Download - Algebra Cap3
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CAPTULO 3 DESIGUALDADES E INECUACIONES
Temas:
Postulado de orden de los nmeros reales. Teoremas de las desigualdades y sus propiedades Intervalos
Inecuaciones lineales
Inecuaciones Cuadrticas Inecuaciones Racionales de grado superior
Inecuaciones con 2 variables:
Grafica de una inecuacin lineal Inecuaciones lineales simultneas Grafica de una inecuacin cuadrtica Aplicaciones y problemas de planteo
Objetivos: 1) Determinar el conjunto solucin de las inecuaciones en general; es decir
lineales, racionales, cuadrticas, etc. y todas aquellas de grado superior que sean factorizables.
2) Representar los intervalos como subconjunto de los nmeros reales.
3) Resolver problemas que den lugar en inecuaciones con una variable con o sin valor absoluto.
4) Interpretar grficamente la solucin de las inecuaciones.
5) Aplicar adecuadamente a problemas de planteo que den lugar a inecuaciones o sistemas de una o dos variables.
-
2
Postulados De Orden
1) aO; a:#= O
8) Si a>O ---7 1/a >O
9) Si a
-
L . .
Solucin de una desigualdad
La solucin en desigualdades no son nicamente puntos o varios puntos como ocurre en las ecuaciones sino pedacitos de recta que se llama intervalos.
Los intervalos son conjuntos de nmeros reales que tienen 2 extremos a y b y que en ciertas ocasiones tambin dichos extremos forman parte de los intervalos.
Clases de intervalos
l. Abiertos Finitos 2. Cerrados 3. Semiabierto
{1. Abiertos y cerrados por la izquierda.
Infinitos 2. Abiertos y cerrados por la derecha. 3. Conjunto de numeros Reales.
INTERVALOS FINITOS:
1. Intervalos Abiertos.- Son aquellos conjuntos formados por nmeros reales excepto los extremos a y b.
a.
b.
Representacin: Existe dos formas la cuales son: Geomtricamente:
Analticamente: (a, b)= {x/a
-
b.
Analticamente: [a, b]= {x/a:5x:5b}
t Desigualdad no estricta
3. Intervalos semiabiertos:
> X
a. Semiabierto por la izquierda.- Son aquellos conjuntos formados por todos los nmeros reales entre a y b excepto a.
Geomtricamente:
a. o > a b X
b. >
X
Analticamente:
(a,b] = {x/a a b X b.
> X
Analticamente:
[a,b) = {x/a :5 x
-
. ' ..
INTERVALOS INFINITOS:
1. Abiertos por la izquierda
(a,+ oo)= {x/x >a}
o ) > a X
2. Cerrados por la Izquierda
[a,+ oo)= {x/x ;::::a}
a b >> X 3. Abiertos por la derecha
(-oo, b)= {x/x
5. Conjunto de los nmeros reales (-oo,+ oo)= R
o X
Ejemplos: 1) Represente grficamente los siguientes intervalos cerrados [-3, 7]
-3 7 > X
-
6
2) (3, 5]
o o 3 5
3) Determine los elementos del siguiente conjunto: 1. A={x/-3 X
> X
> X
3. Encontrar los elementos del conjunto A={x/3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 X
-
.~ !
. .
4. Encontrar los elementos del conjunto B={x/-3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 X
6) Dados los siguientes conjuntos A{x/-S:s;x < 4} y B= {x/-2
-5 -2 o 4 7 X
[-5, 7] 2. AnB
r W}7 j > -5 -2 o 4 7 X
(-2,4] 3. A'U 8
12/vb/; 771 -s -2 O 4 1- X
-
-5 -2 o 4 7 X
(-co, SJ U (-2, +e.o)
4. A- B
o !ZCI ! 1 > -5 -2 o 4 7 X
[-5, -2)
5. A'- B'
A' //I ~ /; 1
-5 -2 o 4 7 X
1 1
71/J V/2 ) f? 1 -5 -2 o 4 7 X
[4,7]
6. 8-A
r r ia > -5 -2 o 4 7 X
7. [4, 7]
-
7) Si x E [2,4] ~ 2x+3 a que intervalo pertenece: ~
Si X E [2,4] :. 2
-
110
Propiedades:
1. Si a >O ~ lxl < a ~ -a < x < a
~~----o~------..... 1--------co-~~--a O a
Intervalo (-a, a) 2. Si a >O ~ lxl 5 a ~ -a 5 x 5 a
o ' -a a Intervalo [-a, a]
3. Si a >O ~ lxl > a ~ x > a v x < -a
-------c:..:;9r-~~~~1~~~---i9,_. ____ _ -a O a
Intervalo (-co, -a) v (a, +co)
4. Si a >O ~ lxl 2:: a ~ x 2:: a v x 5 - a
o -a a Intervalo (-co, -a] v (a, +co)
s. P = lxl , Si X E: R
6. lx.yl = .jx2.y2 = o.yz = lxl . lyl; donde x, y e: R El mdulo de un producto de 2 nmeros reales siempre es igual al
producto de sus mdulos.
Ejemplo:
l(x - 5) (x+4 )1 = lx-51 lx+41
-
, .
7 1~1 = .21 Y IYI El mdulo del cociente de dos nmeros reales, es igual al cociente de sus mdulos.
8. lx + yl ::; lxl + IYI -7 Desigualdad del tringulo.
lx+yl
9. lxl= lx + y-yl = l(x-y) +y 1 :. lxl :5 lx - yl + lyl -7 lxl- lyl :5 lx-yl 10. lxl= lx +y- yl = l(x+ y)+ (-y) 1 :. lxl ::; lx + yl + 1-yl -7 como 1-yl siempre es positivo, entonces reemplazamos por fy.f ...
Luego: lxl :5 lx + yl + lyl -7 lxl - lyl :5 lx + yl 11. De 8. Y 10.
lxl - lyl ::; lx+ yl y lx+ yl ::; lxl + lyl
Entonces obtenemos: lxl - lyl ::; lx+ yl ::; lxl + lyl, la cual lxl - lyl ::; lxl + lyl
Si en una desigualdad como a
-
12
Si a < b a, b E R
l l F(x) G(x)
F(x) < G(x) INECUACIONES:
Inecuaciones Lineales: Si F(x) - G(x) =ax + b
1) F (x) - G(x) < O ) ax+ b< o 2) F(x) - G(x) < o --) ax + b< O 3) F(x) - G(x) > O ) ax+ b> O 4) F(x) - G(x) ;;::: O --) ax+ b2: O
Inecuaciones Cuadrticas: Si F(x) - G(x) = ax2 + b x +e
Inecuaciones Cuadrticas
Inecuaciones de Grado superior:
{ax2 + ax 2 + ax 2 + ax2 +
bx + e < O bx + e ~ O bx + e > O bx + e 2: O
a, b E R
XE R
a, b, e E R
Si F(x) - G(x) = aox" + a1x"-1 + a2x-2 ... .. ...... ... ... + 8n-1X + 8n
8 E R ; i= o, 1,. .... n ; n>2
Si el polinomio se puede factorar, se tendr:
1. 2. 3. 4 .
(x - a)(x - b)(x- e) ... .. (x - k) < O (x - a) (x - b) (x - e) ..... (x - k) ~ O 1 (x - a) ( x - b) ( x - e) ..... ( x - k) > O (x -a)(x-b)(x-c) ..... (x - k) 2: 0
necuaciones de grado superior
-
Inecuaciones Racionales:
F(x) < F(x) 1
G(x) R(x)
F(x) < F(x) 2
G(x) - R(x)
F(x) > F(x) 3
G(x) R(x)
F(x) > F(x) 4
G(x) - R(x)
G(x) *O
R(x) *O
Inecuaciones Irracionales:
1. n_j F(x) < O
2. n_J F(x) > O
3. n_j F(x) ~O
4. n_J F (X) '?::. o
Ejercicios: Determinar todos los valores de x que satisfagan las siguientes inecuaciones; luego grafique y obtenga el o los intervalos solucin: 1. -5 < 2x - 3 < 5 , L j ....... ,, -.
Solucin: ! - - . - .
1era Forma: Se resuelve dejando la variable x en la mitad de la desigualdad continua. -5 < 2x - 3 < 5
Grfico:
-5 +3 < 2x - ~ + ~ < 5 + 3 -2 < 2x < 8
Multiplico por el recproco (~) 2
-1
-
14
Comprobacin: La comprobacin se la debe efectuar en la inecuacin original o dada, como se indica a continuacin.
-5 < 2x - 3 < 5 En esta desigualdad reemplazamos los siguientes valores:
x=-2; Al ser reemplazada debe darnos como valor de verdad Falso
-7 -5 < 2(-2) - 3 < 5; y de igual modo para el resto de valores de la comprobacin:
x=-1 - -> Falso -7 -5 < 2(-1) - 3 < 5 -->~ -5""' - 5
)
Verdadero-7 -5 < 2(3) - 3 < 5 > - 5 - 5 < 5 < 5
----+) FalS0 -7 -5 < 2(5) - 3 < 5 --)~ -5< 7 -2
X> -1
Grfico 1:
---0---~1---1 o
S1 = (-1, co) Solucin Total = ST = S1 n S2
) ST= (-1,4)
-1 o ~ ( o
2) 2x- 3 < 5 2x < 5+ 3
x
-
Ejemplos: Encuentre todos los nmeros reales que satisfagan la siguiente ecuacin y las siguientes desigualdades
1) 12x + 51 = -4 lxl = {x ""'x ~ O X ~X<
El mdulo nunca es negativo, luego la ecuacin no tienen solucin.
2) 7x + 3 ~ 2x - 6 7x + 3 - 2x + 6 ~ O Sx + 9 >O
X:;t: 0 Sx~ -9
-9 x> -
- 5
-1 ,8 o
3) X 2 + 2 > 3X
X 2 + 2 -3X > 0 X 2 -3X + 2 > 0 ( X - 2 )(X - 1) > 0
X >2 x>1 . )
o 1 2
1) F actoramos 2)Resolvemos
Anlisis a.b > 4 {l)a( +) /\ b( +)
2) a( - ) /\ b( - )
2) (x - 2)
-
4) x3-7x-6 :5 0 Paso 1: Factoramos
Paso 2: Posibles divisores de:
a= 1
a"= 1, 2, 3, 6
x3-7x - 6 :;; O
Aplicando Ruffini
o -7 -6 -6
-1 -6 o
:. x2-x-6=0 ~ (x-3)(x+2) Entonces i'-7x - 6 tiene como sus tres races a: (x-3)(x+2)(x+1)
= (x-3)(x+2)(x+1) :;; O
Analizando
(x+2)(x+1) (x-3) ~ O +A+A-
V +A-A +
Casos: V - A+A+
V -J\-/\ -
x+2~ O A (x+1) ~O/\ x-3:5 O
Q -2 Ax ;;::: - 1 J\ x:53
< VZl/Z ?{/< ? )
-
2 do caso + /\ - /\ +
2: x+2> O A (x+1) 3
< v///r > T > -2 -1 o 3
Solucin 2: 0
3er Caso: - /\+A+
3: x+2~ O A (x+1);::: O /\ x-32:: O x::;; -2 /\ X 2:: -1 /\ X2::3
( r ~r~,~~1========z.>~~~~) -2 -1 o 3
Solucin 3: 0
4to caso - /\ - /\ -
4: x+2< O A (x+1) ::::;; O A x-3::;; O x::;; -2 A x::;; -1 A x::;;3
< < <
Solucin 4: (-oo, -2]
Sol Total:
S1US2US3US4
=[-1 ,3] U0U0U(-oo, -2]
/ll0//4 r -2 -1 o
T 3
17-
-
=[-1,3) U(-oo , -2] =(-oo , -2] U[-1 ,3]
<
Segundo Proceso: ARCOS
(x-3)(x+2)(x+1) :::; O +
+ +
+ +
-00 -2
+
ST: =(-oo , -2] U[-1,3]
r -2 -1 o
+
-1
5) Resolver la siguiente desigualdad x - 2 --> 2 x -3-
3
Primer Proceso: x * 3 no hay divisin para cero
T 3
+oo
+
Primer paso: Analizamos el denominador; adems se debe pasar todos los trminos que estn ala derecha y la desigualdad hacia la izquierda y dejar la derecha igualada a cero y finalmente operamos:
:. por los casos nos queda
x - 2 --- 2 > 0 x - 3 -
x - 2 - 2x + 6 ----- 2:: 0
x -3
- x +4 --- 2:: o x -3
- (x - 4) --- 2:: 0
x - 3
x- 4 < O x - 3 -
-
Anlisis:
x-4 :5 o
x-3
1) Casos 1: A~ V 2:/\: Caso 1:
x2:::4AX
-
:. ( x - 3)(x - 4) :::; o El cociente lo trasformamos en producto Analizamos:
(X - 3)(x - 4) < 0 1)
2)
1:x -3>0 /\ x-4::::;0
x>3 /\ x:s;4
<
6 Solucin 1: (3,4] 2: X - 3 < /\ X - 4 2:
x2 x*3 3 - , X-
1: x-3
-
1: x4
<
6 r 3 4 2: X 2 (x _ 3)
x-3
= x-2 ~ 2x-6
=x~4
<
6 3 4 ST: (3,4)
6) Ecuaciones 13x+21=6 1: 3x+2=6 V 1: x=4/3 V
2: 3x+2=-6 2: x=-8/3
1 : Definicin de Modulo = IXI= { x ~ x ? 00 -x ~x<
:. l3X+2I= { X~ (3x + 2) ? 0 ~X~ -2/ 3 -X ~ (3x + 2) < 0 ~ X < -2/ 3
Solucin Total= S 1 U S2 Solucin Total: {- i, ~}
7) 13X-41=6 Paso 1 : Aplicando la definicin del modulo
13X_41={ 3x- 4 H 3x - 4 ? O ~ x ? 4/ 3 - (3x - 4) H 3x - 4 < O ~ x < 4 /3
Paso 2: Anlisis de los intervalos
4/3
)
)
21
-
22
1: X< 4/3 J\ - (3x-4)=6
/\ -3x +4 = 6
-3x=2
X= -2/3
(
-4/5
Solucin 1: {-213} 2: X? 4/3 J\ 3x-4=6
x= 10/3
Solucin 2: {10/3} Paso 3: Solucin total
ST= S1US2
ST= {-2/3, 10/3}
Paso 4: comprobacin
Con -2/3
l3x-41= 6
13(-2/3)-41=1-61= 6
Con 10 /3
13-(1 0/3)1= 161=6
8) 12x-51+12= O
o
1 r o 4/3
4/3 10/3
El modulo nunca es negativo
9) lx-3 l= lx+21
Paso 1 : Aplicando la definicin del modulo
)
-
IX-3l = { X - 3 H X - 3 ? ~ X ? 3 - (x - 3) H X - 3 < ~ X < 3
IX+2 I= { X+ 2 H X+ 2 ? ~X ? -2 - (X + 2) H X + 2 < ~ X < -2
Paso 2: Anlisis de los intervalos
-00 -2 3
1: x
-
Paso 4: comprobacin
lx-31=1x+21
11/2 - 3 =11/2+21
1-5/21=15/21
5/2= 5/2 correcto.
10) 13x-21
-
.
DESIGUALDADES CON DOS VARIABLES (en el plano) Desigualdades lineales:
y < ax + bJ D ld d + b es1gua a es estrictas y> ax
y :::; ax + b} D . Id d . > + b es1gua a es no estrictas y_ ax
Desigualdades cuadrticas:
y :::; ax2 + bx + e } D . Id d . 2 es1gua a es estrictas y> ax + bx +e
y :::; ax + b} D Id d > + b es1gua a es no estnctas y_ ax
1) Desigualdades lineales:
. .; f o 8 1
=
y= ax+ b
y < ax+ b S.I ~
10
-
/
/, y= ax+b /
/
/
S - Y> ax+b /' .S , /
/
/ /
o /
-
..
-------------'--....._ ' ;
S.J
-- -----~--- --"-~-----~ ... --.. ---- ---~-
2. Desigualdades Cuadrticas
S.I
y
-
..
y< ax+ b
,I y= 4x2+bx+c
l" ,I
-S _L J_ ' 1
1 ato
1 . J
- t- .
y~ Ax2+Bx+C
(-b/2a: -b2 +4acl 4a)
Simultaneas
'i 1
'1 ~ ,j ' \ t / S.S
.' ! !
1 '. , - ~- \
,;I .1 '\ ' - ~--1 -~
J
Para obtener los puntos A y B resolvemos la ecuacin: ax+b= Ax?+ Bx + C Ejemplos:
1) Trace la grfica de x Si x-y+3>0 X+3> y y0
; (x-hl1+(y-k)2=r1
. . '
-
!
. ' .
(O, O)= (O)-(o)+3>0 (-2, O)= (-2)-(0)+3>0
(O, 4)= (0)-(4}+3>0
~ 3>0 Verdadero
~ 1 >O Verdadero
~ -1>0 Falso
2) Dibuje la region definido por 2x+y
-
30
X y X y o o o 5 1 1 4 4 B=(0,5)
C=(4,4)
Grafica:
Obtencion de A
8X+ l 8 --= x
3 y = -3
5x+15=0
X=-3
A(-3,3)
4) Determine la regin definido por: a. y"22'2-8x+5 Parbola b. 6x+ 7y-25
-
.. .
'
...
Vrtice
-b b2 + 4ac V= (2a , - 4a )
8 64 + 4.2.5 V = (2.2' - 4.2 ) V = (2, -13)
Cortes con el eje x: 2x2-8x+5=0
- b --/b2 - 4ac x=-----2a
Grfica:
Obtencin de A y B
2x2-8x+5 -6x+2s 7
14x2-56x+35+6x-25=0
8 --/64 - 4.2.5 x=-----
4
- 5
42V6 x=---2
x1 == 2 + V6
x1==2 -v-6
1 1 l
J
-10~
- 15
l I I 'oi ~.- 1 3
31
15
31
-
32
14x2-5ox+ 1 O=O
X1 = 3.358
X2= 0.2126
A= (3,35; 0, 7) Ejercicios:
y=0.7
y2= 3.41
X= 5o "502-4(14)(10) X= 5o 2.,/485 2(14) 28
y B= (0.21 ; 3,41)
1) Se dispone de un cierto nmero de monedas si se hace montones de 7 N u se completa 8; y si se hace montones de 6 se completa 9 y queda un
sobrante Cul es el nmero de monedas?
Solucin:
X # de monedas
x/7 54
54143 2) X-17
- 2x-34
-
34
Despejando
3x-2 < 1
3 X < 1 + 2
3 X < 3
3 x 4
x+1 > 4 . 2
X+ 1 > 8
X > 8 - 1
X > 7
2
34
Aplicando propiedades
3x-2 8
x+1+(-1) > 8+(-1) X> 7
. '
-
. .
Solucin: S = ( 7 , + oo)
Representacin grfica:
5 6 7 8 9 10 11
8) -2 X + 1 ~ X - 3
Despejando Aplicando propiedades - 2 X + 1 S X - 3 -2 X + 1 S X - 3
- 2 X - X S - 3 - 1 -2 X + 1 + (-X ) ~ X - 3 + (-X )
-3x s -4 [-2x+(-x)]+ 1 ~ [x+{-x)]-3
4
Solucin: S = [ 3 , + oo )
Representacin grfica:
-1
9)
o 1 .! 2 3
X - 4 : (- 3) -3 X + [ 1 + (-1 ) ] S - 3 + (-1 } 4 -3 X S - 4 -
X 3
3
35
1 1 - -
- 3 . (-3) X z - 3 . (-4) 4
X z 3
-
3
2x-5 -- -3-3x 3x < -3 -2 3x > -5
5 X>--3
4
Segundo caso -3-3x -7 -3 + 7 3x
4 x;5;-
3
3x ;5; 4
36
-
S 1 . ' ( 5 4] ouc1on: 3,3
7 l-4x 3 ->-->-
12) 2 5 2
4 3
Multiplicando por el m.c.m. = 10
35>2(1-4x)>15 35 > 2-8x >15 Primer caso 35 > 2-8x 8x > 2-35 8x > -33 x>-li 8
Solucin: ( ~3 , -~)
13>14x+sl =is
Segundo caso 2-8x > 15 2 - 15 > 8x 8x
-
La solucin es: x =-5
14) 1 x - 4J =l 5- 2x l
Dividiendo entre l 5 - 2x J
1 x -4 1 l 5-2x = 1 Primer caso x -4 --=1 5-2x x -4 = 5-2x x+2x = 5+4 3x =9 X - .2. - 3
x=3
Solucin: x = 1 y x = 3
y x =1 2
Segundo caso x-4 --=-1 5-2x x-4=-(5-2x) x -4=-5+2x x - 2x = -5 +4 - x =-1 x = l
15) La compaa Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de $15. si los costos fijos son de $600.000, determine el nmero mnimo de unidades que deben ser vendidas para que la compaa tenga utilidades. X>120.000 UNIDADES
RESPUESTA: $ VENTA: 20 Unid. $COSTO: 600.000 X UNID. Que deben ser vendidas para generar utilidades:
20X-(15X + 600.000) >O 20-15X-600.000 >O 5X > 600000/5 X >120.000 DEBE DE SER VENDIDAS PARA GENERAR UTILIDADES
38
-
16)Para producir una unidad de producto nuevo, una compaa determina que el costo del material es de $250 y el de mano de obra de $4. El gasto general, sin importar el volumen de ventas, es de $5000. s el precio para un mayorista es de $7 40 por unidad, determine el nmero mnimo de unidades que debe ser vendido para que la compaa obtenga utilidades.
Solucin:
$COSTO: 250X+4X $ PRECIO: 7 40 X XUNID
740X- (254X+ 5000) >O 7 40X -254X - 5000 > O 486X > 5000 X> 5000/486 X > 10.28 UNIDADES MINIMAS PARA GENERAR UTILIDADES
39
33
-
001002003004005006007008009010011012013014015016017018019020021022023024025026027028029030031032033034035036037038039040