algebra 255.doc

7/18/2019 algebra 255.doc

http://slidepdf.com/reader/full/algebra-255doc 1/45

CAPITULO 6LENGUAJE ALGEBRAICO

OBJETIVOS

Después de analizar ese !ap"ul#$ el edu!and# esar% a&ezad# para radu!ir einerprear el len'ua(e al'e)rai!# en el len'ua(e !#*+n , &i!e&ersa$ de al -#r*a.ue ser% !apaz de planear !uales.uiera .ue le s#li!ien/

SÍMBOLOS ALGEBRAICOSEn la apli!a!i0n del %l'e)ra se e*plean n+*er#s , leras$ l#s !uales se les !#n#!ea*)ién !#*# lierales$ para represenar !anidades , unidades .ue el ser 1u*an#1a !read# para di-eren!iar a l#s -en0*en#s .ue e2isen en la nauraleza/ A es#sele*en#s se les lla*a s"*)#l#s al'e)rai!#s$ , denr# de una in-inidad de ell#s$ sedan !#*# e(e*pl#s a3

42$ 5)$ 76,$ 89$ 6z:$ ;p<$ =:$ :a)

COEFICIENTEEn !ada un# de l#s e(e*pl#s aneri#res #)sér&ese .ue se iene el pr#du!# de d#s-a!#res$ a !ada -a!#r se le lla*a !#e-i!iene del #r# -a!#r$ p#r e(e*pl# de3

42$ 5)$ 76,$ 89$ 6z:$ ;p<$ =:$ :a)

las !anidades 4$ 5$ 76$ 8$ 6$ ;$ =$ : s#n !#e-i!ienes de 2$ )$ ,$ 9$ z:$ p<$ : , arespe!i&a*ene$ as" !#*# 2 es !#e-i!iene de 4$ ) es !#e-i!iene de 5$ *ienras.ue$ ,$ 9$ z:$ p<$ : , i/ s#n !#e-i!ienes de 76$ 8$ 6$ ;$ = , : respe!i&a*ene/

En ese e2# ser% *%s -re!uene usar la represena!i0n de un !#e-i!iene p#r*edi# de un n+*er# , n# p#r una lieral$ es de!ir$ del e(e*pl# del p%rra-# aneri#rse dir% .ue de las e2presi#nes3

62$ =)$ :z$ 8a$ 762$ l#s !#e-i!ienes s#n 6$ =$ :$ 8 , 76/

EXPRESIÓN ALGEBRAICAEs una e2presi0n deer*inada p#r un s"*)#l# # p#r un !#n(un# de s"*)#l#sal'e)rai!#s$ p#r e(e*pl#3

)$ 2<$ 69z$ :2< > =, <$ ? > <@<

TERMINO ALGEBRAICOEs una e2presi0n .ue !#nsa de un# # &ari#s ér*in#s al'e)rai!#s .ue n# s#nseparad#s p#r l#s si'n#s de la su*a # de la resa$ al , !#*# se *uesra a!#ninua!i0n3

8:$ 42$ 5)$ 76,$ :2$ </52:$ 8,

GRADO DE UN TÉRMINO ALGEBRAICOE2isen d#s 'rad#s en un ér*in#$ l#s !uales s#n3 el 'rad# a)s#lu# , el 'rad#deer*inad# p#r una lieral/

El 'rad# a)s#lu# de un ér*in# al'e)rai!# es i'ual a la su*a de l#s e2 p#nenes

de las lierales .ue !#niene$ p#r e(e*pl#3@ 42<$ es de se'und# 'rad# p#r esar la lieral 2 ele&ada al !uadrad#/@ 52<,: es de .uin# 'rad# p#r.ue la su*a de l#s e2p#nenes de las lierales ?2, ,@ es i'ual a !in!#/ ?< > : =@/@ 7:a4)5!;$ es de 'rad# diez , nue&e$ ,a .ue3 ?4 > 5 > ; 78@@ :a:!=)4$ es de 'rad# .uin!e$ p#r.ue ?: > = > 4 7=@

El 'rad# de un ér*in# deer*ina d# p#r una lieral es i'ual al 'rad# .ue !#nienela lieral$ p#r e(e*pl#3

@ 49<$ es de se'und# 'rad# p#r esar ele&ad# al !uadrad# la lieral/@ 5s6$ es de se2# 'rad#p#r.ue @ :2:,4 es de :er/ 'rad# para la lieral 2 , de sépi*# 'rad# para la lieral , /@ <*6n: es de se2# 'rad# para la lieral * , de

Para la lieral Fn

E(er!i!i# 7:;/ E(e!uar l# .ue se s#li!ia/

7@ Dar !in!# e(e*pl#s de s"*)#l#s al'e)rai!#s/<@ Pr#p#r!i#nar !in!# e(e*pl#s de !#e-i!ienes en ér*in#s al'e)rai!#s/:@ Es!ri)e diez e2presi#nes al'e)rai!as/;@ Deer*inar el 'rad# a)s#lu# de l#s ér*in#s al'e)rai!#s si'uienes3

a@ =2:, )@<,<z4

!@ 9 d@ H ,6z8

e@ : )=a< -@ <1

'@ :*<n:; 1@ :d=e<-

i@ =:r <z; (@ <4*4*<p7K.4

=@ Deer*inar el 'rad# p#r lieral en l#s ér*in#s si'uienes3

a@:2 )@ <a<):!;

!@ :a=);d d@ <#< p= r :

e@ e -@7<2:

'@ :9<&: 1@ :u:&<9

@8<u:&< (@ :=s:<

MONOMIOM#n#*i# es una e2presi0n al'e)rai!a .ue !#nsa de un er*in# al'e)rai!#$ p#re(e*pl#3

@2< @:a<

@ =: 2,: @ 7:/<2<,4

POLINOMIOEs una e2presi0n al'e)rai!a de !#nsa de d#s # *as ér*in#s al'e)rai!#s$ al!#*# se *uesran a !#ninua!i0n3

@ a > )@ :a< <)<>=a)@ :;>=:p>'@ <a):a=)<<a;)<

BINOMIOBin#*i# es un p#lin#*i# .ue !#nsa de d#s ér*in#s al'e)rai!#s$ ales !#*#$ l#s.ue se *uesran a !#ninua!i0n3

@ 2>,@ :r <=s:

@ 7/=,:K/<9@ :;a<)>:=a!:

TRINOMIOEs un p#lin#*i# .ue !#nsa de res ér*in#s al'e)rai!#s$ p#r e(e*pl#3

@ a>)>!@ 2< > <2,,:

@ <p7K/5r <>:;s@ :2><,7

GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIOEl 'rad# a)s#lu# de un p#lin#*i# es deer*inad# de *a,#r 'rad# .ue !#niene elp#lin#*i#$ , !#*# se e(e*pli-i!a a !#ninua!i0n3

@ 2;>:2:><2<>7

Es un p#lin#*i# de !uar# 'rad# p#r.ue es el *a,#r 'rad# .ue !#niene un# del#s ér*in#s del p#lin#*i#/

@ a<<a:>a7

Es un p#lin#*i# de er!er 'rad#/

GRADO DE UN POLINOMIO CON RELACIÓN A UNA LITERALEl 'rad# de un p#lin#*i# !#n rela!i0n a una lieral es deer*inad# p#r lae2p#nene *a,#r .ue !#niene la *is*a lieral$ al , !#*# se *uesra a

!#ninua!i0n3@ :): ><)<>d

Es un p#lin#*i# de er!er 'rad# p#r.ue la lera ) es el *a,#r 'rad# .ue !#nieneen el p#lin#*i#/

@ 2:, > <2z, :2,: ,

Es de :er/ 'rad# para la lieral 2 , de !uar# 'rad# respe!# a la lieral ,/

Es un p#lin#*i# de er!er 'rad# para la lieral a $ , a*)ién para la lieral ) ,de se'und# 'rad# respe!# a la lieral ! /

SIGNOS DE AGRUPACIÓNTal , !#*# se 1a *ani-esad# en !ap"ul#s aneri#res l#s si'n#s de a'rupa!i0ns#n di&ers#s ip#s de parénesis$ .ue se e*plean para en!errar una e2presi0nal'e)rai!a enre ell#s$ ,a sea para indi!ar .ue represena una s#la !anidad$ una*is*a espe!ie # un *#&i*ien# .ue se desarr#lla per-e!a*ene ideni-i!ad#/ L#sparénesis pueden ser ? @ !ur&#s$ Q re!#s 0 !#r!1ee , lla&es$ enre #ras-#r*as/ Su us# se 1a &is# aneri#r*ene , se re-#rzar% su e*ple# !#n l#se(e*pl#s si'uienes3

@ La e2presi0n al'e)rai!a : > ?<a = > 5)@ indi!a .ue se le de)e de su*ar aln+*er# : la !anidad resulane de la adi!i0n <a = > 5)/@ La e2presi0n =?:2 > 7@ indi!a .ue se de)e *ulipli!ar p#r !in!# a !ada un# del#s ele*en#s in!luid#s denr# del parénesis$ apli!%nd#se as" la le, disri)ui&a/@ La e2presi0n ?2 > <@: *ani-iesa .ue se de)e ele&ar al !u)# la e2presi0nal'e)rai!a .ue e2ise denr# del parénesis/@ ?:p > 5p > 4p@ > ?6p > ;p > <p@

Cada e2presi0n al'e)rai!a en!errada p#r l#s si'n#s de a'rupa!i0n puedenrepresenar las ransa!!i#nes .ue se realizan en una !a(a de un )an!#$ las !uales-inal*ene se su*an/

El si'n# de a'rupa!i0n se de(a de uilizar !uand# se realizan las #pera!i#nes .uee2isen denr# de él/

LENGUAJE ALGEBRAICOEl len'ua(e al'e)rai!# es represena!i0n !#n s"*)#l#s *ae*%i!#s dee2presi#nes al'e)rai!as # de -en0*en#s de la nauraleza/

C#n #)(e# de e-e!uar !#n -a!ilidad las #pera!i#nes .ue indi!an las e2presi#nesal'e)rai!as es ne!esari# ideni-i!ar su !#nenid# en el len'ua(e .ue !#*+n*enese e*plea$ es de!ir se de)e de realizar una radu!!i0n del len'ua(e al'e)rai!# allen'ua(e usual$ inerpreand# l#s si'ni-i!ad#s *ae*%i!#s de esas e2presi#nes$al , !#*# se e(e*pli-i!a a !#ninua!i0n/

@ A esas aluras de la &ida$ si al le!#r se le di!e e &#, a dar el d#)le de &einepes#s$ in*ediaa*ene , !#n *u!1a sais-a!!i0n ,a sa)e .ue &a a re!i)ir!uarena pes#s/ El pr#!es# *enal .ue desarr#ll0 -ue *ulipli!ar p#r d#s la!anidad de &eine pes#s$ es de!ir radu(# , e(e!u# la #pera!i0n .ue lepr#p#r!i#na)a la e2presi0n al'e)rai!a .ue se *ani-esa)a en el enun!iad#3 eld#)le de &eine pes#s/

< ? <K/KK@ ;K/KK

@ Cu%l es el d#)le del n+*er# =/El le!#r ,a as#!ia .ue el d#)le de !uales.uier !anidad se #)iene *ulipli!%nd#sep#r d#s esa !anidad$ es de!ir$ en ese !as#$ la respuesa es3

<?=@ 7K

@ Es!ri)ir el riple de 6/ A1#ra se sa)e .ue el riple es% as#!iad# a la*ulipli!a!i0n p#r res de !uales.uier !anidad$ en ese !as# ser"a3

:?6@ 75

@ Cuand# se s#li!ia el riple de !uales.uier !anidad/

C#*# n# se sa)e espe!"-i!a*ene .ué !anidad$ en#n!es ésa se represena p#r!uales.uier lieral$ p#r e(e*pl# 2/ En#n!es el riple de esa !anidad !uales.uieraen *ae*%i!as se represena !#*#3

:2

@ La di-eren!ia de d#s n+*er#s !uales.uiera/

D#s n+*er#s !uales.uiera pueden ser a , ) # !uales.uier par de leras .uese le #!urran al le!#r$ p#r l# an#$ para represenar su di-eren!ia$ se inerp#ne elsi'n# *en#s enre ell#s , la respuesa es3

a ) 0 ) a

@ El !u)# de un n+*er# !uales.uiera3

Si se di!e .ue el n+*er# !uales.uiera sea ) en#n!es a ese n+*er# se le ele&aa la er!era p#en!ia , la respuesa es3

):

@ El !uadrad# de la su*a de d#s n+*er#s/C#*# en el pr#)le*a n# se n#s indi!a !uales n+*er#s$ en#n!es se iene lali)erad de pr#p#ner a d#s n+*er#s !uales.uiera$ p#r e(e*pl# ! , d $ p#r l# an#

su su*a ele&ada al !uadrad# ser%3?!>d@<

@ El !#!iene de la su*a de d#s n+*er#s enre la di-eren!ia de es#s n+*er#s3

a > ) # a > ) a ) a)

@ La ra"z !+)i!a de la *iad de la su*a de !uar# n+*er#s/

La su*a de !uar# n+*er#s puede ser3

a > ) > ! > d

N0ese .ue l#s !uar# n+*er#s sele!!i#nad#s s#n n+*er#s !uales.uiera$ n#pueden ser n+*er#s espe!"-i!#s p#r.ue el enun!iad# pr#pues# n# l#s de-ine/

La *iad de la su*a de es#s n+*er#s es3

a > ) > ! > d<

P#r l# an#$ la ra"z !+)i!a de la *iad de la su*a de !uar# n+*er#s serepresena !#*#3

EJERCICIO 7:=/ Es!ri)ir en len'ua(e al'e)rai!# las e2presi#nes si'uienes/

7@ El !u%drupl# de un n+*er# !uales.uiera/<@ La er!era pare de un n+*er#/

:@ El riple de la su*a de d#s n+*er#s/;@ La !uara pare del !uadrad# de la di-eren!ia de d#s n+*er#s/=@ El !#!iene del d#)le de la su*a de d#s n+*er#s enre el pr#du!# de es#sn+*er#s/6@ La ra"z !+)i!a del !uadrad# de la su*a de !uar# n+*er#s/4@ La !uara pare del pr#du!# de res n+*er#s p#r el !uadrad# de un# de ell#s/5@ El riple del !uadrad# de un n+*er# enre #r# n+*er#/@ El !uadrad# de laer!era pare de la su*a de d#s n+*er#s/

7K@ El .u"nupl#$ de la *iad del pr#du!#$ de la di-eren!ia de d#s n+*er#s p#r el*inuend#/77@ El riple del !uadrad# de la di-eren!ia de d#s n+*er#s !uales.uiera/7<@ La su*a de la er!era pare de un n+*er# *%s la *iad de ese n+*er#/7:@ La di-eren!ia de d#s n+*er#s !uales.uiera le&ada al !uadrad#/

7;@ La se2a pare de la ra"z !+)i!a$ del !uadrad# de la su*a de res n+*er#s/7=@ El !#!iene de la su*a de d#s n+*er#s !uales.uiera enre el pr#du!# de es#sn+*er#s/

EJERCICIO 7:6/ Es!ri)ir el si'ni-i!ad# de las si'uienes e2presi#nes al'e)rai!as/

CAPITULO 4

ADICION ALGEBRAICA

OBJETIVOS

Al realizar un an%lisis de ese !apiul# el edu!and# per-e!!i#nara sus !#n!ep#sde redu!!i0n de ér*in#s se*e(anes , realizara !#n -luidez su*as al'e)rai!as de*#n#*i#s , p#lin#*i#s/ Ser% !apaz de apli!arl#s a la &ida !#idiana , a l#s-en0*en#s -"si!#s ade*%s de in!re*enar su ni&el de a)sra!!i0n/

ADICION ALGEBRAICA

Re!uerde el le!#r .ue en %l'e)ra la su*a de *#n#*i#s , p#lin#*i#s$ pueden sersu*a ari*éi!a de l#s !#e-i!ienes una di-eren!ia ari*éi!a de ell#s # una!#*)ina!i0n de su*as , resas de l#s !#e-i!ienes dependiend# del si'n# .ueen'an # se les pre!eda/Esas #pera!i#nes se represenan anep#niénd#se el si'n# p#sii&# ?>@ para lasu*a , el ne'ai&# ?@ para la resa enre l#s *#n#*i#s # p#lin#*i#s .ue se &a,ana su*ar # resar$ después se realiza la su*a al'e)rai!a !#n l#s !#e-i!ienes de la*is*a espe!ie$ es de!ir$ se redu!en ér*in#s es%n represenad# di&ers#s / -en0*en#s .ue e2isen en la nauraleza$ l#s !uales en el %l'e)ra se represenanp#r *edi# de lierales para .ue e2isa una *e(#r #perai&idad de ell#s$ al , !#*#se *uesra a !#ninua!i0n/

@ Si se desea su*ar a&i#nes$ en la adi!i0n l#s a&i#nes se pueden represenar p#r*edi# de la lera Fa

@ Si se iene en esudi# al ie*p#$ ése par%*er# se represena 'eneral*ene!#n la lera F

@ Si se desea$ !al!ular el nu*er# de &uelas .ue 1a dad# la ierra alreded#r dels#l$ se pueden indi!ar si*ple*ene !#n la lera Fn

TERMINOS SEMEJANTES <=6

D#s # *%s ér*in#s al'e)rai!#s s#n se*e(anes !uand# represenan a un-en0*en# de la *is*a espe!ie # )ien !uand# !#nienen la *is*a lieral # *is*aslierales ele&adas al *is*# e2p#nene al , !#*# se *uesra a !#ninua!i0n3

@ 4s , 5s@ 742< , 82<

@ =/: a ) , </5 a )

REDUCION DE TERMINOS SEMEJANTES

La redu!!i0n de ér*in#s se*e(anes !#nsise en represenar d#s # *%s ér*in#sal'e)rai!#s se*e(anes en un# s#l# para l#'rar ese #)(ei&# se de)en e-e!uar las#pera!i#nes .ue se indi!an en la e2presi0n al'e)rai!a .ue !#niene a l#s ér*in#sse*e(anes/ En l#s e(e*pl#s .ue se pr#p#r!i#nan se e*pezar% !#n su*as ,resas de ér*in#s se*e(anes # una !#*)ina!i0n de esas #pera!i#nes$ l# !ual$#d# en su !#n(un#$ si*ple*ene es la adi!i0n al 1e)rai!a3

@ : perr#s > < perr#s = perr#s

@ 4 1#*)res > ; 1#*)res 77 1#*)res

@ 7K 'uiarras W = 'uiarras = 'uiarras

@ 7K< pes#s W 7< pes#s 8K pes#s

C#*# aneri#r*ene se 1a *ani-esad#$ en %l'e)ra es !#n&eniene represenar alas espe!ies p#r *edi# de lierales$ .ue un# iene la #p#runidad de de-inir$ as" p#re(e*pl#$ para l#s perr#s se pueden e*plear la lera Fp$ la lera 1 1#*)res$ lalieral ' 'uiarras , se de-ine a p7 pes#s$ las su*as aneri#res se represenan!#*#3

@ :p > ;1 771

@ 7K' W = ' ='

@ 7K<p7 W 7<p7 8Kp7

O)sér&ese .ue para redu!ir ér*in#s se*e(anes$ al , !#*# se 1a *ani-esad#en l#s !ap"ul#s aneri#res se su*an ,# resan las !anidades , al -inal resulad#

se le 1a!e a!#*paar p#r la espe!ie .ue se esa #perand#$ en las pri*erassu*as se a!#*paar#n a l#s resulad#s !#n perr#s$ 1#*)res$ 'uiarras , pes#s/En el !#n(un# si'uiene l#s resulad#s # su*as -uer#n a!#*paad#s p#r p$ 1$ '$p7/

En #!asi#nes se de)e de anep#ner el si'n# *%s # el *en#s a l#s *#n#*i#s #p#lin#*i#s .ue pr#p#r!i#na el pr#)le*a !#n #)(e# de indi!ar la #pera!i0n .uee2i'e el enun!iad# del pr#)le*a$ en es#s !as#s anes de realizar la #pera!i0n!#n l#s !#e-i!ienes se apli!a la le, de l#s si'n#s de la *ulipli!a!i0n dada p#r3

?>@ ?>@ > ?@ ?@ >?>@ ?@ ?@ ?>@

SUMA DE MONOMIOSSu*ar l#s *#n#*i#s .ue se presenan a !#ninua!i0n3

@ *$ <* * > ?<*@ * W <* *

@ 82$ <K2 82 > ?<K2@ 82 > <K2 772

@ 4,$ 7<, 4 > ?7<,@ 4, > 7<, =,

@ *$ :n * > ?:n@ * W :n

) W 7<*$ =*

7<* > ?=*@ 7<* =* 74*

* ) 42$ 42

42 > ?42@ 42 W 42 K

** ) 8a$ K

8a > ?K@ 8a > K

*** ) <,<$ <,<

<,< > ?<,<@

****) <a$ =a

<=4<a > ?=a@ <a > =a 4a

) 42<$ 52< 42< > 52<

* ) a) > 4a)

a) > ?4a)@ a) W 4a) 6a)

**) *7:$ *7:

*7: > ?*7:@ *7: W *7: K

***) ;a< , -<a< : :

;a< > <a < ;a < W <a < <a <

: : : : : ****) <): $ > :):

4 5

<): > :): 76) : > <7): :4):

4 5 =6 =6

*) < 7 2<$ = : 2<

; ;

< 7 2< > = : 2< 42< > ? 72< > : 2<@ ; ; ; ;

42< > ; 2< 52<

;

**) ;)2 > ?:)2@ )2

EJERCISIO 7:4/ Su*ar l#s *#n#*i#s .ue se pr#p#r!i#nan/

7@ 42<$ 82< 7K@ =d$ 4d<@ 6:$ 78: 77@ <):$ 4): :@ :X<B$ <X<) 7<@ 8)n7$ 7K)n7

;@ =a$ :a=@ 8):$ 4):

6@ *$ 4*4@ ;2<$ 762<

5@ <!*$ ;!*

8@ 7:d$ =dDIYERENCIA DE MONOMIOS

En l#s e(e*pl#s si'uienes$ se &a a realizar la di-eren!ia de *#n#*i#s d#nde el*inuend# l# represenara el *#n#*i# de la iz.uierda , el su)sra,end# el de ladere!1a/ Re!uérdese .ue en ese !as# se anep#ne el si'n# *en#s alsu)sraend# , después se *ulipli!a el si'n# de la di-eren!ia ?@ p#r el si'n# .ue le!#rresp#nda al su)sra,end#$ re!#rdand# .ue las le,es de l#s si'n#s *ani-iesan

.ue3 ?>@ ?>@ > ?@ ?@ > ?>@ ?@ ?@ ?>@

@ a$ :aa?:a@ a W :a <a

@ W)$ 7K) ) W ?7K)@ ) W 7K) 77)

@ 4!$ ;!4! W ?;!@ 4! ;! 77!

@ =!$ =! =! W ?=!@ =! > =! 7K!

@ :d$ :d :d W ?:d@ :d W :d

@ <2*$ :2*

<2* W ?:2*@ <2* W :2*

@ =,<$ <,<

=,< W ?<,<@ 4,<

Se apre!ia .ue en esa di-eren!ia el *inuend# , el su)sraend# represenanele*en#s de di-erene espe!ie , n# se pueden redu!ir$ p#r l# .ue +ni!a*ene sede(a indi!ada la #pera!i0n/ L#s e(e*pl#s si'uienes s#n si*ilares/

@ ):$ )=

): W ?)=@ ): W )=

@ <1$ =1 <1 W ?=1@ <1 > =1 :1

@ 42a7$ <2a7

42a7 W <2a7 =2a7

EJERCISIO 7:5/ Realiza la di-eren!ia de l#s si'uienes *#n#*i#s/

7@ <2$ :2<@ 5,$ <,:@

=2$ 2;@ :p$ 4p=@ 5r$ 6r

6@ ;-$ =- 4@ 4a)$ <a)5@

!

2,

$ <!

2,

8@ 8a*n$ :a*n

7K@ <)<$ :)<

SUMA DE POLINOMIOS

General*ene ade*%s de su*ar en el %l'e)ra a *#n#*i#s a*)ién se su*anp#lin#*i#s$ es de!ir$ desde un p#lin#*i# !#n *as de d#s # *as p#lin#*i#s/ Parael pri*er !as# se e(e!uaran in*ediaa*ene la redu!!i0n de ér*in#s se*e(anes.ue !#nienen$ es de!ir se realiza la su*a # resa de sus ér*in#s se'+n sea el!as# , para -a!iliar el ra)a(# se su)ra,an l#s !#e-i!ienes nu*éri!#s !#n el #)(e#de .ue el es!#lar re!uerde .ue s#la*ene &a a #perar !#n ell#s , después alresulad# se a're'a la espe!ie/

@ :a > =a > 5a 76a

@ <2< > 62< > <K2< <52<

@ a<)!: > 5a<)!:

@ :/=2a > </<2a > 52a 7:/42a

@ 52< W <2< W :2< 7:2<

@ 7/=9< W <9< W 89<

@ 4 d<e: 8d<e: <d<e:

@ :) > =) 5) ; ; ;

@ 7a<2 > 4a<2 > =a<2 7:a<2

< < < <

@ 4, > 7, :=>:, : = 7=

@ :29 W :29 629

; ; ;@ 7- <' W =- <' W 6- <' - <' 4 4 4

@ :1 W <1 <77K 1 :71 = 4 := :=

EJERCICIO 7:8/ E-e!uar la redu!!i0n de ér*in#s se*e(anes en las e2presi#nesal'e)rai!as si'uienes3

7@ :X > <X > 4X <@ :2<, > =2<, > 42<, :@ <a) W :a) W 8a) W =a) ;@ ;a<):! W 5a<):! W 7Ka<):! =@ 42a< > 7K2a< > :2a< 6@ ;s W :=s > ;7s

4@ 57< > 7K7< > :7<

5@ :pr W =pr W 8pr W 4pr

8@ ;,: > =,: > 8pr W 4pr 7K@ :a > =a > 7a

; ; ;

En la &ida diaria$ en l#s -en0*en#s naurales , en 'eneral en el %l'e)ra e2isenp#lin#*i#s en d#nde e2isen d#s # *%s ér*in#s se*e(anes si*ul%nea*ene dedi-erene espe!ie , la -#r*a de 1a!er la redu!!i0n de ell#s$ al , !#*# se 1a*ani-esad#$ !#nsise en realizar las su*as al'e)rai!as p#r espe!ie/ Pre&ia*enese ideni-i!a a !ada un# de l#s ér*in#s se*e(anes , después se #peranindi&idual*ene en -#r*a si*ilar a la redu!!i0n de ér*in#s se*e(anes .ue seinsru,0 en las se!!i#nes aneri#res$ p#r e(e*pl#3

:p > <* W 5p > :p W 4* > 6p

Para realizar la redu!!i0n de l#s ér*in#s se*e(anes dad#s en la e2presi0nal'e)rai!a aneri#r$ se re!#*ienda .ue pri*er# se ideni-i!an p#r *edi# de una

ra,a in-eri#r # superi#r$ d#s ra,as in-eri#res # superi#res$ e!/ a l#s ér*in#s .uerepresenan la *is*a espe!ie$ p#r e(e*pl#3 si la lera Fp represena papa,as se leideni-i!ara !#n una ra,a 1#riz#nal a #d#s l#s ér*in#s .ue !#niene a esa parasi*pli-i!ar las #pera!i#nes .ue se &an a e-e!uar/ Si*ilar*ene se puedensu)ra,ar a l#s ér*in#s .ue !#nen'an a la lera F* .ue puede represenar en

ese !as# *anzanas per# al su)ra,arl#s se e*plea #r# s"*)#l#$ p#r e(e*pl# d#sra,as para n# !#n-undirse !#n l#s pri*er#s ér*in#s se*e(anes .ue se 1a)"anideni-i!ad# , as" su!esi&a*ene se resuel&e el pr#)le*a/ Es# es3

:p > <* W 5p > :p W 4* > 6p

:p > <* W 5p > :p W 4* > 6p

Yinal*ene se realizan las #pera!i#nes !#n l#s ér*in#s se*e(anes e2isenes enla e2presi0n en -#r*a indi&idual$ es de!ir se su*an al'e)rai!a*ene papa,as !#npapa,as , después *anzanas !#n *anzanas$ eniénd#se -inal*ene3

:p > <* W 5p > :p W 4* > 6p :p > <* W 5p > :p W 4* > 6p ;p W =*

Redu!ir ér*in#s se*e(anes en las si'uienes e2presi#nes$ d#nde en al'un#s deell#s$ ,a se ideni-i!ar#n a l#s ér*in#s se*e(anes$ es de!ir a l#s .ue represenanla *is*a espe!ie p#r *edi# de una ra,a in-eri#r 1#riz#nal # p#r d#s ra,asin-eri#res 1#riz#nales

@ 52< > =, W 5, W 7<2< > 7=, W <2< 62< > 7<,

@ 75a) W :,z > 8a) > =a) W :,z ;a) W 6,z

@ 8d > :e W <- > 8d W :e > <- K

@ =- : > 4'< > :- : W 5'< W - : > 7K'< > 7K'< > :'< :- : > 7<'<

@ a > <) W :! > =a W 77a > 5) W 4) > 6! a > <) 6a > > :!

@ 77d: > 5!< W d > 7:d: W 8!< > 7=d 7<> :!< <d: > 7;d > 7<

@ <2

*7

> :,

n

W 42

*7

> =,

n

> 82

*7

W 52

*7

5,n ;2*7

EJERCISIO 7;K/ Redu!ir ér*in#s se*e(anes en las e2presi#nes al'e)rai!assi'uienes/

7@ =* > <n W 7=* W n<@ <a W ) > :) > 5) W =a W 4) >

86 W 7<) <Ka :@ 4< > =< W 5* W :< > 7K* ;@ <2 > :, W 7<2 > :2 W 4, > 4, W

82 W =2 > 7<, =@ 762 W 78, W :2 > <2 7K2 > <,

W :, W 4, > <2 6@ ;2< > 82< W 82 W 7K2< W 42< >

=2 W :2< > 772

4@ :6,: > 7<,< W 7 > 7=,: W <,: >5,: W 7<,< W ,< > < W :,<

5@ 76*p W 7:*r > 5*r W 7=*r W7<*p > : W 7<*p W *p

8@ 6- W :e > =- W 7:- > 4- W <e > - W 8e > 7=e > - > :e W 7<-

7K@ 4# > 8n W :n W 4# > =# W 8n >7:n W =# > 78n W n

Cuand# se su*an p#lin#*i#s$ és#s se separan p#r *edi# de parénesis , seanep#ne el si'n# p#sii&# al se'und# su*and#$ para indi!ar la #pera!i0n$después se apli!a el pr#du!# del Si'n# p#sii&# p#r !ada un# de l#s ele*en#sdel p#lin#*i#$ después se e(e!uan las su*as al'e)rai!as .ue .uedan indi!adas$al , !#*# se *uesra a !#ninua!i0n/

@ a > )Z <a W )

?a>)@ > ?<a)@ a > ) > <a W ) :a

@ =1 > :(Z <1 > :i W 7<(

?=1>:(@ > ?<1>:i7<(@ =1 > :( W <1 > :i W 7<( :1 > =i W 8(

@ <a > :) W =! > 7Z :a > =) > =! W 7

?<a>:)=!>7@ > ?:a>=)>=!7@ <a > :) W =! > 7 W :a > =) > =! W 7 a > 5)

La su*a de p#lin#*i#s a*)ién se pueden realizar !#l#!and# l#s su*and#s en-#r*a &eri!al$ al , !#*# se realizar#n en nuesras pri*eras adi!i#nes de l#sesudi#s pri*ari#s

@ :2< > <, > =Z =2< > 7<, > 8Z 62< W :, > <

:2< > <, > =

=2< > 7<, > 8 62 < W :, > <

;2< > 77, > 76

@ :a > <) W ! > 7Z =a W 5) W : > !Z 4a W =) > 5!Z ! > )

:a > <) W ! > 7 =a W 5) W : > !4a W =) > 5!

! > )8a > 7K) > 4! W <

@ < > :( > =Z < > :Z 4( > 7Z 8 > :( W <Z 6 7

< > :( > = < > : 4( > 7 8 > :( W < 6 7 7= ( > 6

@ :2< > <2 W 7Z 82< W :2 > <Z <2< > ;Z :2< > =2 W 7

:2< > <2 W 7 82< W :2 > <<2< > ; :2< > =2 W 77:2< > ;2 > ;

Si l#s p#lin#*i#s .ue se su*an !#nienen n+*er#s ra!i#nales en -#r*a de-ra!!i#nes$ se re!#*ienda .ue3

7/ Se indi.ue la su*a$ anep#niénd#se el si'n# p#sii&# a !ada su*and# .ue seen!errar%n enre parénesis/

</ se .uian l#s parénesis .ue 1an a'rupad# a !ada su*and#/

:/ S a'rupan ér*in#s se*e(anes$ p#r *edi# de parénesis/

;/ P#r separad# se realizan las #pera!i#nes de l#s er*in#s se*e(anes$ al ,!#*a se *uesra a !#ninua!i0n/

@ :2< > =2 > 7Z 62< > :Z :2< > 42 7; 8 ; < ; < ;

:2< > =2 > 7 > 62< > : > 42 7; 8 ; < < ;

:2< > =2 > 7 > 62< > : > :2< > 42 W 7 ; 8 ; < ; < ;

:2< > 62< > :2< > =2 > 42 > 7 > : W 7 :2< > 4:2 > 8; ; ; 8 < < ; 75 ;

DESARROLLO DE OPERACIONES

:a > 7a W =a :Ka > ;a W <=a 8a =) > ;) W 7) :K) > <5) W <7 ) :4)< = ; <K <K 4 6 < ;< ;<

7! W :! > 7! ! W 6! > ! 6! :! : W 7K > 7 : W <K > 7 76 5; < ; ; ; < < < < <

@ =a > <) > <Z 7a W <) > :Z 4a W <=) 7: : ; 4 = : 4 =

=a > <) > < > 7a W <) > : > 4a W <=) 7 : : ; 4 = : 4 =

=a > <) > < > 7a W <) > : > 4a W <=) 7 : : ; 4 = : 4 =

=a > 7a > 4a > <) > <) > <=) > < > : W 7 =a W 64) > 7<: ; : : 4 4 = = 7< <7 =

EJERCICIO 7;7/ Su*ar las si'uienes e2presi#nes

7@ <2 > :Z =2 > 7Z :2 > <<@ 4a > )Z :5) > =Z a > ):@ :2 > <, W 7Z =2 > <, W :Z 62 W

<, W 7;@ =2< > 52 W :Z =2< > 752 W 7<=@ 7=* > 7<n W :Z ;* :n > <Z

* > n > 76@ :*n > =rs > <Z 4*n > :rs W

:Z <*n W rs > =4@ <d< > =e: W 4-Z <d< W <e: > 4-Z

d< W :e: > <- 5@ W 2 > , W zZ :2 W <, > 4zZ <2 W

4, > z8@ < > : 8[Z 5 <( W [Z :( >

<[

7K@ 4# > :p W <.Z =# > 4p W 8.Z 8p W :.Z 4# > 4.Z 7Kp

77@ a: W ): > 7Z a: W 7Z 4a: W 5): ><Z ;a: W 4):

7<@ ;a > :a) W =)Z 5a W :a) > <)Za W 4a) W 7<)

7:@ <r W 4s > =Z 8r > <Z =s W 7Z <r W 4s > :Z s > ;

7;@ W 8 W :a > =-Z 74 W <a > =-Z 5> :a W :- W 7

7=@ <2 W :2 W 4Z 62 W 52 > <Z 52 >772 > =

DIYERENCIA DE POLINOMIOS

Cal!ular la resa de l#s si'uienes p#lin#*i#s$ siend# el pri*er# de ell#s el*inuend#/ Re!uérdese .ue en ese !as# se de)e ane!eder el si'n# ne'ai&# ?@al p#lin#*i# .ue represena al su)sraend#$ us%nd#se un parénesis para en!errar en él a #d#s l#s ér*in#s del su)sraend# , después se apli!a la le, disri)ui&a!#n el si'n# *en#s a !ada un# de l#s ele*en#s de su)sraend#/ Es# es3

@ 2< > <2 W 7Z :2< > <2 :

2< > <2 W 7 W?:2< > <2 :@ 2< > <2 W 7 >:2< <2 >:

;2< > <

@ Wa > :) > ! W 4d3 <a =) W ! > 8d

Wa > :) > ! W 4d ?<a =)W ! > 8d@ Wa > :) > ! W 4d ><a >=) >! 8d

a > 5) > <! W 76d

@ a > )Z a W )

a > ) W ?a W )@ a > ) W a > ) <)

@ a< > =a> :Z < a< W =a > :

a< > =a > : W ?<a W =\ > :@ a< > =a > : W <a > =a W :

a< > 7Ka

DESARROLLO DE LAS OPERACIONES

:a) > =a) 8a) > 7Ka) 7a) 7a > <a a > 7Ka 8a< : 6 6 = = =

<) W 7) 7;) W :) 77)

: 4 <7 <7 < 2<: W 27= > < 2K/: W :2<: > 427= > 52K/: <=2<: W 7 27= > 7;2K/:

4 < 5 : 7; 5 :

DESARROLLO DE LAS OPERACIONES3

< 2<: W :2<: ;2 <: W <72<: <=2<: 4 < 7; 7;

<2K/: > 52K/: 62 /: > 52/: 7;2K/: : : :

EJERCISIO 7;</ ]allar la resa de l#s si'uienes p#lin#*i#s$ el se'und# p#lin#*i#es el su)sraend#/

7@ W =2 > <, Z :2 W <,<@ W 52< > =2 W <Z 7K2< > =2 > 5:@ :\ > <) W !Z =a > 4) W 5!;@ <* W :n > 4#Z 7K* W :n W

8#=@ <a W 4) > 5Z =a > 4) W :! W

7=

6@ W =*n W 7:p > ;* > <nZ 4* >7Kp W * W ;*n

4@ <2 W ,Z :2< > <2, W =, > =5@ :=e > 7<- > <' =1Z <e > 77- >

<' > :18@ 6/=a > 4/:) W 8/<! W dZ 8/:a W

77/=) > 7/:) > <d7K@ :<: W =*7: > <2, W =, > =

En %l'e)ra e2isen &arias e2presi#nes .ue s#n a'rupadas enre parénesis$!#n #)(e# de si*pli-i!arlas$ al #perar l#s si'n#s .ue ane!eden a l#sparénesis .uedan lisas para redu!irse a l#s ér*in#s se*e(anes .ue iene lae2presi0n al'e)rai!a$ al , !#*# se *uesra en l#s e(e*pl#s si'uienes3

NOTA/ En l#s e(e*pl#s si'uienes se eli*inan pri*er# paulaina*ene l#sparénesis ineri#res/ El pr#!es# de eli*inar l#s parénesis er*ina !uand# se#pera el e2eri#r @ a W ?a>)@ a W a W ) )

@ W ?<! > :d W ;@ W ? 7<! > =d W 4Q @ <! W :d > ; W ?7<!=d>4@ <! W :d > ; > 7<! > =d W 4 7K! > <d W :

@ W 2 > <, W :2 > 4, W ?2<,@ > <Q W 4 2 > <, W ?:2>4,2><,><@ W 4 2 > <, W ?<2>8,><@ W 4 2 > <, W <2 W 8, W < W 4 :2 W 4, 8

@ W ? <a W :) > =a W 5) ? <a W :) W =a W 5)@ <a > :) > =a > 5) 4a

@ W :) > =! W 4a W ?:a > 77)@ W ;a W <!Q <, > 42 W :, W <2 > 4, > =2 W <2 W : W 7@ 7;a W 7;) > 4!

@ :2 W ?, > 42 W :, W <2 W 4, W =2Q W <2 > :Q W 7@ :2 W ?<, > 42 W :, W <2 > 4, > =2 W <2 W : W 7@ :2 W <, W 42 > :, > <2 W 4, W =2 > <2 > : > 7 =2 W 6, > ;

EJERCISIO 7;:/ Supri*ir parénesis , redu!ir ér*in#s se*e(anes en lassi'uienes e2presi#nes/

7@ 2 W ? <2 > , :@ > ?<2 W , > :@ W 2

<@ a > ?) W ! > <a @ W ?a > ) > !@ :@ W <d > :- W ?4d W :- > =d@ W <-;@ :' W <1 W ?:' > <1 W =1 W <'Q

W :'@ =@ W ? a > ) W ! <d W ;a > !@

W dQ > ?a > ) W !@ 6@ W :a > <) W ! W ?a > :! W <a >

=! W a@ <) W :!Q

4@ W ?a > )@ W a >?<\ > )@ W ?a W)@

5@ :2 > <, W ?<2 W , > 4, W2@ > <2> 6,

8@ W ?) > ! W d@ W ?) > ! W a >) > ) W d@

7K@ a > ?a > =) W :\ 4@ W<a > 5)Q W 4)

De*#srar .ue es &alida la le, !#n*uai&a en las si'uienes adi!i#nes/

@a > <a <a > a @ =) > 8) 8) > =) :a :a 7;) 7;)

@ 4! > ?8!@ 8! > 4! <! <!

@ ?a > :) > !@ > ?:a W =) > 5!@ ?:a W =) > 5!@ > ?a > :) > !@ a > :) > ! > :a W =) > 5! :a W =) > 5! > a :) > ! ;a W <) > 8! ;a W <) > 8!

EJERCISIO 7;;/ De*#srar .ue es &%lida la le, !#n*uai&a en las si'uienessu*as al'e)rai!as/

7@ =1 > 81 <@ :* > <* :@ 4[ > 5[ ;@ W 8 > =@ 5s< W 7Ks<

6@ ?a2 > <@ > ?=2 > 5@4@ ?a > :) W !@ > ?=a W 5) > :!@ 5@ :2 W < > 82 > 7

; <

Veri-i!ar .ue es &alida la le, as#!iai&a en las si'uienes e2presi#nes/

@ a > ?<a > =a @ ?a > <a @ > =a @ W =2 > ?<2 > 7:2@ ? =2 > <2@ > 7:2 a > 4a :a > =\ =2 > 7=2 :2 > 7:2

5a 5a 7K2 7K2

@ 7=2 > ?<2 > 42@ > ?:2 > 52@Q 7=2 > ?<2 > 42@Q > :2 > 52 7=2 > ?82 > 772@ ?7=2 > 82@ > 772 7=2 > <K2 <;2 > 772 :=2 :=2

EJERCICIO 7;=/ In&esi'a si es &alida la le, as#!iai&a en las e2presi#nessi'uienes3

7@ a > ?:a > 5a @ <@ ?;* > 7K*@ > <* :@ ?<* > *@ > =*;@ 41 > ?7K1 > 1@=@ W ;d > 5d > =d@

6@ W 8a > 4a > 8a4@ ?a > )@ > ?a > )@ > <a Q5@ ?=1 > [@ > =1 > ?<1 W [@Q8@ ?<* > :n@ > =* > ?:* > n@7K@ ?6* > 7@ > ?:* W :@Q > ?;* W

VALOR NUMERICO

Cuand# en una e2presi0n al'e)rai!a se pr#p#r!i#nan l#s &al#res de las lierales.ue !#nienen$ al su)siuirse és#s en la e2presi0n$ se #)iene su &al#r nu*éri!#$al , !#*# se *uesra a !#ninua!i0n/

@ <a > :) W ;! < ?:@ > : ?7@ W ; ?<@ 6 > : W 5 7

@ /4a > 5) W :! > d 4 ?:@ > 5 ?7@ W : ?<@ W 7 <7 > 5 W 6 W 7 <K

EJERCISIO 7;6/ Cal!ular el &al#r nu*éri!# de las si'uienes e2presi#nes3 si 2 ;$, = ,a <

7@ <2 > :, > z <@ :2 W , > 4z :@ 2 W , W z ;@ <2 W z =@ :2 > <, > :z

6@ 42 W <, > :z 4@ W 82 > 4, W z 5@ 2 W :, > z8@ <2 > =, W ;z 10) 7=, > <z

E2isen e2presi#nes !u,a !#*p#si!i0n -#r*a -un!i#nes de d#s lierales , !uand#se desea !#n#!er !#*# es su -#r*a s#)re una 'ra-i!a$ se su)siu,en l#s &al#resde una de las lierales para #)ener el de la #ra$ es de!ir se !al!ula su &al#rnu*éri!#$ al , !#*# se *uesra a !#ninua!i0n/

O)ener l#s &al#res de F, si es% dad p#r la e2presi0n3

^ 7< W <2 ?7@ :

En es#s !as#s .ue n# se pr#p#r!i#nan &al#res de una de las in!0'nias el le!#rl#s de)e de pr#p#ner$ p#r e(e*pl# és#s pueden ser 3 K$ 7$ <$ :$ ;$ =$ 6$ 4$ 5 , 8 p#r *ani-esar s#l# un#s !uan#s per# el le!#r puede pr#p#ner *%s/

En la e2presi0n .ue pr#p#r!i#na el pr#)le*a se &a !al!uland# el &al#r de F,$!#n-#r*e se &an su)siu,end# l#s &al#res .ue se a!a)an de pr#p#ner/ Se le pideal es!#lar .ue !#*ple*ene l#s !%l!ul#s !uand# sea ne!esari#/

^K 7< W < ?K@ 7< W K ;: :

,7 7< W < ?<@ 7< W ; </:: :

,< 7< W < ? @ 7< W 5 : :

,: 7< W < ? @ 7< K

: :,; < ?5@ 76 7/:

: :

Cuand# l#s !%l!ul#s 1an er*inad# se es!ri)en l#s &al#res para F, en la a)laaneri#r$ !#n el -in de ener !lara*ene ideni-i!ad#s a l#s pun#s .ue deer*inar%nla l"nea re!a .ue de-ine la -un!i0n dada p#r la e2presi0n pr#)le*a en esudi#/Es# es3 X ^ P ?2$,@

K ; A ?K$;@7 :/: B ?7$:/:@< </6 C ?<$ </6@: D ? $<@ 7/: E ? $7/:8

Re!uérdese .ue al l#!alizar a l#s pun#s .ue es%n de-inid#s en la +li*a a)las#)re un sise*a de e(es !aresian#$ se de-ine a una l"nea re!a$ &éase la -i'ura al-inal de esa se!!i0n en !as# de duda

IDEA DE YUNCION

Cuand# de una e!ua!i0n se despe(a a una de sus in!0'nias , se !al!ulan &al#res!#rresp#ndienes de ella$ dependiend# de l#s &al#res de la #ra in!0'nia se di!e.ue e2ise una YUNCION/

REGLA DE CORRESONDENCIA

N0ese .ue F, esa rela!i#nada !#n F2 p#r *edi# de una e2presi0n *ae*%i!a!#n la !ual se #)iene un &al#r de F, para !ada &al#r de F2 pr#pues#/ Lae2presi0n *ae*%i!a .ue rela!i#na a F, !#n2$ se le lla*a REGLA DECORRESPONDENCIA/

PAR ORDENADO

O)sér&ese .ue las !##rdenadas de !ada un# de l#s pun#s dad#s en la uli*aa)la !#nsa de un par de n+*er#s$ !#rresp#ndiene a la ABSCISA F2 , despuésel de la ORDENADA F,$ ese 1e!1# represena un #rden$ p#r esa d#s raz#nes alas !##rdenadas de un pun# se les lla*a PAR ORDENADO

el !#n(un# de pares #rdenad#s dad#s p#r las !##rdenadas de l#s pun#s .ue se*uesran en la uli*a a)la$ pueden es!ri)irse 1#riz#nal*ene en!errad#s p#r unalla&es$ !#n l# !ual se de-ine la -un!i0n .ue se es% analizand# en ese !as#$ se lella*a Y7/

Y7 ?K$;@$ ?7$:/:@$ ?<$<$6@$ ?:$<@$ ?;$7/:@$ ?=$ K/6@$ ?6$K@$ ?4$K/6@$ ?5$7/:@$?8$<@

Al !#n(un# de l#s pri*er#s ele*en#s de l#s pares #rdenad#s se les lla*ad#*ini# de la -un!i0n , a l#s se'und#s ele*en#s se les den#*ina ran'#$ de al-#r*a .ue en ese !as# el d#*ini# D - , el ran'# R- s#n dad#s p#r

D- K$ 7 $ <$ :$ ;$ =$ 6$ 4$ 5$ 8$QR- ;$ :/:$ </6$ <$ 7/:$ K/6$ K $ K/6$ 7/:$<Q

C#n #)(e# de a!larar es#s nue&#s !#n!ep#s se le in&ia al le!#r a realizar lae2presi0n 1#riz#nal de la -un!i0n si'uiene3

, :2 W 6 ?<@ =

C#n l#s &al#res !al!ulad#s re!iene*ene se -#r*a el si'uiene !#n(un# de pares#rdenad#s .ue de-inen a la se'unda -un!i0n Y</

Y< ?K$7/<@$ ?7$ 7/5@$ ?<$ </;@$ ?:$:@$ ?;$$ :/6@$ ?=$ ;/<@$ ?6$ ;/=@$ ?$ =/;@$ ?5$6@$ ?8$6/6@

L#s pares #rdenad#s aneri#res s#n ele*en#s de la si'uiene a)la .ue rep#ranl#s !%l!ul#s realizad#s !#n la se'unda -un!i0n/

Se l#!alizan l#s pun#s de !ada -un!i0n en un sise*a de e(es !aresian# paraunirl#s en -#r*a respe!i&a , #)ener as"$ las 'r%-i!as de las d#s -un!i#nes dadasini!ial*ene p#r las e!ua!i#nes ?7@ ?<@/

Las lineales re!as represenadas p#r l#s e(e*pl#s aneri#res se di!e .ue s#n-un!i#nes lineales$ p#r.ue su represena!i0n 'r%-i!a es una l"nea re!a/ Per#

e2isen en la nauraleza una in-inidad de !ur&as$ enre ésas se en!uenran las!uadr%i!as represenadas *ae*%i!a*ene p#r una -un!i0n !uadr%i!a$ es de!iruna e2presi0n al'e)rai!a se se'und# 'rad# en una de sus lierales , !#*# une(e*pl# se da e2presi0n3

, 2<

La represena!i0n 'r%-i!a$ de ese ip# de -un!i0n es una l"nea !ur&a lla*adapar%)#la/ Esa -i'ura iene &aria!i#nes .ue dependen del d#*ini# de la -un!i0n$ el!ual es deer*inad# p#r las !#ndi!i#nes *ae*%i!as # -"si!as i*puesas p#r elpr#)le*a pari!ular .ue se rae/ Para ilusrar un !as# pari!ular de esa !ur&a!#nsidérese l#s si'uienes &al#res de F2

D- _$ ;$ :$ <$ 7$ K$ 7$ <$ :$ ;$_/

Si'uiénd#se la é!ni!a dada en las -un!i#nes lineales$ se realizar% pri*er# lasu)siu!i0n de !ada ele*en# del d#*ini# pr#pues# en la e2presi0n dada p#r ele(e*pl#/ A l#s &al#res #)enid#s se le as#!iar%$ !#n su ele*en# !#rresp#ndienedel d#*ini# de la -un!i0n para -#r*ar a las pare(as #rdenadas .ue represenar%n al#s pun#s de esa -un!i0n en el sise*a de e(es !aresian#s X 2 /̂ es# es3

Para 2 ; ^ ?;@< 76

Para 2 :, ? :@< 8

Para 2 < ^ ? <@< ;

Para 2 7 ^ ? 7@< ;

Para 2 K ^ ?K@< K

Para 2 7 ^ ?7@< 7

Para 2 < ^ ?<@< ;

Para 2 : , ?:@< 8

C#n l#s aneri#res ele*en#s del ran'# de la -un!i0n -?2@ 2 < , !#n susrespe!i&#s ele*en#s del d#*ini#$ se ienen a l#s si'uienes pares #rdenad#s3

Y ?2@ ? ;$ 76@$ ? :$ 8@$ ? <$ ;@$ ? 7$ 7@

?K$K@$ ?7$7@$ ?<$;@$ ?:$8@$ ?;$ 76@

Al !#l#!ar l#s pun#s aneri#res s#)re el sise*a de e(es !aresian# X 2 $̂ se#)iene la !ur&a .ue se *uesra en la p%'ina si'uiene$ la !ual p#r !ier# se 1apr#l#n'ad#/

EJERCISIO 7;4/ Realiza la 'r%-i!a de las -un!i#nes si'uienes$ !#nsiderand#!#*# d#*ini# de la -un!i0n al !#n(un#3

7/ , 2 > 7</ , <2:/ , :2 W =;/ ; 82 > 75=/ , 2< > 76/ , 2< W 62 W 84/ , 2< <2 > 65/ , :2 W 7K7K/ , 2<

CAPITULO 5

MULTIPLICACION ALGEBRAICA

OBJETIVOS

In!re*enar el ni&el de a)sra!!i0n , la 1a)ilidad para *anipular el pr#du!# de*#n#*i#s p#r *#n#*i#s$ *#n#*i#s p#r p#lin#*i#s , p#lin#*i#s p#r p#lin#*i#san# !#n e2presi#nes al'e)rai!as eneras !#*# !#n -ra!!i#narias , !#nar% !#nl#s !#n#!i*ien#s su-i!ienes para apli!arl#s en l#s e*as su)se!uenes delpr#'ra*a/

Para .ue el esudiane pueda realizar pr#du!#s al'e)rai!#s sin di-i!ulad$ de)e dee*plear per-e!a*ene las le,es de l#s e2p#nenes pr#p#r!i#nadas en l#s!ap"ul#s aneri#res/ Las le,es de l#s si'n#s indi!an .ue

> > > Z > > , >

Cuand# se *ulipli!an d#s !anidades del *is*# si'n#$ su pr#du!# es p#sii&#$ esde!ir3

?a@ ?)@ a ) ?a@ ?)@ a )

Cuand# se *ulipli!an d#s !anidades de si'n#s !#nrari#s su pr#du!# esne'ai&#$ es# es3

?a@ ?)@ a ) Z ?a@ ?)@ a$ )

La le, de l#s e2p#nenes$ di!e .ue !uand# se *ulipli!an n+*er#s de la *is*aBASE$ su pr#du!# es i'ual a la BASE ele&ada a la su*a de l#s e2p#nenes de!ada un# de l#s -a!#res/Es# es3

@ a* an a*>n

@ <: <; << <:>;>< <8

@ :< :: :<>: :=

@ a; a7K a;>7K a7;

El !#e-i!iene de la *ulipli!a!i0n de d#s -a!#res$ es i'ual al pr#du!# de l#s!#e-i!ienes de l#s -a!#res/ Es de!ir3

@ :a <) 6a)

@ ;2 :* 7<2* 7<2*

En %l'e)ra e2isen res ip#s de *ulipli!a!i#nes .ue s#n3 pr#du!#s de *#n#*i#s$pr#du!#s de un *#n#*i# p#r un p#lin#*i# , pr#du!#s de p#lin#*i#s/

MULTIPLICACI`N DE MONOMIOS CON CEYICIENTES ENTEROS

Para *ulipli!ar al'e)rai!a*ene *#n#*i#s es !#n&eniene .ue se uili!e lasi'uiene é!ni!a/

7/ Se *ulipli!an l#s !#e-i!ienes de l#s -a!#res$ eniend# en !uena el pr#du!#de l#s si'n#s .ue l#s a!#*paan/

</ Se *ulipli!an las lierales de la *is*a )ase$ su*%nd#se sus e2p#nenes/

:/ Se indi!an l#s pr#du!#s de las lierales$ !uidand# .ue n# e2isa nin'+ns"*)#l# #perai&# enre ellas$ a e2!ep!i0n del s"*)#l# de *ulipli!a!i0n enrelierales se #*ie , se a!epa .ue e2ise enre ésas un pr#du!#$ al , !#*# se*uesra a !#ninua!i0n$ d#nde !uand# sea ne!esari# el es!#lar de)e!#*ple*enar el pr#!es#/

@ < ?5@ 76

P#r el pr#du!# de l#s si'n#s es p#sii&#3 ?>@ ?>@ > , < 5 76

@ < ? 5@ 76

P#r.ue el pr#du!# de l#s si'n#s es ne'ai&# 3 ?>@ ?@

@ W < ? 5@ 76

P#r.ue el pr#du!# de l#s si'n#s es p#sii&# ?@ ?@ >

@ ?<a=@ ? :a4@ 6a=>4 6a7<

El si'n# ne'ai&# del resulad# es de)id# a .ue3 ?>@ ?@ , en el pr#du!# sesu*an l#s e2p#nenes p#r ser ener la *is*a )asa l#s -a!#res$ es de!ir la *is*alieral/

@ ? 4)@ ? 8)6@ 6:)7>6 6:)4

El si'n# p#sii&# del resulad# es de)id# a .ue ?@ ?@ > , se su*ar#n l#se2p#nenes p#r !#nener la *is*a lieral l#s -a!#res/

@ 7:! ? <!@ <6!7>7 <6!<

El resulad# a*)ién lla*ad# pr#du!# es ne'ai&# p#r.ue3 ?>@ ?@ , !#*# lalieral es la *is*a en !ada -a!#r se su*an sus e2p#nenes

@ W 62<, ? <2,:@ 7<2<>7,7>:

El pr#du!# es p#r.ue , para las lierales!#rresp#ndienes de la *is*a )ase su*ar#n l#s e2p#nenes , .ueda indi!ad# elpr#du!# de lierales disinas/

@ 625,4 ? <K2,<z@ 7<K25>7,4><z

7<K28,8z

@ =e- < ?4e:- =@ :=e7> - >

:=e;- 4

EJERCISIO 7;5/ ]a!er las *ulipli!a!i#nes si'uienes/

7@ : ?=@<@ W 4 ? ;@:@ W 5 ? 8@;@ W 8 ?6@=@ <a ?:)@

6@ :) ?=)<@4@ W 42< ?52:@5@ 82: ? 62=@8@ :a<) ?<a):@7K@ =2:,<z ? :2,<z;@

MULTIPLICACI`N DE MONOMIOS CON COEYICIENTES RACIONALES

Si l#s !#e-i!ienes en la *ulipli!a!i0n de d#s # *%s *#n#*i#s s#n n+*er#sra!i#nales$ su pr#du!# se e-e!+a !#n la *is*a esrae'ia$ es de!ir3

7/ Se *ulipli!an l#s !#e-i!ienes$ !uidand# !el#sa*ene realizar el pr#du!# del#s si'n#s de l#s -a!#res , re!#rdand# .ue$ en ese !as# se *ulipli!an

nu*erad#r p#r nu*erad#r , den#*ina p#r den#*inad#r

</ Se *ulipli!an las lierales de la *is*a )ase su*%nd#se sus e2p#nenes , sede(a indi!and# el pr#du!# de las lierales !#n di-erene )ase/ Es# es3 @ : W = 7= ; < 5

El pr#du!# ne'ai&# p#r.ue3

>

@ W < W 7 > < 7 4 ; <5 7;

El pr#du!# es p#sii&# p#r.ue3

>

@ W 7/=a:)< ? :a4)@ ;/=a:>4)<>7

;/=a7K):

EJERCISIO 7;8/ E-e!uar las *ulipli!a!i#nes si'uienes/

7@ W : 7 < =

<@ 4 : < ;

:@ <2: 72<

: =;@ ; < a:) = :

=@ : a)< 7< a: )4 < 4

MULTIPLICACI`N DE MONOMIOS CON EXPONENTES LITERALES

Si l#s e2p#nenes s#n n+*er#s des!#n#!id#s represenad#s p#r lierales # p#runa !#*)ina!i0n de n+*er#s !#n#!id#s , lierales$ la *ulipli!a!i0n se realiza )a(#l#s *is*#s prin!ipi#s$ es de!ir3

7/ Se *ulipli!an l#s !#e-i!ienes$ sin #l&idar la apli!a!i0n de la le, de l#s si'n#s/

</ Se *ulipli!an las lierales de la *is*a )ase$ su*%nd#se sus e2p#nenes #indi!%nd#se la su*a de ell#s/

:/ Se #)ser&a .ue esé represenad# el pr#du!# de las lierales de di-erene)ase/

@ 2* <2= <2*>6

@ :*n ? 5*<n@ <;*n><n <;*:n

@ ? =<>p@ ?<=@ 7K<>p>?=@

7K<>p>=Q 7K:p>4

EJERCISIO 7=K/ Mulipli!ar l#s si'uienes -a!#res/

7@ a a=

<@ :)* ? 4 n:@:@ ;!i ? =!i>:@;@ <di>< ? 4ii>:@=@ 61 (>= ?<1 (@

6@ W :1*>< ? 7<1=*>:@4@ W ;*4n ? 4*5*@5@ <24>< ? :2=>5*@8@ 4,4>= ?6,:*><n>4@7K@ :a*><>n>; ?=a:*>:n>4@

MULTIPLICACI`N DE MONOMIOS CON EXPONENTES NEGATIVOS

En las *ulipli!a!i#nes al'e)rai!as e2isen !as#s de l#s !uales sus e2presi#nes!#nienen e2p#nenes ne'ai&#s$ n# #)sane a ell# la é!ni!a de e(e!uar elpr#du!# es la *is*a$ s#l# se re!#*ienda .ue al su*ar l#s e2p#nene de laslierales de la *is*a )ase$ se indi.ue p#r *edi# de un parénesis el si'n#ne'ai&# del e2p#nene , después realizar las #pera!i#nes .ue .uedan indi!adas/Es# es3

@ W)= )< )=>< ):

@ ;!: <!: 5!:>?:@ 5!::

5!K 5 ?7@ 5

@ =2; ? ;24@ <K2;>?4@ <K2;4 <K2:

EJERCISIO 7=7/ Resuel&e las si'uienes *ulipli!a!i#nes al'e)rai!as/

7@ a:a5

<@ a= a4

:@ )7K ):

;@ !: !<

=@ :*= ?<*;@

6@ W =*6 ? <*7K@4@ 5*4?8n;@

5@ :2<,< ? 7K2:,4@8@ ?5*<n=@ ?7:*6n787K@7:2p>7,: ?<2<p4,8@

MULTIPLICACION DE MONOMIOS CON EXPONENTES RACIONALES

En las *ulipli!a!i#nes al'e)rai!as e2isen a*)ién -a!#res .ue !#nienenlierales !#n e2p#nenes -ra!!i#nari#s # una !#*)ina!i0n de n+*er#s ra!i#nales!#n ener#s$ la é!ni!a de s#lu!i0n es e2a!a*ene la *is*a$ en es#s !as#s sere!#*ienda .ue se indi.ue la su*a de l#s e2p#nenes anes de e(e!uarla$ al ,!#*# se *uesra a !#ninua!i0n/

@ 2<:27: 2<:>7: 2:: 27 2

@ 2<= <2:< <2<=>:< <2;>7=7K <2787K

@ a;4a4 a;4?4@ a ;44 a?;;8@4 a ;=4

@ ?:) =:@ ? =)7;@ 7==:>7; 7=) ?<K>:@7< 7=)<:7<

EJERCISIO 7=</ Mulipli!a l#s si'uienes -a!#res

7@ :2<: ?2<:@<@ <a :< ?5a 4:@:@ 8)<4 ?:)74@

;@ 8)<4 ? :)74@=@ 7 a <:)7= <a :<):

; 4

MULTIPLICACI`N DE MAS DE DOS MONOMIOS

En la *ulipli!a!i0n de *%s de d#s *#n#*i#s$ el pr#du!# se realiza si'uiend# la*is*a é!ni!a .ue se 1a des!ri# , .ue !#nsise en 3

7/ Mulipli!ar l#s !#e-i!ienes #*and# en !uena las le,es de l#s si'n#s/

</ Su*ar l#s e2p#nenes de las lierales de la *is*a )ase/:/ O)ser&ar .ue e2ise el pr#du!# indi!ad# enre las lierales de di-erene )ase

@ a< a: a6 a <>:>6 a77

@ ?<a @ ? =a:@ ?4@ 4K\ 4K\

@ ;a :) ?:a <):@?a =);@ 7<\a:><>=)7>:>;

7<a 7K)5

@ ?2<,@ ? =2,:@ ?=2<,@ ?=2:,4@ 7<=2<>7><>:,7><>: 7<=25,7<

EJERCISIO 7=:/ E(e!ua las si'uienes *ulipli!a!i#nes/

7@ :* ?<*<@ ?=*6@?4*;@<@ W 4a) ?5a<)@?=a <):@:@ 7K2<, ?<2<,<@?52,<8 ?<2,@;@ 8e<-? =e:- ;@?:e4- =@

=@ :':1? 8'<1<@?<'1=@6@ a2>7?a2@?a2><@ ?4*;@4@ ), ?:),><@?)<,@?):@

MULTIPLICACI`N DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO

Para *ulipli!ar un *#n#*i# p#r un p#lin#*i#$ se apli!a la le, disri)ui&a de la*ulipli!a!i0n an%l#'a*ene !#*# se e-e!u0 !#n l#s sise*as nu*éri!#s de l#snaurales$ ener#s$ ra!i#nales , reales en 'eneral/ Al apli!arse esa le, el pr#du!#de un *#n#*i# p#r un p#lin#*i#$ el resulad# es i'ual a una su*a de pr#du!#sde *#n#*i#s$ al , !#*# se *uesra a !#ninua!i0n/

@ a: ?a<><a:@ a: a< > a: ?<a:@ a= > <a 6

@ ;2 ?<2: > ;2< <2:@

;2?<2:@ > ;2 ?;2<@ W ;2 ?<2 W ;2?:@ 7<2; > 762: W 52< W 7<2

@ :,?<,<z :,9 > =z8 :, ?<,<z@ W :, ?:,9@ > :,?=z@ 6,:z W 89< >

E(er!i!i#/Cal!ula el */!/d de l#s si'uienes n+*er#s

7/7=7:=

7=$7:= 7 7=$7:= =

7=$7:= : =$<4 :

=$;= = 7$8

7$8 =2:7=

</7;$ 786$:5;76

7;$786$:5;76 <

4$ 85$78<K5 4

7$ 7;$ <4;; */!/d/ 7;

Resuel&e las si'uienes su*as

7/ ?8a@ > ?7;a@

8\ 7;\ =\$?8\@>7;\>=\

</ ?=*@ > ?5*@

=5:?=*@>5*:

Resuel&e las si'uienes resas

7/ 52?<2@7;?=2@>=:

?6;>=:@?;7;<=774?;:@4;

Su*a de -a!!i#nes/

7/ = > 7K > ; = > 7K > 8 <; :7

<7 <7 <7 <7 <7 <7

</ 7: W = W ; <6 W <= W :< :7

<K 5 = ;K ;K

E(er!i!i#s/ ]allar la su*a de3

7/ 82:,>= , 2,>; , =2>;,8

82:2>=?2,>;@>?=2>;,8@

82:2>=2,>;=2>;,8

7<2

.>r , <p6.>:r , p>=.5r

p>.>r>?<p6.>:r>?p>=.5r@

p>.>r<p6.>:r>p>=.5r;r

P#lin#*i#s

7/ ?:a:;a<) >=a)<@?<a<a)>)<@

6a=:a;)>:a:)5a;)>;a:)<;a<):>7Ka:)<=a<):>=a);

6a=77a;) >74a:)<8a<):>=a);

</ ?:2 : , < z=7<2,z:@?<2,:z;2,<:2,z:@

<2:,z;2,<:2,z: :2:,<z=7<2,z:

62;,=z67<2;,;z682;,:z5 <;2<,;z;>;52<,:z:>:62<,<z6

62;,=z67<2;,;z682;,:z5 <;2<,;z;>;52<,:z:>:62<,<z6

Resuel&e l#s si'uienes pr#du!#s n#a)les

7/ ?;2>76@ ?;2=@

>762<><K26;25K762<;;25K

</ ?:2;<@ ?=2;>4@

7=25><72;7K2;7;7=25>772;7;

:/ ?=2>4,:@ ?4,;2@

:=2,:<K2<>;8,6<52,:42,:<K2<>;8,6

Res#l&er l#s e(er!i!i#s ip# si'uienes3

7/ si*pli-i!ar la si'uiene -ra!!i0n3

< <X ^ / (X̂ ) (X>̂ ) ?X^@ ?X>^@ X^

< <X > <X^ >^ ?X>^@ ?X>^@ ?X>^@ X>^

</ Des!#*p#ner en ; -a!#res la e2presi#n

se uiliza la si'uiene -#r*ula3

YORMULA3

:/ SIMPLIYICAR

2 2

X - Y . 2 2

X + 2XY +Y

6

X - 1

2 n n-1 n-2 n-3 2 n-2 n-1

(a - b ) = (a-b) (a +a b+ a b + …..+ab + b )

6 6 5 4 3 2 2 3 n-2 n-1

(a - b) = (a-b) (a + a b + a b + a b +a b + b )

6 5 4 3 2(x -1 ) = ( x -1 ) ( x +x +x + x + x +1)

X-Y + X+Y +4XY = (X-Y) (X-Y) +( X+Y ) ( X+Y) + 4XY = 2 2

X+Y X-Y X -Y (X +Y) (X -Y)

2 2 2 2 2 2

(X - 2 XY + Y +X +2 XY +Y +4 X Y) = 2X +4 XY +2 Y

(X +Y ) (X - Y ) (X+Y) (X-Y)



;/ SIMPLIYICAR

=/ EYECTUAR LA SIGUIENTE DIVISON SINTETICA3

6/SIMPLIYICAR

1/3 -6 +2 -3 -1 +3 +3

-2 0 +1 0 -1

6 0 -3 0 +3 2

R= 6X +3X +3 + 2 . 3X+1

1 X7>7 X1 +X-1 X-1]] X-1 X ( X -1 )

= 2 = 2 = 2 = 1 X -1+1 X . X (X-1) 2 2 2

1+ X- 1 X -1 X -1

X (X-1) (X+1) = X+1 XX (X-1) X

2 . + 3 - 4X -7 = (X+2) (2)+ (X-3 ) (3) – 4X -7 =2

X-3 X+2 X-X-6 (X-3) (X+2)

2X + 4 + 3X -9 -4X -7 = X -12 .

(X-3) (X-2) (X-3) (X-2)



4/ EYECTUAR LA SIGUIENTE DIVISION

5/ SIMPLIYICA

8/ DESCOMPONER EN ; YACTORES 3

YORMULA3

7K/ SIMPLIYICA

2

1 . 2 . A +A -42 . (A+7) (A-69) A + 7

2 ÷ 2 = 2 = =

A –A -30 A + A -42 2(A -A -30) 2 (A-6 ) (A +5) 2( A +5 )

A -25 A . A ( A - 25 ) . ( A -5 ) ( A+5 ) A-5 2 2 = = =

2A + 8A -10A A (2A +8A -10 ) (A +5 ) (A-1 ) A-1

6

64 -A

2 n n-1 n-2 n-3 2 n-2 n-1

( A –B ) = (A-B ) ( A +A B +A B+ …..+ AB +B )

6 6 5 4 3 2 2 3 4 5

( A - B ) = ( A-B ) (B +B A + B A +B A +B A +BA +A )

6 6 5 4 3 2

64 – A = ( 64 A ) ( A +A +A +A +A+1 )

2

1 + 1 + X+3 = (X –X ) + ( X +X ) + X+3 =2 2 2 2 2 2

X + X X + X 1-X ( X+X ) ( X –X ) 1-X

2 2 2

X+ X + X+3 = -X +2X +1 +X +2X – 3 = 2X +4X +4 2 2 2 3 4 2 3 4

X +X 1- X X + X -X -X X+X -X -X

77/ SIMPLIYICA3

7</ EYECTUA LA SIGUIENTE DIVISION SINTETICA

7:/ SIMPLIYICAR3

7@ ? a > )@?a > 7@ a>a)>)

A - AB A-A+B

A+B = A+B = A A +AB A+A-B A

A-B A- B

A + 1 + A +12 = 4A + 2 +A + 12 = 5A +14

3A+6 6A + 12 12A +24 12A + 24 12A +24

½ +4 -8 +1 -4

2X-1 =0 +2 3 7 X= -1/2

4 -6 14 3

2

4X -6X + 14 + 3/ 2X-1

<@ <@ ?*< > n: @? <*< > :n<@ <M>:MN>MN>:N

:@ ?:2 W ,@?<2 > :,@ 6X>8X ̂<X ̂:^

;@ ?62 W 8 @?7<2 > 7@ 4<X6X>7K5X>8

=@ ?e > -<@?=e > <-<@=E><EY><Y

6@ ?*: > n:@ ?*: > n:@M>MNMNN

4@ ?=1 W <[@?:1 > ;[@7=]= > <:]b > 6]b > 5 b<

5@ ?e< > <e@?<e: > 4e@ 7<= > 4E< W ;E;> 7;E

8@ ?<2 > ,@?<2< > :2 W <,@ ;X

<

> 7KX

<

W ;X^ > <X

<

> =X^ W <^

<

7K@ ?a > )@?a< > <a) > )<@ a< > <\< ); > a)< > <a)= > ):

algebra 255.doc

Documents