ALFA – CORTE

Dado un conjunto difuso A, se define como alfa-corte de A, al conjunto de elementos que pertenecen al conjunto difuso A con grado mayor o igual que alfa, es decir:

Aα = { X € X / A ( X) ≥ ∞}

Se define como alfa corte estricto al conjunto de elementos con grado de pertenencia estrictamente mayor que alfa, es decir:

Aα = { X € X / A ( X) > ∞}

Se define como soporte de un conjunto difuso A, al conjunto nítido de elementos que tienen grado de pertenencia estrictamente mayor que 0, o sea, al alfa-corte estricto de nivel 0.

Soporte(A) = { X € X / A ( X) > 0}

Se define como núcleo de un conjunto difuso A, al conjunto nítido de elementos que tienen grado de pertenencia 1. (alfa-corte de nivel 1)

Núcleo(A) = { X € X / A ( X) = 1}

Se define la altura de un conjunto difuso A como el valor más grande de su función de pertenencia.

Se dice que un conjunto difuso está normalizado si y solo si su núcleo contiene algún elemento (o alternativamente, si su altura es 1), es decir:

Э x € X μA (x) = 1

El elemento x de U para el cual μF(x) = 0.5 se llama el punto de cruce.

Un conjunto difuso cuyo soporte es un único punto x de U y tal que la funciónde pertenencia de x es 1 (es decir, el soporte coincide con el

NORMAS – T

Definición:

Una t-norma es a función T: [0, 1] → del × [0, 1] [0, 1] que satisface las características siguientes:

Commutativity: T (a, b) = T (b, a) Monotonicity: T (a, b) ≤ T (c, d) si a ≤ c y b ≤ d Associativity: T (a, T (b, c)) = T (T (a, b), c) Los actos del número 1 como elemento de la identidad: T (a, 1) = a

Puesto que una t-norma es a operación algebraica binaria en el intervalo [0, 1], inculque la notación algebraica es también campo común, con la t-norma denotada generalmente cerca  * .

Las condiciones que definen de la t-norma son exactamente las del monoid Abelian parcialmente pedido en el intervalo de unidad verdadero [0, 1]. (Cf. grupo pedido.) La operación monoidal de cualquier monoid Abelian parcialmente pedido L está por lo tanto por algunos autores llamados a norma triangular en L.

Motivaciones y usos:

Las T-normas son una generalización del generalmente dos-valorada conjunción lógica, estudiado por lógica clásica, para lógicas borrosas. De hecho, la conjunción boleana clásica es comutativa y sociable. La característica del monotonicity asegura eso valor de verdad de la conjunción no disminuye si los valores de verdad de oraciones conjuntivas aumentan. El requisito que 1 sea un elemento de la identidad corresponde a la interpretación de 1 como verdad (y por lo tanto 0 como falso). La continuidad, que se requiere a menudo de la conjunción borrosa también, expresa la idea que, en línea general, los cambios muy pequeños en valores de verdad de oraciones conjuntivas no deben macroscópico afectar el valor de verdad de su conjunción.

Las T-normas también se utilizan para construir intersección de sistemas borrosos o como base para los operadores de la agregación (véase operaciones del sistema borroso). En espacios métricos probabilistic, las t-normas se utilizan para generalizar desigualdad del triángulo de espacios métricos ordinarios. Las t-normas individuales pueden por supuesto con frecuencia ocurrir en otras disciplinas de las matemáticas, puesto que la clase contiene muchas funciones familiares.

Clasificación de t-normas

Se llama una t-norma continuo si es continuo como función, en la topología generalmente del intervalo en [0, 1]2 (semejantemente para izquierdo y derecho-continuidad).

Una t-norma * se llama De Arquímedes si tiene Característica de Arquímedes, es decir, si para cada uno x, y en el intervalo abierto (0, 1) hay un número natural n tales que x * ... * x (n los tiempos) son inferior o igual y. Se llama una t-norma de Arquímedes continua terminante si 0 es su solamente nilpotent elemento; si no se llama nilpotent.

El ordenar parcial generalmente de t-normas es pointwise, es decir,

T1 ≤ T2   si   T1(a, b) ≤ T2(a, b) para todos a, b en [0, 1].

Como funciones, t-normas más grandes del pointwise se llaman a veces más fuerte que eso pointwise más pequeño. En la semántica de la lógica confusa, sin embargo, el más grande una t-norma, más débil la conjunción que representa.

Ejemplos prominentes:

T-norma mínima también llamó T-norma de Gōdel, como ella está la semántica estándar para la conjunción en la lógica confusa de Gōdel. Además de ése, ocurre en la mayoría de las lógicas borrosas basadas t-norma como la semántica estándar para la conjunción débil. Es la t-norma más grande del pointwise (véase características de t-normas debajo).

T-norma del producto (el producto ordinario de números verdaderos). Además de otras aplicaciones, la t-norma del producto es la semántica estándar para la conjunción fuerte en lógica confusa del producto. Es una t-norma de Arquímedes terminante.

T-norma de Łukasiewicz El nombre viene del hecho de que la t-norma es la semántica estándar para la conjunción fuerte adentro Lógica confusa de Łukasiewicz. Es una t-norma de Arquímedes nilpotent, pointwise más pequeño que la t-norma del producto.

T-norma drástica El nombre refleja el hecho de que la t-norma drástica es la t-norma más pequeña del pointwise (véase características de t-normas debajo). Es una t-norma de Arquímedes derecho-continua.

Mínimo de Nilpotent es un ejemplo estándar de una t-norma que sea izquierdo-continua, solamente no continuos. A pesar de su nombre, el mínimo nilpotent no es una t-norma nilpotent.

Producto de Hamacher es una t-norma de Arquímedes terminante, y un representante importante de las clases paramétricas de T-normas de Hamacher y T-normas de Schweizer-Sklar.

Características de t-normas:

La t-norma drástica es la t-norma más pequeña del pointwise y el mínimo es la t-norma más grande del pointwise:

para cualquier t-norma y todos a, b en [0, 1].

Para cada t-norma T, el número 0 actúa como elemento nulo: T (a, 0) = 0 para todos a en [0, 1].

Una t-norma T tiene divisores cero si y solamente si tiene nilpotent elementos; cada elemento nilpotent de T es también un divisor cero del T. El sistema de todos los elementos nilpotent es un intervalo [0, a] o [0, a), para alguno a en [0, 1].

Características de t-normas continuas:

Aunque es verdadero las funciones de dos variables pueden ser continuas en cada uno variable sin ser continuas en [0, 1]2, éste no es el caso con t-normas: una t-norma T es continua si y solamente si es continua en una variable, es decir, si y solamente si las funciones fy(x) = T (x, y) sea continuo para cada uno y en [0, 1]. Los teoremas análogos sostienen para la izquierda y la derecho-continuidad de una t-norma.

Una t-norma continua es de Arquímedes si y solamente si 0 y 1 es su solamente idempotents.Una t-norma de Arquímedes continua T es nilpotent si y solamente si cada uno x < 1 es un elemento nilpotent del T. Así con una t-norma de Arquímedes continua T, todos los o ningunos elementos de (0, 1) son nilpotent. Si es el caso que todos los elementos adentro (0, 1) son nilpotent, después la t-norma es isomorfa a la t-norma de Łukasiewicz; es decir, hay una función terminantemente de aumento f tales que:

Si por otra parte es el caso que no hay elementos nilpotent de T, la t-norma es isomorfa a la t-norma del producto. Es decir todas las t-normas nilpotent son isomorfas, la t-norma de Łukasiewicz que es su representante prototípico; y todas las t-normas terminantes son isomorfas, con la t-norma del producto como su ejemplo prototípico. La t-norma es sí mismo de Łukasiewicz isomorfa a la t-norma del producto socavada en 0.25, es decir, a la función p(x, y) = máximo (0.25, x · y) en [0.25, 1]2.

Para cada t-norma continua, el sistema de sus idempotents es un subconjunto cerrado de [0, 1]. Su complemento - el sistema de todos los elementos que no son idempotent - es por lo tanto una unión contable de muchos intervalos abiertos sin traslapo. La restricción de la t-norma a ninguno de estos intervalos (sus puntos finales incluyendo) es de Arquímedes, y así isomorfo a la t-norma de Łukasiewicz o a la t-norma del producto. Para tales x, y eso no baja en el mismo intervalo abierto de no-idempotents, la t-norma evalúa al mínimo de x y y. Estas condiciones dan realmente una caracterización de t-normas continuas, llamada Teorema de los Mostert-Protectores, puesto que cada poder continua de la t-norma de esta manera se descomponga, y la construcción descrita rinde siempre una t-norma continua. El teorema puede también ser formulado como sigue:

Una t-norma es continua si y solamente si es isomorfa a suma ordinal del mínimo, del Łukasiewicz, y de la t-norma del producto.

Un teorema similar de la caracterización para las t-normas no continuas no se sabe (no igualar para las izquierdo-continuas), solamente algunos métodos no-exhaustivos para construcción de t-normas se han encontrado.