Álgebra

Del colegio a la Mes: Julio 2013

1

Lideres en Educación 3er Grado de

“Innova Schools”

MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS.

Consiste en completar el cuadrado de un binomio y

está basado en la aplicación del siguiente teorema.

a2 = b2 a = b a = -b

* Ejemplo:

Hallar la solución de: x2 - 2x - 1 = 0

Dar como respuesta la menor raíz.

SOLUCIÓN:

Como es difícil de Factorizar, usamos el método

de completar cuadrados, los pasos a seguir son:

x2 - 2x - 1 = 0

Sumar y restar la mitad del coeficiente de "x":

1)2(21

elevado al cuadrado: (-1)2 = 1, nos queda 1.

2 2 2

2(x 1) 2

x 2x 1 1 1 0

Aplicando el teorema: a2 = b2 a = b a = -b

(x - 1)2 = 2 x - 1 = 2 x - 1 = 2

x = 1 + 2 x = 21

}21;21.{S.C

Sea: ax2 + bx + c = 0, donde a≠0. Para encontrar las soluciones necesitamos seguir los siguientes pasos:

Factorizamos el coeficiente de "x2".

ax2 + bx + c = 0 a

2 b cx x 0

a a

0

a

cx

a

bx2

Sumar y Restar la mitad del coeficiente de "x":

a2b

ab

21

Elevado al cuadrado: 2

a2b

x +2 ba

x + b

2a-

2 b2a

2

+ ca

= 0 x +b

2a-

b4a

2

2 + ca

= 0

b2a

xRaíces

2

2

2

2

22

a4

ac4bac

a4

ba2b

x

Si: b2 - 4ac 0, las soluciones son:

ac2ac4b

a2b

xóa2

ac4ba2b

x22

2 2b b 4ac b b 4acx ó x

2a 2a 2a 2a

2 2b b 4ac b b 4acx ó x

2a 2a

Finalmente; las raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0, están dadas por:

2b b 4acx

2a

ÁLGEBRA.NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 TERCER GRADO

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (POR FÓRMULA CUADRÁTICA)


2



A la expresión b2 - 4ac la llamaremos discriminante y

la simbolizaremos por

Así tenemos: = b2

- 4ac

Ejemplo:

Resolver aplicando la fórmula general:

a) x2 - 3x + 2 = 0

En este caso: a = 1 , b = -3 , c = 2.

Sabiendo que: a2ac4bb

x2

2,1

Luego: )1(2

)2)(1(4)3()3(x

2

2,1

3 ± 12

x =1,2

3 + 12

= 2

3 - 12

= 2

C.S. {1;2}

b) 4t2 + 12t + 9 = 0En este caso: a = 4, b = 12, c = 9.

Luego:

)4(2

)9)(4(4)12()12(t

2

2,1

-12 ± 08

t =1 ,2

-12 + 08

= - 32

-12 - 08

= - 32

C.S.

23

es una raíz doble.

c) 9x2 + 18x - 17 = 0

Tenemos: a = 9 , b = 18 , c = -17Luego:

)9(2

)17)(9(4)18()18(x

2

2,1

1893618

x 2,1

-18 ± 6 2618

x =1,2

-3 + 263

-3 - 263

C.S.

3263

;3

263

Ejercicios básicos

Completa el siguiente cuadro, según la notación pedida.

Ecuación cuadrática

x + x - 1 = 02

M enor so lución M ayor solución

x - x - 1 = 02

x + 2x - 2 = 02

1. Resolver: x2 = 12

x1 = __________; x2 = __________

TALLER DE APRENDIZAJE Nº 01


3


“Innova Schools”2. Resolver: (x + 3)2 = 2

x1 = __________; x2 = __________

3. Resolver: (2x - 3)2 = 5

x1 = __________; x2 = __________

4. Resolver: x2 - 2x = 1

x1 = __________; x2 = __________

5. Resolver: x2 - 4x - 1 = 0

x1 = __________; x2 = __________

6. Resolver: 3x2 - 6x + 1 = 0

x1 = __________; x2 = __________

7. Hallar "x" en: x2 + 1 = 3x

x1 = __________; x2 = __________

8. Resolver:(x + 2) (x + 3) = 3

x1 = __________; x2 = __________

1. Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) x2 + 3 + 5x = 0 C.S. { ;

}

b) x2 + 2x = 5 C.S. { ; }

c) 1 + x = 3x2 C.S. { ; }


a) (x + 2)2 = 15 C.S. { ;

}

b) (x - 3)2 = 20 C.S. { ;

}

c) (2x + 1)2 = 8 C.S. { ;

}


a) (x + 1)(x + 3) = 2 C.S. { ;

}

b) (x - 1)(x - 4) = 13 C.S. { ;

}

PROBLEMAS PARA LA CLASE


4



c) (x + 2)(x - 5) = 1 C.S. { ;

}


a) x(x - 4) = 1 C.S. { ; }

b) x(x + 8) = 5 C.S. { ; }

c) x(x - 1) = 3 C.S. { ; }


a) (x + 5) (x - 5) = 4x – 10 C.S. { ; }

b) (2x + 3)2 = x2 + 5 C.S. { ; }

c) (x + 4)2= 2x + 9 C.S. { ;

}


a)x

5x

2

C.S. { ; }

b) x

5

4

7x3

C.S. { ; }

c) 2

2x

2x

x4

C.S. { ; }


a) 2 = x(3 + x) C.S. { ; }

b)0

x

7x2

12

C.S. { ; }

c)2

x3

1x2

C.S. { ; }


a) (x2 - 3)2 = 5 C.S. { ; }

b) (x2 - 7)2 = 2 C.S. { ; }

9. Hallar la menor de las raíces de la ecuación:

(x + 1)2 + 2x = 3(x + 1) + 5

10. Resolver: (x + 3)2 + (x - 3)2 = (x - 2)2 + 12

Indicar una solución.

a) 22 b) 22 c) 22

d) 21 e) 21

11. Halle una raíz de:

1x3

x22

a) 4971

b) 4971

c) 8971

d) 8971

e) 8971

12. Calcular la mayor de las raíces:

2x1x8)1x3( 2

a) 25511

b) 25511

c) 25511

d) 25511

e) Más de una correcta


a) x2 + 2 + 7x = 0 C.S. { ; }

b) x2 + x = 3 C.S. { ; }


a) (x + 1)2 = 7 C.S. { ; }

b) (x - 3)2 = 18 C.S. { ; }


a) (x + 2)(x + 3) = 4 C.S. { ; }

b) (x - 2)(x - 1) = 5 C.S. { ; }


TAREA DOMICILIARIA Nº 01


5


MANEJO DE FÓRMULAS


a) 2x 1 3x 0 C.S. { ; }

b) 2x 2x 3 C.S. { ; }


a) (x + 4)(x + 3) = x + 13 C.S. { ; }

b) (2x + 5)(x - 1) = x2 C.S. { ; }


a) x

6x3

C.S. { ; }

b) x4

35x2

C.S. { ; }


a) x(x - 8) = 1 C.S. { ; }

b) x(x - 2) = 5 C.S. { ; }

8. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) (x2 - 9)2 = 2 C.S. { ; }

b) (x2 - 7)2 = 3 C.S. { ; }

9. Hallar la menor de las raíces de la ecuación:

(x + 2)2 = 3x + 7

10. Resolver:

(x - 1)2 + (x + 2)2 = (x - 3)2

11. Resolver: (x + 2)2 + (x + 1)(x - 1) - 3 = 0

indicar una raíz

12. Calcular la menor raíz de:

12 x 1

x

13. Calcular la mayor de las raíces:

4x52x3)3x4( 2

14. Hallar el mayor cateto del triángulo rectángulo, comprobar su existencia.

J

M

Q

3x + 1

x + 2

15. Hallar "x"

2

11

12

11

12x

16. Resolver la ecuación:

2

2

(x 1) 2 1

2 1(x 1)

17. Resolver la ecuación siguiente:2

2 2

2 x 3 x 6x 53x 9 3x 9 (x 3)(x 3)

18. Hallar "k" en la ecuación cuadrática:

(k - 1)x2 - 4x + 2 = 0

sabiendo que su discriminante es 8.

19. Indicar la mayor solución de la ecuación

siguiente:

x2(4x + 5)2 - 6(4x2 + 5x) + 8 = 0

INCÓGNITA O VARIABLES

Es una cantidad desconocida que representa un valor o magnitud numérica, la cual es posible determinar en una ecuación o fórmula.

FÓRMULAUna fórmula no es más que una igualdad entre expresiones algebraicas que expresan algún principio, regla o

resultado de índole matemático, físico o relativo a cualquier otra ciencia.Desde grados anteriores ya has trabajado con fórmulas, ya sea en matemática o en otras asignaturas, como la

física por ejemplo, conoces fórmulas como:

vm

D (densidad)


6



td

V (velocidad de un móvil en movimiento rectilíneo uniforme)

DESPEJAR UNA VARIABLE

En la práctica, se presenta muchas veces la necesidad de despejar un elemento particular en una fórmula dada para determinar su valor.

Ahora bien, toda fórmula constituye una ecuación. Luego, despejar una variable en una fórmula no es más que resolver una ecuación donde la incógnita es la variable que se va a despejar.

Ejemplo.

Despeja la variable que se indica en la siguiente fórmula:

*"h";

2h.b

A

Solución:

2h.b

A

2A = b . h

h

bA2

En este tipo de problemas debes aislar en un m iembro la variable a despejar y pasando al otro m iembro los demás elementos con la operación inversa a la que estaban realizando originalmente.

R ecuerda

* V = V0 + at; "a"

V - V0 = at a

t

VV0

* an = a1 + (n - 1) d; "n"an - a1 = (n - 1) d an - a1 = nd - d

an - a1 + d = nd n

d

daa1n

Ejercicios básicos

* Despeja las variables que se indican:

a) x + y = z; "y"

b) P = 2ba

; "a"

c) h = 21

Ec + 3Ep ; "Ec"

EVALUACIÓN DE FÓRMULAS

Consiste en determinar el valor de una incógnita

en una fórmula cuando los valores de otras variables

son conocidos.

Si deseamos hallar una incógnita para los diversos valores de otras

incógnitas, es recomendable despejardicha incógnita y luego reemplazar

los valores conocidos de las demás variables.

O J O

Ejemplo:

O bserva:

Para despejar "h", se transpone el

denominador 2 al otro m iembro

multiplicando y e l factor "b", pasa

divid iendo.


7



* Despejar la variable que se indica en la siguiente

ecuación y calcula su valor numérico para los

valores que se dan, en cada caso:

a) x = 2n.m

; "m" para: x = 20; n = 5

mnx2

n.mx22n.m

x

Reemplazando:

5)20(2

= m

m = 8

b) a = b3 - cd ; "b" para: a = 10, c = -1; d = 2

a = b3 - cda + cd = b3

bcda3 Reemplazando:

b)2)(1(103 b = 2

Ejemplo:

Para un móvil con aceleración constante igual a

2m/s2, durante los 4 primeros segundos de

iniciado su movimiento desarrolló una velocidad

final de 10m/s. ¿Con qué velocidad inició su

movimiento?

Usar: VF = Vi + at

Siendo: VF : velocidad final

Vi : velocidad inicial

a : aceleración

t : tiempo

Solución: Vf = Vi + at

Vf - at = Vi Despejamos

"Vi"

10 - 4(2) = Vi Reemplazamos los

datos

Vi = 2m/s

Lo cual nos indica que el movimiento se inició con

una velocidad de 2m/s.

Ejercicio básico

Despeja en cada inciso la variable que se indica y

calcula su valor para los datos dados:

a) x - y = z, "z" para: x = 10 ; y = 4

b) (x + y) 53

= z; "y" para: x = 4; z = 12

c) mn + m2 = p2; "n" para: m = 4; p = 8

1. Despejar "m" de la siguiente fórmula: E = mc2

2. Despejar "R" de: A = R2

3. Despejar "V" de:

2mV21

Ec

4. Despejar "h" de:

2h

xy3M

5. Despejar "t" de:

TALLER DE APRENDIZAJE


8


“Innova Schools”d = V0 + 3t2

6. Despejar "c" de: a2 + b2 - c2 = 0

7. Despejar "x" de: 5x = 8b - rx

8. Despejar "x" de: ax + n2 = a2 - nx

9. Determine la longitud del lado de un cuadrado cuya área es igual a 25cm2.Usar: A = L2siendo: A = área; L = longitud de lado

10. Si el potencial eléctrico de un foco de 400 voltios y su resistencia eléctrica es igual a 25 ohmios, determine la corriente eléctrica presente.Usar: V = IR

Siendo: V = potencial eléctrico (voltios)I = corriente eléctrica (amperios)

R = resistencia eléctrica (ohmios)

1. Despeja en cada inciso las variables que se indican:

a) A = r2; “r".

b) S =2t

Qab

; "a".

c) a2 + b2 = h2 ; "b".

2. Despeja en cada inciso la variable que se indica y calcula su valor para los datos dados:

a) 3V = a2h; "a" si: V = 12, h = 1.

b) S = 1/2 g t2; "g" si: S = 200, t = 10.

c) V = 1/3r2h; "h" si: V = 24; r = 6.

3. De los siguientes enunciados, despejar "x" determinando su equivalencia.

a) 3x = 4a + x

b) xy - 3x + 2 = m

c) xa2 + xb + xc = 219


a) x2 - 4 = a(x + 2)

b) ax2 - 9a = mx + 3m

c) mx + m2 = n2 + nx


a) ax - bx = a2 - 2ab + b2

b) cx - 1 = c2 + 2c - xc) bx - b2 = 3x + b - 12

6. Determine el radio de una esfera cuya área es igual a 100cm2.

Usar: A = 4R2

Siendo: A: área; R: radio

PROBLEMAS `PARA LA CLASE


9


“Innova Schools”7. El área de un trapecio es igual a 72m2, la base

mayor mide 12 m y la base menor mide 6m. Determine el valor de su altura.

Usar: A = 1/2(B + b) h

Siendo: A : áreaB : base mayorb : base menorh : altura

8. ¿Cuál será el radio de una esfera, si el volumen es

36 cm3?usar: V = 1/3r3

Siendo: r : radio

V: volumen

9. Se sabe que el volumen de un hexaedro regular

es igual a 27 000 cm3, determine el valor de su

arista.

Usar: V = a3

Siendo: a : arista

V : volumen

10. Determine la altura de un cilindro de 3cm de

radio, si la capacidad volumétrica del cilindro es

27cm3.

Usar: V = r2h

Siendo: r : radio de la base

h : altura

V : volumen

11. Hallar el número de lados de un polígono,

siendo la suma de ángulos internos igual a 1260°.

Usar: S = 180°(n - 2)

Siendo: S : suma de ángulos internos

n : número de lados

12. En cierto lugar un cuerpo de 50kg tiene un

peso de 485N, entonces encontrar la aceleración

de la gravedad de dicho lugar.

Se sabe: P = mg

Donde: P = peso (N)

m = masa

g = aceleración de la gravedad

(m/s2)

1. Despeja, en cada caso, las variables que se indican:

a) F = ma; "m".

b) A =

2

ca

h; "c".

2. Despeja las variables que se indican en las siguientes ecuaciones y calcula su valor numérico para los valores que se dan, en cada caso:

a) t = m + np ; "n" para: t = 18; m = 3; p = 5.

b) a2 = b2 - bd ; "d" para : a = 2; b = 4.


a) 2x + xy = 3b

b) xa + xb = a - b


a) x2 - 9 = b(x + 3)

b) bx2 - 4b = 5x - 10


a) mx + nx = m2 + 2mn + n2

b) ax - 4 = a2 + 4a - 2x

6. ¿Cuál será el volumen de una esfera cuyo radio es de 2 m?Usar: v = 3/4r3

Siendo: r : radiov : volumen

7. Determine el radio de un sector circular cuya área es igual a 2m2; siendo: Sector circular:

R

R

Usar: A = º360

R2

Siendo: R : radioA : área

TAREA DOMICILIARIA Nº 02


10


PROPIEDADES DE LAS RAÍCESDE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

“Innova Schools” : ángulo interno

8. Se sabe que el volumen de un cono es igual a 80m3 y el radio de la base es 4m. Determinar el valor de su altura.

Usar: V = 3hR2

Siendo: V : volumenR : radioh : altura

9. La suma "S" de los ángulos interiores de un

polígono se calcula por la fórmula S = 180° (n - 2)

donde "n" es el número de lados del polígono.

¿Cuántos lados tienen un polígono, si se conoce

que la suma de sus ángulos interiores es igual a

1080°?

10. El área total de un prisma recto de base

rectangular puede calcularse mediante la fórmula

A = 2ab+2(a+b)h donde "a" y "b" son las aristas

de la base y "h" es la altura del prisma. Si se

conoce que el área total es 94u2 y las aristas de

la base miden 3u y 4u respectivamente, ¿cuál es

la altura del prisma?

11. La cifra de unidades de un número de dos

cifras es igual al triple de la cifra de las decenas.

Si el número se divide por la cifra de las unidades

el cociente es 4 y el resto es 1. Hallar el número.

Considera la relación: D = d.q + R

Donde: D : dividendo

d : divisor

q : cociente

R : resto

12. Se deja caer un objeto desde la parte más alta

del arco de la entrada a la ciudad Mattociex, que

es de 196 metros de altura. ¿Cuánto tiempo

tardará el objeto en llegar al piso?

Usar: h = 4,9 t2 + V0t

Siendo: h : altura

t : tiempoV0 : velocidad inicial

Sea la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0

a 0 de raíces: "x1" y "x2".

Suma de raíces: x1 + x2 = -b/a

• Demostración:

De: x1;2 =

2b b 4ac

2a entonces

1

2

2

2

b b 4acx

2a

b b 4acx

2a

Luego: x1 + x2 =

2b b 4ac

2a +

2b b 4ac

2a = a2

b2

x1 + x2 = -b/a

Es decir: "La suma de las raíces de una ecuación cuadrática es igual al coeficiente de "x" con signo cambiado entre el coeficiente de x2".

Producto de raíces: x1 . x2 = c/a

• Demostración:

Ahora: x1 . x2 =

2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a


11



x1 . x2 =

22 2

2

( b) b 4ac

4a

x1 . x2 = a

c

a4

ac4

a4

)ac4b()b(22

22

1. Hallar la suma de raíces de:

5x2 - 2x - 1 = 0

2. Hallar el producto de raíces de:

3x2 + 4x + 7 = 0

3. Hallar el valor de "m" en la ecuación en "x":

2x2 + mx - 3 = 0

si sus raíces suman 5.

4. Hallar el valor de "k" en la ecuación en "y":

5y2 + 2y + k = 0

si el producto de sus raíces es -3.

5. Si una solución de la ecuación:

x2 + 7x + m = 0; es - 2

hallar el valor de "m"

6. La siguiente ecuación: 4x2 - 9 = 0

¿presenta raíces simétricas o recíprocas?



12



7. La siguiente ecuación: 2x2 - 5x + 2 = 0

¿presenta raíces simétricas o recíprocas?

8. Si la ecuación: 3x2 + (m - 2)x + 5 = 0

presenta raíces simétricas. Hallar "m"

1. Halla la suma y el producto de soluciones en las siguientes ecuaciones:

a) x2 + 5x + 2 = 3x - 4

b) (x + 2)2 + 5x = 3

2. Si una solución de la ecuación:x2 + 5x + m = 0 es 2

calcular la otra solución y el valor de "m".

3. Si una raíz de la ecuación:x2 + mx + 8 = 0 es 4, calcular la otra raíz y el valor de "m".

4. Si una solución de la ecuación de segundo grado: mx2 - (m + 4)x + 6 = 0 es 2, encuentre el valor de "m" y la otra solución.

5. Calcular el valor de "m" y "n" para que la ecuación

mx2 + nx + 2 = 0; tenga por raíces a:

34

xy21

x 21

6. ¿Cuál es el valor de "m", si una raíz es el doble de la otra raíz de la ecuación: x2 - 9x + m = 0?

7. En la ecuación: (2n + 1)x2 + 3(n - 1)x + 1 - n = 0La suma de raíces es 3/4, hallar "n".

a) 0,75 b) 0,5 c) 0,8d) 0,3 e) 1

8. Dada la ecuación:

0)1m(2x2x)1m( 2

Hallar "m + 1", si el producto de sus raíces es igual a la unidad.

a) -2 b) 0 c) 4d) 3 e) -1

9. Halla la diferencia de las raíces en las siguientes ecuaciones:

a) x2 + 4x + 3 = 2x + 5

b) (x + 2)2 + 5x = 3

c) (x + 3)(x - 3) = 3x – 10

10. Calcular el valor de "m" para que las raíces de

la ecuación: x2 + mx + 14 = 0 se diferencien en

5.

a) +5 b) ± 5 c) ± 9

d) +9 e) -9

11. Si: {x1; x1 + 2} es conjunto solución de la

ecuación en "x"; 2x2 - 6x + a + 1 = 0, halle el

valor de "a".

12. En la ecuación: x2 - px + 48 = 0; de raíces: {x1; x2}determinar "p" tal que:

PROBLEMAS PARA LA CLASE


13



24219

x1

x1

21

a) 219 b) 438 c) 2

d) 2005 e) 2006

13. Dada la ecuación: 2x2 + mx + 30 = 0 y "x1" y

"x2" sus raíces. ¿Para qué valores de "m" se

cumple la relación

1

2

x 3x 5

?

a) 16 b) 10 c) 14

d) 8 e) 4

14. Si: {m; n} es el conjunto solución de la

ecuación:

x2 + 2x + 5 = 0 y se sabe que: m2 + n2 = p.

indicar el valor de "p".

a) -8 b) -6 c) -4

d) -2 e) 2

15. Siendo "r" y "s" las raíces de la ecuación: 2x2 -

4x - 1 = 0Halle el valor de:

. s

1

r

1

1)]1)(s[(r

a)

3

25

b)

3

52

c)

4

25

d)

2

52

e)

4

52

16. Si "a" y "b" son raíces de la ecuación: x2 - 5x + 3 = 0

Halle: (a - 4)(b + 2)(b - 4)(a + 2) + 19

a) 4 b) 8 c) 5d) 2 e) 9



14



1. Halla la suma y el producto de soluciones en las siguientes ecuaciones:

a) x2 + 7x + 4 = 5x - 2

b) (x + 3)2 + 2x = 4

2. Si una solución de la ecuación: x2 + 7x + n = 0 es 3,

calcular la otra solución y el valor de "n".

3. Si una raíz de la ecuación: x2 + nx + 12 = 0 es -6,

calcular la otra raíz y el valor de "n".

4. Si una solución de la ecuación de segundo grado:

nx2 + (n - 3)x - 15 = 0 es 3,

encuentre el valor de ''n'' y la otra solución.

5. Calcular el valor de ''m'' y ''n'' para que la ecuación: mx2 + nx + 6 = 0; tenga por raíces a:

5

2x1

y 5

3x2

6. ¿Cuál es el valor de ''m'', si una raíz es el triple de la otra raíz de la ecuación: x2 - 12x + m

= 0?

7. La suma de raíces de la ecuación:

(m - 1)x2 - (m + 1)x + 4 = 0, es 2

entonces ''m'' es:

8. En la ecuación: (5m - 3)x2 - 2192005 x + 2(m + 2) = 0Hallar: m - 1, si el producto de sus raíces es 5/6.

9. ¿Para qué valor de ''a'' la suma y el producto de raíces de: (a - 1)x2 + ax - 2 = 0, tienen el

mismo valor?

10. Si "m" y "n" son las dos raíces de la ecuación:

x2 - 2x + 2 = 0

calcular:

E = mm+n . nmn

11. Hallar la diferencia de las raíces en las siguientes ecuaciones:

a) x2 + 3x + 7 = 2x + 8

b) (x - 3)2 + 4x = 8

12. Calcular el valor de "n", para que las raíces de la ecuación: x2 + nx + 15 = 0, se

diferencien en 2.

13. En la ecuación: 2x2 - (n + 2)x + (n + 4) = 0, hallar ''n'' si las raíces difieren en una

unidad.


15



14. En la ecuación: x2 - 2006x + p = 0 de raíces {x1;x2}determinar ''p'' tal que:

219

1003

x

1

x

1

21

15. Dada la ecuación: 4x2 + mx + 56 = 0 y "x1" y "x2" sus raíces. ¿Para qué valores de ''m'' se cumple la relación:

7

2

x

x

2

1 ?

16. Si {m;n} es el conjunto solución de la ecuación:

x2 + 3x + 7 = 0 y se sabe que: m2 + n2 = k, indicar el valor de ''k''.

17. La ecuación: 5x2 - 2x + 3 = 0, tiene por raíces: "x1" ; "x2"

Calcular: M = (1 + x1)(1 + x2)

18. Hallar ''a'' para que las raíces de la ecuación en ''x'':

(a2 + 8a)x2 + (7a + 3)x + (a - 12) = 0

sean recíprocas.

19. Para que valor (es) del parámetro ''k'' las raíces de la ecuación cuadrática en "x":

(k - 1)x2 + 2(k2 + k - 2)x + 9(k2 - k) = 0

Serán:

i) Simétricas ii) Recíprocas

20. Calcular ''m + n'', de tal manera que las ecuaciones:

(n - 1)x2 + 2x + 1 = 0

9x2 + (m + 1)x + 3 = 0tengan las mismas raíces.

Álgebra

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