Álgebra lineal - grossman godoy 7ed

LGEBRA LINEAL

Contenido III

LGEBRA LINEAL

MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA MADRID NUEVA YORK

SAN JUAN SANTIAGO SO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL

NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO

Stanley I. Grossman S.University of Montana

University College London

Jos Job Flores GodoyUniversidad Iberoamericana

Ciudad de Mxico

Revisin tcnica:

Elsa Fabiola Vzquez Valencia

Universidad IberoamericanaCiudad de Mxico

Carmen Judith VanegasUniversidad Simn Bolvar

Caracas, Venezuela

Eleazar Luna BarrazaUniversidad Autnoma

de Sinaloa, Mxico

M. Rosalba Espinoza

SnchezUniversidad de Guadalajara

Mxico

Mara del Pilar Goi Vlez

Universidad Autnoma de Nuevo Len, Mxico

Adrin InfanteUniversidad Simn Bolvar

Caracas, Venezuela

Sptima edicin

'LUHFWRUJHQHUDO0p[LFR0LJXHOQJHO7ROHGR&DVWHOODQRV(GLWRUVSRQVRU3DEOR(5RLJ9i]TXH]&RRUGLQDGRUDHGLWRULDO0DUFHOD,5RFKD0DUWtQH](GLWRUGHGHVDUUROOR(GPXQGR&DUORV=~xLJD*XWLpUUH]6XSHUYLVRUGHSURGXFFLyQ=HIHULQR*DUFtD*DUFtD

LGEBRA LINEAL6pSWLPDHGLFLyQ

3URKLELGDODUHSURGXFFLyQWRWDORSDUFLDOGHHVWDREUD SRUFXDOTXLHUPHGLRVLQODDXWRUL]DFLyQHVFULWDGHOHGLWRU

'(5(&+265(6(59$'26UHVSHFWRDODVpSWLPDHGLFLyQSRU0F*5$:+,//,17(5$0(5,&$1$(',725(66$'(&9$6XEVLGLDU\RI7KH0F*UDZ+LOO&RPSDQLHV,QF 3URORQJDFLyQ3DVHRGHOD5HIRUPD7RUUH$ 3LVR&RORQLD'HVDUUROOR6DQWD)H 'HOHJDFLyQOYDUR2EUHJyQ &30p[LFR') 0LHPEURGHOD&iPDUD1DFLRQDOGHOD,QGXVWULD(GLWRULDO0H[LFDQD5HJ1~P

,6%1,6%1HGLFLyQDQWHULRU

&RS\ULJKW6WDQOH\,*URVVPDQ\-RVp-RE)ORUHV*RGR\$OOULJKWVUHVHUYHG

,PSUHVRHQ0p[LFR 3ULQWHGLQ0H[LFR

Para Kerstin, Aaron y Erick

Stanley I. Grossman S.

Para Malena e Ins

Jos Job Flores Godoy

Dedicatoria

Prefacio ................................................................................................... XIAgradecimientos ........................................................................................ XVIIIExamen diagnstico ................................................................................. XXI

Captulo 1 Sistemas de ecuaciones lineales ..................... 1

1.1 Dos ecuaciones lineales con dos incgnitas .............................................. 21.2 m ecuaciones con n incgnitas: eliminacin de Gauss-Jordan y gaussiana .............................................................................................. 81.3 Introduccin a MATLAB ........................................................................ 301.4 Sistemas homogneos de ecuaciones ........................................................ 38

Captulo 2 Vectores y matrices .......................................... 45

2.1 Deiniciones generales .............................................................................. 462.2 Productos vectorial y matricial ................................................................ 622.3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ............................................... 942.4 Inversa de una matriz cuadrada ............................................................... 1022.5 Transpuesta de una matriz ....................................................................... 1272.6 Matrices elementales y matrices inversas .................................................. 1342.7 Factorizaciones LU de una matriz ........................................................... 1462.8 Teora de gricas: una aplicacin de matrices ......................................... 164

Captulo 3 Determinantes ................................................. 175

3.1 Deiniciones ............................................................................................. 1763.2 Propiedades de los determinantes ............................................................ 1923.3 Determinantes e inversas ......................................................................... 2093.4 Regla de Cramer ...................................................................................... 2193.5 Demostracin de tres teoremas importantes y algo de historia ................ 224

Captulo 4 Vectores en R2 y R3 .......................................... 231

4.1 Vectores en el plano ................................................................................. 2324.2 El producto escalar y las proyecciones en R2 ............................................ 2474.3 Vectores en el espacio............................................................................... 2584.4 El producto cruz de dos vectores ............................................................. 2694.5 Rectas y planos en el espacio ................................................................... 279

Contenido

VIII Contenido

Captulo 5 Espacios vectoriales ......................................... 295

5.1 Deinicin y propiedades bsicas ............................................................. 2965.2 Subespacios vectoriales ............................................................................ 3085.3 Combinacin lineal y espacio generado ................................................... 3155.4 Independencia lineal ................................................................................ 3315.5 Bases y dimensin .................................................................................... 3495.6 Cambio de bases ...................................................................................... 3625.7 Rango, nulidad, espacio rengln y espacio columna ................................ 3845.8 Fundamentos de la teora de espacios vectoriales: existencia de una base (opcional) ............................................................. 409

Captulo 6 Espacios vectoriales con producto interno .... 417

6.1 Bases ortonormales y proyecciones en Rn ................................................ 4186.2 Aproximaciones por mnimos cuadrados ................................................. 4436.3 Espacios con producto interno y proyecciones ......................................... 464

Captulo 7 Transformaciones lineales ............................... 479

7.1 Deinicin y ejemplos............................................................................... 4807.2 Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y ncleo ................ 4937.3 Representacin matricial de una transformacin lineal ............................ 5017.4 Isomorismos ........................................................................................... 5267.5 Isometras ................................................................................................ 534

Captulo 8 Valores caractersticos, vectores caractersticos y formas cannicas ................ 545

8.1 Valores caractersticos y vectores caractersticos ...................................... 5468.2 Un modelo de crecimiento de poblacin (opcional) ................................. 5698.3 Matrices semejantes y diagonalizacin..................................................... 5788.4 Matrices simtricas y diagonalizacin ortogonal ..................................... 5918.5 Formas cuadrticas y secciones cnicas ................................................... 6008.6 Forma cannica de Jordan ....................................................................... 6128.7 Una aplicacin importante: forma matricial de ecuaciones diferenciales ....................................................................... 6228.8 Una perspectiva diferente: los teoremas de Cayley-Hamilton y Gershgorin ............................................................................................ 635

Apndice A Induccin matemtica ................................................................. 647

Apndice B Nmeros complejos ..................................................................... 655

Apndice C El error numrico en los clculos y la complejidad

computacional ............................................................................. 665

Apndice D Eliminacin gaussiana con pivoteo .............................................. 675

Apndice E Uso de MATLAB ........................................................................ 683

Contenido IX

Respuestas a los problemas impares ................................ 685

Captulo 1 ........................................................................................................ 685

Captulo 2 ........................................................................................................ 687

Captulo 3 ........................................................................................................ 698

Ejercicios de repaso captulo 3 .......................................................................... 700

Captulo 4 ........................................................................................................ 701


Captulo 5 ........................................................................................................ 707

Captulo 6 ........................................................................................................ 714


Captulo 7 ........................................................................................................ 717

Captulo 8 ........................................................................................................ 722


Apndices ........................................................................................................ 731

ndice onomstico ............................................................... 737

ndice analtico .................................................................... 738

Anteriormente el estudio del lgebra lineal era parte de los planes de estudios de los alumnos de matemticas y fsica, principalmente, y tambin recurran a ella aquellos que necesitaban conocimientos de la teora de matrices para trabajar en reas tcnicas como la estadstica mul-tivariable. Hoy en da, el lgebra lineal se estudia en diversas disciplinas gracias al uso de las computadoras y al aumento general en las aplicaciones de las matemticas en reas que, por tradicin, no son tcnicas.

Prerrequisitos

Al escribir este libro tuve en mente dos metas. Intent volver accesibles un gran nmero de temas de lgebra lineal para una gran variedad de estudiantes que necesitan nicamente cono-cimientos irmes del lgebra correspondientes a la enseanza media superior. Como muchos estudiantes habrn llevado un curso de clculo de al menos un ao, inclu tambin varios ejem-plos y ejercicios que involucran algunos temas de esta materia. stos se indican con el smbolo

Clculo . La seccin 8.7 es opcional y s requiere el uso de herramientas de clculo, pero salvo

este caso, el clculo no es un prerrequisito para este texto.

Aplicaciones

Mi segunda meta fue convencer a los estudiantes de la importancia del lgebra lineal en sus campos de estudio. De este modo el contexto de los ejemplos y ejercicios hace referencia a diferentes disciplinas. Algunos de los ejemplos son cortos, como las aplicaciones de la multipli-cacin de matrices al proceso de contagio de una enfermedad (pgina 67). Otros son un poco ms grandes; entre stos se pueden contar el modelo de insumo-producto de Leontief (pginas 18 a 19 y 111 a 113), la teora de gricas (seccin 2.8), la aproximacin por mnimos cuadrados (seccin 6.2) y un modelo de crecimiento poblacional (seccin 8.2).

Adems, se puede encontrar un nmero signiicativo de aplicaciones sugestivas en las sec-ciones de MATLAB.

Teora

Para muchos estudiantes el curso de lgebra lineal constituye el primer curso real de matemticas. Aqu se solicita a los estudiantes no slo que lleven a cabo clculos matemticos sino tambin que desarrollen demostraciones. Intent, en este libro, alcanzar un equilibrio entre la tcnica y la teora. Todas las tcnicas importantes se describen con minucioso detalle y se ofrecen ejemplos que ilustran su utilizacin. Al mismo tiempo, se demuestran todos los teoremas que se pueden probar utilizando los resultados dados aqu. Las demostraciones ms difciles se dan al inal de las secciones o en apartados especiales, pero siempre se dan. El resultado es un libro que propor-

Prefacio

XII Prefacio

cionar a los estudiantes tanto las habilidades algebraicas para resolver los problemas que surjan en sus reas de estudio como una mayor apreciacin de la belleza de las matemticas.

Caractersticas

La sptima edicin ofrece nuevas caractersticas y conserva la estructura ya probada y clsica que tena la edicin anterior. Las nuevas caractersticas se enumeran en la pgina XIV.

Examen diagnstico

El examen diagnstico, nuevo en esta edicin, busca identiicar si el alumno posee las nociones mnimas necesarias para un curso exitoso de lgebra lineal. Este examen se compone de 36 reactivos divididos en 7 problemas, cada uno de los cuales evala alguna habilidad matemtica especifca. En la pregunta 1 se evala la habilidad de manipular operaciones aritmticas sim-ples. En la pregunta 2 se estima el concepto de conjuntos, que son los elementos que tienen una o varias propiedades en comn. En la pregunta 3 se aprecia la manipulacin de conjuntos con sus operaciones de unin, interseccin y complemento. En el problema 4 se revisan las habili-dades bsicas de lgebra. En el problema 5 se evala la habilidad de factorizar expresiones al-gebraicas simples. En la pregunta 6 se calcula la habilidad para resolver ecuaciones lineales sim-ples. Finalmente, en la pregunta 7 se estima la habilidad para encontrar races de polinomios.

Ejemplos

Los estudiantes aprenden matemticas mediante ejemplos completos y claros. La sptima edi-cin contiene cerca de 350 ejemplos, cada uno de los cuales incluye todos los pasos algebraicos necesarios para completar la solucin. En muchos casos se proporcionaron secciones de ayuda didctica para facilitar el seguimiento de esos pasos. Adicionalmente, se otorg un nombre a los ejemplos con el objeto de que resulte ms sencillo entender el concepto esencial que ilustra cada uno.

Ejercicios

El texto contiene cerca de 2 750 ejercicios. Al igual que en todos los libros de matemticas, stos constituyen la herramienta ms importante del aprendizaje. Los problemas conservan un orden de acuerdo con su grado de diicultad y existe un equilibrio entre la tcnica y las de-mostraciones. Los problemas ms complicados se encuentran marcados con un asterisco (*) y unos cuantos excepcionalmente difciles con dos (**). stos se complementan con ejercicios de problemas impares, incluyendo aquellos que requieren demostraciones. De los 2 750 ejercicios, alrededor de 300 son nuevos. Muchos son aportaciones de profesores destacados en la materia. Tambin hay varios problemas en las secciones Manejo de calculadora y MATLAB.

Teorema de resumen

Una caracterstica importante es la aparicin frecuente del teorema de resumen, que une temas que en apariencia no tienen nada en comn dentro del estudio de matrices y transformaciones lineales. En la seccin 1.1 (pgina 5) se presenta el teorema por vez primera. En las secciones 2.4 (p. 114), 2.6 (p. 138), 3.3 (p. 215), 5.4 (p. 337), 5.7 (p. 395), 7.4 (p. 529) y 8.1 (p. 557) se en-cuentran versiones cada vez ms completas de dicho teorema.

Prefacio XIII

Autoevaluacin

Los problemas de autoevaluacin estn diseados para valorar si el estudiante comprende las ideas bsicas de la seccin, y es conveniente que los resuelva antes de que intente solucionar los problemas ms generales que les siguen. Casi todos ellos comienzan con preguntas de opcin mltiple o falso-verdadero que requieren pocos o ningn clculo.

Manejo de calculadora

En la actualidad existe una gran variedad de calculadoras graicadoras disponibles, con las que es posible realizar operaciones con matrices y vectores. Desde la edicin anterior, el texto incluye secciones de manejo de calculadora que tienen por objeto ayudar a los estudiantes a usar sus calculadoras en este curso. Para esta edicin se han actualizado estas secciones con uno de los modelos de vanguardia.

Se presentan secciones donde se detalla el uso de la calculadora Hewlett-Packard HP 50g para la resolucin de problemas. Se han incluido problemas cuyo objetivo es utilizar la calculadora para encontrar las soluciones.

Sin embargo, debe hacerse hincapi en que no se requiere que los alumnos cuenten con una calculadora graicadora para que el uso de este libro sea efectivo. Las secciones de manejo de calculadora son una caracterstica opcional que debe usarse a discrecin del profesor.

Resmenes de secciones

Al inal de cada seccin aparece un repaso detallado de los resultados importantes hallados en sta. Incluye referencias a las pginas de la seccin en las que se encuentra la informacin completa.

Geometra

Algunas ideas importantes en lgebra lineal se entienden mejor observando su interpretacin geomtrica. Por esa razn se han resaltado las interpretaciones geomtricas de conceptos im-portantes en varios lugares de esta edicin. stas incluyen:

La geometra de un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas (p. 20)

La interpretacin geomtrica de un determinante de 2 3 2 (pp. 183, 272)

La interpretacin geomtrica del triple producto escalar (p. 273)

Cmo dibujar un plano (p. 282)

La interpretacin geomtrica de la dependencia lineal en R3 (p. 334)

La geometra de una transformacin lineal de R2 en R2 (pp. 510-517)

Las isometras de R2 (p. 536)

Semblanzas histricas

Las matemticas son ms interesantes si se conoce algo sobre el desarrollo histrico del tema. Para estimular este inters se incluyen varias notas histricas breves, dispersas en el libro. Ade-ms, hay siete semblanzas no tan breves y con ms detalles, entre las que se cuentan las de:

Carl Friedrich Gauss (p. 21)

Sir William Rowan Hamilton (p. 54)

XIV Prefacio

Arthur Cayley y el lgebra de matrices (p. 76)

Breve historia de los determinantes (p. 228)

Josiah Willard Gibbs y los orgenes del anlisis vectorial (p. 274)

Historia de la induccin matemtica (p. 651)

Caractersticas nuevas de la sptima edicin

Gracias a la participacin de profesores y revisores, la nueva edicin se ha enriquecido con diversos cambios, como son:

Se ha renovado el diseo de las pginas con la inalidad de que la obra posea una es-tructura ms organizada y amable para el lector.

La mayora de las notas y las observaciones se reubicaron al margen a in de resaltar su importancia y evitar distraer al lector en el discurso del tema.

Algunos captulos de la edicin anterior fueron reorganizados con objeto de propor-cionar lexibilidad a los profesores en cuanto a los temas que habrn de abordar.

Se incluye un breve examen diagnstico cuya inalidad es ayudar a los estudiantes a identiicar las habilidades mnimas necesarias para aprovechar de la mejor manera el contenido de este libro.

Las tutoras y problemas de MATLAB tambin se han actualizado, incluyendo ahora mayores referencias e incluso muchos de los cdigos necesarios.

Gran cantidad de problemas nuevos, adems de otros actualizados, que permitirn ejercitar y aplicar las habilidades adquiridas. Por ende, la seccin de respuestas al inal del libro ha cambiado por completo.

MATLAB

El texto cuenta con ms de 230 problemas opcionales para MATLAB, muchos de los cua-les tienen varios incisos, que aparecen despus de la mayora de las secciones de problemas (MATLAB es una marca registrada de The Math Works, Inc.). MATLAB es un paquete po-deroso pero amigable, diseado para manejar problemas de una amplia variedad que requieren clculos con matrices y conceptos de lgebra lineal. Se puede ver mayor informacin sobre este programa en la seccin de apndices. Los problemas relacionados directamente con los ejemplos y los problemas normales exhortan al estudiante a explotar el poder de clculo de MATLAB y explorar los principios del lgebra lineal mediante el anlisis y la obtencin de conclusiones. Adems, se cuenta con varios incisos de papel y lpiz que permiten que el alumno ejercite su juicio y demuestre su aprendizaje de los conceptos.

La seccin 1.3 es la primera que contiene problemas de MATLAB; antes de estos proble-mas se presenta una introduccin y una tutora breve. Los problemas de MATLAB en cada seccin estn diseados para que el usuario conozca los comandos de MATLAB a medida que se van requiriendo para la resolucin de problemas. Se cuenta con numerosas aplicaciones y problemas proyecto que demuestran la relevancia del lgebra lineal en el mundo real; stos pueden servir como trabajos de grupo o proyectos cortos.

Muchos de los problemas de MATLAB estn diseados para animar a los estudiantes a describir teoremas de lgebra lineal. Por ejemplo, un estudiante que genere varias matrices triangulares superiores y calcule sus inversas obtendr la conclusin natural de que la inversa de una matriz triangular superior es otra triangular superior. La demostracin de este resul-

Prefacio XV

tado no es trivial, pero tendr sentido si el estudiante ve que el resultado es aceptable. Prc-ticamente todos los conjuntos de problemas de MATLAB contienen algunos que llevan a resultados matemticos.

Lo mismo que en el caso del manejo de calculadora, se resalta aqu el hecho de que el material de MATLAB es opcional. Se puede asignar o no segn el profesor lo considere con-veniente.

En lugar de colocar la seccin de MATLAB a manera de suplemento, se decidi conser-varlo dentro de los captulos para que la integracin fuera mayor y ms efectiva. Adems, se ha cuidado que primero se ensee a los estudiantes la manera de resolver los problemas a mano, comprendiendo los conceptos, para despus poder incorporar el uso de otras herramientas.

lgebra lineal conserva el diseo de un libro para cubrirse en un semestre. Es de esperarse que, al utilizarlo, el material de MATLAB se cubra en un laboratorio separado que comple-mente el trabajo del saln de clase.

Numeracin

La numeracin de este libro es estndar. Dentro de cada seccin, los ejemplos, problemas, teore-mas y ecuaciones se encuentran numerados consecutivamente a partir del nmero 1, y siempre se incluye el captulo y la seccin. De esta forma, el ejemplo 4 en la seccin 3.2 siempre se denomina ejemplo 3.2.4. Adems, con frecuencia se proporciona el nmero de la pgina para que resulte sencillo encontrar referencias.

Organizacin

El enfoque que se ha utilizado en este libro es gradual. Los captulos 1 al 3 contienen el material computacional bsico comn para la mayor parte de los libros de lgebra lineal. El captulo 1 presenta los sistemas de ecuaciones lineales. El captulo 2 introduce los conceptos de matri-ces y vectores, y presenta la relacin de stos con los sistemas de ecuaciones, estudiados en el captulo 1. Esta presentacin proporciona una mayor motivacin para el estudiante y sigue el orden de la mayora de los temarios del curso. Tambin se incluy una seccin (2.8) en la que se aplican matrices a la teora de gricas. El captulo 3 proporciona una introduccin a los determinantes e incluye un ensayo histrico sobre las contribuciones de Leibniz y Cauchy al lgebra lineal (seccin 3.5).

Dentro de este material bsico, incluso hay secciones opcionales que representan un reto un poco mayor para el estudiante. Por ejemplo, la seccin 3.5 proporciona una demostracin completa de que det AB 5 detA detB. La demostracin de este resultado, mediante el uso de matrices elementales, casi nunca se incluye en libros introductorios.

El captulo 4 analiza los vectores en el plano y el espacio. Muchos de los temas de este cap-tulo se cubren segn el orden con el que se presentan en los libros de clculo, de manera que es posible que el estudiante ya se encuentre familiarizado con ellos. Sin embargo, como una gran parte del lgebra lineal est relacionada con el estudio de espacios vectoriales abstractos, los alumnos necesitan un acervo de ejemplos concretos que el estudio de los vectores en el plano y el espacio proporciona de manera natural. El material ms difcil de los captulos 5, 6 y 7 se ilustra con ejemplos que surgen del captulo 4. La seccin 4.4 incluye un ensayo histrico sobre Gibbs y el origen del anlisis vectorial.

El captulo 5 contiene una introduccin a los espacios vectoriales generales y es necesaria-mente ms abstracto que los captulos anteriores. No obstante, intentamos presentar el material como una extensin natural de las propiedades de los vectores en el plano, que es en realidad la forma en que surgi el tema. Se ha modiicado el orden entre el estudio de cambios de base (sec-

XVI Prefacio

cin 5.6) y los conceptos de rango y nulidad de matrices (seccin 5.7), por considerar que sta es una secuencia de conceptos ms clara. En la seccin opcional (5.8) se demuestra que todo espacio vectorial tiene una base. Al hacerlo se analizan los conjuntos ordenados y el lema de Zorn. Dicho material es ms complicado que cualquier otro tema en el libro y se puede omitir. Sin embargo, como el lgebra lineal a menudo se considera el primer curso en el que las demos-traciones son tan importantes como los clculos, en mi opinin el estudiante interesado debe disponer de una demostracin de este resultado fundamental. En el captulo 6 se presenta la relacin existente entre los espacios vectoriales y los productos internos, y se incluye una seccin (6.2) de aplicaciones interesantes sobre la aproximacin por mnimos cuadrados.

El captulo 7 contina el anlisis que se inici en el captulo 5 con una introduccin a las transformaciones lineales de un espacio vectorial a otro. Comienza con dos ejemplos que mues-tran la manera natural en la que pueden surgir las transformaciones. La seccin 7.3 describe de manera detallada la geometra de las transformaciones de R2 en R2, e incluye expansiones, compresiones, relexiones y cortes. La seccin 7.5 ahora contiene un estudio ms detallado de las isometras de R2.

El captulo 8 describe la teora de los valores y vectores caractersticos o valores y vectores propios. Se introducen en la seccin 8.1 y en la seccin 8.2 se da una aplicacin biolgica minu-ciosa del crecimiento poblacional. Las secciones 8.3, 8.4 y 8.5 presentan la diagonalizacin de una matriz, mientras que la seccin 8.6 ilustra, para unos cuantos casos, cmo se puede reducir una matriz a su forma cannica de Jordan. La seccin 8.7 estudia las ecuaciones diferenciales matriciales y es la nica seccin del libro que requiere conocimiento del primer curso de clculo. Esta seccin proporciona un ejemplo de la utilidad de reducir una matriz a su forma cannica de Jordan (que suele ser una matriz diagonal). En la seccin 8.8 introduje dos de mis resultados fa-voritos acerca de la teora de matrices: el teorema de Cayley-Hamilton y el teorema de los crculos de Gershgorin. El teorema de los crculos de Gershgorin es un resultado muy rara vez estudiado en los libros de lgebra lineal elemental, que proporciona una manera sencilla de estimar los va-lores propios de una matriz.

En el captulo 8 tuve que tomar una decisin difcil: si analizar o no valores y vectores pro-pios complejos. Decid incluirlos porque me pareci lo ms adecuado. Algunas de las matrices ms agradables tienen valores propios complejos. Si se deine un valor propio como un nme-ro real, slo en un principio se pueden simpliicar las cosas, aunque esto sea un error. Todava ms, en muchas aplicaciones que involucran valores propios (incluyendo algunas de la seccin 8.7), los modelos ms interesantes se relacionan con fenmenos peridicos y stos requieren valores propios complejos. Los nmeros complejos no se evitan en este libro. Los estudiantes que no los han estudiado antes pueden encontrar las pocas propiedades que necesitan en el apndice B.

El libro tiene cinco apndices, el primero sobre induccin matemtica y el segundo sobre nmeros complejos. Algunas de las demostraciones en este libro hacen uso de la induccin matemtica, por lo que el apndice A proporciona una breve introduccin a esta importante tcnica para los estudiantes que no la han utilizado.

El apndice C analiza el concepto bsico de la complejidad de los clculos que, entre otras cosas, ayudar a los estudiantes a entender las razones por las cuales quienes desarrollan soft-ware eligen algoritmos especicos. El apndice D presenta un mtodo razonablemente eiciente para obtener la solucin numrica de los sistemas de ecuaciones. Por ltimo, el apndice E incluye algunos detalles tcnicos sobre el uso de MATLAB en este libro.

Una nota sobre la interdependencia de los captulos: este libro est escrito en forma se-cuencial. Cada captulo depende de los anteriores, con una excepcin: el captulo 8 se puede cubrir sin necesidad de gran parte del material del captulo 7. Las secciones marcadas como opcional se pueden omitir sin prdida de la continuidad.

Prefacio XVII

Materiales de apoyoEsta obra cuenta con interesantes complementos que fortalecen los procesos de enseanza-aprendizaje, as como facilitan su evaluacin, los cuales se otorgan a profesores que adoptan este texto para sus cursos. Para obtener ms informacin y conocer la poltica de entrega de estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill.

AgradecimientosEstoy agradecido con muchas personas que me ayudaron cuando escriba este libro. Parte del material apareci primero en Mathematics for the Biological Sciences (Nueva York, Macmillan, 1974) escrito por James E. Turner y por m. Quiero agradecer al profesor Turner por el permiso que me otorg para hacer uso de este material.

Gran parte de este libro fue escrita mientras trabajaba como investigador asociado en la University College London. Deseo agradecer al departamento de matemticas de UCL por proporcionarme servicios de oicina, sugerencias matemticas y, en especial, su amistad duran-te mis visitas anuales.

El material de MATLAB fue escrito por Cecelia Laurie, de la University of Alabama. Gracias a la profesora Laurie por la manera sobresaliente en que utiliz la computadora para mejorar el proceso de enseanza. ste es un mejor libro debido a sus esfuerzos.

Tambin me gustara extender mi agradecimiento a Cristina Palumbo, de The MathWorks, Inc., por proporcionarnos la informacin ms reciente sobre MATLAB.

La efectividad de un libro de texto de matemticas depende en cierto grado de la exactitud de las respuestas. Ya en la edicin anterior del libro se hicieron esfuerzos considerables para tratar de evitar los errores al mximo. Las respuestas fueron veriicadas por varios profesores, entre los que cabe destacar la importantsima labor de Sudhir Goel, de Valdosta State College, y David Ragozin, de la University of Washington, quien elabor el Manual de Soluciones del libro. Cecelia Laurie prepar las soluciones a los problemas de MATLAB. En el caso de esta nueva edicin, las soluciones a los problemas nuevos estn elaboradas por los profesores que los aportaron. Dado que hay gran cantidad de problemas nuevos, la seccin de respuestas al inal del libro se modiic casi por completo.

Agradezco a aquellas personas que hicieron comentarios a la edicin anterior. Todos ellos son muy valiosos. En esta edicin fue posible incorporar muchos de ellos.

Mi agradecimiento a los siguientes usuarios experimentados de MATLAB por la revisin de los problemas de MATLAB:

Thomas Cairns, University of Tulsa

Karen Donelly, Saint Josephs College

Roger Horn, University of Utah

Irving Katz, George Washington University

Gary Platt, University of Wisconsin-Whitewater

Stanley I. Grossman

Missoula, Montana

Jos Job Flores Godoy

Universidad Iberoamericana

XVIII Prefacio

De manera especial agradecemos a los siguientes profesores sus contribuciones y revisiones de la sexta edicin de esta obra:

Abelardo Ernesto Damy Sols, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Guadalajara

Dax Andr Pinseau Castillo, Universidad Catlica de Honduras; Universidad Pedaggica Nacional de Honduras

Eduardo Soberanes Lugo, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Sinaloa

Erik Leal Enrquez, Universidad Iberoamericana, Ciudad de Mxico; Universidad Aut-noma Metropolitana Azcapotzalco

Irma Patricia Flores Allier, Instituto Politcnico Nacional

Israel Portillo Arroyo, Instituto Tecnolgico del Parral, Chihuahua

Ivn Castaeda Leyva, Universidad de Occidente, unidad Culiacn

Kristiano Racanello, Fundacin Universidad de las Amricas, Puebla

Mara Asuncin Montes Pacheco, Universidad Popular Autnoma del Estado de Puebla

Mara Eugenia Noriega Trevio, Universidad Autnoma de San Luis Potos

Martha Patricia Melndez Aguilar, Instituto Tecnolgico de Celaya

La divisin de Ingenieras, Matemticas y Ciencias de McGraw-Hill agradece tambin a todos los profesores que han contribuido con este importante proyecto:

Adn Medina, Instituto Tecnolgico de Culiacn

Alfonso Bernal Amador, Instituto Tecnolgico de Culiacn

Alfredo Gmez Rodrguez, Universidad Nacional Autnoma de Mxico, Facultad de Ingeniera

Andrs Basilio Ramrez y Villa, Facultad de Ingeniera, Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Arturo Astorga Ramos, Instituto Tecnolgico de Mazatln

Arturo Fernando Quiroz, Tecnolgico Regional de Quertaro

Arturo Muoz Lozano, Universidad La Salle del Bajo

Arturo Valenzuela Valenzuela, Instituto Tecnolgico de Culiacn

Aureliano Castro, Escuela de Ingeniera, Universidad Autnoma de Sinaloa

Beatriz Velazco, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Culiacn

Benigno Valez, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Culiacn

Bertha Alicia Madrid, Universidad Iberoamericana, campus Cuidad de Mxico

Agradecimientos

Agradecimientos XIX

Carlos Camacho Snchez, Instituto Tecnolgico de Culiacn

Carlos Garzn, Universidad Javeriana, Cali, Colombia

Carlos Rodrguez Provenza, Universidad Politcnica de Quertaro

Csar Meza Mendoza, Instituto Tecnolgico de Culiacn

Dinaky Glaros, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Culiacn

Edgar Hernndez Lpez, Universidad Iberoamericana, campus Len

Edith Salazar Vzquez, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

Edmundo Barajas Ramrez, Universidad Iberoamericana, campus Len

Eduardo Miranda Montoya, Iteso

Erndira Gabriela Avils Rabanales, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

Erik Norman Guevara Corona, Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Esperanza Mndez Ortiz, Facultad de Ingeniera, Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Fernando Lpez, Escuela de Ingenieras Qumico-Biolgicas, Universidad Autnoma de Sinaloa

Gabriel Martnez, Instituto Tecnolgico de Hermosillo

Gerardo Campos Carrillo, Instituto Tecnolgico de Mazatln

Gonzalo Veyro Santamara, Universidad Iberoamericana, campus Len

Guillermo Luisillo Ramrez, ESIME Culhuacn, Instituto Politcnico Nacional

Hctor Escobosa, Instituto Tecnolgico de Culiacn

Hortensia Beltrn Ochoa, Instituto Tecnolgico de Los Mochis

Irma Yolanda Paredes, Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenieras, Universidad de Guadalajara

Javier Nez Verdugo, Universidad de Occidente, unidad Guamchil

Jess Gamboa Hinojosa, Instituto Tecnolgico de Los Mochis

Jess Manuel Canizalez, Universidad de Occidente, unidad Mazatln

Jess Vicente Gonzlez Sosa, Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Jorge Alberto Castelln, Universidad Autnoma de Baja California

Jorge Luis Herrera Arellano, Instituto Tecnolgico de Tijuana

Jos Alberto Gutirrez Palacios, Facultad de Ingeniera, Universidad Autnoma del Estado de Mxico, campus Toluca

Jos Antonio Castro Inzunza, Universidad de Occidente, unidad Culiacn

Jos Carlos Ahumada, Instituto Tecnolgico de Hermosillo

Jos Carlos Aragn Hernndez, Instituto Tecnolgico de Culiacn

Jos Espndola Hernndez, Tecnolgico Regional de Quertaro

Jos Gonzlez Vzquez, Universidad Autnoma de Baja California

Jos Guadalupe Octavio Cabrera Lazarini, Universidad Politcnica de Quertaro

Jos Guadalupe Torres Morales, ESIME Culhuacn, Instituto Politcnico Nacional

Jos Guillermo Crdenas Lpez, Instituto Tecnolgico de Tijuana

Jos Luis Gmez Snchez, Universidad de Occidente, unidad Mazatln

Jos Luis Herrera, Tecnolgico Regional de San Luis Potos

Jos No de la Rocha, Instituto Tecnolgico de Culiacn

Juan Carlos Pedraza, Tecnolgico Regional de Quertaro

Juan Castaeda, Escuela de Ingenieras Qumico-Biolgicas, Universidad Autnoma de Sinaloa

Juan Leoncio Nez Armenta, Instituto Tecnolgico de Culiacn

Juana Murillo Castro, Escuela de Ingeniera, UAS

Leonel Monroy, Universidad del Valle, Cali, Colombia

Linda Medina, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Ciudad de Mxico

Lorenza de Jess, Instituto Tecnolgico de Culiacn

Luca Ramos Montiel, Universidad Iberoamericana, campus Len

Lucio Lpez Cavazos, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Quertaro

Luis Felipe Flores, Instituto Tecnolgico de Los Mochis

Luis Lpez Barrientos, EPCA

Marco Antonio Blanco Olivares, Tecnolgico Regional de San Luis Potos

Marco Antonio Rodrguez Rodrguez, Instituto Tecnolgico de Los Mochis

Mara Sara Valentina Snchez Salinas, Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Maritza Pea Becerril, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

Martha Gutirrez Mungua, Universidad Iberoamericana, campus Len

Martn Muoz Chvez, UNIVA

Michell Gmez, Universidad ICESI, Cali, Colombia

Miguel ngel Aguirre Pitol, Universidad Autnoma del Estado de Mxico

Nasario Mendoza Patio, Tecnolgico Regional de Quertaro

Norma Olivia Bravo, Universidad Autnoma de Baja California

Oscar Guerrero, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Culiacn

Oscar Ren Valdez Casillas, Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Oswaldo Verdugo Verdugo, Instituto Tecnolgico de Culiacn

Poririo Lpez, Universidad de Occidente, unidad Guamchil

Ramn Duarte, Escuela de Ingeniera, Universidad Autnoma de Sinaloa

Ral Soto Lpez, Universidad de Occidente, Unidad Culiacn

Ricardo Betancourt Riera, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Hermosillo

Ricardo Martnez Gmez, Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Roberto Guzmn Gonzlez, Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Roberto Robledo Prez, Instituto Tecnolgico de Len

Rosa Mara Rodrguez Gonzlez, Universidad Iberoamericana, campus Len

Rosalba Rodrguez Chvez, Facultad de Ingeniera, Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Salvador Rojo Lugo, Instituto Tecnolgico de Culiacn

Sithanatham Kanthimathinathan, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Quertaro

Susana Pineda Cabello, ESIME Culhuacn, Instituto Politcnico Nacional

Walter Magaa, Universidad de Sanbuenaventura, Cali, Colombia

XX Agradecimientos

Examen diagnstico

Problema 1. Realice la siguientes operaciones.

a) 53 1 35 2 28 b) 8(7 2 16)

c) 25(6) 2 8 d) 47

125

32

1 2

e) 34

23

76

2 f )

27

35

310

2

Problema 2. Enumere los elementos de los siguientes conjuntos.

a) B 5 {x|x es vocal de la palabra albaricoque}

b) Q 5 {x|x es un mes del ao}

c) L 5 {x|x es par y divide a 10}

c) P 5 }(x, y)|x es impar y divide a 21 y y 5 3}xProblema 3. Considere los siguientes conjuntos.

U 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. 16, 17, 18}

A 5 {x H U |x es par menor que 10}

B 5 {x H U |x es divisor de 12}

C 5 {x H U |x , 6}

D 5 {x H U |5 , x , 16}

E 5 {x H U |x es un dgito}

Determine los siguientes conjuntos.

a) A x B b) C y B c) E x (D y B)

d) D 2 B e) B 2 D f ) A9

g) E9 h) (D y A)9 i) (B 2 D)9

Problema 4. Simpliique las siguientes expresiones.

a) 4x2 [2y 2 (5x 2 4y)]

b) (a 2 4b) (3a 1 2b)

XXII Examen diagnstico

c) 1

11

1x

d) 1

11

a b

cc

a b

Problema 5. Factorice las siguientes expresiones.

a) m2 2 9m 1 20

b) m2 2 4mn 2 21n2

c) 4x21 8xy 1 4y2

d) 3x2 1 74

x 1 18

Problema 6. Resuelva las siguientes ecuaciones.

a) 3x 1 6 5 24x 2 8

b) 56

74

23

35

12 32 1 5 2 1

x xx

x

c) y2 1 a2 5 (a 1 y)2 2 a(a 1 1)

d) 1

21

2

12

1

15

2

2

z a

a b

z a

a b

z b

a b

z b

a b

Problema 7. Encuentre las races de los siguientes polinomios.

a) 5x2 1 3x 2 2

b) x2 1 8x 2 240

c) 1710

x2 1 3x 1 5

d) 3x2 1 27

e) 4x2 2 20

Sistemas de ecuaciones lineales

Objetivos del captuloEn este captulo el estudiante. . .

Recordar algunos conceptos asociados con rectas en el pla-no y un mtodo de solucin de ecuaciones algebraicas simul-tneas con dos variables (seccin 1.1).

Estudiar el mtodo de la reduccin gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas, junto con trminos que se usarn a lo largo del texto (seccin 1.2).

Se familiarizar con el programa Matlab, a n de resolver problemas relacionados con sistemas de ecuaciones (seccin 1.3).

Aprender los sistemas homogneos y las caractersticas de su solucin (seccin 1.4).

Captulo

1

En ingeniera civil, al disear y analizar estructuras se resuelven sistemas de ecuaciones que describen los esfuerzos que tendr que soportar la construccin.

2 CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales

Este libro trata del lgebra lineal. Al buscar la palabra lineal en el diccionario se en-cuentra, entre otras deiniciones, la siguiente: lineal: (del lat. linealis). 1. adj. Perteneciente o relativo a la lnea.1 Sin embargo, en matemticas la palabra lineal tiene un signiicado mucho ms amplio. Una gran parte de la teora de lgebra lineal elemental es, de hecho, una generalizacin de las propiedades de la lnea recta. A manera de repaso se mencionan algunas propiedades fundamentales sobre las lneas rectas:

i) La pendiente m de una recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) est dada por

my y

x x5

2

22 1

2 1

55

y

x si x1 Z x2

viii) Si x2 2 x1 5 0 y y2 Z y1, entonces la recta es vertical y se dice que la pendiente es inde-inida.2

viii) Cualquier recta (a excepcin de aquella que tiene una pendiente indeinida) se puede describir con su ecuacin en la forma pendiente-ordenada al origen y 5 mx 1 b, donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen (el valor de y en el punto en el que la recta cruza el eje y).

iiiv) Dos rectas distintas son paralelas si y slo si tienen la misma pendiente.

iiiv) Si la ecuacin de la recta se escribe en la forma ax 1 by 5 c, (b Z 0), entonces se puede calcular fcilmente la pendiente m, como m 5 2a/b.

iivi) Si m1 es la pendiente de la recta L1, m2 es la pendiente de la recta L2, m1 Z 0 y L1 y L2 son perpendiculares, entonces m2 5 21/m1.

ivii) Las rectas paralelas al eje x tienen pendiente cero.

viii) Las rectas paralelas al eje y tienen pendiente indeinida.

En la siguiente seccin se ilustrar la relacin que existe entre resolver sistemas de ecuaciones y encontrar los puntos de interseccin entre pares de rectas.

1.1 Dos ecuaciones lineales con dos incgnitas

Considere el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas x y y:

a x a y b

a x a y b

1 5

1 5

11 12 1

21 22 2

(1.1.1)

donde a11, a12, a21, a22, b1 y b2 son nmeros dados. Cada una de estas ecuaciones corresponde a una lnea recta. Cualquier par de nmeros reales (x, y) que satis-face el sistema (1.1.1) se denomina como solucin. Las preguntas que surgen en forma natural son: tiene este sistema varias soluciones y, de ser as, cuntas? Se respondern estas preguntas despus de ver algunos ejemplos, en los cuales se usarn propiedades importantes del lgebra elemental:

Propiedad A Si a 5 b y c 5 d, entonces a 1 c 5 b 1 d.Propiedad B Si a 5 b y c es cualquier nmero real, entonces ca 5 cb.

La propiedad A establece que si se suman dos ecuaciones se obtiene una tercera ecuacin correcta. La propiedad B establece que si se multiplican ambos lados de una ecuacin por una

1 Diccionario de la Lengua Espaola, vigesimasegunda edicin, Real Academia Espaola. Madrid: Espasa Calpe, 2001.2 Indenida o innita, como tambin se le denomina en otros libros.

N Nota

De forma breve tambin suele referirse al sistema (1.1.1) como un sistema de 2 3 2.

y

xx2

x1

y2

y1

b

m

Figura 1.1

Descripcin de una recta.

1.1 Dos ecuaciones lineales con dos incgnitas 3

EJEMPLO 1.1.1

EJEMPLO 1.1.2

EJEMPLO 1.1.3

constante se obtiene una segunda ecuacin vlida. Los casos ms interesantes de la propiedad B se presentan cuando c Z 0, ya que aunque la ecuacin 0 5 0 es correcta, no es muy til.

Sistema con una solucin nica

Considere el sistema

3x 2 2y 5 45x 1 2y 5 12

(1.1.2)

Si se suman las dos ecuaciones se tiene, por la propiedad A, la siguiente ecuacin: 8x 5 16 (es decir, x 5 2). Entonces, si se despeja de la segunda ecuacin, 2y 5 12 2 5x 5 12 2 10 5 2, entonces y 5 1. As, el par (2, 1) satisface el sistema (1.1.2) y la forma en que se encontr la solucin muestra que es el nico par de nmeros que lo hace. Es decir, el sistema (1.1.2) tiene una solucin nica.

Sistema con un nmero innito de soluciones


x 2 y 5 7 2x 2 2y 5 14

(1.1.3)

Se puede ver que estas dos ecuaciones son equivalentes. Esto es, cualesquiera dos nmeros, x y y, que satisfacen la primera ecuacin tambin satisfacen la segunda, y viceversa. Para com-probar esto se multiplica la primera ecuacin por 2, esto est permitido por la propiedad B. Al ser ambas ecuaciones equivalentes, lo nico que podemos hacer es despejar una incgnita en trminos de cualquiera otra de las dos ecuaciones. Entonces x 2 y 5 7 o y 5 x 2 7. As, el par (x, x 2 7) es una solucin al sistema (1.1.3) para cualquier nmero real x. Es decir, el sistema (1.1.3) tiene un nmero ininito de soluciones. Para este ejemplo, los siguientes pares son solu-ciones: (7, 0), (0, 27), (8, 1), (1, 26), (3, 24) y (22, 29).

Sistema sin solucin


x 2 y 5 7 2x 2 2y 5 13

(1.1.4)

Si se multiplica la primera ecuacin por 2 (que de nuevo est permitido por la propiedad B) se obtiene 2x 2 2y 5 14. Esto contradice la segunda ecuacin. Por lo tanto, el sistema (1.1.4) no tiene solucin.

y

x0

a11

x 1 a12

y 5 b1

a21

x 1 a22

y 5 b2

y

x0

a11

x 1 a12

y 5 b1

a21

x 1 a22

y 5 b2

y

x0

a11

x 1 a12

y 5 b1

a21

x 1 a22

y 5 b2

a) Rectas no paralelas;

un punto de interseccin

b) Rectas paralelas; sin

puntos de interseccin

c) Rectas que coinciden; nmero innito

de puntos de interseccin

Solucin nica Sin solucin Nmero innito de soluciones

Figura 1.2

Dos rectas se intersecan en un punto, en ninguno o (si coinciden) en un nmero innito de puntos.

Solucin nica

Nmero innito de soluciones


Un sistema que no tiene solucin se dice que es inconsistente.Geomtricamente es fcil explicar lo que sucede en los ejemplos anteriores. Primero, se

repite que ambas ecuaciones del sistema (1.1.1) son de lneas rectas. Una solucin a (1.1.1) es un punto (x, y) que se encuentra sobre las dos rectas. Si las dos rectas no son paralelas, enton-ces se intersecan en un solo punto. Si son paralelas, entonces nunca se intersecan (es decir, no tienen puntos en comn) o son la misma recta (esto es, tienen un nmero ininito de puntos en comn). En el ejemplo 1.1.1 las rectas tienen pendientes de 32 y 2

52 , respectivamente, por

lo que no son paralelas y tienen un solo punto en comn (2, 1). En el ejemplo 1.1.2, las rectas son paralelas (tienen pendiente 1) y coincidentes. En el ejemplo 1.1.3, las rectas son paralelas y distintas. Estas relaciones se ilustran en la igura 1.2.

Ahora se proceder a resolver el sistema (1.1.1) formalmente. Se tiene

a x a y b

a x a y b

1 5

1 5

11 12 1

21 22 2

(1.1.1)

Se deben analizar los siguientes casos:

Caso I Si a12 5 a22 5 0, el sistema slo tiene una incgnita, que es x.

Caso II Si a11 5 a21 5 0, el sistema slo tiene una incgnita, que es y.

Caso III Si a12 5 0 y a11 Z 0, a21 Z 0 y a22 Z 0, entonces x 5 ba

1

11, y se puede usar la segunda

ecuacin para despejar y.

Caso IV Si a22 5 0 y a11 Z 0, a12 Z 0 y a21 Z 0, entonces x 5 ba

2

21, y se puede usar la primera

ecuacin para despejar y.

Caso V Si a11 5 0 y a12 Z 0, a21 Z 0 y a22 Z 0, entonces y 5 ba

1

12, y se puede usar la segunda

ecuacin para despejar x.

Caso VI Si a21 5 0 y a11 Z 0, a12 Z 0 y a22 Z 0, entonces y 5 ba

2

22, y se puede usar la primera

ecuacin para despejar x.

El ltimo caso necesita un desarrollo ms detallado, de modo que consideremos que todos los coeicientes a11, a12, a21 y a22 son diferentes a cero.

Si se multiplica la primera ecuacin por a22 y la segunda por a12 se tiene

a11a22 x 1 a12a22 y 5 a22b1

a12a21 x 1 a12a22 y 5 a12b2 (1.1.5)

Antes de continuar observe que los sistemas (1.1.1) y (1.1.5) son equivalentes. Esto quiere decir que cualquier solucin del sistema (1.1.1) es una solucin del sistema (1.1.5) y viceversa. Ello se concluye directamente de la propiedad B, suponiendo que la constante c sea diferente de cero. Despus, si en (1.1.5) se resta la segunda ecuacin de la primera, se obtiene

(a11a22 2 a12a21)x 5 a22b1 2 a12b2 (1.1.6)

Observe que si a11a22 2 a12a21 Z 0, entonces se puede dividir entre este trmino para obtener

xa b a b

a a a a5

2

222 1 12 2

11 22 12 21

Despus se puede sustituir este valor de x en el sistema (1.1.1) para despejar y, y as se habr encontrado la solucin nica del sistema.

Sistemas equivalentes

Sistema inconsistente


Se ha demostrado lo siguiente:

Si a11a22 2 a12a21 Z 0, entonces elsistema (1.1.1) tiene una solucin nica.

Cmo se relaciona esta airmacin con lo que se analiz anteriormente? En el sistema (1.1.1) se puede ver que la pendiente de la primera recta es 2 aa

11

12 y que la pendiente de la segun-

da es 2 aa21

22. En los problemas 41, 42 y 43 se pide al lector que demuestre que a11a22 2 a12a21 5

0 si y slo si las rectas son paralelas (es decir, tienen la misma pendiente). De esta manera se sabe que si a11a22 2 a12a21 Z 0, las rectas no son paralelas y el sistema tiene una solucin nica.

Lo que se acaba de analizar puede formularse en un teorema. En secciones posteriores de este captulo y los siguientes se harn generalizaciones de este teorema, y se har referencia a l como el teorema de resumen conforme se avance en el tema. Una vez que se hayan de-mostrado todas sus partes, se podr estudiar una relacin asombrosa entre varios conceptos importantes de lgebra lineal.

T Teorema 1.1.1 Teorema de resumen (punto de vista 1)

El sistema

a11x 1 a12y 5 b1a21x 1 a22y 5 b2

de dos ecuaciones con dos incgnitas x y y no tiene solucin, tiene una solucin nica o tiene un nmero ininito de soluciones. Esto es:

ii) Tiene una solucin nica si y slo si a11a22 2 a12a21 Z 0.

ii) No tiene solucin o tiene un nmero ininito de soluciones, si y slo si

a11a22 2 a12a21 5 0.

Los sistemas de m ecuaciones con n incgnitas se estudian en la seccin 1.2 y se ver que siempre ocurre lo mismo con respecto a su solucin, es decir, que no tienen solucin, o que tie-nen una solucin nica o un nmero ininito de soluciones.

A AUTOEVALUACIN 1.1

II) De las siguientes airmaciones con respecto a la solucin de un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, cul de ellas no es verdadera?

a) Es un par ordenado que satisface ambas ecuaciones.b) Su grica consiste en el (los) punto(s) de interseccin de las gricas de las

ecuaciones.c) Su grica es la abscisa de las gricas de las ecuaciones.d) Si el sistema es inconsistente, no existe una solucin.

II) Cul de las siguientes airmaciones es cierta para un sistema inconsistente de dos ecuaciones lineales?

a) No existe una solucin.b) La grica del sistema est sobre el eje y.c) La grica de la solucin es una recta.d ) La grica de la solucin es el punto de interseccin de dos lneas.


III) Cul de las aseveraciones que siguen es cierta para el siguiente sistema de ecua-ciones?

3 2 8

4 7

x y

x y

2 5

1 5

a) El sistema es inconsistente.b) La solucin es (21, 2).c) La solucin se encuentra sobre la recta x 5 2.d ) Las ecuaciones son equivalentes.

IV) De las siguientes ecuaciones que se presentan, cul de ellas es una segunda ecua-cin para el sistema cuya primera ecuacin es x 2 2y 5 25 si debe tener un nme-ro ininito de soluciones?

a) 6y 5 3x 1 15 b) 6x 2 3y 5 215

c) y 5 1

2

5

2x2 1 d )

3

23

15

2x y5 1

IV) Cul de las gricas de los siguientes sistemas es un par de rectas paralelas?

a) 3x 2 2y 5 7 b) x 2 2y 5 7 4y 5 6x 2 14 3x 5 4 1 6y

c) 2x 1 3y 5 7 d ) 5x 1 y 5 1 3x 2 2y 5 6 7y 5 3x

Respuestas a la autoevaluacin

I) c) II) a) III) c) IV) a) V) b)

Problemas 1.1

En los problemas 1 a 18 encuentre las soluciones (si las hay) de los siguientes sistemas dados. En cada caso calcule el valor de D 5 a11a22 2 a12a21.

1. x 1 y 5 3 2. 22x 1 3y 5 3 x 1 2y 5 28 22x 2 3y 5 23

3. 24x 1 5y 5 0 4. 2 2x 5 1 22x 2 y 5 3 4x 2 3y 5 0

5. 27x 1 3y 5 0 6. 3x 2 7y 5 25 25x 1 10y 5 0 4x 2 3y 5 22

7. 27x 1 4y 5 1 8. 27x 1 4y 5 0 27x 2 4y 5 23 27x 2 4y 5 0

9. 213x 1 3y 5 7 10. 29x 2 3y 5 23 25x 1 22y 5 9 22x 1 4y 5 1

11. 22x 1 3y 5 3 12. x 1 2y 5 5 22x 2 3y 5 23 3x 1 4y 5 6

13. 22x 1 4y 5 23 14. 27x 1 2y 5 29 22x 1 4y 5 8 27x 1 2y 5 26


15. 25x 1 7y 5 3 16. ax 1 by 5 c 25x 24x 5 28 ax 2 by 5 c

17. ax 1 by 5 c 18. ax 2 by 5 c bx 1 ay 5 c bx 1 ay 5 d

19. Encuentre las condiciones sobre a y b tales que el sistema en el problema 16 tenga una solucin nica.

20. Encuentre las condiciones sobre a, b y c tales que el sistema en el problema 17 tenga un nmero ininito de soluciones.

21. Encuentre las condiciones sobre a, b, c y d tales que el sistema en el problema 18 no tenga solucin.

En los problemas 22 a 28 encuentre el punto de interseccin (si hay uno) de las dos rectas.

22. 2x 1 2y 5 1; 3x 2 5y 5 1 23. 24x 1 2y 5 1; 4x 2 2y 5 1

24. 24x 1 2y 5 21; 4x 2 2y 5 1 25. 7x 2 3y 5 23; 29x 1 5y 5 22

26. 22y 2 3x 5 7; 29y 1 5y 5 22 27. px 1 y 5 0; 2x 2 5y 5 2l

28. 23 5x y 5 l; 25 3x y 5 0

Sea L una recta y L' la recta perpendicular L que pasa a travs de un punto P. La distancia de la recta L al punto P se deine como la distancia* entre P y el punto de interseccin de L y L' (ver igura 1.2).

y

x

L1

P

d

L

m

2 1

m

Figura 1.3

Distancia de la recta L al punto P.

En los problemas 29 a 34 encuentre la distancia entre la recta dada y el punto.

29. 2x 2 3y 5 4; (27, 22) 30. 25x 1 6y 5 2; (1, 3)

31. 2x 2 4y 5 242; (7, 221) 32. 7x 1 5y 5 6; (0, 0)

33. 3x 1 7y 5 0; (22, 28) 34. 1lx 2 12y 5 5; (0, 4)

35. Encuentre la distancia entre la recta 2x 2 y 5 6 y el punto de interseccin de las rectas 3x 2 2y 5 1 y 6x 1 3y 5 32.

* Recuerde que si (x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos en el plano xy, entonces la distancia d entre ellos est dada por d 5 2 1 2x x y y( ) ( )1 2

21 2

2 .


36. Encuentre la distancia entre la recta paralela a 23x 1 4y 5 25 y que pasa por el punto (21, 21), y el punto de interseccin de las rectas 27x 1 2y 5 4 y 2x 2 8y 5 21.

*37. Pruebe que la distancia entre el punto (x1, y1) y la recta ax 1 by 5 c est dada por

| |1 12 2

dax by c

a b5

1 2

1

38. Suponga que a11a22 2 a12a21 5 0. Demuestre que las rectas dadas en el sistema de ecuacio-nes (1.1.1) son paralelas. Suponga que a11 Z 0 o a12 Z 0 y a21 Z 0 o a22 Z 0.

39. Si existe una solucin nica al sistema (1.1.1), muestre que a11a22 2 a12a21 Z 0.

40. Si a11a22 2 a12a21 Z 0 demuestre que el sistema (1.1.1) tiene una solucin nica.

41. En un zoolgico hay aves (de dos patas) y bestias (de cuatro patas). Si el zoolgico con-tiene 60 cabezas y 200 patas, cuntas aves y bestias viven en l?

42. Una tienda de helados vende slo helados con soda y malteadas. Se pone 1 onza de jarabe y 4 onzas de helado en un helado con soda, y 1 onza de jarabe y 3 onzas de helado en una malteada. Si la tienda usa 4 galones de helado y 5 cuartos de jarabe en un da, cuntos helados con soda y cuntas malteadas vende? [Sugerencia: 1 cuarto 5 32 onzas, 1 galn 5 4 cuartos.]

43. La compaa Sunrise Porcelain fabrica tazas y platos de cermica. Para cada taza o plato un trabajador mide una cantidad ija de material y la pone en la mquina que los forma, de donde pasa al vidriado y secado automtico. En promedio, un trabajador necesita tres minutos para iniciar el proceso de una taza y dos minutos para el de un plato. El material para una taza cuesta 25 y el material para un plato cuesta 20. Si se asignan $44 diarios para la produccin de tazas y platos, cuntos deben fabricarse de cada uno en un da de trabajo de 8 horas, si un trabajador se encuentra trabajando cada minuto y se gastan exactamente $44 en materiales?

44. Conteste la pregunta del problema 43 si los materiales para una taza y un plato cuestan 15 y 10, respectivamente, y se gastan $24 en 8 horas de trabajo.

45. Conteste la pregunta del problema 44 si se gastan $25 en 8 horas de trabajo.

1.2 m ecuaciones con n incgnitas: eliminacin de Gauss-Jordan y gaussiana

En esta seccin se describe un mtodo para encontrar todas las soluciones (si es que existen) de un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas. Al hacerlo se ver que, igual que en el caso de 2 3 2, estos sistemas o bien no tienen solucin, tienen una solucin nica o tienen un nmero ininito de soluciones. Antes de llegar al mtodo general se vern algunos ejemplos sen-cillos. Como variables, se usarn x1, x2, x3, etc., en lugar de x, y, z, . . . porque la generalizacin es ms sencilla si se usa la notacin con subndices.

Solucin de un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas: solucin nica

Resuelva el sistema

2x1 1 4x2 1 6x3 5 18

4x1 1 5x2 1 6x3 5 24

3x1 1 x2 2 2x3 5 4

(1.2.1)

EJEMPLO 1.2.1

1.2 m ecuaciones con n incgnitas: eliminacin de Gauss-Jordan y gaussiana 9

N Nota

Como se puede ver por el desarrollo anterior, se ha sustituido la ecuacin 4x1 1 5x2 1 6x3 5 24 por la ecuacin 23x2 2 6x3 5 212. En este ejemplo y otros posteriores se sustituirn ecuaciones con otras ms sencillas hasta obtener un sistema cuya solucin se pueda identicar de inmediato.

Solucin En este caso se buscan tres nmeros x1, x2, x3, tales que las tres ecuaciones en (1.2.1) se satisfagan. El mtodo de solucin que se estudiar ser el de simpliicar las ecua-ciones como se hizo en la seccin 1.1, de manera que las soluciones se puedan identiicar de inmediato. Se comienza por dividir la primera ecuacin entre 2. Esto da

x1 1 2x2 1 3x3 5 9 (1.2.2a)

4x1 1 5x2 1 6x3 5 24 (1.2.2b)

3x1 1 x2 2 2x3 5 4 (1.2.2c)

Como se vio en la seccin 1.1, al sumar dos ecuaciones se obtiene una tercera ecuacin equi-valente. Esta nueva ecuacin puede sustituir a cualquiera de las dos ecuaciones del sistema que se usaron para obtenerla. Primero se simpliica el sistema (1.2.2) multiplicando ambos lados de la ecuacin (1.2.2a) por 24 y sumando esta nueva ecuacin a la ecuacin (1.2.2b). Esto da

24x1 2 8x2 2 12x3 5 236

4x1 1 5x2 1 6x3 5 24

23x2 2 6x3 5 212

La ecuacin 23x2 2 6x3 5 212 es la nueva ecuacin (1.2.2b) y el sistema ahora es

x1 1 2x2 1 3x3 5 9

23x2 2 6x3 5 212

3x1 1 x2 2 2x3 5 4

Entonces, la ecuacin (1.2.2a) se multiplica por 23 y se suma a la ecuacin (1.2.2c), lo que da por resultado:

x1 1 2x2 1 3x3 5 9

23x2 2 6x3 5 212

25x2 2 11x3 5 223

Observe que en el sistema (1.2.3) se ha eliminado la variable x1 de las ecuaciones (1.2.3b) y (1.2.3c). Despus se divide la ecuacin (1.2.3b) por 23:

x1 1 2x2 1 3x3 5 9

x2 1 2x3 5 4

25x2 2 11x3 5 223

Se multiplica la ecuacin (1.2.4b) por 22 y se suma a la ecuacin (1.2.4a); despus se multiplica la ecuacin (1.2.4b) por 5 y se suma a la ecuacin (1.2.4c):

x1 2 x3 5 1

x2 1 2x3 5 4

x3 5 23

Ahora se multiplica la ecuacin (1.2.5c) por 21:

x1 2 x3 5 1

x2 1 2x3 5 4

x3 5 3

(1.2.3a)

(1.2.3b)

(1.2.3c)

(1.2.4a)

(1.2.4b)

(1.2.4c)

(1.2.5a)

(1.2.5b)

(1.2.5c)

(1.2.6a)

(1.2.6b)

(1.2.6c)


Por ltimo, se suma la ecuacin (1.2.6c) a la ecuacin (1.2.6a) y despus se multiplica la ecua-cin (1.2.6c) por 22 y se suma a la ecuacin (1.2.6b) para obtener el siguiente sistema, el cual es equivalente al sistema (1.2.1):

x1 5 4

x2 5 22

x3 5 3

sta es la solucin nica para el sistema. Se escribe en la forma (4, 22, 3). El mtodo que se us se conoce como eliminacin de Gauss-Jordan.3

Antes de seguir con otro ejemplo es conveniente resumir lo que se hizo en ste:

iii) Se dividi la primera ecuacin, entre una constante, para hacer el coeiciente de x1 igual a 1.

iii) Se eliminaron los trminos en x1 de la segunda y tercera ecuaciones. Esto es, los coeicientes de estos trminos se hicieron cero al multiplicar la primera ecuacin por las constantes adecuadas y sumndola a la segunda y tercera ecuaciones, respectiva-mente, de manera que al sumar las ecuaciones una de las incgnitas se eliminaba.

iii) Se dividi la segunda ecuacin entre una constante, para hacer el coeiciente de x2 igual a 1 y despus se us la segunda ecuacin para eliminar los trminos en x2 de la primera y tercera ecuaciones, de manera parecida a como se hizo en el paso anterior.

iv) Se dividi la tercera ecuacin entre una constante, para hacer el coeiciente de x3 igual a 1 y despus se us esta tercera ecuacin para eliminar los trminos de x3 de la pri-mera y segunda ecuaciones.

Cabe resaltar el hecho de que, en cada paso, se obtuvieron sistemas equivalentes. Es decir, cada sistema tena el mismo conjunto de soluciones que el precedente. Esto es una consecuen-cia de las propiedades A y B de la pgina 2.

Antes de resolver otros sistemas de ecuaciones es conveniente introducir una notacin que simpliica la escritura de cada paso del procedimiento mediante el concepto de matriz. Una matriz es un arreglo rectangular de nmeros y stas se estudiarn con gran detalle al inicio de la seccin 2.1. Por ejemplo, los coeicientes de las variables x1, x2, x3 en el sistema (1.2.1) se pueden escribir como los elementos de una matriz A, llamada matriz de coeicientes del sistema:

5

2

$2 3 1 2

(1.2.7)

Una matriz con m renglones y n columnas se llama una matriz de m 3 n. El smbolo m 3 n se lee m por n. El estudio de matrices constituye gran parte de los captulos restantes de este libro. Por la conveniencia de su notacin para la resolucin de sistemas de ecuaciones, las pre-sentamos aqu.

Al usar la notacin matricial, el sistema (1.2.1) se puede escribir como la matriz aumentada

2

2 3 1 2

12

___

(1.2.8)

Eliminacin de Gauss-Jordan

Matriz de coecientes

Matriz aumentada

3 Recibe este nombre en honor del gran matemtico alemn Karl Friedrich Gauss (1777-1855) y del ingeniero alemn Wilhelm Jordan (1844-1899). Vea la semblanza bibliogrca de Gauss en la pgina 21. Jordan fue un experto en investigacin geodsica tomando en cuenta la curvatura de la Tierra. Su trabajo sobre la solucin de sistemas de ecua-ciones apareci en 1888 en su libro Handbuch der Vermessungskunde (Manual de geodesia).

Matriz

Matriz de m 3 n


Reduccin por renglones

Operaciones elementales

por renglones

Ahora es posible introducir cierta terminologa. Se ha visto que multiplicar (o dividir) los dos lados de una ecuacin por un nmero diferente de cero da por resultado una nueva ecuacin equivalente. Ms an, si se suma un mltiplo de una ecuacin a otra del sistema se obtiene otra ecuacin equivalente. Por ltimo, si se intercambian dos ecuaciones en un sistema de ecuaciones se obtiene un sistema equivalente. Estas tres operaciones, cuando se aplican a los renglones de la matriz aumentada que representa un sistema de ecuaciones, se denominan operaciones elementales por renglones.

Operaciones elementales por renglones

Las tres operaciones elementales por renglones aplicadas a la matriz aumentada que representa un sistema de ecuaciones son:

Operaciones elementales por renglones

i) Multiplicar (o dividir) un rengln por un nmero diferente de cero.

ii) Sumar un mltiplo de un rengln a otro rengln.

iii) Intercambiar dos renglones.

El proceso de aplicar las operaciones elementales por renglones para simpliicar una matriz aumentada se llama reduccin por renglones.

Notacin

1. Ri cRi quiere decir reemplaza el i-simo rengln por ese mismo rengln multiplicado por c. [Para multiplicar el i-simo rengln por c se multiplica cada nmero en el i-simo rengln por c.]

2. Rj Rj 1 cRi signiica sustituye el j-simo rengln por la suma del rengln j ms el ren-gln i multiplicado por c.

3. Ri

}

Rj quiere decir intercambiar los renglones i y j.

4. A B indica que las matrices aumentadas A y B son equivalentes; es decir, que los siste-mas que representan tienen la misma solucin.

Matrices aumentadas equivalentes

En el ejemplo 1.2.1 se vio que al usar las operaciones elementales por renglones i) y ii) varias veces, se puede obtener un sistema cuyas soluciones estn dadas en forma explcita. Ahora se repiten los pasos del ejemplo 1.2.1 usando la notacin que se acaba de introducir:

2 2

2 2

2 2

2

2

2 4 6

4 5 6

3 1 2

|

|

|

1824

4

1 2 3

4 5 6

3 1 2

|

|

|

9

244

1 2 3

0 3 6

0 5 11

|

|

|

9

1223

2222R R

R R R

R R R

4

3112 1

2 2 1

3 3 1

2 2

2

2 2

1 2 3

0 1 2

0 5 11

|

|

|

9

4

23

1 0 10 1 2

0 0 1

|

|

|

1

4

3

2211R R

R R R

R R R

2

5213 2

1 1 2

3 3 2


2

2

1 0 10 1 2

0 0 1

|

|

|

143

1 0 00 1 00 0 1

|

|

|

4

23

22

1122R R

R R R

R R R23 3

1 1 3

2 2 3

De nuevo se puede ver de inmediato que la solucin es x1 5 4, x2 5 22, x3 5 3.

Solucin de un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas: nmero innito de soluciones

Resuelva el sistema

2x1 1 4x2 1 6x3 5 18

4x1 1 5x2 1 6x3 5 24

2x1 1 7x2 1 12x3 5 30

Solucin Para resolver este sistema se procede como en el ejemplo 1.2.1, esto es, pri-mero se escribe el sistema como una matriz aumentada:

2 2 12

123

___

Despus se obtiene, sucesivamente,

2 2 2

1 2 3

4 5 6

2 7 12

|

|

|

9

2430

1 2 3

0 3 60 3 6

|

|

|

9

1212

2222R R

R R R

R R R

4

2112 1

2 2 1

3 3 1

21 2 30 1 20 3 6

|

|

|

9

4

12

1 0 10 1 2

0 0 0

|

|

|

140

2222R R

R R R

R R R

2

3213 2

1 1 2

3 3 2

Esto es equivalente al sistema de ecuaciones

x1 2 x3 5 1

x2 1 2x3 5 4

Hasta aqu se puede llegar. Se tienen slo dos ecuaciones para las tres incgnitas x1, x2 y x3, y por lo tanto existe un nmero ininito de soluciones. Para comprobar esto se elige a x3 como parmetro y se despejan a x1 y x2 en trminos de x3. Entonces x2 5 4 2 2x3 y x1 5 1 1 x3. sta ser una solucin para cualquier nmero x3. Se escribe esta solucin en la forma (1 1 x3, 4 2 2x3, x3). Por ejemplo, si x3 5 0, se obtiene la solucin (1, 4, 0). Para x3 5 10 se obtiene la solu-cin (11, 216, 10), y por ello para cada valor de x3 habr una solucin distinta.

Sistema inconsistente

Resuelva el sistema

2x2 1 3x3 5 4

2x1 2 6x2 1 7x3 5 15

x1 2 2x2 1 5x3 5 10 (1.2.9)

EJEMPLO 1.2.2

EJEMPLO 1.2.3


Solucin La matriz aumentada para este sistema es

2

2

0 2 3

2 6 71 2 5

|

|

|

4

1510

El elemento 1,1 de la matriz no se puede hacer 1 como antes porque al multiplicar 0 por cual-quier nmero real el resultado es 0. En su lugar se puede usar la operacin elemental por renglo-nes iii) intercambiar dos renglones, para obtener un nmero distinto a cero en la posicin 1,1. Se puede intercambiar el rengln 1 con cualquiera de los otros dos; sin embargo, al intercambiar los renglones 1 y 3 queda un 1 en esa posicin. Al hacerlo se obtiene lo siguiente:

2

2

2

2

2

2 2 2

0 2 3

2 6 71 2 5

|

|

|

4

1510

1 2 52 6 70 2 3

|

|

|

1015

4

1 2 5

0 2 30 2 3

|

|

|

10

54

TT

22R R R R R21 3 2 2 1

Es necesario detenerse aqu porque, como se ve, las ltimas dos ecuaciones son

22x2 2 3x3 5 25

2x2 1 3x3 5 4

lo cual es imposible (si 22x2 2 3x3 5 25, entonces 2x2 1 3x3 5 5, no 4), por lo que no existe alguna solucin. Se puede proceder como en los ltimos dos ejemplos para obtener una forma ms estndar:

2

2

1 2 5 | 10

0 1 |

0 2 3 | 4

1 0 8 | 15

0 1 |

0 0 0 | 1

1122R R

R R R

R R R

2

22 2

1 1 2

3 3 212

2532

32

52

Ahora la ltima ecuacin es 0x1 1 0x2 1 0x3 5 21, lo cual tambin es imposible ya que 0 Z 21. As, el sistema (1.2.9) no tiene solucin. En este caso se dice que el sistema es inconsistente.

Denicin 1.2.1D

Sistemas inconsistentes y consistentes

Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es inconsistente si no tiene solucin. Se dice que un sistema que tiene al menos una solucin es consistente.

Se analizarn de nuevo estos tres ejemplos. En el ejemplo 1.2.1 se comenz con la matriz de coeicientes

5

2

2 4 6

4 5 6

3 1 21A

En el proceso de reduccin por renglones, A1 se redujo a la matriz

5

1 0 00 1 00 0 1

1R


En el ejemplo 1.2.2 se comenz con

5

2 4 6

4 5 6

2 7 122A

y se termin con

5

21 0 10 1 2

0 0 02R

En el ejemplo 1.2.3 se comenz con

5 22

0 2 3

2 6 71 2 5

3A

y se termin con

5

1 0 80 1

0 0 03R

32

Las matrices R1, R2, R3 se denominan formas escalonadas reducidas por renglones de las matri-ces A1, A2 y A3, respectivamente. En general, se tiene la siguiente deinicin:

Denicin 1.2.2D

Forma escalonada reducida por renglones y pivote

Una matriz se encuentra en la forma escalonada reducida por renglones si se cumplen las siguientes condiciones:

iii) Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la par-te inferior de la matriz.

iii) El primer nmero diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cualquier rengln cuyos elementos no todos son cero es 1.

iii) Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el pri-mer 1 en el rengln de abajo est ms hacia la derecha que el primer 1 en el rengln de arriba.

iv) Cualquier columna que contiene el primer 1 en un rengln tiene ceros en el resto de sus elementos. El primer nmero diferente de cero en un ren-gln (si lo hay) se llama pivote para ese rengln.

Cinco matrices en la forma escalonada reducida por renglones

Las siguientes matrices estn en la forma escalonada reducida por renglones:

i)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

ii)

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

iii) 1 0 00 5

0 0 1 2

iv)

1 0

0 1

v)

1 0 2 5

0 1 3 6

0 0 0 0

N Nota

La condicin iii ) se puede reescribir como el pivote en cualquier rengln est a la derecha del pivote del rengln anterior.

EJEMPLO 1.2.4


Las matrices i) y ii) tienen tres pivotes; las otras tres matrices tienen dos pivotes.

Denicin 1.2.3D

Forma escalonada por renglones

Una matriz est en la forma escalonada por renglones si se cumplen las condiciones i), ii) y iii) de la deinicin 1.2.2.

Cinco matrices en la forma escalonada por renglones

Las siguientes matrices se encuentran en la forma escalonada por renglones:

i)

1 2 3

0 1 5

0 0 1

ii)

1 1 6 4

0 1 2 8

0 0 0 1

2

2

iii)

1 0 2 5

0 0 1 2 iv)

1 2

0 1 v)

1 3 2 5

0 1 3 6

0 0 0 0

En el siguiente ejemplo se muestra cmo dos matrices en forma escalonada por renglones son equivalentes entre s. Sean

1 3 2 50 1 3 60 0 0 1

1 2 1 10 1 3 6

0 0 0 0

5

2 2

5A B

22R R R1 1 2 .

Esto signiica que cualquier matriz que sea equivalente por renglones a la matriz A tambin lo es a la matriz B.

Como se vio en los ejemplos 1.2.1, 1.2.2 y 1.2.3, existe una fuerte relacin entre la forma escalonada reducida por renglones y la existencia de la solucin nica para el sistema. En el ejemplo 1.2.1 dicha forma para la matriz de coeicien-tes (es decir, en las primeras tres columnas de la matriz aumentada) tenan un 1 en cada rengln y exista una solucin nica. En los ejemplos 1.2.2 y 1.2.3 la forma escalonada reducida por renglones de la matriz de coeicientes tena un rengln de ceros y el sistema no tena solucin o tena un nmero ininito de soluciones. Esto siempre es cierto en cualquier sistema de ecuaciones con el mismo nmero de ecuaciones e incgnitas. Pero antes de estudiar el caso general se analizar la utilidad de la forma escalonada por renglones de una matriz. Es posible resolver el sistema en el ejemplo 1.2.1 reduciendo la matriz de coeicientes a esta forma.

Solucin de un sistema mediante eliminacin gaussiana

Resuelva el sistema del ejemplo 1.2.1 reduciendo la matriz de coeicientes a la forma escalonada por renglones.

Solucin

Se comienza como antes:

2 2

2 4 6

4 5 6

3 1 2

|

|

|

18

24

4

1 2 3

4 5 6

3 1 2

|

|

|

9

24

4

R R1

12 1

N Nota

Por lo general, la forma escalonada por renglones de una matriz no es nica. Es decir, una matriz puede ser equivalente, en sus renglones, a ms de una matriz en forma escalonada por renglones.

Observacin 1

La diferencia entre estas dos formas debe ser evidente a partir de los ejemplos. En la forma escalonada por renglones, todos los nmeros abajo del primer 1 en un rengln son cero. En la forma escalonada reducida por renglones, todos los nmeros abajo y arriba del primer 1 de un rengln son cero. As, la forma escalonada reducida por renglones es ms exclusiva. Esto es, en toda matriz en forma escalonada reducida por renglones se encuentra tambin la forma escalonada por ren-glones, pero el inverso no es cierto.

Observacin 2

Siempre se puede reducir una matriz a la forma escalonada reducida por renglones o a la forma escalonada por renglones realizando operaciones elementales por renglones. Esta reduccin se vio al obtener la forma escalonada reducida por renglones en los ejemplos 1.2.1, 1.2.2 y 1.2.3.

EJEMPLO 1.2.6

EJEMPLO 1.2.5


2 2

2 2

2

2 2 2

1 2 3

0 3 6

0 5 11

|

|

|

9

12

23

1 2 3

0 1 2

0 5 11

|

|

|

9

4

23

R R3 3

2222

R R R

R R R

4

32 2 1

1 213 2

Hasta aqu, este proceso es idntico al anterior; pero ahora slo se hace cero el nmero (25) que est debajo del primer 1 en el segundo rengln:

2 2

1 2 3

0 1 2

0 0 1

|

|

|

9

4

3

1 2 3

0 1 2

0 0 1

|

|

|

9

4

3

R R3 3

221 R R R5 2 3 3

La matriz aumentada del sistema (y los coeicientes de la matriz) se encuentran ahora en la forma escalonada por renglones y se puede ver de inmediato que x3 5 3. Despus se usa la sustitucin hacia atrs para despejar primero x2 y despus x1. La segunda ecuacin queda x2 1 2x3 5 4. Entonces x2 1 2(3) 5 4 y x2 5 22. De igual manera, de la primera ecuacin se obtiene x1 1 2(22) 1 3(3) 5 9 o x1 5 4. As, de nuevo se obtiene la solucin (4, 22, 3). El mtodo de solucin que se acaba de emplear se llama eliminacin gaussiana.

Se cuenta con dos mtodos para resolver los ejemplos de sistemas de ecuaciones:

ii) Eliminacin de Gauss-Jordan

Se reduce por rengln la matriz de coecientes a la forma escalonada reducida por

renglones usando el procedimiento descrito en la pgina 10.

ii) Eliminacin gaussiana

Se reduce por rengln la matriz de coecientes a la forma escalonada por renglones,

se despeja el valor de la ltima incgnita y despus se usa la sustitucin hacia atrs

para las dems incgnitas.

Cul mtodo es ms til? Depende; al resolver sistemas de ecuaciones en una computadora se preiere el mtodo de eliminacin gaussiana porque signiica menos operaciones elementales por renglones. De hecho, como se ver en el apndice C, para resolver un sistema de n ecuacio-nes con n incgnitas usando la eliminacin de Gauss-Jordan se requieren aproximadamente 2

3n sumas y multiplicaciones, mientras que la eliminacin gaussiana requiere slo 3

3n sumas y mul-tiplicaciones. La solucin numrica de los sistemas de ecuaciones se estudiar en el apndice D. Por otro lado, a veces es esencial obtener la forma escalonada reducida por renglones de una matriz (una de stas se estudia en la seccin 2.4). En estos casos la eliminacin de Gauss-Jordan es el mtodo preferido.

Ahora estudiaremos la solucin de un sistema general de m ecuaciones con n incgnitas. La mayor parte de las soluciones de los sistemas se har mediante la eliminacin de Gauss-Jordan debido a que en la seccin 2.4 esto se necesitar. Debe tenerse en mente, sin embargo, que la eliminacin gaussiana suele ser un enfoque ms conveniente.

El sistema general m 3 n (de m ecuaciones con n incgnitas) est dado por

a x a x a x a x b

a x a x a xn n11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3

1 1 1 1 5

1 1 1

11 5

1 1 1 1 5

a x b

a x a x a x a x b

a

n n

n n

m

2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1

xx a x a x a x bm m mn n m1 2 2 3 31 1 1 1 5

(1.2.10)

Sustitucin hacia atrs

Eliminacin gaussiana


En el sistema (1.2.10) todos los coeicientes aij y bi son nmeros reales dados. El problema es encontrar todos los conjuntos de n nmeros, denotados por (x1, x2, x3, . . . xn), que satisfacen cada una de las m ecuaciones en (1.2.10). El nmero aij es el coeiciente de la variable xj en la i-sima ecuacin.

Es posible resolver un sistema de m ecuaciones con n incgnitas haciendo uso de la elimina-cin de Gauss-Jordan o gaussiana. En seguida se proporciona un ejemplo en el que el nmero de ecuaciones e incgnitas es diferente.

Solucin de un sistema de dos ecuaciones con cuatro incgnitas

Resuelva el sistema

x1 1 3x2 2 5x3 1 x4 5 4

2x1 1 5x2 2 2x3 1 4x4 5 6

Solucin Este sistema se escribe como una matriz aumentada y se reduce por ren-glones:

1 3 5 1

2 5 2 4

4

6

1 3 5 1

0 1 8 2

22

2

2

|

|

|

|

44

22

22R R R22 2 1

1 3 5 1

0 1 8 2

4

2

2

2 2

|

|

1 0 19 7

0 1 8 2

2

22 2

2|

|

R R2 2

2 2R R R31 1 2

Hasta aqu se puede llegar. La matriz de coeiciente se encuentra en forma escalonada y redu-cida por renglones. Es evidente que existe un nmero ininito de soluciones. Los valores de las variables x3 y x4 se pueden escoger de manera arbitraria. Entonces x2 5 2 1 8x3 1 2x4 y x1 5 22 219x3 27x4. Por lo tanto, todas las soluciones se representan por (22 219x3 2 7x4, 2 1 8x3 1 2x4, x3, x4). Por ejemplo, si x3 5 1 y x4 5 2 se obtiene la solucin (235, 14, 1, 2).

Al resolver muchos sistemas, es evidente que los clculos se vuelven fastidiosos. Un buen mtodo prctico es usar una calculadora o computadora siempre que las fracciones se compli-quen. Debe hacerse notar, sin embargo, que si los clculos se llevan a cabo en una computa-dora o calculadora pueden introducirse errores de redondeo. Este problema se analiza en el apndice C.

Un problema de administracin de recursos

Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento A, 1 unidad del alimento B y 2 unidades del alimento C. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento A, 4 del B y 5 del C. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es de 2 unidades del alimento A, 1 unidad del alimento B y 5 unidades del C. Cada semana se proporcionan al lago 25 000 unidades del alimento A, 20 000 unidades del alimento B y 55 000 del C. Si suponemos que los peces se comen todo el alimento, cuntos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?

Solucin Sean x1, x2 y x3 el nmero de peces de cada especie que hay en el ambiente del lago. Si utilizamos la informacin del problema, se observa que x1 peces de la especie 1 consumen x1 unidades del alimento A, x2 peces de la especie 2 consumen 3x2 unidades del alimento A y x3 peces de la especie 3 consumen 2x3 unidades del alimento A. Entonces,

EJEMPLO 1.2.7

EJEMPLO 1.2.8


x1 1 3x2 1 2x3 5 25 000 5 suministro total por semana de alimento A. Si se obtiene una ecua-cin similar para los otros dos alimentos se llega al siguiente sistema de ecuaciones:

x1 1 3x2 1 2x3 5 25 000

x1 1 4x2 1 x3 5 20 000

2x1 1 5x2 1 5x3 5 55 000

La matriz aumentada del sistema es

1 3 2

1 4 1

2 5 5

|

|

|

225 000

20 000

55 000

Utilizando reduccin de Gauss-Jordan

1 3 2

0 1 1

0 1 1

25 000

5 000

5 000

2

2

2

|

|

|

1 0 5

0 1 1

0 0 0

40 000

5 000

0

2 2

|

|

|

2222

2211

R R R

R R R

R R R

R R R2

32 2 1

3 3 1

1 1 2

3 3 2

Por consiguiente, si x3 se elige arbitrariamente, se tiene un nmero ininito de solu-ciones dada por (40 000 2 5x3, x3 2 5 000, x3). Por supuesto, se debe tener x1 $ 0, x2 $ 0 y x3 $ 0. Como x2 5 x3 2 5 000 $ 0, se tiene x3 $ 5 000. Esto signiica que 0 # x1 # 40 000 2 5(5 000) 5 15 000. Por ltimo, como 40 000 2 5x3 $ 0, se tiene que x3 # 8 000. Esto signiica que las poblaciones que pueden convivir en el lago con todo el alimento consumido son

x1 5 40 000 2 5x3x2 5 x3 2 5 000

5 000 # x3 # 8 000

Por ejemplo, si x3 5 6 000, entonces x1 5 10 000 y x2 5 1 000.

Anlisis de insumo y producto (opcional)

Los siguientes dos ejemplos muestran la forma en la cual pueden surgir los sistemas de ecua-ciones en el modelado econmico.

El modelo de insumo-producto de Leontief

Un modelo que se usa con frecuencia en economa es el modelo de insumo-producto de Leontief.4 Suponga un sistema econmico que tiene n industrias. Existen dos tipos de demandas en cada industria: la primera, una demanda externa desde afuera del sistema. Por ejemplo, si el sistema es un pas, la demanda externa puede provenir de otro pas. Segunda, la deman-da que hace una industria a otra industria en el mismo sistema. Por ejemplo, en Estados Unidos la industria automotriz demanda parte de la produccin de la industria del acero.

N Nota

El sistema de ecuaciones tiene un n-mero innito de soluciones. Sin embar-go, el problema de administracin de recursos tiene slo un nmero nito de soluciones porque x1, x2 y x3 deben ser enteros positivos y existen nada ms 3 001 enteros en el intervalo [5 000, 8 000]. (Por ejemplo, no puede haber 5 237.578 peces.)

EJEMPLO 1.2.9

4 As llamado en honor del economista estadounidense Wassily W. Leontief, quien utiliz este modelo en su traba-jo pionero Quantitative Input and Output Relations in the Economic System of the United States en Review of Economic Statistics 18(1936). Leontief gan el Premio Nobel de Economa en 1973 por su desarrollo del anlisis de insumo-producto.

Modelo de insumo-producto

de Leontief


Suponga que ei representa la demanda externa ejercida sobre la i-sima industria. Suponga que aij representa la demanda interna que la j-sima industria ejerce sobre la i-sima industria. De forma ms concreta, aij representa el nmero de unidades de produccin de la industria i que se necesitan para producir una unidad de la industria j. Sea x1 la produccin de la indus-tria i. Ahora suponga que la produccin de cada industria es igual a su demanda (es decir, no hay sobreproduccin). La demanda total es igual a la suma de demandas internas y externas. Por ejemplo, para calcular la demanda interna de la industria 2 se observa que la industria 1 necesita a21 unidades de produccin de la industria 2 para producir una unidad de su propia produccin. Si la produccin de la industria 1 es x1, entonces a21x1 se trata de la cantidad total que necesita la industria 1 de la industria 2. De esta forma, la demanda interna total sobre la industria 2 es a21x1 1 a22x2 1 1 a2nxn.

Al igualar la demanda total a la produccin de cada industria se lle

Álgebra lineal - grossman godoy 7ed

Education