Álgebra

ÁLGEBRA

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Sesión No. 8

Nombre: Derivadas e integrales

Contextualización

El cálculo diferencial e integral se desarrolla formalmente en el siglo xvii para

estudiar y modelar fenómenos en donde el movimiento y el cambio estuvieran

presentes. Su descubrimiento lo realizaron de manera simultanea, pero

independiente, el matemático alemán Gottfried Wilhem Von Leibniz y el

matemático británico Sir Isaac Newton. En esta sección estudiarás el concepto

de derivada como una medida de variación y cambio en fenómenos dinámicos.

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Introducción al Tema

El calculo es una ciencia que llego para reforzar los conocimientos de las

matemáticas y la ciencia de la medicina en muchos aspectos, pues con el

calculo integra y diferencial y el uso de sus integrales, se puede conocer la

velocidad de reproducción de algunos organismos los cuales se pueden ver

mediante el uso de graficacion o de solución de fórmulas que se crean para el

uso exclusivo de la medicina.

Si se conocen las formas de derivar y de integrar los elementos numéricos es

fácil determinar nuevas soluciones en campos en los que casi no se utiliza la

ciencia matemática por falta de información.

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Explicación

Definición de derivada

En los temas II y III estudiaste el concepto de función como herramienta para

representar fenómenos dinámicos, es decir, sistemas que cambian y

evolucionan a través del tiempo. En la gran mayoría de casos, es necesario

contar con una medida que permita determinar el ritmo al que se verifica dicha

evolución y cambio. Tal medida la constituye la derivada de una función. La

derivada de una función permite determinar la razón de cambio de un sistema

dinámico.

Aplicación de derivadas

La derivada es un poderoso instrumento matemático que tiene un amplio campo

de aplicación en la química, física, biología, ingeniería, finanzas, economía y ad-

ministración. Sus aplicaciones pueden conceptualizarse en dos interpretaciones:

una geométrica y otra física.

Interpretación geométrica

La derivada de una función permite determinar la pendiente de la recta tangente

a la gráfica de la función f en el punto (a, f (a)), que se denota por f '(a)

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Interpretación física

Si el estado P de un sistema evoluciona en el tiempo a lo largo de una recta

coordenada de tal manera que en el tiempo t su coordenada es s(t), entonces su

velocidad en el instante a es s'(a).

Notación de derivadas

Existen diferentes formas para la representación de derivadas. Las principales

son las siguientes:

• Notación de Lagrange: f '(x), que se lee f prima de x.

• Notación de Cauchy: Dx

f, que se lee D sub x de f.

• Notación de Newton: x , que se lee x punto.

dy

• Notación de Leibniz: dx , que se lee a derivada de y con respecto de x ó dy

en dx.

La mayor parte de los textos emplean la notación de Lagrange o de Leibniz. En

el presente texto, empleamos la notación de ambos indistintamente.

Cálculo de derivadas

El cálculo de las derivadas se basa en la aplicación de reglas generales para la

derivación obtenidas a través de argumentaciones matemáticas formales, así

como en el manejo algebraico de funciones. El proceso de derivación (también

conocido cono diferenciación) puede resultar sumamente complejo, sin embargo,

en el presente texto nos enfocamos al cálculo de derivadas que pueden

obtenerse de forma directa aplicando la fórmula correspondiente.

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Fórmulas para el cálculo de derivadas

Sean u=f(x) y v=g(x) dos funciones y k una

constante, entonces se verifican las siguientes

reglas de derivación.

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Conclusión

El cálculo es una ciencia que sigue en crecimiento, sin importar el año en que se

creo o si es muy nueva o muy vieja, pues aun quedan muchas formas de

solucionar problemas que no se han encontrado, la complejidad de crear nuevas

ecuaciones para integrar o derivar se ve muchas veces en la forma de la

comprobación, pues también se tiene que determinar la forma de demostrar que

los resultados son correctos.

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Para aprender más

Hasser, Norman B. (2002). Análisis Matemático. Curso de Introducción. Vol. 1.

México: Trillas.

Leithold, L. (2003, 7a edición). El Cálculo. México: Oxford University Press.

Swokowski, E. (2003, 2a edición). Cálculo con Geometría Analítica. México:

Grupo Editorial Iberoamericana.

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Actividad de Aprendizaje

Instrucciones: basándose en las fórmulas anteriores, encuentra el

resultado de las siguientes ecuaciones.

1)

2)

3)

4)

5)

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Bibliografía

Hasser, Norman B. (2002). Análisis Matemático. Curso de Introducción. Vol. 1.

México: Trillas.

Leithold, L. (2003, 7a edición). El Cálculo. México: Oxford University Press.

Swokowski, E. (2003, 2a edición). Cálculo con Geometría Analítica. México:

Grupo Editorial Iberoamericana.