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Algebra I Conceptos claves Glosario: Valor absoluto – El valor absoluto de un número a está representado por a . Siempre es un número positivo y representa la distancia que dicho número dista de cero en la recta numérica. Expresión Algebraica – Una afirmación matemática que puede usar números, variables, o ambos. Area – La cantidad de unidades cuadradas que cubre una superficie dada. Binomio - (1) La suma o resta de dos monomios. (2) Un polinomio que contiene dos términos. Coeficiente - El número que multiplica la variable en una expresión algebraica y está delante de la variable. Ejemplo: En la expresión “4x”, 4 es el coeficiente de x. Plano Coordinado – Un plano formado por dos líneas de números prependiculares llamadas ejes cartesianos. Ecuación cúbica – Una ecuación que contiene una variable al cubo. Datos – Información dada o conocida. Ecuación – Un enunciado matemático que afirma que dos cantidades son iguales. Expresiones equivalentes – Expresiones que representan la misma cosa. Evaluar – Encontrar el valor de una expresión. Exponente- El número que dice cuantas veces se multiplica la base por si misma. Frecuentemente es referido como la potencia a la que dicho número está elevado. Ejemplo: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 5 En este ejemplo, 2 es la base y 5 es el exponente. Se lée: dos a la quinta potencia, o dos a la potencia de cinco. *Observación* si la potencia es dos entonces se dice que el número está al cuadrado. Expresión- Un enunciado matemático que combina operaciones, cifras, y/o variables para representar a un número.

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Algebra I Conceptos claves

Glosario:

Valor absoluto – El valor absoluto de un número a está representado por a . Siempre es un número positivo y representa la distancia que dicho número dista de cero en la recta numérica.

Expresión Algebraica – Una afirmación matemática que puede usar números, variables, o ambos.

Area – La cantidad de unidades cuadradas que cubre una superficie dada.

Binomio - (1) La suma o resta de dos monomios. (2) Un polinomio que contiene dos términos.

Coeficiente - El número que multiplica la variable en una expresión algebraica y está delante de la variable. Ejemplo: En la expresión “4x”, 4 es el coeficiente de x.

Plano Coordinado – Un plano formado por dos líneas de números prependiculares llamadas ejes cartesianos.

Ecuación cúbica – Una ecuación que contiene una variable al cubo.

Datos – Información dada o conocida.

Ecuación – Un enunciado matemático que afirma que dos cantidades son iguales.

Expresiones equivalentes – Expresiones que representan la misma cosa.

Evaluar – Encontrar el valor de una expresión.

Exponente- El número que dice cuantas veces se multiplica la base por si misma. Frecuentemente es referido como la potencia a la que dicho número está elevado. Ejemplo: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25 En este ejemplo, 2 es la base y 5 es el exponente. Se lée: dos a la quinta potencia, o dos a la potencia de cinco. *Observación* si la potencia es dos entonces se dice que el número está al cuadrado.

Expresión- Un enunciado matemático que combina operaciones, cifras, y/o variables para representar a un número.

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Factorial – El producto de un número entero multiplicado con todos los números enteros menores al número dado. Ejemplo: 5! Se lee como 5 factorial 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Factoreo - La acción de encontrar los factores de un número. Ejemplo: encuentre los factores de 6 6 × 1 = 6 y 2× 3 = 6 así que los factores de 6 son 1, 2, 3, y 6

Hipotenusa – El lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto.

Ejemplo: (hipotenusa)

Desigualdad – Un enunciado matemático que muestra la relación entre cantidades que no son iguales. Usa los siguientes símbolos: <, >, ≤ , ≥ , o ≠ .

Números enteros – El grupo de números enteros y sus opuestos. (opuestos)

(Números enteros negativos) (Números enteros positivos)

Operaciones inversas – Operaciones que se contrarestan la una a la otra. Ejemplo: 4 × 2 = 8 ⇔ 8 ÷ 2 = 4

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Números Irracionales – Números que cuando son expresados en notación decimal, tienen un decimal que no se repite y que no se puede hacer fracción. Todos los números reales que no son racionales.

Ejemplo: pi, 3

Cateto – Cualquiera de los dos lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto o uno de los dos lados congruentes de un triángulo isósceles.

Términos semejantes – Expresiones que contienen las mismas variables elevadas a la misma potencia. Ejemplos: 6xy, -2xy, y 2.5xy son términos semejantes 2a2b , y -4a2b son términos semejantes

La mejor línea recta – Una línea que se dibuja en un diagrama de dispersion lo más cercana posible a todos los puntos en el diagrama de dispersión.

Lineal – Un grupo de puntos que cuando están dibujados en una gráfica forman una línea recta.

Ecuación lineal – Una ecuación cuya solución gráfica forma una línea recta.

Media – El promedio de un conjunto de números.

Mediana – El número del centro, o el promedio de los dos números centrales, en un conjunto de números ordenados de menor a mayor.

Moda – El número que aparece con más frecuencia en un conjunto de números. Puede haber una moda, modas multiples o ninguna.

Monomio – Un número, una variable o el producto de un número y una o más variables. Ejemplos: 4, x, 4x, 4xy

No-lineal – Un conjunto de puntos que cuando dibujados en una gráfica no forman una línea.

Ecuación no- lineal – Una ecuación en la cual la solución gráfica no forma una línea recta.

Opuestos – Números para los cuales los valores absolutos son iguales. Ejemplo: -3, y 3 3− = 3 , y 3 = 3

Orden de operaciones – El orden en el que se hacen las operaciones: 1) Primero las operaciones en paréntesis; 2) evalúe los exponentes; 3) multiplique y divida de izquierda a derecha; y 4) sume y reste de izquierda a derecha.

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Par Ordenado – Un par de números en el cual el orden es importante. Escritos en la forma (x, y) para localizar un punto en el plano de coordenadas.

Origen – (1) Punto cero en la recta númerica. (2) Donde el eje x, y el eje y se intersectan en el plano de coordenadas.

Parábola – Una ecuación escrita en la forma y = ax2 + bx +c.

Perimetro – La distancia alrededor de una figura geométrica plana.

Polinomio – Un monomio o la suma o diferencia de dos o más monomios.

Potencia – El exponente de un número. Ejemplo: 43 se lee como 4 a la tercera potencia

Proporción – Una ecuación que muestra que dos razones son iguales.

Ejemplo: 4 26 3

=

Teórema de Pitágoras – Para un triángulo rectángulo a2 + b2 = c2, donde a, y b son las medidas de los catetos del triángulo y c es la medida de la hipotenusa del triángulo.

Cuadrante – Una de las cuatro secciones de un plano de coordenadas rectángulares.

Ecuación cuadrática – Una ecuación de la forma de ax2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0.

Razón – Una comparación de dos números o cantidades.

Ejemplo: 3 a 5, o 3:5, o 35

Números Racionales – Cualquier número que puede expresarse como razón de la forma ab

donde a y b son números enteros y b ≠ 0.

Ejemplo: 0.5, 3/5, -3, 8, 3 910

Números reales – El conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales.

Triángulo rectángulo – Un triángulo que tiene un ángulo con una medida de 90 o .

Simplificar – Reducir una expresión a su forma más simple combinando términos semejantes.

Pendiente – La inclinación de una recta.

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Forma de pendiente - intercepto – Una ecuación escrita en la forma y = mx + b, en donde m es la pendiente y, b es el intercepto en y.

Solución – El valor que hace verdadera a una ecuación.

Cuadrado – El producto de un número por si mismo. Ejemplo: 22 = 2 × 2 42 = 4 × 4

Raíz cuadrada – Uno de los dos factores iguales de un número. Representado por . Ejemplo: 3 es la raíz cuadrada de 9 por lo que 32 = 9 También se escribe como 9 = 3

Término – Un número, una variable, o el producto de números y variables.

Trinomio – (1) La suma o la resta de tres monomios. (2) Un polinomio que contiene tres términos.

Variable – Una letra que se usa para representar a un número.

Eje de x – El eje horizontal en el plano coordenado rectángular.

Intercepto de x – El punto donde la gráfica cruza al eje x, y se escribe en la forma (#, 0).

Eje de y – El eje vertical en el plano coordenado rectángular.

Intercepto de y - El punto donde la gráfica cruza al eje y, y se escribe en la forma (0, #).

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ALGEBRA I: Conceptos clave:

Es conveniente que usted tenga el glosario a mano y haga los ejemplos ¡para practicar!

I. Unidad 1 – Variables y Expresiones

El estudiante usará el concepto de una variable para escribir expresiones algebraicas y combinar términos semejantes. El estudiante también usará las propiedades de la suma y la multiplicación para simplificar expresiones algebraicas, también usará el orden de operaciones para simplificar expresiones numéricas.

• El estudiante descubrirá lo que es una variable llenando tablas. • El estudiante escribirá expresiones algebraicas a partir de palabras. • El estudiante sumará, restará, multiplicará, y dividirá números enteros. • El estudiante usará el orden de operaciones para simplificar expresiones numéricas. • El estudiante usará las propiedades de la suma y la multiplicación para simplificar

expresiones algebraicas. • El estudiante valorará expresiones algebraicas. • El estudiante simplificará expresiones algebraicas combinando términos semejantes.

A. Lección 1: Variables

Lea la definición y luego la explicación de las siguientes variables. Variables Normalmente usamos letras como n, t, o x para representar variables. Por ejemplo, podemos decir que s representa la longitud del lado de un cuadrado. Ahora tratemos a s como si fuera un número que pudieramos usar. El perímetro del cuadrado es dado por 4 × s. El area del cuadrado es dada por s × s. Cuando trabaje con variables, puede servir de ayuda el usar una letra que le recuerde la variable que representa: si n es el número de gente en un cine; dejemos que t sea el tiempo que toma viajar a algún sitio; dejemos que d sea la distancia de mi casa al parque. Tarea para Variables – Estudie el ejemplo, luego llene las tablas. Ejemplo:

# horas trabajadas

Pago por hora Ingreso bruto

0 $5 5 × 0 = $0 1 5 5 × 1 = $5 2 5 5 × 2 = $10

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3 5 5 × 3 = $15 4 5 5 × 4 = $20

n 5 5 × n

Llene la tabla para cada uno de lo siguientes problemas:

1. El alquiler de las películas cuestan $2 cada una.

# de películas

precio Su coste

1 2 3 4 n

2. Un estudiante compra una pizza por $9.85 y da una propina de $1.00 sin importar el número de pizzas que se compren.

# de pizzas coste del número dado

de pizzas

propina coste total

1 2 3 4 p

B. Lección 2: Expresiones Algebraicas

Lea los siguientes ejemplos. Después complete y escriba una expresión algebraica para los ejemplos de la vida real. Ejemplo 1: Estos son ejemplos de expresiones algebraicos:

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2 x 3 + 7 2 × y + 5 2 × 6 × (4 - 2) z + 3 × (8 - z) Ejemplo 2: Rolando pesa 70 kilogramos, y Mark pesa k kilogramos. Escriba una expresión para su peso (de ambos) combinado. El peso combinado en kilogramos de estas dos personas es la suma de su peso, lo que es 70 + k. Ejemplo 3: Un coche viaja por la autopista a 55 kilómetros por hora. Escriba una expresión de la distancia que el coche habrá viajado después de h horas . La distancia es igual a la velocidad multiplicada por el tiempo, así que la distancia viajada es igual a 55 × h. Ejemplo 4: Hay 2000 litros de agua en una piscina. El agua está llenando la piscina a una velocidad de 100 litros por minuto. Escriba una expresión de la cantidad de agua, en litros, en la piscina después de m minutos. La cantidad de agua añadida a la piscina después de m minutos sera de 100 litros por minuto multiplicado por m, o 100 × m. Ya que empezamos con 2000 litros de agua en la piscina, sumamos esto a la cantidad de agua añadida a la piscina para obtener la expresión 100 × m + 2000. Tarea para Expresiones Algebraicas: Escriba una expresión algebraica para cada uno de los ejemplos de la vida real.

1. Las entradas a un concierto cuestan $15.50 cada una. Si se compran n entradas, ¿cuál es el costo total?

2. Se alquilan películas a $2.50 cada una. ¿Cuál es el cargo por alquilar x número de películas?

3. Una compañía de teléfonos celulares cobra $.34 por minuto tarifa plana. 4. Un coche contiene g número de galones de gasolina. Escriba una expresión algebraica de

la cantidad que el tanque contiene después que 5 galones son añadidos. En las preguntas 5 – 10, primero identifique lo que representa cada variable y después escriba la expresión.

5. Un técnico de TV cobra $35 por venir a su casa y $25 por hora por trabajar en su TV. 6. Una compañía de teléfonos celulares cobra $16.95 tarifa básica más $.35 por minuto de

llamada.

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7. Una compañía de servicios públicos cobra $12 por los primeros 100 kilowatios-hora de electricidad usada en una casa y $.14 por cada kilowatio-hora por encima de 100.

8. Un fontanero cobra $20 por llamada de servicio más $5 por hora por arreglar un fregadero.

9. La compañía de teléfono cobra $.15 por minuto tarifa plana por llamadas de larga distancia.

10. Una compañía cobra $19.95 por el servicio de Internet hasta 60 minutos de tiempo conectado. Después de 60 minutos la compañía cobra $.10 por minuto de conexión.

C. Lección 3: Suma y Resta de números enteros

Estudie la siguiente información sobre como sumar y restar números enteros usando una recta numérica. • Mueva hacia la derecha en la recta numérica para añadir un número entero positivo. • Mueva hacia la izquierda en la recta numérica para añadir un número entero negativo • Para restar un número entero simplemente súmele su opuesto • ¡IMPORTANTE! - (-b) = + b

Ejemplos: 1+ 5 = 6 1 + (-7) = -6 -3 + (-2) = -5 1-5 = 1+(-5) = -4 -3-5 = -3 +(-5) = -8 2 – (-3) = 2 + 3 = 5 Estudie las reglas y luego haga los problemas de abajo. Reglas para sumar números enteros: 1) Si los signos son los mismos, sume el valor absoluto de los dos números y use el signo en común. Ejemplo: -5 + -6 = -5 + -6 = 5+6 = 11, el signo en común es negativo así que la respuesta es –11. 2) Si los signos son diferentes, tome la resta de los valores absolutos y use el signo del número con el valor absoluto mayor. Ejemplo: -5 + 3 = -5 – 3 o 5 - 3 = 2, pero la respuesta final sera –2 ya que

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-5 es mayor que 3. Por lo tanto, -5+3 = -2. En términos más simples, las reglas para sumar números enteros son: 1. Si los signos son los mismos, sume los números y mantenga el mismo signo. Ejemplo 1: 2 + 5 = 7 Ejemplo 2: -2 + -5 = -7 2. Si los signos son diferentes, reste los números y use el signo del número “mayor”. Ejemplo 1: 2 + -5 = -3 Ejemplo 2: -2 + 5 = 3

Tarea para sumar números enteros:

1. -3 + 5 = _____ 2. -4 + -13 = _____ 3. -16 + 12 = _____ 4. 3 + (- 7) = _____ 5. -17 + -64 = _____ 6. 0 + -17 = _____ 7. -63 + 63 = _____ 8. 23 + (- 8) = _____ 9. -8 + 3 = _____ 10. 43 + 0 = _____ 11. 59 + - 27 = _____ 12. -33 + - 9 = _____ 13. 25 + - 1 = _____ 14. -13 + 7 = _____ 15. En un juego de cartas su puntuación actual es de -10 puntos, y en la última ronda usted

gana 15 puntos adicionales. ¿Cuál es su puntuación final? _____

Estudie los ejemplos para restar números enteros, entonces haga los problemas de abajo. Para restar números enteros, sume el opuesto. Ejemplo 1: 2 - 5 = 2 + -5 = -3 Ejemplo 2: -2 - 5 = -2 + -5 = -7 Ejemplo 3: 2 - -5 = 2 + 5 = 7

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Ejemplo 4: -2 - -5 = -2 + 5 = 3

Tarea para restar números enteros:

1. -5 - 7 = 2. 3 - 9 = 3. -52 - 9 = 4. -13 - -7 = 5. 8 - 12 = 6. -27 - 35 = 7. -32 - 23 = 8. -4 - -9 = 9. 13 - 9 = 10. -33 - -35 = 11. -21 - 6 = 12. -44 - -18 = 13. -8 - -8 = 14. 19 - -7 = 15. -22 - 7 = 16. 34 - -7 = 17. -14 - -1 = 18. 75 - -49 = 19. -23 - 6 = 20. -2 - 2 = 21. -17 - -19 = 22. -43 - -43 = 23. 9 - -9 = 24. 23 - -4 = 25. La temperatura es de 64 grados y desciende a 13 grados. ¿Cuál es la temperatura actual ?

_____________ grados. 26. El saldo de su cuenta bancaria es de 10 dólares y usted escribe un cheque por $32. ¿Cuál

es su saldo actual? ¿Está su cuenta sobre-giranda? Explique su respuesta

D. Lección 4: Multiplicando y dividiendo números enteros

Estudie a continuación cómo multiplicar y dividir números enteros. Primero, intente averiguar las reglas estudiando los ejemplos, después se explicarán las reglas. Ejemplos: 2 × –4 = -8 -10 ÷ 2 = -5 -2 × 5 = -10 -12 ÷ –2 = 6 -2 × –3 = 6 10 ÷ –2 = -5 -2 × –5 = 10 12 ÷ 2 = 6

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Para multiplicar o dividir números con signos, usted debe multiplicar o dividir los valores absolutos. Use las reglas a continuación para decidir el signo positivo o negativo de la respuesta.

• La multiplicación de dos números enteros positivos o dos negativos multiplicados juntos resultan en un producto con un signo positivo.

• Un número entero positivo y uno negativo multiplicados juntos resultan en un producto con un signo negativo.

• La división de dos números enteros positivos o dos números enteros negativos dan un cociente que es positivo.

• La división de un número entero negativo y un número entero positivo dan un cociente negativo.

Lea y estudie las reglas para multiplicar y dividir dos números enteros, entonces haga los problemas.

para multiplicar dos números enteros:

para dividir dos números enteros:

(+ )× (+) = + (+) ÷ ( +) = + (-) × (-) = + (-) ÷ ( -) = + (+) × (-) = - (+) ÷ (-) = - (-) × (+) = - (-) ÷ (+) = -

Ejemplos:

2 × 5 = 10 10 ÷ 5 = 2 -2 × -5 = 10 -10 ÷ –5 = 2 -2 × 5 = -10 -10 ÷ 5 = -2 2 × -5 = -10 10 ÷ –5 = -2 Multiplique o divida.

1. –13 × 10 = 11. 99 ÷ -9 = 2. 25 ÷ -5 = 12. -45 ÷ -5 = 3. -36 ÷ / -6 = 13. –34 × 2 = 4. –4 × -8 = 14. -64 ÷ -4 = 5. 24 ÷ 4 = 15. –8 × -7 = 6. –3 × 6 = 16. 36 ÷ -12 = 7. -39 ÷ 3 = 17. –5 × -5 = 8. 22 × -2 = 18. –81 ÷ -9 = 9. 13 × 4 = 19. 14 × 4 = 10. -100 ÷ 10 = 20. –3 × -7 =

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E. Lección 5 – Orden de Operaciones Lea las reglas y las explicaciones sobre el orden de operaciones y como pueden usarse para simplificar expresiones numéricas. Estudie los ejemplos. Reglas a seguir para expresiones que tienen más de una operación:

• Haga todas las operaciones que están dentro de los paréntesis. • Complete las operaciones que tienen exponentes o radicales. • Haga cualquier multiplicación o division de izquierda a derecha. • De nuevo, de izquierda a derecha, haga cualquier suma o resta.

Este orden de operaciones está resumido a continuación: Paso 1 – Agrupando símbolos: ( ), [ ] Paso 2 - Exponentes: 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 Paso 3 - Multiplicación y división en orden de izquierda a derecha. Paso 4 – Suma y resta en orden de izquierda a derecha. Ejemplo 1: -2(5) + 2(6) - 9 = -10 + 12 - 9 = 2 - 9 = -7 (Haga la multiplicación de izquierda a derecha, y luego la suma y la resta de izquierda a derecha.) Ejemplo 2: 4(-12 + 3) = 4(-9) = -36 (Sume los números entre paréntesis primero, luego multiplique.) La información a continuación provee explicación más extensa con ejemplos: Evaluar una expresión con cierto número significa que reemplazamos una variable en una expresión con el número, y simplificamos la expresión. Ejemplo 1: Evaluar la expresión 4 × z + 12 siendo z = 15. Reemplazamos cada lugar donde aparece z con el número 15, y simplificamos usando las reglas usuales: paréntesis primero, luego exponentes, multiplicación y división, entonces suma y resta. 4 × z + 12 = 4 × 15 + 12 = 60 + 12 =

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72 Ejemplo 2: Evalúe la expresión (1 + z) × 2 + 12 ÷ 3 - z siendo z = 4. Reemplazamos cada lugar donde aparece z con el número 4, y simplificamos usando las reglas usuales: paréntesis primero, luego exponentes, multiplicación y división, entonces suma y resta. (1 + z) × 2 + 12 ÷ 3 - z = (1 + 4) × 2 + 12 ÷ 3 - 4 = 5 × 2 + 12 ÷ 3 - 4 = 10 + 4 - 4 = 14 – 4 = 10 quizá usted quiera usar este recurso para la memoria para ayudarlo cuando no tenga las reglas delante de usted. PEMDSR (“Por favor Excuse a Mi Doña Señora Rosa”) le ayuda a recordar el orden de operaciones P – Paréntesis, luego, E – Exponentes, después MD – Multiplicación/División de izquierda a derecha, y por útimo, SR – Suma /Resta de izquierda a derecha. Tarea para el orden de operaciones: Simplifique cada expresión númerica.

1. –3 × 2 – 6 × 7 10. 4(10 - 8) + 3 2. 33 ÷ 3 – 9 × (- 5 + 2) 11. (8.9 - 5) ÷ (6 + 7) 3. -96 ÷ -6 - 8 12. 15 – 3 × (2 - 15) 4. 12 - (- 3) + 5 - 6 13. (19 + 18 ÷ 2) ÷ 2 5. –26× 5 ÷ -10 14. 3 + (92 - 8) ÷ 7 6. 144 ÷ (-6 × -8) 15. 4 × 8 ÷ 2(6) 7. -21 - -13 - 10 16. –8 × 5 - 8 8. 25 - 32 + 2 17. 33 – 2× (9 - 19) 9. -15 + 19 ÷ 19 + 2 × 5 18. –4 × 5 × -6 ÷ ( - 4)

19. 4 × (x +2) - 2x siendo x = 2 20. x – 4 + x × -3 siendo x = 6

F. Lección 6 – Propiedades

Debemos usar propiedades algebraicas para simplificar expresiones algebraicas y resolver ecuaciones.

Propiedad Conmutativa: La propiedad conmutativa tiene que ver con el orden en que se escriben los números cuando usted realiza una operación dada. Por ejemplo, 3 + 5 da el mismo resultado que 5 + 3. El orden en que los números están escritos no importa. La propiedad

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commutativa no funciona para la resta ya que 3 - 5 es -2, pero 5 - 3 es 2. ¿ y qué ocurre con la multiplicación y la división? Pruebe con un ejemplo numérico para mostrar si esta propiedad funciona con estas operaciones. En términos algebraicos la propiedad conmutativa afirma que a + b = b + a, y ab = ba.

Propiedad Asociativa : La propiedad asociativa es una propiedad de agrupación. Cuando sumamos tres números, esta propiedad nos dice que no importa qué números sumamos primero. Por ejemplo, sumando 2, 3, y 5 da una respuesta de 10 sin importar qué números se sumen primero. Muestra que (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5). Recuerde, el orden de operaciones nos dice que hagamos la operación en el paréntesis primero. En términos algebraicos, (a + b) + c = a + (b + c). ¿Funciona esta propiedad para la resta, multiplicación y división? Sólo funciona para la suma y la multiplicación. De ejemplos para mostrar como no funciona para la resta y la división.

Identidad: Ambas la suma y la multiplicación tienen una identidad. Una identidad es un número que no cambia el valor de un número dado bajo una operación dada La identidad para la suma es cero, porque cualquier número que sea sumado a cero resultará en el número original. Por ejemplo, 4 + 0 es 4. La identidad para la multiplicación es 1 porque cualquier número multiplicado por 1 resulta en el número original (6 por 1 es 6). Estas dos identidades son muy importantes a la hora de resolver ecuaciones.

Distributiva: La propiedad distributiva es una propiedad que incluye ambas, la multiplicación y la suma. Una vez más, esta propiedad será muy importante para simplificar expresiones algebraicas y resolver ecuaciones. La propiedad afirma que si usted no puede simplificar lo que está dentro del paréntesis, y se multiplica un número por ese paréntesis, se puede pasar por alto el orden de operaciones (La propiedad que indica que hay que hacer lo que está dentro del paréntesis primero) y multiplique cada número en el paréntesis por el número fuera del paréntesis. Normalmente usted sumaría y luego multiplicaría para completar el siguiente problema: 4(3 + 5) es 4 por 8 o 32. (Note que un número próximo al paréntesis sin un signo de operación significa ¡multiplicar!) Pero la propiedad distributiva afirma que podemos multiplicar 4 por 3, luego multiplicar 4 por 5 y sumar las dos respuestas. ¡Inténtelo! 4 por 3 es 12; 4 por 5 es 20; 12 + 20 es 32, obtenemos la misma respuesta usando el orden de operaciones. En términos algebraicos, a(b + c) = ab + ac. Recuerde, el número fuera del paréntesis debe multiplicarse por ambos números de dentro del paréntesis y se suman los resultados. Esta propiedad es únicamente verdadera cuando un número se multiplica por un paréntesis que contiene una suma o una resta de números.

Tarea usando las propiedades: Use la propiedad dada para reescribir cada uno de las siguientes expresiones

Use la propiedad conmutativa para escribir una expresión equivalente.

1. x + 2 = 2. 3y = 3. 5 + n = 4. g × 3 =

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Use la propiedad asociativa para escribir una expresión equivalente.

5. 3 + (n + 2) = 6. (5x)y = 7. (a + b) + c = 8. x(yz) =

Use la propiedad de identidad o la identidad de cero para escribir una expresión equivalente.

9. 1n = 10. 0s = 11. n + 0 = 12. y / y =

Use la propiedad distributiva para escribir una expresión equivalente.

13. 2(a + 3) = 14. (x + y)5 = 15. 4(7 + x) =

G. Lección 7 – Evaluando expresiones algebraicas

Para evaluar expresiones algebraicas primero se sustituye el valor dado para la variable y entonces se usa el orden de operaciones para simplificar la expresión.

Ejemplo: Evalúe; -2x si x = 3 -2(3) = -6

Tarea: Evalúe cada una de las expresiones algebraicas para el valor de la variable(s) dado.

1. 3x + 2y para x = -1 y “y” = 3 2. 4x para x = -3 3. -5a + 3 para a = 2 4. 4x + y siendo x = 5 y “y” = -4 5. 3xyz para x = 2, y = -1 y z = 3 6. 5x - 3y para x = -3 y “y”= -6

H. Lección 8 – Combinando términos semejantes

Repase los ejemplos dados y complete la tarea.

Ejemplo 1: Simplifique 3x + 2y –4x + 6y 3x + 2y - 4x + 6y se convierte en -x + 8y porque (3x) y (-4x) son términos semejantes y se simplifican a (–x) . De igual manera (2y) y (6y) son términos semejantes y se simplifican a (8y).

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Ejemplo 2: Simplifique -3(2x + 4) - 9 Usando la propiedad distributiva, -3(2x + 4) se convierte en -6x - 12. La expresión es entonces -6x - 12 - 9. Sumando términos semejantes -12 y -9 resulta en -21. Por lo tanto -3(2x + 4) - 9 se simplifica a -6x - 21.

Tarea: Simplifique cada una de las expresiones algebraicas.

1. 6x + 9 + 2x 2. 7 + u + 9t + 5u 3. 4(6n + 9) - 10n 4. k + 1 - 4(2k - 9) 5. 6n + 2n + 7w + 2 + 3n 6. 7x - 4x + 6y - x - 9y 7. 3(-u - 5) + 8(2u + 1) 8. -10k - 3 + 2(5 + 6k) 9. -6x - 3y + 5x + 7y 10. 7x - 2(3x + 1) - 8 11. 3y + 4x - 6y - 7 + 2y 12. -9 + 3(2b - 5) 13. -5(3c - 6) - 4c + 9 14. 7 - 3(q - 6) + 5q 15. - j + 4j 16. 5 + 6w - 8r - 4w - 5r – 7

II. Unidad 2 – Ecuaciones y Desigualdades

El estudiante formulará y resolverá ecuaciones que incluyan valores absolutos y situaciones de la vida real. El estudiante formulará, resolverá, y trazará la gráfica de desigualdades en la línea numérica incluyendo interpolaciones, equivalencia, y orden de relaciones.

• El estudiante resolverá ecuaciones de un paso que incluyan suma y resta. • El estudiante resolverá ecuaciones de un paso que incluyan multiplicación y división que

incluya ecuaciones de proporción. • El estudiante resolverá ecuaciones de dos pasos que incluyan las cuatro operaciones. • El estudiante resolverá ecuaciones de dos pasos que combine términos semejantes. • El estudiante resolverá ecuaciones que incluyan la propiedad distributiva. • El estudiante resolverá ecuaciones con variables en ambos lados. • El estudiante escribirá y resolverá ecuaciones. • El estudiante resolverá ecuaciones de valor absoluto. • El estudiante escribirá y trazará la gráfica de desigualdades en la rectaa numérica. • El estudiante resolverá y trazará la gráfica de desigualdades en la recta numérica.

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A. Lección 1 – Ecuaciones de un paso

La suma y la resta son conocidas como operaciones inversas. Repase los ejemplos y complete la tarea siguiente.

Ejemplos:

1. x + 2 = 5 -2 -2 (Inverso de la suma) x = 3

2. x - 3 = 4 +3 +3 (Inverso de la resta) x = 7

3. x + 4 = -2 -4 -4 (Inverso de la suma) x = -6

4.x - 7 = -3 +7 +7 (Inverso de la resta) x = 4

Tarea: Simplifique cada ecuación.

1. x - 9 = 26 2. x + 8 = -52 3. x + 91 = 22 4. x - 7 = -45 5. x + 42 = -18 6. x - 6 = 29 7. x - 21 = -22 8. x + 7 = -18 9. x - 12 = -36 10. x + 14 = 26 11. x - 17 = 14 12. x + 11 =3

La multiplicación y la división son operaciones inversas. Repase los ejemplos y complete la siguiente tarea.

Ejemplos:

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1. 3x = -6 3x = -6 (Inverso de la multiplicación) 3 3 x = 2

2. –x = 12 -x = 12 (Inverso de la multiplicación) -1 -1 x = -12

3. 21 x = 5

)21)(

12( x = (5)( )

12 (Multiplique por el recíproco)

x = 10

4. 73 x =

74

(37 )(

73 ) x =

74 (

37 ) (Multiplique por el recíproco)

x = 34 =

311

Tarea: Simplifique cada ecuación.

1. -6y = 18 2. y/7 = 15 3. -x = 108 4. (2/9)x = 22 5. 12x =32 6. (-1/9)x = -7 7. (3/8)z = 12 8. -x = 20 9. (1/6)x = -2 10. (5/6)x = 30 11. 9x = -9 12. (4/5)x = 1/4 13. (-5/11)x = 35 14. 12z = -36 15. (3/5)f = -24 16. (-1/2)x = 4 17. -8x = 96 18. 4x = -4 19. -21x = 84 20. (-3/4)x = 9

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B. Lección 2 – Ecuaciones de dos pasos

Cuando trabaje con ecuaciones de dos pasos, recuerde revertir el orden de operaciones cuando las esté resolviendo. (A esto también se le conoce como la inversa de la operación.) Repase los ejemplos y complete la tarea.

Ejemplos:

1. 3x - 4 = 11 +4 +4 (Inverso de la resta) 3x = 15 3x = 15 3 3 (Inverso de la multiplicación) x = 5

2. -7x + 3 = 45 -3 -3 (Inverso de la suma) -7x = 42 -7x = 42 -7 -7 (Inverso de la multiplicación) x = -6

3. (2/3)x + 15 = 17 -15 -15 (Inverso de la suma) (2/3)x = 2 (3/2)(2/3)x = (3/2)(2) (Multiplique por el recíproco) x = 6/2 = 3

4. (-3/4)x - 2 = -5 +2 +2 (Inverso de la resta) (-3/4)x = -3 (-4/3)(-3/4)x = (-4/3)(3) (Multiplique por el recíproco) x = 12/3 = 4

Tarea: Simplifique cada ecuación.

1. 2x + 33 = 17 2. x/5 - 16 = -3 3. 23x - 45 = 116 4. 7x - 13 = -76 5. (5/7)x + 28 = 8 6. -11x - 20 = -97 7. 17 - x = 5 8. 6x + 25 = 1 9. (1/4)x - 15 = -7 10. 33 - x = 8

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11. -3x - 7 = -28

C. Lección 3 – Combinando ecuaciones de términos semejantes

Repase los ejemplos y complete la tarea.

Ejemplos 1: Simplifique 16x + 42 - 13x = 24 3x + 42 = 24 (Combine términos semejantes) -42 -42 (Inverso de la suma) 3x = -18 3 3 (Inverso de la multiplicación) x = -6

Ejemplo 2: Simplifique 10 - 16x + 9 = -13 -16x + 19 = -13 (Combine términos semejantes) -19 -19 (Inverso de la suma) -16x = -32 -16 -16 (Inverso de la multiplicación) x = 2

Tarea: Simplifique cada ecuación.

1. 52x - 14 - 35x = -133 2. 36x - 21 - 24x = -105 3. 31x - 22 + 11x = 188 4. 23x + 18 + 24x = -358 5. 57x + 23 - 42x = -97 6. -17x - 22 - 8x = 128 7. -25x - 17 - 18x = 284 8. 53x - 18 + 7x = 162 9. 75x - 29 - 53x = 59 10. 23x - 45 - 38x = -15 11. 27x + 19 - 39x = -65 12. 45x - 83 + 9x = 25 13. -14x - 23 - 15x = 151 14. -22x - 25 - 9x = 99 15. 14x - 53 - 32x = 73

D. Lección 4 – Ecuaciones con la propiedad distributiva

La propiedad distributiva quiere decir que la multiplicación se distribuye sobre la suma. Se escribe como: a × (b + c) = a × b + a × c, siendo a, b y c cualquier número. Repase los ejemplos y complete la tarea.

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Ejemplo 1: Simplifique 4(2x + 7) = 108 8x + 28 = 108 (Propiedad distributiva) -28 -28 (Inverso de la suma) 8x = 80 8 8 (Inverso de la multiplicación) x = 10

Ejemplo 2: Simplifique 5x - 4(2x + 11) = 13 5x - 8x - 44 = 13 (Propiedad distributiva) -3x - 44 = 13 (Combine términos semejantes) +44 +44 (Inverso de la resta) -3x = 57 -3 -3 (Inverso de la multiplicación) x = -19

Ejemplo 3: Simplifique 8(3x - 5) + 20 = -68 24x - 40 + 20 = -68 (propiedad distributiva) 24x - 20 = -68 (Combine términos semejantes) +20 +20 (Inverso de la resta) 24x = -48 24 24 (Inverso de la multiplicación) x = -2

Tarea: Simplifique cada ecuación.

1. -6(5x + 2) = 198 2. 5x - 4(2x + 11) = 13 3. 4(3x + 2) - 18 = 14 4. 3(7x + 9) = -15 5. 17 - (6x + 3) = -16 6. 4x - 5(3x + 10) = 126 7. -(5x + 8) + 12 = 34 8. 5(7x - 8) = -320 9. 7x + 3(4x - 1) = -79 10. -7(2x - 5) = 161 11. 18 - 6(5x - 8) = -24 12. -4(5x - 2) + 7 = -5 13. 3x + 4(3x - 5) = 25 14. -6(7x + 5) = 12

E. Lección 5 – Ecuaciones con variable en ambos lados

El primer paso para resolver ecuaciones donde hay variables en ambos lados es eliminar la variable de un lado usando operaciones inversas. Repase los ejemplos y complete la tarea.

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Ejemplos 1: Simplifique 2x = 5x – 3 -5x -5x (Operación inversa) -3x = -3 -3 -3 (Inverso de la multiplicación) x = 1

Ejemplo 2: Simplifique 11m – 23 = 12m + 5 -11m -11m (Operación inversa) -23 = m + 5 -5 -5 (Inverso de la suma) -28 = m

Tarea: Simplifique cada ecuación.

1. 5x - 18 = 6x + 4 2. 12x + x = 5 - 2x 3. 3(x + 8) = 7x 4. -5(x + 2) = 3(x + 2) 5. -3(x + 5) = 2(x + 5) 6. 5x - x = x + 15 7. 26x + 15 = 32x + 3 8. 12d + 4 = 8d 9. 14x - 2 = 19x + 33 10. 108 + 4x = -2x 11. 6(7 - x) + x = 36 + x 12. 5(x + 6) = 8x 13. -7(4x + 2) = 5(2x + 1) 14. 9x - 22 = 4x + 3

F. Lección 6 – Ecuaciones con aplicaciones

Repase los ejemplos y complete la tarea.

Ejemplo: Tara compró pizzas a $9.99 cada una y un paquete de doce refrescos por $4.29. Gastó un total de $44.25. ¿Cuántas pizzas compró?

Primero, usted necesita identificar la variable que no conoce: Supongamos que p es la variable que usamos por el número de pizzas compradas.

Segundo, usted necesita escribir una ecuación usando la información dada: 9.99p + 4.29 = 44.25

Tercero, Usted resuelve la ecuación:

9.99p + 4.29 = 44.25 - 4.29 -4.29 (Operación inversa)

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9.99p = 39.96 9.99 9.99 (Operación inversa) p = 4, Tara compró 4 pizzas.

Tarea: Escriba y simplifique la ecuación de cada situación dada.

1. Jody compró una botella de jugo de fruta que costó $2.29 y 9 cajas de jugo. Él pagó un total de $5.17. ¿Cuánto costó cada caja de jugo?

2. El perimetro de un rectángulo es de 22 pulgadas. Si la longitud del rectángulo es 7 pulgadas, ¿Cuál es el ancho del rectángulo?

3. Bolígrafos de caligrafía cuestan $3 cada uno. Un paquete de papel especial cuesta $5.75. El coste de un paquete de papel y algunos bolígrafos es de $32.75. ¿Cuántos bolígrafos se compraron?

4. El área de un rectángulo es de 35 pulgadas cuadradas. El ancho del rectángulo es 5 pulgadas. ¿Cuál es la longitud del rectángulo?

5. Connie Purcell alquila un coche por $27 por día. El costo total de su contrato de alquiler es $216. ¿Por cuántos días alquiló Connie el coche?

6. Un triángulo tiene una base de 10 cm y un área de 25 cm cuadrados. ¿Cuál es la altura del triángulo?

7. Un paralelogramo tiene una altura de 24 cm y un área de 312 cm cuadrados. ¿Cuál es la longitud de la base?

G. Lección 7 – Ecuaciones de valor absoluto

El valor absoluto es la distancia que hay desde un número entero a cero. Esto quiere decir que hay dos números 3 y -3 que distan tres unidades de cero. (En otras palabras, |x| = 3 tiene dos soluciones: x = 3 and x = -3.) Repase los ejemplos y complete la tarea.

Ejemplo 1: Resuelva | x + 2 | = 5 x + 2 = 5 o x + 2 = -5 -2 -2 -2 -2 x = 3 x = -7

Ejemplo 2: | 2x - 6 | = 12 2x - 6 = 12 o 2x - 6 = -12 +6 +6 +6 +6 2x = 18 2x = -6 2 2 2 2 x = 9 x = -3

Ejemplo 3: Resuelva | 2x | = -4 No tiene solución (el valor absoluto no puede ser negativo)

Ejemplo 4: Resuelva | 2x | -5 = -3 +5 +5

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| 2x | = 2 2x = 2 o 2x = -2 2 2 2 2 x = 1 x = -1

Ejemplo 5: Resuelva - 4 | x - 7 | = -16 -4 -4 | x - 7 | = 4 x - 7 = 4 o x - 7 = -4 +7 +7 +7 +7 x = 11 x = 3

Ejemplo 6: Resuelva - 2 | x - 2 | = 4 -2 -2 | x - 2 | = -2 No solución

Tar ea: Resuelva cada ecuación.

1. | 3x - 7 | = 14 2. | 5x | - 8 = -3 3. -2 | 2x - 1 | = 4 4. | 4x - 2 | = 6 5. (-1/2)| x - 6 | = 2 6. | x + 5 | = 11 7. | 2x + 1 | + 5 = 14 8. | 3x | = 9

H. Lección 8 – Desigualdades

> - mayor que – Para marcar el punto(s) límite en la recta numérica se usa un círculo abierto.

< - menor que - Para marcar el punto(s) límite en la recta numérica se usa un círculo abierto.

> - mayor que u igual a - Para marcar el punto(s) límite en la recta numérica se usa un círculo cerrado (sólido).

< - menor que o igual a - Para marcar el punto(s) límite en la recta numérica se usa un círculo cerrado (sólido)

Repase los ejemplos y complete la tarea.

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Ejemplos:

1. El coche de Jean consigue al menos 30 millas por galón de gasolina.

x = millas por galón, así que la desigualdad es x > 30.

2. Usted debe tener las edades de 8 ó 35 años ó tener entre 8 y 35 años para participar en una carrera.

x = la edad que usted debe tener para participar en la carrera, así que la desigualdad es 8 < x < 35.

Tarea: Escriba una desigualdad que describa la situación, luego trace una gráfica con todos los puntos en la recta numérica que hagan el enunciado verdadero.

1. Jack gana más de $300 cada semana. 2. El agua permanecerá helada cuando todas las temperaturas sean menores de 0 grados

Celsius. 3. Cuando los presidentes de los Estados Unidos tomaron posesión de su cargo por primera

vez, sus edades eran o estaban entre 42 y 69 años. 4. La temperatura estaba por deebajo de los 23°F toda la tarde. 5. Sarah corre más de 3 millas cada día.

I. Lección 9 – Resolviendo desigualdades

Las desigualdades se resuelven en muchos casos del mismo modo que las ecuaciones con una excepción – Cuando usted multiplica o divide por un número negativo el símbolo de la desigualdad se cambia (se da la vuelta). Repase los ejemplos y complete la tarea.

Ejemplo 1: Resuelva 2x + 2 > 6 - 2 - 2 (Inverso de la suma) 2x > 6 2 2 (Inverso de la multiplicación) x > 3 (El signo de la desigualdad no se cambió/giro porque la desigualdad no fue dividida por un número negativo)

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Ejemplo 2: Resuelva -3x - 5 < 7 +5 +5 (Inverso de la resta) -3x < 12 -3 -3 (Inverso de la multiplicación) x > -4 (El signo de la desigualdad se cambió/giró porque la desigualdad fue dividida por un número negativo)

Tarea: Resuelva y trace una gráfica para cada desigualdad en la recta numérica.

1. 3x + 1 < 34 2. -2x - 5 > 7 3. 4x - 9 > 15 4. 3x - 4 < 11 5. 5x - 3 > 12 6. -2x - 19 < 3 7. 6x + 5 > 35 8. 12x + 5 < 41 9. -4x - 7 > 25 10. -5x + 7 < -38

III. Unidad 3 – Gráficas

El estudiante reconocerá y graficará ecuaciones lineales en el sistema de coordenadas Cartesianas usando tablas-T, pendiente, interceptos de “x” y “y”, y transformaciones con una introducción a las características de gráficas tales como dominio/alcance. El estudiante también graficará funciones no-lineales en el sistema de coodenadas Cartesianas y empezará a notar cómo estas funciones pueden ser transformadas.

• El estudiante graficará puntos en el sistema de coordenadas Cartesianas y determinará en qué cuadrante situar los puntos.

• El estudiante graficará diagramas de dispersión a partir de cierta información y empezará a descubrir situaciones lineales y no-lineales.

• El estudiante graficará ecuaciones lineales usando tablas-T y empezará a descubrir la notación de la función y dominio/alcance.

• El estudiante graficará ecuaciones lineales usando interceptos de “x” y “y”. • El estudiante investigará la pendiente y cómo las líneas se traducen y se reflejan a través

del uso de el intercepto de “y” y la pendiente. • El estudiante graficará dos puntos y encontrará la pendiente de la línea resultante. • El estudiante trazará gráficas dada la pendiente y un punto en la línea. • El estudiante resolverá un sistema simple de ecuaciones que incluya ecuaciones lineales y

no-lineales usando el méthodo gráfico.

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A. Lección 1 – Sistema de Coordenadas Rectangulares

El sistema de coordenadas rectangulares es una gráfica hecha de dos rectas de números. Estas líneas son el eje “x” y el eje “y”. El eje x está situado horizontalmente y el eje y está situado verticalmente. A la intersección de estas dos líneas se le conoce como el origen. Cada punto en la gráfica está asociado con un par ordenado. El par ordenado se escribe como (x, y), donde “x” es la coordenada “x” y “y” es la coordenada “y”. Para el origen, este par ordenado es (0, 0). Vea el dibujo a continuación para una explicación visual de la gráfica.

Ejemplo: Grafique los siguientes puntos en un sistema de coordenadas rectangulares y diga en qué cuadrante se sitúan. A (-2, 6), B (4, 0) Primero fijese en el valor de “x” y “y” en el punto A. el valor de x es 2 negativo y el valor de y es 6 positivo.Usted puede representar esto así (-, +), así el punto se situará en el cuadrante II. Segundo, fíjese en el valor de “x” y “y” para el punto B. El valor de x es 4 positivo y el valor de y es cero. Usted puede representar esto así (+, 0). Por lo tanto este punto no se sitúa en un cuadrante sino en la recta numérica. Como el valor de y es 0 tiene que situarse en el eje x. El cuadrante I tiene el par ordenado, (x, y), representado por los valores (+, +). El cuadrante II tiene el par ordenado, (x, y), representado por los valores (-, +). El cuadrante III tiene el par ordenado, (x, y), representado por los valores (-, -). El cuadrante IV tiene el par ordenado, (x, y), representado por los valores (+, -).

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Tarea: Haga una gráfica de los siguientes puntos en un sistema de coordenadas rectangulares y decida si se sitúan en el cuadrante I, II, III or IV de un sistema de coordenadas rectangulares.

1. (-2, 4) 2. (3, 5) 3. (0, -2) 4. (5, -2) 5. (-2, -8) 6. (-4, 0) 7. (5, 6) 8. (0, 3) 9. (-4, 4) 10. (3, 0)

B. Lección 2 – Diagramas de Dispersión

Repase las definiciones de lineal y no-lineal y la Unidad 1, lección 2 en expresiones algebraicas entonces haga la siguiente tarea.

Tarea: El estudiante hará una tabla par las siguientes situaciones y hará una gráfica de los puntos resultantes.

1. Hagá una gráfica para cobrar por llamadas para servicios que incluyan varias horas de duración para el siguiente trabajo: Un técnico de electrodomésticos cobra $75 por una visita a una casa y $65 por hora. Tenga en cuenta que si su electrodoméstico está simplemente desenchufado todavía debe algo por la visita. También las fracciones de una hora se cobran a la tarifa de la hora completa.

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2. Hagá una gráfica de los puntos en la gráfica del problema #1. ¿Son los datos en este diagrama de dispersion lineales o no- lineales? Explique porqué usted piensa que esto es cierto.

3. Grafique el siguiente conjunto de datos:

Edad # de dientes 6 meses 2 6 meses 3 8 meses 5 10 meses 6

1 año 10 13 meses 10

4. ¿Son los datos en es diagrama de dispersion lineales o no- lineales? Explique por qué usted piensa que esto es cierto.

5. ¿Son todos los diagramas de dispersión lineales?

Ahora discutiremos las relaciones de los diagramas de dispersión.

Este diagrama de dispersión muestra una relación positiva entre los dos grupos de datos porque los puntos se amontonan y parecen estar subiendo desde el lado izquierdo de la gráfica al lado derecho de la gráfica

Este diagrama de dispersión muestra una relación negativa entre los dos grupos de datos porque los puntos se amontonan y parecen estar bajado desde el lado izquierdo de la gráfica al lado derecho de la gráfica

Este diagrama de dispersión no muestra ninguna relación entre los dos grupos de datos porque los puntos no se amontonan y no parecen estar subiendo o bajando desde el lado izquierdo de la gráfica al lado derecho de la gráfica

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C. Lección 3 – Tablas-T

Repase el ejemplo y complete la tarea.

Ejemplo: Haga una tabla-T para la ecuación y = 2x + 2 luego haga una gráfica de la línea.

Primero, elija cualquier valor que quiera para x, luego sustituya este valor en la ecuación y despeje por y.

x 2x + 2 y -2 2(-2) + 2 -2 -1 2(-1) + 2 0 0 2(0) + 2 2 1 2(1) + 2 4 2 2(2) + 2 6

De este modo, los pares ordenados son (-2, -2), (-1, 0), (0, 2), (1, 4), (2, 6). La ecuación y = 2x + 2 puede también escribirse en notación funcional como f(x) = 2x + 2 el dominio es el grupo de números reales y el alcance es el grupo de números reales.

El dominio son las cantidades que se ponen en una función y el alcance son los resultados de la función.

Tarea: Haga una tabla-T para cada ecuación y después use el sitio web listado arriba para hacer una gráfica de la ecuación lineal y comprobar sus resultados. ¿Están los puntos en su tabla-T graficados en una línea?

1. y = 2x - 1 2. y = -3x + 2 3. y = 1/2 x + 1 4. y = -x - 3 5. y = 2x 6. y = 2x - 1.5

D Lección 4 – Formula de la pendiente

La pendiente se define como la inclinación de una recta. La pendiente se encuentra cuando se grafican dos puntos y luego se cuenta el ascenso o altura y despus el curso o el desplazamiento y

se calcula la razón de curso

ascenso . Otro modo de encontrar la pendiente es encontrar el cambio de

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las coordenadas y, ( 2 1y y− ), y réstale cambio de las coordenadas x, ( 2 1x x− ), entonces haciendo

la razón de (cambio de las coordenadas y/cambio de las coordenadas x) 2 1

2 1

y ymx x

−=

EJEMPLO: Grafique (3, 0) y (0, 5)

Por lo tanto, la altura es 5 y el curso es -3 produciendo una pendiente de -5/3 para esta recta. La pendiente se denota por la letra m, así que m = -5/3 para esta recta.

La pendiente de esta recta también puede encontrarse por la fórmula: 2 1

2 1

y ymx x

−=

Por lo tanto, para esta recta, m = 3005

−− =

35

35

−=−

Las rectas que tienen una altura de 0 y un curso de algún otro número tienen una pendiente de

cero; así como 0#0

=

Las rectas que tienen una altura de algún otro número y un curso de 0 son indefinidas; así como

indefinido=0# porque la división por cero es indefinida.

Tarea: Grafique los siguientes puntos usando el sitio web y encuentre la pendiente de la recta.

1. (1, 2) y (4, 4) 2. (-4, -2) y (2, -5) 3. (3, -3) y (4, 1) 4. (-2, 4) y (0, -2) 5. (0, -1) y (4, 3) 6. (-1, 0) y (-3, 4) 7. (-5, 2) y (-3, -3) 8. (5, -1) y (-2, -4) 9. (2, 1) y (5, 3) 10. (0, -1) y (4, -7) 11. (1, -4) y (6, -2) 12. (5, 2) y (-1, 2) 13. (7, 4) y (7, -4) 14. (-1, 5) y (0, 0) 15. (0, 1) y (2, -2) 16. (1, 2) y (4, 6)

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E. Lección 5 – Interceptos de X e Intercepto de Y

El intercepto de x es el punto donde la gráfica cruza al eje x, y se escribe en la forma (#, 0). Por lo tanto, el valor del punto y es 0, el valor de x es el número en el eje x. ie. (6, 0) cruza al eje x en 6.

El intercepto de y es el punto donde la gráfica cruza al eje y, y se escribe en la forma (0, #). Por lo tanto, el valor del punto x es 0, el valor de y es el número en el eje y. ie. (0, 4) cruza al eje x en 4.

Repase el ejemplo y complete la tarea.

Ejemplo: Use el intercepto de x y el intercepto de y para hacer una gráfica de la ecuación lineal y = -2x - 1.

Primero, encuentre el intercepto de x haciendo y = 0 y resolviendo la ecuación resultante:

0 = -2x - 1

+1 +1

1 = -2x -2 -2

-1/2 = x

Así que, El intercepto de x es (-1/2, 0).

Ahora, encuentre el intercepto de y haciendo x = 0 resolviendo la ecuación resultante:

y= -2(0) - 1

y = 0 - 1

y = -1

Así que, El intercepto de y es (0, -1).

Tarea: Encuentre el intercepto de x y el intercepto de y y para cada ecuación.

1. y = 2x - 2 2. y = -3x + 1 3. y = 1/2 x - 2 4. y = -3x - 2 5. y = 2x + 4

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6. y = 3x

F. Lección 6 – Forma de Pendiente-Intercepto de una Ecuación

Muchas veces las ecuaciones lineales se escriben en la forma estandar, ax + by = c, donde ambos a y b son números reales. Todas las ecuaciones lineales se pueden escribir en este formato, pero usando esta forma puede resultar molesto al trazar la gráfica. Por este motivo, transformamos la ecuación en forma de intercepto de la pendiente y = mx + b.

Repase los ejemplos y complete la tarea.

Ejemplos: Escriba cada ecuación en forma pendiente-intercepto.

Resolviendo ecuaciones estandar para y es muy parecido a resolver ecuaciones de un paso con una variable. La idea es eliminar todo lo que está al lado de y, luego dividir para despejar y. En otras palabras, queremos que la ecuación se vea de la forma de la pendiente intercepto, así como y = mx + b donde m es un número real que representa la pendiente de la recta y b es un número real que representa el intercepto de y de la recta. Ahora vamos a ver algunos ejemplos.

Ejemplo 1: Resuelva 2x + y = 6 (Recuerde que queremos despejar y) -2x -2x (Elimine 2x haciéndolo negativo) y = 6 - 2x or y = -2x + 6 Usamos la propiedad conmutativa de la suma para lograr que el término x esté delante de la constante. No tenemos que dividir en esta solución porque la y representa ya 1y.

Ejemplo 2: Resuelva - 3y + 4x = - 5 (Recuerde que estamos despejando y) -4x -4x (Elimine 4x haciéndolo negativo) -3y = -4x - 5 (Propiedad conmutativa de la suma) -3 -3 (Divida ambos lados por -3. Asegúrese de dividir ambos términos al lado derecho del = por -3) y = 4/3x + 5/3

Tarea: Resuelva cada ecuación por y (forma de la pendiente intercepto).

1. 3x + 2y = 24 2. 4x + 3y = 18 3. 8x - 3y = 12 4. -5x + 2y = 20 5. 2x - 4y = -5 6. -3x + 2y = -1 7. 2x + y = 8 8. 3x + 2y = 10 9. 2x - 7y = 21

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10. -4x + 5y = 12

G. Lección 7 – Pendiente e intercepto de Y Cuando a usted se le da una ecuación y quiere resolverla usando la pendiente y el intercepto de y usted debe asegurarse de que la ecuación está en la forma de y = mx + b, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto de y. Ejemplo 1: Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones usando la pendiente y el intercepto de y.

A: y = 14

x , B: y = -4 x

Para y = 14

x : pendiente ; m = 14

, el intercepto de y ; b = 0

Ahora, usando esta información haga la gráfica del intercepto de y use la pendiente para hacer la gráfica de puntos adicionales. Como el intercepto de y es 0 empiece en el origen

entonces usando la pendiente de 14

encuentre el punto siguiente. Para hacer esto vaya

hacia arriba (positivo) 1 unidad y a la derecha (positivo) 4 unidades ya que la pendiente es positiva. (También puede ir hacia abajo [negativo] 1 unidad y a la izquierda [negativo] 4 unidades porque negativo dividido por negativo es positivo). Repita este paso por unos cuantos puntos. Dibuje una recta a través de los puntos y tiene su gráfica.

Para y = -4 x : pendiente = m = -4 , intercepto de y = b = 0 Repita el procedimiento de arriba. Ejemplo 2: Trace una gráfica de las siguientes ecuaciones usando la pendiente y el intercepto de y. C: y = 3 x - 1, D: y = -3 x + 1 Para y = 3 x - 1: pendiente = m = 3 , intercepto de y = b = -1

Ahora, usando esta información haga la gráfica del intercepto de y, use la pendiente para hacer la gráfica de puntos adicionales. Como el intercepto de y es -1 empiece en -1 en el eje y, entonces usando la pendiente de 3 encuentre el siguiente punto. Para hacer esto vaya hacia arriba (positivo) 3 unidad y a la derecha (positivo) 1 unidad ya que la pendiente es positive. (También puede ir hacia abajo [negativo] 3 unidades y a la izquierda [negativo] 1 unidad porque negativo dividido por negativo es positivo.) Repita este paso por unos cuantos puntos. Dibuje una recta a través de los puntos y tiene su gráfica.

Para y = -3 x + 1: pendiente = m = -3, y intercepto de y = b = 1 Repita el procedimiento de arriba. Debe tener rectas que coinciden con la siguiente gráfica. Cada línea tiene la letra correspondiente a la ecuación próxima a ella.

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Tarea 1: Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones.

1. y = x 2. y = 1/2 x 3. y = 2x 4. y = 3x

Tarea 2: Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones.

1. y = -x 2. y = -1/2 x 3. y = -2x 4. y = -3x

Tarea 3: Explique con sus propias palabras cómo las ecuaciones en la Tarea 1 y 2 se comparan y se diferencian, y porqué razones se diferencian.

Tarea 4: Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones.

1. y = x + 1 2. y = x + 2 3. y = x + 3 4. y = x

Tarea 5: Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones.

1. y = 2x 2. y = 2x + 1

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3. y = 2x + 2 4. y = 2x – 1

Tarea 6: Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones.

1. y = -2x + 1 2. y = 2x + 1

Tarea 7: Explique con sus propias palabras cómo las ecuaciones en la Tarea 4, 5 y 6 se comparan y se diferencian, y porqué razones se diferencian.

H. Lección 8 – Analizando Gráficas Usando lo que usted ha aprendido hasta ahora complete la siguiente tarea.

Tarea: Grafique las ecuaciones que usted escriba en cada situación.

1. Suponga que un equipo de sopladora de aire comprimido cuesta $50. Las camisetas corrientes cuestan $4 cada una. Una ecuación lineal describiendo el costo de y para hacer x número de camisetas es y = 4x + 50. Usted recibe 85 encargos de camisetas. Tiene $350 para gastar en el coste de producción. Use la gráfica del #1 para decider si tiene suficiente dinero para cumplir con los 85 encargos. Explique porqué o porqué no apoyándose en los datos de la gráfica.

2. Usted decide cobrarle a los clientes $12 por camiseta. El coste de su producción es todavía el mismo que en #1. Una ecuación de su beneficio P por hacer y vender n camisetas es beneficio = ingresos – coste, P = 12n - (4n + 50). Haga una tabla y la gráfica que representa el beneficio de hacer y vender 68 camisetas. ¿Es su gráfica lineal?

3. Cómo se compara la gráfica del #2 a la gráfica del #1. ¿Cómo se ha transformado la línea del #1 al #2? ¿Cuál es la pendiente de la recta en #1 y la pendiente de la recta en #2? ¿Qué recta tiene la pendiente más inclinada? ¿Por qué ocurrió esto?

I. Lección 9 – Trazado de gráficas usando la pendiente y un punto

Par hacer la gráfica de una línea dados la pendiente y un punto, primero se coloca el punto en la gráfica. Luego se usa la pendiente para contar la altura y el curso desde el primer punto para obtener el siguiente punto en la línea.

Ejemplo: m = 2, (3, -1). Primero coloque el punto en la gráfica (3, -1) entonces usando la pendiente de 2/1 cuente hacia arriba 2 y hacia la derecha 1 para darle el punto (4, 1).

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Tarea: Trace la gráfica con la siguiente información.

1. m = -4 , (2, 3) 2. m = 3 , ((-1, 2) 3. m = -4/3 , (1, 0) 4. m = 2/3 , (0, 3) 5. m = -1 , (3, 1) 6. m = -3/5 (-1, -4)

J. Lección 10 – Resolviendo desigualdades lineales por gráficas

Resolver desigualdades lineales para y es muy parecido a resolver ecuaciones lineales para y con una excepción – cuando usted multiplica o divide por un número negativo, la dirección del símbolo de la desigualdad cambia.

Ejemplo: resuelva 3x - 2y < 12 por y. 3x - 2y < 12 -3x -3x (Elimine 3x haciéndolo negativo) -2y < -3x + 12 (Propiedad conmutativa de la suma) -2 -2 (Divida ambos lados por -2) y > 3/2 x - 6 (Cambie el símbolo porque usted dividió por un número negativo.)

Para comparar esta ecuación a y = mx + b sabemos que m = 3/2 , y b = - 6. Ahora haga una gráfica de esto. Observe que la linea de la recta en esta gráfica está segmentada. Igual ocurre con las desigualdades de una variable, si la desigualdad es < o > entonces la recta está abierta (punteada) para mostrar que los puntos en la recta no son parte de la solución. Las desigualdades que tienen la barra igual, < and >, son rectas cerradas (sólidas) para mostrar que los puntos en la recta de la flinea están incluidos en la solución. La gráfica está sombreada por arriba de la recta de la linea porque son esos puntos los que hacen el enunciado cierto. Para comprobar su solución, elija un punto de arriba o de abajo de la recta y vea si el enunciado es cierto. Por ejemplo, si elegimos el punto (1, 3) que está por arriba de la recta y lo sustituimos en la desigualdad obtenemos lo siguiente:

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y > 3/2 x – 6 3 ? 3/2 (1) - 6 (Substituya 3 por y , 1 por x) > 3 > 3/2 – 6 3 > -4 1/2 entonces el enunciado es cierto y la gráfica es correcta.

Ahora sabemos que lo siguiente debe estar hecho en orden para trazar gráficas de desigualdades:

1) Trace la gráfica de la recta y = mx + b identifique la pendiente además el intercepto de y. 2) Determine si la recta es punteada o sólida por medio del símbolo de la desigualdad. 3) Elija un punto de arriba y uno de abajo de la recta para comprobar la ecuación. Usted sombreará el lado donde está el punto que es cierto.

Tarea: Resuelva cada desigualdad por y, si fuera necesario. Luego, haga la gráfica de la desigualdad. Asegúrese de comprobar los puntos en la gráfica para estar seguro de que su solución es correcta.

1. y < - x + 2 2. 3x - y > 0 3. x + 2y < 4 4. y > 5 - 1/2 x 5. y > 2x 6. 2x + 3y > 18 7. - 3x + 2y < 9

K. Lección 11 – Sistemas de Ecuaciones

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Cuando resolvemos un sistema de ecuaciones, fíjese en el punto de intersección de las dos ecuaciones y la coordenada de ese punto es la solución del sistema de ecuaciones. Usted puede usar cualquiera de las maneras aprendidas para resolver las ecuaciones.

Ejemplo: Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones usando una gráfica.

y = -2x + 8

y = 2/3x – 8

Usando cualquiera de los métodos enseñados previamente, usted debería de obtener la siguiente gráfica:

Por esta gráfica, podemos ver que el punto de intersección es (6, -4). Por lo tanto, la solución de este sistema de ecuaciones es (6, -4).

Tarea: Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones usando el procedimiento de arriba.

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1. y = 3x - 9 y = -1/2 x + 5

2. y = -2/3 x - 5/9 y = -x + 1

3. y = -3/4 x + 1 y = -x + 1

4. y = -2/7 x + 3/7 y = -1/4 x + 1/4

5. y = -2/3 x + 4 y = -x + 5

6. y = 5x - 5 y = 5/4 x - 17/4

L. Lección 12 – Funciones no - Lineales

Tarea: Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones y compare y contraste las gráficas. Asegúrese de comparar lo siguiente: #1 - 3, #4 - 6, #7 - 8, #9 - 10, #11 - 12, #13 - 14, #1 - 8, y #9 - 14. ¿Qué ve?

1. y = x2

2. y = 2x2

3. y = -3x2 4. y = x2 + 1 5. y = 2x2 + 1 6. y = -3x2 + 1 7. y = 1/3 x2 8. y = 1/3 x2 + 1 9. y = x3 10. y = x3 - 1 11. y = -x3 12. y = -x3 + 1 13. y = 3x3 14. y = -3x3

M. Lección 13 – Resolviendo ecuaciones no- lineales algebraicamente

Como usted ha aprendido a través de este curso, las bases para resolver ecuaciones y desigualdades con una o con dos variables son típicamente las mismas. También ha aprendido que las operaciones inversas son muy imporantes en el proceso de resolver. Un grupo de operaciones inversas que no hemos tratado es elevar al cuadrado y sacar la raíz cuadrada. Usted debería recordar de Pre-Algebra que cuadrar quiere decir que un número está elevado a la segunda potencia, así como 92 = 9 × 9 = 81, x2 = x × x , y así sucesivamente. La raíz cuadrada es lo inverso de cuadrar y se denota por el símbolo . Así 81 = +9 porque 9 × 9 = 81 y –9 × -9 = 81. Luego x2 = + x , y así sucesivamente. Cuando resolvemos ecuaciones que incluyan términos cuadrados, debe aislar el término al cuadrado antes de sacar la raíz cuadrada.

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Exactamente como el valor absoluto, x2 = -4 no tiene una solución real porque no podemos multiplicar un número por si mismo para producir un negativo.

Ejemplo 1: Resuelva x2 = 81 x2 = 81 (Saque la raíz cuadrada de ambos lados) x = ± 9

Ejemplo 2: Resuelva k2 - 144 = 0 + 144 +144 (Elimine -144 haciéndolo positivo) k2 = 144 k2 = 144 (Saque la raíz cuadrada de ambos lados) k = ± 12

Ejemplo 3: Resuelva 4n2 = 16 4 4 (Divida ambos lados por 4 para obtener el término al cuadrado por si solo) n2 = 4 (Saque la raíz cuadrada de ambos lados al igual que con los otros ejemplos) n = ± 2

Tarea: Resuelva cada ecuación algebraicamente.

1. x2 = 49 2. 121 = x2 3. 3x2 = 27 4. -10 x2 = -1000 5. 1/2 x2 = 2 6. 3/4 x2 = 12 7. x2 - 64 = 0 8. 0 = x2 - 36 9. x2 - 1/4 = 0 10. -x2 + 3 = 0 11. x2 + 8 = 12 12. -x2 + 10 = 15 13. 30 = 6 x2 14. 0 = 1/4 x2 - 1 15. 2/3 x2 - 9 = 17

Unidad 4 – Escribiendo ecuaciones de rectas

El estudiante determinará la pendiente y escribirá la ecuación de la recta dados dos puntos en forma punto-pendiente y la forma pendiente-intercepto y será capaz de reconocer pendientes especiales (así como líneas verticales y horizontales) y escribirá la ecuación de la recta.

• El estudiante calculará la pendiente de una recta dados dos puntos usando la fórmula de la pendiente.

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• El estudiante escribirá la ecuación de la recta en la forma pendiente-intercepto dada la pendiente y el intercepto de y.

• El estudiante escribirá la ecuación de la recta en la forma pendiente-intercepto dada la pendiente y un punto en la recta usando la fórmula punto-pendiente.

• El estudiante escribirá la ecuación de la recta en forma pendiente-intercepto dados dos puntos usando la fórmula punto-pendiente.

A. Lección 1 – Fórmula de la pendiente

En la unidad 3, discutimos como encontrar la pendiente trazando gráficas. En esta unidad, queremos usar la fórmula de la pendiente, ahora que comprendemos el concepto de pendiente. La fórmula de la pendiente se define como la razón del cambio vertical al cambio horizontal Por lo tanto, la fórmula es

m = 2 1

2 1

y yx x

−−

donde los subíndices 1 y 2 identifican de que punto se origina cada coordinada.

Ejemplo: Encuentre la pendiente por medio de los puntos (-2, 1) y (3, 5).

No importa que par de puntos está designado (x1, y1) y que par está designado (x2, y2), pero usted debe mantener los pares juntos y en el mismo orden. Así, podemos designar el punto (-2, 1) como el primer punto y el punto (3, 5) como el segundo punto. Obtendríamos la misma pendiente si designáramos (3, 5) como el primer punto y (-2, 1) como el segundo punto. Inténtelo y vea si funciona de la misma manera.

m = 2 1

2 1

y yx x

−−

= 5 13 2

−− −

= 45

Al igual que ocurre trazando gráficas y encontrando la pendiente, 0 y la pendiente indefinida existe cuando usamos la fórmula de la pendiente. Una pendiente con una razón de 0/# = 0. Por ejemplo 0/5 = 0 y 0/-2 = 0, aunque se dice que ambas de estas razones tienen una pendiente cero cuando 0 es el numerador de la fracción en la fórmula de la pendiente. Una pendiente con la razón de #/0 es una pendiente indefinida porque la división por cero es indefinida. En otras palabras, 5/0 y -2/0 ambos tienen pendientes indefinidas porque no hay número que pueda multiplicarse por cero para obtener 5 o -2 o cualquier otro número. Por lo tanto, la división por cero es siempre indefinida.

Tarea: Encuentre la pendiente por medio de cada par de puntos usando la fórmula de la pendiente.

1. (1, 3) y (-2, 1) 4. (2, 12) y (2, -9) 7. (-3, 9) y (5, 9)

2. (0, 0) y (-5, 3) 5. (7, -3) y (-11, 22) 8. (3, 3) y (-7, -7)

3. (5, -1) y (1, 6) 6. (45, 3) y (30, 35) 9. (-1, 5) y (-1, -2)

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B. Lección 2 – Forma pendiente-intercepto

La forma pendiente-intercepto es y = mx + b donde m representa a la pendiente y b representa el intercepto de y. En esta lección, empezaremos a escribir ecuaciones de rectas por medio de la interpretacion de gráficas.

Como usted puede ver por la gráfica, uno de los puntos en la recta es (0, -2) y el otro punto es (4, 2). Para encontrar la ecuación de la recta en la forma pendiente-intercepto, debemos encontrar la pendiente de la recta y entonces encontrar el intercepto de y. Contando para encontrar la altura sobre el curso, contamos 4 arriba y 4 a la derecha para llegar del punto (0, -2) al punto (4, 2). Esto hace que la altura/curso sea 4/4 por consiguiente la pendiente es 1.

También podemos usar la fórmula de la pendiente de la lección 1, y encontrar que la pendiente de la recta es 1 ya que (-2 - 2)/(0 - 4) = -4/-4 o 1. Así que el valor de m, la pendiente, es 1.

El intercepto de y, b, (donde la recta cruza el eje y) es -2. Sustituyendo 1 por m y -2 por b en la ecuación y = mx + b da la ecuación de la recta como y = x - 2. El coeficiente de x, 1, representa la pendiente de la recta y la constante, - 2, representa el intercepto de y.

Tarea: Use las gráficas de abajo para encontrar el valor de m, la pendiente de la recta, y b, El intercepto de y. Entonces use estos valores para escribir la ecuación de la recta que corresponda a cada gráfica.

1.

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2.

3. Para esta gráfica, usted elige los dos puntos que quiere usar.

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C. Leción 3 – Escribir la ecuación de una recta dado un punto y la pendiente.

Usted aprenderá cómo encontrar la ecuación de una recta si le dan un punto en la recta y la pendiente de la recta.

Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta dado m = -3 , y el punto (3, 4). Primero resuelva por b en y = mx + b sustituyendo –3 por m, 3 por x, y 4 por y para obtener: 4 = -3(3) + b 4 = -9 + b +9 +9 13 = b Ahora, sustituya 13 por b, y –3 por m en y = mx + b. La ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 4) y que tiene una pendiente de -3 es y = -3x + 13.

Tarea: Use este método para escribir ecuaciones de las siguientes rectas dado un punto en la recta y la pendiente de la recta.

1. m = 2 , (0, -3) 2. m = -2, (5, 7) 3. m = 0, (3, 4) 4. m = 1, (5, 8) 5. m = 4, (5, 9) 6. m = -3, (7, 10) 7. m = 1/3, (3, 9) 8. m = -2, (-4, 8) 9. pendiente indefinida, (1, 1) 10. m = 0, (-2, 3)

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D. Lección 4 – Fórmula de punto-pendiente

En esta lección, aprenderemos cómo escribir la ecuación de una recta dada la pendiente y un punto en la recta sin usar técnicas gráficas. El modo técnico para escribir la fórmula punto-pendiente es y - y0 = m (x - x0), pero es más facil usarla sin los subíndices. El punto (x0, y0) le será dado al igual que la pendiente, m.

Ahora, veamos un ejemplo de como se usa esta fórmula.

Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta dado m = - 2, y (- 3, 4).

y - y0 = m (x - x0) y - 4 = - 2 (x - -3) (Ahora use técnicas para resolver ecuaciones para escribir esta ecuación en forma pendiente-intercepto.) y - 4 = - 2x - 6 (Usando la propiedad distributiva) +4 +4 (Para obtener y por si sólo) y = -2x – 2 Así que la ecuación de la recta es y = -2x - 2.

La primera y nunca cambia en la fórmula, también como la primera x en la fórmula. Las únicas partes de la fórmula que pueden ser sustituidas son la m, la x, y la y del par ordenado que se le da. La m, la pendiente, en este ejemplo es - 2. La y0 viene del punto (- 3, 4) es 4. La x0 también viene del punto y es -3. Sustituya estos valores en la ecuación y simplifique como se muestra a la izquierda.

Esta técnica funciona para todas las ecuaciones lineales siempre que tengan pendiente. Si usted ve una recta que tiene una pendiente indefinida, tendrá que escribir la ecuación de memoria. El formato es x = x-coordenada del punto. Por ejemplo: Si nos dan una pendiente indefinida y el punto (-3, 5), la ecuación de la recta sería x = -3 ya que -3 es la coordenada x del punto dado.

Tarea: escriba la ecuación de la recta en la forma pendiente-intercepto usando la fórmula punto-pendiente.

1. m = 2; (3, -1) 6. m = -3/4; (2,4) 2. m = 3; (-1, 2) 7. m = -1; (3, 1) 3. m = -4; (2, 3) 8. m = ½; (6, 1) 4. m = -2; (-3, 1) 9. m = -1; (5, -2) 5. m = 0; (-2, 3) 10. Pendiente indefinida; (-2, -7)

E. Lección 5 – Escribiendo ecuaciones de rectas dados dos puntos En esta lección, combinaremos dos conceptos que ya hemos tratado – la fórmula de la pendiente y la fórmula punto-pendiente. En esta lección, escribiremos ecuaciones de rectas dados dos puntos. Ya que debemos saber la pendiente de la

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recta para sustituirla en la fórmula punto-pendiente, debemos encontrar eso primero y entonces podemos elegir cuál de los dos puntos queremos sustituir en la fórmula punto-pendiente.

Ejemplo: Escriba la ecuación de la recta dados los puntos (4, 5) y (2, 1).

Primero, debemos usar la fórmula de la pendiente, que es la razón del cambio de la vertical (resta de los valores de y) al cambio de la horizontal (resta en los valores de x).

m = 2415

−−

= 4 / 2

m = 2

Ahora que tenemos la pendiente (m = 2), entonces podemos usar la fórmula punto-pendiente para escribir la ecuación de la recta. Rrecuerde, el par ordenado (x0, y0) es el punto que usted conoce y usted sustituye las coordenadas de ese punto en lugar de x0, y0.

y - y0 = m (x - x0)

y - 1 = 2 (x - 2) [Una vez más, no importa el punto que usted elija siempre y cuando use la coordenada x, y del mismo paréntesis. Obtendríamos la misma ecuación de la recta usando el punto (4, 5).]

Resuelva la ecuación por y usando las técnicas para resolver ecuaciones.

y - 1 = 2x - 4 +1 +1 y = 2x - 3

Así que la ecuación de la recta es y = 2x - 3.

Recuerde, esto funciona para todas las ecuaciones excepto aquellas que tienen una pendiente indefinida. Debemos escribir esas como hicimos en la lección anterior.

Tarea: Escriba la ecuación de la recta en la forma pendiente-intercepto pasando por los puntos dados.

1. (-1, 2), (4, 7) 2. (1, 2), (4, 4) 3. (1, -7), (2, -1) 4. (0, -1), (-2, 3) 5. (0, 3), (-1, 0) 6. (0, -1), (4, 0)

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7. (3, 1), (5, 2) 8. (6, 4), (2, 1) 9. (-3, 5), (4, 2) 10. (0, 3), (3, 0)

F. Lección 6 – La Mejor Línea Recta

La mejor línea recta es la recta que cuando es dibujada en un diagrama de dispersión está tan cerca como sea posible de todos los puntos en el diagrama de dispersión. En otras palabras, la mejor línea recta divide los puntos en dos partes iguales o tan cerca a dos partes iguales como sea posible

Para encontrar la mejor línea recta, primero debe dibujar el diagrama de dispersión. Entonces, intente encontrar dos puntos que cuando estén conectados para formar una recta que divida al diagrama de dispersión en dos partes iguales. Una vez que la recta esté dibujada entonces podemos usar estos dos puntos para encontrar la pendiente, m, y usar la información que hemos aprendido en esta unidad para escribir la ecuación de la mejor línea recta.

Ejemplo: Haga el diagrama de los siguientes puntos y encuentre la ecuación de la mejor línea recta. Una vez que haya hecho esto, Calcule el valor de y dado que x es 6.

x Y -20 -10 -5 -1 0 1 5 10 20

0.75 2

2.25 2.65 2.8 3

3.25 4.75

5

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1st: Haga la gráfica de los puntos

2nd: Elija dos puntos por los que dibujar la mejor línea recta. (Si usted prueba este ejemplo su gráfica debería verse parecida a la de arriba pero puede no coincidir exactamente.) 3rd: Encuentre la ecuación de la recta. Use y = mx + b y dos puntos en la mejor línea recta para hacer esto. Para este ejemplo se escogieron (20, 5) y (-20, 0.75).

Primero, resuelva por m. m = yx

= 0.75 520 20

−− −

= 4.2540

−−

= 0.10625

Segundo, usando m y uno de los puntos encuentre b. (Este ejemplo usa (20, 5) pero usted podría usar el segundo punto.

y = mx + b Substituya (20, 5) por x, y y 0.10625 por m 5 = 0.10625 × 20 + b Haga la multiplicación 5 = 2.125 + b Obtenga b por si sólo (restando 2.125 de cada lado) - 2.125 - 2.125 2.875 = b Tercero, substituya b y m en y = mx +b. y = 0.10625x + 2.875 - ¡esta es la mejor línea recta! Por último, substituya 6 por x en la mejor línea recta y resuelva por x en este ejemplo. y = 0.10625 × 6 + 2.875 Multiplique y = 0.6375 + 2.875 Sume y = 3.5125 Por lo tanto, su predicción de y es 3.5125 cuando x sea 6.

Tarea: Haga la gráfica del siguiente grupo de puntos. Luego, elija dos puntos para dibujar la mejor línea recta para que la recta esté lo más cerca posible de todos los puntos. Luego encuentre la ecuación de la recta usando la información que ha aprendido en esta unidad.

Año de nacimiento

Esperanza de vida (años)

1900 47.3

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1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990

50.0 54.1 59.7 62.9 68.2 69.7 70.8 73.7 75.4

Una vez que haya escrito la ecuación de la mejor línea recta, pronostique la esperaza de vida de un niño nacido e el año 2000. ¿Qué ocurre con un niño nacido en el año 2010?

V. Unidad 5 – Polinomios

El estudiante aprenderá a simplificar expresiones con polinomios y expresiones con factor de polinomios.

• El estudiante sumará y restará expresiones con polinomios. • El estudiante multiplicará expresiones con monomios. • El estudiante simplificará expresiones usando la regla de la potencia de un producto. • El estudiante multiplicará un polinomio por un monomio. • El estudiante multiplicará dos binomios. • El estudiante dividirá un polinomio por un monomio. • El estudiante factorizará un monomio con término común. • El estudiante factorizará una diferencia de cuadrados. • El estudiante factorizará polinomios en la forma ax2 + bx + c siendo a > 1. • El estudiante resolverá ecuaciones cuadradas usando factorización o la fórmula

cuadrática. A. Lección 1 – Suma y Resta de Polinomios.

Para restar o sumar polinomios simplemente combine términos semejantes. Pista: Use el formato de columna para ayudar a mantener los téminos semejantes ¡en fila! Ejemplo 1: (4x2y – 2xy3) + (3xy3 – x2y)

1: Use el formato de columna 4x2y – 2xy3

+ (-x2y + 3xy3) (Recuerde mantener los términos semejantes ¡en fila juntos!) 2: Sume/reste los términos semejantes

4x2y + -x2y = 3x2y and –2xy3 + 3xy3 = xy3

Por lo tanto, 4x2y – 2xy3

+ (-x2y + 3xy3) 3x2y + xy3

Ejemplo 2: (3a2 + 2a – 4) – (-2a2 + 1)

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1: Use el formato de columna 3a2 + 2a – 4

- (-2a2 + 1) (Recuerde mantener los términos semejantes ¡en fila juntos!) 2: Distribuya el signo negativo (resta) a todos los números que están siendo restados.

3a2 + 2a – 4

+ (2a2 – 1) 3: Ssume/reste los términos semejantes

3a2 + 2a2 = 5a2, 2a + nada = 2a, -4 + -1 = -5

Por lo tanto, 3a2 + 2a – 4

+ (2a2 – 1) 5a2 + 2a – 5

Tarea: Sume y reste los siguientes polinomios.

1. (2a + 7a b + b ) + (a + 7b ) 2. (6b + 4b + 1) - (8 - b + 2b) 3. (x - 6x - 7) - (-3x - 2x) 4. (6r t + 5rt ) + (9rt - 9r t) 5. (-x + 6x + 5) - (6x - 2x) 6. (c d + 5) + (-8c d + 8) 7. (y + 3y + 2) + (-7y - 9) 8. (4a - 9b ) - (5a - 12ab + 9b ) 9. (3x yz + 2xy z ) - (-2xy z - 3x yz ) 10. (9x + 6xy + y ) + (x - y )

B. Lección 2 – Multiplición de Polinomios

Cuando multiplique monomios por monomios necesitará hacer multiplicaciones simples y usar la regla del producto para exponentes. La regla del producto para exponentes es: xm × xn = xm+n Recuerde, cuando no vea un exponente se sobreentiende que es 1. Ejemplo 1: Multiplique los siguientes monomios. (6a2)(9a4)

(6a2)(9a4) = (6)(9)(a2 × a4) = 54a2+4

54a6 Ejemplo 2: Multiplique los siguientes monomios. (4x2y)(5xy3)(2xy2)

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(4x2y)(5xy3)(2xy2) = (4 × 5 × 2)(x2 × x × x)(y × y3 × y2) = 40x2+1+1y1+3+2 = 40x4y6

Tarea: Multiplique los siguientes polinomios.

1. a3 × a4 2. (3x2y3)(-5x2y) 3. 7ab3(-2a2b)(3ab) 4. 2m4(-3m33n2)(-8m) 5. x3 × x6 6. n10 × n × n3 7. (4x3)(3x4) 8. (3cd4)(-2c2)(4cd2) 9. (-a2b)(6ab2) 10. (5x4)(3x2)

C. Lección 3 – La regla de la potencia de un producto Además de la regla de la potencia de un producto por exponentes hay dos reglas más que usted necesita saber.

Regla de la potencia de un producto: (xy)n = xnyn

Regla de la potencia por exponentes: (xm)n = xmn

Pista: x0 = 1 (cualquier base elevada a 0 es 1)

Ejemplo 1: Complete (2xy3)4

(2xy3)4 = (2)4(x)4(y3)4 = (2 × 2 × 2 × 2)(x1× 4)(y3× 4) = 16x4y12

Ejemplo 2: Complete (2x)2(4x2)3 = (2)2(x)2(4)3(x2)3 = (2 × 2)(x1× 2)(4 × 4 × 4)(x2× 3) = 4x264y6 = (4)(64)x2y6 = 256x2y6 Tarea: Complete los siguientes problemas.

1. (-3x2y4) 3

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2. (4x2y) 0(3) 3. (2x3) 3(3x2) 4. 4x(3x2) 4

5. (-6xy) 4

6. (4x4y) 3

7. 4p(-3p) 3

8. (xy) 2(x2) 3

9. (2x) 2(-3x2)(4x3) 2 10. (3x2y) 3

D. Lección 4 – Multiplicando un Polinomio por un Monomio

Cuando se multiplica un polinomio por un monomio usted necesita distribuir el monomio a cada parte del polinomio y luego usar las reglas que ha aprendido hasta ahora.

Ejemplo: Multiplique el siguiente polinomio por el monomio. -3a2(2a3 – 4a) -3a2(2a3 – 4a) = (-3a2)(2a3) – (-3a2)(4a) = (-6a5) – (-12a3) = -6a5 + 12a3

Tarea: Multiplique el siguiente polinomio por un monomio.

1. 3(2x + 3y) 2. a4(3a3 + 4) 3. 12xy(4xy + 6x) 4. (5x4 - 7y3 + 6x2y)(-3xy) 5. 4a7(13a2 - 7) 6. (y2 + y - 2)y2 7. -2b(3 - 4b) 8. -2x2(x2 - 4x + 5) 9. 4x3(x2 - 3x - 6) 10. 5x2(x2 + x - 3)

E. Lección 5 – Multiplición de Binomios

Aprenda cómo multiplicar binomios usando el método FOIL (por su siglas en Inglés). (¡Esto funcionará sólo para binomios!) FOIL significa: F – Términos primeros , O – Términos de fuera, I – Términos de dentro, L – Últimos términos. Ejemplo 1: Multiplique (2x + 5)(3x – 2)

(2x + 5)(3x – 2) = F O I L (2x)(3x) + (2x)(-2) + (5)(3x) + (5)(-2) = Use el método FOIL 6x2 + (-4x) + (15x) + (-10) = Combine los términos semejantes

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6x2 + (-4x + 15x) – 10 = 6x2 + 11x – 10 Ejemplo 2: Multiplique (-4x + 2)2 (-4x + 2)2 =

(-4x + 2)(-4x + 2) = F O I L (-4x)(-4x) + (-4x)(2) + (2)(-4x) + (2)(2) = Use el método FOIL 16x2 + (-8x) + (-8x) + (4) = Combine los términos semejantes 16x2 + (-8x + -8x) + 4 = 16x2 + -16x + 4 = 16x2 – 16x + 4 Tarea: Multiplique los siguientes binomios. Compare and contraste sus respuestas por #1-4 y luego compare y contraste sus respuestas por #5-8.

1. (x + 3)(x + 2) 2. (x - 3)(x -2) 3. (x - 2)(x + 3) 4. (x - 3)(x + 2) 5. (2x + 1)(3x - 4) 6. (2x + 1)(3x + 4) 7. (2x - 1)(3x - 4) 8. (2x -1)(3x + 4) 9. (3x - 5)(x + 2) 10. (2x + 11)(3x - 5)

11. (x - 4)2

12. (-3x + 1) 2 13. (2x + 1) 2 14. (5 - x) 2

F. Lección 6 – Division de polinomios

Cuando se dividen polinomios, use la regla del cociente para exponentes y divida los términos semejantes.

La regla del cociente para exponentes es: m

n

xx

= m nx −

Ejemplo 1: Divida 2 3

2

14x yz21xy

2 3

2

14x yz21xy

=

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( )2

32

1421

x y zx y

=

( )( )( )2 1 1 2 323

x y z− −

=

1 1 323

x y z−

= (Pista: si usted tiene un exponente negativo en el

numerador coloque el término en el denominador con un exponente positivo)

32

3xzy

Ejemplo 2: Divida ( )2 24 6

2a b b

ab+

( )2 24 6

2a b b

ab+

=

2 24 6

2 2a b bab ab

+

=

2 24 6 1

2 2a b ba b a b

+

=

( )( ) ( )( )2 1 1 1 0 1 2 12 3a b a b− − − −+ =

1 0 1 12 3a b a b−+ =

32 baa

+

Tarea: Divida los siguientes polinomios.

1. 6x2/3 2. 18x2y5/2xy4 3. 8x2z/12xy 4. (5x4 - 10x3)/5x 5. (18x5 + 9x4 + 27x3)/9x2 6. (60x4 - 30x3 + 24x2 + 16)/10xy 7. (x3 + 5x2 + 7x + 15)/x 8. (16x4 + 20x2 + 8x)/4x 9. (18y3 + 6y2 + 3y)/3y 10. (2x2y2 + 4xy2 + 6)/(.5)xy2

G. Lección 7 – Factorización

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Factorizar un polinomio es lo contrario de multiplicar un polinomio. Estaremos fijándonos en tres casos de factorización. Estos casos son factorizar monomios comunes, factorizar la diferencia de dos cuadrados, y factorizar trinomios. Caso 1: Monomios comunes Este es el tipo más simple de factorización. Todo lo que está haciendo es factorizar sacando el factor común de cada término. Ejemplo 1: Factorice 4x2 – 16x 4x2 – 16x = Encuentre el factor común de los términos 4x2 , y 16x son los términos

Ambos contienen un factor de 4x (ambos factores pueden ser divididos por 4x). Así que, 4x2 – 16x = 4x(x – 4)

Ejemplo 2: Factorice xy – 2x2y3 + 12x3y xy – 2x2y3 + 12x3y = Encuentre el factor común de los términos xy, 2x2y3 , y 12x3y son los términos

Cada uno contiene un factor de xy (todos los factores pueden ser divididos por xy). Así que, xy – 2x2y3 + 12x3y = xy(1 – 2xy2 + 12x2) Caso 2: Diferencia de dos cuadrados Siempre en la forma de 2 2a b− [Recuerde la fórmula ( )( ) 2 2a b a b a b+ − = − ]

¡Esto no funciona para 2 2a b+ ! Ejemplo 1: Factorice a2 – 16 a2 – 16 = Observe que a2 y 16 son los dos cuadrados perfectos a2 = a × a, y 16 = 4 × 4 = 42 Ahora, use la fórmula de arriba para resolver a2 – 16 = (a + 4)(a – 4) Ejemplo 2: Factorice 36x2 – 9y2 36x2 – 9y2 = Observe que 36x2 , y 9y2 son ambos cuadrados perfectos 36x2 = 6x × 6x = (6x)2 , y 9y2 = 3y × 3y = (3y)2

Ahora, use la fórmula de arriba para resolver 36x2 – 9y2 = (6x + 3y)(6x – 3y) Caso 3: Trinomios Un trinomio cuadrático está escrito en la forma de 2ax bx c+ + , donde a, b, y c son números reales. Estudiaremos dos casos. Caso 1: a = 1 Para factorizar el cuadrático cuando a = 1 necesitará encontrar números que:

1. Multiplicados le den c

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2. Sumados le den b Ejemplo 1: x2 + 6x + 8

1. necesitamos obtener el término principal del primer término. Como es x2, El primer término debe ser x. Así que , empezamos con:

(x )(x ) 2. encontramos los productos del último término, +8.

(Encuentre todas las maneras posibles de obtener +8) Pueden ser: +8, y +1

+4, y +2 -8, y –1 -4, y –2

Esto nos muestra que las respuestas posibles a este problema son: (x + 8)(x + 1) (x + 4)(x + 2) (x – 8)(x – 1) (x – 4)(x – 2)

3. Necesitamos comprobar cada respuesta posible de arriba para ver cuál le dará el término central correcto, 6x. (Esto usa la parte IL del método FOIL para multiplicar binomios)

(x + 8)(x + 1) nos da 9x (de 8x + 1x) (x + 4)(x + 2) nos da 6x (de 4x + 2x) ** (x – 8)(x – 1) nos da –9x (de –8x + -1x) (x – 4)(x – 2) nos da –6x (de –4x + -2x)

Ahora sabemos que la respuesta es: x2 + 6x + 8 = (x + 4)(x + 2)

Ejemplo 2: x2 + x - 12 1. Necesitamos obtener el término central del primer término. Como es

x2, El primer término debe ser x. Así que, empezamos con: (x )(x ) 2. encontramos los productos del último término, -12.

(Encuentre todas las maneras posibles de obtener -12) Pueden ser: +12 and -1

-12 and +1 +4 and -3 -4 and +3

Esto nos muestra que las respuestas posibles a este problema son: (x + 12)(x - 1) (x - 12)(x + 1) (x + 4)(x – 3) (x - 4)(x + 3)

3. Necesitamos comprobar cada respuesta posible de arriba para ver cuál le dará el término central correcto, x. (Esto usa la forma IL del método FOIL para multiplicar binomios)

(x + 12)(x - 1) nos da 11x (from 12x + 1x) (x - 12)(x + 1) nos da 6x (from -12x + 1x)

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(x + 4)(x – 3) nos da 1x (from 4x – 3x) (x - 4)(x + 3) nos da –1x (from –4x + 3x)

Ahora sabemos que la respuesta es: x2 + x – 12 = (x + 4)(x – 3)

Caso 2: a ≠ 1 Para factorizar la ecuación cuadrática cuando a ≠ 1 hay dos métodos. Uno es el

método de calcular y comprobar y el otro es factorizar agrupando. Método 1 (Calcular y comprobar) Ejemplo:

Dados 4x2 – 8x + 3 1. encuentre los productos del primer término, 4x2 (Encuentre todas las maneras posibles de obtener 4x2) Pueden ser: +4x , y +1x

+2x, y +2x 2. encuentre los productos del último término, 3 (Encuentre todas las maneras posibles de obtener +3) Pueden ser: +3, y +1

-3, y -1 Esto nos muestra que las respuestas posibles a este problema son:

(4x + 3)(x + 1) (4x - 3)(x - 1) (2x + 3)(2x + 1) (2x - 3)(2x - 1)

3. Necesita comprobar cada respuesta posible de arriba para ver cuál le dará el término central correcto, -8x. (Esto usa la parte IL del método FOIL para multiplicar binomios) Esto consume bastante tiempo, pero una vez que aprenda el método usted generalmente podrá hacer un buen cálculo y obtener la respuesta en el primer intento o en el segundo.

(4x + 3)(x + 1) nos da 7x (from 3x + 4x) (4x - 3)(x - 1) nos da -7x (from -3x + -4x) (2x + 3)(2x + 1) nos da 8x (from 6x + 2x) (2x - 3)(2x - 1) nos da –8x (from –6x + -2x) **

Ahora sabemos que la respuesta es: 4x2 – 8x + 3 = (2x - 3)(2x – 1)

Método 2 (factorizar agrupando) Ejemplo:

Dados 5x2 + 16x + 3 1. encuentre el producto ac: (5)(3) = 15 2. piense en factores de 15 que sumen hasta 16, b: 1 y 15 3. escriba el término 16x como la suma de 1x , y 15x: 5x2 + 1x + 15x + 3 4. agrupe los dos pares de términos: (5x2 + 1x) + (15x + 3) 5. factorice sacando los factores comunes de cada grupo:

x(5x + 1) + 3(5x + 1) 6. ahora tenemos la misma ecuación dentro del paréntesis, (5x + 1), así que podemos factorizar y obtener: (5x + 1)(x + 3) Así que, 5x2 + 16x + 3 = (5x + 1)(x + 3)

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Tarea: Factorice los siguientes monomios comunes.

1. 2x2 - 10x 2. 5x - 20x2 3. 8x - 16y 4. c4d2 + c2d3 5. 4a - 8b + 16c 6. 14u2 + 35u4

7. 15x2y2 + 225x3y3 + 15x4y4

8. 7c3 - 28c2d + 35cd3 9. g3h3 + g2h2 + gh 10. ab + 5a2b2 - 12a2b3

Tarea: Factorice las siguientes diferencia de cuadrados.

1. x2 - 81 2. 16x2 - 1 3. 9a2 - 4b2

4. 169x4 - 16y2

5. 4g2 - 49h2

6. 144f4 - b2

7. 9 - 49x2

8. 25 - x2

9. x2y2 - 16z2

10. x6y4 - 16y2

Tarea: Factorice los siguientes trinomios.

1. x2 + 8x - 9 2. x2 + 5x - 24 3. x2 - x - 20 4. x2 - 5x - 36 5. x2 - 8x + 16 6. x2 + 7x + 12 7. x2 -3x + 2 8. 3x2 + 19x + 28 9. 2x2 - 7x + 5 10. 9x2 - 6x + 1

H. Lección 8 – Resolviendo Ecuaciones Cuadráticas

Para resolver ecuaciones cuadráticas, es de gran ayuda tenerlas en la forma general, 2 0ax bx c+ + = . Si una ecuación no está en está forma, use las técnicas para resolver ecuaciones

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de capítulos previos para ponerlas en este formato. Usted puede resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática o factorizando. Recuerde, si el trinomio no es igual a 0, primero debe conseguir que todos los términos del trinomio estén en el mismo lado del signo de igualdad. En la unidad previa, aprendió como resolver una ecuación cuadrática factorizando, pero cuando factorizar no es posible usted puede usar la fórmula cuadrática.

La fórmula cuadrática: encuentre x para 2 0ax bx c+ + = , 2 4

2b b acx

a− ± −

=

Ejemplo 1: Resuelva 5x2 - 7x – 4 = 5 5x2 - 7x – 4 = 5 Consiga que todos los términos estén en el mismo lado -5 -5

5x2 - 7x – 9 = 0 Use la fórmula cuadrática para resolver por x a = 5, b = -7, c = -9

( ) ( ) ( )( )( )

( )

27 7 4 5 92 5

x− − ± − − −

=

( )7 49 180

10x

± − −=

7 49 18010

x ± +=

7 22910

x ±=

7 22910

x += o 7 229

10x −

=

Ejemplo 2: Resuelva –x2 + 2x – 3 = 0

–x2 + 2x – 3 = 0 Use la fórmula cuadrática para resolver por x a = -1, b = 2, c = -3

( ) ( )( )( )

( )

22 2 4 1 32 1

x− ± − − −

=−

( )2 4 12

2x

− ± −=

2 82

x − ± −=

Esta ecuación no tiene solución porque el radical tiene un número negativo. Tarea: Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas. Si la ecuación no tiene solución, diga que no tiene solución.

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1. x2 + 3x = 8 2. x2 - 6x + 4 = 7 3. 5x2 + x - 8 = 6 4. x2 - 2x - 3 = 0 5. 6x2 + 3x + 2 = 0 6. -x2 + 4x = 0 7. 3x2 - x = 2 8. x2 + 10x + 34 = 9 9. -4x2 + 16x - 7 = 0

Clave de las respuestas para las tareas en Álgebra I: Unidad 1 Lección 1

1. 2, 0×2 2, 1×2 2, 2×2 2, 3×2 2, 4×2 2, n×2 2. 9.85, 9.85×1, 1.00, 1×9.85+1.00 = 10.85 9.85, 9.85×2, 1.00, 2×9.85+1.00 = 22.70 9.85, 9.85×3, 1.00, 3×9.85+1.00 = 30.55 9.85, 9.85×4, 1.00, 4×9.85+1.00 = 40.40 9.85, 9.85×p, 1.00, p×9.85+1.00

Lección 2

1. 15.50n 2. 2.50x 3. 0.34m 4. g + 5 5. Si h es el número de horas trabajadas, entonces 35 + 25h. 6. Si m es el número de minutos trabajados, entonces 16.95 + 0.35m. 7. Si h es el número total de horas, entonces 12 + 0.14(h-100).

Si h es el número de horas sobre 100, entonces 12 + 0.14 h. 8. Si h es el número de horas, entonces 20 + 5h. 9. Si m es le número de minutos, entonces 0.15m. 10. Si m es el número total de minutos, entonces 19.85 + 0.10 (m - 60).

Si m representa los minutos sobre 60, 19.85 + 0.10 m. Lección 3

1. 2 2. -17

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3. -4 4. -4 5. -81 6. -17 7. 0 8. 15 9. -5 10. 43 11. 32 12. -42 13. 24 14. -6 15. 5

Lección 3

1. -12 2. -6 3. -61 4. -6 5. -4 6. -62 7. -55 8. 5 9. 4 10. 2 11. -27 12. -26 13. 0 14. 26 15. -29 16. 41 17. -13 18. 124 19. -29 20. -4 21. 2 22. 0 23. 18 24. 27 25. 51 26. –22, si, porque usted escribió el cheque por más de lo que tenía en su cuenta.

Lección 4

1. -130

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2. -5 3. 6 4. 32 5. 6 6. -18 7. -13 8. -44 9. 52 10. -10 11. -11 12. 9 13. -68 14. 16 15. 56 16. -3 17. 25 18. 9 19. 56 20. 21

Lección 5

1. -48 2. 38 3. -97 4. 14 5. -13 6. 3 7. -18 8. 25 9. 4 10. 11 11. 0.3 12. 54 13. 14 14. 15 15. 108 16. -48 17. 47 18. –30 19. 12 20. –16

Lección 6

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1. 2+x 2. y*3 3. n+5 4. 3g 5. (3+n)+2 6. 5(xy) 7. a+(b+c) 8. (xy)z 9. n 10. 0 11. n 12. 1 13. 2a+6 14. 5x+5y 15. 28+4x

Lección 7

1. 3 2. -12 3. -7 4. 16 5. -18 6. 3

Lección 8

1. 8x+9 2. 7+6u+9t 3. 14n+36 4. 37-7k 5. 11n+7w+2 6. 2x-3y 7. 13u-7 8. 2k+7 9. 4y-x 10. x-10 11. 4x-y-7 12. 6b-24 13. 39-19c 14. 2q+25 15. 3j 16. 2w-13r-2

Unidad 2 Lección 1

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1. x = 35 2. x = -60 3. x = -69 4. x = -38 5. x = -60 6. x = 35 7. x = -1 8. x = -25 9. x = -24 10. x = 12 11. x = 31 12. x = -8

Lección 1

1. y = -3 2. y = 105 3. x = -108 4. x = 99 5. x = 2 2/3 6. x = 63 7. x = 32 8. x = -20 9. x = -12 10. x = 36 11. x = -1 12. x = 5/16 13. x = -77 14. z = -3 15. f = -40 16. x = -8 17. x = -12 18. x = -1 19. x = -4 20. x = -12

Lección 2

1. x = -8 2. x = 65 3. x = 7 4. x = -9 5. x = -28 6. x = 7 7. x = 12 8. x = -4

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9. x = 32 10. x = 25 11. x = 7

Lección 3

1. x = -7 2. x = -7 3. x = 5 4. x = -8 5. x = -8 6. x = -6 7. x = -7 8. x = 3 9. x = 4 10. x = -2 11. x = 7 12. x = 2 13. x = -6 14. x = -4 15. x = -7

Lección 4

1. x = -7 2. x = -19 3. x = 2 4. x = -2 5. x = 5 6. x = -16 7. x = -6 8. x = -8 9. x = -4 10. x = -9 11. x = 3 12. x = 1 13. x = 3 14. x = -1

Lección 5

1. x = -22 2. x = 1/3 3. x = 6

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4. x = -2 5. x = -5 6. x = 5 7. x = 2 8. d = -1 9. x = -7 10. x = -18 11. x = 1 12. x = 10 13. x = -1/2 14. x = 5

Lección 6

1. 9x + 2.29 = 5.17, x = .32 2. 2w + 14 = 22, w = 4 3. 3p + 5.75 = 32.75, p = 9 4. 5l = 35, l = 7 5. 27d = 216, d = 8 6. 10h/2 = 25, h = 5 7. 24b = 312, b = 13

Lección 7

1. x = 7 o x = -2 2/3 2. x = 1 o x = -1 3. no solución 4. x = 2 o x = -1 5. no solución 6. x = 6 o x = -16 7. x = 4 o x = -5 8. x = 3 o x = -3

Lección 8

1. x > 300

2. x < 0

3. 42 < x < 69

4. x < 23

5. x > 3

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Lección 9

1. x < 11

2. x < -6

3. x > 6

4. x < 5

5. x > 3

6. x > -11

7. x > 5

8. x < 3

9. x < -8

10. x > 9

Unidad 3 Lección 1

#1-4

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Coordenadas para los puntos de arriba: #1 (-2, 4), #2 (3, 5), #3 (0, -2), #4 (5, -2).

#5-8

Coordenadas para los puntos de arriba: #5 (-2, -8), #6 (-4, 0), #7 (5, 6), #8 (0, 3).

#9-10

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Coordenadas para los puntos de arriba: #9 (-4, 4), #10 (3, 0).

Lección 2

1. (Horas) (costo)

2.

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Los puntos son lineales porque parecen estar en línea recta.

3.

4. El diagrama de dispersión no es lineal porque los puntos no forman una linea recta. 5. No

Lección 3

1.

2.

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3.

4.

5.

6.

Lección 4

1. 2/3 2. -1/2 3. 4 4. -3 5. 1 6. -2 7. -5/2 8. 3/7 9. 2/3 10. -3/2

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11. 2/5 12. 0 13. indefinido 14. -5 15. -3/2 16. 4/3

Lección 5

1. (0, -2); (1, 0) 2. (0, 1); (1/3, 0) 3. (0, -2); (4, 0) 4. (0, -2); (2/3, 0) 5. (0, 4); (-2, 0) 6. (0, 0); (0, 0)

Lección 6

1. y = (-3/2)x + 12 2. y = (-4/3)x + 6 3. y = (8/3)x - 4 4. y = (5/2)x + 10 5. y = (1/2)x + (5/4) 6. y = (3/2)x - (1/2) 7. y = -2x + 8 8. y = (-3/2)x + 5 9. y = (2/7)x - 3 10. y = (4/5)x + (12/5)

Lección 7

El primer grupo de ecuaciones pasan todas por el punto (0, 0) y suben de la izquierda de abajo a la derecha de arriba. A medida que el número de enfrente de x incrementa, La línea se pone más inclinada y a medida que el número de enfrente de x disminuye, la recta se hace más plana.

El segundo grupo de ecuaciones es el reflejo del primer grupo. Todas las ecuaciones pasan por el punto (0, 0) y caen de la izquierda de arriba a la derecha de abajo. Cuando nos fijamos en cómo el número de a la par de x afecta la pendiente de la recta, debemos fijarnos en el valor absoluto del número. A medida que el valor absoluto es más grande, la recta se hace más inclinada y a medida que el valor absoluto se hace más pequeño la recta se hace más plana.

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En el segundo grupo de ecuaciones, la pendiente de cada una de las primeras 4 ecuaciones es 1 pero cada recta cruza el eje y en un punto diferente. Por lo tanto probando que el número que se suma o se resta en la ecuación es el intercepto de y. El intercepto de y para la primera ecuación es (0, 1), para la segunda ecuación es (0, 2), para la tercera ecuación es (0, 3) y para la cuarta ecuación es (0, 0). El siguiente grupo de ecuaciones se ve parecido al primer grupo, pero están más inclinadas. Las últimas dos ecuaciones son una un reflejo de la otra y forman un patrón de X en la gráfica.

Lección 8

1. y = 4x + 50

No, porque los productos para este proyecto serían $390 y usted sólo tiene $350 para gastar.

2. P = beneficio

n = # de camisas

P = 12n - (4n +50)

O,

P = 8n - 50

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3.

La recta en #2 ha sido trasladada a lo largo del eje x, lo que significa que el fabricante de camisetas no empieza a tener beneficios hasta que venda por lo menos 7 camisetas. La pendiente del #1 es 4 y la pendiente del #2 es 8. #2 tiene la pendiente más inclinada porque el fabricante de camisetas gana $8 más por camiseta que el costo de hacer la camiseta cada vez que vende una. Como el costo del equipo de la sopladora de aire comprimido es el costo de sólo una vez para todo el proyecto, restamos eso del beneficio hecho en cada camiseta para obtener el beneficio total del proyecto. Una vez que el fabricante de camisetas haya ganado suficiente dinero para cubrir el costo de las camisetas y de los materiales del equipo de la sopladora, los beneficios empiezan a crecer rápidamente.

Lección 9

1.

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2.

3.

4.

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5.

6.

Lección 10

1.

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La gráfica debería ser sombreada debajo de la recta.

2.

La gráfica debería ser sombreada a la izquierda de la recta.

3.

La gráfica debería ser sombreada debajo la recta.

4.

La gráfica debería ser sombreada por encima de la recta.

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5.

La gráfica debería ser sombreada a la derecha de la recta.

6.

La gráfica debería ser sombreada por arriba de la recta.

7.

La gráfica debería ser sombreada a la derecha de la recta.

Lección 11

1.

Intersección: (4, 3)

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2.

Intersección: (4.67, -3.67)

3.

Intersección: (0, 1)

4.

Intersección: (5, -1)

5.

Intersección: (3, 2)

6.

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Intersección: (2, -4)

Lección 12

#1-3

#4-6

#7-8

#9-10

#11-12

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#13-14

Lección 13

1. x = 7 o x = -7 2. x = 11 o x = -11 3. x = 3 o x = -3 4. x = 10 o x = -10 5. x = 2 o x = -2 6. x = 4 o x = -4 7. x = 8 o x = -8 8. x = 6 o x = -6 9. x = 1/2 o x = -1/2 10. x = 3 o x = - 3 11. x = 2 o x = -2 12. no solución 13. x = 5 o x = - 5 14. x = 2 o x = -2 15. x = 39 o x = - 39

Unidad 4

Lección 1

1. 2/3 2. -3/5 3. -7/4 4. indefinido 5. -25/18 6. -32/15 7. 0 8. 1 9. indefinido

Lección 2

1. y = -4/5 x - 2 2. y = 4/3 x 3. y = 1/2 x - 3

Lección 3

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1. y = 2x - 3 2. y = -2x + 17 3. y = 4 4. y = x + 3 5. y = 4x - 11 6. y = -3x + 31 7. y = 1/3 x + 8 8. y = -2x 9. x = 1 10. y = 3

Lección 4

1. y = 2x - 7 2. y = 3x + 5 3. y = -4x + 11 4. y = -2x - 5 5. y = 3 6. y = -3/4 x + 5 1/2 7. y = -x + 4 8. y = 1/2 x - 2 9. y = -x + 3 10. x = -2

Lección 5

1. y = x + 3 2. y = 2/3 x + 1 1/3 3. y = 6x - 13 4. y = -2x - 1 5. y = 3x + 3 6. y = 1/4 x - 1 7. y = 1/2 x - 1/2 8. y = 3/4 x - 1/2 9. y = -3/7 x + 3 5/7 10. y = -x + 3

Lección 6

y = 2.966x + 1757.6 Un niño nacido en el año 2000 tendría una esperanza de vida de aproximadamente 81.73

años. Un niño nacido en el año 2010 tendría una esperanza de vida de aproximadamente 85.10

años.

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Unidad 5

Lección 1

1. 3a3 + 7a2b + 8b3 2. 7b2 + 2b - 7 3. 4x2 - 4x - 7 4. -3r2t + 14rt2 5. -7x3 + 8x + 5 6. -7c2d2 + 13 7. y2 - 4y - 7 8. -a2 - 18b2 + 12ab 9. 6yz2x2 + 4xy2z2 10. 10x4 + 6xy

Lección 2

1. a7 2. -15x4y4 3. -42a4b5 4. 144m8n2 5. x9 6. n14 7. 12x7 8. -24c4d6 9. -6a3b3 10. 15x6

Lección 3

1. -27x6y12 2. 3 3. 24x11 4. 324x9 5. 1296xy4 6. 64x12y3 7. -108p4 8. y2x8 9. -192x10 10. 27x6y3

Lección 4

1. 6x + 9y 2. 3a7 + 4a4 3. 72x2y + 48x2y2

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4. -15x5y - 18x3y2 + 21xy4 5. 52a9 - 28a7 6. y4 + y3 - 2y2 7. 8b2 - 6b 8. -2x4 + 8x3 - 10x2 9. 4x5 - 12y4 - 24x3 10. 5x4 + 5x3 - 15x2

Lección 5

1. x2 + 5x + 6 2. x2 - 5x + 6 3. x2 + x - 6 4. x2 - x - 6 5. 6x2 - 5x - 4 6. 6x2 + 11x + 4 7. 6x2 - 11x + 4 8. 6x2 + 5x - 4 9. 3x2 + x - 10 10. 6x2 + 23x - 55 11. x2 - 8x + 16 12. 9x2 - 6x + 1 13. 4x2 +4x + 1 14. x2 - 10x + 25

Lección 6

1. 2x2 2. 9xy 3. 2xz/3y 4. x3 - 2x2 5. 2x3 + x2 + 3x 6. (6x3/y) - (3x2/y) + (12x/(5y)) + (8/(5xy)) 7. x2 + 5x + 15/x + 7 8. 4x3 + 5x + 2 9. 6y2 + 2y + 1 10. 4x + 8 + 12/(xy2)

Lección 7

1. 2x(x - 5) 2. 5x(1 - 4x) 3. 8(x - 2y) 4. c2d2(c2 + d) 5. 4(a - 2b + 4c) 6. 7u2(2 + 5u2)

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7. 15x2y2(1 + 15xy + x2y2) 8. 7c(c2 - 4cd + 5d3) 9. gh(g2h2 + gh + 1) 10. ab(1 - 5ab - 12ab2)

1. (x - 9)(x + 9) 2. (4x - 1)(4x + 1) 3. (3a - 2b)(3a + 2b) 4. (13x2 - 4y)(13x2 + 4y) 5. (2g - 7h)(2g + 7h) 6. -(b - 12f 2)(b + 12f2) 7. -(7x - 3)(7x + 3) 8. -(x - 5)(x + 5) 9. (xy - 4z)(xy + 4z) 10. (x3y - 4)(x3y + 4)y2

1. (x -1)(x + 9) 2. (x - 3)(x + 8) 3. (x - 5)(x + 4) 4. (x - 9) (x + 4) 5. (x - 4)2 6. (x + 3)(x + 4) 7. (x - 2)(x - 1) 8. (x + 4)(3x + 7) 9. (x - 1)(2x - 5) 10. (3x - 1)2

Lección 8

1. x = ( 41 3)2

− o x = ( 41 3)2

− +

2. x = 2 3 3+ o x = 2 3 3− +

3. x = ( 281 1)10

− o x = ( 281 1)10

− +

4. x = -1 o x = 3 5. no solución 6. x = 0 o x = 4

7. x = 1 o x = 23

8. x = -5

9. x = 12

o x = 72