-c3 (unam) algebra lineal

-C3 (UNAM) Algebra Lineal

Algebra Lineal

Juan Carlos Martınez Garcıa

2017

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Algunos conceptos basicos

Relacion binaria: Definir una relacion binaria R sobre un conjunto E es escoger unsub-conjunto del producto cartesiano E

2 = E⇥E. Toda pareja ası {x,y} escogidasatisface la propiedad xRy enunciada como ”x esta en relacion con y a traves deR”. Este enunciado define entonces la relacion.

Propiedades de las relaciones binarias

Reflexividad: R es reflexiva sobre E si y solamente si para todo x 2 E se tiene xRx.

Simetrıa: R es simetrica sobre E si y solamente si para todo (x,y) 2 E

2 tal que xRy

tambien yRx.

Antisimetrıa: R es antinsimetrica sobre E si lo anterior se cumple unicamente cuan-do x = y.

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Transitividad: R es transitiva sobre E si y solamente si para todo triplete (x,y,z)2 E

3

(aquı E

3 := E ⇥E ⇥E) que satisface xRy y yRz se tiene xRz.

Relacion de equivalencia: R es una relacion de equivalencia sobre E si es reflexi-va, simetrica y transitiva. A todo x 2 E se le puede asignar su clase de equiva-lencia:

x := {y 2 E|xRy} .

Al conjunto de todas las clases de equivalencia se le denomina conjunto cocien-

te.

Relacion de orden: R es una relacion de orden sobre E si es reflexiva, antisimetricay transitiva.

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Leyes de composicion

Ley de composicion interna (lci): Definida sobre un conjunto E es una aplicacionde E ⇥E en E.

Ley de composicion externa (lce): Definida sobre un E con ayuda de un conjuntoW es una aplicacion de W⇥E en E (o de E ⇥W en E).

PROPIEDADES

Commutatividad: ⇤, lci sobre E, es conmutativa si para todo (x,y)2 E

2 se cum-ple x⇤ y = y⇤ x.

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Asociatividad: ⇤, lci sobre E, es asociativa si para todo (x,y,z) 2 E

3 se cumple(x⇤ y)⇤ z = x⇤ (y⇤ z).

Existencia de elemento neutro: e 2 E es elemento neutro para ⇤ lci, si paratodo x 2 E se satisface x⇤ e = e⇤ x = x (si el elemento neutro existe, es unico).

Existencia de elemento simetrico: x 2 E posee el elemento simetrico ⇤ lci, siexiste x

0 tal que x⇤ x

0 = x

0 ⇤ x = e (este x

0 es unico si la lci ⇤ es asociativa).

Distributividad: D es distributiva con respecto a la lci ⇤ sobre E (a la izquierdao la derecha), si para todo (w,x,y) 2 E

3 se tiene:

wD(x⇤ y) = (wDx)⇤ (wDy) (a la izquierda).

(x⇤ y)Dw = (xDw)⇤ (yDw) (a la derecha)

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Estructuras algebraicas

Grupo

Denotado (E,+) con + lci sobre E cumple:8

<

:

+ es asociativa sobre E;Existe un neutro 0, por + en E;Todo elemento en E admite un simetrico para +;

Si + es conmutativa sobre E se dice que el grupo es conmutativo.

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Anillo

Denotado (E,+, ·) con + y · lci sobre E cumple:8

<

:

(E,+) es un grupo conmutativo· es asociativa sobre E;· es distributiva (a la derecha o a la izquierda) con respecto a +.

Si · posee un neutro, denominado 1, el anillo es unitario.

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Campo

Denotado (E,+, ·) con + y · lci sobre E cumple:⇢

(E,+, ·) es anillo unitarioTodo elemento de E diferente de 0 tiene un simetrico por ·.

Algunos autores piden la conmutatividad de ·.

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Algunas reflexiones

El uso de los cpnceptos de la teorıa de conjuntos, ası como la formalizacion delas asociaciones que se pueden establcer entre diferentes conjuntos, permiteelaborar la nocion de esructura algebraica.

Las estructuras algebraicas permiten capturan asociaciones percibidas entre ob-jetos de la realidad, lo cual a su vez permite profundizar en la abstraccion deesta.

La adicion al proceso de abtsraccion de propiedades tales como la de “propor-cionalidad en los efectos” permite graduar asociaciones entre objetos.

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Nocion de linealidad

Considere una funcion f : X !Y , (esto es f (x)2Y , para x2X ; X denota el dominio def y Y denota su codominio). Se dice que f es lineal si satisface las dos condicionessiguientes:

1. Para toda constante a:

f (ax) = a f (x) .

2. Para x1,x2 2 X :

f (x1+ x2) = f (x1)+ f (x2)

COMENTARIO LINEALIDAD Y ESPACIOS VECTORIALES: La nocion de linealidades de gran importancia cuando el dominio y el condominio involucrados sonespacios vectoriales.

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Definicion ESPACIO VECTORIAL: Un espacio vectorial V sobre un campo con-mutativo F, es un conjunto asociado a dos operaciones binarias + (suma devectores, lci sobre V ) y · (producto por escalar, lce de V ⇥F en V ) que satisfacelos axiomas siguientes:

1. Asociatividad de la suma: u+(v+w) = (u+ v)+w, para todo u,v,w 2 V .2. Conmutatividad de la suma: u+ v = v+u, para todo u,v 2 V .3. Existencia del elemento identidad en V , esto es 0 2 V , para la suma: v+0 =

v, para todo v 2 V .4. Existencia de elementos inversos en V para la suma: para todo v 2 V existe

un elemento �v 2 V tal que v+(�v) = 0.5. Distributividad del producto escalar con respecto a la suma de vectores a ·

(u+ v) = a ·u+a · v.6. Distributividad del producto escalar con respecto a la suma en el campo:

(a +b ) · v = a · v+b · v.7. Compatibilidad del producto escalar con el producto en el campo a · (b ·v) =

(a ·b ) · v.8. Existencia del elemento identidad para la multiplicacion escalar: 1 · v = v,

donde 1 denota la identidad multiplicativa en F.

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Comentarios

En la definicion de espacio vectorial que acabamos de presentar estan implicitaslas relaciones entre diferentes clases de estructuras algebraicas.

La asociacion entre diversas clases de estructuras basicas permite capturar as-pectos complejos de la realidad fısica y con ello refinar la intuicion.

El desarrollo del concepto axiomatico de espacio vectorial de debe al matemati-co italiano Giuseppe Peano (fines del siglo XIX).

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Ejemplo

Espacio euclideano R3

e1e3

e2

v

xy

z

v = [x y z] T

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Independencia lineal, Base, Aplicacion lineal

Definicion INDEPENDENCIA LINEAL: Se dice que la familia de vectoresv1,v2, . . . ,vn

2 V sobre el campo F es linealmente dependiente si existen n es-calares en F , digamos { f1, f2, . . . , f

n

} no todos iguales a cero tales que:

f1 · v1+ f2 · v2+ · · ·+ f

n

· vn

= 0.

Si esto no es cierto se dice que los vectores v1,v2, . . . ,vn

2 V son linealmenteindependientes.

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Definicion BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL: Una base B de un espacio vec-torial V sobre un campo F es un subconjunto de vectores de V linealmenteindependientes que generan a V . Al numero de vectores que constituyen a B sele denomina la dimension de V , denotada dim(V ). En consecuencia, dado unvector cualquiera v 2 V existe un conjunto de dim(V ) elementos de F , digamosn

f1, f2, . . . , fdim(V )

o

, tales que:

v =dim(V )

Âi=1

f

i

·bi

= f1 ·b1+ f2 ·b2+ · · ·+ fdim(V ) ·bdim(V ),

donde los vectoresn

b1,b2, . . . ,bdim(V )

o

son los elementos constitutivos de labase B.

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Definicion APLICACION LINEAL: Considere los espacios vectoriales X y Y so-bre el mismo campo F. Se dice que la aplicacion A : X !Y es lineal si satisfacelas propiedades siguientes:

1. A(x1+ x2) = A(x1)+A(x2), para todo x1,x2 2 X .2. A(ax) = a ·A(x), para todo x 2 X y para todo a 2 F .

Cabe mencionar que las aplicaciones lineales constituyen un tipo particularde operador matem

´

atico.

En lo que sigue trataremos la representacion de los operadores linealesorientda al computo.

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Representacion matricial de una aplicacion lineal

Sean los espacios vectoriales X y Y de dimensiones n y m, respectivamente, sobreel mismo campo F . Sea la aplicacion lineal A : X ! Y .

Sea la familia de vectores b1X, b2X

, . . ., b

nX una base de X y sea b1Y, b2Y

, . . .,b

mY una base de Y .

NOTA 1 Como puede verse, cada cada vector x 2 X existen n escalares en

F , digamos

�

f1X, f2X

, . . . , f

nX

tales que:

x =n

Âi=1

f

iX·b

iX.

Similarmente para todo vector y 2 Y se tiene:

y =m

Âi=1

f

iY·b

iY.

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vCon respecto a las bases de X y de Y , esto es:�

b1X,b2X

, . . . ,bnX

y�

b1Y,b2Y

, . . . ,bmY

respectivamente, se define a la aplicacion lineal AX ! Y especificando los escala-res a

i jY2 F para los cuales:

A

�

b1X

�

= a11Y·b1Y

+a21Y·b2Y

+ · · ·+a

m1Y·b

mY

A

�

b2X

�

= a12Y·b1Y

+a22Y·b2Y

+ · · ·+a

m2Y·b

mY...

A

�

b

nX

�

= a1nY·b1Y

+a2nY·b2Y

+ · · ·+a

mnY ·bmY

Esta manera de definir la aplicacion lineal lleva al concepto de matriz.

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En consecuencia, para cualquier vector x 2 X expresando en terminos de la baseb1X

, b2X, . . ., b

nX de X como:

x =n

Âi=1

f

iX·b

iX.

y dado que:

A(x) = A

n

Âi=1

f

iX·b

iX

!

= A

�

b1X

�

· f1X+A

�

b2X

�

· f2X+ · · ·+A

�

b

nX

�

· f

nX

Esto es:

A(x) =�

a11Y· f1X

+a12Y· f2X

+ · · ·+a1nY· f

nX

�

·b1Y

+�

a21Y· f1X

+a22Y· f2X

+ · · ·+a2nY· f

nX

�

·b2Y...

+�

a

m1Y· f1X

+a

m2Y· f2X

+ · · ·+a

mnY · f

nX

�

·bmY

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Note que el vector y := A(x) tiene entonces para la base b1Y, b2Y

, . . ., b

mY los com-ponentes:

y1 := a11Y· f1X

+a12Y· f2X

+ · · ·+a1nY· f

nX ,

y2 := a21Y· f1X

+a22Y· f2X

+ · · ·+a2nY· f

nX ,...

y

m

:= a

m1Y· f1X

+a

m2Y· f2X

+ · · ·+a

mnY · f

nX ,

respectivamente.

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Lo anterior significa que si el vector x 2 X esta escrito en terminos de la base b1X,

b2X, . . ., b

nX por medio de los componentes�

f1X, f2X

, . . . , f

nX

, entonces el vectory = A(x) 2 Y tendrıa como componentes, para la base b1Y

, b2Y, . . ., b

mY , a:2

6

6

4

y1y2...y

m

3

7

7

5

= mat(A)

2

6

6

4

f1Xf2X...f

nX

3

7

7

5

,

donde:

mat(A) :=

2

6

6

4

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n... ... . . . ...a

m1 a

m2 · · · a

mn

3

7

7

5

NOTA 2 Dadas las bases

�

b1X,b2X

, . . . ,bnX

y

�

b1Y,b2Y

, . . . ,bmY

de X y

de Y , respectivamente, la aplicaci

´

on lineal A : X !Y se representa en t

´

ermi-

nos matriciales por medio de mat(A). En general se suele escribir A en lugar

de mat(A).

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El concepto de matriz

Como se ha visto, dada una aplicacion lineal (sobre espacios vectorial bien definidosen terminos de bases especificadas), se le puede representar entonces por mediode una matriz, esto es un arreglo de escalares pertenecientes al campo en cuestion.

Una vez representada la aplicacion lineal como una matriz, es posible simplificar elcomputo de las acciones que lleva a cabo el operador representado.

Esta es la finalidad del uso de matrices.

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Endomorfismos

Se dice que A es un endomorfismo si A : X ! X . En este caso y para una baseescogida de X se representa a la aplicacion por medio de una matriz cuadrada,esto es:

mat(A) :=

2

6

6

4

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n... ... . . . ...a

m1 a

m2 · · · a

nn

3

7

7

5

,

donde n := dim(X ).

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El caso Euclideano

Si X = Rn y Y = Rm, entonces:

mat(A) 2 Rn⇥m

y si A es un endomorfismo su representacion matricial corresponde a una matrizcuadrada con componentes en R.

COMENTARIO MATRICES COMO APLICACIONES LINEALES: Toda matriz puede ver-se como la representacion de una aplicacion lineal que mapa elementos de unespacio vectorial en otro, para bases escogidas de dichos espacios.

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Ejemplo

Sea el espacio vectorial X cuya base esta dada por el conjunto de vectores {e1,e2,e3}y sea el espacio vectorial Y con base {r1,r2}. Considere la aplicacion lineal A : X !Y especificada como sigue:

A(e1) = �r1+2r2,A(e2) = r2,A(e3) = r1

Entonces:

matA =

�1 0 12 1 0

�

En efecto, note que para e1 =⇥

1 0 0⇤

:

�1 0 12 1 0

�

·

2

4

100

3

5=

�12

�

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Para el vector x 2 X dado por:

x = e1�2e2� e3

Tenemos:

matA · x =

�1 0 12 1 0

�

·

2

4

1�2�1

3

5=

�21

�

.

Esto es x =�2r1+ r2.

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Ejercicio

Suponga ahora la aplicacion B : X ! X definida como:

B(e1) = 0e1+0e2+0e3,B(e2) = �e2,B(e3) = e1+ e3

Determine la matriz correspondiente.

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Polinomios y determinantes

Los polinomios estan constituidos por un conjunto finito de variables (no determi-nadas o desconocidas) y constantes (llamadas coeficientes), con las operacionesaritmeticas de suma, resta y multiplicacion, asI como tambien exponentes enterospositivos. Pueden ser de una o de varias variables.

Polinomios de una variable

Para {a0, . . . ,an

} constantes (coeficientes) en algun anillo A (en particular podemostomar un cuerpo, como R o C C, en cuyo caso los coeficientes del polinomio serannumeros) con a

n

distinto de cero y n 2 N, entonces un polinomio P de grado n en lavariable l es un objeto de la forma:

p(l ) = a0+a1l +a2l 2+ . . .+a

n

l n

Este concepto se puede extender al caso en el que los coeficientes son matrices.

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Determinantes

det(X ,X 0) =

�

�

�

�

x x

0

y y

0

�

�

�

�

= xy

0 � yx

0

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Aplicaciones lineales y determinantes

Ejemplo de aplicaciones lineales: la primera transforma el cubo amarillo en un volu-men verde y la segunda en un volumen aplastado rojo.

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El determinante de un aplicacion lineal es un numero que representa unfactor multiplicativo para los volumenes.

Si el cubo amarillo tiene volumen iguala 1, entonces el volumen de la imagen delcubo verde es el valor absoluto del determinante de la primera aplicacion.

La segunda aplicacion tiene determinante nulo, ya que corresponde a un aplasta-miento de los volumenes.

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Definicion PARALELOTOPO Y DETERMINANTE: Las nociones de paralelogramoy de paralelepıpedo son generalizadas a une spacio vectorial E de dimension n

sobre R. A n vectores x1,x2, . . . ,xn

de E les esta asociado un paralelotopo. Estese define como la parte de E formada por el conjunto de las combinaciones delos x

i

con coeficientes comprendidos entre 0 y 1:

P =

(

x =n

Âi=1

t

i

x

i

�

�

�

�

�

8i,0 t

i

1

)

.

Si el espacio esta dotado de un producto escalar, es posible definir el volumendel paralelotopo.Si se representa al espacio vectorial san estructura particular, la nocion de de-terminante tiene como objetivo dar un sentido intrınseco al volumen del parale-lotopo, sin hacer referencia a un producto escalar.

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Matrices y computo matricial

Sea K el campo de los reales o de los complejos.

Sean n y m numeros naturales.

Una matriz n⇥m es una aplicacion A : {1,2, . . . ,n}⇥{1,2, . . . ,m}!K, esto es, dados(i, j) 2 {1,2, . . . ,n}⇥{1,2, . . . ,m}, A(i, j) = a

i j

es un numero real complejo.

Denotemos Mn⇥m

(K) el conjunto de matrices de tamano n⇥m con coefoceintes enK.

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Operaciones matriciales

Suma matricial: Dadas las matrices A,B 2 Mn⇥m

(K) ,m,n 2 N, se define la sumade ambas matrices como:

A+B :=�

a

i j

�

+�

a

�b

i j

�

Producto matricial: Sean A 2 Mn⇥m

y B 2 Mm⇥k

. Se defien el producto de A por B

como:

A ·B :=

m

Âk=1

a

ik

b

k j

!

.

Traspuesta: Sea A 2 Mn⇥m

. Se define la traspuesta de A, denotada A

T , a la matrizque resulta de intercambiar sus filas por sus columnas.

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Definicion RANGO DE UNA MATRIZ: Sea A2Mn⇥m

. Sean A1,A2, . . . ,An

las n filasde A y sean A

1,A2, . . . ,Am sus m columnas. Se denomina rango de A, denotador (A), al numero maximo de filas o columnas linealmente independientes.

Ejercicio

Compute el rango de la matriz siguiente:

A =

2

4

1 1 1 10 1 1 �11 2 2 0

3

5

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imagen y espacio nulo

Sean los espacios vectoriales X y Y sobre el mismo campo. Sea la aplicacion linealA : X ! Y .

Definicion ESPACIO IMAGEN DE A: El espacio imagen de A esta definido como:

Im(A) := {y 2 Y |y = A(x) ,8x 2 X }

Definicion ESPACIO NULO DE A: El espacio nulo de A esta definido como:

Ker (A) := {x 2 Y |A(x) = 0}

NOTA 3 Si A est

´

a representada matricialmente, para bases dadas de X y

de Y . La dimensi

´

on de Im(A) iguala al rango de la matriz representativa.

Tambi

´

en dim(Ker (A))+dim(Im(A)) = dim(X ). Cabe mencionar que Im(A) y

Ker (A) son espacios vectoriales.

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Definicion IMAGEN INVERSA: Sea la aplicacion lineal A : X !Y , se define comola imagen inversa de Y por A a:

A

�1 (X ) := {x 2 X |9x 2 X ,A(x) = y}

Ejercicio

Si la matriz:

A =

2

4

1 1 1 10 1 1 �11 2 2 0

3

5

esta representando a la aplicacion lineal A : X ! Y , ¿que dimension tiene Ker (A).Compute un vector no nulo que pertenezca al kernel de A.

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Determinante de una matriz (Metodo de Laplace)

Para una matriz

a b

c d

�

, su determinante esta dado por�

�

�

�

a b

c d

�

�

�

�

= ad �bc.

Sea A una matriz cuadrada:

A =

0

@

a1,1 · · · a1,n... . . . ...a

n,1 · · · a

n,n

1

A

Denotemos A

i j

la matriz que se obtiene al quitarle a A su i-esima lınea y su j-esimacolumna:

A

i, j =

0

B

B

B

B

B

B

@

a1,1 . . . a1, j�1 a1, j+1 . . . a1,n... ... ... ...

a

i�1,1 . . . a

i�1, j�1 a

i�1, j+1 . . . a

i�1,na

i+1,1 . . . a

i+1, j�1 a

i+1, j+1 . . . a

i+1,n... ... ... ...

a

n,1 . . . a

n, j�1 a

n, j+1 . . . a

n,n

1

C

C

C

C

C

C

A

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Ası:

det(A) =n

Âj=1

a

i, j(�1)i+ j det(Ai, j)

El termino (�1)i+ j det(Ai, j) es denominado el cofactor de a

i, j.

El termino det(Ai, j) es denominado el menor de a

i, j.

Ejercicio

Compute el determinante de la matriz siguiente:0

@

�2 2 �3�1 1 32 0 �1

1

A

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Adjunta de una matriz

Sea A una matriz cuadrada. La matriz adjunta de A esta dada por:

ad j (A) = co f (A)T ,

donde co f (A) denota la matriz de cofactores de A.

Ejercicio

Compute la matriz de cofactores de la matriz:0

@

�2 2 �3�1 1 32 0 �1

1

A

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Inversa de una matriz

Sea A una matriz cuadrada. La inversa de A, si existe, es la matriz que cumple larelacion:

A

�1 :=1

det(A)ad j (A)

Ejercicio

Compute la matriz inversa de:0

@

�2 2 �3�1 1 32 0 �1

1

A

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Solucion de ecuaciones lineales

Considere la ecuacion lineal matricial dada por:

Ax = b,

donde A y b son conocidos y x denota un vector incognita.

Si A es cuadrada y si posee inversa, entonces:

x = A

�1b.

En general, x existe si y solamente si b 2 Im(A). Si ese es el caso, entonces x

es la imagen inversa de b por A.

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Ejercicio

Sea el sistema de ecuaciones lineales dado por:

�2x1+2x2�3x3 = 1�x1+ x2+3x3 = �1

2x1� x3 = 0

Obtenga su solucion (si existe), utilizando el metodo de cofactores.

JCMG - 2017 42


Valores propios y vectores propios

Considere una matriz real cuadrada A 2 Rn⇥n (que representa entonces a un endo-morfismo en el espacio vectorial euclidiano Rn).

Definicion POLINOMIO CARACTERISTICO: Dado un endomorfismo A en Rn, re-presentado por medio de la matriz cuadrada A 2Rn⇥n. Se define a un polinomiocaracterıstico p

cA

(l ) como:

p

cA

(l ) := det(l I

n

�A) ,

donde I

n

denota la matriz identidad de orden n.

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Ejemplo POLINOMIO CARACTERISTICO: Considere al endomorfismo A : Rn !Rn

representado por medio de la matriz cuadrada real dada por:

A =

a11 a12a21 a22

�

.

Entonces:

p

cA

(l ) = det(l I2�A) = det✓

l

1 00 1

�

�

a11 a12a21 a22

�◆

= det✓

l 00 l

�

�

a11 a12a21 a22

�◆

= det✓

l �a11 �a12�a21 l �a22

�◆

= (l �a11)(l �a22)+a12a21

= l 2� (a11+a22)l +a11a22+a12a21

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Definicion VALOR PROPIO Y VECTOR PROPIO: Se define valor propio de A 2Rn⇥n a todo numero l 2 C (numero complejo) para el cual existe un vector v,denominado vector propio de A asociado a l , tal que:

A(v) = l · v.

COMENTARIO VALORES PROPIOS Y POLINOMIO CARACTERISTICO: Los valorespropios de un endomorfismo A son las raıces del polinomio caracterıstico de sumatriz representativa.

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Ejemplo VALORES PROPIOS DE UN ENDOMORFISMO: Considere a la matriz re-presentativa de un endomorfismo dada por:

A =

1 23 4

�

.

Su polinomio caracterıstico esta dado por:

p

cA

(l ) = det✓

l �1 �2�3 l �4

�◆

= l 2�5l �2.

En consecuencia los valores propios estan dados por:

l =+5±

p33

2.

Esto es:

l =

(

52+

p332

,52�p

332

)

JCMG - 2017 46


Ejemplo VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS, CONTINUACION: Considerelos valores propios previamente computados:

l =

(

52+

p332

,52�p

332

)

.

Para hallar los vectores propios correspondientes necesitamos resolver la ecua-cion:

Av =

1 23 4

�

v = lv,

para los dos valores. Para el primer valor:

Av =

1 23 4

�

v1v2

�

= l1

v1v2

�

.

Esto es:(1�l1)v1+2v2 = 03v1+(4�l1)v2 = 0

JCMG - 2017 47


Ejemplo VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS, CONTINUACION: Note que:

(4�l1)v1+(6�l1)v2 = 0

Tomemos v2 = 1 (es una variable libre):

(4�l1)v1 =�(6�l1)

Entonces:

v1 =16

⇣

�3+p

33⌘

Ası, para el primer valor propio: 1

6�

�3+p

33�

1

�

es un valor propio correspondiente.

Como ejercicio compute el valor propio para el segundo valor propio.

JCMG - 2017 48


NOTA 4 Dado un endomorfismo A : X ! R, representado por la matriz A y

dado su polinomio caracter´ıstico p

cA

(l ) = det(l I

n

�A) = a0 + a1l + a2l 2 +

. . .+a

n

l n

, donde n = dim(X ), se satisface:

a0I

n

+a1A+a2A

2+ . . .+a

n

A

n = 0,

esto es p

cA

(l ) es un polinomio anulador de A.

Ejercicio:

Verifique esta propiedad para:

A =

1 23 4

�

.

JCMG - 2017 49


¿Para que sirven los valores propios?

Respuesta 1:

Sea un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

x(t) = Ax(t)+Bu(t) ,y(t) = cx(t)

donde: x 2 (·)2X ⇡Rn, u 2 (·)2U ⇡Rm, y 2 (·)2Y ⇡Rp, A : Rn !Rn, B : Rm !Rn,C : Rn ! Rp.

Este sistema es asintoticamente estable si y solamente si todos los valores propiosde A tienen su parte real negativa.

JCMG - 2017 50


Respuesta 2:

Dado un grafo G = (V,E), donde V es el conjunto de vertices (o nodos) y E su con-junto de aristas.

Sea A = (v, t) la matriz de adyacencia, i.e., a

v,t = 1 si el vertice v esta ligado a t ya

v,t = 0 si no lo esta.

La puntuacion de centralidad relativa del vertice v puede ser definidad como:

x

v

=1l Â

t2M(v)

x

t

=1l

a

v,txt

donde M (v) es el conjunto de los vecinos de v y l es una constante. Se puedeescribir lo anterior para todos los vertices en terminos matriciales como:

Ax = lx.

La centralidad de vector propio mide la influencia de un nodo en una red y corres-ponde al principal vector propio de la matriz de adyacencia del grafo.JCMG - 2017 51


Respuesta 3:

Considere un sistema que evoluciona en el tiempo con estado x(t)2Rn que satisfacela ecuacion diferencial:

x = f (x) ,

para algun mapeo suave f : Rn ! Rn. Suponga que el sistema tiene un estado deequilibrio hiperbolico x

⇤ 2 Rn. Esto es f (x⇤) = 0 y la matriz jacobiana:

∂ f

i

∂x

j

�

de f en el estado x

⇤ no tiene valores propios con parte real igual a cero.

Existe entonces una vecindad N del equilibrio x

⇤ y un homomorfismo h : N ! Rn, talque h(x⇤) = 0 y tal que en la vecindad de N el flujo de dx/dt = f (x) es topologicamen-te conjugado por el mapeo continuo X = h(x) al flujo de su linealizacion dX/dt = AX .

JCMG - 2017 52

-c3 (unam) algebra lineal

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