 0 9 3 2 0 3 9)



La matriz asociada a q es A=[- 2 2 2 2;2 -6 0 0;2 0 -9 3;2 0 3 -9)

Si

,es el producto cruzado

, entonces las entradas

(i,j) y (j,i) de A= (a i,j )son ∝,∝, , /2


Calculamos autovalores y autovectores aplicando el comando eig>>A=[-2 2 2 2; 2 -6 0 0;2 0 -9 3;2 0 3 -9];

>>format rat

>>[P,D]=eig(A)P =

Columns 1 through 3* -1/2 *

/ /



* 1/2 881/1079

985/1393 1/2 -881/2158

-985/1393 1/2 -881/2158

Column 4

-1170/1351

-390/1351-390/1351

-390/1351


D =Columns 1 through 3

-12 0 0

0 -8 0

0 0 -60 0 0



Column 4

0

0

0*


el asterisco * signica que se trata de números muy pequeños,menores que < 1:0e– 15/2, que pueden ser considerados iguales a cero y que el formato

RATIONAL no les encuentra una representación adecuada como cociente de

enteros.

La matriz P es ortogonal hasta donde la precisión lo permite. En efecto P P T =

P T P = I 4 , tal como lo muestra Matlab

P*P‘



>>P*P‘

ans =

Columns 1 through 3

1 0 *

0 1 *

* * 1* * 0


Column 4

*

*

0

1

>> P'*P



>> P'*P ans =

Columns 1 through 3

1 * *

* 1 *

* * 1* * *


Column 4

*

*

*

1




Las columnas de P forman una base ortonormal de autovectores de A

La matriz P es la matriz del cambio de variable X = P Y, que permite obteneruna representación de q como suma de cuadrados.

8 6 12

La forma cuadrática es semidefinida negativa, conclusión a la cual tambiénpodemos llegar con solo mirar a la matriz diagonal D



podemos llegar con solo mirar a la matriz diagonal D

Las coordenadas ( y1; … , y4 ) son las correspondientes a la base formada por

las columnas de P = [C1; …; C4 ]. Cuando escribimos q(Y) estamos significandoque evaluamos q en el vector V

V = y1C1 + … + Y4c4

Hemos utilizado una de las formas de obtener una suma de cuadrados, através de la diagonalización ortogonal de A, siendo las otras alternativasmeediante transformaciones elementales por filas y columnas manteniendo lasimetría y/o completando cuadrados perfectos (Lagrange)




INTRODUCCIONUn vector (en Geometría) es un ente geométrico definido por un segmento

orientado de recta, que se utiliza para la representación de magnitudes llamadasmagnitudes vectoriales. Otra definición (ligada a la Mecánica) es la de unacantidad que tiene magnitud, dirección y sentido. Desde la visión matemática,elemento de un espacio vectorial (como se ve en el capítulo de Espacios vectoriales). Entonces, en Mecánica, una magnitud es vectorial cuando quedad fi id did ( ód l ) di ió id



definida por su medida (módulo), dirección y un sentido.

Por tanto, los vectores se representan gráficamente por segmentos limitados

en una punta de flecha. Queda determinado su módulo por la longitud delsegmento; su dirección por la recta a que pertenece y su sentido por la punta dela flecha. Al origen del vector se le llama punto de aplicación.


Tipos de vectoresLos vectores en general pueden ser:

Libres.- Sin localización especifica en el espacio. Un vector libre puedetrasladar su origen a cualquier punto del espacio, siempre que conserve su módulo

y sentido y mantenga paralela su dirección.

Ej. momento de un par.



Deslizantes.- Sin localización especifica a lo largo de una recta dada. Un

vector deslizante solo puede trasladar su origen a lo largo de su recta de aplicación.Ej. la fuerza aplicada a un sólido

Fijos.- Un vector fijo es el de origen fijo. Ej. la intensidad del campogravitatorio en un punto dado.


Comparativamente pueden ser:

Vectores equipolentes.- Son los que tienen igual módulo, la misma direccióno direcciones paralelas y el mismo sentido. La equipolencia es una relación deequivalencia, que establece una partición del conjunto de los vectores en clases deequivalencia.

Vectores iguales.- Son los que tienen la misma magnitud, dirección y sentido.



Vectores equivalentes.- Son los que producen el mismo efecto.


Atendiendo a lo que representan pueden ser:

Vectores polares.- Son los que representan magnitudes físicas relacionadascon una traslación, como la velocidad lineal por ejemplo.

Vectores axiales.- Son los que representa magnitudes físicas ligadas a una

rotación, como el vector velocidad angular.

Fijado un sistema de referencia, se denominan componentes de un vector V



Fijado un sistema de referencia, se denominan componentes de un vector V los valores de las proyecciones del vector sobre los ejes del sistema de referencia,por ejemplo; Vx,Vy,Vz.


RepresentaciónPara el estudio de cualquier fenómeno físico necesitamos un sistema de

referencia, la forma más simple empleada, es el de coordenadas cartesianasortogonales .

Inicialmente, podemos asociar un conjunto de puntos X con el conjunto delos números reales, lo que constituiría un sistema coordenado del espaciounidireccional formado por los puntos de X. Podemos enunciar que el par de



números(x,y) que representen las coordenadas de un punto P en el plano, y lacorrespondencia biunívoca de parejas ordenadas de números con el conjunto de

puntos del plano XY es el sistema coordenado ortogonal del espacio bidimensionalconstituido por los puntos del plano. Por tanto, la terna ordenada de números

(x,y,z) que representan las coordenadas de un punto P en el espacio, y lacorrespondencia biunívoca de ternas ordenadas de números con el conjunto depuntos del espacio XYZ es el sistema coordenado ortogonal del espacio tridimensional delos puntos del espacio


P(x,y,z)

N

R Z

Gráficamente



y

O

X

M


Convenimos llamar triedro trirrectangulo positivo o dextrogiro elrepresentado en la figura.

Operaciones fundamentales; suma y diferencia de vectores

Adición de vectores

Sumar o componer dos o más vectores es hallar otro vector resultante cuyascomponentes sean iguales a la suma de las componentes de los vectores



componentes sean iguales a la suma de las componentes de los vectoressumados.

Gráficamente se pueden sumar vectores usando la ley del paralelogramo.

Propiedades de la suma de vectores Conmutativa: a + b = b + a

Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)

Sustracción de vectores

Se cambia de sentido uno de ellos y se suman.a - b = a + (-b)


Por el Teorema de los cosenos deducimos:

2. . . cos 180 2..cos 2...

O también sumando las componentes cartesianas, situando el eje x en b tendremos:

A C

D B O

a

y

x

1 8 0



2 2 , 2 2 , , .

2

2

2

2 . . luego;

2 2 2 2 . . 2 2...

( )

El ángulo

será:

O aplicando el teorema de los senos: 90 . 1 ( )


Forma trinómica y vectores unitariosEn el espacio tridimensional hemos definido un punto por tres coordenadas

(x,y,z).

Definimos lo mismo mediante un vector r = r (x,y,z) llamado vector de

posición, a la terna ordenada de números (x,y,z) los llamamos componentescoordenados del vector. Si utilizamos un sistema de coordenadas diferente, los tresnúmeros cambian a(x´,y´,z´), sin embargo, el vector r es el mismo en ambos



números cambian a(x ,y ,z ), sin embargo, el vector r es el mismo en ambossistemas, es decir la definición de vector permanece invariable o independiente delsistema de coordenadas elegido.

En un sistema coordenado ortogonal X, Y, Z como en el de la figura, y dándole carácter vectorial a las proyecciones ortogonales, x, y, z; de r sobre losejes, se escribe.


Forma trinómica y vectores unitarios.

r=x + y + z

Las componentes x, y, z, tienen de modulo:

Los cosenos de ángulos que forma r con cada uno de los ejes se les

x=r cos x y=r cos x=r cos y

P(x,y,z) y

Z

O

X

r= x+ y + z

y

z

x



Los cosenos de ángulos ,,, que forma r con cada uno de los ejes se lesllama cosenos directores.

El modulo de r (diagonal del paralelepipedo construido con x, y, z comolados) es:

Si elevamos al cuadrado las igualdades (1) y sumamos, obtendremos:

. >

r=

1


Si el vector viene dado por las coordenadas de su origen A (x,y,z) y de suextremo B(x´,y´,z´), entonces las componentes coordenadas del vector AB serán:

Z

B(x’, y’ ,z’)



X

O Y

A(x, y ,z)


(x´- x, y´- y, z´- z).

Tendremos:X = x´- x

Y = y´- y escribiremos: AB = X + Y + Z

Z = z´- z

Como vector unitario (o versor)se significa todo vector de módulo unidad,por tanto; el vector unitario en una dirección se obtiene dividiendo cualquier vector en esa dirección por su módulo.



Si las componentes de un vector v son x , y , z, su ecuación vectorial será:

v = x + y + z

Llamando i, j, k, a los vectores unitarios en la dirección y sentido de los ejes,se verificará:

x = x i, y = y j, z = z k;siendo

x, y, z ,los módulos de

x, y, z.Sustituyendo en la

ecuación vectorial tendremos: v = x i + y j + z k


Al ser los cosenos directores:

cos = x/v, cos = y/v, cos = z/v,

el vector unitario en la dirección de v será:

Z

v=x i+y j+z k

( )

z



e = x/v i + y/v j v + z/v k = cos i + cos j + cos k

Y

X

i

x

f

k

o y

v (x, y, z)





en MATLAB


Variables vectoriales

Para el ingreso de vectores desde la ventana de comandos

V=[v1,v2,v3,…, vn] o V=[v1 v2 v3 … vn]

Así >>vector1=[1,4,9,3,1/2]

vector1 =



1.0000 4.0000 9.0000 3.0000 0.5000

la raíz cuadrada de tal vector se calcula como:

>>sqrt(vector1)ans =

1.0000 2.0000 3.0000 1.7321 0.7071


formas de definir una variable vectorial en forma comprensiva: Variable=[a,b] Define el vector cuyos primeros y últimos

elementos son a y b, los intermedios sediferencian en una unidad

Variable=[a.s:b] Primer y último elementos a y b, los intermediosse diferencian en s

Variable=linespace[a,b,n] Primer y último elementos a y b, y tiene en total



n elementos igualmente espaciados entre sí

Variable=logespace[a,b,n] Primer y último elementos a y b, y tiene en totaln elementos en escala logarítmica igualmenteespaciados entre sí


>>vector3=[10:30]

vector3 =

Columns 1 through 1910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

24 25 26 27 28

Columns 20 through 21



30


–representar vector columna: separar sus elementos por punto y coma,

>>a=[10;14;21;15]a =

1014

2115



o transponiendo

>>a=(10:14);b=a ’ b =

101112

1314


- Cómo seleccionar un elemento de un vector o un subconjunto de elementos?

x(n) Da el enésimo elemento de x

x(a:b) Da los elementos ubicados entre el a-esimo y el be-simo,incluyendo ambos

x(a:p:b) Da los elementos ubicados entre el a-simo y el b-simo, incluyendo

ambos, separados de p en p unidades

x(b:-p:a) Da los elementos ubicados entre el b-simo y el a-simo,incluyéndolos, separados de p en p empezando por el b-simo(b>a)



>>vector1=(2:3:9)

vector1 =2 5 8(puede ir o no el paréntesis)Equivalentemente, si lo que conocemos del vector es que la primera coordenada vale 0, la última 20 y que tiene 11 en total, se escribe:

>>vect2=linspace(0,20,11) vect2 =0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

incluyéndolos, separados de p en p empezando por el b simo(b>a)


A las coordenadas de un vector se accede sin más que escribir el nombre del vector y, entre paréntesis, su índice:

>>vect2(3)ans =

4

y se pueden extraer subvectores, por ejemplo:



>>vect2(2:5)ans= % linea de (-1, 1, 1) a (0, 0, 0)

a = -1 : .1 : 0;b = 1 : -.1 : 0;c = b;

plot3(a, b, c)

2 4 6 8

Graficar un vector(falta hacer)


Productos

Un vector fila y un vector columna de igual dimensión se pueden multiplicaren cualquier orden dando un escalar (producto interno) o una matriz (exterior),así:

>>u = [3; 1; 4];>>v = [2 0 -1];>>x = v*ux = 2



x = 2

o

>>X = u*v

>>X =6 0 -3

2 0 -18 0 -4


El ángulo entre ellos:

theta = acos(dot(a,b)/(norm(a)*norm(b)))theta =

0.2257

>> 360*theta/(2*pi)ans =

12.9332



Para obtener el área del paralelogramo cuyos lados adyacentes son los vectores

a y b.

>> area = norm(a)*norm(b)*(sin(theta))^2area =

1.6447


El producto cruz se obtiene de la forma:

>>a = [1 2 3];>>b = [4 5 6];>>c = cross(a,b)

c =

-3 6 -3



Con ambos productos se puede calcular el producto mixto

>> a=[ 1 2 3];>> b=[1 -1 4];>> (cross(a,b)*(a'*b))

ans =

0 0 0


Para vectores complejos, los dos productos escalares x'*y and y'*x sonconjugados complejos de cada uno y el producto x'*x es un real (x’ es eltranspuesto).

Para complejos:

>>z = [1+2i 3+4i]>>z’ 1-2i



3-4i y

>>z %' es1+2i3+4i


Anexo 1 -

Introducción básica sobreMATLAB



MATLAB


¿QUE ES MATLAB?

MATLAB es un lenguaje de programación funcional, específicamente

diseñado para el Cálculo Numérico, representando en la práctica por un

conjunto de herramientas.




¿QUE ES MATLAB?

Matlab = Matrix Laboratory .

Programa comercial de The Mathworks Inc



(Natick, MA). http://www.mathworks.com

Creado en California por Jack Little and Cleve Moler en 1984, pararealizar cálculo matricial en ordenadores sin necesidad deconocimientos de programación.


¿QUE ES MATLAB?

Sistemas operativos donde MATLAB corre

Unix

Linux

http://www.mathworks.com/











Solaris

MacOS Windows



Existe un uso generalizado de MATLAB en Ingeniería, es una herramienta de gran

popularidad y es útil para una carrera profesional. Esto lo ha convertido en unestándar de-facto para la escritura de pequeños programas de simulación.

“De facto: Se usa en la expresión latina de facto que significa 'por hechos‘”



De -facto: Se usa en la expresión latina de facto, que significa por hechos



MATLAB cuenta con una extensa biblioteca de funciones que cubren

casi todas las disciplinas de la Ciencia y la Ingeniería extensamentedocumentada y de fácil uso.

Por lo general los programas de alto nivel no ofrecen acceso fácil para la



Por lo general, los programas de alto nivel no ofrecen acceso fácil para la

graficación, que es una aplicación en la que destaca MATLAB.

MATLAB es óptimo para cálculos matriciales.


DISTINTOS CAMPOS DE ACCIÓN

‰ Teoría de control

‰ Tratamiento de señales

‰ Inteligencia artificial

‰ D d d



‰ Diseño de sistemas de potencia

‰ Control de procesos mecánicos, de aviación, automoción

‰ Financiero

‰ Mapeo y tratamiento de imágenes

‰ Instrumentación y adquisición de datos

‰ Identificación de sistemas






EL ENTORNO DE MATLAB



Ventana de comandos

Ventana del área de trabajo

Historial de comandos

Directorio de trabajo


VENTANA DE COMANDOS (COMMAND WINDOW)

El empleo de la ventana de

comandos le permite guardar los

valores que calcule, mas no los

comandos que usó para generarlos.

Si desea guardar la secuencia de



Si desea guardar la secuencia de

comandos, necesitará emplear la

ventana de edición para crear un

archivo-m (m-file).


VENTANA DE HISTORIA DE COMANDOS(COMMAND HISTORY)

La ventana de historia de

comandos registra los comandosque se escriben en la ventana de

comandos. Cuando sale de



MATLAB, o cuando escribe el

comando clc (clear), la ventana decomandos se limpia.


CONSIDERACIONES DE LA VENTANA HISTORIA DECOMANDOS

La ventana de historia de comandos conserva una lista de todos sus

comandos. También puede limpiar la historia de comandos con el menúedit. Si trabaja en una computadora pública, entonces, como medida de

seguridad, las opciones de MATLAB por defecto se pueden establecer de



modo que limpie la historia cuando salga del programa.


IMPORTANCIA DE LA VENTANA HISTORIA DECOMANDOS

Porque permite revisar sesiones anteriores de MATLAB

Para la transferencia de comandos a la ventana de comandos.




VENTANA DEL ÁREA DE TRABAJO (WORKSPACE)

La ventana del área de trabajo le

mantiene informado de las variablesque usted define conforme ejecuta

comandos en la ventana de



comandos.


VENTANA DE DOCUMENTO (DOCUMENT WINDOW)

Hacer doble clic sobre cualquier variable mencionada en la ventana del área

de trabajo lanza automáticamente una ventana de documento que contiene el

Array Editor (editor de arreglos).

L l l l i bl d li f d



Los valores que se almacenan en la variable se despliegan en un formato de

hoja de cálculo.

Puede cambiar los valores en el editor de arreglos o puede agregar nuevos

valores.


VENTANA DE DOCUMENTO (DOCUMENT WINDOW)




VENTANA DE DIRECTORIO ACTUAL (CURRENTDIRECTORY)

La ventana de directorio actual

lista todos los archivos en unacarpeta de la computadora llamada

directorio actual.



El directorio actual se puede

cambiar al seleccionar otrodirectorio de la lista desplegable

que se ubica junto a la lista de

directorio o al navegar entre los

archivos de su computadora.


VENTANA DE DIRECTORIO ACTUAL (CURRENTDIRECTORY)

La ventana de directorio actual

lista todos los archivos en unacarpeta de la computadora llamada

directorio actual.



El directorio actual se puede

cambiar al seleccionar otrodirectorio de la lista desplegable

que se ubica junto a la lista de

directorio o al navegar entre los

archivos de su computadora.


ARCHIVOS *.m DE MATLAB

Un archivo *.m de MATLAB, no es más que un archivos de texto ASCII, conla extensión *.m, que contienen definiciones de funciones o conjuntos de

comandos que MATLAB puede interpretarlos y ejecutarlos; similar a losarchivos de código fuente de C o Pascal.

( )



nro = input('Ingrese un número positivo: ');

if nro==1 disp('Ud. ingreso 1');

elseif nro==2 disp('Ud. ingreso 2');

else disp('El número es mayor que 2');

end


ARCHIVOS *.m DE MATLAB

MATLAB permite que utilicemos cualquier editor (edit de DOS, Word,

Notepad, etc.), para la creación de estos archivos *.m y su posterior ejecución

en MATLAB, ya que los archivos *.m son sólo de archivos de texto con

extensión *.m como lo dijimos anteriormente.




EL EDITOR DE MATLAB

El editor de MATLAB permite crear, modificar archivos *.m, conjuntamente

como ejecutarlos, ejecutarlos paso a paso; con el fin de realizar el proceso de

Debug o depuración. De la misma manera que otras características que

iremos viendo.




EL EDITOR DE MATLAB




El editor muestra con diferentes colores los diferentes tipos o elementos de la

sintaxis. (en verde los comentarios, en azul las cadenas de caracteres, etc.). El

editor además indica que las comillas o paréntesis que se abren se cierren

correctamente

EL EDITOR DE MATLAB




LA BARRA DE HERRAMIENTAS ESTANDAR

Abrir nuevo M-file archivo Abrir nuevo M-file existente

Guardar M-file existentePegar

Copiar Cortar

Paso, ejecuta la linea actual

Paso a paso, ejecutar la línea actual del M-archivo Paso salida, ejecuta las llamadas a funciones osubrutinas



Deshacer

Ir a una funcionImprimir Rehacer

Buscar

Sale del modo depuracion

Continue, Reanuda la ejecución del M-archivo hasta lafinalización o hasta un punto de interrupción.

Asigna/Limpia un punto de interrrupcion

Depurar , Limpiar puntos de interrupción en todos los archivos


DECLARACION DE VARIABLES

En MATLAB , una variable consiste en una matriz de unas dimensionesdadas. En cuanto al tipo de variables a utilizar puede ser: entero, real,

complejo, carácter, etc.




En MATLAB no se requiere ningún tipo de declaración de variables sino que, una vezque se utiliza una variable, MATLAB crea la respectiva variable reservando el espacio

de memoria necesario y declarando su tipo de dato a partir del dato asignado. Por tanto, si la variable ya existe, MATLAB únicamente cambia su contenido.

syms x




syms x



Una variable de MATLAB puede cambiar su tipo de dato varias veces en una mismasesión de MATLAB o en su ejecución, la forma de cambiar su tipo es simplemente

cambiándole el valor asignado a la variable.





En lo que se refiere a la nomenclatura de las variables. MATLAB distingueentre mayúsculas y minúsculas

(“Variable” es distinto de “variable”) permitiendo nombres de variables quecontengan al menos una letra.





Los cálculos que no se asignan a una variable en concreto se asignan a la variable derespuesta por defecto que es ans (del inglés, answer):

>>2+3 ans =

5

Sin embargo si el cálculo se asigna a una variable el resultado queda guardado en



Sin embargo, si el cálculo se asigna a una variable, el resultado queda guardado enella:

>>x=2+3

x=5



Para conocer el valor de una variable, basta teclear su nombre:

>>x

x=5

Si se añade un punto y coma (;) al final de la instrucción, la máquina no muestra larespuesta



respuesta...

>>y=5*4;

Pero no por ello deja de realizarse el cálculo, lo que sucede es que no muestra suresultado.

>>y

y =

20



Para obtener información sobre variables que se están usando y sus dimensiones (si sonmatrices) en Workspace teclee

>> who>> whos (da más información)

Para eliminar alguna variable se ejecuta>> clear variable1 variable2



Si se quieren borrar todas las variables:

>> clear

Constantes características:

pi= , Inf= .

Números complejos: i=sqrt(-1) (sólo se puede usar i o j), z=2+i*4, z=2+4i

Cuidado con no usar luego ‘i’ como contador en un bucle trabajando con complejos.


ALGUNOS TIPOS DE DATOS

FLOAT

LOGICAL

INTEGER

INT8



INT8

INT16

INT32

INT64


ALGUNOS TIPOS DE DATOS

ENTEROS SIN SIGNOS

UINT8

UINT16

UINT32



UINT32

UINT64

BOOLEAN

STRING


CLASE DE DATOS ESTRUCTURAS

Una estructura (struct) es una agrupación de datos de tipo diferente bajo un

mismo nombre. Estos datos se llaman miembros (members) o campos(fields).

Por ejemplo, la estructura cliente puede contener los campos nombre (una



cadena de caracteres) y DNI (un número).


CLASE DE DATOS ESTRUCTURAS

En MATLAB, por ejemplo la estructura Cliente se crea creando un objeto de

dicha estructura. Para lo cual, no hace falta definir previamente el modelo opatrón de la estructura, sino una posible forma de hacerlo es crear uno a

uno los distintos campos, como en el ejemplo siguiente:



>>Cliente.Nombre=‘ Andres’

Cliente =

Nombre: ‘ Andres’


VARIABLES GLOBALES Y LOCALES

El ámbito de una variable puede ser:

Local: cuando la variable sólo puede ser accedida por un subconjuntode instrucciones del programa como ser:

Un bloque condicional



q

Un bucle

Una función

Global: cuando la variable puede ser accedida por cualquier

instrucción del programa


IMPLEMENTACION DE UNA FUNCION

Una cualidad de MATLAB es la de permitir generar nuestras propiasfunciones para un problema específico que queramos resolver. De esta

forma ampliamos la potencia de MATLAB ya que estas nuevas funcionesadaptadas a nuestras necesidades se pueden utilizar del mismo modo quelas que ya tiene MATLAB predefinidas, como son por ejemplo, det, rank,sum




EJEMPLO DE FUNCION EN MATLAB

function x=diagonal(A)% x=diagonal(A)

% Devuelve un vector con la diagonal de A en orden inverso

% A : matriz



z

% x : vector de la diagonal de A reordenada

n=size(A,1); % # filas de A

x=diag(A);

x=x(n:-1:1); % reordenamos


TOOLBOX

Librerías de funciones MATLAB asociadas a diferentes áreas como ser:

Inteligencia artificial

Financieras

P d



Procesamiento de imágenes

Procesamiento de señales


TOOLBOX

En MATLAB: Start->Toolboxes




ALGUNOS TOOLBOXES

Frequency Domain System Identification Toolbox

Fuzzy Logic Toolbox

Higher Order Spectral Analisys Toolbox

Image Processing Toolbox



Model Predective Control Toolbox

Mu Analisis and Synthesis Toolbox

NAG Foundation Toolbox

Neural Network Toolbox


ALGUNOS TOOLBOXES

Nonlinear Control Design Toolbox

Optimization Toolbox

Quantitative Feedback Theory Toolbox

Signal Processing Toolbox



Spline Toolbox

Statistics Toolbox

Symbolic Math Toolbox

System Identification Toolbox.


ALGUNOS TOOLBOX

IMAGE PROCESSING TOOLBOX

Es un amplio conjunto de algoritmos estándar y herramientas gráficas

para el procesamiento de imágenes, análisis, visualización y desarrollo

de algoritmos.



Se puede realizar la mejora de la imagen, reducción de ruido, la

segmentación de imágenes, transformaciones espaciales etc.


ALGUNOS TOOLBOX

IMAGE PROCESSING TOOLBOX




ALGUNOS TOOLBOX

NEURAL NETWORK TOOLBOX

Proporciona herramientas para el diseño, implementación, visualización

y simulación de redes neuronales.

Las redes neuronales se utilizan para aplicaciones en el análisis



p p

formal, como reconocimiento de patrones y la identificación de sistemas no

lineales y control.

Ejemplo reconocimientos de rostros, matriculas, controles de calidad etc.


ALGUNOS TOOLBOX

NEURAL NETWORK TOOLBOX




ALGUNOS TOOLBOX

STATISTICS TOOLBOX

Proporciona un conjunto completo de herramientas para evaluar y

entender los datos. Incluye funciones y herramientas interactivas para el

modelado de datos, análisis de tendencias históricas, la simulación de

sistemas desarrollo de algoritmos estadísticos el aprendizaje y la enseñanza



sistemas, desarrollo de algoritmos estadísticos; el aprendizaje y la enseñanza

de la estadística.


ALGUNOS TOOLBOX

STATISTICS TOOLBOX




Anexo 2




consec.m

function A=consec(n)

% El comando A=consec(n) genera una matriz nxn cuyas entradas son los %enteros

consecutivos de 1 a n^2.%La primera fila será [1, 2, ..., n], la segunda [n+1, n+2, ..., 2n], etc.

%Así consec(3) generará



( ) g

%% 1 2 3

% 4 5 6

% 7 8 9

A=reshape([1:n^2],n,n)';


homsoln.m

HOMSOLN encuentra la solución general de un sistema homogéneo deecuaciones.

Devuelve un conjunto de vectores básicos para el espacio nulo de Ax = 0.

Se emplea

--> ns = homsoln(A) <--



Si hay un segundo argumento se muestra la solución generalSe emplea la forma

--> homsoln(A,1) <--

Esta opción supone que la solución general tiene como máximo constantesarbitrarias.


lincomb.m

Combinación lineal m de varias matrices del mismo tamaño.

Coeficientes v = {v 1 ,v 2 ,… ,v m } de la combinación lineal y las matrices

A = {A1 ,A2 ,...,Am } deben ingresarse como celdas.




lincomb.m

function M = lincomb(v,A)

% Combinación lineal M de varias matrices del mismo %tamaño.

% Coeficientes v = {v1,v2,…,vm} de la combinación %lineal y las

% matrices A = {A1,A2,...,Am} deben ingresarse como %celdas.

m = length(v);

[k, l] = size(A{1});



[k, l] size(A{1});

M = zeros(k, l);for i = 1:m

M = M + v{i}*A{i};

end


lisub.m

Halla un subconjunto linealmente independientes de vectores.

Si code = 'r' los vectores son filas de A.

Si code = 'c' los vectores son las columnas de A.

La rutina devuelve un subconjunto linealmente independientes delconjunto original.



j g

Usar --> S = lisub(A,'r') o lisub(A,'c') <--


lisub.m

function S = lisub(A,code)

%LISUB halla un subconjunto de vectores linealmente independientes.

% si code = 'r' los vectores son las filas de A.

% si code = 'c' los vectores son las columnas de A.

% Retorna% un subconjunto de vectores linealmente independientes

% del conjunto original.

%



%

% se llama --> S = lisub(A,'r') o lisub(A,'c') <--%


lisub.m

err='ERROR: code no adecuado; segundo argumento debe ser ''r'' o ''c''';

if code=='r'

B=A';

elseif code == 'c'

B=A;else

disp(err)

return



end[m,n]=size(B);

B=rref(B);

l1=[];


lisub.m

for ki=1:m

z=find(B(ki,:)>0);

if isempty(z)==0,

l1=[l1 z(1)];

endend % l1 contiene la columna #s con ppal 1's

if length(l1)~=0

if code=='r'



S=A(l1,:); %filas de S son un subconjunto L.I.else

S=A(:,l1); %columnas de S son un subconjunto L.I.

end

else

S=[]; %devuelve matriz vacía sólo si A es la matriz cero

end


rowcomb.m

rowcomb(A,i,j,c) forma una matriz a partir de A sumando c veces la fila

i-ésima de A a la la fila j-ésima.




rowcomb.m

function B=rowcomb(A,i,j,c)

% rowcomb(A,i,j,c) forma una matriz

% a partir de A sumando c veces la fila ith de A

% a la fila jth .

[m,n]=size(A);

if i<1|i>m|j<1|j>m

error('Indice fuera de rango')



( g )

endif i==j

error('operación de fila no permitida')

end

B=A;

B(j,:)=c*A(i,:)+A(j,:);


rowscale.n

rowscale(A,i,c) multiplica la fila i de la matriz A por el escalar c y su salidaes la matriz resultante.

function B=rowscale(A,i,c)

% rowscale(A,i,c) multiplica% la fila i de matriz A por el escalar c

% y la salida de la matriz resultante.



[m,n]=size(A);if i<1|i>m


end

B=A;

B(i,:)=c*A(i,:);


rowswap.m

rowswap(A,i,j) intercambia filas i y j de la matriz A mostrando la matrizresultante.

function B=rowswap(A,i,j)

% rowswap(A,i,j) intercambia% filas i y j de la matriz A devolviendo la matriz

% resultante.



[m,n]=size(A);if i<1|i>m|j<1|j>m


end

B=A;

B(i,:)=A(j,:);B(j,:)=A(i,:);


solucion.m

solucion(A,b) usa el archivo rref de [A,b] para hallar una solución x de Ax = b como si se realizara manualmente.

function x = solution(A,b)

% SOLUTION(A,b) usa el archivo rref de [A,b] para hallar una solución x

% de Ax = b como si se realizara manualmente.

[R,jp] = rref([A,b]);

[m,n] = size(A);



r = length(jp);if jp(r) == n+1

x = [];

else

x = zeros(n,1);

x(jp) = R(1:r,n+1);end


utristep.mfunction A = utristep(A,swcode,pivcode)

% Halla paso a paso la matriz triangular superior de

A.

% En cada paso se muestra un mensaje que describe la

%acción a tomar. Usted puede realizar la acción y

%ver el resultado o solicitar una explicación de la

% misma.

% Esta rutina es para matrices pequeñas y se

%utilizan para el desarrollo de habilidades en la

% bt ió d l f t i l i d



%obtención de la forma triangular superior de una

%matriz. Formato de pantalla racional o real, se

%puede elegir, así como una opción para forzar a

%los pivotes que sean 1.


Acceso al archivo en cuestiónutristep.m

http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/utristep.m










rrefstep.mfunction rrefstep(A)

% Halla la matriz en forma escalonada reducida de A

% En cada paso se muestra un mensaje que describe la

% acción que se debe tomar. Usted puede realizar la

% acción y ver el resultado o solicitar una

% explicación de la misma.

% Esta rutina es para matrices pequeñas y se utiliza

% para el desarrollo de habilidades en la obtención

% de la forma escalonada reducida por filas



% de una matriz.% El formato de visualización racional o real, se

% puede elegir.


Acceso al archivo en cuestiónrrefstep.m

http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/rrefstep.m

http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/rrefstep.m




dependencia.m

Dependence(A) determina si un conjunto de vectores columnas eslinealmente independiente o dependiente. Recibe una matriz "A" devolviendoun número la respuesta si las columnas de A son LI o LD




dependencia.m

Dependencia(A) determina si un conjunto de vectores columnas eslinealmente independiente o dependiente.

Recibe una matriz "A" devolviendo un número "c" igual a 1 si las columnas

de A son LI y 0 si ellas son LD




dependencia.m

%este programa determina si un conjunto de vectores

%columnas es linealmente

%independiente o dependiente. Recibe una matriz

%"A" devolviendo un número la respuesta si las

%columnas de A son LI o LD.




dependencia.m

function [d]=Dependence(A)

C=rref(A);

m=length(diag(A(:,1)));

n=length(A(1,:));

if n>md=0;

else

s=sum(diag(C));



if n>sdisp('Los vectores son linealmente dependientes ')

else

disp('Los vectores son linealmente independientes ')

end

end


span.m

Span(v) prueba si el vector v está en el espacio generado por un conjunto de vectores. Debe ingresar la matriz del conjunto de vectores y luego averiguar si el vector deseado v está o no en el espacio generado por A,ej: span(v)




span.m

function span(v, varargin)

% prueba si el vector v está en el espacio generado por un conjunto de

% vectores. Debe ingresar la matriz del conjunto de vectores y luego

% averiguar si el vector deseado v está o no en el espacio generado por A

A = [];

n = length(varargin);

for i=1:n



u = varargin{i};u = u';

A = [A u(:)];

end


span.m

v = v';

v = v(:);

if rank(A) == rank([A v])

disp(' vector dado está en el espacio.')

elsedisp(' vector dado no está en el espacio.')

end




spanview.m

SPANVIEW es un utilitario para visualizar la generación de un conjuntode vectores en el spacio3-d.

El comando spanview(x,n) graficará n múltiplos aleatorios del vector x, cada

uno de estos vectores se representa por un punto.

El usuario debe ingresar un segundo vector y se calcula n combinacioneslineales aleatorias de los dos vectores de entrada.



Seguirá pidiendo más vectores hasta que se hayan ingresado tres vectoreslinealmente independientes; ej. s=[ 1 2 -4]; spanview(s,2)

Suma,cambiodebase1,sumacambiodebase2


spanview.m

function spanview(s,numvec)

% SPANVIEW es un utilitario para visualizar la generación

% de un conjunto de vectores en el espacio3-d. El comando

% spanview(x,n) graficará n múltiplos aleatorios del

% vector x, cada uno de estos vectores se representa por un punto% El usuario debe ingresarun segundo vector y se calcula

% n combinaciones lineales aleatorias de los dos vectores de entrada

% Seguira pidiendo más vectores hasta que se hayan



% ingresado tres vectores linealmente independientes


spanview.m

if size(s)==[3,1]

s=reshape(s,1,3);

end

whitebg('w')

A=[]; x=[0,0]';

y=x;

z=x;



r=0;n=0;

colors='brgmc';

close


spanview.m

while r<3n=n+1;if n>1

s=input('Agregue otro vector a S. Entre como un triple [x y z]: ');delete(t)hold off

end A=[A s'];c=randn(n,numvec);



v=A*c;axiscale=3*max(max(abs(A)))+1; x(:,n)=[0;A(1,n)]; y(:,n)=[0;A(2,n)];z(:,n)=[0;A(3,n)];

r=fix(rank(A));


spanview.m

color=[colors(mod(n,5)+1),'.'];

plot3(x(:,n),y(:,n),z(:,n),'k')

hold on

plot3([-axiscale axiscale],[0 0 ],[0 0],'k',[0 0],[-axiscale axiscale],[0 0],'k',[0 0],[0

0],[-axiscale axiscale],'k')plot3(v(1,:),v(2,:),v(3,:),color)

t=title(['generador de S ' 'Dimension = ' sprintf('%4.0f',r)]);

figure(1)

d



end

hold off


angulo.m

Para hallar el ángulo entre dos vectores




angulo.m

function a=Angulo(X,Y)

%Angulo

%el ángulo entre dos vectores, X e Y,en grados.

%llamar como: a = Angle(X,Y)

temp = X*Y';

normX = sqrt(X*X');

normY = sqrt(Y*Y');



a = acos(temp/(normX*normY));a = a*180/pi;

if (a < 1.0e-10)

a = 0;

end


plano.m

El archivo grafica un plano en 3D. se puede llamar como

plano(P,N,width, height)




plano.m

% El archivo grafica un plano en 3D. se puede llamar

% como plano(P,N,width, height)

% P = [x0,y0,z0] es un punto del plano,

% N = [a,b,c] es uno normal(usar cross para hallarlo), tercer y cuarto

% argumentos opcionales; al llamar plano(P,N),% la porción del plano es un cuadrado de lado 2, centrado en P.

% Si se llama plano(P,N,a,b) produce una porción del plano 2b por 2b centradaen P.




plano.m

function z = plano(P,N, width, height)

if nargin < 3

width = 1; height= 1;

end x0 = P(1);

y0 = P(2);

z0 = P(3);



N = N/norm(N);a = N(1); b = N(2); c = N(3);


plano.m

s = - width: .1*width : width; t = -height: .1*height: height;

[S,T] = meshgrid(s,t);

hhchek = ishold;arrow3(P,N,'r')

hold on

arrow3(P-.3*N,.3*N,'r')



r = sqrt(a^2 +b^2);


plano.m

if r > 0 v = [b/r, -a/r, 0]; w = [-a*c/r, -b*c/r, r];

else v = [1 0 0]; w = [0 -1 0];

end



X = x0 + v(1)*S +w(1)*T; Y = y0 + v(2)*S +w(2)*T;Z = z0 + v(3)*S +w(3)*T;

low = min(min(Z));

high = max(max(Z));


plano.m

surf(X,Y,Z);

colormap(gray);

caxis([low-6, high]);

axis equal

if hhchek == 0

hold off



end


plano.m

function out = arrow3(P,V,color)

x0 =P(1); y0 = P(2); z0 = P(3);

a = V(1); b = V(2); c = V(3);

l = max(norm(V), eps);

x = [x0 x0+a]; y = [y0 y0+b]; z = [z0 z0+c];

hchek = ishold;



plot3(x,y,z,color)hold on

h = l - min(.2*l, .2) ;

v = min(.2*l/sqrt(3), .2/sqrt(3) );


plano.m

upper = [h, v*tan(pi/6), 0]';

lower = [h, -v*tan(pi/6), 0]';

r = sqrt(a^2 +b^2);

if r > 0

col1 = [a b c]/l;

col2 = [-b/r, a/r, 0];



col3 = [-a*c/(l*r), -b*c/(l*r), r/l];

Q = [col1; col2; col3]' ;


plano.m

else

if c > 0

Q = [0 0 -1; 0 1 0; 1 0 0];

else

Q = [0 0 1; 0 1 0; -1 0 0];end

end

p = Q*upper; q = Q*lower;



plot3([x0+p(1), x0+a], [y0+p(2), y0+b], [z0+p(3), z0+c], color)plot3([x0+q(1), x0+a], [y0+q(2), y0+b], [z0+q(3), z0+c], color)

if hchek == 0

hold off

end


vector.m

Permite graficar un vector con origen (x0, y0) y extremo (x0+a, y0+b).Escribiendo P = [x0, y0] y V = [a,b], debe llamarse arrow(P,V, color), el tercerargumento, color, es opcional,por dfecto es azul.




vector.m

% permite graficar un vector con origen (x0, y0) y extremo

% (x0+a, y0+b). Escribiendo P = [x0, y0] y

% V = [a,b], debe llamarse arrow(P,V, color), el tercer argumento,

% color, es opcional,por dfecto es azul.

% Para uno rojo, arrow(P,V, 'r').function y = vector(P,V,color)

if nargin < 3

color = 'b';



end x0 = P(1); y0 = P(2);

a = V(1); b = V(2);

l = max(norm(V), eps);

u = [x0 x0+a]; v = [y0 y0+b];

hchek = ishold;


vector.m

plot(u,v,color)

hold on

h = l - min(.2*l, .2) ; v = min(.2*l/sqrt(3), .2/sqrt(3) );

a1 = (a*h -b*v)/l;

b1 = (b*h +a*v)/l;plot([x0+a1, x0+a], [y0+b1, y0+b], color)

a2 = (a*h +b*v)/l;



b2 = (b*h -a*v)/l;

plot([x0+a2, x0+a], [y0+b2, y0+b], color)

if hchek == 0

hold off

end


vector3.m

Grafica un vector 3D con origen (x0, y0, z0) y extremo (x0+a, y0+b, z0+c).Escribir P = [x0, y0, z0] y V = [a,b,c], se llama vector3(P,V, color). El tercerargumento, color, es opcional, por defecto es azul,




vector3.m

% grafica un vector 3D con origen (x0, y0, z0)y % extremo (x0+a, y0+b, z0+c). Escribir P = [x0, y0, z0]y

% V = [a,b,c], se llama vector3(P,V, color). El tercer argumento,

% color, es opcional., por defecto es azul, si se desea rojo, llamar

% llamar vector3(P,V, 'r').

function out = vector3(P,V,color)

if nargin < 3



color = 'b';end

x0 =P(1); y0 = P(2); z0 = P(3);

a = V(1); b = V(2); c = V(3);l = max(norm(V), eps);


vector3.m

x = [x0 x0+a]; y = [y0 y0+b];

z = [z0 z0+c];

hchek = ishold;

plot3(x,y,z,color)

hold on

h = l - min(.2*l, .2) ;

v = min(.2*l/sqrt(3), .2/sqrt(3) );



upper = [h, v*tan(pi/6), 0]';lower = [h, -v*tan(pi/6), 0]';

r = sqrt(a^2 +b^2);


vector3.m

if r > 0col1 = [a b c]/l;

col2 = [-b/r, a/r, 0];

col3 = [-a*c/(l*r), -b*c/(l*r), r/l];

Q = [col1; col2; col3]' ;

else

if c > 0

Q = [0 0 -1; 0 1 0; 1 0 0];

else



Q = [0 0 1; 0 1 0; -1 0 0];end

end

p = Q*upper; q = Q*lower;

plot3([x0+p(1), x0+a], [y0+p(2), y0+b], [z0+p(3), z0+c], color)plot3([x0+q(1), x0+a], [y0+q(2), y0+b], [z0+q(3), z0+c], color)


dist.m

Distancia entre puntos X e Y en Rn. Lllamar como: Dist(X,Y)




dist.m

function d = Dist(X,Y)

%Dist

%Distancia entre puntos X e Y en Rn.

%Llamar como: Dist(X,Y)

Z=X-Y;



d=sqrt(Z*Z');


drawec.m

drawvec(v,color,s) grafica el vector v empleando el color definido comosegundo argumento de entrada (por defecto es rojo).El punto inicial del dibujoes el origen; una flecha se dibuja en el extremo

Los ejes se establecen como [-s,s,-s,s]. Si s no se especifica por default es 5




drawec.m

function[ handle ] = drawvec(v,color,s);

% DRAWVEC(v,color,s) grafica el vector v empleando

% el color definido como segundo argumento de entrada

% (por defecto es rojo).El punto inicial del dibujo es

% el origen; una flecha se dibuja en el extremo% Los ejes se establecen como [-s,s,-s,s]. Si s no se

% especifica por default es 5

if nargin==1



g

color = 'r';

end

if nargin < 3

s=5;

end


drawec.m

handle = plot([0,v(1)],[0,v(2)],color);

axis([-s,s,-s,s])

axis('square')

hold on

[m,n]=size(v);if n==1 % Change to row vector

v=v';

end

atip=tip(v,s);



p p( , );

fill(atip(1,:),atip(2,:),color)

hold off


plotangle

s = plotangle(x,y) dará el ángulo s(radianes)entre vectores no nulos x, y. Siestán en espacio bidimensional, el ángulo será graficado( en rojo, y el unitarioen azul)

Si se usa [s,t] = plotangle(x,y) s en radianes y t en grados




plotangle

function [s,t]=plotangle(x,y)

% s = plotangle(x,y) dará el ángulo s(radianes)entre

% vectores no nulos x, y. Si están en espacio bidimensional,

% el ángulo será graficado( en rojo y el unitario en azul)

% Si se usa [s,t] = plotangle(x,y)% s en radianes y t en grados

%

[m,n]=size(x);

if m==1



x=x';

end

[j,k]=size(y);


plotangle

if j==1

y=y';

end

if ([m,n]~=[j,k])

error('Vectores tienen distinto tamaño')end

if (norm(x)==0)|(norm(y)==0)

error('Ingrese vectores no nulos')



end nx=norm(x);

ny=norm(y);

aa=max(nx,ny)+1;

u=x/nx;

v=y/ny;


plotangle

s=acos(u'*v);t=s*180/pi;anglestr=sprintf( '%6.3f', t);if max([m,n])>2 x=[nx;0];u=[1;0]; v=[cos(s);sin(s)]; y=norm(y)*v;

end



drawvec(x,'r'); hold ondrawvec(y,'r'); hold ondrawvec(u,'b'); hold ondrawvec(v,'b'); hold on A=u;

mm=max(abs(v-[cos(s),-sin(s);sin(s),cos(s)]*u));


plotangle

if mm<100*eps

ss=1;

else

ss=-1;

end for w=.1:.1:1

z=[cos(w*s),-ss*sin(w*s);ss*sin(w*s),cos(w*s)]*u;

A=[A z];

end



plot(A(1,:),A(2,:))

hold off

axis([-aa,aa,-aa,aa])

xlabel(['el ángulo entre los vectores es ' anglestr ' grados'])


plotangle

s=acos(u'*v);t=s*180/pi;anglestr=sprintf( '%6.3f', t);if max([m,n])>2

x=[nx;0];u=[1;0]; v=[cos(s);sin(s)]; y=norm(y)*v;

end



drawvec(x,'r'); hold ondrawvec(y,'r'); hold ondrawvec(u,'b'); hold ondrawvec(v,'b'); hold on A=u;

mm=max(abs(v-[cos(s),-sin(s);sin(s),cos(s)]*u));


ENLACES DE INTERES

Curso Matlab 1 - Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=715nqD8Fhhs -

consultado el 1 de abril del 2011.

http://www.youtube.com/watch?v=715nqD8Fhhs






BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTAL CONSULTADA

Lay,D -Algebra Lineal y sus aplicaciones-3º edición-Pearson Educacion

Grossman,S-Algebra Lineal-6t. edición Mac Graw Hill

Pita Ruiz,J-Algebra Lineal-Mac Graw Hill

Anton,H.- INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL-2da. Edición-Edit Limusa



PEREZ,C-MATLAB Y SuS aplicaciones en las Ciencias y la Ingeniería-Pearson-

Prentice Hall


MAS... BIBLIOGRAFÍA DE INTERES

Mario Matiauda – 2010 - Editorial Universitaria - Cálculo con MATLAB.

http://editorial.unam.edu.ar/index.php?option=com_content&view=article&id=247:calculo-con-matlab&catid=42:cuadernos-de-catedra

http://editorial.unam.edu.ar/index.php?option=com_content&view=article&id=247:calculo-con-matlab&catid=42:cuadernos-de-catedra

algebra lineal unam

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